物理学15-波的能量与强度
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2 2 2
能量密度
单位体积介质中所具有的波的能量。
dE x 2 2 2 w A sin [ ( t ) 0 ] dV u
平均能量密度
1 w T
一个周期内能量密度的平均值。
T
0
1 wdt T
T
0
x A sin [ ( t ) 0 ]dt u
2 2 2
物理学 15 波的能量与强度
张宏浩
1
5-3 波的能量
*声强
波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振 动能量的传播。
一、波的能量和能量密度
x 有一平面简谐波 y A cos[ ( t ) 0 ] u
质量为 dm dV y x A sin[ ( t ) 0 ] 质点的振动速度 v t u 体积元内媒质质点动能为 在x处取一体积元dV
P Hale Waihona Puke Baidu wu S
1 2 2 I A u 2
单位：瓦 米
2
分析平面波和球面波的振幅 例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波 在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距 离成反比。 证明： 对平面波：
在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等
I1 S1T I 2 S2T ,
x, t
作周期性变化，且变
1 x 2 2 2 WP WK A (V )sin (t ) 2 u x 2 2 2 W (V ) A sin (t ) u
2）任一体积元都在不断地接收和放出能量， 即不断地传播能量.任一体积元的机械能不守 恒. 波动是能量传递的一种方式.
1 x 1 2 2 2 2 dE k v dm A sin [ ( t ) 0 ]dV 2 u 2
体积元内媒质质点的弹性势能等于其动能（证明见后）：
1 2 2 x 2 dE p A sin [ ( t ) 0 ]dV 2 u
体积元内媒质质点的总能量为：
pm uA
声强：声波的能流密度。
2
1 pm 1 I uA2 2 2 u 2
频率越高越容易获得较大的声压和声强
引起人听觉的声波有频率范围和声强范围
20 ~ 20000Hz
10W m
2
~ 10
12
W m
2
I 0 1012W m 2
声强级
测定声强的标准 I I L log10 单位：贝尔 ( Bel ) I0
x dE dE k dE p A sin [ ( t ) 0 ]dV u 说明
2 2 2
1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能 不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同 时等于零。
2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。
x dE A sin [ ( t ) 0 ]dV u
3）正、负最大位移处，速度为零，形变为零，动 能、势能和总机械能均为零。
平衡位置处，速度最大，形变最大，动能、势能 和总机械能均为最大。
能量密度：单位体积介质中的波动能量.
W x 2 2 2 w A sin (t ) V u
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.
1 T 1 2 2 w wdt A T 0 2
振动动能
1 x 2 2 2 Wk (V ) A sin (t ) 2 u
体积元的总机械能
在波传播过程中，任一媒质元在任意时刻或任意振动状 态下，动能和势能不仅相等，而且是同步变化。总机械能 随时间作周期性变化，与简谐振动系统不同。
结论 1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能均随 化是同相位的.
所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位 距离的振幅为A则距波源r 处的振幅为A/r
由于振动的相位随距离的增加而落后的关系， 与平面波类似，球面简谐波的波函数：
A r y cos[ ( t ) 0 ] r u
三、波的吸收
波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介 质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。
波通过厚度为dx的介质，其振幅衰减量为-dA
dA Adx
是介质的吸收系数
波强的衰减规律：
A A0 e
x
A、A0分别是x 0和x x处的波振幅
I I 0e
2x
I、I 0分别是x 0和x x处波的强度
*四、声压、声强和声强级 声压：介质中有声波传播时的压力与无声波时的 静压力之间的压差。 平面简谐波，声压振幅为
振动动能
1 x 2 2 2 Wk (V ) A sin (t ) 2 u
可见，波的平均能量密度与振幅平方、频率平方都成正比。
弹性势能
1 2 dWP k y 2
由弹性力关系式
O O
x
x
y y y
x x
纵波杨氏模量
则形变势能可写成
y x A sin (t ) x u u 1 x 2 2 2 振动势能 W p VA sin (t ) 2 u
T
0
sin 2 d 2
1 w A2 2 2
举例说明论证：波的能量公式
以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
O O
x
x
y
y y
x x
1 1 2 2 Wk m v V v 2 2 y x v A sin (t ) t u
I I0
单位：分贝 ( dB )
I L 10 log10
人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定
机械波的能量与振幅的平方、频率的平方成正比， 与介质的密度成正比。
二、波的能流和能流密度
能流:单位时间内通过介质中某一 截面的能量。
u
S
P wuS 平均能流：在一个周期内能流的平均值。
u
P wuS wuS
平均能流密度（波的强度）指单位时间单位横截面积 通过的能量： 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流。
S1 S2 S
1 1 2 2 2 u A1 S1T u 2 A2 S 2T 2 2
所以,平面波振幅相等。 A1 A2
对球面波：
1 1 2 2 2 u A1 S1T u 2 A2 S2T 2 2
S1 4r ; S2 4r
2 1
2 2
A1r1 A2r2
能量密度
单位体积介质中所具有的波的能量。
dE x 2 2 2 w A sin [ ( t ) 0 ] dV u
平均能量密度
1 w T
一个周期内能量密度的平均值。
T
0
1 wdt T
T
0
x A sin [ ( t ) 0 ]dt u
2 2 2
物理学 15 波的能量与强度
张宏浩
1
5-3 波的能量
*声强
波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振 动能量的传播。
一、波的能量和能量密度
x 有一平面简谐波 y A cos[ ( t ) 0 ] u
质量为 dm dV y x A sin[ ( t ) 0 ] 质点的振动速度 v t u 体积元内媒质质点动能为 在x处取一体积元dV
P Hale Waihona Puke Baidu wu S
1 2 2 I A u 2
单位：瓦 米
2
分析平面波和球面波的振幅 例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波 在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距 离成反比。 证明： 对平面波：
在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等
I1 S1T I 2 S2T ,
x, t
作周期性变化，且变
1 x 2 2 2 WP WK A (V )sin (t ) 2 u x 2 2 2 W (V ) A sin (t ) u
2）任一体积元都在不断地接收和放出能量， 即不断地传播能量.任一体积元的机械能不守 恒. 波动是能量传递的一种方式.
1 x 1 2 2 2 2 dE k v dm A sin [ ( t ) 0 ]dV 2 u 2
体积元内媒质质点的弹性势能等于其动能（证明见后）：
1 2 2 x 2 dE p A sin [ ( t ) 0 ]dV 2 u
体积元内媒质质点的总能量为：
pm uA
声强：声波的能流密度。
2
1 pm 1 I uA2 2 2 u 2
频率越高越容易获得较大的声压和声强
引起人听觉的声波有频率范围和声强范围
20 ~ 20000Hz
10W m
2
~ 10
12
W m
2
I 0 1012W m 2
声强级
测定声强的标准 I I L log10 单位：贝尔 ( Bel ) I0
x dE dE k dE p A sin [ ( t ) 0 ]dV u 说明
2 2 2
1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能 不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同 时等于零。
2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。
x dE A sin [ ( t ) 0 ]dV u
3）正、负最大位移处，速度为零，形变为零，动 能、势能和总机械能均为零。
平衡位置处，速度最大，形变最大，动能、势能 和总机械能均为最大。
能量密度：单位体积介质中的波动能量.
W x 2 2 2 w A sin (t ) V u
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.
1 T 1 2 2 w wdt A T 0 2
振动动能
1 x 2 2 2 Wk (V ) A sin (t ) 2 u
体积元的总机械能
在波传播过程中，任一媒质元在任意时刻或任意振动状 态下，动能和势能不仅相等，而且是同步变化。总机械能 随时间作周期性变化，与简谐振动系统不同。
结论 1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能均随 化是同相位的.
所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位 距离的振幅为A则距波源r 处的振幅为A/r
由于振动的相位随距离的增加而落后的关系， 与平面波类似，球面简谐波的波函数：
A r y cos[ ( t ) 0 ] r u
三、波的吸收
波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介 质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。
波通过厚度为dx的介质，其振幅衰减量为-dA
dA Adx
是介质的吸收系数
波强的衰减规律：
A A0 e
x
A、A0分别是x 0和x x处的波振幅
I I 0e
2x
I、I 0分别是x 0和x x处波的强度
*四、声压、声强和声强级 声压：介质中有声波传播时的压力与无声波时的 静压力之间的压差。 平面简谐波，声压振幅为
振动动能
1 x 2 2 2 Wk (V ) A sin (t ) 2 u
可见，波的平均能量密度与振幅平方、频率平方都成正比。
弹性势能
1 2 dWP k y 2
由弹性力关系式
O O
x
x
y y y
x x
纵波杨氏模量
则形变势能可写成
y x A sin (t ) x u u 1 x 2 2 2 振动势能 W p VA sin (t ) 2 u
T
0
sin 2 d 2
1 w A2 2 2
举例说明论证：波的能量公式
以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
O O
x
x
y
y y
x x
1 1 2 2 Wk m v V v 2 2 y x v A sin (t ) t u
I I0
单位：分贝 ( dB )
I L 10 log10
人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定
机械波的能量与振幅的平方、频率的平方成正比， 与介质的密度成正比。
二、波的能流和能流密度
能流:单位时间内通过介质中某一 截面的能量。
u
S
P wuS 平均能流：在一个周期内能流的平均值。
u
P wuS wuS
平均能流密度（波的强度）指单位时间单位横截面积 通过的能量： 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流。
S1 S2 S
1 1 2 2 2 u A1 S1T u 2 A2 S 2T 2 2
所以,平面波振幅相等。 A1 A2
对球面波：
1 1 2 2 2 u A1 S1T u 2 A2 S2T 2 2
S1 4r ; S2 4r
2 1
2 2
A1r1 A2r2