离散数学 数理逻辑__命题逻辑_(4)

更一般的有： 更一般的有： 定义2： 是命题公式， 定义 ：设A1、A2…An和B是命题公式，当且仅当 是命题公式 A1∧A2∧A3…∧An ⇒ B，则称 是一组前提 1，A2…An 是一组前提A ∧ ，则称B是一组前提 的有效结论，或称从 推出B。 的有效结论，或称从A1，A2…An推出 。 有时也记为: 有时也记为 A1，A2 ,…,An ⇒ B。 。
第13页
EX2：用反证法证明： (P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S) ⇒ S∨R ：用反证法证明： ∨ ∧ → ∧ → ∨
证：编号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 公式 ¬ (S∨R) ∨ ¬ S∧¬ R ∧ ¬S Q→S → ¬Q P∨Q ∨ P P→R → R ¬R F 根据
第1页
推理理论
证明： ∧(P→Q)⇒ 例1 证明：P∧(P→Q)⇒ Q 证明： ∧(P→Q)→ 证明： P∧(P→Q)→Q ⇔P∧(¬P∨Q）→ Q ∧(¬ ⇔（F∨P∧Q）→ Q F∨P∧Q） P∧Q ⇔¬（P∧Q)∨Q ¬ P∧Q)∨ ⇔¬P∨¬Q∨Q ¬ ⇔ 1 证毕
第2页
推理理论
证明(P Q)∧(Q→R)⇒ (P→ 例2. 证明(P→Q)∧(Q→R)⇒（P→R）
推理理论
真值表如下： 解：② (P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R （ ？） 真值表如下： → ∧ → → P 0 0 0 0 1 1 1 1 Q 0 0 1 1 0 0 1 1 R 0 1 0 1 0 1 0 1 P→Q Q→R → → 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 P→R → 1 1 1 1 0 1 0 1
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 ¬P 1 1 0 0 P∨Q ∨ 0 1 1 1
从表中看到使P∨ ， 同时为T的只有第二行 从表中看到使 ∨Q，¬ P同时为 的只有第二行，这时 的真值亦为 同时为 的只有第二行，这时Q的真值亦为 T，所以 是前提 ∨Q，¬ P的有效结论。即： ¬ P∧(P∨Q)⇒ Q。 是前提P∨ ， 的有效结论。 ，所以Q是前提 的有效结论 ∧ ∨ ⇒ 。
推理理论
（二）直接证明法
两条推理规则： 两条推理规则： 规则（前提引入规则）： ）：前提在推导过程中的任何时候 ① P 规则（前提引入规则）：前提在推导过程中的任何时候 都可以引入使用。 都可以引入使用。 规则（结论引用规则）：在推导过程中得到的结论， ）：在推导过程中得到的结论 ② T 规则（结论引用规则）：在推导过程中得到的结论，可 以在后继证明过程中的任何地方引用。 以在后继证明过程中的任何地方引用。 EX1：试证：(P→Q)，(Q→R)，P ⇒ R ：试证： → ， → ， 证：编号 公式 (1) (2) (3) (4 ) (5) P→Q → P Q Q →R R 根据 引入前提， 规则 引入前提，P规则 引入前提， 规则 引入前提，P规则 (1) (2)假言推理，T规则 假言推理， 规则 假言推理 引入前提， 规则 引入前提，P规则 (3) (4)假言推理，T规则 假言推理， 规则 假言推理
第15页
2、附加前提证明法（CP规则） 、附加前提证明法（ 规则 规则） 欲证明: 欲证明 ( A1 ∧ A2 ∧, …, ∧ Ak )→ (A→B) → →
(1)
而 (A1∧A2∧…∧Ak)→(A→B) ∧ → → ⇔ ¬( A1∧A2∧…∧Ak)∨(¬A∨B) ∧ ∨¬ ∨ ⇔ ¬( A1∧A2∧…∧Ak∧A)∨B ∧ ∨ ⇔ (A1∧A2∧…∧Ak∧A)→B (2) ∧ → 在(2) 式中原结论中的前件 已经变成了前提，如 式中原结论中的前件A已经变成了前提 已经变成了前提， 果能证明(2) 式为永真式， 式也是永真式。 果能证明 式为永真式，则(1)式也是永真式。称 式也是永真式 A为附加前提，称这种将结论中的前件作为前提 为附加前提， 为附加前提 的证明方法为附加前提证明法（ 规则 规则）。 的证明方法为附加前提证明法（CP规则）。
证明：(P→Q)∧(Q→ (P→ 证明：(P→Q)∧(Q→R) →(P→R) ⇔((P→Q)∧(Q→R))→(P→R) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→ ((P ⇔¬((P→Q)∧(Q→R))∨(P→R) ¬((P→Q)∧(Q→R))∨(P→ ⇔¬((¬P∨Q)∧(¬Q∨R))∨(¬P∨R) ¬((¬ Q)∧(¬ R))∨ ⇔((P∧¬ Q)∨(Q∧¬ R))∨(¬P∨R) ((P∧ Q)∨(Q∧ R))∨ ((P ⇔(P∧¬ Q)∨¬P∨(Q∧¬R)∨R ---结合律 (P∧ Q)∨ (Q∧ R)∨ ---结合律 (P ⇔(P∨¬P)∧(¬Q∨¬P)∨(Q∨R )∧(¬R∨R)---分配律 (P∨ P)∧ ¬ P)∨(Q∨ ∧( ∧(¬ R)-----分配律 (P ⇔(¬Q∨¬P)∨(Q∨R ) ( P)∨(Q∨ ⇔(¬Q∨Q)∨(¬ P∨R ) ( Q)∨ ⇔T T 证毕
第9页
推理理论
EX2：试证：P∨Q，Q→R，P→M， ¬ M ⇒ R∧(P∨Q) ：试证： ∨ ， → ， → ， ∧ ∨ 证： 编号 公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) ¬M P→M → ¬P P∨Q ∨ Q Q→R → R R∧(P∨Q) ∧ ∨ 根据 P P T(1)，(2)（拒取式） ， （拒取式） P T(3)，(4)（析取三段论） ， （析取三段论） P T(5)，(6)（假言推理） ， （假言推理） T(4)，(7) ，
推理理论
§1.6 推理理论
重言蕴含式) 一、永真蕴含式(重言蕴含式 永真蕴含式 重言蕴含式 定义1 定义1：设A、B是两个命题公式，如果A→B是永真式， 是两个命题公式，如果A 是永真式， 则称A永真蕴含B 记为A 其中称A为前提， 则称A永真蕴含B，记为A⇒B。其中称A为前提，B称为有 效结论，这种从前提推出结论的思维过程叫推理。 效结论，这种从前提推出结论的思维过程叫推理。
第11页
推理理论
（三） 间接证明法 1、反证法（归谬法） 、反证法（归谬法）
原理： 原理： 即 A1∧A2∧A3⋅⋅⋅⋅⋅∧An ⇒B ⋅⋅⋅⋅⋅∧ A1∧A2∧A3⋅⋅⋅⋅⋅∧An →B ⇔ T ⋅⋅⋅⋅⋅∧ ¬（A1∧A2∧A3⋅⋅⋅⋅⋅∧An）∨B ⇔ T （ ⋅⋅⋅⋅⋅∧ 即证 A1∧A2∧A3⋅⋅⋅⋅⋅∧An ∧¬B ⇔ F ⋅⋅⋅⋅⋅∧
第10页
推理理论
EX3：试证：P∨Q，P→R，Q→S ⇒ S∨R ：试证： ∨ ， ， ∨
证： 编号 公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) P∨Q ∨ ¬P→Q → Q→S P∨S ∨ ¬ S→P → P→R ¬ S→R → S∨R ∨ 根据 P T(1) (I：P→Q ⇔ ¬ P∨Q) ： → ∨ P T(2)，(3) （假言三段论） ， 假言三段论） T(4) ( I：P→Q ⇔ ¬ P∨Q) ： → ∨ P T(5)，(6)，（假言三段论） ， ，（假言三段论） ，（假言三段论 T(7) (I：P→Q ⇔ ¬ P∨Q) ： → ∨
所以 (P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R 。 → ∧ → →
EX4：一份统计表格的错误或是由于材料不可靠，或是由于计算有错误,这份 ：一份统计表格的错误或是由于材料不可靠，或是由于计算有错误 这份 统计表格的错误不是由于材料不可靠，所以这份统计表格是由于计算有错误。 统计表格的错误不是由于材料不可靠，所以这份统计表格是由于计算有错误。
第3页
---结合律 ---结合律
推理理论
性质： 性质：设P，Q，R是命题公式，如果P⇒Q， 是命题公式，如果P 即永真蕴含是可传递的。 Q⇒R，则 P⇒R，即永真蕴含是可传递的。 常用的永真蕴含式： 常用的永真蕴含式： 永真蕴含式
(A∨ (1) A⇒(A∨B) (2)(A∧B)⇒ (2)(A∧B)⇒A (A∧B) (3)(A→B)∧A⇒B (3)(A→B)∧A (A (4)(A→B)∧¬B⇒¬A (4)(A→B)∧¬ (A (5)(A∨B)∧¬ (5)(A∨B)∧¬A⇒B (A (6)(A→B)∧(B→C)⇒ (6)(A→B)∧(B→C)⇒A→C (A (7)(A↔B)∧(B↔C)⇒ (7)(A↔B)∧(B↔C)⇒A↔C (A (8)(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)⇒(B∨ (8)(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)⇒(B∨D) (A B⇒(A∨ B⇒(A∨B) (A∧B)⇒B A∧B)⇒ 附加 化简 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论 等价三段论 构造性二难
否定结论引入
T(1) T(2) P T(3)，(5) ， P T(6) ，(7) P T(8)， (9) ， T(2) T(9) ，(10)
推理理论
思考：用反证法证明： 思考：用反证法证明：A→B，¬ (B∨C) ⇒ ¬ A 证： 编号 公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) A→B → A B ¬ (B∨C) ∨ ¬ B∧¬ C ∧ ¬B F 根据 P 否定结论引入 T(1),(2) P T(4) T(5) T(3)，(6) ，
即将¬ 作为假设前提补充到原来的前提中去 作为假设前提补充到原来的前提中去， 即将¬ B作为假设前提补充到原来的前提中去，转化成对 A1∧A2∧A3⋅⋅⋅⋅⋅∧An ∧¬B ⇔ F的证明。 ⋅⋅⋅⋅⋅∧ 的证明。 的证明
第12页
源自文库 推理理论
EX1：用反证法证明：(P→Q)∧(Q→R)∧P ⇒ R ：用反证法证明： → ∧ → ∧ 思路：将¬ R作为假设前提补充到原来的前提中去，转化对 思路： 作为假设前提补充到原来的前提中去， 作为假设前提补充到原来的前提中去 (P→Q)∧(Q→R)∧P∧¬ R ⇔ F的证明。 → ∧ → ∧ ∧ 的证明。 的证明 证明： 证明： 编号 公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) P→Q → P Q Q →R R ¬R F 根据 P P T(1),(2) P T(3),(4) 否定结论引入 T(5),(6)
第5页
EX3：利用真值表法论证 ： ① (P→Q)∧¬ P⇒Q （ ？） → ∧ ⇒ ② (P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R （ ？） → ∧ → 真值表如下： 解： ①真值表如下： P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 ¬P 1 1 0 0
推理理论
P→Q → 1 1 0 1
因使P→ ， 同时为T的只有第一 因使 →Q，¬ P同时为 的只有第一、二行， 同时为 的只有第一、二行， 相应的Q：第二行为 ，但第一行为F 相应的 ：第二行为T，但第一行为 ， 所以Q不是 → ， 的有效结论。 所以 不是P→Q，¬ P的有效结论。 不是 的有效结论
解：设各命题变元 P：统计表格的错误是由于材料不可靠。 ：统计表格的错误是由于材料不可靠。 Q：统计表格的错误是由于计算有错误。 ：统计表格的错误是由于计算有错误。 本例可译为： 是前提 是前提P∨ ， 的有效结论， 本例可译为：Q是前提 ∨Q，¬ P的有效结论，即 (P∨Q) ∧ ¬ P ⇒ Q 的有效结论 ∨
第4页
推理理论
二、命题演算的证明方法（推理理论） 命题演算的证明方法（推理理论） （一）真值表法： 真值表法： 检查真值表中使所有A 都取T的那些行 的那些行， ① 检查真值表中使所有 1，A2…An都取 的那些行， 在所有这些行都为真值T， 若B在所有这些行都为真值 ， 在所有这些行都为真值 即证得: 即证得 A1，A2…An ⇒ B。 。 检查真值表中B的取值为 的那些行，若在相应行中， 的取值为F的那些行 ② 检查真值表中 的取值为 的那些行，若在相应行中， 至少有一个A 至少有一个 i（i=1，2，…n）取值为 ， ， ， ）取值为F， 即证得: 即证得 A1，A2…An ⇒ B。 。
第16页
EX1：试证：(P→Q)，(Q→R) ⇒ P → R ：试证： → ， → 证：编号 公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) P→Q → P Q Q →R R P→R → 根据 P P，附加前提 ， T(1) (2) P T(3) (4) CP规则 规则