2018全国高中数学联赛模拟试题2及参考答案

2高中联赛模拟试题 2一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）sin (α + 2β ) π π1. 已知 = 3 ，且 β ≠ ， α + β ≠ n π + (n , k ∈)，则 tan (α + β )= ．sin α 2 2tan β2. 在等差数列{a n } 中，若a11 a 10< -1 ，且前n 项和 S n 有最大值，则当 S n 取得最小正值时， n = ．3. 若 a +b + c= 1(a ,b , c ∈)， 4a + 1 +4b + 1 + 4c + 1 > m ，则m 的最大值为 ．4. 已知 ∆ABC 满足 AC = BC = 1 ， AB = 2x ( x > 0)．则 ∆ABC 的内切圆半径 r 的最大值为．5. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， G 为底面 A 1B 1C 1D 1 的中心．则 BG 与 AD 所成角的余弦值为___ ___．6. 函数 f ( x ) 在 上有定义，且满足 f ( x ) 为偶函数， f ( x - 1) 为奇函数．则 f (2019) =．7. 将一色子先后抛掷三次，观察面向上的点数，三数之和为 5 的倍数的概率为．8. 已知复数 z 1 , z 2 满足 ( z 1 - i )( z 2 + i ) = 1 ．若 z 1 = ，则 z 2 的取值范围是．二、解答题（第9 小题16 分，第10、11 小题20 分，共56 分）x 2 y 29. 设P 为双曲线-= 1 上的任意一点，过点P 分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线交于A, Ba2 b2两点．求□ABCD 的面积．10. 求方程x5 - x3 - x2 + 1= y2 的整数解的个数．11. 对于n ≥ 6 ，已知⎛1- 1 ⎫<1．求出满足3n + 4n ++(n + 2)n =(n + 3)n 的所有正整数n． n + 3 ⎪ 2⎝⎭n高中联赛模拟试题 2加试部分考试时间：150 分钟满分：180 分一、（本题满分 40 分）设 ∆ABC 为等腰三角形， AB = AC , D 为边 AB 上一点．设 ∆BCD 的外接圆 Γ 在点 D 处的切线与 AC 交 于点 E ， F 为过点 E 作圆 Γ 的另外一条切线的切点．设 BF 与 CD 交于点 G ， AG 与 BC 交于点 H ． 证明： BH = 2HC ．A二、（本题满分 40 分）约定： n 维向量 x = ( x 1 , x 2 , , x n )( x i ≥ 0,i = 1, 2, , n ) 的 p - 范数记为：x = x 1 + x 2 + + x n ( p ∈ ) p p p pp+现有两个向量 A = (a ,b , c ), B = (d , e ) ．若： ⎧⎪ A = B ⎨ A = B ．证明： A≤ B ．2 2 ⎪⎩4 433EDGF B H三、（本题满分 50 分）设整数 n ≥ 4 ， a 1 , a 2 , , a n 为区间 (0, 2n ) 内两两不同的整数．证明：集合 A = {a 1 , a 2 , , a n } 存在所有元 素之和能被 2n 整除的子集．四、（本题满分 50 分）设有 17 支球队参加足球比赛，采用单循环赛制，比赛中偶尔会出现一个循环的三元集（即集合{a , b ,c } ， 其中 a 队击败 b 队， b 队击败 c 队， c 队击败 a 队），若没有平局，则比赛结束．问：最多有多少个这 样的循环三元集？5 5 5 2 1高中联赛模拟试题 2解答一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分） 1. 2．sin (α + 2β )+ 1 解析： tan (α + β ) = sin (α + β ) ⋅ cos β = sin (α + 2β ) + sin α = sin α = 2 ．tan βcos (α + β ) ⋅ sin β sin (α - 2β ) - sin α sin (α + 2β)-1sin α2. 19．解析：由 S n 有最大值可知 a 1 > 0, d < 0 ，由a 11a 10< -1 ，则 a 10 + a 11 < 0, a 11 < 0 < a 10 ，20(a 1 + a 20 ) ⇒ S ==10(a + a ) < 0, S 19(a 1 + a19 ) = = 19a > 0 ， 20 2 10 11 19 2 10再由 S 19 - S 1 = a 2 + a 3 ++ a 19 = 9(a 10 + a 11 ) < 0 ，知 S n 取最小正值时，n = 19 ．3. 2 + ．解析： (a + 1)(b + 1) > 1 + a + b ⇒ a + 1 + b + 1+ 2 1 + a + b > 2 + a + b 2 1+ a + b2 2⇒ (a + 1 ++ 1) > (+1 + a + b )⇒ + 1 + b + 1 > 1 +．反复利用上式，得：4a +b + 1 +c + 1 > 1 + 4 (a + b ) + 1 + 4c + 1 > 1 + 1 += 2 + 5 ；另一方面，当 a → 1,b → 0, c → 0 时，不等式左边趋于 2 + ．因此 2+ 为最大的下界．4.5 5 - 11 ．2解析：转化为求函数 f (x ) = x (1 - x )在 (0,1) 内的最大值．1 + a + b1 + 4 (a + b + c )+ x5.6解析：BG= CG =cos ∠GBC = BC =AD //BC ，则 BG 与 AD62 2BG 6． 2 1 1 ⎪ 2 2 ⎪1 x - ⎭ 6. 0．解析：由已知得 f ( x ) 关于 x 轴及点 (-1, 0) 对称．从而4 为 f ( x ) 的一个周期，且 f (-1) = 0 ．故f (2019) = f (-1) = 0 ．7.43 216解析：和为 5 的形如 3、1、1 与 2、2、1，共 6 种．和为 10 的形如 6、3、1 的有 6 种，形如 6、2、2 的有 3 种，形如 5、4、1 的有 6 种，形如 5、 3、2 的有 6 种，形如 4、3、3 的有 3 种，形如 4、4、2 的有 3 种．合计 27 种．和为 15 的形如 4、5、6 的有 6 种，形如 5、5、5 的有 1 种，形如 6、6、3 的有 3 种，合计 10 种．8. ⎡2 -2, 2 + 2 ⎤ ．⎣ ⎦解析：设 z 2 = x + yi ( x , y∈) ．则z 1 = z z 2i⇒ z = + i 1 - y + xi x + y + 1)i = ⇒ x 2 + ( y + 2)2 = 2 ．由 z 2 的几何意义，知其范围为⎡2 -2, 2 + 2 ⎤ ． ⎣ ⎦二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）9. 双曲线的两条渐近线方程分别为 y = b x , y = - bx ．a a设 A ⎛ x , b ⎝ a x ⎫, B ⎛x , - b ⎭ ⎝a x ⎫, P (x , y ) ．⎭ b由 OAPB 知， x = x 1 + x 2 , y = aa 2(x 1 - x 2 ) ．代入双曲方程化简得 x 1 x 2 = ．4于是， OAPB 的面积为 x ⎛ - b ⎫ ⎝ a2 ⎪ b x 1 x 2 = a x 1 x 2 = 1 ab ． 210. 原方程可化为 (x 3 - 1)(x 2 - 1) = y 2 ⇒ ( x - 1)2( x + 1)(x 2 + x + 1) = y 2 ．------------------------------（1） 当 x = 0 时， y 2 = 1 ⇒ y = ±1 ； 当 x = ±1 时， y = 0 ．2 2b ax -1 ⎪ 设 x , y 为方程的整数解，且 x ≠ ±1, 0 ．由（1）式， ( x -1)2| y 2⇒ ( x -1) | y ⇒ ( x + 1)(x 2+ x + 1) = ⎛ y ⎫⎝ ⎭ ．又因为 y 为整数，则x -1( x + 1)(x 2 + x + 1)为完全平方数．而 x 2 + x + 1 = x ( x + 1) + 1 ⇒ (x + 1, x 2 + x + 1) = 1 ，2n n4 5 n + 3 ⎪⎩⇒ x + 1, x 2 + x + 1均为完全平方数 ⇒ x + 1 ≥ 0( x ≠ 0, ±1) ⇒ x ≥ 2 ⇒ x 2 < x 2 + x + 1 < (x + 1)2，显然， x 2 + x +1不为完全平方数．综上，原方程只能有 4 组解： ( x , y ) = (0,1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0) ．11. 当 n ≥ 6 时，由 ⎛1 - 1 ⎫ < 1 ⇒ ⎛ n + 2 ⎫ < 1 ⇒ (n + 3)n - (n +2)n > (n + 2)n ． n + 3 ⎪ 2 n + 3 ⎪2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭n nn 而 ⎛ 3 ⎫< ⎛ 4 ⎫< < ⎛ n + 2 ⎫ < 1，故： ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 2⎧ 4n - 3n > 3n ,⎪ 5n - 4n > 4n, ⎨ ⎪⎪(n + 3)n - (n + 2)n > (n + 2)n . 累加后3n + 4n + + (n + 2)n< (n + 3)n- 3n < (n + 3)n，此时无解． 直接检验 n = 1, 2, 3, 4, 5 ，知当 n = 2, 3 时等式成立．, ．⎩a4 4 4 4 4一、（本题满分 40 分）加试部分考试时间：150 分钟满分：180分在 ∆ABG , ∆ACG 中，由正弦定理得 BG = AG CG = AGsin ∠BAH sin ∠ABF sin ∠CAH sin ∠ACD 故 BH = sin ∠BAH = BG ⋅ sin ∠ABF = BG ⋅ sin ∠FCD = sin ∠DCB ⋅ sin ∠FCD = FD ⋅ CI ． CH sin ∠CAH CG ⋅ s in ∠ACD CG ⋅ s in ∠DBI sin ∠CBF ⋅ s in ∠DBI DI ⋅ C F 设 AC 与圆 Γ 的另一个交点为 I ．则四边形 CFID 为调和四边形． 于是， FI ⋅ CD = CF ⋅ ID ． 由托勒密定理得 FD ⋅ CI = FI ⋅ CD + CF ⋅ ID = 2ID ⋅ C F ． 从而， BH = 2HC ．二、（本题满分 40 分）等价于证明： 设 a , b , c , d , e 为非负数，且满足⎧a 2 + b 2 + c 2 = d 2 + e 2⎨+ b + c = d + e ， 证明： a 3 + b 3 + c 3 ≤ d 3 + e 3 ．----------------------------------------------------------------------------------------（1）注意到 2(a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 ) = (a 2 + b 2 + c 2 )2- (a 4 + b 4 + c 4 ) = (d 2 + e 2 )2- (d 4 + e 4 ) = 2d2e 2． 则 a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 = d 2e 2 ． 又a 6 +b 6 +c 6 - 3a 2b 2c 2 = (a 2 + b 2 + c 2 )(a 4 + b 4 + c 4 - a 2b 2 - b 2c 2 - a 2c 2 ) = (d 2 +e 2 )(d 4 + e 4 - d 2e 2 )= d 6 + e 6（1）式两边平方得 a 6 + b 6 + c 6 + 2(a 3b 3 + b 3c 3 + c 3a 3 ) ≤ d 6 + e 6 + 2d 3e 33⇔ 2(a 3b 3 + b 3c 3 + c 3a 3 ) + 3a 2b 2c 2 ≤ 2d 3e 3 ⇔ 2(a 3b 3 + b 3c 3 + c 3a 3 ) + 3a 2b 2c 2 ≤ 2(a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 )2 ---（2）3设 x = ab , y = bc , z = ca ．则（2） ⇔ 2(x 3+ y 3+ z 3) + 3xyz ≤ 2(x 2+ y 2+ z 2 )2 ．由柯西不等式，知⎡2 x 3 + y 3 + z 3 2 + 3xyz ⎤ = ⎡x 2x 2 + yz + y 2 y 2 + zx 2+ z 2z 2 + xy ⎤ ⎣ () ⎦ ⎣ ( ) ( ) ( )⎦⎣ ⎦ ≤ (x 2 + y 2 + z 2 )⎡(2x 2 + yz )2+ (2 y 2 + zx )2+ (2z 2 + xy )2⎤ ⎢⎣⎥⎦≤ (x 2 + y 2 + z 2 )⎡4(x 4 + y 4 + z 4 ) + 8( y 2 z 2 + z 2 x 2 + x 2 y 2 )⎤ = 4(x 2 + y 2 + z 2 )3． 从而，结论成立．C b= C a+ 2 C a = ∑ ∑三、（本题满分 50 分）若 n ∉{a 1 , a 2 , , a n } ，则 2n 个整数 a 1 , a 2 , , a n , 2n - a 1 , 2n - a 2 , , 2n - a n ∈(0, 2n ) ．由抽屉原理，知其中 必有两个数相等． 不妨设 a i = 2n - a j ．因为 n ∉{a 1 , a 2 , , a n }，所以 i≠ j ． 故{a i , a j }满足题意，命题成立．若 n ∈{a 1 , a 2 , , a n }，不妨设 a n = n ．考虑 n - 1 (n - 1 ≥ 3)个整数 a 1 , a 2 , , a n -1 ，在其中任取三个数 a i < a j < a k ． 若 a k - a j , a j - a i 均能被 n 整除，则 a k - a i ≥ 2n ，与 a k ∈(0, 2n ) 矛盾． 因此， a 1 , a 2 , , a n -1 中至少存在两个数，其差不能被 n 整除．不妨设 a 1 , a 2 之差不能被 n 整除．考察 n 个数： a 1 , a 2 , a 1 + a 2 , a 1 + a 2 + a 3 , , a 1 + a 2 + + a n -1 ． （1）若这 n 个数关于模 n 的余数互不相同，则其中必有一个数能被 n 整除．令这个数为 kn ． 当 k 为偶数时，结论成立；当 k 为奇数时，加上 a n 即构成所需要的子集．（2）若这 n 个数中有两个数关于模 n 同余，则其差能被 n 整除．因为 a 1 , a 2 不同余，所以这两个数之差 必为原集合 A 中若干数之和．由此归结为（1）中讨论．综上，命题得证．四、（本题满分 50 分）一个三元集{a , b , c } 不是循环的⇔ 有一支球队赢了另外两队 ⇔ 有一支球队输给了另外两队． 用 A 1 , A 2 , , A 17 代表这 17 支球队 ． 假 设 球 队 A i 赢了 a i 支球队，但输给了 b i 支球队 ．显然， a i + b i = 1 6(i = 1, 2 , , 1) ．17171 ⎛ 17 17 ⎫ 于是，不循环的三元集的个数为 2ii =1 2i i =1 ∑ 2 ⎝ i =1 i∑ i =1 C b ⎪ ．i⎭2．17 a (a -1) b (b -1) 1 ⎡(a + b )2⎤ 对于每一个 i ， C 2 + C 2 = i i + i i≥ ⎢ i i - (a + b )⎥ = 56 ． a i b i 2 2 2 ⎢ 2 i i⎥则不循环的三元集的个数至少为 1 ⨯17 ⨯ 56 = 476 ⎣ ⎦2故循环三元集最多有 C 3- 476 = 204 个．当且仅当 a i = b i = 8(i = 1, 2, ,17) 时，循环三元集的个数最多为 204．。