离散数学数理逻辑__命题逻辑_(4)

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必须掌握的数学知识点总结

必须掌握的数学知识点总结一、基础知识1. 算术算术是数学的基础，包括加法、减法、乘法、除法等基本运算。

在实际生活中，我们经常需要进行数字的计算，因此掌握基本的算术知识对于每个人来说都是至关重要的。

2. 代数代数是数学中的一个重要分支，主要研究未知数和它们之间的关系。

代数知识包括多项式、方程、不等式、函数等内容，是后续学习更高级数学知识的基础。

3. 几何几何是研究空间和图形的形状、大小、位置关系的一门学科。

几何知识包括直线、角、三角形、四边形、圆等内容，对于理解空间和图形的属性有着重要的作用。

4. 概率与统计概率与统计是数学中的一个重要分支，研究的是随机现象的规律性和数量关系。

概率用来描述随机事件发生的可能性，而统计则是对数据进行收集、整理、分析和解释的过程。

二、高级知识1. 微积分微积分是数学的一个重要分支，主要研究函数的变化规律和其在空间中的应用。

微积分知识包括导数、积分、微分方程等内容，是自然科学和工程技术中不可或缺的工具。

2. 线性代数线性代数是数学中的一个重要领域，主要研究向量空间和线性变换。

线性代数知识包括矩阵、行列式、特征值与特征向量等内容，在物理、工程、信息科学等领域有着广泛的应用。

3. 数理逻辑数理逻辑是数学的一个重要分支，研究的是数学推理和证明的方法。

数理逻辑知识包括命题逻辑、谓词逻辑、集合论等内容，是数学基础和理论研究中不可或缺的一部分。

4. 离散数学离散数学是数学中的一个重要分支，主要研究离散结构和离散对象之间的关系。

离散数学知识包括集合、图论、代数结构等内容，在计算机科学和信息技术中有着重要的应用价值。

通过对这些数学知识点的总结，我们可以清晰地看到数学的广泛应用和重要性。

无论在学术研究还是实际应用中，数学都扮演着不可替代的角色。

因此，掌握这些数学知识点对于每个人来说都是非常重要的。

希望通过这篇总结，读者们可以对数学有一个更全面的理解，从而更好地应用和发展数学知识。

离散数学-命题逻辑-4-左孝凌

主合取范式
⑵ 真值表法：用真值表求主合取范式。用真值表求主合取范式的步骤如下： ①构造命题公式的真值表。 ②找出公式的成假赋值对应的极大项。 ③这些极大项的析取就是此公式的主合取范式。
主合取范式
例用真值表法求(p→q)→r的主合取范式。解：(p→q)→r的真值表是表1-7.7。公式的成假赋值对应表1-7.7 的大项为： p∨q∨r (成假赋值为000) p∨q∨r (成假赋值为010) p∨q∨r (成假赋值为110) 主合取范式为：
主析取范式
一个命题公式的主析取范式可以由以下两种方法求得： ⑴ 等价演算法：即用基本等价公式推出。用等价演算法求主析取范式的步骤如下： ① 化归为析取范式。 ② 除去析取范式中所有永假的基本积。 ③ 在基本积中，将重复出现的合取项和相同变元合并。 ④ 在基本积中补入没有出现的命题变元，即添加 ∧(p∨p)，再用分配律展开，最后合并相同的极小项。
极小项的性质
极小项 p∧q p∧q p∧q p∧q 极小项 p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r 表1-7.2 成真赋值 00 01 10 11 表1-7.3 成真赋值 000 001 010 011 100 101 110 111 名称 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 名称 m0 m1 m2 m3
p
0 0 1 1
q
0 1 0 1
p∧q
0 0 0 1
表1-7.1 p∧q 0 0 1 0
p∧q 0 1 0 0
p∧q 1 0 0 0
极小项的性质
极小项有下列的性质： ⑴ 每个极小项只有一个成真赋值，且各极小项的成真赋值互不相同。极小项和它的成真赋值构成了一一对应的关系。可用成真赋值为极小项进行编码，并把编码作为m的下标来表示该极小项，叫做该极小项的名称。两个命题变元的极小项、成真赋值和名称如表1-7.2所示。三个命题变元的极小项，成真赋值和名称如表1-7.3所示。从表1-7.2和表1-7.3中可以看出，极小项与其成真赋值的对应关系为：变元对应1，而变元的否定对应0。

离散数学第三-四章

n i 1
Ai
(f) A (A∪B ), B (A∪B )
集合与关系 >集合的运算
交与并的关系定理3-2.1 设A、B、C为三个集合,则下列分配律成立。 a) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) b) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 定理3-2.2 设A、B为任意两个集合,则下列吸收律成立 a) A∪(A∩B)=A b) A∩(A∪B)=A 定理3-2.3 A B 当且仅当 A∪B=B 或 A∩B=A。
集合与关系 > 集合的运算
本节重点掌握的概念: 集合, 集合相等,集合包含, 幂集。
本节重点掌握的方法: 集合的表示, 求幂集.
作业
3-1 （1）（a）,（c） ,（e）
（3）（4）（a）,（c） ,（e） (5) (6) （a）,（c） ,（e） (9)
集合与关系 >集合的概念和表示法
上节知识点: 1. 集合的概念 2. 集合的表示 3 集合之间的关系 4 空集和全集 5 幂集(power set)
A-B
E B
A
集合与关系 >集合的运算
• 绝对补定义3-2.4 设E为全集,任一集合A关于E的补 E-A, 称为集合A的绝对补,记作~A。
即 ~ A={ x| xE ∧ xA}
集合与关系 >集合的运算
(3) 集合的补(complement) 定义3-2.3 设A、B为任意两个集合,所有属于A而不属于B的一切元素组成的集合S称为B对于A的补集,或相对补,记作A-B。即 A-B={ x| xA ∧ xB} 或 xA-B xA但 xB
例如 A={2, 5, 6} B={1, 2, 4, 7, 9} A-B={5, 6} B-A={1,4,7,9} E - A?

离散数学基本公式

离散数学基本公式离散数学是数学的一个重要分支，它主要研究的是非连续的、分离的对象，如集合、图论、数论、逻辑等。

在这些领域中，一些基本的公式和定理是理解和应用离散数学的关键。

以下是一些离散数学的基本公式：1、德摩根定律德摩根定律是布尔代数中的基本公式之一，它表示对于任何逻辑运算，如果我们把所有的否命题和原命题结合在一起，我们就会得到一个恒等式。

用符号表示为：P ∧ Q) ∨(¬P ∧¬Q) ≡ P ∨ QP ∨ Q) ∧(¬P ∨¬Q) ≡ P ∧ Q2.集合论中的互补律在集合论中，互补律表示对于任何集合A和它的补集A'，我们有：A ∪ A' = U,其中U是全集A ∩ A' = ∅,其中∅表示空集3.图论中的欧拉公式欧拉公式是图论中的一个基本公式，它表示对于一个连通无向图G，其顶点数v、边数e和欧拉数euler(G)之间有以下关系：euler(G) = v + e - 2其中euler(G)是图G的欧拉数，v是图G的顶点数，e是图G的边数。

这个公式在计算图的欧拉数或者判断一个图是否连通等方面都有重要应用。

4.数论中的费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它表示对于任何正整数n，如果它是质数p的幂次方，那么我们可以找到一个整数x，使得x的n 次方等于1（模p）。

用数学语言表示为：x^n ≡ x (mod p)其中n是正整数，p是质数，x是整数。

这个定理在密码学、计算机科学等领域都有广泛的应用。

5.逻辑中的排中律和反证法排中律是指对于任何命题P，P或非P必定有一个是真命题。

反证法则是通过假设相反的命题成立来证明原命题的一种方法。

在证明过程中，如果假设的相反命题成立会导致矛盾，那么原命题就一定是正确的。

这些公式和定理只是离散数学中的一小部分，但它们是理解和应用离散数学的基础。

在学习的过程中，我们还需要掌握更多的公式和定理，以及它们的应用方法。

离散数学第二版最全课后习题答案详解

离散数学第二版最全课后习题答案详解离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、电气工程等领域都有着广泛的应用。

对于学习离散数学的同学们来说，课后习题的解答是巩固知识、加深理解的重要环节。

本文将为您提供离散数学第二版的最全课后习题答案详解，希望能对您的学习有所帮助。

在开始讲解具体的习题答案之前，让我们先简要回顾一下离散数学的主要内容。

离散数学包括集合论、数理逻辑、图论、代数结构等几个部分。

集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质、运算和关系。

在集合论的习题中，常见的问题包括集合的表示、集合的运算（并集、交集、补集等）、集合的包含关系以及集合的基数等。

例如，有这样一道习题：设集合 A ＝｛1, 2, 3}，B ＝｛2, 3, 4}，求 A ∪ B 和A ∩ B。

答案是：A ∪ B ＝｛1, 2, 3, 4}，A ∩ B ＝｛2, 3}。

这是因为并集是包含两个集合中所有元素的集合，而交集是同时属于两个集合的元素组成的集合。

数理逻辑是研究推理和证明的工具，它包括命题逻辑和谓词逻辑。

在数理逻辑的习题中，需要掌握命题的符号化、逻辑公式的等价变换、推理规则的应用等。

比如，给出这样一个命题：“如果今天下雨，那么我就不去公园”，将其符号化。

我们可以设“今天下雨”为 P，“我去公园”为 Q，那么这个命题可以符号化为P → ¬Q。

图论是研究图的性质和应用的分支。

图的概念在计算机网络、交通运输等领域有着重要的应用。

图论的习题常常涉及图的表示、顶点的度、路径、连通性、图的着色等问题。

假设有这样一道题：一个无向图有 10 个顶点，每个顶点的度都为 6，求这个图的边数。

根据顶点度数之和等于边数的两倍这个定理，我们可以计算出边数为 30。

代数结构则包括群、环、域等概念，在这部分的习题中，需要理解和运用代数结构的定义和性质来解决问题。

接下来，我们具体来看一些习题的详细解答。

例 1：设集合 A ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正奇数}，B ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正偶数}，求 A B。

《离散数学》命题逻辑

由原子命题组合而成的命题称为复合命题（compound proposition）。
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。说刘老师讲课不好是不正确的。不下雨我就去买书。
7
命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ）或命题运算符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示；一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
32
命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是命题公式应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。太阳从西方升起。如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
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大学_《离散数学》课后习题答案

《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。

教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。

《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。

离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。

由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。

离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。

离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。

离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。

离散数学-第二章命题逻辑

设A( P1，P2，…,Pn )是一个命题公式，
P1，P2，…,Pn是出现于其中的全部命题变元，对P1， P2，…,Pn分别指定一个真值,称为对P1，P2，…,Pn公式A 的一组真值指派。
列出命题公式A在P1，P2，…,Pn的所有2n种真值指派下对应的真值，这样的表称为A的真值表。
16
例3
值表。
例12 用符号形式表示下列命题。
（1）（2）如果明天早上下雨或下雪，那么我不去学校如果明天早上不下雨且不下雪，那么我去学校。
（3）
（4）
如果明天早上不是雨夹雪，那么我去学校。
只有当明天早上不下雨且不下雪时，我才去学校。解令P：明天早上下雨； Q：明天早上下雪； R：我去学校。（1）（P∨Q）→ ¬ R；（2）（¬ ∧¬ P Q）→R；（3）¬ (P∧Q）→R （4）R→（¬ ∧¬ Q） P
4
例4
2．合取“∧” 定义2.2.2
设P和Q是两个命题，则P和Q的合取是一个复合命题，记作“P ∧ Q”（读作“P且Q”）。
当且仅当命题P和Q均取值为真时，P ∧ Q才取值为真。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
例5
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
5
3. 析取“∨” 定义2.2.3
设P和Q是两个命题，则P和Q的析取是一个复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。
当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
P
0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∨Q 0 1 1 1
例6 设命题P：他可能是100米赛跑冠军；
Q：他可能是400米赛跑冠军。

离散数学第一章命题逻辑知识点总结

数理逻辑部分第1章命题逻辑命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。

简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧w)∨(v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么4.蕴涵式与蕴涵联结词“”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并规定，p q为假当且仅当p 为真q 为假.p q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p q. 称作等价联结词.并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),, , , ,同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：, , , , ，组成一个联结词集合{, , , , }，联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.命题常项命题变项命题公式及分类命题变项与合式公式命题常项：简单命题命题变项：真值不确定的陈述句定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1是合式公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B), (A B)也是合式公式(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=B, B是n层公式；(b) A=B C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层p 1层p q 2层(p q)r 3层((p q) r)(r s) 4层公式的赋值定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定一组真值称为对A的一个赋值或解释成真赋值: 使公式为真的赋值成假赋值: 使公式为假的赋值说明：赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1.A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值12…n是指p1=1, p2=2, …, p n=nA中仅出现p,q, r, …, 给A赋值123…是指p=1,q=2 , r= 3 …含n个变项的公式有2n个赋值.真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q p) q p的真值表例 B = (p q) q的真值表例C= (p q) r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q p)q p，B =(p q)q，C= (p q)r等值演算等值式定义若等价式A B是重言式，则称A与B等值，记作A B，并称A B是等值式说明：定义中，A,B,均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p q) ((p q) (r r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p(q r) (p q) rp(q r) (p q) r基本等值式双重否定律 : A A等幂律：A A A, A A A交换律: A B B A, A B B A结合律: (A B)C A(B C)(A B)C A(B C)分配律: A(B C)(A B)(A C)A(B C) (A B)(A C) 德·摩根律: (A B)A B(A B)A B吸收律: A(A B)A, A(A B)A零律: A11, A00同一律: A0A, A1A排中律: A A 1矛盾律: A A0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A B, 则(B)(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p(q r) (p q)r证p(q r)p(q r) （蕴涵等值式，置换规则）(p q)r（结合律，置换规则）(p q)r（德摩根律，置换规则）(p q) r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p(q r) (p q) r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q(p q)解q(p q)q(p q) （蕴涵等值式）q(p q) （德摩根律）p(q q) （交换律，结合律）p0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p q)(q p)解 (p q)(q p)(p q)(q p) （蕴涵等值式）(p q)(p q) （交换律）1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1(3) ((p q)(p q))r)解 ((p q)(p q))r)(p(q q))r（分配律）p1r（排中律）p r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A0A为重言式当且仅当A 1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) A(p1,p2,…,p n) A* (p1, p2,…, p n)(2) A(p1, p2,…, p n) A* (p1,p2,…,p n)定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A B，则A* B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, q, p q, p q r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, q, p q, p q r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单合取式合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单析取式范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p q r, p q r既是析取范式，又是合取范式(为什么)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的, （若存在）(2) 否定联结词的内移或消去(3) 使用分配律对分配（析取范式）对分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去）p q r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去第一个）(p q)r（消去第二个）(p q)r（否定号内移——德摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p q)r(p r)(q r) （对分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1i n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: m i M i , M i m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(p q r)(p q r) m1m3是主析取范式(p q r)(p q r) M1M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p q)r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p q)r(p q)r , （析取范式）① (p q)(p q)(r r)(p q r)(p q r)m 6m7,r(p p)(q q)r(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m 1m3m5m7③②, ③代入①并排序，得(p q)r m1m3m5m6m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p q)r(p r)(q r) , （合取范式）①p rp(q q)r(p q r)(p q r)M 0M2,②q r(p p)q r(p q r)(p q r)M 0M4③②, ③代入①并排序，得(p q)r M0M2M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p q)r m1m3m5m6m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式A的主析取范式含2n个极小项A的主合取范式为1.A为矛盾式A的主析取范式为0A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p q)(2) (s u)(3) ((q r)(q r))(4) ((r s)(r s))(5) (u(p q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p q)(s u)((q r)(q r))((r s)(r s))(u(p q))④ A (p q r s u)(p q r s u) 结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A (p q)((q r)(q r))(s u)(u(p q)) ((r s)(r s)) （交换律) B1= (p q)((q r)(q r))((p q r)(p q r)(q r)) （分配律）B2= (s u)(u(p q))((s u)(p q s)(p q u)) （分配律）B 1B2(p q r s u)(p q r s u) (q r s u)(p q r s)(p q r u)再令B3 = ((r s)(r s))得A B1B2B3(p q r s u)(p q r s u) 注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p r, r s结论：s q证明① s附加前提引入②p r前提引入③r s前提引入④p s②③假言三段论⑤p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。

离散数学讲义第二章命题逻辑PPT课件

解令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
7
5．等值“”
定义2.2.5 设P和Q是两个命题，则它们的等值命
题是一个复合命题，称为等值式复合命题，记作“P Q” （读作“P当且仅当Q”）。
当P和Q的真值相同时,PQ取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
德.摩根定律
E11
PQP∨Q
E12
P Q (P∧Q)∨(P∧Q)
E13
P (QR) (P∧Q) R
E14
P Q (PQ)∧(QP)
E15
PQQP
23
三、等价式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
例1 用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
解令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
一个复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.
例9 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
就读完它。”符号化。
对于上述五种联结词，应注意到：复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真值，而与这些原子命题的内容含义无关。
9
命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下：

4. 离散数学-命题逻辑4

离散数学命题逻辑1.4范式范式▪析取范式与合取范式▪主析取范式与主合取范式范式•范式就是命题公式形式的规范形式。

这里约定在范式中只含有联结词⌝、∨和∧。

•文字:命题变项及其否定的总称•简单析取式:有限个文字构成的析取式，如p,⌝q,p∨⌝q,p∨q∨r,…•简单合取式:有限个文字构成的合取式，如p,⌝q,p∧⌝q,p∧q∧r,…•析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A1∨A2∨⋯∨Ar,其中A 1,A2,⋯,Ar是简单合取式•合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A1∧A2∧⋯∧Ar,其中A 1,A2,⋯,Ar是简单析取式析取范式与合取范式•公式A的析取范式:与A等值的析取范式•公式A的合取范式:与A等值的合取范式•说明：•单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p∧⌝q∧r,⌝p∨q∨⌝r既是析取范式，又是合取范式(为什么?)命题公式的范式•定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.•求公式A的范式的步骤：(1)消去A中的→,↔（若存在）(2)否定联结词⌝的内移或消去(3)使用分配律∧对∨分配（析取范式）∨对∧分配（合取范式）•公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1)A=(p→⌝q)∨⌝r解(p→⌝q)∨⌝r⇔(⌝p∨⌝q)∨⌝r（消去→）⇔⌝p∨⌝q∨⌝r（结合律）•这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A 的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）求公式的范式举例(续)(2)B=(p→⌝q)→r解(p→⌝q)→r⇔(⌝p∨⌝q)→r（消去第一个→）⇔⌝(⌝p∨⌝q)∨r（消去第二个→）⇔(p∧q)∨r（否定号内移——德⋅摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续：(p∧q)∨r⇔(p∨r)∧(q∨r)（∨对∧分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）主析取范式与主合取范式•一个公式的析取范式与合取范式的形式是不唯一的，因此不能作为同一真值函数所对应的命题公式的标准形式。

离散数学知识点整理

离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等众多领域都有着广泛的应用。

下面就为大家整理一下离散数学的主要知识点。

一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。

集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。

集合的表示方法有列举法、描述法等。

集合的运算包括并集、交集、差集和补集。

并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所剩下的元素组成的集合；补集是在给定的全集内，某个集合的补集是由全集中不属于该集合的元素组成的集合。

集合之间的关系有包含、相等、真包含等。

包含关系是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合；相等关系是指两个集合中的元素完全相同；真包含关系是指一个集合包含另一个集合，且两个集合不相等。

二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。

关系可以用集合的形式来表示。

关系的性质包括自反性、对称性、反对称性和传递性。

自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系；对称性是指如果元素 a 与元素 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是指如果元素 a 与元素 b 有关系，且 b 与 a 也有关系，那么 a 等于 b；传递性是指如果元素 a 与元素 b 有关系，b 与元素 c 有关系，那么 a 与 c 也有关系。

关系的运算有合成运算、逆关系等。

合成运算可以得到新的关系，逆关系是将原关系中的元素顺序颠倒得到的关系。

三、函数函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。

函数的性质包括单射、满射和双射。

单射是指定义域中的不同元素在值域中的对应元素也不同；满射是指值域中的每个元素都有定义域中的元素与之对应；双射是指函数既是单射又是满射。

四、图论图由顶点和边组成。

边可以是有向的或无向的。

图的类型有很多，如简单图、多重图、连通图等。

简单图是指没有自环和多重边的图；多重图允许存在自环和多重边；连通图是指图中任意两个顶点之间都存在路径。

[翻译转载]离散数学教程--命题逻辑,谓词逻辑和推理规则

[翻译转载]离散数学教程--命题逻辑,谓词逻辑和推理规则Discrete Mathematics命题逻辑数理逻辑的规则指定了如何判断⼀个数学语句的正确性. 古希腊哲学家,亚⾥⼠多德是数理逻辑的先驱. 数理逻辑为数学和计算机科学的许多领域提供了理论的基础. 它在计算机科学领域中也有着许多实际的应⽤,如计算器,⼈⼯智能,编程语⾔中数据结构的定义等等.命题逻辑关注与陈述中的真值,"true"和"false"(下⽂作真,假). 它的⽬的是分析这些独⽴的陈述或复合的语句.定理命题逻辑是⼀系列陈述语句,取值只能为真/假,叫做命题的真值. 它包含了命题变量和逻辑连词. 我们将命题变量记做⼤写字母(A,B, 等.), 连结词连接这些命题变量下⾯是⼀些命题的例⼦:"男⼈是⼈", 真值为真"12+9 = 3-2", 真值为假下⾯的例⼦不是⼀个命题:"A ⼩于 2", 除⾮我们给出A的特定值,否则⽆法确定语句的真值逻辑连词命题逻辑中通常有5种连词OR(∨) 或AND(∧) 与NOT(¬) 否if-then(→) 蕴含/如果那么if and only if(⇔) 等价/当且仅当或(∨) - 或运算作⽤在两个命题A,B上(写作A∨B) 当A,B中的⾄少⼀个为真时为真.真值表如下-A B A∨B真真真假真真真假真假假假与(∧) - 与运算作⽤在两个命题A,B上(写作A∧B) 当A,B同为真时为真.真值表如下-A B A∧B真真真假真假真假假假假假否(¬) - 否运算作⽤在命题A上(写作 ¬A) 当A为真时为假,当A为假时为真.真值表如下-A¬A真假假真蕴含(→) - 命题"如果A, 那么B" 表⽰为蕴含式A→B, 当A为真B为假时为假,其他情况都为真.A B A→B真真真真假假假真真假假真等价(⇔) - A⇔B, 是⼀个双向的逻辑连词, 当A,B取值相同时为真, 如A,B同时位假时为真A B A⇔B真真真真假假假真假假假真重⾔式/永真式重⾔式是⼀种⽆论命题变量取值如何真值都为真的公式.例: 证明 [(A←B)∧A]←B是重⾔式真值表如下A B A←B(A←B)∧A[(A←B)∧A]←B真真真真真真假假假真假真真假真假假真假真因为[(A←B)∧A]←B的所有取值都为真,所以为重⾔式⽭盾式/永假式⽭盾式是⼀种⽆论命题变量取值如何真值都为假的公式.例: 证明 (A∨B)∧[(¬A)∧(¬B)] 是⽭盾式真值表如下A B A∨B¬A¬B(¬A)∧(¬B)(A∨B)∧[(¬A)∧(¬B)]真真真假假假假真假真假真假假假真真真假假假假假假真真真假因为(A∨B)∧[(¬A)∧(¬B)] 的所有取值都为假,所以为⽭盾式偶然式(Contingency)偶然式是⼀种在逻辑变量的所有取值中,⼀些真值为真⼀些真值为假的公式.例: 证明 (A∨B)∧(¬A) 是⽭盾式真值表如下A B A∨B¬A(A∨B)∧(¬A)真真真假假真假真假假假真真真真假假假真假因为(A∨B)∧(¬A) 的取值既包含真也包含假,所以为偶然式逻辑等价当下⾯两种情况成⽴时, 陈述X和Y被认为是等价的两个陈述的真值表有相同的真值双条件陈述X⇔Y是永真式例: 证 ¬(A∨B)and[(¬A)∧(¬B)] 是等价的⽤第⼀种⽅法测试(⽐较真值表)A B A∨B¬(A∨B)¬A¬B[(¬A)∧(¬B)]真真真假假假假真假真假假真假假真真假真假假假假假真假假真¬(A∨B)and[(¬A)∧(¬B)]的真值表相同,因此陈述是等价的⽤第⼆种⽅法测试(双向条件)A B¬(A∨B)[(¬A)∧(¬B)]¬(A∨B)⇔[(¬A)∧(¬B)]真真假假真真假假假真假真假假真假假真真真¬(A∨B)⇔[(¬A)∧(¬B)]是永真式,因此陈述是等价的否命题,逆命题和逆否命题蕴含→也被叫做条件陈述, 它包含两个部分假设,p结论,q就像之前说过的, 它被记做p→q条件陈述的例⼦ - "如果你做了作业,你就不会被惩罚",中"你做作业"是假设p,"你不会被惩罚"是结论q否命题 - 条件陈述的否命题是将假设和结论中的陈述同时取反, 如果陈述是如果p,那么q, 否命题就是 "如果⾮p,那么⾮q". 因此p→q的否命题是 ¬p→¬q例: "如果你做了作业,你就不会被惩罚"的否命题是"如果你不做作业,你就会被惩罚"逆命题 - 条件陈述的逆命题是将原陈述的假设和结论交换, 如果陈述是如果p,那么q, 逆命题就是 "如果q,那么p". 因此p→q的逆命题是q→p例: "如果你做了作业,你就不会被惩罚"的逆命题是"如果你没有被惩罚,你做了你的作业"逆否命题 - 条件陈述的逆否命题是将原陈述的假设和结论取⾮后交换, 如果陈述是如果p,那么q, 逆命题就是 "如果⾮q,那么⾮p". 因此p→q的逆命题是 ¬q→¬p例: "如果你做了作业,你就不会被惩罚"的逆否命题是"如果你被惩罚了,那么你没有做你的作业"对偶原则对偶原则是当陈述为真时,将其中的交集换成补集,补集换成交集,全集换成空集,空集换成全集,得到它的对偶陈述, 那么它的对偶陈述也为真. 如果⼀个陈述的对偶陈述为本⾝,那么他就是对称陈述.例: (A∩B)∪C的对偶是 (A∪B)∩C逻辑范式我们可将所有命题转换为两种标准形式合取范式析取范式合取范式如果复合陈述中所有的或操作(包括⾮运算)都由与来连接,则被称为合取范式. 在集合中,复合陈述中的并集要通过交集来连接.例:(A∨B)∧(A∨C)∧(B∨C∨D)(P∪Q)∩(Q∪R)析取范式如果复合陈述中所有的与操作(包括⾮运算)都由或来连接,则被称为析取范式. 在集合中,复合陈述中的交集要通过并集来连接.例:(A∧B)∨(A∧C)∨(B∧C∧D)(P∩Q)∪(Q∩R)谓词逻辑谓词逻辑处理谓词, 谓词是包含变量的命题.定义谓词是⼀个或多个定义在特定域中的变量表达式. ⼀个带有变量的命题可以通过为变量赋值或量化变量来变成命题.下⾯是⼀些谓词的例⼦设E(x,y), 表⽰"x=y"设X(a,b,c), 表⽰"a+b+c=0"设M(x,y), 表⽰"x嫁给了y"合式公式命题下⾯的条件就被叫做合式公式(wwf)所有的命题变量和命题常量都是合式公式如果x是⼀个变量Y是⼀个合式公式, ∀xY和∃xY也是合式公式真和假是合式公式所有原⼦公式是合式公式由连接词连接的合式公式也是合式公式量词谓词中的变量由量词来量化, 谓词逻辑中的量词有两种-全称量词和存在量词全称量词全称量词描述了在特定域中不论特定变量取何值陈述都为真, 符号表⽰为∀∀xP(x) 读作对于x的任意取值,P(x)都为真例: "男⼈是⼈"可以被写成谓词形式∀xP(x), 其中P(x)是谓词表⽰x是⼈, 并且论述的全集是男⼈集合.存在量词存在量词描述了在特定域中特定变量有取值使得陈述都真, 符号表⽰为∃∃xP(x) 读作对于x的某些取值,P(x)都为真例: "有些⼈不诚实" 可以被写成谓词形式∃xP(x), 其中P(x)是谓词表⽰x不诚实, 并且论述的全集是某些⼈的集合.嵌套量词如果在⼀个量词的域内使⽤了另⼀个量词, 则叫做嵌套量词例:∀a∃bP(x,y)其中P(a,b)表⽰a+b=0∀a∀b∀cP(a,b,c)其中P(a,b,c)表⽰a+(b+c)=(a+b)+c注意: ∀a∃bP(x,y)≠∃a∀bP(x,y)推理规则为了从已知真值的陈述推论出新的陈述的真值需要使⽤推理规则推理逻辑做什么?数理逻辑通常⽤来做逻辑证明, 证明是决定数学陈述的真值的有效推论推论是⼀系列的陈述, 最后⼀个陈述是前⾯所有陈述语句的结论,前⾯的陈述叫做前提或假设. 将符号∴(因此)放在结论前. ⼀个有效的推论是从前⾯所有前提的真值中正确推理出的. 推理规则提供了从已知陈述构建出有效推论的模板和⼤纲推理规则表推理规则名字推理规则名字\begin{matrix} P \\ \hline \therefore P \lor Q \end{matrix}析取引⼊\begin{matrix} P \lor Q \\ \lnot P \\ \hline \therefore Q \end{matrix}析取消去/析取三段论\begin{matrix} P \\ Q \\ \hline \therefore P \land Q\end{matrix}合取引⼊\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ Q\rightarrow R \\ \hline \therefore P\rightarrow R\end{matrix}假⾔三段论\begin{matrix} P \land Q \\ \hline \therefore P \end{matrix}合取简化\begin{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \\ P \lor R \\\hline \therefore Q \lor S \end{matrix}⼆难论证复杂构成式/构造性⼆难\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ P \\ \hline \therefore Q \end{matrix}分离论证\begin{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \\ \lnot Q \lor\lnot S \\ \hline \therefore \lnot P \lor \lnot R \end{matrix}⼆难论证复杂破坏式/破坏性⼆难\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ \lnot Q \\ \hline \therefore \lnot P \end{matrix}逆分离论证析取引⼊将P作为前提,我们可以析取引⼊P \lor Q\begin{matrix} P \\ \hline \therefore P \lor Q \end{matrix}例: 设命题P"他学习很努⼒"为真.因此 - "要么他学习很努⼒要么他是⼀个坏学⽣". 其中Q是命题"他是⼀个坏学⽣"合取引⼊如果P和Q作为前提, 我们可以合取引⼊P \land Q\begin{matrix} P \\ Q \\ \hline \therefore P \land Q\end{matrix}例: 设P-"他学习很努⼒", Q-"他是班级⾥最好的⼈"因此 - "他学习很努⼒,也是班级中最好的⼈"合取简化让P \land Q 作为前提, 可以合取简化出P\begin{matrix} P \land Q \\ \hline \therefore P \end{matrix}例: "他学习很努⼒,也是班级中最好的⼈", P \land Q因此 - "他学习很努⼒"分离论证如有P和P \rightarrow Q两个前提, 我们可以分离论证出Q\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ P \\ \hline \therefore Q \end{matrix}例: "如果你有密码,你就可以登录qq", P\rightarrow Q"你有密码", P因此 - "你可以登录qq"逆分离论证如有P\rightarrow Q 和 \lnot Q两个前提, 我们可以逆分离论证出\lnot P\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ \lnot Q \\ \hline \therefore \lnot P \end{matrix}例: "如果你有密码,你就可以登录qq",P \rightarrow Q"你没法登录进QQ", \lnot Q因此 - "你没有密码"析取消去/析取三段论如有\lnot P 和 P \lor Q两个前提, 我们可以析取消去出Q\begin{matrix} P \lor Q \\ \lnot P \\ \hline \therefore Q \end{matrix}例: "冰淇淋不是草莓味的", \lnot P"冰淇淋要么是草莓味要么是巧克⼒味" P \lor Q因此 - "冰淇淋是巧克⼒味的"假⾔三段论如有P \rightarrow Q 和 Q \rightarrow R两个前提, 根据假⾔三段论可得P \rightarrow R\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ Q\rightarrow R \\ \hline \therefore P \rightarrow R\end{matrix}例: "如果下⾬我就不去学校了", P \rightarrow Q"如果我不去学校我就不⽤做作业" Q \rightarrow R因此 - "如果下⾬我就不⽤做作业了"构造性⼆难如有(P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) 和 P \lor R两个前提, 根据构造性⼆难可得Q \lor S\begin{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \\ P \lor R \\ \hline \therefore Q \lor S \end{matrix}例: "如果下⾬我就休息⼀下", P \rightarrow Q"如果外⾯很热我就洗个澡" R \rightarrow S"外⾯要么下⾬要么很热" P \lor R因此 - "我要么休息⼀下要么洗个澡"破坏性⼆难如有(P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) 和 \lnot Q \lor \lnot S两个前提, 根据构造性⼆难可得\lnot P \lor \lnot R\begin{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \\ \lnot Q \lor \lnot S \\ \hline \therefore \lnot P \lor \lnot R \end{matrix}例: "如果下⾬我就休息⼀下", P \rightarrow Q"如果外⾯很热我就洗个澡" R \rightarrow S"要么我不会休息,要么我不去洗澡" \lnot Q \lor \lnot S因此 - "外⾯要么没有下⾬,要么不是很热"Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js。

离散数学知识点总结

离散数学知识点总结1. 集合论- 集合的基本概念：集合、元素、子集、幂集、并集、交集、差集、补集。

- 集合的运算：德摩根定律、分配律、结合律、交换律。

- 有限集合和无限集合：可数与不可数集合、阿列夫零、阿列夫一。

2. 数理逻辑- 命题逻辑：命题、联结词、真值表、逻辑等价、逻辑蕴含、逻辑独立。

- 一阶谓词逻辑：量词、谓词、解释、满足、逻辑公式、全称量词、存在量词。

- 证明方法：直接证明、间接证明、反证法、数学归纳法。

3. 递归关系和函数- 递归定义：递归方程、初始条件、递归函数。

- 递归函数的例子：阶乘、斐波那契数列。

- 函数的性质：单射、满射、双射、复合函数。

4. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、图的同构。

- 图的类型：无向图、有向图、简单图、多重图、连通图、强连通图。

- 图的算法：欧拉路径、哈密顿回路、最短路径（Dijkstra算法）、最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）。

5. 组合数学- 排列与组合：排列数、组合数、二项式定理。

- 组合恒等式：Pascal三角形、组合恒等式。

- 组合问题：计数原理、Inclusion-Exclusion原理。

6. 布尔代数- 布尔运算：AND、OR、NOT、XOR、NAND、NOR、XNOR。

- 布尔表达式的简化：卡诺图、奎因-麦克拉斯基方法。

- 布尔函数的表示：真值表、卡诺图、逻辑表达式。

7. 关系论- 关系的基本概念：笛卡尔积、自反性、对称性、传递性。

- 关系的类型：等价关系、偏序关系、全序关系。

- 关系的闭包：自反闭包、对称闭包、传递闭包。

8. 树和森林- 树的基本概念：节点、边、根、叶、子树、兄弟、祖先、子孙。

- 特殊类型的树：二叉树、平衡树、B树、B+树。

- 树的遍历：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。

9. 算法复杂度- 时间复杂度：最好情况、最坏情况、平均情况、大O表示法。

- 空间复杂度：算法空间需求的分析。

- 渐进分析：渐进紧确界、大Θ表示法、小o和大O的非正式描述。

离散数学命题逻辑知识点总结

离散数学命题逻辑知识点总结《离散数学命题逻辑知识点总结》命题逻辑是数理逻辑的一个分支，研究的是命题之间的关系以及它们的推理规则。

以下是离散数学命题逻辑的一些重要知识点的总结：1. 命题：命题是一个陈述句，它要么是真的，要么是假的，但不能同时既是真的又是假的。

2. 逻辑运算符：逻辑运算符用于组合和操作命题。

常见的逻辑运算符有：“与（∧）”、“或（∨）”、“非（¬）”、“蕴含（→）”和“等价（↔）”。

3. 真值表：真值表用于表示逻辑运算符的结果。

通过列出所有可能的命题组合，并在每个组合下计算逻辑运算符的结果，可以得到真值表。

4. 合取范式和析取范式：合取范式是通过将命题用“与”运算符连接起来得到的，析取范式是通过将命题用“或”运算符连接起来得到的。

将命题转化为它们的合取范式或析取范式，能方便地进行逻辑运算。

5. 重言式和矛盾式：重言式是指对于所有可能的命题组合，逻辑表达式都为真的命题。

矛盾式是指对于所有可能的命题组合，逻辑表达式都为假的命题。

重言式和矛盾式具有重要的推理性质。

6. 推理规则：推理规则是用来推导逻辑表达式的一些基本规则。

常见的推理规则有“假言推理法”、“逆命题推理法”、“逆否命题推理法”和“拒取式推理法”。

7. 等价关系和等价演算：等价关系是指两个逻辑表达式具有相同的真值。

等价演算是一种通过运用逻辑等价关系来简化逻辑表达式的方法。

通过应用等价演算，可以将复杂的逻辑表达式简化为更简单的形式。

8. 形式化证明：在命题逻辑中，形式化证明是用推理规则和等价演算来推导出逻辑表达式的一系列步骤。

形式化证明的目的是证明一个逻辑表达式的正确性。

离散数学命题逻辑是理解和应用数理逻辑的基础。

通过掌握上述知识点，我们能够准确地分析和推理命题逻辑问题，并在解决问题时运用逻辑规律和推理方法。

对于计算机科学、人工智能和数学等领域的研究和应用，命题逻辑具有重要的理论和实际意义。

离散数学数理逻辑基础知识

离散数学数理逻辑基础知识离散数学是计算机科学的基础，数理逻辑是离散数学中最重要的分支之一。

它们提供了描述和分析计算机科学中的问题所需的工具和方法。

本文将介绍离散数学和数理逻辑的基础知识。

一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。

集合是由一些确定的对象组成的整体。

用大写字母表示集合，用小写字母表示集合的元素。

集合之间可以进行交集、并集、差集等运算。

例如，设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}表示A和B的交集，A∪B={1, 2, 3, 4}表示A和B的并集。

二、命题逻辑命题逻辑是研究命题及其逻辑关系的数理逻辑分支。

命题是陈述句，可以判断为真或者为假。

常见的逻辑关系有与、或、非，分别用∧、∨、¬表示。

例如，如果P表示"今天是星期一"，Q表示"明天是星期二"，则P∧Q表示"今天是星期一并且明天是星期二"，P∨Q表示"今天是星期一或者明天是星期二"。

三、谓词逻辑谓词逻辑是一种扩展的命题逻辑，它引入了谓词和量词。

谓词是陈述句中的关系词，描述了对象之间的关系。

量词则用来说明集合中的元素是否满足某个条件。

谓词逻辑的语句可以用∀表示全称量词，表示对于集合中的所有元素都成立；用∃表示存在量词，表示存在至少一个元素使语句成立。

四、关系和函数关系是用来描述元素之间的联系的数学工具。

关系可以是二元的，也可以是多元的。

例如，设A={1, 2, 3}，则可以定义一个关系R={(1, 2), (2, 3)}，表示元素1与元素2之间存在关系，元素2与元素3之间也存在关系。

函数是一种特殊的关系，它对于集合中的每一个元素，都有唯一对应的输出。

函数可以表示为f: A→B，表示定义在集合A上的函数f，其输出是集合B中的元素。

例如，设集合A={1, 2, 3}，集合B={4, 5}，则可以定义一个函数f={(1, 4), (2, 5)}，表示元素1映射到4，元素2映射到5。

离散数学数学教学大纲

离散数学数学教学大纲一、课程基本信息课程名称：离散数学课程类别：专业基础课学分：X总学时：X先修课程：高等数学、线性代数二、课程性质与目标离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术专业的核心基础课程之一。

它所研究的对象是离散量的结构和相互关系，其内容涵盖了数理逻辑、集合论、代数结构、图论等多个领域。

通过本课程的学习，学生将掌握离散数学的基本概念、基本理论和基本方法，培养抽象思维能力、逻辑推理能力和解决实际问题的能力，为后续学习计算机专业课程如数据结构、算法设计与分析、数据库原理等打下坚实的数学基础。

三、课程内容与教学要求（一）数理逻辑1、命题逻辑命题与联结词：理解命题的概念，掌握常见的联结词（如“且”“或”“非”“蕴含”“等价”）的含义和真值表。

命题公式与赋值：掌握命题公式的定义和构造方法，能够计算命题公式在给定赋值下的真值。

命题逻辑的等值演算：熟悉常见的命题逻辑等值式，能够运用等值演算进行命题公式的化简和证明。

命题逻辑的推理理论：掌握推理的形式结构和推理规则，能够进行简单的命题逻辑推理。

2、一阶逻辑一阶逻辑基本概念：理解个体词、谓词、量词的概念，掌握一阶逻辑公式的定义和解释。

一阶逻辑等值演算与推理：熟悉一阶逻辑的等值式和推理规则，能够进行一阶逻辑的化简和推理。

（二）集合论1、集合的基本概念：掌握集合的定义、表示方法和集合之间的关系（如子集、真子集、相等）。

2、集合的运算：熟练掌握集合的交、并、补、差等运算，能够用文氏图表示集合运算的结果。

3、集合的基数：了解集合基数的概念，掌握有限集和无限集的区别。

4、幂集：掌握幂集的定义和计算方法。

（三）代数结构1、二元运算及其性质：理解二元运算的概念，熟悉常见的二元运算（如加法、乘法），掌握二元运算的性质（如封闭性、交换律、结合律、分配律等）。

2、代数系统：掌握代数系统的定义和构成要素，能够判断给定的系统是否为代数系统。

3、群：理解群的定义和性质，掌握群的判定方法，了解循环群和置换群的基本概念。