一轮复习专题数列中的存在性问题

专题：数列中的存在性问题
学大苏分教研中心 周坤
一、单存在性变量
解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n ）的方程，然后n 的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。

例1、已知数列{
n
a }的前n 项和为
n S =235n n +，在数列{n b }中，1b =8，164n n b b
+-=0，
问是否存在常数c 使得对任意n ，log n c n
a b +恒为常数M ，若存在求出常数c 和M ,若不
存在说明理由.
解析：假设存在常数c 使得对任意n ，log n c n
a b +恒为常数M ，
∵
n
S =2
35n n +，
∴当n =1时，则
1a =1
S =8，
当n ≥2时，n a =1n n S S --=2235[3(1)5(1)]n n n n +--+-=62n +，
当n =1适合， ∴
n
a =62n +，
又∵164n n
b b +-=0， ∴1n n b b +=1
64，
∴数列{n b
}是首项为8，公比为1
64的等比数列， ∴n
b =
118(
)64n -=962n -，
则
log n c n
a b +=
9662log 2n c n -++=
62(96)log 2
a n n ++-=
6(1log 2)29log 2
a a n -++，
又∵对任意n ，log n c n
a b +恒为常数M ，
∴
6(1log 2)
a -=0，解得c =2，
∴M =
29log 2
a +=11，
∴存在常数c =2使得对任意n ，log n c n
a b +恒为常数M =11.
二、双存在型变量
解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。

如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。

例2、【2010南通一模】
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式；
（2）设数列{}n b 的通项公式为n
n n a b a t
=
+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，
(3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.
【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d. 由已知得
51323439a a a +=⎧⎨
=⎩，，
………………2分
即118173a d a d +=⎧⎨
+=⎩，，解得112.a d =⎧⎨=⎩，
……………………………………………………………4分.
故
2
21n n a n S n =-=，.…………………………………………………………………6分
（2）由（1）知
21
21n n b n t -=
-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即
312123121m t t m t -⨯
=+
++-+，………………………………………………………………8分.
（3）整理得
4
31m t =+
-，…………………………………………………………… 11分
因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.
当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =.
故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列. ……………………………… 15分
例3、设数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，数列{}n b 满足
*()n
n n a b m N a m =
∈+.
（Ⅰ）若
128
,,b b b 成等比数列，试求m 的值；
（Ⅱ）是否存在m ，使得数列{}n b 中存在某项t b 满足*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列？若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）因为2
n S n =，所以当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-……………………3分
又当1n =时，
111
a S ==，适合上式，所以
21
n a n =-（*
n N ∈）…………………4分
所以
2121n n b n m -=
-+，则1281315
,,1315b b b m m m ===+++，由2
218b b b =，
得23115
(
)3115m
m m =⨯
+++，解得0m =（舍）或9m =，所以9m =………………7分 （Ⅱ）假设存在m ，使得*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列，即412t b b b =+，则
712127121t m m t m -⨯
=+
++-+，化简得
36
75t m =+-…………………………………12分 所以当51,2,3,4,6,9,12,18,36m -=时，分别存在43,25,19,16,13,11,10,9,8t =适合题意， 即存在这样m ，且符合题意的m 共有9个 ………………………………………14分
例4、【2010徐州三模】
已知数列{}n a
是各项均不为
0的等差数列，
n
S 为其前n 项和，且满足
221
n n a S -=，
令
1
1n n n b a a +=
⋅，数列{
}
n b 的前n 项和为n T .
（1）求数列{}
n a 的通项公式及数列{
}
n b 的前n 项和为n T ；
（2）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的
,m n 的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）因为{}n a
，由2
12121()(21)
(21)2n n n n
a a n a S n a --+-==
=-，
又因为
n a ≠，所以
21
n a n =-，………………………………………………………2分
由
111111
()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +=
==--+-+
所以
111111(1)2335212121n n
T n n n =-+-+
+
-=
-++．……………………………6分
(2)由(1)知，
21n n T n =
+， 所以11,,32121m n m n
T T T m n ===
++，
若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21
321m n
m n =++，即2244163m n m m n =+++．……8分 解法一：由22
44163m n m m n =+++，可得223241
m
m n m -++=
，
所以2
2410m m -++>， ……………………………………………………………12分
从而：
1122m -
<<+，又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =．
故可知：当且仅当2m =， 12n =使数列{}n T 中的1,,m n T T T
成等比数列。

…………16分
解法二：因为11
36366n n n =<
++，故22
14416m
m m <++，即22410m m --<，………12分
从而：
11m <<+，（以下同上）．
三、三个存在型变量------连续的
解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在连续的三项，恰好成等差数列（或等比数列）”。

可以先假设存在，然后构造一个关于单存在性变量的方程，即转化为一个方程有正整数根的问题，我们可以按照处理零点问题的方法（“解方程”或者“画图像”）求解。

例5、【扬州2010一模】 已知数列
{}
n a ，
(0,0,,,0,*)
n n n a p q p q p q R n N λλλ=+>>≠∈≠∈.
⑴求证：数列1{}
n n a pa +-为等比数列；
⑵数列{}
n a 中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；
⑶设
{(,)|3,*}
n n n n A n b b k n N ==+∈，其中k 为常数，且k N *
∈，
{(,)|5,*}
n n n B n c c n N ==∈，求A ∩B.
解：⑴∵
n
a =n n
p q λ+，∴111()()n n n n n n n a pa p q p p q q q p λλλ+++-=+-+=-，
∵0,0,q p q λ≠>≠∴21
1n n n n
a pa q
a pa +++-=-为常数
∴数列
1{}n n a pa +-为等比数列------------------------------------------------------------4分
⑵取数列{}
n a 的连续三项12,,(1,)
n n n a a a n n N *++≥∈，
∵
211222212()()()()n n n n n n n n n n n a a a p
q p q p q p q p q λλλλ++++++-=+-++=--，
0,0,,0p q p q λ>>≠≠，∴2()0n n p q p q λ--≠，即2
12n n n a a a ++≠，
∴数列
{}
n a 中不存在连续三项构成等比数列； ------------------------------------------9分
⑶当1k =时，3315n n n n
k +=+<，此时B C =∅；
当3k =时，33323n n n n n
k +=+=⋅为偶数；而5n 为奇数，此时B C =∅；
当5k ≥时，35n n n
k +>，此时B C =∅；----------------------------------------------12分 当2k =时，325n n n
+=，发现1n =符合要求，
下面证明唯一性（即只有1n =符合要求）。

由325n n n
+=得32()()155n n
+=，
设
32()()()55x x f x =+，则32
()()()55x x
f x =+是R 上的减函数， ∴ ()1f x =的解只有一个
从而当且仅当1n =时32
()()155n n +=，即325n n n
+=，此时{(1,5)}B C =；
当4k =时，345n n n
+=，发现2n =符合要求，
下面同理可证明唯一性（即只有2n =符合要求）。

从而当且仅当2n =时34
()()155n n +=，即345n n n
+=，此时{(2,25)}B C =；
综上，当1k =，3k =或5k ≥时，B C =∅； 当2k =时，{(1,5)}B C =，
当4k =时，{(2,25)}B C =。

------------------------------16分
四、三个存在型变量------不同的
解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在不同的三项……，恰好成等差数列（或等比数列）”，不难看出，三个存在型变量均出现在下标，这就等于给定了两个隐含条件，其一，三个变量均为正整数，其二，三个变量互不相等。

另外，一旦我们主动去分析数列的单调性，那么我们就可以不妨设出这三个变量的一个大小顺序。

具体的，该类问题可以分成三类。

其一，等差中找等比（无理有理找矛盾）
例6、【扬州2010三模】
已知数列{}n a 满足：2
12
1+,4=12+,2n n n+a n a a a n ⎧
⎪⎪⎨⎪⎪⎩为偶数为奇数,-,
（*,,n N a R a ∈∈为常数），
数列{}
n b 中，
221
n n b a -=。

⑴求
123
,,a a a ；
⑵证明：数列{}n b 为等差数列；
⑶求证：数列
{}
n b 中存在三项构成等比数列时，a 为有理数。

解：⑴由已知
11122a a a =-+
，得11
2a a =-，
2111
44
a a a =+
=-，
32122a a a a =-+
=。

……… ……………………4分
⑵
2212121
22n n n b a a a --==-+
，
22212221211212222211113
22()212()1224242
n n n n n n n b a a a a a a a a a a a ++--+-==-+=+-+=-+=+-+=-+
∴
11
n n b b +-=，又
13b a a
==，
∴数列{}
n b 是首项为a ，公差为1的等差数列。

(9)
分
⑶证明：由⑵知
1
n b a n =+-， ……………………………………………10分
若三个不同的项,,a i a j a k +++成等比数列，i 、j 、k 为非负整数，且i j k <<，
则2()()()a i a j a k +=++，得
2
(2)a i k j j ik +-=-， ……………………………12分 若20i k j +-=，则2
0j ik -=，得i =j =k ，这与i j k <<矛盾。

…………14分
若20i k j +-≠，则22j ik a i k j -=
+-， ∵i 、j 、k 为非负整数，
∴a 是有理数。

………………………………………………………………16分
例7、等差数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2. (1)求数列{an}的通项an 与前n 项和Sn ；
(2)设bn ＝Sn
n (n ∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
(1)解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
a1＝2＋1，
3a1＋3d ＝9＋32，
∴d ＝2，
故an ＝2n －1＋2，Sn ＝n(n ＋2)． (2)证明：由(1)得bn ＝
Sn
n
＝n ＋ 2.
假设数列{bn}中存在三项bp 、bq 、br(p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则r p q b b b =2
即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q2－pr)＋(2q －p －r)2＝0. ∵p ，q ，r ∈N*， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
q2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r)2＝0，
∴p ＝r.这与p ≠r 相矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
其二，等比中找等差（化简成整式，通过等式两边同除公比的最小次方，进而等式两边，一边为公比的倍数，另一边不是公比的倍数，矛盾）；
例8、【无锡市2010年秋学期高三期末考试】 由部分自然数构成如图的数表，用
()
ij a i j ≥表示第i 行第j 个数（*
,i j N ∈），使
1i ii a a i
==，每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和。

设第
*
()n n N ∈行中各数之和为
n b 。

（1）求6
b ； （2）用
n
b 表示
1
n b +；
（3）试问：数列
{}n b 中是否存在不同的三项
p
b ，
q
b ，r
b （*
,,p q r N ∈）恰好成
等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的关系；若不存在，请说明理由。

（1）
694
b =……………………………………………………………………2分
（2）1(1)1(1)2(1)(1)
...n n n n n b a a a +++++=+++ 12(1)1()...()1
n n n n nn n a a a a n -=+++++++
122(...)2
n n nn a a a =++++
=
22
n b +；……………………………………………………………………6分
（3）∵
122
n n b b +=+，∴
122(2)
n n b b ++=+……………………………8分
所以{2}
n b +是以
123
b +=为首项，2为公比的等比数列，………………9分
则
1123232 2.
n n n n b b --+=⋅⇒=⋅-…………………………………………11分
若数列
{}
n b 中存在不同的三项
*,,(,,)
p q r b b b p q r N ∈恰好成等差数列，
不妨设p q r >>，显然
{}
n b 是递增数列，则
2q p r
b b b =+…………………12分
即2
111
2(322)(322)(322)q p r ---⋅-=⋅-+⋅-，化简得： 2221q r p r --⋅=+………………………………（*）…………………………14分
由于*,,p q r N ∈，且p q r >>，知q r -≥1，p r -≥2，
所以（*）式左边为偶数，右边为奇数，
故数列
{}
n b 中不存在不同的三项
*,,(,,)
p q r b b b p q r N ∈恰好成等差数
列。

………………………………………………………………………………………16分
例9、【2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学】
已知数列{a n }的通项公式为a n = 2⨯3n + 2
3n – 1
(n ∈N *).
⑴求数列{a n }的最大项；
⑵设b n = a n + p
a n – 2
，试确定实常数p ，使得{b n }为等比数列；
⑶设*
,,,N m n p m n p ∈<<，问：数列{a n }中是否存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由. 解 ⑴由题意a n = 2 +
4
3n – 1
,随着n 的增大而减小,所以{a n }中的最大项为a 1 = 4.…4分 ⑵b n = 2 + 4
3n – 1 + p
43n – 1
= (2 + p )(3n – 1) + 44 = (2 + p )3n + (2 – p )
4，若{b n }为等比数列，
则b 2
n +1 – b n b n +2= 0(n ∈N * )所以 [(2 + p )3n +1 + ( 2 – p )]2 – [{2 + p )3n + (2 – p )][(2 + p )3n +2 + (2 – p )] = 0(n ∈N *)，
化简得(4 – p 2)(2·3n +1 – 3n +2 – 3n ) = 0即– (4 – p 2)·3n ·4 = 0,解得p = ±2. ………………………7分 反之,当p = 2时,b n = 3n ,{b n }是等比数列;当p = – 2时,b n = 1,{b n }也是等比数列.所以,当且仅当p = ±2时{b n }为等比数列. ……………………………………………………………………………………10分 ⑶因为4231m m a =+-，4231n n a =+-，4
231
p
p a =+-，若存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，
n a ，p a 是等差数列，则2n m p a a a =+，所以42(2)
31
n +
-=4231m +-4231p ++-，…………12分
化简得3(23
31)1323n
p n p m p m n m ----⨯--=+-⨯（*），
因为*
,,,N m n p m n p ∈<<，
所以1p m p n -≥-+，1p m n m -≥-+，
所以13333p m p n p n --+-≥=⨯，13333p m n m n m --+-≥=⨯，（*） 左边3(23
331)3(31)0n
p n
p n n p n ---≤⨯-⨯-=--<，
右边13323130n m n m n m ---≥+⨯-⨯=+>，所以（*）式不可能成立，
故数列{a n }中不存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列. ……………16分
例10、【无锡市2011一模】
已知数列{}n a 的首项135a =，
13,1,2,
21n n n a a n a +==+．
（1）求证：数列11n a
⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭为等比数列；
（2） 记12
111n n
S a a a =
++，若
100
n S <，求最大的正整数n ．
（3）是否存在互不相等的正整数,,m s n ，使,,m s n 成等差数列，且1,1,1
m s n a a a ---成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
解：（1）∵1121
33n n
a a +=+，∴1111133
n n a a +-=-，………………………2分
且∵
1
1
10a -≠，∴
1
10()*N n
n a -≠∈， ……………………………3分
∴数列11n a
⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭为等比数列．…………………………………4分
（2）由（1）可求得11211()33
n n a --=⨯，∴11
2()13
n n a =⨯+．…………… 5分
212
1111112()33
3n n n S n a a a =
+++
=++++1
11
133211313n n n n +-=+⋅=+--，…7分
若
100
n S <，则
1
11003n n +-
<，∴max 99n =．………………………………9分
（3）假设存在，则
2
2,(1)(1)(1)m n s m n s a a a +=-⋅-=-， ……………………10分
∵332n n n a =+，∴2
333(1)(1)(1)323232n m s
n m s
-⋅-=-+++．……………………12分
化简得：3323m n s
+=⋅，………………………………………………………13分
∵33223m n s +≥=⋅，当且仅当m n =时等号成立．…………………15分
又,,m n s 互不相等，∴不存在．………………………………………………16分
其三，我们知道，既成等差又成等比的数列一定是非零的常数数列，利用这个性质，一旦我们通过分析或者化简得到三个存在性变量（或者他们经过相同变换得到的三个数）既成等差又成等比，那么即可说明三者相等，而题干说了“互不相等”，从而找出矛盾，说明不存在。

例11、【2012上海一联】 设等比数列}
{n a 的前n 项和为
n
S ，已知*
122()n n a S n N +=+∈
(1)求数列}
{n a 的通项公式；
(2)在
n
a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为
n
d 的等差数列(如：在
1
a 与2
a 之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为1
d ；在
2
a 与3a 之间插入2个数构成第
二个等差数列，其公差为
2
d ，…以此类推)，设第n 个等差数列的和是
n
A . 是否存在一
个关于n 的多项式()g n ，使得
()n n
A g n d =对任意*
n N ∈恒成立？若存在，求出这个多项
式；若不存在，请说明理由；
(3)对于(2)中的数列
123n d d d d ，，，，，
，这个数列中是否存在不同的三项
m k p
d d d ，，(其
中正整数m k p ，，成等差数列)成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.
解：(1)设1
1n n a a q -=，由)
(22*1
N n S a n n ∈+=+知，112
11122
2()2a q a a q a a q =+⎧⎨=++⎩，………2分 解得
{123
a q ==， ∴
1
23n n a -=⨯…………………………………………………………4分
(2)依题意，1123234311n n n n d n n --⨯-⨯⨯==
++；11(2323)(2)
4(2)32n n n n n A n --⨯+⨯+==+⨯
要使()n n
A g n d =，则
1
1
434(2)3
()1n n n g n n --⨯+⨯=⨯
+，…………………………………8分
∴2()(2)(1)32g n n n n n =+⨯+=++，即存在
2
()32g n n n =++满足条件；………10分 (3)对于(2)中的数列{}n d ，若存在不同的三项
m k p
d d d ，，(其中正整数m k p ，，成等差数列)
成等比数列，则2k m p d d d =，即111
2434343()1
11k m p k m p ---⨯⨯⨯=⋅
+++ ∵2k m p
=+①，
∴2111
(
)1
11k m p =⋅
+++，即2k mp =②………………………………………14分
由①②可得m k p ==，与m k p
d d d ，，是不同的三项矛盾，
∴不存在不同的三项
m k p
d d d ，，(其中正整数m k p ，，成等差数列)成等比数列. …16分。