九年级上专题复习一：线段比例关系的证明和应用(含答案)
北师大版数学九年级上册第四章 《图形的相似》重点题型归纳
阶段强化专题训练专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧 类型一 证比例式技巧1 中间比代换法证比例式1.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB. (1)求证：BCDEAB AD =； (2)若AD:DB=3:5，求CF:CB 的值.技巧2 等积代换法证比例式2.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC 内一点，DE ∥BC ，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P.求证：PBPAPF PE =.技巧3 等比代换法证比例式3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：ADAFAB AD =.类型2 证线段相等技巧 4 等比过渡证线段相等(等比例过渡法)4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥BA 交DE 的延长线于点F.(1)求证：DE=EF ；(2)连结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：∠B=∠A+∠DGC ．类型3 证比例和为1技巧5 同分母的中间比代换法5.如图，已知AC ∥FE ∥BD.求证：1=+BCBEAD AE专题二：证明相似三角形的方法名师点金要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性．．．”.方法1 利用边或角的关系判定两直角三角形相似1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是( )A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似D.两个等腰直角三角形相似2.如图，BC⊥AD，垂足为C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE=3.1.求证：△ABC∽△DEC.方法2 利用角判定两三角形相似3.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．方法3 利用边角判定两三角形相似4.如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE. 方法4 利用三边判定两三角形相似5.如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.专训三巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．训练角度1 巧连线段的中点构造相似三角形1.如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP:PQ:QD.训练角度 2 过顶点作平行线构造相似三角形2.如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB 上一点，BF:AF＝3:2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BE:EC的值．3.如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE:ED＝2AF:FB.训练角度 3 过一边上的点作平行线构造相似三角形4.如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC.训练角度 4 过一点作平行线构造相似三角形5.如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=41AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD. 作辅助线的方法一：作辅助线的方法二：作辅助线的方法三：作辅助线的方法四：全章整合提升密码专训一：证比例式或等积式的技巧 名师点金证比例式或等积式，若遇问题中无平行线或相似三角形时，则需构造平行线或相似三角形，得到等比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．技巧1 构造平行线法1.如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ， 求证：AE ·CF ＝BF ·EC.2.如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB ·DF ＝BC ·EF.技巧2 三点找三角形相似法3.如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD.4.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB于E.求证：AM 2＝MD ·ME.技巧3 构造相似三角形法5.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N. 求证：BP ·CP ＝BM ·CN.技巧4 等比过渡法6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE. 求证：(1)△DEF ∽△BDE ；(2)DG ·DF ＝DB ·EF.7.如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP于点G ，交CE 于点D. 求证：CE 2＝DE ·PE.技巧5 两次相似法8.如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F. 求证：BF BE ＝ABBC.9.如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MNAC.技巧6 等积代换法10.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝ACAB.技巧7 等线段代换法11.如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE ·PF.12.已知：如图，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB ·PC.专训二 巧用“基本图形”探索相似条件 名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图： 1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型训练角度1 平行线型1.如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE ·BC ＝BD ·AC ； (2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．训练角度2 相交线型2.如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DOCO ，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．训练角度3 子母型3.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DFAF.训练角度4 旋转型 4.如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE.专训三 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．训练角度1 证明两线段的数量关系 类型1： 证明两线段的相等关系1.如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N. 求证：BM ＝MC.2.如图，一直线和△ABC 的边AB ，AC 分别交于点D ，E ，和BC 的延长线交于点F ，且AE:CE ＝BF:CF. 求证：AD ＝DB.类型2 证明两线段的倍分关系3.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，∠A ＝60°，求证：DE ＝12BC.4.如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE ∥AB ，CE 交DM 的延长线于E. 求证：AC ＝2CE.训练角度2 证明两线段的位置关系 类型1：证明两线段平行 5.如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接CE ，AE.求证：AE ∥BC.6.在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，EF ∥BC ，DF ∥AB ，连接CE 和AD ，分别交DF ，EF 于点N ，M.(1)如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论； (2)如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．类型2 证明两线垂直7.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC2＝AB ·AD ，BC 2＝BA ·BD ，求证：CD ⊥AB.8.如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.专训四巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质，位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上.类型1 三角形的内接正三角形问题1.如图,用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形,阅读后证明相应问题.画法:①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上；②连接OE并延长,交AB于点E′,过点E′作E′C′∥EC,交OA于点C′,作E′D′∥ED,交OB于点D′；③连接C′D′,则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形.求证:△C′D′E′是等边三角形.类型2 三角形的内接矩形问题2.求作:内接于已知△ABC的矩形DEFG,使它的边EF在BC上,顶点D,G分别在AB,AC上,并且有DE∶EF=1∶2.类型 3 三角形的内接正形问题(方程思想)3.如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=120mm ,高AD=80mm ,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边QM 在BC上,其余两个顶点P ,N 分别在AB,AC上,则这个正方形零件的边长是多少?4.(1)如图①,在△ABC 中,点D ,E ,Q 分别在AB ,AC ,BC 上,且DE ∥BC ,AQ交DE 于点P.求证:DP：BQ=PE：QC.(2)在△ABC 中,∠BAC =90°,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接AG ,AF ,分别交DE 于M ,N 两点.①如图②,若AB=AC=1,直接写出MN的长；②如图③,求证:MN²=DM·EN.专训五： 图形的相似中的五种热门考点 名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而对于成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．考点一： 比例线段及性质1.下列各组长度的线段，成比例线段的是( )A. 2 cm ，4 cm ，4 cm ，8 cmB. 2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cmC. 1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmD. 2.1 cm ，3.1 cm ，4.3 cm ，5.2 cm2．若a 2＝b 3＝c 4＝d 7≠0，则a ＋b ＋c ＋d c ＝________.3．如图，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点A 的距离约为________．(5≈2.236，结果精确到0.01)考点二： 平行线分线段成比例4.如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与AD AF 相等的是( ) A.AB EF B.CD EF C.BO OE D.BC BE5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，以AC 为边向三角形外作正方形ACDE ，连接BE 交AC 于F ，若BF ＝ 3 cm ，则EF ＝________.6.如图，在△ABC 中，AM ∶MD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，求AE ∶EC 的值．考点三 相似三角形的性质与判定7.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:168.在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，且AE ∶ED ＝3∶1，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，则S △AEF ∶S 四边形ABCE 为( ) A.3∶4 B.4∶3 C.7∶9 D.9∶79.若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．10.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F.(1)求证：FD 2＝FB ·FC ； (2)若FB ＝5，BC ＝4，求FD 的长．11.如图，四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，点F 是BC 的延长线上一点，且CE ＝CF ，BE 的延长线交DF 于点M.(1)求证：BM ⊥DF ； (2)若正方形ABCD 的边长为2，求ME ·MB.考点四相似三角形的应用12.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD.(结果精确到0.1 m)13.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)考点五图形的位似14.如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，则点C′的坐标为________．15.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．(结果保留根号)专训六全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．考点一：3个概念概念1：成比例线段1.下列各组线段，是成比例线段的是( )A.3cm，6cm，7cm，9cmB.2cm，5cm，0.6dm，8cmC.3cm，9cm，1.8dm，6cmD.1cm，2cm，3cm，4cm2.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m，在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3.如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．概念3：位似图形4.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．考点二： 2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6.如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC 与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．考点三： 1个判定——相似三角形的判定7.如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE ∽△OCD.8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O 于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC 与PD，PD交AB于点G. (1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB＝5，弧AP＝弧BP，求PD 的长．考点四： 2个应用应用1：测高的应用9.如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？应用2：测宽的应用10.如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．考点五： 1个作图——作一个图形的位似图形11.如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O 为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．考点六： 1个技巧——证明四条线段成比例的技巧12.如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q. (1)求∠PAQ的度数； (2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.。
九年级上专题复习一：线段比例关系的证明和应用(含答案)
专题复习一 线段比例关系的证明和应用证明线段成比例，一般先根据比例式确定相似三角形，然后用相似三角形的性质得出线段成比例.若根据比例式不能确定相似三角形，则利用等量代换进行条件转化．1.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE∥BC，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论中，一定正确的是(A ).（第1题）（第2题）（第3题） （第4题）2.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB∥DE，CF 为中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF 的长为(B ).3.如图所示，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P ，则下列结论中不一定成立的是(B ). A.PD PA =PB PC B.PA·PD=PB·PC C. PD PB =PAPCD.PA·PB=PC·PD 4.如图所示，在△ABC 中，BF 平分∠ABC，AF⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连结DF 并延长交AC 于点E.若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为(B ). A.2 B.3 C.4 D.55.如图所示，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC ，P 是AD 边上一点，连结PB ，PC ，且AB 2=AP·PD，则图中有 3 对相似三角形．（第5题）（第6题） （第7题）6.如图所示，在△ABC 中，AD 是角平分线，∠ADE=∠B，若AE=4，AB=5，则AD= 25 .7.如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 上一点，作D E⊥BC 于点E ，连结AE ，若BE=AC ，BD=25，DE+BC=10，则线段AE 的长为 42 ．8.如图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED=∠B，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AC AD =CGDF.（第8题）（1）求证：△ADF ∽△ACG. （2）若AC AD =21，求FGAF的值. 【答案】(1)∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C.又∵AC AD =CGDF，∴△ADF ∽△ACG. (2)∵△ADF ∽△ACG ，∴9.如图所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，D 是 的中点，BD 交AC 于点E ，连结AD ，CD ．（第9题）（1）求证：AD 2=DE·DB． （2）若BC=25，CD=25，求DE 的长． 【答案】(1)∵D 是AC 的中点，∴.∴∠ABD=∠DAC.又∠ADB=∠EDA，∴△ABD ∽△EAD.∴DE AD =ADDB .∴AD 2=DE·DB.(2)∵D 是的中点，∴AD=DC.∴DC 2=DE·DB.∵CB 是直径，∴△BCD 是直角三角形.∴BD=.∵DC 2=DE·DB，∴(25)2=5DE ，解得DE=45.10.如图所示，在Rt△ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形，则a ，b ，c 满足的关系式为(A ).A.b=a+cB.b=acC.b 2=a 2+c 2D.b=2a=2c（第10题） （第11题） （第12题）（第13题）11.如图所示，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，直径AC=6，对角线AC ，BD 交于点E ，且AB=BD ，EC=1，则AD 的长为(A ).12.如图所示，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA ，点A 在反比例函数y=2x 的图象上.若点B 在反比例函数y=xk的图象上，则k 的值为(D ). A.4 B.-4 C.8 D.-813.在四边形ADBC 中，∠ADB=∠ACB，CD 平分∠ACB 交AB 于点E ，且BE=CE.若BC=6，AC=4，则BD= 26 ．14.如图所示，已知CE 是Rt△ABC 斜边AB 上的高线，在EC 的延长线上任取一点P ，连结AP ，BG⊥AP 于点G ，交CE 于点D.求证：CE 2=PE·DE．（第14题） 【答案】∵∠ACB=90°，CE⊥AB ，∴∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠CAE=90°.∴∠CAE=∠BCE.∴Rt△ACE ∽Rt△CBE.∴BE CE =CEAE .∴CE 2=AE·BE. ∵BG⊥AP，CE⊥AB，∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°.∵∠GDP=∠EDB，∴∠P=∠DBE. ∴△AEP ∽△DEB.∴BE PE =DEAE .∴PE·DE=AE·BE.∴CE 2=PE·DE. 15.如图所示，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD ，点E 在对角线AC 上，且满足∠ADE=∠BAC. （1）求证：CD·AE=DE·BC.（2）以点A 为圆心、AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，连结AF.求证：AF 2=CE·CA.（第15题）【答案】(1)∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ACB.又∵∠ADE=∠BAC，∴△ADE ∽△CAB.∴ABDE=BCAE.∴AB·AE=DE·BC.∵AB=CD，∴CD·AE=DE·BC. (2)∵AD∥BC ，AB=CD ，∴∠ADC=∠DAB.∵∠ADE=∠BAC ，又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE ，∠DAB=∠BAC+∠CAD，∴∠CDE=∠CAD.又∠DCE=∠ACD,∴△CDE ∽△CAD.∴CA CD =CDCE.∴CD 2=CE·CA.由题意得AB=AF ，AB=CD ，∴AF=CD.∴AF 2=CE·CA.16.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE ，AD 交于点P.求证：（第16题）（1）D 是BC 的中点． （2）△BEC ∽△ADC ．（3）AB·CE=2DP·AD．【答案】(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.∵AB=AC，∴D 是BC 的中点. (2)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°.∴∠CEB=∠CDA=90°.∵∠C=∠C，∴△BEC ∽△ADC.(3)∵AB=AC，BD=CD ，∴∠BAD=∠CAD.∵∠CAD=∠CBE,∴∠BAD=∠CBE.∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD ∽△BCE.∴.∵BC=2BD,∴AD AB =BEBD2.∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD ∽△BCE.∴.∴AB·CE=2DP·AD.17.如图1所示，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点D ，O 是AC 边上一点，连结BO 交AD 于点F ，OE⊥OB 交BC 于点E ． （1）求证：△ABF ∽△COE ．（2）如图2所示，当O 为AC 的中点，AB AC =2时，求OEOF的值． （3）当O 为AC 的中点，AB AC =n 时，请直接写出OEOF的值．（第17题） （第17题答图）【答案】(1)∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°.∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠BAF=90°.∴∠BAF=∠C. ∵OE⊥OB，∴∠BOA+∠COE=90°.∵∠BOA+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠COE.∴△ABF ∽△COE.(2)如答图所示，过点O 作AC 的垂线交BC 于点H ，则OH∥AB.∵△ABF ∽△COE,∴∠AFB=∠OEC. ∴∠AFO=∠HEO.∵∠BAF=∠C，∴∠FAO=∠EHO.∴△OEH ∽△OFA.∴OF ∶OE=OA ∶OH.∵O 为AC 的中点，OH∥AB，∴OH 为△ABC 的中位线.∴OH=21AB ，OA=OC=21AC.∵ABAC =2，∴OA ∶OH=2∶1.∴OF ∶OE=2∶1，即OEOF=2. (3)OEOF=n.（第18题）18.【株洲】如图所示，若△ABC 内一点P 满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P 为△ABC 的布洛卡点.三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名.已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF=90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ 等于(D ).A.5B.4C.3+2D.2+219.【鞍山】如图所示，△ACE ，△ACD 均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE 与CD 相交于点P ，以CD 为直径的⊙O 恰好经过点E ，并与AC ，AE 分别交于点B 和点F. （1）求证：∠ADF=∠EAC. （2）若PC=32PA ，PF=1，求AF 的长.（第19题） （第19题答图）【答案】(1)∵∠ADC=90°，∠ACE=90°，∴∠ADF+∠FDC=90°，∠EAC+∠CEF=90°. ∵∠FDC=∠CEF，∴∠ADF=∠EAC.(2)如答图所示，连结FC.∵CD 是圆O 的直径，∴∠DFC=90°.∴∠FDC+∠FCD=90°.∵∠ADF+∠FDC=90°，∠ADF=∠EAC ，∴∠FCD=∠EAC ，即∠FCP=∠CAP.又∠FPC=∠CPA，∴△FPC∽△CPA.∴20.（1）如图1所示，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，B D⊥AC 于点D.求证：AB 2=AD·AC． （2）如图2所示，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D 为BC 边上的点，BE⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ，BC AB =DC BD =1，求DCBD的值． （3）在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D 为直线BC 上的动点（不与点B ，C 重合），直线BE⊥AD 于点E ，交直线AC 于点F.若BC AB =DC BD =n ，请探究并直接写出DCBD的所有可能的值（用含n 的代数式表示），不必证明．（第20题） （第20题答图）【答案】(1)∵BD⊥AC ，∠ABC=90°，∴∠ADB=∠ABC.∵∠A=∠A ，∴△ADB ∽△ABC.∴AC AB =ABAD .∴AB 2=AD·AC. (2)如答图所示，过C 作CG⊥AD 交AD 的延长线于点G.∵BE⊥AD，∴∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF. ∵BC AB =DCBD=1，∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC.∵∠BDE=∠CDG，∴△BDE ≌△CDG.∴ED=GD=12EG. 由(1)可得：AB 2=AE·AD,BD 2=DE·AD，∴=4.∴AE=4DE.∴EG AE =DEDE24=2.∵CG∥BF，∴FC AF =EGAE=2. (3)D 为直线BC 上的动点（不与点B ，C 重合），有三种情况：①当点D 在线段BC 上时，FCAF =n 2+n. ②当点D 在线段BC 的延长线上时，FC AF =n 2-n.③当点D 在线段CB 的延长线上时，FCAF =n-n 2.。
九年级数学上册第四章相似三角形4.1比例线段第2课时比例线段随堂练习(含解析)浙教版(2021年整
九年级数学上册第四章相似三角形4.1 比例线段第2课时比例线段随堂练习（含解析）（新版）浙教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第四章相似三角形4.1 比例线段第2课时比例线段随堂练习（含解析）（新版）浙教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4.1__比例线段__第2课时 比例线段1．［2017·西固区校级模拟]下列线段中，能成比例的是（ D ）A ．3 cm ，6 cm ，8 cm ，9 cmB ．3 cm,5 cm ，6 cm ，9 cmC ．3 cm,6 cm ，7 cm,9 cmD ．3 cm ，6 cm ，9 cm ，18 cm2．在相同时刻的物高与影长成比例，小明的身高为1。
5 m ，在地面上的影长为2 m,同时一古塔在地面上的影长为40 m ，则古塔高为（ C )A ．60 mB ．40 mC ．30 mD ．25 m【解析】 设古塔高为x (m),则有错误!＝错误!，解得x ＝30.故选C.3．已知四条线段a ,b ，c ,d 是成比例线段，即错误!＝错误!，下列各式错误的是( C ）A ．ad ＝bc B.错误!＝错误!C.a －b b＝错误! D 。
错误!＝错误! 4．已知A ，B 两地的实际距离AB ＝5 000 m,画在地图上的距离A ′B ′＝2 cm ，则这张地图的比例尺是( D ）A ．2∶5B ．1∶25 000C ．25 000∶1D ．1∶250 0005．已知P 是线段AB 上一点，且错误!＝错误!,则错误!等于（ A )A 。
2019—2020年最新浙教版九年级数学上册《比例线段》同步练习及答案.docx
4.1 比例线段（二）1．下列长度的各组线段中，成比例的是(B)A. 2，5，6，8B. 3，6，9，18C. 1，2，3，5D. 3，6，7，92．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，AC＝6 cm，CD是斜边AB上的高，则CD∶AB的值为(B)(第2题)A. 34B.1225C. 1325D.453．已知点C在线段AB的延长线上，且5BC＝2AC，则AB∶AC＝(B)A. 57B.35C. 27D.254．已知A，B两所学校的实际距离是6.3 km，在一张比例尺为1∶150000的城市地图上，他们之间的距离是__4.2__cm.5．已知三个数2，4，8，请你再添上一个数，使它们成比例，写出所有符合条件的数：1或4或16．6．在比例尺是1∶500000的地图上，测得A地与B地的距离为6 cm，则在另一幅比例尺是1∶400000的地图上，A地与B地的距离是多少厘米？【解】设A地与B地的实际距离为x(cm)，则6x＝1500000，∴x＝3000000(cm)．设在比例尺为1∶400000的地图上，A地与B地的距离为y(cm)，则y3000000＝1400000，∴y＝7.5(cm)．(第7题)7．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD交AD的延长线于点F.(1)AB，BC，BF，DE这四条线段能否成比例？如不能，请说明理由；如能，请写出比例式．(2)若AB ＝10，DE ＝2.5，BF ＝5，求BC 的长． 【解】 (1)能成比例．∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ＝BC. ∵S ▱ABCD ＝AB ·DE ＝AD ·BF ， ∴AB ·DE ＝BC ·BF ， ∴ABBC ＝BFDE. (2)∵AB BC ＝BFDE，AB ＝10，DE ＝2.5，BF ＝5，∴10BC ＝52.5，∴BC ＝5. 8．设(2y －z)∶(z ＋2x)∶y ＝1∶5∶2，求(3y －z)∶(2z －x)∶(x ＋3y)的值． 【解】 由已知，得 2(2y －z)＝y ，即y ＝23z ，①5(2y －z)＝z ＋2x ，即x ＝5y －3z ，② 由①②，得x ＝13z ，③把①③代入(3y －z)∶(2z －x)∶(x ＋3y)，得 (3y －z)∶(2z －x)∶(x ＋3y)＝z ∶53z ∶73z＝3∶5∶7.9．已知△ABC中的三边a＝2，b＝4，c＝3，h a，h b，h c分别为a，b，c上的高，则h a∶h b∶h c＝6∶3∶4．【解】∵三边为a＝2，b＝4，c＝3，面积为定值，可设面积为6k，则h a＝6k，h b＝3k，h c＝4k，∴h a∶h b∶h c＝6∶3∶4.10．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高线，则下列各式能成立的是(D)(第10题)A. ACAB＝BCCDB. CDAB＝ACBCC. ACAB＝CDBDD. ACCD＝ABBC【解】∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴AC ·BC ＝AB ·CD ， ∴ACCD ＝ABBC.11．如图，作线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，在这条垂直平分线上截取OC ＝OA ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点P ，求线段AP 与AB 的比．(第11题)【解】 连结AC.设AO ＝x ，则BO ＝x ，CO ＝x ，∴AP ＝AC ＝2x.∴线段AP 与AB 的比是2x ∶2x ＝1∶ 2.12．如图，在△ABC 中，已知∠B ＝30°，∠C ＝45°.(1)求ABAC的值．(2)求AB ∶AC ∶BC.(第12题)【解】 (1)过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D. 在Rt △ABD 中，∵∠B ＝30°，∴AD ＝12AB.在Rt △ADC 中，∵∠C ＝45°，∴AD ＝22AC.∴12AB ＝22AC.∴AB AC＝ 2.(2)∵AB ＝2AD ，AC ＝2AD ，BD ＝3AD ，CD ＝AD ，∴BC ＝BD ＋CD ＝(3＋1)AD ，∴AB ∶AC ∶BC ＝2∶2∶(3＋1)．13．如图，在△ABC 中，BC ＝a.若D 1，E 1分别是AB ，AC 的中点，则D 1E 1＝12a ；若D 2，E 2分别是D 1B ，E 1C 的中点，则D 2E 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2＋a ＝34a ；若D 3，E 3分别是D 2B ，E 2C 的中点，则D 3E 3＝12×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2＋a ＋a ＝78a ……若D n ，E n 分别是D n －1B ，E n －1C 的中点，则D n E n 的长是多少(n ＞1，且n 为整数，结果用含a ，n 的代数式表示)?(第13题)【解】 D n E n ＝⎭⎪⎬⎪⎫⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2＋a ＋a ＋a …＝2n －12n a.。
新北师版初中数学九年级上册4.1第1课时线段的比和成比例线段过关习题和解析答案
第四章 图形的相似4.1 成比例线段第1课时 线段的比和成比例线段一、填空题1.若线段a=12cm,b=3cm,则线段b:a= 。
2．已知线段a=2，b=3，c=5时，若a ，b ，c ，d 四条线段成比例，则d=_______．3．在线段AB 上取一点P ，使AP ：PB=1：4，则AP ：AB=_____，AB ：PB=_______．4．如果a=15cm ，b=10cm ，且b 是a 和c 的比例中项，则c=________．5.已知b 是a ，c 的比例中项，且a=3cm ，c=9cm ，则b= cm 。
6.已知P 是线段AB 上一点，且AP:PB=2:5,则AB:PB= .7.已知三个数2，4，32，请你再加上一个数使它们成一个比例式，这个数是 。
8.比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm ，则这两城市的实际 距离是 公里.9.美是一种感觉，人体下半身长与身高的比值接近0.618，越给人一种美感，某女士身高165cm ，下半身与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 cm.二、选择题10、如果bc ax =，那么将x 作为第四比例项的比例式是（ ）A x a c b =B b c x a =C x c b a =D ca b x = 11、三线段a 、b 、c 中，a 的一半的长等于b 的四分之一长，也等于c 的六分之一长，那么这三条线段的和与b 的比等于（ ）A 6:1B 1:6C 3:1D 1:312、下列a 、b 、c 、d 四条线段，不成比例线段的是（ ）A. a=2cm b=5cm c=5cm d=12.5cmB. a=5cm b=3cm c=5mm d=3mmC. a=30mm b=2cm c=59cm d=12mm D. a=5cm b=0.02m c=0.7cm d=0.3dm 13、如果 a:b=12:8，且b 是a 和c 的比例中项，那么b:c 等于（ ）A. 4：3B. 3：2C. 2：3D. 3：414、两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是（ ）A. 5:3B. 5:4C. 5:12D. 25:1215.下列各组线段中 ，能成比例的是（ ）A 、4，6，7，8B 、2，3，6，8C 、3，6，9，18D 、1，2，3，516.如果ab=cd(a,b,c,d 都不等于0），那么（ ）A 、a:b=c:dB 、a:c=b:dC 、b:d=c:aD 、a:d=b:c三、解答题17.已知四条线段a=0.5m,b=25cm,c=0.2m,d=10cm.试判断四条线段是否成比例。
专题：比例线段与平行推相似定理(答案)有答案
初中数学.精品文档如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯专题：比例线段与平行推相似定理考点一 比例线段与比例的基本性质1．比例线段与比例中项若线段a ，b ，c ，d 满足： a b ＝cd，则称这四条线段成比例；若线段a ，b ，c 满足a ：b ＝b ：c ，则称b 叫a ，c 的比例中项． 2．比例的性质(1)基本性质：如果a b ＝cd，那么： ad ＝bc ．反之也成立；(2)合比性质：如果a b ＝cd ，那么：a ＋b b ＝ c ＋d d ；(3)等比性质：如果a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n，且b 1＋b 2＋…＋b n ≠0，那么：a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n＝ a 1b 1 .【例1】1．下列各选项中的四条线段成比例的是( D ) A ．a ＝12，b ＝8，c ＝15，d ＝11 B ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10 C ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝3 D ．a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝232．若mn ＝ab ≠0，则下列比例式中错误的是( C )A ．a m ＝n bB ．a n ＝m bC ．m a ＝n bD ．m a ＝b n3．若a=3，b=6，且b 是a 和c 的比例中项，则c=__12__．4．若x 2＝y 3＝zm (x ，y ，z 均不为0)，x ＋2y －z z ＝1，则m =__4__．5．若c a ＋b ＝a b ＋c ＝b a ＋c＝k ，则k 的值为 12或－1 ．6．已知三条线段的长分别为1 cm ，2 cm ， 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长．2 2cm 或2cm 或22 cm ．考点二 黄金分割1．黄金分割的相关概念(如下图)(1)黄金分割点：如果点P 把线段AB 分成两条线段AP 和PB ，使AP >PB ，且____________，则称线段AB 被点P _________；(2)黄金分割比：黄金比APAB ＝________≈________．【例2】1．已知C 是AB 的黄金分割点(AC >BC )，下列结论错误的是( B ) A ．AC AB ＝BC ACB ．BC 2＝AB ·AC C ．ACAB ＝5－12D ．BCAC≈0．618 2．宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图②，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连结EF ；如图③，以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是( D )A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH3．如图1，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且P A ＞PB ．若S 1是以P A 为边的正方形的面积，S 2表示长是AB ，宽是PB 的矩形的面积，则S 1 ＝ S 2(填“＞”“＝”或“＜”)．图14．如图2，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB 长为20 m ，试计算主持人站到离A 点多远处主持节目较为合适． 10(5－1)m 或(30－105)m图2考点三 平行线分线段成比例1．平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段___________． 2．平行线分线段成比例推论：________三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例 ．【例3】1．如图3，l 1∥l 2∥l 3，直线AC 与DF 交于点O ，且与l 1，l 2，l 3分别交于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，则下列比例式不正确的是( D )A ．AB BC ＝DE EF B ．AB BO ＝DE EO C ．OB OC ＝OE OFD ．OD OF ＝OA AB图32．如图4，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是( C )初中数学.精品文档A ．AD AB ＝AE EC B ．AG GF ＝AE BDC ．BD AD ＝CE AE D ．AG AF ＝ACEC图43．如图，过平行四边形ABCD 的一个顶点A 作一直线分别交对角线BD 、边BC 、边DC 的延长线于点E ，F ，G ． 求证：EA 2＝EF ·EG ．证明：由AB ∥GD ，得EA EG ＝BEED．由AD ∥BF ，得BE ED ＝EFEA，∴EA EG ＝EFEA ，∴EA 2＝EF ·EG ．4．如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ． (1)求证：AF ·BD ＝AD ·FD ；(2)若AB ＝15，AD ：BD ＝2：1，求FD 的长．解： (1)证明：∵EF ∥CD ，∴AF FD ＝AEEC．∵DE ∥BC ，∴AD BD ＝AEEC，∴AF FD ＝AD BD． (2)∵AD ：BD ＝2：1，∴BD ＝12AD ．∵AB ＝15，∴AD ＋12AD ＝15，∴AD ＝10．∵AF ：FD ＝AD ：BD ，∴AF ：FD ＝2：1， ∴AF ＝2FD ． ∵AF ＋FD ＝10，∴2FD ＋FD ＝10，∴FD ＝103．考点四 平行线分三角形相似定理1．平行线分三角形相似定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形________．【例4】1．如图5，在△ABC 中，D ，E 分别在AB 边和AC 边上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点(不与B ，C 重合)，连接AM 交DE 于点N ，则( C )A ．AD AN ＝AN AEB ．BD MN ＝MN CEC ．DN BM ＝NE MCD ．DN MC ＝NE BM图52．如图6，在□ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC 于点F ，交CD 于点G ，则下列结论中错误的是( D ) A ．△ABE ∽△DGE B ．△CGB ∽△DGE C ．△BCF ∽△EAF D ．△ACD ∽△GCF图63．如图7，直线l 1∥l 2，AF ：FB ＝2：3，BC ：CD ＝2：1，则AE ：EC 为( C ) A ．5：2 B ．4：1 C ．2：1 D ．3：2图74．如图8，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，则AF ：FC 的值是( A ) A ．1：2 B ．1：3 C ．2：3 D ．3：5图85．如图9，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，则GH 的长为__65__．图96．如图10，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上初中数学.精品文档一点，且AEEB＝16，射线CF交AB于E点，则AFFD等于__13__．图107．如图，点M，N分别在△ABC的边AB，AC上，MN∥BC，过顶点A作BC的平行线PQ分别交CM和BN的延长线于点P 和点Q．试判断线段AP与AQ之间的数量关系，并说明理由．解：AP=AQ．理由：∵MN∥BC，PQ∥BC，∴PQ∥MN∥BC，∴．∵MN∥AQ，∴△BMN∽△BAQ，∴，同理，∴，∴AP=AQ．※课后练习1．若b是a和c的比例中项，c是b和d的比例中项，则下列各式中不一定成立的是(B)A．ab＝bc B．ad＝bc C．bc＝cd D．ab＝cd2．如图1，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于D，E，F．已知ABAC＝13，则(C)A．ABBC＝13B．DEEF＝13C．DEEF＝12D．DEDF＝14图13．如图2，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD 的延长线于点E，则下列结论错误的是(C) A．EDEA＝DFAB B．EDBC＝EFFB C．BCDE＝BFBE D．BFBE＝BCAE图24．如图3，在□ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则EF：EA为(B) A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2图35．如图4，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD的长为(B)A．5－12B．5＋12C． 5 D．2图46．已知a2＝b3＝c5≠0，则3a＋2b－2c2a－b＋c的值为13．7．如图5，E是□ABCD的边AD上的一点，且AEDE＝32，CE交BD于点F，BF＝15 cm，则DF的长为 6 cm．图58．如图6，菱形BEFD的顶点E，F，D在△ABC的边上，且AB＝18，AC＝BC＝12，则菱形的边长为7.2 ．图6 9．如图7，在△ABC中，D在AC边上，DC＝2AD，O是BD的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE ：EC ＝ 1：3 ．图710．我们定义：顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金比)．如图8，△ABC ，△BDC ，△DEC 都是黄金三角形．已知AB ＝1，则DE 的长为 3－52．图811．如图，已知EC ∥AB ，∠EDA ＝∠ABF ．求证： (1)四边形ABCD 是平行四边形； (2)OA 2＝OE ·OF ．证明：(1)∵EC ∥AB ， ∴∠EDA ＝∠DAB ． 又∵∠EDA ＝∠ABF ， ∴∠DAB ＝∠ABF ． ∴AD ∥BC ． 又∵DC ∥AB ，∴四边形ABCD 是平行四边形． (2)∵EC ∥AB ，∴△OAB ∽△OED ． ∴OA OE ＝OB OD ． ∵AD ∥BC ，∴△OBF ∽△ODA ． ∴OB OD ＝OF OA ． ∴OA OE ＝OF OA ． ∴OA 2＝OE ·OF ．12．如图，AD ∥EG ∥BC ，EG 分别交AB ，BD ，AC 于点E ，F ，G ．若AD ＝6，BC ＝10，AE ＝5，AB ＝8．求EG 和FG 的长．解：在△ABC 中，∵EG ∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ， ∴EG BC ＝AE AB ，即EG 10＝58， 解得EG ＝254，∵EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ， ∴EF AD ＝BE BA ，即EF 6＝8－58， 解得EF ＝94，∴FG ＝EG －EF ＝254－94＝4．13．如图，在△NBE 中，点D ，C 分别在NE 和NB 上，DC ∥BE ，延长BE 到点A ，使AE ＝BE ，连接AD ，AC ，AC 交EN 于点M ．求证：DM ·NE ＝ME ·DN ．证明：∵DC ∥BE ，点A 在BE 延长线上， ∴△NDC ∽△NEB ，△DCM ∽△EAM ， ∴DN NE ＝DC BE ，DC AE ＝MD ME， 又∵BE ＝AE ，∴DN NE ＝MDME，∴DM ·NE ＝ME ·DN ．14．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N ． 求证：BM ＝MC ． 证明：∵DE ∥BC ， ∴△NEO ∽△MBO ． ∴NE MB ＝ON OM． 同理可得DN CM ＝ONOM ．∴DN CM ＝NE BM ． ∴DN NE ＝CM BM ． ∵DE ∥BC ，∴△ANE ∽△AMC ． ∴AN AM ＝NE MC． 同理可得AN AM ＝DNBM ．∴DN BM ＝NE MC ． ∴DN NE ＝BM MC ． ∴MC BM ＝BM MC ． ∴MC 2＝BM 2． ∴BM ＝MC ．15．探究与应用型问题(1)小明遇到一个问题：如图①所示，AD 是△ABC 的角平分线．求证：BD CD ＝ABAC．他通过思考发现：过点B 作BE ∥AC 交AD 的延长线于点E ，通过证三角形相似，可以解决问题(如图②)．请证明：BD CD ＝ABAC．(2)请你利用上述结论，解决下列问题：如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝6，∠ABC ＝60°，BD 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，AC 与BD 相交于点O ．则： ①AO OC ＝________；②ODCD ＝________．解：(1)证明：∵BE ∥AC ，BE 交AD 的延长线于点E ， ∴△BDE ∽△CDA ，∠E ＝∠DAC ， ∴BD CD ＝EB AC． 又∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠E ＝∠DAC ＝∠BAD ， ∴EB ＝AB ， ∴BD CD ＝AB AC ． (2)①13 ②32。
专题22.2平行线分线段成比例【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册举[含答案]
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专题22.2平行线分线段成比例【十大题型】【沪科版】【题型1辨别相似图形】【题型2相似多边形的性质运用】【题型3“A”模型中的平行线分线段成比例】【题型4“8”模型中的平行线分线段成比例】【题型5“X”模型中的平行线分线段成比例】【题型6“#”模型中的平行线分线段成比例】【题型7多种模型的综合平行线分线段成比例】【题型8平行线分线段成比例与重心、中位线的综合运用】【题型9作平行线构造平行线分线段成比例】【题型10 作垂线构造平行线分线段成比例】知识点1：相似多边形定义1：形状相同的图形叫做相似图形．定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比．性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．【题型1辨别相似图形】【例1】（23-24九年级·山东聊城·开学考试）1．下面各组图形中，不是相似形的是（ ）A．B．C．D．【变式1-1】（23-24九年级·安徽六安·期末）2．下列多边形一定相似的是（ ）A ．两个等腰三角形B ．两个平行四边形C ．两个正五边形D ．两个六边形【变式1-2】（23-24九年级·山西阳泉·期末）3．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式1-3】（23-24九年级·全国·期末）4．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是 ．【题型2 相似多边形的性质运用】【例2】（23-24九年级·河北邢台·期中）5．已知矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，下面四个矩形中与矩形ABCD 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式2-1】（23-24九年级·广东深圳·期末）6．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且EF AB ∥，矩形ABCD 与矩形BFEA 相似，则矩形BFEA 的面积为（ ）A ．16B ．403C ．323D ．163【变式2-2】（23-24九年级·海南海口·期末）7．如图是两个形状相同的举重图案，则x 的值是．【变式2-3】（23-24九年级·山西太原·期末）8．如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使AB 边落在AD 边上，点B 的对应点为点F ，折痕为AE ，展平后连接EF ；继续折叠该纸片，使FD 落在FE 上，点D 的对应点为点H ，折痕为FG ，展平后连接H G ．若矩形HECG ∽矩形ABCD ，1AD =，则CD 的长为（ ）．A ．0.5B 1CD 知识点2：平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图：如果123l l l ∥∥，则AB DEBC EF =，AB DE AC DF =，BC EF AC DF=．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例．【题型3 “A ”模型中的平行线分线段成比例】【例3】（23-24九年级·内蒙古包头·期末）9．如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若PQ MN ∥，点Q ，点M 在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N 表示的数是10，则点P 表示的数是（ ）A ．52B ．3C ．103D ．5【变式3-1】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）10．如图，在ABC V 中，DE BC ∥，DF AC ∥，则下列比例式中正确的是（ ）A ．BD DFAD AC=B ．BF AEFC EC=C ．BF DFFC AC=D ．BF CEFC AE=【变式3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）11．如图，在ABC V 中，D 、E 分别为AB AC 、边的中点，连接DE ，点F 为BC 边上一点，2BF FC =，连接AF 交DE 于点N ，则下列结论中错误的是（ ）A ．12AN AF =B ．23DN DE =C ．12AD AC =D ．12NE FC =【变式3-3】（23-24九年级·河南平顶山·期末）12．如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线1l ，3l ，4l ，2l 上，若直线123l l l ∥∥且相邻两直线间距离相等．若6AB =，4BC =，则2l ，3l 之间的距离为（ ）．A．5B．65C．125D．245【题型4“8”模型中的平行线分线段成比例】【例4】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）13．如图，DE BC∥，则下列比例式错误的是（）A．AD DEBD BC=B．AE ADEC BD=C．AB ACBD EC=D．AD AEAB AC=【变式4-1】（2024春·上海静安·九年级校考期中）14．已知ax bc=，求作x，那么下列作图正确的是（）A．B．C．D．【变式4-2】（2024春·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）15．如图，在平行四边形ABCD 中，ABC Ð的平分线BF 分别与AC 、AD 交于点E 、F ，3AB =，2FD =，则EFFB的值为（ ）A ．25B ．38C ．37D ．35【变式4-3】（2024春·全国·九年级专题练习）16．如图， 12l l ∥，:2:5AF BF =，:4:1BC CD =，则:AE EC 的值为（ ）A ．5:2B ．1:4C ．2:1D ．3:2【题型5 “X ”模型中的平行线分线段成比例】【例5】（23-24九年级·陕西渭南·期末）17．如图，123l l l ∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点、、A B C 和D E F 、、，已知32AB BC =，若10DF =，则DE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【变式5-1】（23-24九年级·山西晋中·期中）18．如图，直线123l l l ∥∥，直线AC 和DF 被直线1l 、2l 、3l 所截，2AB =，5BC =，6EF =，则DE 的长为（ ）A ．7B ．125C ．152D ．245【变式5-2】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）19．如图，123l l l ∥∥，直线a ，b 相交于点G ，与这三条平行线分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，下列比例式中错误的是（ ）A ．AB DEBG EG =B ．AG DGGC GF =C ．BE BGFC BC=D ．AD AGBE BG=【变式5-3】（2024春·吉林长春·九年级统考期末）20．如图 ，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝4，GD ＝2，DF ＝8，那么BCCE的值等于．【题型6 “#”模型中的平行线分线段成比例】【例6】（23-24九年级·江苏南京·期末）21．如图，123l l l ∥∥，则下列比例式成立的是（ ）A ．AB DEAC EF=B ．AB DEAC DF=C ．AB BEAC CF=D ．AB ADAC CF=【变式6-1】（23-24九年级·安徽六安·阶段练习）22．如图，AB CD EF ∥∥，20BF =．(1)若3AC =，5CE =，求DF 的长；(2)若:2:3AC CE =，求DF 的长．【变式6-2】（23-24九年级·贵州铜仁·期末）23．如图是某景区大门部分建筑，已知AD BE CF ∥∥，16m AC =，当:4:3DF DE =时，则AB 的长是（ ）A ．10mB ．11mC ．12mD ．13m【变式6-3】（23-24九年级·海南海口·期末）24．如图，123l l l ∥∥，若23AB BC =，6DF =，则DE 等于（ ）A ．2.4B ．3C ．3.6D ．4【题型7 多种模型的综合平行线分线段成比例】【例7】（23-24九年级·山东淄博·期末）25．如图，AB ，CD 相交于点E ，且AC ∥EF ∥DB ，点C ，F ，B 在同一条直线上，已知AC ＝p ，EF ＝r ，DB ＝q ，则p ，q ，r 之间满足的数量关系式是（ ）A ．111r q p+=B ．112p q r+=C ．111p q r+=D ．112q r p+=【变式7-1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）26．如图，在V ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在BC 边上，过点D 作DG //BC ，交AC 于点G ，过点E 作EH //AB ，交AC 于点H ，DG 的延长线与EH 的延长线交于点F ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．AD DGDB BC=B ．GF HCEC GH=C ．FH GHAD AG=D ．HE ECAB BE=【变式7-2】（23-24九年级·浙江温州·期末）27．如图，在ABCD Y 中，E ，F ，G 依次是对角线BD 上的四等分点，连结CG 并延长交AD 于点M ，连结MF 并延长交BC 于点H ．若,1MF MC MG ==，MH 的长为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8【变式7-3】（23-24九年级·浙江宁波·期中）28．如图， 点P 是平行四边形ABCD 内部一点， 过P 分别作AB 和BC 的平行线交平行四边 形ABCD 的四边于E F G H ，，，． 连结AC 分别交EG FH ，于M 和N ． 若四边形~FBGP 四边形EPHD ，且四边形FBCH 的面积是四边形`AFP E 的3倍． 下列选项正确的是（ ）A ．EP PH =B ．AN EP =C ．2AN MN =D ．2AM CM=【题型8 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合运用】【例8】（23-24九年级·山东枣庄·期中）29．如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，连接AE 、AF 、EF ．若菱形ABCD 的面积为16，则△AEF 的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【变式8-1】（23-24九年级·上海·期中）30．△ABC 中，AB=AC=10，重心G 到底边BC 的距离为2，那么AG= ．【变式8-2】（23-24九年级·安徽宿州·期末）31．如图，60AOB Ð=°，C 、D 是边OA 上的两点，且8,2OD CD ==，点P 是OB 上的一动点，连接PD ，点Q 是PD 的中点，连接CQ ，则CQ 的最小值为（ ）A ．1BCD ．2【变式8-3】（2024·福建泉州·模拟预测）32．设AX ，BY ，CZ 是ABC V 的三条中线，求证：AX ，BY ，CZ 三线共点．【题型9 作平行线构造平行线分线段成比例】【例9】（23-24九年级·广东河源·期末）33．AD 是ABC V 的中线，E 是AD 上一点，14AE AD =，BE 的延长线交AC 于F ，则AF FC的值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17【变式9-1】（23-24九年级·重庆·期中）34．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 边中点，G 为BC 边上一点，连接AE ，DG ，相交于点F ．若45DF FG =，则FE 的长度是（ ）A B C ．12D ．47【变式9-2】（23-24九年级·浙江湖州·期末）35．如图△ACB ，∠ACB=90°，点O 是AB 的中点，CD 平分∠BCO 交AB 于点D ，作AE ⊥CD分别交CO 、BC 于点G ，E ． 记△AGO 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，当12S S ＝25时，则OG BC 的值是（ ）A ．25B ．13C ．411D ．38【变式9-3】（23-24九年级·广西·期中）36．如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，P ,Q 为BC 边上的点，且BP=PQ=CQ ，BM 与AP ,AQ 分别交于D ,E 点，则BD ∶DE ∶EM 等于A ．3∶2∶1B ．4∶2∶1C ．5∶3∶2D ．5∶2∶1【题型10 作垂线构造平行线分线段成比例】【例10】（2024·浙江绍兴·一模）37．有一种有趣的读数法：如图，在图纸上确定纵轴与横轴，从交点O 处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP ，OP 上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA =a ，OB =b ，读出直尺与OP 的交点C 的标度就可以求出OC 的长度．当a =4，b =6时，读得点C 处的标度为（）A ．125B C ．245D 【变式10-1】（23-24九年级·浙江·周测）38．如图，在ABC 中，90A Ð=°，6AB =，10BC =，ABC Ð的平分线交AC 于点D ，与BC 的垂线CE 相交于点E ，则:BD DE 为（ ）A ．3:2B ．5:3C ．4:3D ．2:1【变式10-2】（23-24九年级·山东聊城·期末）39．如图，正方形ABCD 边长为3，G ，F 是对角线BD 的三等分点，点E 在边AB 上，EG AD ∥，连接FC ．(1)求EF 的长．(2)试判断EF 与FC 之间的位置关系，并说明理由．【变式10-3】（23-24九年级·广东佛山·期中）40．如图，在四边形ACBD 中，对角线AB CD ，相交于点O ，9010ACB BD CD Ð=°==，，16BC =，若2DAB ABC Ð=Ð，则AD AB 的值为 ．1．B【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决．【详解】解：A、两幅国旗相似，故不符合题意；B、顶角不相等的两个等腰三角形不相似，故符合题意；C、两个五角星相似，故不符合题意；D、所有的圆都相似，故不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查的是相似图形的识别，我们把形状相同的图形称为相似形．关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．2．C【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似形的定义（如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似）是解题的关键．根据相似三角形的定义逐项判断即可．【详解】解：A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不正确；B、两个平行四边形对应角度及对应边都不一定成比例，所以不一定相似，故B不正确；C、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故C正确；D、两个正六边形相似，但是两个六边形并不一定相似，故D不正确．故选C．3．A【分析】根据图形相似的概念进行解答即可．【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似，故选：A．【点睛】本题考查了两个图形的相似，掌握相似多边形的概念（即边数相同的两个多边形，如果对应角相等，对应边成比例）是解题的关键．4．②③【分析】根据正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质进行判断即可．【详解】①所有的等腰三角形都相似，错误；②所有的正三角形都相似，正确；③所有的正方形都相似，正确；④所有的矩形都相似，错误．故答案为②③．【点睛】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．5．A【分析】验证对应边是否成比例即可判断．【详解】解：A：432 1.5=，符合题意；B：4332¹，不符合题意；C：432 1.2¹，不符合题意；D：432.52¹，不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了相似多边形的判定．熟记定理内容即可．6．C【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明224469ABEFBCDAS ABS BCæöæö===ç÷ç÷èøèø矩形矩形，从而可得答案．【详解】解：∵矩形ABFE∽矩形BCDA，4AB=，6BC=，∴224469ABEFBCDAS ABS BCæöæö===ç÷ç÷èøèø矩形矩形，4624ABCDS=´=矩形，∴323ABEFS=矩形，故选：C．7．22.5【分析】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．根据相似多边形的性质：对应线段的比等于相似比列式求解即可．【详解】解：由题意得，30:20:15x=∴22.5x =．故答案为：22.5．8．C【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解题关键，设CD x =，则()1,1EC x CG x x =-=--，根据两矩形相似求出即可．【详解】解：在矩形ABCD 中，设CD x =，则AB CD x ==，1AD BC ==，由翻折得,90AB AF x AFE B BAF ==Ð=Ð=Ð=°，\四边形ABEF 是正方形，同理，四边形DFHG 是正方形，,1BE AB x DF DG x \====-，()1,121CE x CG x x x \=-=--=-，Q 矩形HECG ∽矩形ABCD ，EC CG BC CD \=，即1211x x x--=，解得：x ，经检验，xCD \=故选：C ．9．C【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．【详解】解：∵PQ MN ∥，∴13OP OQ ON OM ==，∵10ON =，∴103OP =．故选：C ．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，数轴，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．10．D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．【详解】解：A ．由DF AC ∥，得BD DF BA AC =，故A 选项错误；B ．由DF AC ∥，得BF BD FC DA =，又由DE BC ∥，得BD CE DA EA =，则BF CE FC EA =，故B 选项错误，D 选项正确；C ．由DF AC ∥，得BF DF BC AC =，故C 选项错误；故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．11．C【分析】根据平行线分线段成比例定理，可推出AN NF =,根据中位线定理分析求解．【详解】解：∵D 、E 分别为AB AC 、边的中点，∴DE BC ∥.∴1AD AN DB NF ==∴12AN AF =,11,22NE CF DN BF == .∴12NE FC =.∵2BF FC =，∴2DN NE =.∴23DN DE =.所以，A,B,D 正确，C 错误；故选：C【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，中位线定理；由平行线的位置关系得到线段间数量关系是解题的关键．12．C【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，矩形的性质，勾股定理以及平行线的定义等知识，熟练掌握平行线分线段成比例以及平行线之间等距离是解答本题的关键．过A 点作3AN l ^于点N ，交2l 于点M ，根据平行线分线段成比例以及平行线之间等距离可得1AE AM EB NM ==，进而可得132AE EB AB ===，再利用勾股定理可得5ED ==，结合三角形的面积即可求解．【详解】过A 点作3AN l ^于点N ，交2l 于点M ，如图，∵在矩形ABCD 中，4BC =，∴4AD BC ==，90BAD Ð=°，∵直线123l l l ∥∥且相邻两直线间距离相等，3AN l ^，∴AM NM =，∴1AE AM EB NM==，∵6AB =，∴132AE EB AB ===，∴在Rt EAD V 中，5ED ==，∵11S 22EAD AE AD AM ED =´´=´´V ，∴125AE AD AM ED ´==，∴125MN AM ==，故选：C ．13．A 【分析】根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案．【详解】解：∵DE //BC ，∴,,AD AE AB AC AD AE BD EC BD EC AB AC===；∴A错误；故选：A．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案．14．C【分析】根据平行线分线段成比例结合题意，依次对各选项进行判断即可．【详解】∵ax bc=，∴a cb x=或a bc x=．A．作出的为a a xb b c+=+，故不符合题意；B．该情况无法作图，故不符合题意；C．作出的为a cb x=，故符合题意；D．作出的为a cx b=，故不符合题意；故选C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，第四比例线段的作法．熟练掌握定理是解题的关键．15．B【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠AFB=∠CBF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=3，又FD=2，∴BC=AD=AF+FD=5，∵AD∥BC，∴35=EF AF BE BC =，∴38EF FB =，故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．16．C【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据12l l ∥可证GAF DBF V V ∽，GAE DCE ∽△△，利用相似三角形对应边成比例即可求解．【详解】解：Q 12l l ∥，\GAF DBF Ð=Ð，AGF BDF Ð=Ð，\GAF DBF V V ∽，\25AF GA BF DB ==，Q :4:1BC CD =，\15CD DB =，\21255GA DC =¸=，Q 12l l ∥，\GAE DCE Ð=Ð，AGE CDE Ð=Ð，\GAE DCE ∽△△，\2GA AE DC CE==，\:2:1AE EC =，故选C ．17．D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据题意可得AB DE BC EF=，设DE x =，则10EF x =-，由此即可求解，掌握平行线的分线段成比例，比例的性质，解方程的方法是解题的关键．【详解】解：根据题意可得，32AB DE BC EF ==，设DE x =，则10EF x =-，∴3210x x =-，解得，x =6，∴DE 的长为6，故选：D ．18．B【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得出比例式代入即可．【详解】解：Q 123l l l ∥∥，\AB DE BC EF=，256DE \=，125DE \=．故选B ．19．C【分析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可．【详解】解：A 、∵123l l l ∥∥，∴AB DE BG EG=，结果正确，故本选项不符合题意；B 、∵123l l l ∥∥，∴AG DG GC GF=，结果正确，故本选项不符合题意；C 、∵123l l l ∥∥，∴BE BG FC GC=，结果错误，故本选项符合题意；D 、∵123l l l ∥∥，∴AD AG BE BG=，结果正确，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．20．34##0.75【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【详解】解：////AB CD EF Q ，,BC AD AG GD CE DF DF+\==4,2,8,AG GD DF ===Q 423,84BC AD AG GD CE DF DF ++\====故答案为：3.4【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解此题的关键．21．B【分析】根据平行线分线段比例定理，得到对应的线段成比例，判断出正确的选项．【详解】解：∵123l l l ∥∥，∴AB DE AC DF=，故选：B ．【点睛】本题考查平行线分线段比例定理，解题的关键是掌握这个定理，根据平行的条件得到对应的线段成比例．22．(1)12.5DF =(2)12DF =【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．（1）由平行分线段成比例得出AC BD CE DF=，再代入数值计算；（2）由平行线分线段成比例的性质得出23BD DF =，再代入计算．【详解】（1）AB CD EF ∥∥Q ，\=AC BD CE DF，3AC =Q ，5CE =，20BF =，3205DF DF-\=，解得12.5DF =；（2）AB CD EF ∥∥Q ，:2:3AC CE =，23AC BD CE DF \==.20BF =Q ，2023DF DF -\=，解得12DF =．23．C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到43DF AC AB DE ==，再由16m AC =可得结果．【详解】解：∵AD BE CF ∥∥，∴43DF AC AB DE ==，∵16m AC =，∴12m AB =，故选C ．24．C【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，得到,DE EF 的关系，再根据6DF =可得到答案，正确运用定理找准对应关系是解题的关键．【详解】解：∵123l l l ∥∥，23AB BC =，∴32AB DE BC EF ==，∴35DE DF =，∵6DF =，∴3186 3.655DE =´==，故选：C ．25．C 【分析】根据平行线分线段成比例，可证得EF BF AC BC =，EF CF BD BC=，两式相加即可得出结论．【详解】解：//AC EF Q ，\EF BF AC BC=，//EF DB Q ，\EF CF BD BC =，\1EF EF BF CF BF CF BC AC BD BC BC BC BC ++=+===，即1r r p q +=，\111p q r+=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键．26．C【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行逐一判断即可．【详解】解：∵DG //BC ，∴AD DG AB BC=，故A 选项错误；∵DG //BC ，∴GF GH EC HC=，故B 选项错误；∵EH //AB ，∴FH GH AD AG=，故C 选项正确；∵EH //AB ，∴HE EC AB BC=，故D 选项错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是熟知平行线分线段成比例的性质．27．D【分析】根据AD ∥BC ，得到MD MG DG BC CG BG==，根据四等分点和MG 得到CG ，可得MC =MF =4，再证明1DF MF BF FH==可得HF ，可得MH ．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴MD MG DG BC CG BG==，∵E ，F ，G 依次是对角线BD 上的四等分点，MG =1，∴113DG CG BG ==，∴CG =3，∴MF =MC =MG +CG =4，∵AD ∥BC ，∴1DF MF BF FH==，∴HF =4，∴MH =MF +HF =8，故选D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，解题的关键是根据平行线得到相应的比例式．28．D【分析】设EP x PH y BF kx BG ky ====，，，，利用平行线分线段成比例定理求得GM x FN y EM kx NH ky ====，，，，再利用已知条件求得2k =，据此即可求解．【详解】解：∵点P 是平行四边形ABCD 内部一点， 过P 分别作AB 和BC 的平行线交平行四边形ABCD 的四边于E F G H ，，，．四边形~FBGP 四边形EPHD ，∴四边形PFBG DEPH ，都是平行四边形，且相似，设EP x PH y BF kx BG ky ====，，，，∵FN BC ∥，∴FN AF GM GC BC AB AB BC==，，即(1)(1)(1)(1)FN x GM y k y k x k x k y ==++++，，∴GM x FN y EM kx NH ky ====，，，，∴CGM NFA CNH MAE ≌，≌，△△△△∴PGCH AFPE S S =四边形四边形，∵四边形FBCH 的面积是四边形`AFP E 的3倍．∴(1)3k y y+=，∴2k =，∴EP PH =、AN EP =、2AN MN =都不成立，2AM CM =成立，故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．29．D【分析】连接AC 、BD ，交于点O ，AC 交EF 于点G ，根据菱形性质可得菱形面积公式，然后根据三角形中位线定理得EF 与BD 关系，最后根据三角形面积公式代入计算可得答案．【详解】解：连接AC 、BD ，交于点O ，AC 交EF 于点G ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AO =OC ，菱形ABCD 的面积为：12AC •BD ，∵点E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，∴EF ∥BD ，EF =12BD ，∴AC ⊥EF ，CF CG DF OG =，∴OG =CG ，∴AG =3CG ，设AC =a ，BD =b ，∴12ab =16，即ab =32，S △AEF =12EF •AG =12×12b ×34a =316ab =6．故选：D ．【点睛】此题考查的是菱形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理，能够利用三角形面积公式得到答案是解决此题关键．30．4【分析】过点D 作//DE BF 交AC 于点E ，首先利用重心的概念和平行线分线段成比例得出2AG AF GD EF==，然后代入计算即可．【详解】如图，过点D 作//DE BF 交AC 于点E ，∵G 是△ABC 重心，∴AD ，BF 都是△ABC 的中线，,AF CF BD DC \==．//DE BF Q ，12CE EF CF \==， 2AF EF \= ．//DE BF Q ，2AG AF GD EF\==． 2GD =Q ，4AG \=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握重心的概念和平行线分线段成比例的性质是解题的关键．31．B【分析】取OD 的中点M ，连接MQ ，过点C 作CQ MQ ¢^于点Q ¢，得MQ 是DOP △的中位线，连接DQ ¢并延长交OB 于点P ¢，可得Q 点的运动轨迹是射线MQ ，所以得CQ 的最小值为CQ ¢的长，然后利用含30度角的直角三角形性质即可解决问题．本题考查了三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，轨迹，解决本题的关键是得到Q 点的运动轨迹是射线MQ ．【详解】解：如图，取OD 的中点M ，连接MQ ，过点C 作CQ MQ ¢^于点Q ¢，Q 点Q 是PD 的中点，MQ \是DOP △的中位线，MQ 始终与OB 平行，连接DQ ¢并延长交OB 于点P ¢，∴1DM DQ OM Q P ¢=¢=¢DQ Q P ¢¢¢\=，Q \点的运动轨迹是射线MQ ，CQ \的最小值为CQ ¢的长，60CMQ AOB ¢Ð=Ð=°Q ，8OD =，M 是OD 的中点，142MD OD \==，2CD =Q ，2MC MD CD \=-=，112MQ MC ¢\==，CQ \=¢=¢CQ \故选：B32．见解析【分析】令,AX CZ 相交于点E ，延长AX ，使XE XD =，连接BD ，CD ，证明四边形BDCE 是平行四边形，则BE CD ∥，BD CE ∥，再证明ZE 为ABD △中位线，则点E 为AD 中点，最后证明EY 为ABD △中位线，得出EY CD ∥，即可根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，进行求证．【详解】解：令,AX CZ 相交于点E ，延长AX ，使XE XD =，连接BD ，CD ．∵AX 是ABC V 的中线，∴BX CX =，∵XE XD =，∴四边形BDCE 是平行四边形，∴BE CD ∥，BD CE ∥，∵CZ 是ABC V 的中线，∴点Z 为AB 中点，BD CE∥∴12AE AZ AD AB ==，∴ZE 为ABD △中位线，即点E 为AD 中点，∵BY 是ABC V 的中线，∴点Y 为AC 中点，BE CD∥∴12AE AY AD AC ==，∴EY 为ABD △中位线，∴EY CD ∥，∵EY CD ∥，BE CD ∥，∴点B 、E 、Y 在同一条直线上，∴AX ，BY ，CZ 三线共点．【点睛】本题主要考查了三角形重心的证明，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线的判定和性质，以及在平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．33．C【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作DH BF ∥交AC 于H ，根据三角形中位线定理得到FH HC =，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．【详解】解：作DH BF ∥交AC 于H ，∵AD 是ABC V 的中线，∴BD DC =，∴FH HC =，∵DH BF ∥，且14AE AD =∴13AF AE HF ED ==， ∴16AF FC =：：，故选：C34．A【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正方形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．作FH BC ∥交CD 于H ，则45DH DF HC FG ==，根据E 为CD 边中点，得19HE ED =，再根据FH AD ∥，得19FE HE AE DE ==，根据勾股定理得AE =FE ．【详解】解：如图，作FH BC ∥交CD 于H ，则45DH DF HC FG ==，E Q 为CD 边中点，\19HE ED =，FH AD Q ∥，\19FE HE AE DE ==，AE ==QFE \故选：A ．35．D【分析】连接BG ，过点O 作OT ∥AE 交BC 于点T ，首先证明41AG EG =，再利用平行线分线段成比例求解即可．【详解】解：如图所示，连接BG ，过点O 作OT ∥AE 交BC 于点T ，∵点O 是AB 的中点，∴AO =OB ，∴AOG OBG S S =n n ，∵25AOG ABE S S =n n ，∴41ABG BEG S S =n n ，∴41AG EG =，∵OT ∥AE ，AO =BO ，∴ET =TB ，∴OT =12AE ，∴25GE OT =，∵AE ⊥CD ，CD 平分∠BCO ，∴∠DCG =∠DCE ，∴∠CGE +∠DCG =90°，∠CEG +∠DCB =90°，∴∠CGE =∠CEG ，∴CG =CE ，∵∠CGE =∠COT ，∠CEG =∠CTD ，∴∠COT =∠CTD ，∴CO =CT ，∴OG =ET ，∵GE ∥OT ，∴25CE GE CT OT ==，∴23CE ET =，∴38OG BC =，故选：D ．【点睛】题目主要考查平行线分线段成比例，三角形的面积，三角形中位线定理等，理解题意，学会添加辅助线，构造平行线是解题关键．36．C【分析】过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设BC=3a ，则BP=PQ=QC=a ；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD 、BE 、BM 的长度，再来求BD ，DE ，EM 三条线段的长度，即可求得答案．【详解】过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设3BC a =，则BP PQ QC a ===；∵AM CM =，AF ∥BC ，∴1AF AM BC CM==，∴3AF BC a ==，∵AF ∥BP ，∴133BD BP a DF AF a ===，∴34DF BF BD ==，∵AF ∥BQ ，∴2233BE BQ a EF AF a ===，∴23EF BE =，即25BF BE =，∵AF ∥BC ，∴313BM BC a MF AF a===，∴BM MF =，即2BF BM =，∴235420BF BF BF DE BE BD =-=-=，22510BF BF BF EM BM BE =-=-=，∴3::::53242010BF BF BF BD DE EM ==：：．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例的性质，正确作出辅助线是关键．37．A【分析】通过分别向横轴和纵轴作辅助线得到等腰三角形，建立线段之间的对应关系，同时利用平行线分线段成比例的推理，建立比例关系式即可求解．【详解】解：如图所示，过C 点分别向OA 、OB 作垂线，垂足分别为点D 、点E ，因为∠AOB =90°，OP 平分∠AOB ，∴∠BOC =∠AOC =45°，∴∠BOC =∠OCE =∠AOC =∠OCD =45°，∴OE =CE =CD =OD ,设OE =CE =CD =OD =x ,∴BE =6-x ，∵CE ∥OA ，∴BE CE OB OA =,∴664x x -=，∴125x =，∵OP 上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,∴点C 处的标度等于CD 的长，即为125，故选：A ．【点睛】本题综合考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义和平行线分线段成比例定理的推论等内容，解决本题的关键是正确理解题意与图形，能在图形中得到对应等量关系，能正确作出辅助线构造相似三角形等，本题蕴含了数形结合等思想方法．38．A【分析】过点D 作DF BC ^于点F ，由勾股定理得8AC =，再由角平分线的性质得DA DF =，进而由面积法求出3DF =，则5CD AC DA =-=，然后由勾股定理得4CF =，则6BF =，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：过点D 作DF BC ^于点F ，∵90A Ð=°，6AB =，10BC =，∴DA BA ^，8AC ===，∵BD 平分ABC Ð，DF BC ^，∴DA DF =，∵ABC ABD BCD S S S =+△△△，∴111222AB AC AB DA BC DF ×=×+×，∴68610DF DF ´=+，。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似 4.1成比例线段第1课时比例线段同步练习及答案
1 第1课时 成比例线段知识点 1 线段的比1．下列说法中正确的有( )①两条线段的比是两条线段的长度之比，比值是一个正数；②两条线段的长度之比是同一单位下的长度之比；③两条线段的比值是一个数量，不带单位；④两条线段的比有顺序，a b 与b a 不同，它们互为倒数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使CA ＝3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为( )A ．3∶4B ．2∶3C ．3∶5D ．1∶2知识点 2 成比例线段3．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( )A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，34．教材随堂练习第3题变式题若线段a ，b ，c ，d 成比例，其中a ＝3 cm ，b ＝6 cm ，c ＝2 cm ，则d ＝__________．知识点 3 比例的基本性质5．已知x 2＝y 3，那么下列式子中一定成立的是( ) A ．2x ＝3y B ．3x ＝2yC ．x ＝2yD ．xy ＝66．若3a ＝5b ，则a b＝________．7．等边三角形的一边与这条边上的高的比是( ) A.3∶2 B.3∶1C ．2∶ 3D ．1∶ 38．如果a ＋2b b ＝52，那么a b的值是( ) A.12 B ．2 C.15D ．5 9．如图4－1－1所示，已知矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′，AB ＝8 cm ，BC ＝12 cm ，A ′B ′＝4 cm ，B ′C ′＝6 cm.(1)求A ′B ′AB 和B ′C ′BC的值； (2)线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段吗？图4－1－110．教材习题4.1第2题变式题如图4－1－2，已知AD DB ＝AE EC，AD ＝6.4 cm ，DB ＝4.8 cm ，EC ＝4.2 cm ，求AC 的长．图4－1－211．已知三条线段的长度分别是4，8，5，试写出另一条线段的长度，使这四条线段为成比例线段．1．D.2．A .3．B 4.4 cm 5.B 6.53 7.C8．A9．解：(1)∵AB ＝8 cm ，BC ＝12 cm ，A ′B ′＝4 cm ，B ′C ′＝6 cm ， ∴A ′B ′AB ＝48＝12，B ′C ′BC ＝612＝12.(2)由(1)知A ′B ′AB ＝12，B′C ′BC ＝12，∴A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ，∴线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段．10．解：∵AD DB ＝AE EC ，∴6.44.8＝AE 4.2，解得AE ＝5.6(cm)，则AC ＝AE ＋EC ＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．11．解：设所求的线段长度为x .当x ∶4＝8∶5时，可求得x ＝325；当x ∶4＝5∶8时，可求得x ＝208＝52；当4∶8＝5∶x 时，可求得x ＝404＝10.所以所求的线段长度可能为325或52或10.。
专题22.1比例线段-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列(沪科版)[含答案]
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专题22.1 比例线段【十大题型】【沪科版】【题型1 由成比例线段直接求值】 【题型2 比例尺】【题型3 由比例的性质判断结论正误】 【题型4 由比例的性质求参数的值】【题型5 由比例的性质求代数的值】 【题型6 由比例的性质进行证明】 【题型7 由比例的性质比较大小】 【题型8 比例的应用】 【题型9 由黄金分割求值】 【题型10 黄金分割的应用】知识点1：成比例线段1.比例的项：在比例式::a b c d =（即a cb d=）中，a ，d 称为比例外项，b ，c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a bb c=）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足2b ac =．2.成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1 由成比例线段直接求值】【例1】（23－24九年级·上海宝山·期中）1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）A ．2cm 3cm 4cm 6cm ，，，B ．2cm 3cm 4cm 5cm ，，，C ．1cm 2cm 3cm 4cm ，，，D ．3cm 4cm 6cm 9cm ，，，【变式1－1】（23－24九年级·广东梅州·期中）2．根据45a b =，可以组成的比例有（ ）A ．:5:4a b =B ．:4:5a b =C ．:4:5a b =D ．:54:a b=【变式1－2】（23－24九年级·浙江嘉兴·期中）3．已知:1:2a b =，且210a b +=．(1)求a 、b 的值；(2)若c 是a 、b 的比例中项，，求c 的值．【变式1－3】（23－24九年级·全国·课后作业）4．如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高线，试猜想线段AC ，AB ，CD ，BC 是否成比例．如果成比例，请写出这个比例式，并进行验证；如果不成比例，请说明理由.【题型2 比例尺】【例2】（2024·江苏泰州·三模）5．为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为2.2km ，当地图上比例尺由11000∶变为1500∶时，则地图上两个校区的路程增加了cm ．【变式2－1】（23－24九年级·江苏无锡·期末）6．在某市建设规划图上，城区南北长为120cm ，该市城区南北实际长为36km ，则该规划图的比例尺是 ．【变式2－2】（23－24九年级·上海奉贤·期中）7．如果一幅地图的比例尺为1:50000，那么实际距离是3千米的两地在地图上的图距是（ ）A ．6厘米B ．15厘米C ．60厘米D ．150厘米【变式2－3】（23－24九年级·陕西西安·期末）8．西安市大雁塔广场占地面积约为667000m 2，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积大约相当于（ ）A ．一个篮球场的面积B ．一张乒乓球台台面的面积C ．《华商报》的一个版面的面积D ．《数学》课本封面的面积知识点2：比例的性质比例的性质示例剖析（1）基本性质：()a cad bc bd bd=Û=¹0x yx y =Û3=223（2）反比性质：()a c b dabcd b d a c=Û=¹023(0)23x y xy x y=Û=¹（3）更比性质：a c a b b d c d=Û=或(0)d cabcd b a=¹x y x y 2=Û=233或3(0)2y xy x =¹（4）合比性质：(0)a c a b c dbd b d b d++=Û=¹223(0)33x x y y y y ++=Û=¹（5）分比性质：(0)a c a b c dbd b d b d--=Û=¹332(0)22y y x x x x --=Û=¹（6）合分比性质：a c a b c d bd a b c d++=Û=--(0,,)bd a b c d ¹¹¹223(0,)323x x y y x y y x y ++=Û=¹¹--（7）等比性质：(0)a c mb d n b d n ===+++¹L L (0)a c m ab d n b d n b+++Þ=+++¹+++L L L 已知x y z234==，则当0x y z ++¹时，x y z x y z2342+3+4===++．【题型3 由比例的性质判断结论正误】【例3】（23－24九年级·江苏淮安·阶段练习）9．若34x y =，则下列各式中不正确的是（ ）A ．74x y y +=B ．14x y y -=C ．43x y=D ．2113x y x +=【变式3－1】（23－24九年级·河南平顶山·期中）10．下列结论中，错误的是（ ）A ．若45a c =，则45a c =B ．若16a b b -=，则76a b =C ．若23a cb d ==（b ﹣d ≠0），则23a c b d -=-D ．若34a b =，则a ＝3，b ＝4【变式3－2】（23－24九年级·山东泰安·期中）11．若a cb d=（a 、b 、c 、d 、m 均为正数），则下列结论错误的是（ ）A ．ad bc=B ．2222a cb d =C ．22ad c b ad=D ．a m cb m d+=+【变式3－3】（2024·甘肃陇南·一模）12．某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ） 舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432A ．舞蹈社不变，溜冰社减少B ．舞蹈社不变，溜冰社不变C ．舞蹈社增加，溜冰社减少D ．舞蹈社增加，溜冰社不变【题型4 由比例的性质求参数的值】【例4】（23－24九年级·河南郑州·期末）13．已知222a b ck b c a c a b===+++，则k =（ ）A ．1B ．1±C ．1或2-D ．2【变式4－1】（23－24九年级·安徽亳州·阶段练习）14．已知a ，b ，c 满足438324a b c +++==且12a b c ++=，试求a ，b ，c 的值．【变式4－2】（2024春·安徽蚌埠·九年级校考期末）15．已知a ，b ，c 为ABC V 的三边长，且36a b c ++=，345a b c ==．(1)求线段a ，b ，c 的长；(2)若线段x 是线段a ，b 的比例中顶（即a xx b=），求线段x 的长．【变式4－3】（23－24九年级·山东烟台·期中）16．如果()0a c ek b d f b d f===++¹，且()3a c e b d f ++=++，那么k 的值是（ ）A ．2B ．3C ．13D ．12【题型5 由比例的性质求代数的值】【例5】（23－24九年级·四川眉山·阶段练习）17．如果312234x y z +--==，且18x y z ++=，则2x y z --的值为 ．【变式5－1】（23－24九年级·山东青岛·期末）18．已知()2520b a c b d d +=¹=，则22a c b d++的值为 ．【变式5－2】（23－24九年级·陕西西安·期中）19．已知532a b c==．(1)求a bc+的值；(2)若29a b c +-=，求2a b c -+的值．【变式5－3】（23－24九年级·四川乐山·期末）20．已知a b c 、、满足112234a b c -+-==，试求222a b c +-的最大值 ．【题型6 由比例的性质进行证明】【例6】（23－24九年级·山东淄博·期末）21．已知a ，b ，c ，d 为四个不为0的数．(1)如果3a b=，求a bb +与a b a b -+的值；(2)如果(),a ca b c d b d =¹¹，求证a c b a d c=--；(3)如果a c ab d b +=+，求证ac b d=．【变式6－1】（2024九年级·全国·专题练习）22．已知==ax by cz ，且1111x y z ++=.求证：()3323232a x b y c z a b c ++=++.【变式6－2】（23－24九年级·全国·单元测试）23．已知::a b c d =，且b nd ¹，求证：a a ncb b nd-=-．【变式6－3】（23－24九年级·重庆大渡口·期末）24．材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x ，y ，z 满足y z z x x yk x y z +++===，求2x y z --的值”时，采用了引入参数法k ，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出x ，y ，z 之间的关系，从而解决问题.过程如下：解；设y z z x x yk x y z+++===，则有：y z kx +=，z x ky +=，x y kz +=，将以上三个等式相加，得()()2x k z k x y z ++=++.Q x ，y ，z 都为正数，\2k =，即2y zx+=，.\20x y z --=.仔细阅读上述材料，解决下面的问题：（1）若正数x ，y ，z 满足222x y zk y z z x x y===+++，求k 的值；（2）已知()()23a b b c c aa b b c c a +++==---，a ，b ，c 互不相等，求证：8950a b c ++=.【题型7 由比例的性质比较大小】【例7】（23－24九年级·河北保定·期末）25．若275x y z ==，设y A x y z =++，x z B y +=，x y zC x +-=，则A 、B 、C 的大小顺序为（ ）A ．A B C>>B ．A B C<<C ．C A B>>D ．A C B<<【变式7－1】（23－24九年级·浙江杭州·期中）26．如果a ，b ，c 满足b c a b ==，则a ，b ，c 之间的关系是（ ）A ．a b c=+B ．a b c >+C ．a b c <+D ．222a b c =+【变式7－2】（2024九年级·北京西城·专题练习）27．已知0257a b c ==¹，设1x a b c =++， a cy b +=， a b c z a +-=，试判断x ，y ，z 的大小关系．【变式7－3】（23－24九年级·广东珠海·期末）28．已知a ，b ，c ，d 都是互不相等的正数.（1）若2a b =，2cd =，则b a d c，a c b d （用“＞”，“＜”或“=”填空）；（2）若,a c b d=请判断b a b +和dc d+的大小关系，并证明；（3）令,a b t cd==若分式232a c b da cb d ++-+--的值为3，求t 的值.【题型8 比例的应用】【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）29．如图，以O 为支点，木棍OA 所受的重力为G ．根据杠杆原理，在A 处需一竖直向上的拉力F 才能保持木棍不动，若向上的拉力F 与重力G 大小之比为3:7，6cm OD =，则CD 的长为 ．【变式8－1】（2024春·四川成都·九年级校考期中）30．在同一时刻物高与影长成比例，小莉量得综合楼的影长为 6 米，同一时刻她量得身高 1.6米的同学的影长为 0.6 米，则综合楼高为米．【变式8－2】（2024春·广东茂名·九年级统考期中）31．装修一间客厅，用边长5分米的方砖铺地，需要80块，如果改用边长4分米的方砖铺地，需要多少块？【变式8－3】（2024春·四川成都·九年级成都七中校考期中）32．国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有2.5公里，总建筑面积147万平方米，地上建筑面积127万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体.小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为0.5厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为9.7厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答）知识点3：黄金分割若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =×）C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中0.618AC AB AB =»，0.382.BC AB AB =»，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）【题型9 由黄金分割求值】【例9】（2024·内蒙古包头·三模）33．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 4个结论：①36A Ð=°，②PB =，③PA AD =，④PT PA =．请填写你认为正确的结论序号： ．【变式9－1】（23－24九年级·河北保定·期末）34．如图，已知点C ，D 都是线段AB 的黄金分割点，如果4CD =，那么AB 的长度是（ ）A ．2B ．6-C ．8+D ．2【变式9－2】（23－24九年级·山东青岛·期末）35．射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD 的边BC 取中点O ，以O 为圆心，线段OD 为半径作圆，其与边BC 的延长线交于点E ，这样就把正方形ABCD 延伸为黄金矩形ABEF ，若4CE =，则AB = ．【变式9－3】（23－24九年级·河南许昌·期末）36．如图，已知线段2AB =，经过点B 作BD AB ^，使12BD AB =，连接AD ，在AD 上截取DE BD =；在AB 上截取AC AE =，则:=AC AB ．【题型10 黄金分割的应用】【例10】（2024九年级·黑龙江大庆·学业考试）37．古希腊时期，0.618»，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【变式10－1】（2024·广东·二模）38．如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为2cm，则眼梢到鼻翼的距离为cm． 2.236»，结果保留两位小数）【变式10－2】（23－24九年级·山东德州·阶段练习）39．如图1在线段AC 上找一个点B ，B 把AC 分成AB 和BC 两段，其中AB 是较小的一段，满足AB BC BC AC =：：，则B 为线段AC 的黄金分割点．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图2，B 为AC 的黄金分割点（AB BC >)，AC 长度为15cm ，则AB 的长度cm ；(结果用根号表示)【变式10－3】（23－24九年级·陕西西安·阶段练习）40．鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P 是AB 的黄金分割点（AP BP >），若线段AB 的长为10cm ，则BP 的长为 cm ．（结果保留根号）1．A【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答【详解】解：A ．∵2634´=´，∴四条线段成比例，符合题意；B ．∵2534´¹´，∴四条线段不成比例，不符合题意；C ．∵1423´¹´，∴四条线段不成比例，不符合题意；D ．∵3946´¹´，∴四条线段成比例，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．2．A【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，进行计算即可解答．【详解】解：Q 45a b =，\:5:4a b =，故选：A ．3．(1)2a =，4b =；(2)c =±．【分析】本题考查了比例及比例中项，解题的关键是正确理解其概念．（1）利用:1:2a b =，可设a k =，2b k =，则410k k +=，然后解出k 的值即可得到a 、b 的值；（2）根据比例中项的定义得到2c ab =，即28c =，然后根据平方根的定义求解；【详解】（1）解：∵:1:2a b =，∴设a k =，2b k =，∵210a b +=，∴410k k +=，∴2k =，∴2a =，4b =；（2）∵c 是a 、b 的比例中项，∴28c ab ==，∴c =±4．线段AC ，AB ，CD ，BC 成比例，且AB BC AC CD=，理由见解析【分析】根据直角三角形的面积公式，得1122AB CD AC BC ×=×，整理变形即得答案.【详解】解：线段AC ，AB ，CD ，BC 成比例，且AB BC AC CD =（或AB AC BC CD =）.验证如下：根据三角形的面积公式，得1122AB CD AC BC ×=×，所以AB CD AC BC ×=×，即AB BC AC CD =.【点睛】本题以直角三角形为依托，主要考查成比例线段的性质，即若a cb d =，则ad=bc ，反之也成立，即若ad=bc ，则a c b d=.解题的关键是由直角三角形的面积得出AB CD AC BC ×=×.5．220【分析】本题考查了比例尺的运用，掌握比例尺的计算方法是解题的关键．根据=图上距离比例尺实际距离进行计算即可求解，计算时注意单位的换算，单位要统一．【详解】解：实际路程为2.2220000km cm =，当比例尺为1:1000时，图示距离为2200002201000cm =，当比例尺为1:500时，图上距离为220000440500cm =，∴440220220cm -=，故答案为：220 ．6．1:30000【分析】本题主要考查了比例尺．根据比例尺=图上距离:实际距离，列比例式求得这两地的实际距离．【详解】解：根据题意得：该规划图的比例尺是120cm :36km 120:36000001:30000==．故答案为：1:30000．7．A【分析】根据比例尺的定义：图上距离与实际距离的比直接计算即可得到答案；【详解】解：∵比例尺为1:50000，实际距离是3千米，∴图上距离300000(1:50000)6cm =´=，故选：A ．8．C【分析】利用相似多边形的面积比等于相似比的平方，列比例式进行求解，再根据现实生活中的物体的面积，即可得出答案．【详解】设其缩小后的面积为xm 2 ，则x:667000=(1:2000) 2，x=0.16675m 2，其面积相当于报纸的一个版面的面积.故选C.【点睛】此题考查相似多边形的性质，正确估计图形的面积，和生活中的物体联系起来是本题的关键.9．B【分析】设3x k =，4y k =．代入选项计算结果，即可得到答案．【详解】解：设3x k =，4y k =，A ．34744x y k k y k ++==，正确，故A 选项不符合题意；B ．34144x y k k y k --==-，原式错误，故B 选项符合题意；C ．44312343x k k k y =×==×=，正确，故C 选项不符合题意；D ．23241133x y k k x k ++×==，正确，故D 选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查比例的基本性质，解题的关键是利用换元法进行约分消元求值．10．D【分析】根据比例性质，化为乘积变形可判断A 正确，利用先化积，再化比例可判定B ，利用换元计算可判断C ，设比值，取k =1与k ≠1，可判断D ．【详解】解：A 、若45a c =，则54a c =，而45a c =，54a c =正确，不合题意；B 、若16a b b -=，则6（a ﹣b ）＝b ，故6a ＝7b ，则76a b =，正确，不合题意；C 、若23a c b d ==（b ﹣d ≠0）2233a b c d ==，，则()22223333b d b d ac bd b d b d ---===---，正确，不合题意；D、若34ab=，设34a kb k==，，当k=1时，有a＝3，b＝4，当k≠1，a，b的值不是3与4，故此选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查比例性质，等积化比例，比例化等积，合分比性质，掌握比例性质是解题关键．11．D【分析】把各个选项依据比例的基本性质和合比性质，即可判断求解．【详解】A、∵a cb d=，两边同乘以bd得：ad bc=，故A正确，不合题意；B、∵a cb d=，两边平方得：2222a cb d=，故B正确，不合题意；C、∵a cb d=，两边平方得：2222a cb d=，两边同乘以da得：22ad cb ad=，故C正确，不合题意；D根据a cb d=不能得出a m cb m d+=+，故D不正确，符合题意；故答案为：D.【点睛】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，及比例的合比性质判断是否相同即可．12．D【分析】若甲：乙：丙=a：b：c，则甲占全部的aa b c++，乙占全部的ba b c++，丙占全部的ca b c++．【详解】由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：∴舞蹈社增加，溜冰社不变．故选D．【点睛】本题考查了比例的性质．找出各社团人数占全部人数的比例是解题的关键．13．C【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当0a b c ++¹时，根据等比性质计算得出结果；②当0a b c ++=时，则a b c +=-，代入2c k a b=+计算得出结果．【详解】解：分两种情况：①当0a b c ++¹时，得2221a b c k b c a c a b++==+++++；②当0a b c ++=时，则a b c +=-，22c k a b ==-+；综上所述，k 的值为1或2-．故选：C ．14．5a =，3b =，4c =【分析】本题主要考查了比例的性质，设438324a b c k +++===，得出34a k =-，23b k =-，48c k =-，根据91512a b c k ++=-=，求出3k =，即可得到答案，利用比例的性质设未知数是解题关键．【详解】解：设438324a b c k +++===，则34a k =-，23b k =-，48c k =-，∴91512a b c k ++=-=，解得：3k =，∴5a =，3b =，4c =．15．(1)91215a b c ===，，(2)x =【分析】（1）设345a b c k ===，则345a k b k c k ===，，，再结合题意可列出关于k 的等式，解出k 的值，即可求出线段a ，b ，c 的长；（2）由题意可直接得出912x x =，解出x 的值（舍去负值）即可．【详解】（1）由题意可设345a b c k ===，则345a k b k c k ===，，，∵36a b c ++=，∴34536k k k ++=，解得：3k =，∴91215a b c ===，，；（2）∵a x xb =，∴912x x =，整理，得：2108x =，解得：x =．【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k 法”是解题关键．16．B【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质求得,,a bk c dk e fk ===，代入()3a c e b d f ++=++，即可求解．【详解】解：Q a c e k b d f===，,,a bk c dk e fk \===，Q ()3a c e b d f ++=++．()3bk dk fk b d f \++=++，3k \=，故选：B ．17．15-【分析】此题考查了比例的性质，设312234x y z k +--===，得出23x k =-，31y k =+，42z k =+，再根据18x y z ++=，求出k 的值，从而得出x ，y ，z 的值，最后代入要求的式子进行计算即可得出答案．【详解】解：设312234x y z k +--===，则23x k =-，31y k =+，42z k =+，18x y z ++=Q ，23314218k k k \-++++=，2k \=，1x \=，7y =，10z =，2271015x y z \--=--=-；故答案为15-．18．25##0.4【分析】先求出2225d a c b ==，再根据比例的性质即可得．【详解】解：()2520a d d c b b +==¹Q ，2252a c d b =\=，2225a cb d +\=+，故答案为：25．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．19．(1)4(2)814【分析】本题主要考查了比例的性质，通过532a b c ==，设出()5320a k b k c k k ===¹，，是解题的关键．（1）设()5320a k b k c k k ===¹，，，则532a b k k c k++=，据此可得答案；（2）设()5320a k b k c k k ===¹，，，由29a b c +-=得到5349k k k +-=，解方程求出94k =，则812103294a b c k k k k -+=-+==．【详解】（1）解：∵532a b c==，∴可设()5320a k b k c k k ===¹，，∴5342a b k k c k++==；（2）∵532a b c==，∴可设()5320a k b k c k k ===¹，，，∵29a b c +-=∴5349k k k +-=．∴94k =，∴812103294a b c k k k k -+=-+==．20．25【分析】设112234a b c k -+-===，得到关于k 的等式，利用配方法和非负数的性质即可求解．【详解】解：设112234a b c k -+-===，∴a -1=2k ，b +1=3k ，c -2=4k ，即a =2k +1，b =3k -1，c =4k +2，∴a 2+b 2−c 2= (2k +1)2+(3k -1)2−(4k +2)2=4k 2+4k +1+9k 2-6k +1-(16k 2+16k +4)=4k 2+4k +1+9k 2-6k +1-16k 2-16k -4=-3k 2-18k -2=-3(k 2+6k +9-9)-2=-3(k +3) 2+25∵(k +3) 2≥0，则-3(k +3) 2≤0，∴a 2+b 2−c 2的最大值为25，故答案为：25．【点睛】本题考查了比例的性质，完全平方公式，掌握配方法和非负数的性质是解题的关键．21．(1)4a b b+=，12a b a b -=+(2)见解析(3)见解析【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质：（1）先根据已知条件得到14a b a b b +=+=，3a b =，再把3a b =代入a b a b -+中进行求解即可；（2）设a c k b d==，则a kb =，c kd =，再分别计算出a b a -和c d c -的值即可证明结论；（3）求出bc ad =，进而可得a cb d =。
新湘教版数学九年级上册练习：小专题(六)线段等积式、比例式的证明
小专题（六）线段等积式、比例式的证明方法1 三点定型法要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时， 可直接用“三点定型法 针对训练1. 已知：如图，/ ABC = Z ADE.求证：AB ・AE = AC-AD.证明：I/ ABC =Z ADE ，/ A = Z A , •••△ ABC ADE ,.AB _ AC…AD — AE ，即 AB-AE = AC-AD... 22. 如图，已知△ ABC 中，点 D 在AC 上，且/ ABD =/ C ,求证：AB 2= AD- AC.证明：•••/ ABD =/ C ,/ A 是公共角,• △ ABD ACB..AB =AD• AC =AB.• AB 2= AD- AC.3. 已知：如图，在 Rt A ABC 中，/ ACB = 90° AB 的垂直平分线交 AB 于D ，交• / A = / DCE.延长线于F.求证：CD 2= DE-DF.• / A + / B = 90° CD = AD.找相似三角形. AC 于E ,交BC又•/ DF 垂直平分AB ,•••/ BDF = 90°•••/ B + Z F = 90°•••/ DCE = Z F.又•••/ CDE = Z FDC ,•••△ CDE s\ FDC.CD =匪，即 CD 2= DE-DF. FD DC4 .如图，在厶 ABC 中，AB = AC ，点 D 、E 、F 分别在 BC 、AB 、AC 上，/ EDF = Z B.求证：BD-CD =BE-CF.证明：•••△ ABC 中，AB = AC ,•••/ B = Z C.•••/ B + Z BDE +Z DEB = 180°/ BDE + Z EDF +Z FDC = 180° / EDF =Z B ,•••/ FDC = Z DEB.•••△ BDE CFD.• BD _ BE…CF = CD ，即 BD-CD = BE-CF.方法2等线段代换法 从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用 定型法”找相似三角形. 针对训练5.已知：如图，在 ？ABCD 中，E 是CB 延长线上一点， DE 交AB 于F.求证：AD-AB = AF -CE.“三占D C证明：•••四边形 ABCD 是平行四边形,•••/ A = Z C , AB = CD , AD // BC.•••/ ADF =Z E.• AD = AF 'CE = CD .2 6 .如图，在△ ABC 中，点 D , E 在边BC 上，且△ ADE 是等边三角形，/ BAC = 120 °求证：DE=BD-CE.证明：•••△ ADE 是等边三角形，DE = AD = AE ，/ ADE =Z AED = 60°•••/ ADB =Z AEC = 120°,/ B +Z BAD = 60°又•••/ BAC = 120°• / B + Z C = 60°• / BAD =Z C.• △ ABD CAE..BD = AD• AE =CE..BD = DE AD = CE = AF AB， 即 AD- AB = AF-CE.•DE = CE，即DE2= BD- CE.D C7 .如图，已知在厶ABC中，AB = AC , AD是BC边上的中线，CF// BA , BF交AD于P点，交AC 于E 点.求证：BP2= PE-PF.证明：连接PC.在厶ABC中，T AB = AC , D为BC的中点,••• AD垂直平分BC.••• PB = PC.•••/ PBC = Z PCB.•/ AB = AC，•/ ABC =Z ACB ,•••/ ABC -Z PBC =Z ACB -Z PCB,即/ ABP =Z ACP.•/ CF // AB ,•••/ ABP = Z F.• Z ACP =Z F.又T Z EPC=Z CPF,." PCE s^ PFC.• PC_ PF…PE =PC.議，即P B2=PE-PF.•/ PC = PB,方法3等比代换法（找中间比）要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡.针对训练8.如图，在△ ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE // BC, AQ交DE于点P求证:DP _ PE_BQ =QC.证明：在厶 ABQ 中，T DP //ADP s\ABQ.DP : BQ = AP : AQ.同理△ AEP s' ACQ ,.PE : QC = AP : AQ.DP PE.DP : BQ = PE : QC ,即土= £ BQ QC 9 .如图，在?ABCD 的对角线BD 上任取一点P ,过P 点引一直线分别与 BA 、DC 两边的延长线交证明：在?ABCD 中，•/ AB // CD , AD // BC ,.PE = PB PF = PB…PG = PD ，PH = PD ..PE = PF 'PG = PH . 10.如图，已知 B 、C 、E 三点在同一条直线上，△ ABC 与' DCE 都是等边三角形.其中线段 BD 交AC 于点G ,线段AE 交CD 于点F.求证：⑴△ ACE ◎△ BCD ;AG AF⑵ CG =EF.证明：⑴•/△ ABC 与厶DCE 都是等边三角形,于E 、G ,又与BC 、AD 两边交于 F 、H ，求证: PE = PF PG = PH .E12.（崇明中考）如图，△ ABC 中，点D 、E 分别在BC 和AC 边上，点G 是BE 边上一点，且/ BAD ••• AC = BC , CE = CD ，/ ACB =Z DCE = 60°•••/ DCE + Z ACD =Z ACB +Z ACD ,即/ ACE =Z BCD.(2) •/△ ABC 与厶DCE 都是等边三角形，• AB = AC , CD = ED ，/ ABC =Z DCE = 60°• AB - CD — ACED ， AB // DC.•••/ ABG =Z CDG ，/ BAG =Z DCG.• △ ABG s\CDG..AG AB AF AC . AG AF. — I 同土理 — ，… — CG CD EF ED CG EF'方法4等积代换法（找中间积） 常用到基本图形 针对训练11.如图，在ABC 中，AD 丄BC 于D ,DE 丄AB 于E , DF 丄AC 于F ,求证:AE -AB — AF -AC. 证明：••• AD 丄 BC , DE 丄 AB ,•••/ ADB —Z AED — 90°又•••/ DAE —Z BAD ,• △ ADE ABD.AD AE 2•———，即 AE-AB — AD 2AB AD ' 同理，△ ADF ACD ,• AF-AC — AD 2.• AE-AB — AF-AC.证明：•••/ BGD = Z C ,Z DBG =Z EBC ,.BG _ BD…BC — BE ，即 BG- BE = BC-BD.又•••/ BAD =Z C ,Z ABD =Z CBA ,• △ ABD CBA.13.如图，在△ ABC 中，AD 、BF 分别是 BC 、AC 边上的高，过 D 作AB 的垂线交 AB 于E ,交BF 于G ,交AC 的延长线于H ,求证：DE 2= EG- EH.证明：••• AD 、BF 分别是 BC 、AC 边上高，DE 丄AB ,•••/ ADB =Z BED = 90°•••/ EBD +Z EDB = Z EDB +Z ADE.• / EBD =Z EDA.• △ AED DEB.=Z BGD =Z C ,连接 AG.求证: BG _ ABAB _ BE ..ABCB = BAD ，即 BC-BD = AB 2.• BG- BE = AB 2,即 = AB AB BE .12.（崇明中考）如图，△ ABC 中，点D 、E 分别在BC 和AC 边上，点G 是BE 边上一点，且/ BAD ••• DE 2= AE ・BE .又•••/ HFG = 90° / BGE = Z HGF ,•••/ EBG = Z H.vZ BEG = Z HEA = 90°, •••△ BEG s\ HEA.•- DE 2= EG EH . • E G = 'AE = BE HE， 即 EG EH = AE BE.。
4.1 比例线段 浙教版九年级数学上册同步练习 (含答案)
4.1 比例线段一、选择题（共9小题）1. 已知线段 a =4，b =16，线段 c 是 a ，b 的比例中项，那么 c 等于 ( )A. 10B. 8C. ―8D. ±82. 已知 C 是线段 AB 上的一个点，且满足 AC 2=BC ⋅AB ，则下列式子成立的是 ( )A. ACBC =5―12B. ACAB =5―12C. BCAB =5―12D. BCAC =5+123. 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值接近 0.618 时会给人一种美感．已知某女士 160 cm ，下半身长与身高的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为( )A. 6 cmB. 10 cmC. 4 cmD. 8 cm4. 已知 P ，Q 是线段 AB 的两个黄金分割点，且 AB =10 cm ，则 PQ 长为 ( )A. 5(5―1)B. 5(5+1)C. 10(5―2)D. 5(3―5)5. 如图所示，P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PA >PB ，如果 S 1 表示以 PA 为一边的正方形的面积，S 2 表示长为 AB ，宽为 PB 的矩形的面积，那么 S 1 与 S 2 之间的大小关系是 ( )A. S 1=S 2B. S 1>S 2C. S 1<S 2D. 不能确定6. 若 b 是 a 和 c 的比例中项，则关于 x 的一元二次方程 ax 2+2bx +c =0 的根的情况是 ( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断7. 如图所示，P 为线段 AB 的黄金分割点 (PB >PA )，四边形 AMNB 、四边形 PBFE 都为正方形，且面积分别为 S 1，S 2．四边形 APHM 、四边形 APEQ 都为矩形，且面积分别为 S 3，S 4．下列说法中，正确的是 ( )A. S 2=5―12S 1 B. S 2=S 3 C. S 3=5―12S 4 D. S 4=5―12S 18. 已知线段 AB 及 AB 上一点 P ，P 为 AB 的黄金分割点，给出下列结论：① AP 2=AB ⋅PB ；② AP =5―12AB ；③ PB =3―52AB ；④ APPB =5―12；⑤ AB AP =5―12．其中正确的是 ( )A. ①②③ B. ①②③④ C. ②③④⑤ D. ①②③④⑤9. 已知线段 AB =10，C 是线段 AB 的黄金分割点 (AC >BC )，则 AC 的长为 ( )A. 55―10B. 15―55C. 55―5D. 10―25二、填空题（共5小题）10. 为了美观，通常把一本书的宽与长之比设计成黄金比．若一本书的宽为 15 cm ，则它的长为 cm （精确到 0.1 cm ）．11. 为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高 2 m 的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．方小琦同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图所示为小琦同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的高度应设计为 m （精确到 0.01 m ，参考数据 2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）．12. 已知 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC >BC ，BC =3―5，则 AB 的长为 ．13. 顶角为 36∘ 的等腰三角形称为黄金三角形．如图所示，五边形 ABCDE 的 5 条边相等，5 个内角相等，则图中的黄金三角形有 个．14. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图所示，线段 AB =1，点 P 1 是线段 AB 的黄金分割点（AP 1<BP 1），点 P 2 是线段 AP 1 的黄金分割点（AP 2<P 1P 2），点 P 3 是线段 AP 2 的黄金分割点（AP 3<P 2P 3）⋯⋯ 依此类推，则 AP n 的长度是 ．三、解答题（共5小题）15. 如图所示，以长为 2 的定线段 AB 为边作正方形 ABCD ，取 AB 的中点 P ，连接 PD ，在 BA 的延长线上取点 F ，使 PF =PD ，以 AF 为边作正方形 AMEF ，点 M 在 AD 上．（1）AM，DM的长分别为，．（2）M是AD的黄金分割点吗?请说明理由．的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．按图2所示16. 如图1所示为一张宽与长之比为5―12的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么矩形EFDC还是黄金矩形吗?若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．17. 如图所示，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，取BC的中点E，折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置Bʹ，因而EBʹ=EB．类似地，在AB 上折出点Bʺ使ABʺ=ABʹ．这时Bʺ就是线段AB的黄金分割点．请你证明这个结论．18. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108∘，过点C作直线CD分别交直线AB，OD=2．AB和⊙O于点D，E，连接OE，DE=12（1）求∠CDB的度数．（2）我们把有一个内角等于36∘的等腰三角形称为黄金三角形，它的腰长与底边长的比（或者．底边长与腰长的比）等于黄金比5―12①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由．②求弦CE的长．③在直线AB或CD上是否存在点P（点C，D除外），使△POE是黄金三角形?若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．19. 如图1所示，点C将线段AB分成两部分，若ACAB =BCAC，点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组由黄金分割点联想到黄金分割线，给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1S =S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线，如图2所示，在△ABC中，D是AB的黄金分割点．（1）研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗?为什么?（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?（3）研究小组探究发现：过点C作直线交AB于点E，过点D作DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3所示），则直线EF也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由．答案1. B2. B3. D4. C5. A6. A7. B8. A9. C10. 24.311. 1.2412. 213. 2015. （1）5―1；3―5（2）∵AMAD =5―12，DMAM=3―55―1=5―12，∴M是AD的黄金分割点．16. 矩形EFDC是黄金矩形．理由如下：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF．∵ABAD =5―12，∴AFAD =5―12，即F是线段AD的黄金分割点．∵FDAF =AFAD=5―12．∴FDDC =5―12．∴矩形EFDC是黄金矩形．17. 设正方形ABCD的边长为2．∵ E为BC的中点，∴ BE=1．∴ AE=AB2+BE2=5．∵ BʹE=BE=1，∴ ABʺ=ABʹ=AE―BʹE=5―1．∴ ABʺ:ABʹ=(5―1):2． ∴ Bʺ 是线段 AB 的黄金分割点．18. （1） ∵ AB 是 ⊙O 的直径，DE =12AB ， ∴ OA =OC =OE =DE ．则 ∠EOD =∠CDB ，∠OCE =∠OEC ．设 ∠CDB =x ，则 ∠EOD =x ，∠OCE =∠OEC =2x ． ∵ ∠BOC =108∘， ∴ ∠CDB +∠OCD =108∘． ∴ x +2x =108∘，x =36∘． ∴ ∠CDB =36∘．（2） ①有三个：△DOE ，△COE ，△COD ． ∵ OE =DE ，∠CDB =36∘， ∴ △DOE 是黄金三角形．② ∵ △COD 是黄金三角形， ∴ OCOD =5―12． ∵ OD =2， ∴ OC =5―1．∴ CD =OD =2，DE =OC =5―1． ∴ CE =CD ―DE =2―(5―1)=3―5．③存在，有三个符合条件的点 P 1，P 2，P 3，如图所示，以 OE 为底边的黄金三角形：作 OE 的垂直平分线分别交直线 AB ，CD 得到点 P 1，P 2；以 OE 为腰的黄金三角形：点 P 3 与点 A 重合．19. （1） 直线 CD 是 △ABC 的黄金分割线．理由如下： ∵D 是 AB 的黄金分割点， ∴ADAB =BDAD ．∵S △ADCS △ABC =ADAB ，S △BDCS △ADC =BDAD ， ∴S △ADCS △ABC =S △BDCS △ADC ．∴ 直线 CD 是 △ABC 的黄金分割线．（2） ∵ 三角形 AB 边的中点 Dʹ 把 AB 分成相等的两条线段，即 ADʹ=BDʹ，∴S△ADʹCS△ABC =ADʹAB=12，S△BDʹCS△ADʹC=BDʹADʹ=1，∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC，∴S△AEF=S△ADC，S四边形BEFC=S△BDC．∵S△ADCS△ABC =S△BDCS△ADC，∴S△AEFS△ABC =S四边形BEFCS△AEF．∴直线EF是△ABC的黄金分割线．。
4.2 平行线分线段成比例 北师大版数学九年级上册素养提升卷(含解析)
第四章 图形的相似2 平行线分线段成比例基础过关全练知识点1 平行线分线段成比例的基本事实1.【教材变式·P84T1(2)】(2023吉林长春四十五中期末)如图,已知AB ∥CD ∥EF ,AD ∶AF =3∶5,BE =12,那么BC 的长等于( )A.2B.4C.245D.3652.【新情境·鞋架】(2023河南永城月考)某店新推出了一款鞋架,其示意图如图所示.已知直线l 1∥l 2∥l 3,直线AC 和DF 被l 1、l 2、l 3所截,AB =30 cm ,BC =50 cm ,EF =40 cm ,那么DE 的长是 .知识点2 平行线分线段成比例的基本事实的推论3.(2023浙江金华期末)如图,已知△ABC ,点D ,E 分别在边AB ,AC 的反向延长线上,且DE ∥BC.若AE =4,AC =8,AD =5,则AB 的长为( )A.5B.8C.10D.154.(2023福建安溪一中月考)如图,在△ABC 中,点D ,E ,F 分别在AB ,AC ,BC 边上,DE ∥BC ,EF ∥AB ,则下列式子一定正确的是( )A.AD DB =DE BCB.AD DB =BF FCC.AD DB =FC BFD.AD DB =FC BC 5.【跨学科·音乐】(2023陕西西安期中)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A ,B ,C 都在横线上.若线段AB =5,则线段BC 的长是( )A.25B.1C.52D.36.(2023贵州清镇月考)如图,在△ABC 中,D ,E 分别是AB 和AC 上的点,且DE ∥BC.(1)如果AD =7,DB =3,EC =2,那么AE 的长是多少?(2)如果AB =10,AD =6,EC =3,那么AE 的长是多少?7.如图,已知GE∥BC,EF∥CD,AG=4,BG=2,AF=6,求AD的长.8.如图,E为▱ABCD的边CD延长线上一点,连接BE,交AC于点O,交AD于点F.求证:BO2=OF·OE.能力提升全练9.(2023浙江温州瑞安月考,7,★☆☆)如图,l1,l2,l3,l4是一组平行线,l5,l6与这组平行线依次相交于点A,B,C,D和E,F,G,H.若AB∶BC∶CD=2∶3∶4,EG=10,则EH的长为( )A.14B.16C.18D.2010.(2021台湾省中考,23,★★☆)如图,菱形ABCD中,E点在BC上,F点在CD上,G点、H点在AD上,且AE∥HC∥GF.若AH=8,HG=5,GD=4,则下列选项中的线段,长度最长的是( )A.CFB.FDC.BED.EC11.(2023贵州遵义红花岗期中,9,★★☆)如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,点E为AC的中点,延长BC到点D,使得CD=CE,连接DE 并延长交AB于点F,若∠A=60°,EF=2 cm,则DF的长为( )A.12 cmB.10 cmC.8 cmD.6 cm12.(2023安徽潜山月考,18,★★☆)如图,点F、D在△ABC的边AB上,点E在△ABC的边AC上,已知DE∥BC,FE∥CD,AF=3,AD=5,求AB的长.13.(2023安徽无为期中,19,★★☆)已知:△ABC中,AD为BC边上的中线,点E在AD上,且DEAE =13,射线CE交AB于点F,求AFFB的值.14.(2023福建安溪一中月考,21,★★☆)如图,AB与CD相交于点E,点F在线段AD上,且BD∥EF∥AC.若DE=5,DF=3,CE=AD.(1)求AD的长;(2)求AEBE的值.素养探究全练15.【推理能力】(2023福建莆田二中月考)阅读下列材料,完成相应的学习任务:角平分线分线段成比例定理内容:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例,如图①,在△ABC中,AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图②,过C作CE∥DA,交BA的延长线于E.……请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分.答案全解全析基础过关全练1.D ∵AB ∥CD ∥EF ,∴BC BE =AD AF ,即BC 12=35,∴BC =365.故选D.2.24 cm解析 ∵直线l 1∥l 2∥l 3,∴DE EF =AB BC ,即DE 40=3050,∴DE =24 cm .3.C ∵DE ∥BC ,∴AE AC =AD AB ,∵AE =4,AC =8,AD =5,∴48=5AB ,解得AB =10.故选C.4.B ∵DE ∥BC ,∴AD DB =AE EC ,∵EF ∥AB ,∴AE EC =BF FC ,∴AD DB =BF FC ,故选B.5.C 过点A 作点A 所在横线的垂线,交点B 所在的横线于D ,交点C 所在的横线于E ,则AB BC =AD DE ,即5BC =2,解得BC =52,故选C.6.解析 (1)∵DE ∥BC ,∴AD DB =AE EC ,∴73=AE 2,∴AE =143.(2)∵AB =10,AD =6,∴BD =10-6=4,∵DE ∥BC ,∴AD DB =AE EC,∴64=AE 3,∴AE =92.7.解析 ∵GE ∥BC ,∴AG AB =AE AC ,∵EF ∥CD ,∴AF AD =AE AC ,∴AG AB =AF AD .∵AG =4,BG =2,AF =6,∴44+2=6AD ,∴AD =9.8.证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC.∴BOOE =AOOC,AOOC=OFBO.∴BOOE =OFBO,即BO2=OF·OE.能力提升全练9.C ∵l1∥l3∥l4,∴ACCD =EGGH,即2+34=10GH,∴GH=8,经检验,GH=8是所列方程的解,且符合题意,∴EH=EG+GH=10+8=18.故选C.10.A ∵AH=8,HG=5,GD=4,∴AD=8+5+4=17,∵四边形ABCD为菱形,∴BC=CD=AD=17,∵AE∥HC,AD∥BC,∴四边形AECH为平行四边形,∴CE=AH=8,∴BE=BC-CE=17-8=9,∵HC∥GF,∴DFFC =DGGH,即DF17―DF=45,解得DF=689,∴FC=17-689=859,∵859>9>8>689,∴CF的长度最长,故选A.11.D 过点E作EG∥AB交BD于G,∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC为等边三角形,∴∠ACB=60°,∵EG∥AB,∴∠CEG=∠A=60°,∴△EGC为等边三角形,∴EC=CG,∵CD=CE,∴CD=CG,∵EG∥AB,点E为AC的中点,∴BG=GC,∴BGBD =13,∵EG∥AB,∴EFDF=BGBD=13,∵EF=2 cm,∴DF=6 cm,故选D.12.解析 ∵FE∥CD,AF=3,AD=5,∴AFAD =AEAC=35,∵DE∥BC,∴ADAB=AEAC,∴5AB =35,∴AB=253.13.解析 ∵AD为BC边上的中线,∴BD=CD.过点D作DH∥FC交AB于H,则FHAF =DEAE=13,FHHB=CDBD=1,∴AF=3FH,HB=FH,∴AFFB =3FHFH+HB=3FH2FH=32.14.解析 (1)设CE=AD=x,∵EF∥AC,∴DECE =DFAF,∴5x =3x―3,解得x=7.5,经检验,x=7.5是分式方程的解,且符合题意,∴AD=7.5.(2)∵AD=7.5,DF=3,∴AF=4.5,∵EF∥DB,∴AEBE =AFDF=4.53=32.素养探究全练15.解析 剩余部分:则∠1=∠E,∠DAC=∠ACE,∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠DAC,∴∠E=∠ACE,∴AC=AE,∵CE∥DA,∴BDDC =BAAE,∴ABAC=BDCD.。
湘教版九年级上册数学比例线段专题
比例线段专题1.线段的比定义：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。
说明：（1）统一单位：如果用同一长度单位量得线段a 、b 的长度分别是m 、n ，那么n m b a ::=或nmb a =。
（2）前项后项：在b a :或ba 中，a 叫比的前项，b 叫比的后项。
（3）应用：（比例尺）若实际距离是250m ，图上距离是5cm ，求比例尺. 解析： 比例尺＝实际距离图上距离，50001250005＝∴， ∴比例尺为1：5000.注意：（1）若k b a =:，说明a 是b 的k 倍；（2）两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长单位必须一致。
（单位要统一）；（3）两条线段的比值是一个没有单位的正数； （4）线段的比是有顺序性，即a b b a ::≠。
2.比例线段定义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
图解：注意：（1）顺序性：如dcba=叫做线段a、b、c、d成比例，而不能说成是b、a、c、d成比例。
如dcba=中，线段d叫做a、b、c的第四比例项，而不能说成“线段d 叫做b、a、c的第四比例项”。
3．比例性质（1）基本性质：adbdbbabcaddcba=⇔==⇔=2::::（简称：外项积等于内项积）深层推导：①dcba=⇒②dbca=（交换bc）；③acbd=（交换ad）；④cdab=（上下对称）；⑤badc=（左右对称）；⑥cadb=（左右对称）；⑦bdac=（左右对称）；⑧abcd=（左右对称）。
（2）更比性质：①dcba=⇒②dbca=（交换bc）；③acbd=（交换ad）。
（3）合比性质：dcba=⇔ddcbba+=+（4）分比性质：dcba=⇔ddcbba-=-（5）合分比性质：dcdcbaba-+=-+或dadcbaba+-=+-深层解析： 方法一：解析： d c b a =∴11+=+d cb a ∴dd c b b a +=+……① 同理，ddc b b a -=-……② 由①÷②得，d c dc b a b a -+=-+ 由②÷①得，da dc b a b a +-=+- 方法二： dcb a =∴可令k dcb a ==，则bk a =，dkc =∴11-+=-+=-+k k b bk b bk b a b a 同理，11-+=-+k k d c d c 故，d c dc b a b a -+=-+ 同理，da dc b a b a +-=+- （6）等比性质：d c b a =⇔)0(≠+++==d b db ca d cb a深层解析： 方法一：d cb a = dbc a =∴（更比性质）d d b c c a +=+∴（合比性质）dc d b c a =++∴（更比性质） 故，)0(≠+++==d b db c a d c b a方法二：dc b a = ∴可令kd cb a ==，则bk a =，dkc =∴k d b dk bk d b c a =++=++ 故，)0(≠+++==d b db c a d c b a深层推导：)0(≠+++===n d b n m d c b a ⇔b an d b m c a =++++++解析： )0(≠+++===n d b n md c b a∴可令k nmd c b a ==== ，则bk a =，dk c =，…，nk m =∴k n d b nk dk bk n d b m c a =+++++=++++++ 故，ba n db mc a =++++++4.经典习题考点1：比例基本性质1. 若4x=5y,则x ∶y ＝ .( 45) 2. 已知3∶x ＝8∶y ，求yx = （83）3. 等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 .（2:1）4. 正方形对角线的长与它的边长的比是 。
九年级数学上册第四章相似三角形4.1比例线段第2课时比例线段随堂练习含解析新版浙教版
4.1__ 比率线段 __第 2课时比率线段1．[2017 ·西固区校级模拟] 以下线段中，能成比率的是( D )A． 3 cm， 6 cm， 8 cm， 9 cmB． 3 cm， 5 cm， 6 cm， 9 cmC． 3 cm， 6 cm， 7 cm， 9 cmD． 3 cm， 6 cm， 9 cm， 18 cm2．在同样时辰的物高与影长成比率，小明的身高为 1.5 m，在地面上的影长为 2 m，同时一古塔在地面上的影长为40 m，则古塔高为 ( C )A． 60 m B． 40 mC． 30 m D． 25 mx【解析】设古塔高为 x (m)，则有40＝2，解得 x＝30.应选C.a c3．已知四条线段a， b， c， d 是成比率线段，即b＝d，以下各式错误的选项是( C )a＋ c aA．ad＝bc B.b＋ d＝ba－ b c－ ba2c2C.b＝dD. b2＝d24．已知A，B两地的实质距离AB＝5 000 m，画在地图上的距离A′ B′＝2 cm，则这张地图的比率尺是 ( D )A．2∶5B． 1∶25 000C．25 000 ∶ 1D． 1∶250 0005．已知P是线段AB上一点，且AP 2AB＝，则等于(A) PB 5PB75 A.5 B.2 25 C. D.7 7【解析】由AP2，则可设 AP＝2k， PB＝5k，∴ AB＝7k，∴AB7k7＝＝5k＝ .应选 A. PB5PB56．四条线段a，b，c，d 成比率，此中 b＝3 cm，c＝2 cm，d＝6 cm，则线段 a 的长为__1__cm.a c a2【解析】∵ a，b，c，d是成比率线段，∴b＝d，∴3＝6，∴a＝ 1.17．[2017 ·娄底 ] 湖南地图第一版社首发的竖版 《中华人民共和国地图》 ，将南海诸岛与中国大陆按同比率尺 1∶6 700 000 表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国领土，若在这类地 图 上 量 得 我 国 南 北 的 图 上 距 离 是cm ， 则 我 国 南 北 的 实 际 距 离 大 约 是__5__500__km( 结果精确到 1 km) ． 8．正方形的边长与对角线的比是 __1∶ 2__；等边三角形的边长与高线长的比是__2∶ 3__．【解析】 设正方形的边长为1，则对角线长为2，其比为 1∶ 2；设等边三角形的边长为331，则高线长为 2 ，其比为 1∶ 2 ＝2∶ 3.9．若△ ABC 的三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形的三边长的比为 __1∶ 3∶ 2__．【解析】 △ ABC 的三个内角为 30°， 60°， 90°，因此设 30°角所对的直角边为 1，则斜边长为 2，另向来角边长为3，故三边长的比为 1∶ 3∶ 2.10．已知线段＝ 10 mm ， n ＝ 2 cm ， ＝ 2 cm ， ＝ 2 2 cm ，试判断， ， ， d 是不是成m e d m n e比率线段．解：∵ m ＝ 1 cm ， n ＝2 cm ， e ＝ 2 cm ，d ＝ 2 2 cm ，∴md ＝ 2 2 cm 2， ne ＝2 2 cm 2，m e∴md ＝ ne ，∴ n ＝ d ，∴m ， n ， e ， d 是成比率线段．11．已知线段a ＝4， ＝ 6， ＝ 2，请另确立一条线段 d 的长度，使 a ， ， ， d 为成比率线bcb c段．解：∵线段 a ， b ， c ， d 为成比率线段，a c∴ b ＝ d . 又∵ a ＝ 4， b ＝6， c ＝ 2，bc6× 2∴d ＝ a ＝4 ＝ 3，∴线段 d 的长为 3.12．如图 4－ 1－ 1，已知AD AE＝ ， AD ＝ 6.4 cm ， DB ＝4.8 cm ，EC ＝ 4.2 cm ，求 AC 的长．DB EC图 4－1－12解：∵AD AEAE＝ ，∴＝，DB EC∴ ＝ 6.4 ×＝ 5.6(cm) ，AE∴AC ＝ AE ＋EC ＝ ＋ ＝ 9.8(cm) ．113．如图 4－ 1－ 2，延长线段 AB 到点 C ，使 BC ＝ 2AB ，再延长线段 BA 到点 D ，使 AD ＝2AB ，则 CD ∶BD 为 ( A )图 4－1－2A ．7∶3B ． 5∶2C ．7∶2D ． 5∶3【解析】 ∵＝ ＋ ＋＝ 1 ＋＋ 2＝7，＝＋＝1＋＝3，CD AD AB BC2AB AB AB 2AB BD AD AB 2AB AB 2AB73∴CD ∶ BD ＝ 2AB ∶ 2AB ＝7∶3. 应选 A.ABBCAC314．已知在△ ABC 和△ A ′ B ′ C ′中， ′ ′＝′ ′＝′ ′＝2，A ′B ′＋ B ′C ′＋ A ′C ′A B B CA C＝16 cm ，则 ＋＋＝(B )AB BC ACA ． 48 cmB ． 24 cmC ． 18 cmD ． 36 cm3 333【解析】 ∵AB ＝ 2A ′ B ′， BC ＝ 2B ′ C ′， AC ＝2A ′ C ′，∴ AB ＋ BC ＋AC ＝ 2( A ′B ′＋ B ′ C ′3＋A ′ C ′ ) ＝ 2× 16＝ 24(cm) ．应选 B.15. △ ABC 与△ DEF 在网格中的地点如图 4－ 1－3 所示，假如每个小正方形的边长都是 1.AB BC AC (1)求，，的值；DE EF DF(2) 求△ ABC 的周长与△ DEF 的周长的比；(3) 在 AB ，BC ， AC ，DE ， EF ，DF 这六条线段中，指出此中三构成比率的线段．3图 4－1－3解： (1) AB ＝ 4 2，BC ＝ 6， AC ＝ 25， DE ＝ 2 2， EF ＝3， DF ＝ 5，ABBCAC∴＝2，＝2，＝2；DEEF DFAB BC AC(2) ∵＝＝，DE EF DFAB ＋ BC ＋ AC 2DE ＋ 2EF ＋ 2DF ∴＝＝2，DE ＋ EF ＋ DF DE ＋EF ＋ DF∴△ ABC 的周长与△ DEF 的周长的比为 2∶1；AB BC(3) ∵ ＝ ，DE EF∴AB ， DE ，BC ， EF 是成比率的线段；AB AC ∵＝，DE DF∴AB ， DE ，AC ， DF 是成比率的线段；BC AC∵＝，EF DF∴BC ， EF ，AC ， DF 是成比率的线段．16．如图 4－ 1－ 4，已知AD AE 3AB EC AB＝＝，求， ， .DB EC 2 DB AC AD图 4－1－4AD 3 解：∵＝ ，DB 2∴令 AD ＝ 3k ， DB ＝ 2k ，则 AB ＝ AD ＋ DB ＝ 5k ，AB5 5AB 5 5 EC2＝ .同理＝ ， ∴ ＝2k ＝3k ＝ .DB 2 AD 3 AC 517．如图 4－ 1－ 5，在 Rt △ 中， 是斜边上的高线， ＝ 8， ＝ 6，求 的长．ABC CD AB AC BC CD图 4－1－54解：在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝2222AC＋BC＝8＋6 ＝ 10.11∵S△ABC＝2AC· BC＝2AB· CD，∴AC· BC＝AB· CD，AC CD8CD∴＝，∴＝，∴ CD＝ 4.8.AB BC10618．如图 4－ 1－ 6，已知AD，CE是△ABC中边BC，AB上的高线，求证：AD∶CE＝ AB∶ BC.图 4－1－611证明：∵ S△ABC＝2AD·BC＝2AB·CE，∴AD· BC＝AB· CE，即 AD∶ CE＝ AB∶ BC5。
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专题复习一 线段比例关系的证明和应用证明线段成比例，一般先根据比例式确定相似三角形，然后用相似三角形的性质得出线段成比例.若根据比例式不能确定相似三角形，则利用等量代换进行条件转化．1.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论中，一定正确的是(A ).（第1题）（第2题）（第3题） （第4题）2.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF 的长为(B ).3.如图所示，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P ，则下列结论中不一定成立的是(B ). A. PD PA =PB PC B.PA ·PD=PB ·PC C. PD PB =PAPC D.PA ·PB=PC ·PD4.如图所示，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连结DF 并延长交AC 于点E.若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为(B ).A.2B.3C.4D.55.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，P 是AD 边上一点，连结PB ，PC ，且AB 2=AP ·PD ，则图中有 3 对相似三角形．（第5题）（第6题）（第7题） 6.如图所示，在△ABC 中，AD 是角平分线，∠ADE=∠B ，若AE=4，AB=5，则AD= 25 .7.如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AB 上一点，作DE ⊥BC 于点E ，连结AE ，若BE=AC ，BD=25，DE+BC=10，则线段AE 的长为 42 ．8.如图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED=∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AC AD =CGDF . （第8题）（1）求证：△ADF ∽△ACG.（2）若AC AD =21，求FGAF 的值. 【答案】(1)∵∠AED=∠B ，∠DAE=∠DAE ，∴∠ADF=∠C.又∵AC AD =CGDF ，∴△ADF ∽△ACG. (2)∵△ADF ∽△ACG ，∴9.如图所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，D 是 的中点，BD 交AC 于点E ，连结AD ，CD ．（第9题）（1）求证：AD 2=DE ·DB ．（2）若BC=25，CD=25，求DE 的长． 【答案】(1)∵D 是AC 的中点，∴.∴∠ABD=∠DAC.又∠ADB=∠EDA ，∴△ABD ∽△EAD.∴DE AD =AD DB .∴AD 2=DE ·DB. (2)∵D 是的中点，∴AD=DC.∴DC 2=DE ·DB.∵CB 是直径，∴△BCD 是直角三角形.∴BD=.∵DC 2=DE ·DB ，∴(25)2=5DE ，解得DE=45.10.如图所示，在Rt △ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形，则a ，b ，c 满足的关系式为(A ).A.b=a+cB.b=acC.b 2=a 2+c 2D.b=2a=2c（第10题）（第11题） （第12题）（第13题） 11.如图所示，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，直径AC=6，对角线AC ，BD 交于点E ，且AB=BD ，EC=1，则AD 的长为(A ).12.如图所示，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA ，点A 在反比例函数y=2x的图象上.若点B 在反比例函数y=xk 的图象上，则k 的值为(D ).A.4B.-4C.8D.-813.在四边形ADBC 中，∠ADB=∠ACB ，CD 平分∠ACB 交AB 于点E ，且BE=CE.若BC=6，AC=4，则BD= 26 ．14.如图所示，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，在EC 的延长线上任取一点P ，连结AP ，BG ⊥AP 于点G ，交CE 于点D.求证：CE 2=PE ·DE ． （第14题）【答案】∵∠ACB=90°，CE ⊥AB ，∴∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠CAE=90°.∴∠CAE=∠BCE.∴Rt △ACE ∽Rt △CBE.∴BE CE =CEAE .∴CE 2=AE ·BE.∵BG ⊥AP ，CE ⊥AB ，∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°.∵∠GDP=∠EDB ，∴∠P=∠DBE.∴△AEP ∽△DEB.∴BE PE =DE AE .∴PE ·DE=AE ·BE.∴CE 2=PE ·DE. 15.如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，点E 在对角线AC 上，且满足∠ADE=∠BAC.（1）求证：CD ·AE=DE ·BC.（2）以点A 为圆心、AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，连结AF.求证：AF 2=CE ·CA.（第15题）【答案】(1)∵AD ∥BC ，∴∠DAE=∠ACB.又∵∠ADE=∠BAC ，∴△ADE ∽△CAB.∴AB DE =BCAE .∴AB ·AE=DE ·BC.∵AB=CD ，∴CD ·AE=DE ·BC. (2)∵AD ∥BC ，AB=CD ，∴∠ADC=∠DAB.∵∠ADE=∠BAC ，又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE ，∠DAB=∠BAC+∠CAD ，∴∠CDE=∠CAD.又∠DCE=∠ACD,∴△CDE ∽△CAD.∴CA CD =CDCE .∴CD 2=CE ·CA.由题意得AB=AF ，AB=CD ，∴AF=CD.∴AF 2=CE ·CA.16.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE ，AD 交于点P.求证：（第16题）（1）D 是BC 的中点．（2）△BEC ∽△ADC ．（3）AB ·CE=2DP ·AD ．【答案】(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，即AD ⊥BC.∵AB=AC ，∴D 是BC 的中点.(2)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°.∴∠CEB=∠CDA=90°.∵∠C=∠C ，∴△BEC ∽△ADC.(3)∵AB=AC ，BD=CD ，∴∠BAD=∠CAD.∵∠CAD=∠CBE,∴∠BAD=∠CBE.∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD ∽△BCE.∴.∵BC=2BD,∴AD AB =BEBD 2.∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE ，∴△BPD ∽△BCE.∴.∴AB ·CE=2DP ·AD. 17.如图1所示，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，O 是AC 边上一点，连结BO 交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ．（1）求证：△ABF ∽△COE ．（2）如图2所示，当O 为AC 的中点，AB AC =2时，求OEOF 的值． （3）当O 为AC 的中点，AB AC =n 时，请直接写出OE OF 的值． （第17题）（第17题答图） 【答案】(1)∵AD ⊥BC ，∴∠DAC+∠C=90°.∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠BAF=90°.∴∠BAF=∠C.∵OE ⊥OB ，∴∠BOA+∠COE=90°.∵∠BOA+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠COE.∴△ABF ∽△COE.(2)如答图所示，过点O 作AC 的垂线交BC 于点H ，则OH ∥AB.∵△ABF ∽△COE,∴∠AFB=∠OEC.∴∠AFO=∠HEO.∵∠BAF=∠C ，∴∠FAO=∠EHO.∴△OEH ∽△OFA.∴OF ∶OE=OA ∶OH.∵O 为AC 的中点，OH ∥AB ，∴OH 为△ABC 的中位线.∴OH=21AB ，OA=OC=21AC.∵ABAC =2，∴OA ∶OH=2∶1.∴OF ∶OE=2∶1，即OE OF =2. (3) OE OF =n.（第18题）18.【株洲】如图所示，若△ABC 内一点P 满足∠PAC=∠PBA=∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点.三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名.已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF=90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ 等于(D ).A.5B.4C.3+2D.2+219.【鞍山】如图所示，△ACE ，△ACD 均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE 与CD 相交于点P ，以CD 为直径的⊙O 恰好经过点E ，并与AC ，AE 分别交于点B 和点F.（1）求证：∠ADF=∠EAC.（2）若PC=32PA ，PF=1，求AF 的长.（第19题） （第19题答图）【答案】(1)∵∠ADC=90°，∠ACE=90°，∴∠ADF+∠FDC=90°，∠EAC+∠CEF=90°.∵∠FDC=∠CEF ，∴∠ADF=∠EAC.(2)如答图所示，连结FC.∵CD 是圆O 的直径，∴∠DFC=90°.∴∠FDC+∠FCD=90°.∵∠ADF+∠FDC=90°，∠ADF=∠EAC ，∴∠FCD=∠EAC ，即∠FCP=∠CAP.又∠FPC=∠CPA ，∴△FPC ∽△CPA.∴20.（1）如图1所示，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于点D.求证：AB 2=AD ·AC ．（2）如图2所示，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，D 为BC 边上的点，BE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ，BC AB =DC BD =1，求DC BD 的值． （3）在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，D 为直线BC 上的动点（不与点B ，C 重合），直线BE ⊥AD 于点E ，交直线AC 于点F.若BC AB =DC BD =n ，请探究并直接写出DCBD 的所有可能的值（用含n 的代数式表示），不必证明． （第20题）（第20题答图）【答案】(1)∵BD ⊥AC ，∠ABC=90°，∴∠ADB=∠ABC.∵∠A=∠A ，∴△ADB ∽△ABC.∴AC AB =ABAD .∴AB 2=AD ·AC. (2)如答图所示，过C 作CG ⊥AD 交AD 的延长线于点G.∵BE ⊥AD ，∴∠CGD=∠BED=90°，CG ∥BF. ∵BC AB =DCBD =1，∴AB=BC=2BD=2DC ，BD=DC.∵∠BDE=∠CDG ，∴△BDE ≌△CDG.∴ED=GD=12EG.由(1)可得：AB 2=AE ·AD,BD 2=DE ·AD ，∴=4.∴AE=4DE.∴EG AE =DEDE 24=2. ∵CG ∥BF ，∴FC AF =EG AE =2. (3)D 为直线BC 上的动点（不与点B ，C 重合），有三种情况：①当点D 在线段BC 上时，FCAF =n 2+n. ②当点D 在线段BC 的延长线上时，FCAF =n 2-n. ③当点D 在线段CB 的延长线上时，FC AF =n-n 2.。