平面向量的平行与垂直
平面向量的平行与垂直
平面向量"的平行与"垂直基础知识回顾:1.平行（共线）向量定义:方向相同或相反的非零向量叫平行向量。
记作a// b；2.垂直向量定义:若两个非零向量所或角为90° ,则称这两个向量垂直。
记作日丄b一、基础训练1.已知平面向量a = (3,l),b = (x,-3),a//b,Mx 等于「92.已知平面向量a二(1,-3) ,b= (4,-2),篇+B与2垂直，则兄是 ______3.若耳,©是两个不共线的向量已知厢=2&+応，西二£+3©丽二2彳-若AB,D三点共线，则k=-8设A (4, 1) , B (-2, 3) , C (k, -6),若△ABC为直角三角形且ZB二90°求k的值。
解：当ZB = 90° ,BA= (6-2), BC = (k + 2-9)•/ ZB = 90° /. IX丄BC,BA- BC = 6(k + 2) + (-2)(-9) =0.\k = -5.如图所示，已知A(4,5)J B(1>2),C(12J), D(11,6)及P(6,4),求证:B、P、D三点共线，A、P、C 三点共线。
解：丽= (5,2), SB = (10,4) = 2莎AP = (2,-1), AC = (8, -4)二 4丽又丽、而共起点B ,丽、疋共起点A, 则B、P、D三点共线，A、P、C三点共线。
a> b是不共线的两个非零向S,OM=ma ,ON=nb OP = «a + ,其中m、n、仅、0 w R，且nm H 0,若M、P、N三点共线，则纟+炉=1 m n -- •P是ZVLBC所在平面上一点，若口4 • PB = PB • PC=PC•币，则P是厶ABC的________ 心.解析：由题知有丙• (PA~PC) = PB • CA = O.即PB_AC.同理可得PA1BC,PC_AB. :.P是厶ABC的垂心.答案：垂例4：设向量a =(4cosa,sina),b =(sin0,4cos0),—►c = (cos0Tsin0) ⑴若a与B -2c垂直，求tan(<z + 0)的值；(2)若tanciftan p = 16,求证:a//b.⑴由feb-2c垂直,aH^-2c) = aEb-2a^ = 0? 即4 sin(cr +0) — 8 cos(cr + 0) = 0,.・.tan(a + 0) = 2;(2)由tan a tan (3 = 16得sin a sin p = 16 cos a cos 0,艮卩4cosa4cos0-sinasiii0 = 0・・・a //b悸例3)已知平面向量。
平面向量的平行与垂直
平面向量的平行与垂直【考点及要求】1.理解平面向量的坐标表示；2.掌握平面向量的加减及数乘的坐标运算；3.理解向量平行的等价条件的坐标形式．【基础知识】1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，i、j为x轴、y轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋y j成立，即向量a 的坐标是________2.平面向量的坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝___________，a－b＝____________。
3.平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的____坐标减去____坐标.4.实数与向量积的坐标表示：若a＝(x，y)，则λa＝____________5. 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由a∥b⇔x1 y2－x2 y1＝_______【典型例题讲练】例1、已知平行四边形ABCD三个顶点A、B、C坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
变式引申：已知平面上三点的坐标分别A(-2,1),B(-1,3),C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
例2已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且CACN2＝，求M，N＝，CBCM3的坐标和MN的坐标.变式:若向量jiBC+＝，其中i，j分别为x轴，y轴正方向上的单miAB2-＝，j位向量，求使A，B，C三点共线的m值.【课堂小结】设：(x 1, y 1)、b(x 2, y 2)（1）加减法：a ±b =(x 1±x 2,y 1±y 2)(其中a =(x 1,y 2)、b =(x 2,y 2)). （2）数乘：若a =(x,y),则λa =(λx,λy)（3）a∥b(b ≠0)12210a b x y x y λ⇔=⇔-=注：充要条件不能写成：1122x y x y =或1122xy x y =，但在解题中，当分母不为0时常使用；【课堂检测】1．若向量a =(x －2,3)与向量b =(1,y +2)相等，则（ ） A ．x =1,y =3 B ．x =3,y =1 C ．x =1,y =－5D ．x =5,y =－12．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αtan = （ ）A ．43 B ．43-C ．34 D ．34-3．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB -2BC = 4．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= 5．已知A B C D 中A(3，-2)，B(5，2)，C(-1，4)，则D 的坐标为____________6.设向量a =（1,-3），b =（-2,4），c =（-1,-2），若表示向量4a 、4b -2c 、2（a -c ）、d的有向线段依次首尾相接能构成四边形，则向量d 为（ ） A.（2,6）B.（-2,6）C.（2,-6）D.（-2,-6）7.平面上A （-2，1），B （1，4），D （4，-3），C 点满足21AC =→--→--CB，连DC 并延长至E ，使|→--CE |=41|→--ED |，则点E 坐标为： ( )A 、（-8，35-） B 、（311,38-） C 、（0，1） D 、（0，1）或（2，311）8．若向量a =(x －2,3)与向量b =(1,y +2)相等，则（ ） A ．x =1,y =3 B ．x =3,y =1 C ．x =1,y =－5 D ．x =5,y =－19．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αtan = （ ） A ．43 B ．43-C ．34 D ．34-10．若向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x= 11．已知三点P (1,1)、A (2,-4)、B (x ,-9)在一条直线上，求x 的值.12．已知向量a =(2x －y +1,x +y －2), b=(2,－2),x 、y 为何值时，(1)a b = ； (2) //a b13．平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==c b a ，回答下列问题： （1）求满足c n b m a +=的实数m,n ； （2）若()()a b c k a -+2//，求实数k ；14.(2005湖北)．已知向量||).,5(),2,2(b a k b a +=-=若不超过5，则k 的取值范围是15.设→--OA =（3，1），→--OB =（-1，2），→--OC ⊥→--OB ，→--BC ∥→--OA ，O 为坐标原点，则满足→--OD +→--OA =→--OC 的→--OD 的坐标是＿＿＿＿。
平面向量坐标平行和垂直的公式
平面向量坐标平行和垂直的公式1. 向量的基础知识好啦，今天咱们来聊聊平面向量，特别是它们之间的关系，像是平行和垂直这两个小伙伴。
说实话，向量就像是生活中的小旅行，它们有起点，有方向，还有长度，简直就是小小的“冒险家”。
你想想，一条向量从原点出发，像极了你从家出发去探险，带着满满的目标和激情。
你知道吗？在平面上，向量其实是有坐标的，通常我们会用（x, y）来表示。
比如说，向量A可能是（2, 3），这就意味着它向右走了2步，向上走了3步，想想都觉得帅气！那么，平行和垂直又是什么呢？简单来说，如果两个向量在同一条路上并肩而行，那它们就是平行的。
而如果它们就像两条交叉的铁路，毫不相干地相遇，那它们就是垂直的。
明白了这两者的意思，我们就能更轻松地在向量的世界里遨游啦。
2. 向量平行的公式2.1 平行的定义说到平行，其实在数学上有个很简单的条件。
两个向量A和B要平行，就得满足A和B成比例。
你可以把它想象成两个兄弟，虽然走的方向一样，但步伐可能不一样。
例如，向量A是（2, 4），而向量B是（1, 2）。
这两个向量的关系就像兄弟俩，一人走两步，另一人就跟着走一步，绝对是心有灵犀。
2.2 公式所以我们可以用一个简单的公式来表达这个关系：如果存在一个不为零的数k，使得A = kB，那么A和B就是平行的。
这个k就像是你的好朋友，他让你在不同的速度下，一起走向同一个目标。
这么说吧，假设k=2，A=(2, 4)，B=(1, 2)。
通过这个公式，你会发现这两位兄弟真的是一路向前，互不干扰，哈哈。
3. 向量垂直的公式3.1 垂直的定义那么垂直呢？垂直就像是两条路在一个十字路口交叉，简直就是各走各的。
如果两个向量A和B垂直，它们的点积（也就是内积）必须等于0。
听上去有点复杂，其实就是说，它们的方向完全不一样，完全不打架。
3.2 公式我们用公式来表示这个关系：如果A·B = 0，那A和B就垂直。
你看，点积A·B = Ax * Bx + Ay * By。
向量的平行与垂直及其应用
向量的平行与垂直及其应用一、引言向量是数学中重要的概念之一，它在物理、几何等多个领域中都有广泛的应用。
其中，平行和垂直是向量之间关系的两种基本形式。
本文将介绍向量的平行与垂直的概念、性质以及其在几何和物理中的应用。
二、向量的平行向量的平行是指两个向量的方向相同或相反。
具体来说，如果两个向量的点表示相同或相反，那么这两个向量就是平行的。
向量的平行具有以下性质：1. 平行向量的数量乘积：如果向量a平行于向量b，则对于任意实数k，ka也与b平行。
2. 平行向量的加法性质：如果向量a平行于向量b，向量c平行于向量d，则a+c与b+d也平行。
3. 平行向量的减法性质：如果向量a平行于向量b，向量c平行于向量d，则a-c与b-d也平行。
在几何中，向量的平行可以用于判断线段的平行性、角的平行性等。
例如，在判断一个四边形的对角线是否平行时，可以通过向量方法将对角线表示为向量，并比较其平行性。
三、向量的垂直向量的垂直是指两个向量相互垂直，即它们的内积为零。
对于向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，如果a * b = 0，则a与b垂直。
向量的垂直具有以下性质：1. 垂直向量的数量乘积：如果向量a垂直于向量b，则对于任意实数k，ka也与b垂直。
2. 垂直向量的加法性质：如果向量a垂直于向量b，向量c垂直于向量d，则a+c与b+d也垂直。
3. 垂直向量的减法性质：如果向量a垂直于向量b，向量c垂直于向量d，则a-c与b-d也垂直。
在几何中，向量的垂直可用于判断直线的垂直性、直角三角形等。
例如，在证明两条直线垂直时，可以通过向量方法将斜率为k1和k2的两直线转化为向量形式，然后判断它们的垂直性。
四、向量的应用向量的平行与垂直在几何和物理中有广泛的应用。
以下是一些具体应用实例：1. 二维平面上的向量运算在二维平面上，向量的平行与垂直可用于解决平面几何问题。
例如，通过判断两线段的向量是否平行或垂直，可以判断它们是否相交、是否平行四边形等。
专题三 平面向量的平行与垂直(解析版)
专题三 平面向量的平行与垂直1．平面向量平行(共线)的充要条件的两种形式(1)平面向量平行(共线)充要条件的非坐标形式：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ．(2)平面向量平行充要条件的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0； 至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的用(2)．这是代数运算，用它解决平面向量平行(共线)问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．乘积形式可总结为：“相异坐标的乘积的差为0”．2．三点共线的充要条件的三种形式(1)A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)(2)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )(3)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．3．非零向量垂直的充要条件的两种形式(1)平面向量垂直的非坐标形式：a ⊥b ⇔ a ·b ＝0．(2)平面向量垂直的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b ．一般情况涉及坐标的用(2)．坐标形式可总结为：“相应坐标的乘积的和为0”．考点一 平面向量的平行【方法总结】两平面向量平行的充要条件既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当然也可解决三点共线的问题．高考试题中一般是考查已知两向量平行或三点共线求参数，并且以给出向量的坐标为主．解决此类问题的方法是借助两平面向量平行的充要条件列出方程(组)，求出参数的值．注意方程思想和待定系数法的运用．【例题选讲】[例1] (1)设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2BF →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直答案 A 解析 由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．(2)已知向量m ＝(1，7)与向量n ＝(k ，k ＋18)平行，则k 的值为( )A ．－6B ．3C ．4D ．6答案 B 解析 因为m ∥n ，所以7k ＝k ＋18，解得k ＝3．故选B ．(3)(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．答案 12 解析 2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2＝4λ，即λ＝12． (4)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B 解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →，AB →共线，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B ．(5)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案 －54解析 AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54． (6)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB →∥a ，则点B 的坐标为________．答案 (－3，－6) 解析 设B (x ，2x )，则AB →＝(x －3，2x )．∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6)．【对点训练】1．已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________．1．答案 6 解析 ∵a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．122．答案 A 解析 ∵a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4，2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4 ＝0，解得λ＝－2，故选A ．3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________．3．答案 5 解析 因为a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，所以a －c ＝(3－k ，－6)．因为(a －c )∥b ，所 以1×(－6)＝3×(3－k )，解得k ＝5．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________．4．答案 1 解析 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1．5．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( )A ．4B ．－5C ．6D ．－65．答案 D 解析 a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6．故选D ．6．已知向量a ＝(λ＋1，1)，b ＝(λ＋2，2)，若(a ＋b )∥(a －b )，则λ＝________．6．答案 0 解析 因为a ＋b ＝(2λ＋3，3)，a －b ＝(－1，－1)，且(a ＋b )∥(a －b )，所以2λ＋3－1＝3－1，所 以λ＝0．7．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2，3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A ．25B ．－25C ．35D ．－357．答案 B 解析 解法一：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，因为a ＋λb 与c 共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a ＋λb ＝μc ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，4＋λ＝3μ，解得⎩⎨⎧μ＝65，λ＝－25.解法二：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，由a ＋λb 与c 共线可知3(2－λ)＝2(4＋λ)，得λ＝－25． 8．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则m n＝________． 8．答案 －13 解析 由2－1≠32，所以a 与b 不共线，又a －3b ＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0．那么 当m a ＋n b 与a －3b 共线时，有m 1＝n －3，即得m n ＝－13． 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (0，1)，B (1，－2)，C (m ，0)．若OB →∥AC →，则实数m的值为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2 9．答案 C 解析 因为OB →＝(1，－2)，AC →＝(m ，－1)．又因为OB →∥AC →，所以m 1＝－1－2，m ＝12．故选C ． 10．已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b )，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的关系式为________．10．答案 a ＋b ＝2 解析 由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →．∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2．11．已知点A (0，1)，B (3，2)，C (2，k )，且A ，B ，C 三点共线，则向量AC →＝( )A ．⎝⎛⎭⎫2，23B ．⎝⎛⎭⎫2，53C ．⎝⎛⎭⎫23，2D ．⎝⎛⎭⎫53，2 11．答案 A 解析 AB →＝(3，1)，AC →＝(2，k －1)，因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB →＝λAC →，即(3，1)＝λ(2，k －1)，所以2λ＝3，即λ＝32，所以AC →＝1λAB →＝⎝⎛⎭⎫2，23． 12．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0．若a ∥b ，则m n＝________． 12．答案 －2 解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n＝－2． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．13．答案 12 解析 ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得 ⎩⎨⎧ λ＝12，t ＝12.14．已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．14．答案 (3，3) 解析 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3)． 法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y ．又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3)．15．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1，1)，且a ∥b ，则向量a 的坐标是__________．15．答案 ⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22 解析 a ＝(x ，y )，因为平面向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(1，1)，且 a ∥b ，所以x 2＋y 2＝1，且x －y ＝0，解得x ＝y ＝±22．所以a ＝⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22． 16．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是__________．16．答案 ⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45 17．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D17．答案 B 解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．18．已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B ．43C ．12D ．1318．答案 A 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23． 19．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．219．答案 B 解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ．又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1．20．设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( )A ．－3B ．－2C ．2D ．320．答案 A 解析 由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2n －1，2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋1＋2n ＝1．2m ＋1＋2n ≥22m＋n ＋1，所以2m ＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3．考点二 两个非零向量的垂直【方法总结】两平面向量垂直的充要条件既可以判定两向量垂直，也可以由垂直求参数．高考试题中一般是考查已知两向量垂直求参数，如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件(2)，列出相应的关系式，进而求解参数．如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件(1)，列出相应的关系式，进而求解参数．如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标从而把问题转化为已知向量的坐标求参数的问题．注意方程思想和等价转化思想的运用．【例题选讲】[例1](1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC答案 D 解析 在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b|cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D ．(2)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．答案 7 解析 因为a ＋b ＝(m －1，3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7．(3)(2018·北京)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________．答案 －1 解析 由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1．(4)(2020·全国Ⅲ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．答案 22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0．因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22． (5)(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos<m ，n >＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94答案 B 解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t|m ||n |cos<m ，n >＋|n |2＝0．又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4．故选B ． (6)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，则当AE →·DF →＝0时，λ的值所在的区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫18，14B ．⎝⎛⎭⎫14，38C ．⎝⎛⎭⎫38，12D ．⎝⎛⎭⎫12，58 答案 B 解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，可得<AD →，BC →>＝60°，所以<AB →，AD →>＝60°，<AB →，BC →>＝120°，所以AB →·AD →＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2，又BE BC ＝AF AB＝λ，所以BE →＝λBC →，AF →＝λAB →，则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →，所以AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →)＝λAB →2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334∈⎝⎛⎭⎫14，38． 【对点训练】1．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )A ．－23B ．23C ．43D ．631．答案 B 解析 因为a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，所以a －b ＝(－2，m )－(1，3)＝(－3，m －3)．由 (a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，m －3)·(1，3)＝－3＋3m －3＝3m －6＝0，解得m ＝23，故选B ．2．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．82．答案 D 解析 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以 (a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝83．设向量a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，若(a －b )⊥a ，则实数m ＝( )A ．12B ．13C ．1D ．2 3．答案 C 解析 因为a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，所以a －b ＝(1，m )－(m －1，2)＝(2－m ， m －2)，又(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0，可得(2－m )×1＋m (m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2．当m ＝2时，a ＝b ，不符合题意，舍去，故选C ．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－14．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．5．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．1525．答案 C 解析 ∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0．∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3， －6)．∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0．∴k ＝3．6．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－16．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( )A ．－311B ．－113C ．12D ．357．答案 A 解析 b ＋λa ＝(1，0)＋λ(1，2)＝(1＋λ，2λ)，又c ＝(3，4)，且(b ＋λa )⊥c ，所以(b ＋λa )·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311． 8．在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点 的直角三角形，则t ＝________．8．答案 3 解析 由已知，得BA →·BC →＝0，则(3－t ，t ＋1)·(－3－t ，0)＝0，∴(3－t )(－3－t )＝0，解得t＝3或t ＝－3，当t ＝－3时，点B 与点C 重合，舍去．故t ＝3．9．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________．9．答案 1 解析 ∵a 与b 为两个不共线的单位向量，∴|a|＝|b |＝1，又a ＋b 与k a －b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0，∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0(θ为a 与b 的夹角)，∴(k －1)(1＋cos θ)＝0．又a 与b 不共线，∴cos θ≠－1，∴k ＝1．10．(2013·全国Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．10．答案 2 解析 因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12， 由b ·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2． 11．已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A ．2215B ．103C ．6D ．12711．答案 A 解析 因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝2215．。
第2课平面向量的平行与垂直
第2课 平面向量的平行与垂直一、教学目标1. 理解平面向量的平行和垂直概念，并掌握平行于垂直的判定方法；2. 能利用平行和垂直解决相关问题.二、基础知识回顾与梳理 1.已知向量(4,3)a = ，(6,)b y = 且//，求实数y 的值.2．将上题中的a //b ，改成a ⊥b ，求实数y 的值.3.已知A(6,1), B （0，－7），Ｃ(－2,－3),试确定ABC ∆的形状.三、诊断练习题1、 已知向量)4,3(),0,1(),2,1(===→→→c b a ，若λ为实数，→→→+c b a //)(λ，_____=λ 【变式】：已知向量a,b ,且AB =a +2b , BC =－5a +k b , CD =7a －2b ，若A,B,D 共线则k 的值为________.题2、 已知),1,2(),4,3(-==→→b a 若向量→→+b a λ与-→b 垂直，则________=λ 题3：P 是ABC ∆所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ，则P 是ABC ∆ 的_____________.(在“外心”、“内心”、“重心”、“垂心”中选一个填空)【变式】：平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA OC OB OD +=+ ，则四边形ABCD 的形状是__________. 题4：设A,B,C,D 为平面上互异的四个点，且(2)()0DB DC DA AB AC +-⋅-= ，0AB AC ⋅= ,42=则||AB =________________.四、范例导析例1、已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =1)-,（1）若2c a = ，且//c a ，求c 的坐标；（2）若127a b + 与a b - 垂直，且b 与a 的夹角为120°，求b .例2 已知向量a =（1,2），b =（－2，1），k ，t 为正实数，向量2=(1)t x a ++b ，1=k t-y a +b (1) 若⊥x y ，求k 的最小值；(2) 是否存在正实数k ，t 使x //y ？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.五、解题反思1、处理向量平行和垂直问题时，通常使用向量平行、垂直的坐标形式的充要条件，从而得到方程.三道例题都有体现.2、例2要结合图形分析其中的几何条件特征，将几何条件转化为坐标表示，这是数形结合的具体形式.3、在例3中，通过向量垂直的充要条件得到的,k t 式子中，将谁作为自变量？从中要体会函数思想方法在解题中的导引作用.六、课后练习：1、 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．2、 线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝3、已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为4、在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________.5、在平面直角坐标系xOy 中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长(2)设实数t 满足(t -)·=0，求t 的值（1）(3,5),(1,1)AB AC ==-。
(完整版)平面向量的平行与垂直
AC a b(, R),则A, B,C三点共线的充要条件是
是_______1__.
4. 若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2， －1)共线，则实数a的值为________．
5. 平面上三个向量a,b, c 的模均为1，它们相互
之间的夹角均为120°，求证：(a
b)
⊥c
选做题： 在△ABC中,角A,B,C的对边分别 为a,b,c,且cosC= 3
x1y2 xห้องสมุดไป่ตู้ y1 0
(b 0)
ab
a b 0
x1x2 y1y2 0
(a 0, b 0)
一、基础训练
r
r
rr
1.已知平面向量 a (3,1),b (x, 3), a // b,则x
等于_____-_9______
r
r
2.已ar 知br 与平面ar 向垂量直，a=则（1是,－_3_）__，b_-_=1_（_4_,－__2_），
r
b
r
(1, 3r)
c
(k , 2)
，若
10
(a
c)
b
则k= 0
;若(
a ，
c)
∥
b
则k
=
3
． ，
2. 已知向量a (1, 2) b (2,3) 若向量 c 满足(c a) / /b
77
c (a b) ，则c ___(__9_,__3_) _______
3. 已知a,b是不共线的向量，AB a b,
平面向量的平行与垂直
涟水县第一中学
陈刚
基础知识回顾：
1．平行(共线)向量定义：
方向 记作
相ar∥同或br；相反
用向量讨论垂直与平行
(2)垂直关系 :
设直线l，m的方向向量分别为 a b ， ， 平面 ， 的法向量分别为 u ， v
线线垂直 线面垂直 面面垂直
l m a b ab 0 l a // u a u u v u v 0
n1
a b
1
n2
2
例3：用向量法证明： 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的 投影，则这两条直线垂直。
b a c n
练习：证明： 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平 面互相垂直.
α a
β
回顾:
1.线面平行的判定定理：
a b
α
如果平面外一条直线平 行于平面内的一条直线， 则这条直线平行于这个 平面。
a b a // a // b
2.面面平行判定定理：
α p
a b
β
若一个平面内有两条 相交直线都平行于另 一个平面，则这两个 平面平行。
b a b P // a // b //
a
3.线面垂直的判定定理：
l a α p
b
若一条直线垂直于 一个平面内的两条 相交直线，则该直 线与此平面垂直。
b a b P l l a l b
a
4.面面垂直的判定定理:
α a
β
如果一个平面经过另 外一个平面的一条垂 线，则这两个平面垂 直。
பைடு நூலகம்
l
a
u
l a // u a u
u
v
第56课平面向量的平行与垂直
第56课平面向量的平行与垂直第56课平面向量的平行与垂直第56课平面向量的平行于垂直1. 理解平面向量的平行和垂直概念，并掌握平行于垂直的判定方法；2. 能利用平行和垂直解决相关问题. 二、基础知识回顾与梳理1．已知向量a=(4,3)，b=(6,y)且a b，求实数y的值.【教学建议】本题是选自课本第75页练习.主要目的是帮助学生复习、回顾两个向量平行的充要条件.教学时可采用提问方法由学生回顾学过的两种形式的平行的判定条件：（1）符号语言：若a//b，a≠0，则b=λa，但在此过程需要另设未知数λ；（2）坐标语言：x1y2-x2y1=0,这种方法来的简单直接学生更易接受.同时可提问这两种方法的联系与区别，坐标法是符号语言形式推导出来的. 2．将上题中的a//b，改成a⊥b，求实数y的值.【教学建议】主要目的是帮助学生复习、回顾两个向量垂直的充要条件，教学时可采用提问方法. 3. 已知A(6,1), B（0，－7），Ｃ(－2,－3),试确定∆ABC的形状.【教学建议】本题选自书上87页，旨在让学生进一步理解向量垂直的条件，并进行运用.教学时要引导学生作图进行观察，确定形状后，通过向量的运算进行确认.1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏.课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误.将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力.点评时要简洁，要点击要害.2、诊断练习点评题1、已知平面内A,B,C三点在同一条直线上，OA=(-2,m),OB=(n,1),OC=(5,-1)，且OA⊥OB，则实数mn的值为【分析与点评】“A,B,C三点在同一条直线上”这一条件可转化为//，进而得到一个有关m,n的方程，再由⊥得另一方程，联立两个方程即可求解.【变式】：已知向量a,b,且=a+2b, BC=－5a+kb, CD=7a－2b，若A,B,D共线则k的值为________.【点评】：本题所要求的与已知条件与题1的相同，培养学生从基底角度理解向量共线.题2、已知e1,e2是夹角为π的两个单位向量，a=e1-2e2，b=ke1+e2，若a⋅b=0，则实数k的值为【分析与点评】本题系2021江苏高考第10题，主要考查学生利用基底进行简单数量积运算的能力.“外心”、“内心”、“重心”、“垂心”中选一个填空)题3：P是∆ABC所在平面上一点，若PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，则P是∆ABC 的_____________.(在【分析与点评】怎样理解PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA是解决本题的关键，观察等式的三边，式子类似且形式对称，通过PA⋅PB=PB⋅PC我们能得出怎样的结论？A+OC=OBO+D【变式】：平面内有四边形ABCD和点O，若O，则四边形ABCD的形状是__________.题4：设A,B,C,D为平面上互异的四个点，且(DB+DC-2DA)⋅(AB-AC)=0，AB⋅AC=0,BC=4则||=________________.【分析与点评】AB⋅AC=0怎么理解？说明AB,AC具有怎样的位置关系？引导学生画出图形.∆ABC是直角三角形，一边BC=2. (DB+DC-2DA)⋅(AB-AC)=0需要化简，怎么化？得到AB-AC=0，说明||=||，再去解直角三角形.第42课平面向量的平行与垂直第 1 页（1）已知两向量的坐标解决平行或垂直的问题时关键在于能根据相应的坐标运算列出等式，进行运算. （2）向量既具有数的特征又具有图形的特征，在解题时，既要对向量进行运算分析，同时配以图形辅助分析，比如诊断练习第3题,第4题. 四、范例导析例1、设向量=(4cosα,sinα),=(sinβ,4cosβ),=(cosβ,-4sinβ) （1）若a与b-2c垂直，求tan(α+β)的值；（2+的最大值；（3）若tanαtanβ=16，求证：//.【教学处理】本题可由学生板演，教师点评或板书时，要概括总结相关要点. 【引导分析与精讲建议】 1. 第（1）、(3)两小题是两向量平行或垂直的充要条件的直接应用：题（1）两个非零向量a ⊥ b⇔a⊥b⇔x1x2+y1y2=0；题（3），a//b⇔ x1y2-x2y1=0，将相应的坐标代入等式，进而获证.2. 题（2）首先要知道向量求模公式：|a|=x+y，以下通过两种方案求解：方案一：求出b+c+的最大值；+进行平方，建立出目标函数，进而求出其最大值.例2 已知向量a=（1,2），b=（－2，1），k，t为正实数，向量x=a+(t+1)b， y=-ka+b (1) 若x⊥y，求k的最小值；(2) 是否存在正实数k，t使x y？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评.也可在学生函数化思想时遇到困难时，教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书. 【引导分析与精讲建议】1、本题直接使用两向量垂直和平行的充要条件，一般做法：根据条件列出相应的等式→将等式化简变形→对已知和结论对比分析； 2、第（1）题中由已知得到(-2t-1)(-k-)+(t+3)(-2k+)=0时，应引导学生观察本题要求什么？(t>0)要运思考如何去做？让学生去体会函数化的思想在求最值中的作用，其次得到的函数k=t用基本不等式进行运算. 3、第（2）题是一条探索题，一般做法：先假设问题成立→列式进行分析处理.本题是不存在这样的实数k,t，则需要推出矛盾.例3 以原点O和A（4,2）为两个顶点作等腰三角形OAB，∠B= 90︒，求点B的坐标和【教学处理】指导学生画出图形先独立思考【引导分析与精讲建议】可提出以下问题与学生交流：问题1：如果设点B(x,y)，怎样从条件中找出两个关于x,y的式子，列出方程组？问题2：尝试从不同的角度，去列出方程组？第42课平面向量的平行与垂直第 2 页问题3：对照图形来理解，为什么会有两解？这两解有怎样的特征？五、解题反思1、处理向量平行和垂直问题时，通常使用向量平行、垂直的坐标形式的充要条件，从而得到方程.三道例题都有体现.2、在例2中，通过向量垂直的充要条件得到的k,t式子中，将谁作为自变量？从中要体会函数思想方法在解题中的导引作用.3、例3要结合图形分析其中的几何条件特征，将几何条件转化为坐标表示，这是数形结合的具体形式.第42课平面向量的平行与垂直。
平面向量的平行与垂直
平面向量的平行与垂直平面向量是数学中的一个重要概念，它具有方向和大小，常用于描述物体的位移、速度和力等。
在平面向量的研究中，平行和垂直是两个常见的关系。
本文将详细介绍平面向量的平行与垂直的概念、定理、判定方法以及一些例题。
一、平面向量的平行与垂直概念在平面几何中，两个向量的平行与垂直是基于向量的数量特性来定义的。
具体定义如下：1. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，且模长之比为一个非零实数，则称这两个向量为平行向量。
用符号"∥"表示。
2. 垂直向量：如果两个向量的内积等于0，则称这两个向量为垂直向量。
用符号"⊥"表示。
在二维平面坐标系中，可以利用向量的坐标表示法来判断两个向量是否平行或垂直。
对于平行向量，其坐标之比（分量比）相等；对于垂直向量，其坐标的内积（叉乘）等于0。
二、平面向量的平行与垂直定理对于平面向量的平行与垂直关系，有以下重要定理：1. 平行向量的定理：若向量a和b平行，则存在非零实数k，使得a=k*b。
2. 垂直向量的定理：若向量a和b垂直，则a·b=0。
3. 平行与垂直性质的推论：若向量a、b、c满足a·b=0，b·c=0，则向量a平行于向量c。
这些定理为判断和证明平面向量的平行与垂直关系提供了依据和便利。
三、平面向量的平行判定方法判断两个向量是否平行的方法有多种，常用的包括以下几种：1. 向量坐标判定法：对于向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，如果x1/x2=y1/y2，则a∥b。
2. 线性相关性判定法：如果向量a和b线性相关，则a∥b。
3. 内积判定法：如果向量a和b的内积等于它们的模长的乘积，即a·b=|a|*|b|，则a∥b。
利用这些判定方法，可以方便地判断平面向量的平行关系。
四、平面向量的垂直判定方法判断两个向量是否垂直的方法有以下几种：1. 向量坐标判定法：对于向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，如果x1*x2+y1*y2=0，则a⊥b。
(完整word)平面向量的平行与垂直
盱眙县都梁中学高三(年级）数学（学科)导学案《平面向量的平行与垂直》编制人 林野审校人 韩杰林【学习目标】1.向量的夹角2。
两个向量平行垂直的充要条件【学习重点】两个向量平行垂直的充要条件【学习难点】两个向量平行垂直的充要条件【学习方法】启发式回归教材1.已知向量a =（3，1），b =（2,λ),若a //b ,则实数λ=_____2.已知向量a =（5，12），b =(sin α，cos α），且a //b ，则tan α=_______3.已知向量a =(6，2),b =(3,k ）,若a ⊥b .则k=_____4.已知向量a =（-3,4）,向量b //a ，b =1,则k=______5.已知a =（—3，1),b =（1，-2),若（—2a +b )⊥（k a +b ），则实数k=______分类解析例 1.已知A （—1，—1），B （1，3），C （1，5），D （2,7）（1）向量AB 与向量CD 平行吗？（2）向量AC 与向量AB 平行吗？例2。
设平面向量a =(cos α，sin α）(0πα2<≤)，b =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21,a 与b 不共线。
（1）求证:a +b 与a —b 互相垂直；（2）当→→→→-=+b a b a 33，求角α例3.已知向量a =（m ，—1),b =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21(1)若a //b ，求实数m 的值.(2)若a ⊥b ，求实数m 的值。
(3)若a ⊥b ，且存在不等于零的实数k ，t,使得),()3(2→→→→+-⊥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+b t a k b t a ，求t t k 2+的最小值。
课堂评价：1.已知向量m =()1,1+λ，n =()2,2+λ，若（m +n ）⊥（m —n )，则实数λ=______2.已知向量a =（1，k),b =（9,k-6）,若a //b ，则实数k=____3.设x ，y R ∈，向量a =（x ，1)，b =（1，y)c=(2，—4）.若a ⊥b,b //c ，则→→+b a =______ 4.已知a ⊥b ，,3,2==→→b a 当(3a —2b ）⊥（λa +b ）时,则实数λ的值为_______.作业纸：A 组训练题1.已知向量a=(2，-3），b=（3，λ）。
向量的平行(共线)与垂直
(1)已知向量a=(-1,2),b=(2,3),且(ka+b)与b垂
解:方法 1:由题意可得:(ka+b)·b=0 ,
∴ka·b+b2= 0,
∴4k+13=0,解得
k=- .
方法 2:∵ka+b=(-k+2,2k+3),又(ka+b)⊥b,
∴2(-k+2)+3(2k+3)=0,解得
【答案】
D
D.( ,- )或(- , )
B.( , )或(- ,- )
)
3.已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),且a⊥b,则x= (
)
A.-3
B.-1
C.1
D.3
【答案】
C
4.已知向量a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,则y=
【答案】
3
.
5.已知向量a=(1,2),b=(-3,2),c=(k,2),求满足下列各条件
【小结】 在应用向量平行或垂直的条件分析问
题时,要注意区分平行和垂直条件的异同,不要混淆
)
【例2】 已知a,b是两个不共线的非零向量,且
c=3a+5b,d=ma-3b,m为何值时,c与d共线?
分析:d与c(非零向量)共线等价于存在实数λ,使得d=λc.
【解】 ∵c 与 d 共线,∴可设 d=λc,则有
7.4
向量的平行（共线）与垂直
【考纲要求】
1.理解两向量垂直、平行(共线)的条件;
2.能运用平面向量垂直和平行的条件解决有
关问题.
【学习重点】
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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编11：平面向量的平行与垂直一、选择题1 ．给定两个向量)4,3(=a ,)1,2(=b ,若)//()(b a b x a -+,则x 的值等于 （ ）A ．23B ．1-C ．1D ．23-2 ．设向量=,1x （）a , (4,)x =b ,且，a b 方向相反,则x 的值是 （ ）A ．2B ．-2C ．2±D ．03 ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-,()2,1OC m m =+.若//AB OC ,则实数m 的值为 （ ）A ．3-B ．17-C ．35-D ．354 .已知向量a 、b 不共线,c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ,那么 （ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向5 ．已知A(2,-2)、B(4,3),向量p 的坐标为(2k-1,7)且//p AB ,则k 的值为（ ）A ．910-B ．910C ．1910-D ．19106 ．已知向量()21=，a ,()2x =-，b ,若a ∥b ,则a+b 等于 （ ）A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-7 ．已知非零向量a 、b ,“函数2()()f x a xb =+为偶函数”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件8 ．已知向量a=(1,2),b=(-3,2)若ka+b//a-3b,则实数k=（ ）A ．31-B ．31C ．-3D ．39 ．已知平面向量(1,2)=a , (2,)m =-b , 且a ∥b , 则m 的值为 （ ）A ．1-B ．C ．4-D ．410．(2013大纲卷高考数学(文))已知向量()()1,1,2,2,λλ=+=+m n 若()(),+⊥-m n m n 则=λ（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-11．已知向量(2,3)=a ,(1,2)=-b ,若m n +a b 与2-a b 共线,则nm等于 （ ）A ．2-;B ．2C ．21-D ．2112．已知向量(12)a =，,(4)b x =，,若向量a b ⊥,则x = （ ）A ．2B ．2-C ．8D ．8-13．已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 14．已知向量+-===则),2,2(),0,2(),1,1(与c b +的位置关系是 （ ）A ．垂直B ．平行C ．相交不垂直D ．不确定15．(2012年高考(福建文))已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则a b ⊥的充要条件是（ ）A ．12x =- B ．1x =- C ．5x = D ．0x =二、填空题16．(2013山东高考数学(文))在平面直角坐标系xOy 中,已知(1,)OA t =-,(2,2)OB =,若90o ABO ∠=,则实数t 的值为______17．(山西省实验中学仿真演练试卷理)1e 、2e 是互相垂直的两个单位向量,且向量122e e +与12e ke -也相互垂直,则k =_____________.18．(2013上海春季数学(理))已知向量(1 )a k =，,(9 6)b k =-，.若//a b ,则实数 k = __________19．（2011年高考（北京理））已知向量(3,1),a =(0,1),b =-(,3)c k =,若2a b -与c 共线,则k =________.20．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知a =(3,2),b =(-1,0),向量a λ+b 与a -2b 垂直,则实数λ的值为_________参考练习题 21．(2011年高考(北京理))已知向量(3,1),a =(0,1),b =-(,3)c k =,若2a b -与c 共线,则k =________. 【答案】1 【解析】2(3,1)2(0,1)a b -=--=,因为2a b -与c 共线,30k =,所以1k =22．(2012年石景山区高三数学一模理科)设向量)cos 3,1(),1,(cos θθ==b a,且b a //,则θ2cos =________. 【答案】 31-23．(高2012级高三(下)第一次月考理科)向量a (1,3)=,b (,9)m =-,若a ∥b ,则m =________.【答案】-324．(2012年河北省普通高考模拟考试(文))已知向量a =(-3,4),b =(2,-1),λ为实数,若向量a + λb 与向量b 垂直,则λ=___ 【答案】225．(江苏省2012年5月高考数学最后一卷(解析版))已知平面向量(1,1)a =-,(2,1)b x =-,且a b ⊥,则实数x =______.【答案】【解析】本题主要考查平面向量的垂直. 【答案】326．（2013北京东城高三二模数学理科）已知向量(2,3)=-a ,(1,)λ=b ,若//a b ,则λ=___.【答案】 32- ;27．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c .若λ为实数,()//a b c λ+,则λ的值为_____________.【答案】53λ=12【解析】(1,2)(1,0)(1,2)a b λλλ+=+=+,因为()//a b c λ+,所以4(1)320λ+-⨯=,解得12λ=. 三、解答题28．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时,ka +b 与3a -b 平行?平行时它们是同向还是反向? 【答案】解:因为3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-;(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+又()//(3)ka b a b +- 4(3)10(22)k k ∴--=+13k ∴=-这时104(,)33ka b +=-,所以当13k =-时,ka b +与3a b -平行,并且是反向的.参考答案1. 【答案】A ．2.【答案】 B ．3. 【答案】A4. 【答案】D 特值法 【解析】本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.取a ()1,0=,b ()0,1=,若1k =,则c =a +b ()1,1=,d =a -b ()1,1=-, 显然,c与d不平行,排除A ．B ． 若1k =-,则c =-a +b ()1,1=-,d =-a +b ()1,1=--,即c //d 且c 与d 反向,排除C,故选D ．5. 【答案】D ．6. 【答案】A ．7.【答案】C8.【答案】A ．9. 【答案】C 10. 【答案】B ．【解析】∵()(),+⊥-m n m n ∴()()0+⋅-=m n m n ∴220-=m n 即()()2211[24]0λλ++-++=∴3λ=-,点评：要学会简化运算。
11. 【答案】C ．12. 【解析】02121=+=⋅y y x x .8,08-=∴=+x x 即,故选D ．13. 【答案】 A 解:(3,4)AB =-,所以||5AB =,这样同方向的单位向量是134(,)555AB =- 14. 【答案】A 15. 【解析】由向量垂直的充要条件得2(x-1)+2=0 所以x=0 . 16.【答案】答案:5.解析:∵，(1)OA t =-,，(22)OB =,∴(2,2)AB OB OA =-=(1,)(3,2)t t --=-∵90ABO ∠=,∴AB OB⊥,∴232(2)0AB OB t ⋅=⨯+⨯-=,解得5t =. 17. 【答案】218.【答案】 34- 19. 【答案】1 【命题立意】本题考查了平面向量的加、减、数乘的坐标运算和共线向量的坐标运算. 【解析】2(3,1)2(0,1)a b -=--=,因为2a b -与c 共线,30k =,所以1k =20.【解析】(31,2),2(1,2)a b a b λλλ+=--=-,因为向量a λ+b 与a -2b 垂直,所以()(2)0a b a b λ+-=,即3120λλ-++=,解得1λ=.。