一轮复习专题数列中的存在性问题
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专题:数列中的存在性问题
学大苏分教研中心 周坤
一、单存在性变量
解题思路:该类问题往往和恒成立问题伴随出现(否则就是一个方程有解问题,即零点问题),可以先假设存在,列出一个等式,通过化简,整理成关于任意性变量(一般为n )的方程,然后n 的系数为0,构造方程,进而解出存在性变量,最后检验。
例1、已知数列{
n
a }的前n 项和为
n S =235n n +,在数列{n b }中,1b =8,164n n b b
+-=0,
问是否存在常数c 使得对任意n ,log n c n
a b +恒为常数M ,若存在求出常数c 和M ,若不
存在说明理由.
解析:假设存在常数c 使得对任意n ,log n c n
a b +恒为常数M ,
∵
n
S =2
35n n +,
∴当n =1时,则
1a =1
S =8,
当n ≥2时,n a =1n n S S --=2235[3(1)5(1)]n n n n +--+-=62n +,
当n =1适合, ∴
n
a =62n +,
又∵164n n
b b +-=0, ∴1n n b b +=1
64,
∴数列{n b
}是首项为8,公比为1
64的等比数列, ∴n
b =
118(
)64n -=962n -,
则
log n c n
a b +=
9662log 2n c n -++=
62(96)log 2
a n n ++-=
6(1log 2)29log 2
a a n -++,
又∵对任意n ,log n c n
a b +恒为常数M ,
∴
6(1log 2)
a -=0,解得c =2,
∴M =
29log 2
a +=11,
∴存在常数c =2使得对任意n ,log n c n
a b +恒为常数M =11.
二、双存在型变量
解题思路:先假设存在,根据题目条件,列出一个含有两个变量(一般至少都为正整数)的等式,即转化为一个数论中的双整数问题,然后分离变量。如果可以分离常数,则利用数论中约数的知识列出所有可能情况,最后进行双检验,即对两个变量均进行条件检验;如果不可以分离常数,则利用分离出的变量所具有的隐含范围(如大于0)消元,进而构造一个不等式,解出另一个变量的范围,再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值,分别求出对应的另一个存在性变量,最后进行检验。
例2、【2010南通一模】
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且5133349a a S +==,. (1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式;
(2)设数列{}n b 的通项公式为n
n n a b a t
=
+,问: 是否存在正整数t ,使得12m b b b ,,
(3)m m ≥∈N ,成等差数列?若存在,求出t 和m 的值;若不存在,请说明理由.
【解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d. 由已知得
51323439a a a +=⎧⎨
=⎩,,
………………2分
即118173a d a d +=⎧⎨
+=⎩,,解得112.a d =⎧⎨=⎩,
……………………………………………………………4分.
故
2
21n n a n S n =-=,.…………………………………………………………………6分
(2)由(1)知
21
21n n b n t -=
-+.要使12m b b b ,,成等差数列,必须212m b b b =+,即
312123121m t t m t -⨯
=+
++-+,………………………………………………………………8分.
(3)整理得
4
31m t =+
-,…………………………………………………………… 11分
因为m ,t 为正整数,所以t 只能取2,3,5.
当2t =时,7m =;当3t =时,5m =;当5t =时,4m =.
故存在正整数t ,使得12m b b b ,,成等差数列. ……………………………… 15分
例3、设数列{}n a 的前n 项和2
n S n =,数列{}n b 满足
*()n
n n a b m N a m =
∈+.
(Ⅰ)若
128
,,b b b 成等比数列,试求m 的值;
(Ⅱ)是否存在m ,使得数列{}n b 中存在某项t b 满足*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列?若存在,请指出符合题意的m 的个数;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)因为2
n S n =,所以当2n ≥时,121n n n a S S n -=-=-……………………3分
又当1n =时,
111
a S ==,适合上式,所以
21
n a n =-(*
n N ∈)…………………4分
所以
2121n n b n m -=
-+,则1281315
,,1315b b b m m m ===+++,由2
218b b b =,
得23115
(
)3115m
m m =⨯
+++,解得0m =(舍)或9m =,所以9m =………………7分 (Ⅱ)假设存在m ,使得*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列,即412t b b b =+,则
712127121t m m t m -⨯
=+
++-+,化简得
36
75t m =+-…………………………………12分 所以当51,2,3,4,6,9,12,18,36m -=时,分别存在43,25,19,16,13,11,10,9,8t =适合题意, 即存在这样m ,且符合题意的m 共有9个 ………………………………………14分
例4、【2010徐州三模】
已知数列{}n a
是各项均不为
0的等差数列,
n
S 为其前n 项和,且满足
221
n n a S -=,