高中数学-一元二次方程、不等式与函数
高一一元二次函数、方程和不等式串讲
高一一元二次函数、方程和不等式串讲高一数学：一元二次函数、方程和不等式串讲一元二次函数、方程和不等式是高中数学中的基础知识，它们在数学中起着重要的作用。
通过这篇文章，我将以人类的视角为你讲述一元二次函数、方程和不等式的概念和应用。
让我们来了解一元二次函数。
一元二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。
这个函数的图像通常是一个抛物线，它可以开口向上或向下，取决于a的正负。
一元二次函数在物理、经济学等领域中有着广泛的应用，例如抛射运动和成本收益分析。
接下来，我们将探讨一元二次方程。
一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。
解一元二次方程的常用方法是配方法、因式分解和求根公式。
解方程的根可以是实数或复数，这取决于方程的判别式b^2 - 4ac的正负。
一元二次方程在数学中有着广泛的应用，例如几何学中的平面图形问题和物理学中的运动问题。
我们来讨论一元二次不等式。
一元二次不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。
解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，需要考虑不等号的方向。
一元二次不等式在实际问题中的应用也非常广泛，例如优化问题和约束条件下的最优解问题。
通过以上的串讲，我们对一元二次函数、方程和不等式有了更深入的了解。
它们是数学中的重要概念，对于我们理解数学和解决实际问题都非常重要。
希望通过这篇文章，你能够对一元二次函数、方程和不等式有更清晰的认识，并能够灵活应用于实际生活和学习中。
让我们继续努力，掌握更多数学知识，成为数学的行家！。
新教材2023年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2
x≥5}．
题型三
解含有参数的一元二次不等式(对判别式的讨论)
典例3 解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0. [分析] 二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能 确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．
[解析] 对于方程 2x2＋ax＋2＝0，其判别式 Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－
[归纳提升] 注意已知条件的含义和根与系数关系的应用： (1)一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根． (2)由一元二次方程根与系数的关系列方程组求参数．
【 对 点 练 习 】 ❷ 若 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c≤0 的 解 集 为 {x|x≤ － 3 或
x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．
y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根
ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集
有两个不相等的实 数根 x1，x2(x1<x2) {x|x>x2 或 x<x1}
{x|x1<x<x2}
有两个相等的实数 根 x1＝x2＝－2ba x|x≠－2ba
(3)令x2＋6x＋10＝0，则方程无解，又由y＝x2＋6x＋10图象的开口 方向朝上，故无论x为何值，函数值均大于0.
(4)令－3x2＋12x－12＝0，则x＝2，又由y＝－3x2＋12x－12图象的开 口方向朝下，故x＝2时，函数的值等于0，当x≠2时，函数值小于0.
核心素养 数学抽象 直观想象 数学抽象 数学运算 逻辑推理 数学运算
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
高中数学 一元二次函数方程和不等式二次函数与一元二次方程不等式讲义 新人教A版必修一第一册
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．(2)从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅状元随笔一元二次不等式的解法：(1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．[教材解难]教材P50思考能．可以从2个角度来看①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的根．[基础自测]1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )A．a2x2＋2≥0 B.1x2<3C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式x(x＋1)≤0的解集为( )A．[－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－∞，－1] D．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.答案：D3．函数y＝17－6x－x2的定义域为( )A．[－7,1]B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B. 答案：B4．不等式1＋2x ＋x 2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x ＋x 2≤0化为(x ＋1)2≤0，解得x ＝－1. 答案：{－1}题型一 解不含参数的一元二次不等式[教材P 52例1、2、3] 例1 (1)求不等式x 2－5x ＋6>0的解集． (2)求不等式9x 2－6x ＋1>0的解集． (3)求不等式－x 2＋2x －3>0的解集．【解析】 (1)对于方程x 2－5x ＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x 1＝2，x 2＝3.画出二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(图1)，结合图象得不等式x 2－5x ＋6>0的解集为{x |x <2，或x >3}．(2)对于方程9x 2－6x ＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x 1＝x 2＝13.画出二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图象(图2)，结合图象得不等式9x 2－6x ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠13(3)不等式可化为x2－2x＋3<0.因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象(图3)．结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为∅.因此，原不等式的解集为∅.因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋6>0的解集．教材反思我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练1 解下列不等式：(1)x2－7x＋12>0；(2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1<0； (4)－2x 2＋3x －2<0.解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x 2－7x ＋12＝0有两个不等实根x 1＝3，x 2＝4.再根据函数y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x －3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝1.再根据函数y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(3)因为Δ＝0，所以方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝1.再根据函数y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .状元随笔 化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x 1，x 2――→函数图象结果题型二 三个“二次”之间的关系[经典例题]例2 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【解析】 方法一 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx2＋bx ＋a <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 方法二 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 状元随笔 由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于a ，b ，c 的方程组→ 用a 表示b ，c →代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a<0的解集方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．跟踪训练2 已知一元二次不等式x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．解析：因为x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.所以不等式qx 2＋px ＋1>0即为－16x 2＋16x ＋1>0，整理得x 2－x －6<0，解得－2<x <3.即不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}． 状元随笔观察给定不等式的解集形式→由根与系数的关系得p ，q 的方程组→确定p ，q 的值→求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集题型三 含参数的一元二次不等式的解法[经典例题] 例3 解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0.【解析】 对于方程2x 2＋ax ＋2＝0，其判别式Δ＝a 2－16＝(a ＋4)(a －4)． ①当a >4或a <－4时，Δ>0，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)． ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16).②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－4<a<4时，Δ<0，方程无实根，∴原不等式的解集为R.状元随笔二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．方法归纳含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．跟踪训练3 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.解析：原不等式可变形为(x－a)·(x－a2)>0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，(1)当a<0时，有a<a2，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(2)当0<a<1时，有a>a2，即x<a2或x>a，此时原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；(3)当a>1时，有a2>a，即x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(4)当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；(5)当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；综上可知：当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．状元随笔不等式左边分解因式→讨论a的范围→比较a与a 2的大小→写出不等式的解集题型四一元二次不等式的实际应用[经典例题]例4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？【解析】 (1)依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7，要使工厂有盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3＜x ＜9或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，x <10.5.则3＜x ≤7或7＜x ＜10.5，即3＜x ＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．(2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5，而当x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大.(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)>0⇒回答实际问题． (2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题． 方法归纳解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练4 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解析：(1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)． 依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0， ∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2. ∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．状元随笔 根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：原计划 降税后 价格(元/担)200 200税率 10% (10－x)%(0<x<10)收购量(万担) a a(1＋2x%) 收购总金额(万元) 200a 200·a(1＋2x%) 税收y(万元)200a·10%200·a(1＋2x%)(10－x)%一、选择题1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <1 C ．∅ D ．R解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y ＝3x 2－2x ＋1开口向上，与x 轴无交点，故3x 2－2x ＋1>0恒成立，即不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .答案：D2．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( )A ．{x |x <－n 或x >m }B ．{x |－n <x <m }C ．{x |x <－m 或x >n }D ．{x |－m <x <n }解析：不等式(m －x )(n ＋x )>0可化为(x －m )(x ＋n )<0，方程(x －m )(x ＋n )＝0的两根为x 1＝m ，x 2＝－n .由m ＋n >0，得m >－n ，则不等式(x －m )(x ＋n )<0的解集是{x |－n <x <m }，故选B.答案：B 3．不等式ax2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6解析：由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1·x 2＝13×12＝ca.解得a ＝－6，c ＝－1.答案：B4．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m 2－4×1×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2，故答案为D.答案：D 二、填空题5．不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为________．解析：方程(2x －5)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝52，x 2＝－3，函数y ＝(2x －5)(x ＋3)的图象与x 轴的交点坐标为(－3,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，所以不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52 6．不等式2x －12x ＋1<0的解集为________．解析：原不等式可以化为(2x －1)(2x ＋1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0， 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12 7．用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？若“能”，当长＝________ m ，宽＝________ m 时，所围成的矩形的面积最大．解析：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x )m,0<x <50.由题意，得x (50－x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．用S 表示矩形的面积，则S ＝x (50－x )＝－(x －25)2＋625(0<x <50)．当x ＝25时，S 取得最大值，此时50－x ＝25.即当矩形的长、宽都为25 m 时，所围成的矩形的面积最大．答案：25 25三、解答题8．解下列不等式：(1)x 2＋2x －15>0；(2)x 2－3x ＋5>0；(3)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．解析：(1)x 2＋2x －15>0⇔(x ＋5)(x －3)>0⇔x <－5或x >3，所以不等式的解集是{x |x <－5或x >3}．(2)因为Δ＝(－3)2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y ＝x 2－3x ＋5图象的开口方向，所以原不等式的解集为R .(3)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2.∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0.解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23. 结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠23. 9．若关于x 的一元二次不等式ax2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <13或x >12，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，13＋12＝－b a ，13×12＝c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0， 代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)． 即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0， 所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}． [尖子生题库] 10．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0.解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判断式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为{x |－a <x <2a }；(2)若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为{x |2a <x <－a }；(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为：当a >0时，{x |－a <x <2a }；当a <0时，{x |2a <x <－a }；当a ＝0时，∅.。
高中一元二次方程、函数、不等式题型总结
第一课：基础知识一、知识点： 1、二次方程： 解法：韦达定理：2、二次函数 解析式： 一般式： 顶点式： 两根式：对称轴： 顶点：（ ） 图象的画法：自变量无范围的 自变量有范围的最值求法：3、简单不等式一元一次不等式ax >b 的解集为： （1）当a >0时，解集为_______________ （2）当a <0时，解集为_______________ （3）当a =0时，若______，则_______； 若______，则________. 绝对值不等式：二次不等式： 分式不等式：二典例剖析题型一：二次方程解法及韦达定理例1、解下列方程（组）方法不限。
(如有需要，答案須準確至三位有效數字(a) .x 2 + 4x – 396 = 0 (b) 3 + x (x + 5) = 0 (c) 15(x 2 + 1) = 34x (d)4(x + 3)2 = 81判别式△符号 方程根函数图像(a >0) 不等式解集))(()()()()(2122x x x x a x f n m x a x f c bx ax x f --=+-=++=变式(a)解二次方程x2– 5x– 6 = 0 。
根據(a)的結果，解方程(y– 3)2– 5(y– 3) – 6 = 0题型二：韦达定理及应用例2如果α和β是方程3x2– 6x– 4 =0 的根，求下列各式的值(a) α + β(b) αβ(c) 3α + 3β(d) 4α⨯ 4β (e) (2α– 3)(2β– 3)(f) α2β + αβ2变式1如果α和β是方程 2x2 + kx- 6 =0 的根。
(a) 以k表示α + β並計算αβ的值。
(b) 如果6 是方程的一個根，求另一個根和k的值变式2如果α和β是方程2x2 + 3x– 5 = 0 的根，求以x為變數及下列各項為根的二次方程。
(a) 3α，3β(b) 2α– 1, 2β– 1(c) αββα,题型三：二次函数图象的画法例3、已知：822--=xxy求：顶点坐标对称轴方程与y轴的交点最小值图象：变式1、已知[]7,3,142-∈-+=xxxy，画出此函数的图像并求出其最值。
高中数学必修一 (教案)二次函数与一元二次方程、不等式
二次函数与一元二次方程、不等式【教材分析】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
【教学目标】课程目标1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3．数学运算：解一元二次不等式；4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
【教学重难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
【教学准备】【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
【教学过程】一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。
类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察。
研探。
二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。
2．解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根有两相异实根x1，x2（x1<x2）有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0（a>0）的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x≠−2ba}Rax2+bx+c<0（a>0）的解集{x|x1<x<x2}∅∅ab2-=2．一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的求解的算法。
第2章一元二次函数方程和不等式知识点清单-高一上学期数学湘教版
新教材湘教版2019版数学必修第一册第2章知识点清单目录第2章一元二次函数、方程和不等式2. 1 相等关系与不等关系2. 1. 1 等式与不等式2. 1. 2 基本不等式2. 1. 3 基本不等式的应用2. 2 从函数观点看一元二次方程2. 3 一元二次不等式第2章 一元二次函数、方程和不等式 2. 1 相等关系与不等关系 2. 1. 1 等式与不等式一、不等式的性质及其推论 1. 不等式的性质性质1：如果a>b ，那么b<a ；如果b<a ，那么a>b. 即a>b ⇔b<a. 性质2：如果a>b ，b>c ，那么a>c. 即a>b ，b>c ⇒a>c. 性质3：如果a>b ，那么a+c>b+c.性质4：如果a>b ，c>0，那么ac>bc. 如果a>b ，c<0，那么ac<bc. 性质5：如果a>b>0，那么√a n> √b n(n∈N +).性质6：如果a>b ，且ab>0，那么1a< 1b. 如果a>b ，且ab<0，那么1a >1b .2. 不等式性质的推论推论1：如果a+b>c ，那么a>c-b. 推论2：如果a>b ，c>d ，那么a+c>b+d. 推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 推论4：如果a>b>0，那么a n >b n (n∈N +).（1）在应用不等式的性质及其推论时，一定要弄清它们成立的前提条件. （2）要注意各性质和推论是否具有可逆性. 二、比较实数(代数式)的大小 1. 作差比较法(1)依据：a-b>0⇔a>b ；a-b<0⇔a<b ；a-b=0⇔a=b.(2)应用范围：数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式. (3)步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论.(4)变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化.2. 作商比较法(1)依据：a>0，b>0且ab >1⇒a>b；a>0，b>0且ab<1⇒a<b.(2)应用范围：同号两数比较大小.(3)步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④下结论.三、利用不等式的性质求代数式的取值范围 1. 解决此类问题，一般先建立待求范围的整体与已知范围的关系，然后利用不等式的性质进行运算，求得待求式的范围.2. 同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.2. 1. 2 基本不等式 2. 1. 3 基本不等式的应用一、基本不等式一般地，对于正数a，b，我们把2称为a，b的算术平均数， √ab称为a，b的几何平均数.二、基本不等式与最值已知x，y都为正数，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值2√p；(2)如果和x+y是定值s，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值s 24. 上述结论可归纳为“和定积最大，积定和最小”.三、利用基本不等式求最值的注意事项 1. 利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”. (1)“一正”：各项必须都是正值.例如：代数式x+1x，当x<0时，绝不能认为x+1x≥2，即x+1x的最小值为2. 事实上，当x<0时，x+1x=-[(−x)+1−x]≤-2，当且仅当-x=1−x，即x=-1时，等号成立，此时x+1x取得最大值-2.(2)“二定”：各项之和或各项之积为定值.例如：已知0<x<52，求(5-2x)x 的最大值，需变形为(5-2x)·2x·12，这时2x+(5-2x)=5为定值，且2x>0，5-2x>0. 当2x=5-2x ，即x=54时，[(5-2x)x]max =258.(3)“三相等”：必须验证等号是否成立. 特别是在连续使用基本不等式求最值时，要求必须同时满足任何一步等号成立的字母取值存在且一致. 四、利用基本不等式求最值 1. 利用基本不等式求最值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值，并保证等号成立，常见的方法技巧如下：(1)拆(裂项拆项)：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定值创造条件.(2)并(分组并项)：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值.(3)配(配式、配系数，凑出定值)：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配出的式子与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.(4)换(常值代换、变量代换)：对条件变形，以进行“1”的代换，从而构造利用基本不等式求最值的形式. 常用于“已知ax+by=m(a ，b ，x ，y 均为正数)，求1x +1y 的最小值”和“已知a x +by=m(a ，b ，x ，y 均为正数)，求x+y 的最小值”两种类型.2. 2 从函数观点看一元二次方程 2. 3 一元二次不等式一、二次函数的零点1. 一般地，我们把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y=ax2+bx+c的零点. 这样，一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c的零点，也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.二、一元二次不等式及其解法1. 一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2. 解形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(其中a>0)的一元二次不等式的一般步骤：(1)确定对应一元二次方程ax2+bx+c=0的根；(2)画出对应二次函数y=ax2+bx+c的大致图象；(3)由图象得出不等式的解集.对于二次项系数是负数(即a<0)的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再按上述步骤求解.三、三个“二次”之间的关系二次函数、一元二次方程、一元二次不等式(即三个“二次”)之间的关系如下(其中a，b，c为常数，a>0)：四、一元二次不等式的应用1. 利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤 (1)理解题意，分清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，结合实际检验，得到实际问题的解. 五、含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式的基本方法——分类讨论1. 解含参数的一元二次不等式时，为了做到分类不重不漏，讨论一般需从如下几个方面考虑：(1)关于二次项系数符号的讨论：分a>0，a<0. (注意，在未说明不等式为一元二次不 等式的情况下，还要考虑a=0的情况)(2)关于不等式对应方程的根的个数的讨论：分两根(Δ>0)，一根(Δ=0)，无根(Δ<0). (3)关于不等式对应方程的根x 1，x 2的大小的讨论：分x 1>x 2，x 1=x 2，x 1<x 2. 六、简单的分式不等式的解法 1. 解分式不等式的思路：先转化为整式不等式，再求解.2. 化分式不等式为“标准形式”的方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f(x)g(x)的形式(f(x)，g(x)为关于x 的整式). (1)形如f(x)g(x)>a(a ≠0)的分式不等式可同解变形为f(x)−ag(x)g(x)>0，进而转化为g(x)[f(x)-ag(x)]>0. (2)解f(x)g(x)≥0(≤0)型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注意分子可取0，而分母不能取0.七、一元二次不等式恒成立问题 1. 不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a=0时，b=0，且c>0；当a≠0时，a>0，且Δ<0.2. 不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a=0时，b=0，且c<0；当a≠0时，a<0，且Δ<0.3. 解决恒成立问题一定要分清谁是自变量，谁是参数. 一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数.4. 若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；若f(x)有最小值f(x)min，则a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min. (f(x)是关于x的函数)。
高中数学教案《二次函数与一元二次方程、不等式》
教学计划：《二次函数与一元二次方程、不等式》一、教学目标1、知识与技能：学生能够理解并掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的概念、性质及其相互关系;能够熟练求解一元二次方程和一元二次不等式，并能根据二次函数的图像判断不等式的解集。
2、过程与方法：通过案例分析、图形辅助、探究学习等方法，培养学生的观察、分析和解决问题的能力;通过小组合作、讨论交流，提升学生的协作学习能力和语言表达能力。
3、情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养探索数学规律的精神和严谨的科学态度;通过解决实际问题，让学生感受到数学在现实生活中的应用价值。
二、教学重点和难点重点：一元二次方程的求解方法(公式法、因式分解法、配方法);一元二次不等式的解法及与二次函数图像的关系;二次函数的性质(开口方向、顶点、对称轴)。
难点：一元二次不等式解法中根据判别式判断解的存在性;将一元二次不等式转化为二次函数图像下的区域问题;灵活运用二次函数的性质解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）生活实例引入：以医院中病人的病情随时间变化的例子(如体温变化、药物浓度变化)，引导学生思考这些变化可能呈现出的二次函数形态，从而引出二次函数的概念。
提出问题：当病情达到某个临界点时(如体温过高或过低)，医生需要采取相应措施。
这实际上涉及到一元二次方程和不等式的求解问题。
明确目标：介绍本节课将要学习的内容，即二次函数与一元二次方程、不等式的相互关系及其求解方法。
2. 讲解新知（20分钟）二次函数概念：回顾一次函数的概念，通过类比引出二次函数的一般形式及其图像特征(开口方向、顶点、对称轴)。
一元二次方程求解：详细介绍一元二次方程的三种求解方法(公式法、因式分解法、配方法)，并通过实例演示每种方法的应用。
一元二次不等式：结合二次函数图像，讲解一元二次不等式的解法及其与函数图像的关系。
强调根据判别式判断不等式的解集情况，并引导学生掌握将不等式转化为图像下区域问题的方法。
(2019)新版高中数学必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式 等式与不等式性质
（2019新版）高中数学人教A 版必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式与不等式性质不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 考点一：列不等式例1：完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500无，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是( ) A ．5x ＋4y ＜200 B ．5x ＋4y ≥200 C ．5x ＋4y ＝200D ．5x ＋4y ≤200解析：选D 据题意知，500x ＋400y ≤20 000，即5x ＋4y ≤200，故选D.练习：某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式(组)表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y ≥380z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95y >380z ≥45 C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95y >380z >45D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45解析：选D 由题中x 不低于95即x ≥95，y 高于380即y >380，z 超过45即z >45. 作业：1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速80 km/h 的路标； (2)桥头上限重10 吨的标志；(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不多于2.5%，蛋白质的含量p 不少于2.3%.解：(1)设汽车行驶的速度为v km/h ，则v ≤80. (2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.(3)⎩⎨⎧f ≤2.5%，p ≥2.3%.问题1：怎样判断两个实数a、b的大小？提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，则a<b；若a－b是零，则a＝b. 问题2：你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法？提示：能．通过两个实数作差，判断差的正负比较大小．比较两个实数a、b大小的依据考点二：比较两数(式)的大小例2：比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x2＋3与2x；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．x－12＋2≥2＞0，∴x2＋3＞2x.解：(1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝()(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，∵a＞0，b＞0，且a≠b，∴(a－b)2＞0，a＋b＞0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2.练习：（1）若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是() A．M＞－5 B．M＜－5C．M≥－5 D．M≤－5解析：选A M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2＞0，(y－1)2＞0，因此(x＋2)2＋(y－1)2＞0.故M＞－5. （2）比较x3＋6x与x2＋6的大小．解：(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)∵x2＋6＞0.∴当x＞1时，(x－1)(x2＋6)＞0，即x3＋6x＞x2＋6.当x＝1时，(x－1)(x2＋6)＝0，即x3＋6x＝x2＋6.当x＜1时，(x－1)(x2＋6)＜0，即x3＋6x＜x2＋6.作业：2．（1）如果a ＞b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________． 解析：c －2a －(c －2b)＝2b －2a ＝2(b －a)＜0. 答案：c －2b（2）已知a ＝x 3+y 3，b ＝x 2y+xy 2，其中x ，y 均为正数，则a ，b 的大小关系为 ． 解：a ＝x 3+y 3，b ＝x 2y+xy 2，则a ﹣b ＝x 3+y 3﹣x 2y ﹣xy 2＝x 2（x ﹣y ）﹣y 2（x ﹣y ）＝（x ﹣y ）（x 2﹣y 2）＝（x ﹣y ）2（x+y ），x ，y 均为正数，所以（x ﹣y ）2≥0，x+y ＞0，所以（x ﹣y ）2（x+y ）≥0，即a ﹣b ≥0， 所以a ≥b ．故答案为：a ≥b ．例3：已知：﹣1＜b ＜0，a ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞aC ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a解：∵﹣1＜b ＜0，a ＜0，∴ab ＞0，b ＜0＜1．b 2＜1．∴ab ﹣ab 2＝ab （1﹣b ）＞0，ab 2﹣a ＝a （b 2﹣1）＞0．∴ab ＞ab 2＞a ．故选：D ．练习：已知实数a 、x 满足x ＜a ＜0，则a 2、x 2、ax 中的最大数为 ．解：已知实数a 、x 满足x ＜a ＜0，由不等式的性质可得：x 2＞a 2＞0，ax ＞a 2＞0，x 2＞ax ＞0，所以x 2＞ax ＞a 2＞0，则a 2、x 2、ax 中的最大数为x 2，故答案为：x 2． 作业：3. 若－1＜a ＜b ＜0，试比较1a ，1b ，a 2，b 2的大小．解：∵－1＜a ＜b ＜0，取11,,23a b =-=-则2211112,3,,.49a b a b =-=-== ∴a 2＞b 2＞1a ＞1b .考点三：不等式的性质 (1)对称性：a>b ⇔b<a ； (2)传递性：a>b ，b>c ⇒a>c ； (3)可加性：a>b ⇒a ＋c>b ＋c. (4)可乘性：⎭⎬⎫a>b c>0⇒ac>bc ；⎭⎬⎫a>b c<0⇒ac<bc ； (5)同向可加性：⎭⎬⎫a>b c>d ⇒a ＋c>b ＋d ；(6)同向同正可乘性：⎭⎬⎫a>b>0c>d>0⇒ac>bd ； (7)正数乘方性：a>b>0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2).例4：用不等号“＞”或“＜”填空：（1）如果a＞b，c＜d，那么a﹣c b﹣d；（2）如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac bd；（3）如果a＞b＞0，那么；（4）如果a＞b＞c＞0．那么．解：（1））如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；（2）如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd；（3）如果a＞b＞0，那么＜；（4）如果a＞b＞c＞0．那么＜．故答案为：＞，＜，＜，＜．练习：若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．ac＞bc B．（a﹣b）c2＞0 C．D．﹣2a＜﹣2b 解：∵a，b，c∈R且a＞b，∴取c＝0，可排除A，B；取a＝1，b＝﹣1可排除C．由不等式的性质知当a＞b时，﹣2a＜﹣2b，故D正确．故选：D．作业：4.已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是()A．若a＞b，c＞b，则a＞cB．若a＞－b，则c－a＜c＋bC．若a＞b，c＜d，则ac＞bdD．若a2＞b2，则－a＜－b解析：选B选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b ＝0时不成立，故选B.例5：（多选）对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+dC．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b，则＞解：若ac2＞bc2，则a＞b，A对，由不等式同向可加性，若a ＞b ，c ＞d ，则a +c ＞b +d ，B 对， 当令a ＝2，b ＝1，c ＝﹣1，d ＝﹣2，则ac ＝bd ，C 错， 令a ＝﹣1，b ＝﹣2，则，D 错．故选：AB ．练习：（多选）若b ＜a ＜0列结论正确的是（ ） A ．a 2＜b 2 B ．ab ＜b 2 C ．（）b ＜（）aD ．+＞2解：A ．∵b ＜a ＜0，∴﹣b ＞﹣a ＞0，∴b 2＞a 2，正确； B ．∵b ＜a ＜0，∴b 2＞ab ，正确； C ．∵，b ＜a ，∴，因此C 不正确；D ．∵b ＜a ＜0，∴，，∴，正确．故选：ABD ． 作业：5. （多选）若a ＞0，b ＞0，a +b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 都成立的是（ ） A ．ab ≤1B ．+C ．a 2+b 2≥2D ．a 3+b 3≥3解：根据a ＞0，b ＞0，a +b ＝2，取a ＝b ＝1，则BD 不成立，再取31,,22a b ==验证，故AC 正确．故选：AC ．考点四：利用不等式的性质求范围例6：已知2＜a ＜3．﹣2＜b ＜﹣1，求2a+b 的取值范围． 解：∵2＜a ＜3．﹣2＜b ＜﹣1，∴4＜2a ＜6，∴2＜2a+b ＜5． 练习：设-1＜a ＜1，﹣3＜b ＜2，求23ba -的取值范围. 解析： -2＜2a ＜2， 21,33b -<<21,33b -<-<82 3.33ba -<-< 作业：6.已知1＜a ＜4,2＜b ＜8.试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围． 解：∵1＜a ＜4,2＜b ＜8，∴2＜2a ＜8,6＜3b ＜24∴8＜2a ＋3b ＜32.∵2＜b ＜8，∴－8＜－b ＜－2.又∵1＜a ＜4，∴1＋(－8)＜a ＋(－b)＜4＋(－2)，即－7＜a －b ＜2.故2a ＋3b 的取值范围是8＜2a ＋3b ＜32，a －b 的取值范围是－7＜a －b ＜2考点五：利用不等式的性质证明例7：已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e a －c ＞eb －d.证明： ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c)＞b ＋(－d)＞0， 即a －c ＞b －d ＞0，∴0＜1a －c ＜1b －d ，又∵e ＜0，∴e a －c ＞eb －d .练习：已知a ＞b ，m ＞n ，p ＞0，求证：n －ap ＜m －bp.证明：∵a ＞b ，又p ＞0，∴ap ＞bp.∴－ap ＜－bp ，又m ＞n ，即n ＜m. ∴n －ap ＜m －bp. 作业：7．(1)a ＜b ＜0，求证：b a ＜ab ；(2)已知a ＞b ，1a ＜1b，求证：ab ＞0.证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab，∵a ＜b ＜0，∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0，∴(b ＋a )(b －a )ab ＜0，故b a ＜ab.(2)∵1a ＜1b ，∴1a －1b ＜0，即b －a ab＜0，而a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＞0.。
一元二次不等式、方程和函数的关系
一元二次函数、方程和不等式一、定义1、等式的定义等式是数学中表示两个量或两个表达式之间相等关系的式子。
它由等号（=）连接，等号两边的数值或表达式在特定条件下是相等的。
换句话说，如果两个量或两个表达式用等号连接，那么这两个量或表达式就构成了等式。
2、不等式的定义不等式是数学中表示两个量或两个表达式之间大小关系的式子。
它不使用等号（=）连接，而是使用大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）或不等号（≠）这样的关系符号来连接两边的数值或表达式。
二、性质1、等式的性质：性质1：如果a=b ，那么b=a性质2：如果a=b ，b=c ，那么a=c性质3：如果a=b ，那么a±c=b±c性质4：如果a=b ，那么ac=bc 。
性质5：如果a=b ，c ≠0，那么c b c a =2、不等式的性质：性质1：如果a ＞b ，那么b ＜a;如果b ＜a ，那么a ＞b ．即：a ＞b ⇔b ＜a 。
性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c 。
即：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．性质3：如果a ＞b ，那么cb c a ++＞性质4：如果a ＞b ，c>0，那么ac ＞bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc性质5：如果d c b a ＞，＞，那么db c a ++＞性质6：如果0d c 0b a ＞＞，＞＞，那么bdac >性质7：如果a ＞b ＞0，那么），（＞2n n b a nn ≥∈N三、基本不等式对于∀a ＞0，b ＞0，ab 2b a ≥+变形为2b a ab +≤①当且仅当a=b 时，等号成立．通常我们称不等式①为基本不等式。
其中2b a +叫做正数a ，b 的算术平方根，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、用分析法证明基本不等式分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止要证明2b a ab +≤，只要证明b a ab 2+≤，要证明b a ab 2+≤，只要证明0b a ab 2≤--，要证明0b a ab 2≤--，只要证明0b a 2≤--）（，要证明0b a 2≤--）（，只要证明0b a 2≥-）（，很显然，平方恒大于等于0，0b a 2≥-）（成立，当且仅当a=b 时，0b a 2≥-）（中的等号成立。
一元二次方程、二次函数、一元二次不等式----知识归纳
高2017级（文科）数学一轮复习
《一元二次方程、二次函数、一元二次不等式》 知识归纳
制卷：王小凤 学生姓名：
一．一元二次方程
二．二次函数
三．二次函数在闭区间[]
n m ,上的最大、最小值问题探讨
设()()02
>++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：。
》
》
五．一元二次方程根的分布
a
2a
2a
2·
`
设方程()200ax bx c a ++=>的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为
()2
f x ax bx c =++，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表
（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
表二：（两根与k 的大小比较）
，
表三：（根在区间上的分布）
了一种）
k
k
k。
人教高中数学必修一A版《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件
典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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方法指导
含参一元二次不等式的解法
➢ 判定二次项系数是否为零，分别讨论； ➢ 在二次项系数不为零的条件下，讨论判别式与0的关系； ➢ 在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出对应二次方程的根； ➢ 比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集； ➢ 综上所述，按照参数的范围分别写出解集．
学习目标
➢ 掌握一元二次不等式在实际应用问题中的应用； ➢ 初步掌握解决实际问题的一般步骤.
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典例精讲
题型 一元二次不等式的实际应用
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典例精讲
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典例精讲
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变式训练
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方法指导
一元二次不等式实际应用解题的方法： ➢ 选取合适的字母设题中的未知量； ➢ 由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； ➢ 求解所列出的不等式（组）； ➢ 结合题目的实际意义下结论.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第3课时
学习目标 典例精讲 课堂小结 随堂检测
学习目标
➢ 会解含参一元二次不等式.（重难点）
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题型1 含参一元二次不等式的解集
角度1 参数影响对应方程根的大小
典例精讲
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典例精讲
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典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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课堂小结
➢一个题型
一元二次不等式实际应用题 注意实际问题的具体范围
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随堂检测
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随堂检测
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高中数学第二章一元二次函数方程和不等式等式与不等式1学生用书湘教版必修第一册
第二章一元二次函数、方程和不等式2．1 相等关系与不等关系 2．1.1 等式与不等式最新课程标准学科核心素养1.能从等式的性质类比不等式的性质．(数学抽象)2．理解实数比较大小的基本事实，会比较两个实数的大小．(数学运算)3．掌握不等式的性质及其成立的条件，会利用不等式的性质．(逻辑推理)4．灵活运用不等式的基本性质解决求范围问题、证明不等式．(逻辑推理)1.梳理等式的性质．2．理解不等式的概念．3．掌握不等式的性质．第1课时 等式与不等式(1)教材要点要点一 不等式中的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符号语言＞≥＜≤≤≥≥≤状元随笔 不等式a≥b 或a≤b 的含义(1)不等式a≥b 含义是指“a ＞b, 或者a ＝b”，等价于“a 不小于b”，即若a ＞b 或a ＝b 中有一个正确，则a≥b 正确．(2)不等式a≤b 含义是指“a ＜b ，或者a ＝b”，等价于“a 不大于b”，即若a ＜b 或a ＝b 中有一个正确，则a≤b 正确．要点二 比较两个实数a ，b 大小的依据1．文字叙述如果a －b 是________，那么a ＞b ；如果a －b ________，那么a ＝b ；如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立．2．符号表示a－b＞0⇔a________b；a－b＝0⇔a________b；a－b＜0⇔a________b.状元随笔 比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式、通分等．基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．( )(2)若ab＞1，则a＞b.( )(3)a与b的差是非负实数，可表示为a－b＞0.( )(4)因为∀a，b∈R，(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab.( )2．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为( )A．v＜60B．v＞60C．v≤60D．v≥363．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．与x有关4．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系是________．题型1 用不等式(组)表示不等关系例1 (1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？求解此问题需要构建的不等关系为________．(2)某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种钢管．按照生产的要求，600mm的钢管数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？方法归纳用不等式(组)表示不等关系的步骤(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．(2)适当的设未知数表示变量．(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．跟踪训练1 (1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9km/s，且小于第二宇宙速度11.2km/s.表示为____________．(2)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：食物甲乙维生素A/(单位/kg)600700维生素B/(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用不等式表示x，y所满足的不等关系．题型2 实数(式)的比较大小例2 已知a＞0，试比较a与1a的大小．方法归纳用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练2 (1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为( )A．p＞q B．p≥qC．p＜q D．p≤q(2)已知b＞a＞0，m＞0，比较b+ma+m与ba的大小．题型3 不等关系的转化及应用例3 2021年5月1日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．方法归纳现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．跟踪训练3 甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？课堂十分钟1．(多选)下列说法正确的是( )A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x＜2000”B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y”C．某变量x至少为a可表示为“x≥a”D．某变量y不超过a可表示为“y≤a”2．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是( )A．m＜n B．m＞nC．m≥n D．m≤n3．某学校为高一3班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是( )A．3或4B．4或5C．3或5D．4或64．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是____________．5．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．第二章 一元二次函数、方程和不等式2．1 相等关系与不等关系2．1.1 等式与不等式第1课时 等式与不等式(1)要点二1．正数 等于0 负数2．> ＝ <[基础自测]1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√2．答案：C3．解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝(x+12)2＋34>0，所以M>N.故选A.答案：A4．解析：x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)，又x＜1，∴x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)＞0，即x2＋2＞3x.答案：x2＋2＞3x题型探究·课堂解透例1 解析：(1)设该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x＞408.故不等关系表示为72＋12x＞408.(2)设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系：①截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm.②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍．③截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：¿答案：(1)72＋12x＞408 (2)见解析跟踪训练1 解析：(1)“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为：7.9≤v＜11.2.(2)x kg 甲种食物含有维生素A 600x 单位，含有维生素B 800x 单位，y kg 乙种食物含有维生素A 700y 单位，含有维生素B 400y 单位，则x kg 甲种食物与y kg 乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x ＋700y )单位，含有维生素B(800x ＋400y )单位，则有{600x +700y ≥56000，800x +400y ≥63000，x ≥0，y≥0，即{6x +7y≥560，4x +2y≥315，x ≥0，y≥0.答案：(1)7.9≤v ＜11.2 (2)见解析例2 解析：因为a －1a ＝a 2−1a＝(a −1)(a +1)a，a ＞0所以当a ＞1时，(a −1)(a +1)a＞0，有a ＞1a ；当a ＝1时，(a −1)(a +1)a ＝0，有a ＝1a ；当0＜a ＜1时，(a −1)(a +1)a＜0，有a ＜1a .综上，当a ＞1时，a ＞1a；当a ＝1时，a ＝1a；当0＜a ＜1时，a ＜1a.跟踪训练2 解析：(1)由题意，p ＝(a －1)(a －3)，q ＝(a －2)2，则p －q ＝(a －1)(a －3)－(a －2)2＝a 2－4a ＋3－(a 2－4a ＋4)＝－1<0，所以p －q <0，即p <q .故选C.(2)作差：b +m a +m −b a ＝ab +am−ab −bm a (a +m )＝m (a −b )a (a +m ).∵b >a >0，m >0，∴a －b <0，a ＋m >0，∴m (a −b )a (a +m )＜0，∴b +m a +m ＜ba .答案：(1)C (2)见解析例3 解析：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车队的车需花y 1元，坐乙车队的车需花y 2元．由题意，得y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx .因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1−n 5)，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2，所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．跟踪训练3 解析：设两次大米的价格分别为a 元/千克，b 元/千克(a ＞0，b ＞0，a ≠b ，)则甲两次购买大米的平均价格(元/千克)是：100(a +b )200＝a +b2.乙两次购买大米的平均价格(元/千克)是：200100a +100b ＝21a +1b ＝2aba +b ，因为a +b 2−2ab a +b ＝(a +b )2−4ab 2(a +b )＝(a −b )22(a +b )＞0，所以a +b 2＞2aba +b .所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．[课堂十分钟]1．解析：对于A ，x 应满足x ≤2 000，故A 错；对于B ，x ，y 应满足x <y ，故B 不正确；CD 正确．故选CD.答案：CD2．解析：∵n －m ＝x 2≥0，∴n ≥m .故选D.答案：D3．解析：设宿舍房间数量为x ，男生人数为y ，则{y =3x +60＜y −5(x−1)＜5x ，y ∈N ∗，解得x ＝4，5.所以宿舍可能的房间数量为4或5.故选B.答案：B4．解析：因为x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0，所以x <y .答案：x <y5．解析：(1)设糖水b克，含糖a克，易知糖水浓度为ab，加入m克糖后的糖水浓度为a+mb+m，则提炼出的不等式为：若b＞a＞0，m＞0，则ab＜a+mb+m.(2)设淡糖水b1，含糖a1克，浓糖水b2克，含糖a2克，易知淡糖水浓度为a1b1，浓糖水浓度为a2b2，则混合后的糖水浓度为a1+a2b1+b2，则提炼出的不等式为：若b1＞a1＞0，b2＞a2＞0，且a1b1＜a2b2，则a1b1＜a1+a2b1+b2＜a2b2.。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解7--- 一元二次函数、方程与不等式
高一数学复习考点知识与题型专题讲解一元二次方程、函数与不等式知识网络重难点突破知识点一等式的性质与不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a . (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c .(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc . (5)加法法则：a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d . (6)乘法法则：a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd . (7)乘方法则：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n ＞0(n ∈N ，n ≥2)．例1．（1）（2018·全国高一专题练习）若0a b <<，则下列不等式错误的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．a b >D ．22a b >（2）（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知0a b >>，那么下列不等式中成立的是（） A ．a b ->-B ．a m b m +<+C ．22a b >D ．11a b> （3）．（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ）A ．11a b> B ．11a b a>- C ．|a|>|b|D ．22a b >【变式训练1-1】、（2020·浙江高一课时练习）设2,73,62a b c ==-=-，则,,a b c 的大小关系为（ ）． A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【变式训练1-2】、（多选题）（2020·山东新泰泰安一中高二期中）如果0a b <<，那么下列不等式正确的是（ ）A ．11a b< B ．22ac bc < C ．11a b b a+<+ D ．22a ab b >>知识点二基本不等式1、基本不等式(或)均值不等式ab ba ≥+22、基本不等式的变形与拓展 (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+；(2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）．(3)若00a ,b >>,则ab ba ≥+2； (4)若00a ,b >>,则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）；(5)若00a ,b >>,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）． (6)若0x >,则12x x +≥（当且仅当1x =时取“=”）；若0x <,则12x x+≤-（当且仅当1x =-时取“=”）；若0x ≠,则12x x+≥,即12x x +≥或12x x +≤-（当且仅当b a =时取“=”）．(7)若0>ab ,则2≥+ab b a （当且仅当b a =时取“=”）；若0ab ≠,则2a b b a +≥,即2a bb a +≥或2a bb a+≤-（当且仅当b a =时取“=”）． (8)一个重要的不等式链：2221122a b a b ab a b++≤≤≤+． 例2.（1）（2020·贵州省高二学业考试）已知0,0x y >>，若3xy =，则x y +的最小值为（）A ．3B ．2C ．23D ．1（2）函数()x f x 的最大值为（ ） A ．25B ．12C 2D ．1【变式训练1-1】．（1）（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知0x >，函数4y x x=+的最小值是（ ） A ．4B ．5C ．8D ．6（2）设0,0.a b >>11333a b a b+是与的等比中项，则的最小值为（ ）A 8B 4C 1 D14（3）．（2020·吉林省长春市实验中学高一月考（理））已知x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．14【变式训练2-2】（1）．（2020·浙江省高一期中）已知正数a ，b 满足a +b =1，则1b a b+的最小值等于__________，此时a =____________.（2）．（2019·全国高一课时练习）正实数,x y ，满足112x y+=，则2x y +的( )A ．最小值为322B ．最大值为322+ C ．最小值为322+ D ．最大值为322+（3）．（2019·全国高一课时练习）函数233(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为 （ ）A.3B.2C.1?D.1-知识点三二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2.三个“二次”的关系设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac 判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y ＞0或y ＜0的步骤求方程y ＝0的解有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有 实数根函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a＞0)的图象不等式解集y ＞0 {x |x ＜x 1_或x ＞x 2} ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aR y ＜0{x |x 1＜x ＜x 2} ∅∅3.不等式 ax 2＋bx ＋c >0 ax 2＋bx ＋c <0 a ＝0 b ＝0，c >0b ＝0，c <0a ≠0⎩⎨⎧ a >0Δ<0⎩⎨⎧a <0Δ<0设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c若ax 2＋bx ＋c ≤k 恒成立⇔y max ≤k例3. 解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2<0.【变式训练3-1】．（2020·河南省高三其他（理））关于x 的不等式()()30x a x -->成立的一个充分不必要条件是11x -<<，则a 的取值范围是（） A ．1a ≤-B ．0a <C ．2a ≥D ．1a ≥例4．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为)2,21(-，则下列结论正确的是( ) A ．a >0 B ．b >0 C ．c >0D ．a ＋b ＋c >0【变式训练4-1】．解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.。
新人教版高中数学必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
1.“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母，如，，等；
2.“二次”指的是未知数的最高次必须存在并且是2，并且最高次系数不为0.
二次函数的零点
在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次次方程、一元一次不等式的思想
方法.类似的，能否从二次函数的观点来看一元二次不等式，进而得到
因为Δ的正负未知，故需要分类讨论：
③当 = −4时， Δ = 0，2 2 + + 2 = 0有两个相等实根1 = 2 = 1,
所以原不等式的解集为{| ≠ 1}
④当−4 < < 4时， Δ < 0，方程2 2 + + 2 = 0无解
所以原不等式的解集为R
【三个“二次”的关系】
1
1
【解】根据题意得： 180 2 + 20 > 39.5，整理得：
2 + 9 − 7110 > 0，方程 2 + 9 − 7110 = 0有两个实数
−9− 28521
= −88， 2
2
结合图像可知 2 + 9 − 7110
根1 =
=
−9+ 28521
2
= 80，
> 0的解集为
计算 = − 的值
>
=
方程 + + =
方程 + + =
有两个不等实根 ，
有两个相等实根 ，
( < )
原不等式的解集为
{| < 或 > ｝
<
( = = −
没有实根
)
一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳
一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式是高中数学中的重要内容，掌握了这些知识可以帮助我们解决实际问题和推导数学关系。
本文将对一元二次方程、二次函数和一元二次不等式进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。
一、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（其中a ≠ 0）的方程，其中x 表示未知数。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。
1. 因式分解法当一元二次方程可以因式分解为两个一次因子相乘时，我们可以通过将方程两边置零，将每个因子等于零来求解。
例如，对于方程x^2 -5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2和x = 3两个解。
2. 配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法将方程转化为完全平方式，然后再进行求解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以通过将常数项进行拆分，得到x^2 - 2x - 3x + 6 = 0，进而变为(x(x - 2) - 3(x - 2) = 0，再经过合并同类项和提取公因式的步骤得到(x -2)(x - 3) = 0，进而求得x = 2和x = 3两个解。
3. 求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解。
其中，±表示两个相反的解，而√表示平方根。
这种方法适用于所有一元二次方程的求解，包括没有实数解的情况。
二、二次函数二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
掌握了二次函数的性质和图像特点可以帮助我们分析函数的变化趋势和解决实际问题。
高中数学必修第一册第2章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
1 不等关系及其表示
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、
大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不
少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等
式表示不等用不等式表示。
【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子
【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”
连接起来的式子
1 不等关系及其表示
【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（1）某路段限速；40 Τℎ；
设该路段行驶的汽车速度为，则0 < ≤ 40
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋
> ⇒− >0
− + − >0
> ⇒− >0
⇒− >0⇒ >
如果传递的时候两个不等式只有一个带等号，那么等号是传递
不过去的.只有两个不等式都带等号，等号才能传递过去.例如：
如果a ≥ b且 > ，那么只能得到 > ，无法得到 ≥ ；
如果a > b且 ≥ ，那么只能得到 > ，无法得到 ≥ ；
事实上，利用完全平方公式也可以得到这个不等式：
因为∀a, b∃R, a − b
2
≥ 0,当且仅当a = b时，等号成立.所以a2 + b2 ≥ 2ab
因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：
+ ≥ ，当且仅当 = 时，等号成立.
≥ ⇔ − ≥ ； < ⇔ − ≤
要用到关于两个实数大小关系的基本事实.
高一寒假讲义-二次函数与一元二次方程、不等式
二次函数与一元二次方程、不等式含答案知识梳理1、一元二次不等式的概念（1）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．如：不等式2x2－x＋1＞0是一元二次不等式．（2）使一元二次不等式成立的未知数的取值范围叫一元二次不等式的解集．（3）一元二次不等式经过变形，可化成以下两种标准形式：①ax2＋bx＋c＞0(a＞0)；②ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．设二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac，则：（1）Δ＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的解x1，x2，设x1＜x2，则不等式①的解集为{x|x<x1或x>x2}，不等式②的解集为{x|x1<x<x2}．（2）Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的解，即x1＝x2，此时不等式①的解集为{x|x≠x1}，不等式②的解集为∅．（3）Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0无实数解，不等式①的解集为R，不等式②的解集为∅．2、三个“二次”二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集三者之间的关系(如下表)：Δ＝b2－4ac 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0解的情况ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集Δ＞0有两相异实根x1，x2{x|x＞x2，或x＜x1} {x|x1＜x＜x2} Δ＝0有两相等实根x0{x|x≠x0} ∅Δ＜0没有实根 R ∅3、含参数的一元二次不等式的解法（1）两边同除或同乘含参的式子时，应讨论含参的式子的符号．如：当a ＞0时，关于x 不等式ax ＞a 2的解是x ＞a ；当a ＜0时，关于x 不等式ax ＞a 2的解是x ＜a ．（2）解含参数的一元二次不等式时，先求相应二次方程的根，比较根的大小后，再根据相应二次函数的图象写出不等式的解集．如：当a ＞0时，关于x 不等式x 2－ax ＞0的解是x ＜0或x ＞a ；当a ＜0时，关于x 不等式x 2－ax ＞0的解是x ＜a 或x ＞0．知识典例题型一 一元二次不等式的求解例1 不等式23210x x +-≤的解集是（ ） A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【答案】A巩固练习1、不等式290x x -+>的解集是（ ） A ．{0x x <或}9x > B ．{9x x <-或}0x > C ．{}09x x << D ．{}90x x -<<【答案】C2、不等式2320x x -++>的解集为____________． 【答案】2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭题型二 分式不等式求解例 2 解不等式2x －53－x＞0解析：原不等式可化为： 2x －5x －3＜0， 即(2x －5)(x －3)＜0. ∴x ∈⎝⎛⎭⎫52，3，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫52，3巩固练习求下列不等式的解集：(1)x ＋21－x ＜0 (2)x ＋1x －2≤2.解析：(1)由x ＋21－x ＜0，得x ＋2x －1＞0，此不等式等价于(x ＋2)(x －1)＞0， ∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞1}． (2)解法一：移项得x ＋1x －2－2≤0，左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0，它的同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≥0，x －2≠0，∴x ＜2或x ≥5，∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}． 题型三 带参数的一元二次不等式例 3 解关于x 的一元二次不等式()2330x m x m +-->【解析】利用十字相乘法进行化简：03>+-))((m x x （1）当3>-m 时，即3-<m ，解为}{3<->x m x 或 （2）当3=-m 时，即3-=m ，解为R（3）当3<-m 时，即3->m ，解为}{m x x -<>或3巩固练习1、解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＜0.分析：求出一元二次方程的两根2a ，－a ，比较两根的大小． 解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判别式 Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0， 得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a ， (1)若a ＞0，则－a ＜x ＜2a ，此时不等式的解集为{x |－a ＜x ＜2a }； (2)若a ＜0，则2a ＜x ＜－a ， 此时不等式的解集为{x |2a ＜x ＜－a }； (3)若a ＝0，则原不等式即为x 2＜0， 此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为 当a ＞0时，{x |－a ＜x ＜2a }； 当a ＜0时，{x |2a ＜x ＜－a }； 当a ＝0时，∅.2、解关于x 的不等式22420x ax a +-<. 【答案】答案不唯一，具体见解析.题型四 二次项系数为参数的一元二次不等式例 4 设m R ∈，解关于x 的不等式22230m x mx +-<． 【答案】详见解析巩固练习1、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集为R ，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤ B ．22a -<≤C ．22a -<<D ．2a <【答案】B2、解关于x 的不等式：ax 2－2(a ＋1)x ＋4＜0.解析：(1)当a ＝0时，原不等式的解集为： {x |x ＞2}．(2)当a ≠0时，原不等式化为：a ⎝⎛⎭⎫x －2a (x －2)＜0， ①当a ＜0时，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －2a (x －2)＞0 ，此时原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜2a 或x ＞2；②当0＜a ＜1时，2＜2a，此时原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2＜x ＜2a ；③当a ＞1时，2a＜2，此时原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a ＜x ＜2； ④当a ＝1时，原不等式的解集为∅.题型五 参数求解例 5 一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则+a b 的值是（ ）A ．10B ．-10C ．14D ．-14【答案】D巩固练习1、已知不等式20ax bx c ++>的解集为1|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则不等式20cx bx a ++<的解为（ ） A ．1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{3x x <-或12x ⎫>⎬⎭ C ．1|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{2x x ≤-或13x ⎫>⎬⎭【答案】A2、已知不等式20x bx c ++>的解集为{}21x x x <或． （1）求b 和c 的值；（2）求不等式210cx bx ++≤的解集. 【答案】(1)3b =-，2c =；(2)1|12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤题型五 恒成立问题例 5 若关于x 的不等式220x x a ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】()1,+∞巩固练习1、已知关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________. 【答案】(]3,0-2、对任意的实数x ，不等式()11ax x -<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(),0-∞ B ．[)4,0-C ．(]4,0-D ．(],4-∞-【答案】C巩固提升1、不等式25140x x -++≤的解集为（ ）A ．{7x x ≥或}2x ≤ B ．{}27x x ≤≤ C ．{7x x ≥或}2x ≤- D ．{}27x x -≤≤【答案】C2、不等式()43x x -<的解集为（ ） A ．{|1x x <或}3x > B ．{0x x <或}4x > C ．{}13x x << D ．{}04x x <<【答案】A3、不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则-a b 的值为（ ）A ．14B ．-14C ．10D ．-10【答案】D4、不等式13()()022≥x x +-的解集是（ ）A ．1{|2x x <-或3}2x > B ．1{|2x x ≤-或3}2x ≥C ．13{|}22x x -≤≤D ．13{|}22x x -<<【答案】C5、不等式23100x x --<的解集是（ ） A ．()2,5- B ．()5,2- C ．()(),52,-∞-+∞ D ．()(),25,-∞-+∞【答案】A6、已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C。
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答案： ,1 3,
10、已知函数 f x x a ， g x x2 2ax 1（ a 为正常数），且函数 f x 与 g x 的
图象在 y 轴上的截距相等。 （1）求 a 的值；
（2）求函数 f x g x 的单调递增区间；
答案：1；
1 2
,1
,
1,
11、已知函数 f (x) x2 (2a 1)x a2 2 与非负 x 轴至少有一个交点，求 a 的取值范围
2 0
【热身练习】
【精解名题】
1、已知 f （x）=（x －a）（ x －b）－2（a＜b），并且 α、β 是方程 f （ x ）=0 的
两根（α＜β），则实数 a、b、α、β 的大小关系可能是（ D
）
A、α＜a＜b＜β B、a＜α＜β＜b
C、a＜α＜b＜β D、α＜a＜b＜β
2、m 为何值时，关于 x 的方程 8 x 2－（ m －1）x + （m －7）= 0 的两根：
（1）为正数根？ （2）为异号根且负根绝对值大于正根？ （3）都大于 1？ （4）一根大于 2，一根小于 2？两根在 0，2 之间？
3、（1）若方程 7x2－(k+13)x+k2－k－2=0 的两根分别在(0,1)和(1,2)内，求 k 的取值范围.
（2）已知方程 x2+(m－2)x+2m－1=0 有且只有一个实根在(0,1)内，求 m 的取值范围.
答案：
2,
9 4
12、对于函数 f (x) ax2 (b 1)x b 2(a 0) ，若存在实数 x0 ，使 f (x0 ) x0 成立，则 称 x0 为 f (x) 的不动点. （1）当 a 2 , b 2 时，求 f (x) 的不动点； （2）若对于任何实数 b ，函数 f (x) 恒有两相异的不动点，求实数 a 的取值范围。
2、二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 的图象如右图
试确定下列各式的正负:a ;b
;c
；
a－b＋c
；b2－4ac
;a＋b＋c
;
·-1 ·1
3、1）已知关于 x 的方程 x2+(m－2)x+2m－1=0 有一实根在 0 和 1 之间，则 m 的取值范围
________ 2）方程 x2＋(2m－1)x＋4－2m=0 的一根大于 2、一根小于 2，那么实数 m 的取值范围是 3）若方程(1+a)x2－3ax+4a=0 的所有根均小于 1，求实数 a 的范围
初中/高中数学 备课组 日期 学生情况： ----------------------
教师 上课时间
班级
学生
主课题：一元二次方程、不等式与函数
教学目标： 1. 2. 3.
教学重点： 1. 2. 3. 4.
教学难点： 1. 2. 3.
考点及考试要求： 1. 2. 3. 4.
一元二次方程、不等式与函数
(1)ab＞0
(2)a＋b＋c＜0
(3)a＋c＞b
(4)3b＞2c
二、解答
8、关于 x 的方程：3x2－5x＋a=0 的一根在(－2，0)内，另一根在(1，3)内，求实数 a 的取值
范围.
答案： 12,0
9、若对于任意 a [1,1], 函数 f (a) x2 (a 4)x 4 2a 的值恒大于零, 求 x 的取值范
答案：-1,2; 0, 2
6、若方程 2ax2－x－1=0 在 x∈（0，1）内恰有一解，则 a 的取值范围是__ 1, _________
7、二次函数 y=ax2＋bx＋c 的图象开口向下，对称轴为 x=1，图象与 x 轴有两个不同的交点，
一个交点的横坐标 x1∈（2，3），那么以下四个结论正确的是：____4______
4、求实数 m 的范围，使抛物线 y x2 mx 2 与以 A(0,1), B(2,3) 为端点的线段有 两个交点。 3 m＜1
2
【巩固练习】 1、已知二次函数 f（ x ）=ax2－bx+c（a＞0），若当 a = 1 时，方程 f （ x ）= 0 的所 有根都在[0，1]内，
求证： f （0）· f （1）≤ 1 16
【知识精要】
填写一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的关联表
△= b2 4ac
△＞0
△=0
一元二次方程 ax2 bx c 0
（a＞0）
一
ax2 bx c ＞0
元
（a＞0）
二
次
ax2 bx c ＜0
不
(a＞0）
等
式
二次函数大致图像
y= ax2 bx c
（a＞0）
△＜0
二次方程实数根的分布问题：
y
=
ax2+bx+c（a≠0）当
a
Байду номын сангаас
0 0
时恒正；当
a
0 0
时恒负。
ax2+bx+c=0（a≠0）有两个异号实根 x1 x2 0
f(x)=ax2+bx+c=0（a≠0）有两个小于
2
的实根
0 (x1 2) (x2 (x1 2)(x2
2)
2)
0
0
或
f
0 b 2a (2)
m＜ 3
4 、 已 知 函 数 y log a2 (x2 2x) 在区间(,0) 上 单 调 递 增 , 则 a 的 取 值 范 围 是
__ 1,0 0,1_______
5、已知 A={x|x2+(p+2)x+1=0，x∈R}，且 A∩R+=φ，则实数 p 的范围是___ 4, _________
【自我测试】
一、填空：
1、已知函数 y 6x 2x 2 m 的值恒小于零,那么 m ____＞ 9 ________ 2
2、已知不等式 ax2 bx 2 0的解为 1 x 1 ,则 a= -12 ;b=
-2
2
3
3、方程 x2＋(2m－1)x＋4－2m=0 的一根大于 2、一根小于 2，那么实数 m 的取值范围是