固体物理第章固体电子论参考答案

固体物理第章固体电子

论参考答案

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第四章 固体电子论 参考答案 1. 导出二维自由电子气的能态密度。 解： 二维情形，自由电子的能量是： 2π

L x x k n =，

2πL y y k n =

在/k =到d k k +区间： 那么：2d ()d Z Sg E E =

其中：22

()πm g E =

2. 若二维电子气的面密度为n s ，证明它的化学势为：

解：由前一题已经求得能态密度：

电子气体的化学势μ由下式决定：

()()22

2E-/E-/001d ()d πe

1e 1

B B k T

k T

L m E N g E L E μμ∞

∞==++⎰⎰ 令()/B

E k T x μ-≡，并注意到：2s N n L

= 那么可以求出μ：

证毕。

3. He 3

是费米子，液体He 3

在绝对零度附近的密度为0.081 g ／cm 3

。计算它的费米能E F 和费米温度T F 。 解：He 3

的数密度：

其中m 是单个He 3

粒子的质量。

可得：

代入数据，可以算得：

E F ＝ erg = eV.

则：F

F E T k ＝ K.

4.已知银的密度为3

10.5/g cm ，当温度从绝对零

度升到室温（300K ）时，银金属中电子的费米

能变化多少

解：银的原子量为108，密度为3

10.5/g cm ，

如果1个银原子贡献一个自由电子，1摩尔物质包含有个原子，则单位体积内银的自由电子数为

在T=0K 时，费米能量为

代如相关数据得

2/3

272

2

27

3

028

12(6.6310)()3 5.910()29.110()8 3.148.8710() 5.54()

F

erg s cm E g erg eV -----⎛⎫⨯⋅⨯⨯= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭

≈⨯≈

在≠T 0K 时，费米能量

所以，当温度从绝对零度升到室温（300K ）时, 费米能变化为 代如相关数据得

可见，温度改变时，费米能量的改变是微不足道的。

5. 已知锂的密度为3

0.534/g cm ，德拜温度为370K ，试求

（1）室温（300K ）下电子的摩尔比热； （2）在什么温度下，锂的电子比热等于其晶格比热

解：（1）金属中每个电子在常温下贡献的比热

2

'0()2B V

B F

k T

C k E π= （1）

式中0F E 为绝对零度下的费米能：

2

2/33()28F h n E m π= （2）

锂的密度3

0.534/g cm ，原子量，每立方厘米锂包含的摩尔数为，1摩尔物质中包含个原子，每个锂贡献一个电子，则每立方厘米中的电子数 已知

将数据代入（2）得

在室温（300K ）下，0.026B k T eV =，由（1）式可以求得电子的摩尔比热 代入相关数据得

（2）电子比热只在低温下才是重要的。在低温下，由德拜理论知道，晶格比热

依题设，'''V

V

C C = 把（1）式代入，即得 代入相关数据得 T=（K ）

6. 已知长为L 的一维方阱中有N 个电子，电子的能级为

22

28n n h

E mL =.

证明，T=0K 时电子的平均能量

式中0F E 为绝对零度下的费米能。 解：

电子在能级上的填充要受泡利原理的限制。从n=1的基态起，每个能级只能填充自旋相反的2个电子，N 个电子将填满N/2个能级。这个最后填充的能级是绝对零度下的费米能级，因此，

2

2

2

/032⎪⎭

⎫ ⎝⎛==L N m h E E N F

（1）

电子的平均能量总等于总能量除以电子数。n E 写成

则平均能量

因N//2远大于1，我们可以用一积分代替上面的求和，并将（1）代入，即得