沪科版八年级数学15.3《等腰三角形》专题训练解析版

15.3 《等腰三角形》专题例举
专题一 等腰三角形知识的应用
1.如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

求证：M 是BE 的中点.
2.如图,已知△ABC 为等边三角形,延长BC 到D ,延长BA 到E ,并且使AE =BD ,连结CE 、
DE .求证:EC =ED .
专题二 等腰三角形操作题
3.在正方形网格图①、图②中各画一个等腰三角形．要求：每个等腰三角形的一个顶点
为格点Ａ，其余顶点从格点Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ中选取，并且所画的两个三角形不全等．
4.东风汽车公司冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，如图1，其中AB=AC ，该冲压厂为了降低汽车零件的成本，变废为宝，把这些废料加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形。

现在要把如图1所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割次数最多两次（切割的损失忽略不计）。

（1）请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明；
（2）若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件（只切割一次），则该三角形应满足什么条件？
B H G
C D
A
B H G
C D
A 图①
图②
A
D
1 B
M C E
专题三等腰三角形探究题
5.下面是数学课堂上的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题:
学习等腰三角形后，庞老师请同学们讨论这样一个问题上：“已知等腰三角形的两边长分别是7㎝，8㎝，请你求出三角形的周长．”
同学们经片刻思考交流后，李刚同学举手说“三角形的周长为22㎝”；王明同学说：“是23㎝”，还有一些同学也提出了不同的看法．．．．．．．
(1)假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？
(2)通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？(用一句话表示)
6.已知△ABC为等边三角形，在图①中，点M是线段BC上任意一点，点N线段CA 上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点．
（1）请猜一猜：图①中∠BQM等于多少度？
（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件不变，如图②所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如不成立，请说明理由．
【知识要点】
1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.
2.等腰三角形的两底角相等,等边三角形的三个内角相等,每个内角都等于60°,等腰三角形的顶角平分线垂直于底边并且平分底边.
3.有两个角相等的三角形是等腰三角形,三个角都相等的三角形是等边三角形,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
4.在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.【温馨提示】
1.在等腰三角形中,若说边或角时,一般都明确指出是腰还是底边,是顶角还是底角,若题目没说明,要分类讨论.
2.等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角,而底角只能是锐角.
3.等边三角形是特殊的等腰三角形,它不仅具有一般三角形的性质,而且还具有自身特有的性质.
【方法技巧】
1.在与等腰三角形有关的一些命题的证明中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角的平分线、底边上的高、底边上中线是常见的辅助线,具体作哪条,要根据具体问题具体分析.
2.要说明一个三角形是等边三角形,可以考虑:(1)利用定义证明;(2)证明三个角相等;(3)证明它是等腰三角形并且有一个角是60°.
4.平行于等边三角形一边的直线截其它两边或其延长线,得到的三角形仍是等边三角形,解决等边三角形问题时常用这个结果作辅助线.
参考答案
1.证明:因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点, 所以∠1＝
2
1
∠
ABC .
又因为CE ＝
CD ，所以∠CDE ＝∠E . 所以∠ACB ＝2∠E, 即∠1＝∠E .
所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M , 所以M 是BE 的中点.
2.证法一:延长BD 到F,使DF =BC ,连结EF ,如图2.则BE =AE +AB =BD +DF =BF ,故△BEF 为等边三角形,从而可证△BCE ≌△FDE ,所以EC =ED .
证法二:过E 作EF ∥AC ,交BD 的延长线于F ,如图2,则△BEF 为等边三角形,以下同证法一.
证法三:在AE 上截取EF =BC ,如图3.则AF =CD ,故AC ∥DF ,从而△BDF 是等边三角形,DF =BF =AE ,可证△ACE ≌△FED ,所以EC =ED .
证法四:过D 作DF ∥AC 交AE 于F 点,如图3,以下同证法三.
证法五:作EF ∥BC 交CA 的延长线于F ,如图4.则△AEF 是等边三角形,从而可证 △CEF ≌△EDB ,所以EC =ED .
证法六:作DF ∥AB 交AC 的延长线于F ,连结EF,如图5.则△CDF 是等边三角形,故
AF =AC +CF =BC +CD =BD =AE ,从而∠AEF =∠AFE =30O ,∠DFE =30O
,即EF 是等腰△CFD 的顶角平分线,所以EF 垂直平分CD ,由此得EC =ED .
证法七:作EF ⊥BD ,垂足为F ,如图6.则∠BEF =30O
,BE =2BF ,即AB +AE =2BC +2CF ,从而有BC +2CF =AE =BD =BC +CD ,即CD =2CF ,有CF =DF ,EF 为CD 的垂直平分线,所以有CE =ED .
3.以下答案仅供参考
4.方案一：如图1（1）所示。

（虚线AM ’为等腰三角形ABC 底边上的高）
B C D
H G A B C D
H G A
B C D
H G A
B C D
H G A
方案二：如图1（2）所示，（虚线为切割线，M、N为AB、AC中点，MP⊥BC）;
（2）若要把该三角形只切割一次后焊接成正方形零件，则该三角形应为等腰直角三角形.
5.(1)该三角形的周长应该为22cm或23cm.∵当腰长为7cm时,周长=7+7+8=22(cm);当腰长为8cm时,周长=8+8+7=23(cm);
(2)考虑问题要全面.(其他符合题意的话都可以)
6.（1）∠BQM = 60°；（2）题的证明思路如下：先证△ACM ≌△BAN，得到∠M =∠N，所以∠BQM =∠N +∠QAN =∠M +∠CAM =∠ACB = 60°．。