动态规划
动态规划
=MIN（3+12，4+10）=14
最短路线： A—— B2 ——C2——D2——E2——F 最优解： d1*(A)= B2，最短用时14
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
最优解： d2*(B1)= C1
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
4
3
D1
A
B
C
D
E
F
如果S2=B2，则下一步能取C2或C3，故
f2(B2)=MIN r(B2,C2)+ f3(C2)
r(B2,C3)+ f3(C3) =MIN（2+8，1+11）=10
最短路线： B2 ——C2——D2——E2——F
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
4
3
D1
A
B
C
D
E
F
如果S4=D3，则下一步只能取E2，故
动态规划
多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状 态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化 问题的方法为动态规划方法 。
任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适 用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性 。
动态规划
运筹学的分支
01 原理
03 局限性
目录
02 分类
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年 代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理， 从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域， 并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了 显著的效果 。
最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成 的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足 最优化原理又称其具有最优子结构性质 。
将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来 的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又 称为无后效性 。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因 素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前一阶段某支路的终点 。
第6章动态规划
第6章 动态规划动态规划（Dynamic Programming ）是解决多阶段决策过程最优化的一种有用的数学方法。
它是由美国学者Richard .Bellman 在1951年提出的，1957年他的专著《动态规划》一书问世，标志着运筹学的一个重要分支－动态规划的诞生.动态规划也是一种将多变量问题转化为单变量问题的一种方法。
在动态规划中，把困难的多阶段决策问题变换成一系列相互联系的比较容易的单阶段问题一个个地求解。
动态规划是考察解决问题的一种途径 ,而不是一种特殊的算法，不像线性规划那样有统一的数学模型和算法（如单纯形法）.事实上，在运用其解决问题的过程中还需要运用其它的优化算法。
因此，动态规划不像其它方法局限于解决某一类问题,它可以解决各类多阶段决策问题。
动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。
在经济管理方面,动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。
许多规划问题用动态规划的方法来处理,常比线性规划或非线性规划更有效。
特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。
动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。
本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法,并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。
6.1动态规划的基本理论6.1.1多阶段决策过程的数学描述有这样一类活动过程,其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策,以使整个过程达到最佳的活动效果。
任何一个阶段(stage ，即决策点)都是由输入(input ）、决策（decision ）、状态转移律（transformation function )和输出(output )构成的，如图6-1（a ）所示.其中输入和输出也称为状态(state ）,输入称为输入状态，输出称为输出状态。
动态规划.pdf
第三章：动态规划3.1 动态规划的基本概念一、动态决策问题：决策过程具有阶段性和时序性(与时间有关)的决策问题。
即决策过程可划分为明显的阶段。
二、什么叫动态规划(D.P.–Dynamic Program)：多阶段决策问题最优化的一种方法。
广泛应用于工业技术、生产管理、企业管理、经济、军事等领域。
三、动态规划(D.P.)的起源：1951年,(美)数学家R.Bellman等提出最优化原理，从而建立动态规划，名著《动态规划》于1957年出版。
四、动态决策问题分类：1、按数据给出的形式分为：•离散型动态决策问题。
•连续型动态决策问题。
2、按决策过程演变的性质分为：•确定型动态决策问题。
•随机型动态决策问题。
五1、阶段(stage)n ：作出决策的若干轮次。
n = 1、2、3、4、5。
2、状态(state)S n ：每一阶段的出发位置。
构成状态集，记为S nS 1={A}，S 2={B 1,B 2,B 3}，S 3={C 1,C 2,C 3}，S 4={D 1,D 2,D 3}，S 5={E 1,E 2}。
阶段的起点。
3、决策(decision)X n ：从一个阶段某状态演变到下一个阶段某状态的选择。
构成决策集，记为D n (S n )。
阶段的终点。
D 1(S 1)={X 1(A)}={B 1,B 2,B 3}= S 2，D 2(S 2)={X 2(B 1),X 2(B 2),X 2(B 3)}={C 1,C 2,C 3}=S 3，D 3(S 3)={X 3(C 1),X 3(C 2),X 3(C 3)}={D 1,D 2,D 3}=S 4，D 4(S 4)={X 4(D 1),X 4(D 2),X 4(D 3)}={E 1,E 2}=S 5D 5(S 5)={X 5(E 1),X 5(E 2)}={F;F}={F}。
4、策略(policy)：全过程中各个阶段的决策Xn 组成的有序总体{Xn }。
如 A àB2àC1àD1àE2àF5、子策略(sub-policy)：剩下的n个阶段构成n子过程，相应的决策系列叫n子策略。
动态规划
(3)决策（Decision）
(4)策略（Policy）各阶段的决策组成的一个决策序列称为
一个策略，记为： p x1, x2 ,, xn
从阶段i开始的过程，称为i子过程，它包含阶段i，阶 段i+1，…，阶段n。i子过程的决策序列称为i子策略，记
为 pi xi , xi1,, xn i 1, 2 ,, n 1
,
3 资源分配问题
设有数量为a的资源，计划分配给n 个项目。设xi (i=1, 2, …, n)为分配给第i 个项目的资源量，gi(xi)为第i个项目得到 数量为xi的资源后可提供的收益，问如 何分配资源a，可使总收益为最高？
►静态规划模型
n
max f gi (xi )
i 1
n xi a
1.3 动态规划的基本方程
(1) 动态规划的基本方程(逆序递推公式)
si1
g(si , xi )
，f
* n 1
(
x
n 1
)
0
fi* (si )
opt
v(si , xi )
f
i
* 1
(si
1
)
xi
i n, n 1,,1
(2) 动态规划的基本方程(正序递推公式)
si1 g(si , xi ) ，f1*(s1) opt{v(s1, x1)}
1
6
7
X
2
(
B2
,
C3
)
f
3
(C3
)
1 6
最短路线B2C3D。
C1
5
5
4
B1 5
3
A
C2
3
D
4
6
第6章-动态规划
求解过程
由最后一个阶段的优化开始，按逆向顺序逐步 向前一阶段扩展，并将后一阶段的优化结果带 到扩展后的阶段中去，以此逐步向前推进，直 至得到全过程的优化结果。
f1
(
A)
min
dd11
( (
A, A,
B1) B2 )
ff22((BB12))
min
4 9
9 11
13
d1( A, B3) f2 (B3)
5 13
其最短路线是A→ B1→C2 →D2 →E ，相应的决 策变量是u1(A)=B1
因此，最优策略序列是：
u1(A) =B1, u2(B1)=C2, u3(C2)=D2, u4(D2)=E
5 8 C2 4 6 4
4 C3 2
C3
D1 4 2 6
D2 9 7
D3 5
D4
E1 1 F
E2 2
E5
F
动态规划的逆序解法与顺序解法
逆序（递推）解法：即由最后一段到第一段逐步 求出各点到终点的最短路线,最后求出A点到E点 的最短路线。运用逆序递推方法的好处是可以始 终盯住目标,不致脱离最终目标。 顺序解法：其寻优方向与过程的行进方向相同， 求解时是从第一段开始计算逐段向后推进，计算 后一阶段时要用到前一段求优的结果，最后一段 的计算结果就是全过程的最优结果。
B1
A
4+9=13
d(u1)+f2
B2
B3
f1(s1) u1*
动态规划(完整)
主要内容:
§7.1多阶段决策问题 §7.2 动态规划的基本概念和基本原理
§7.3 动态规划应用举例
例 求解最短路问题
A1 2 Q 4 3 A3 A2 6 3 7 4 B1 1 4 2 4 4 1 5 6 B2 3 B3 3 3 C2 C1 3 4 T
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
分阶段的最短路径
• • • • • • • Ⅳ ： C1—T Ⅲ --Ⅳ : B1—C1—T Ⅱ--Ⅲ--Ⅳ ：A2—B1—C1—T Ⅰ--Ⅱ--Ⅲ --Ⅳ： Q—A2—B1—C1—T Q--A3—B1—C1—T Q--A3—B2—C2—T 3 4 7
决策为 xk 时的指标，则它就是第 k 段指标函
数，简记为vk 。 （2）过程指标函数（也称目标函数） 用f(sk , xk)表示第k子过程的指标函数。表
示处于第 k 段 sk 状态且所作决策为xk时，
从 sk 点到终点的距离。由此可见， f(sk , xk)
不仅跟当前状态 sk 有关，
还跟该子过程策略 pk(sk) 有关,严格说来，应
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
（1）阶段指标函数（也称阶段效应）
用vk(sk , xk)表示第 k 段处于状态 sk且所作
资规划, 排序问题和生产过程的最优控制
等问题;
§7.2 动态规划的基本概念和基本思想
一、基本概念
使用动态规划方法求解决策问题首先要将 问题改造成符合动态规划求解要求的形式, 要涉及以下概念: (1)阶段 (3)决策与策略 (2)状态 (4)状态转移方程
动态规划-动态规划-美国数学家贝尔曼-动态规划领域
物品
1 2 … j …n
重量（公斤/件） a1 a2 … aj … an
每件使用价值 c1 c2 … cj … cn
类似问题：工厂里的下料问题、运输中的 货物装载问题、人造卫星内的物品装载问题等。
生产决策问题：企业在生产过程中，由于需求 是随时间变化的，因此企业为了获得全年的最佳 生产效益，就要在整个生产过程中逐月或逐季度 地根据库存和需求决定生产计划。
描述状态的变量称为状态变量，它可用一个数、 一组数或一向量（多维情形）来描述，第k阶段 的状态变量常用sk表示，通常一个阶段有若干个 状态。
第k阶段的状态就是该阶段所有始点的集合， 用Sk表示。在第1阶段状态变量s1是确定的，称初 始状态。如引例中:
S1 A，S2 B1, B2, B3，S3 C1,C2,C3，S4 D1, D2
min
4
9
12
决策点为B3
AB3
f2
B3
3 9*
f1(A)=12说明从A到E的最短距离为12，最短路 线的确定可按计算顺序反推而得。即
A→B3→C2→D2→E 上述最短路线问题的计算过程，也可借助于图
形直观的表示出来：
12 2 A4
3
11
B1
7 4
6
93
B2 2
4
96
B3
2 5
6
C1 3
多阶段决策过程特点：
（1）根据过程的特性可以将过程按空 间、时间等标志分为若干个互相联系又互相 区别的阶段。
（2）在每一个阶段都需要做出决策，从 而使整个过程达到最好的效果。
（3）在处理各阶段决策的选取上，不仅只 依赖于当前面临的状态，而且还要注意对以后 的发展。即是从全局考虑解决局部（阶段）的 问题。
第10章 动态规划
管理运筹学
7
缺点
①没有统一的处理方法，求解时要根据问题的 性质，结合多种数学技巧。因此实践经验及 创造性思维将起重要的引导作用；
②“维数障碍”，当变量个数太多时，由于计 算机内存和速度的限制导致问题无法解决。 有些问题由于涉及的函数没有理想的性质使 问题只能用动态规划描述，而不能用动态规 划方法求解。
盈利 工厂 设备台数
0 1 2
3 4 5
甲厂
0 3 7 9 12 13
乙厂
0 5 10 11 11 11
管理运筹学
29
第一阶段：只有1个始点A，终点有B1,B2,B3,B4 。对始点和终 点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题：
表10-4
本阶段始 点(状态)
A
阶段1 本阶段各终点（决策）
B1
B2
B3
B4
4+12=16 3+13=16 3+14=17 2+12=14
到E的最 本阶段最优终 短距离 点(最优决策)
第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个；
表10-1
阶段4
本阶段始点 本阶段各终点（决策） 到E的最短距离
（状态）
E
D1
10
10
D2
6
6
分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。
本阶段最优终点 （最优决策)
E E
管理运筹学
27
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点
和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
动态规划-动态规划
过程指标函数是指过程所包含的各阶段的状 态和决策所产生的总效益值，记为
Vkn (sk , Pkn ) Vkn (sk , dk (sk ), sk1, dk1(sk1), , sn , dn (sn ), sn1) k 1, 2, , n
动态规划所要求的过程指标函数应具有可分 离性，即可表达为它所包含的各阶段指标函数的 函数形式。
能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一 类特殊的多阶段决策过程，即状态具有无后效性 的多阶段决策过程。
无后效性(马尔可夫性)：是指如果某阶段状 态给定后，则在这个阶段以后过程的发展不受 这个阶段以前各段状态的影响；构造动态规划 模型时，要充分注意是否满足无后效性的要求； 状态变量要满足无后效性的要求；如果状态变 量不能满足无后效性的要求，应适当改变状态 的定义或规定方法。
3、决策（decision）
决策：在某一阶段，当状态给定后，往往可以 作出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种 决定称为决策。
决策变量：描述决策的变量。dk(sk) ：第k阶段 的决策变量（状态变量sk的函数）。
允许决策集合：决策变量的取值范围。常用 Dk(sk)表示。显然dk(sk)∈Dk(sk)。
3 3*
3
4
6 决策点为D1
第二阶段，由Bj到Ci分别均有三种选择
f2
B1
min
B1C1 B1C2
B1C3
f3 f3 f3
C1 C2
C3
min
7 6 4 7* 6 6
11决策点为C2
f2
B2
min
BB22CC21
f3 f3
C1 C2
min
3 6* 2 7*
min
4
什么是动态规划？
什么是动态规划？⼀、基本思想态规划算法的基本思想与分治法类似，都是将问题⼤问题拆分为⼩问题，通过⼩问题的求解来得到最后的解。
与分治法不同的是，分治法是分⽽治之，分治法将⼤问题拆分为相同性质的⼦问题，最后合并⼦问题的解来构成最终解。
⽽动态规划是，将⼦问题拆解后，按顺序求解⼦问题，前⾯阶段的求解为后⼀阶段提供有⽤信息，通过动态的选择来到达最终解。
⽤图来表⽰就是如下所⽰：⼆、适⽤情况（1）最优化原理：如果问题的最优解所包含的⼦问题的解也是最优的，就称该问题具有最优⼦结构，即满⾜最优化原理。
（2）⽆后效性：即某阶段状态⼀旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。
也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
（3）有重叠⼦问题：即⼦问题之间是不独⽴的，⼀个⼦问题在下⼀阶段决策中可能被多次使⽤到。
（该性质并不是动态规划适⽤的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相⽐就不具备优势）----摘⾃百度百科三、求解步骤动态规划中有三个⾮常重要的概念：最优⼦结构、边界、状态转移公式。
最优⼦结构：最优⼦结构指的是，问题的最优解包含⼦问题的最优解。
反过来说就是，我们可以通过⼦问题的最优解，推导出问题的最优解。
边界：就是问题的出⼝。
状态转移公式：动态规划问题的这⼀阶段的最优解是可以通过前⾯阶段的解和上⼀阶段的决策推导出来的。
这个推导过程就是⼀个状态转移公式我们通常按照如下4个步骤设计⼀个动态规划算法：1.刻画⼀个最优解的结构特征2.递归地定义最优解的值3.计算最优解的值，通常采⽤⾃底向上的⽅法（采⽤⼀张表格记录之前的状态）4.利⽤计算出的信息构造⼀个最优解我们之前的和也是⼀样的求解步骤。
以硬币找零问题为例：⾸先，⾯对⼀枚新的硬币，我们有两个选择：使⽤和不使⽤。
构成当前阶段的最优解 = min{使⽤这枚硬币的解，不使⽤这枚硬币的解} ----（1.刻画⼀个最优解的结构特征）然后，我们就得到转移⽅程 Value(i) = min {Value(i-1), Value(s-c[i])) + 1} ---- (2.递归地定义最优解的值)之后我们从找零1⾓开始算起，⼀直到达我们想要找零的数⽬。
什么是动态规划
什么是动态规划动态规划( D ynamic P rogramming ，所以我们简称动态规划为 DP )是的⼀个分⽀，是求解决策过程(decision process) 最优化的数学⽅法。
20 世纪 50 年代初数学家R.E.Bellman 等⼈在研究多阶段决策过程 (multistep decision process) 的优化问题时，提出了著名的最优化原理 (principle of optimality)，把多阶段过程转化为⼀系列单阶段问题，利⽤各阶段之间的关系，逐个求解，创⽴了解决这类过程优化问题的新⽅法 —— 动态规划。
1957 年出版了他的名著《 Dynamic Programming 》，这是该领域的第⼀本著作。
动态规划算法通常基于⼀个递推公式及⼀个或多个初始状态。
当前⼦问题的解将由上⼀次⼦问题的解推出。
使⽤动态规划来解题只需要多项式时间复杂度，因此它⽐回溯法、暴⼒法等要快许多。
说了这么多术语，想必⼤家都很头疼，现在让我们通过⼀个例⼦来了解⼀下DP 的基本原理。
⾸先，我们要找到某个状态的最优解，然后在它的帮助下，找到下⼀个状态的最优解。
这句话暂时理解不了没关系，请看下⾯的例⼦ :如果我们有⾯值为1 元、 3 元和 5 元的硬币若⼲枚，如何⽤最少的硬币凑够 11 元？我们凭直观感觉告诉⾃⼰，先选⾯值最⼤，因此最多选 2枚 5 元的硬币，现在是 10 元了，还差⼀元，接下来我们挑选第⼆⼤的 3 元硬币，发现不⾏（ 10+3=13 超了），因此我们继续选第三⼤的硬币也就是 1元硬币，选⼀个就可以（ 10+1=11 ），所以总共⽤了 3 枚硬币凑够了 11 元。
这就是贪⼼法，每次选最⼤的。
但是我们将⾯值改为 2 元， 3 元和 5 元的硬币，再⽤贪⼼法就不⾏了。
为什么呢？按照贪⼼思路，我们同样先取 2 枚最⼤ 5 元硬币，现在 10 元了，还差⼀元，接下来选第⼆⼤的，发现不⾏，再选第三⼤的，还是不⾏，这时⽤贪⼼⽅法永远凑不出 11 元，但是你仔细看看，其实我们可以凑出 11 元的， 2 枚 3元硬币和 1 枚五元硬币就⾏了，这是⼈经过思考判断出来了的，但是怎么让计算机算出来呢？这就要⽤动态规划的思想：⾸先我们思考⼀个问题，如何⽤最少的硬币凑够i 元 (i<11) ？为什么要这么问呢？两个原因： 1. 当我们遇到⼀个⼤问题时，总是习惯把问题的规模变⼩，这样便于分析讨论。
动态规划
11
分阶段递推求解过程 P[0][0] = 0;
对于阶段1: P[0][1] = P[0][0]+h[0][0] = 0+3 = 3; P[1][0] = P[0][0]+v[0][0] = 0+2 = 3; 对于阶段2
P[1][1] = min{ P[0][1]+v[0][1],P[1][0]+h[1][0]} = min{3+1, 2+2} = 4 P[0][2] = P[0][1]+h[1][0] = 3+2 = 5 P[2][0] = P[1][0]+v[1][0] = 2+4 = 6
23
递归算法
• Function Max(I,J : integer) : longint; {从当前位置开始的可得的最优值} • Var s1,s2 : Longint; {记录从左右斜线向下走的可达的最优值} • Begin • If (I>n) Or (J>I) Then Max:=0 {当前位置不存在，最优值为0} • Else • Begin • S1:=Max(I+1,j)+triangle[I,j]; {沿左斜线向下走} • S2:=Max(I+1,j+1)+triangle[I,j]; {沿右斜线向下走} • If s1>s2 then Max:=s1 Else max:=s2; {选取最优走法} • End; 24 • End;
让我们来换一个思路思考本题，因为本题是要求总和除以 ４余数最小的一条路径，我们先撇开最小余数不去管它，而 是将本题改为从点1到点４的所有路径中，求出每条路上权值 和除以４的不同余数的状态。 我们设一个数组can[I,j]表示从点1至点Ｉ可不可以求 出一条路径是该路径的权值总和除以４的余数为Ｊ，那么又 可以得出一个方程：
运筹学第五章动态规划
和 dk 2 (sk ))；
(4) 允许决策集： D k ( s k ) ( x k , y k ) 0 ≤ y k ≤ s k ; 0 ≤ x k ≤ 1 0 0 0 ( s k y k )
状态转移方程： s k 1 s k x k y k ,s 1 5 0 0k4,3,2,1
其中s 5 表示第四阶段末的状态； (5) 阶段指标： v k ( s k ,x k ,y k ) q k y k p k x k ，k4,3,2,1；
5.1 动态规划的基本概念和模型
5.1.1 动态规划的基本概念
下面结合实例来介绍动态规划的基本概念：
【例5.1】 如图5.1所示，在处有一水库，现需从点铺设一条 管道到点，弧上的数字表示与其相连的两个地点之间所需修建 的渠道长度，请找出一条由到的修建线路，使得所需修建的渠 道长度最短。
2
A4
3
B
7
(1) 按月份分段： k4,3,2,1；
(2) 状态变量： s k 表示第 k 个月月初的库存量；
(3) 决策变量： dk1(sk表) 示第 k 个月已有库存 s的k 情况下，要定
购的商品量， dk2表(sk示) 第 个月k 已有库存 的商品量(为方便，后面将分别依次用 ，
的 来x sk 情 代k y况 替k 下，要d销k1(售sk )
(6) 动态规划基本方程：
fk(s k) (x k,y m k) a D x k(s k)v k(s k,x k,y k) fk 1 (s k 1 )
f5 (s 5 ) 0 k 4 ,3 ,2 ,1
求解（要求板书） 辅图1
辅图2
辅图3
5.2.3 动态规划的顺序解法
【 例 5.3】 图 5.3 所 示 为 一 水 利 网 络 ， A 为 水 库 ， 分B 1 ,别B 2 为,B 3 不;C 同1 ,C 的2 ,供C 3 水;D 目1 ,D 的2地，试找出给各供水目的地供水的 最短路线。
《动态规划》课件
动态规划（Dynamic Programming）是一种用来解决复杂问题的算法思想。
什么是动态规划
动态规划是一种将问题拆分成子问题并进行最优解比较的算法，常用于求解最优化问题。
问题模型
状态
将问题抽象成能够描述当前情况的状态。
目标
定义问题的目标，通常是最小化或最大化某 个指标。
经典面试题：爬楼梯问题
爬楼梯问题是指给定楼梯的阶数，求解爬到楼顶的不同方式的数量。
经典面试题：硬币找零问题
硬币找零问题是指给定一定面值的硬币和一个金额，找到凑出该金额的最少 硬币数。
经典面试题：最长回文子串问题
最长回文子串问题是指找到给定字符串中最长的回文子串。
实用案例：机器人找出路
机器人找出路是指给定一个迷宫，找到从起点到终点的路径。
决策
根据状态作出选择或决策。
转移方程
根据子问题的最优解推导出整体问题的最优 解。
最优子结构和重叠子问题
1 最优子结构
问题的最优解包含了子问题的最优解。
2 重叠子问题
子问题之间存在重复的计算，可以利用记 忆化存储中间结果来优化。
动态规划三部曲
1
定义状态
明确问题的状导转移方程
国王游戏问题
国王游戏问题是指在一个棋盘上放置国王，使得它们无法互相攻击。
编辑距离问题
编辑距离问题是指计算两个字符串之间转换的最小操作次数，包括插入、删 除和替换操作。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指给定一系列矩阵，找到最佳的乘法顺序，使得计算乘法的总次数最小。
最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是指找到给定序列中最长的递增子序列的长度。
斐波那契数列问题
动态规划(完整)
(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者
从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出
的选择。
用以描述决策变化的量称之决策变量， 和状态变量一样，决策变量可以用一个数， 一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
动态规划的分类:
• 离散确定型 • 离散随机型 • 连续确定型 • 连续随机型
动态规划的特点:
• 动态规划没有准确的数学表达式和定义 精确的算法, 它强调具体问题具体分析,
依赖分析者的经验和技巧。
• 与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤 其在处理非线性、离散性问题时有其独 到的特点。
通常多阶段决策过程的发展是通过状态的一系列变换来 实现的。一般情况下，系统在某个阶段的状态转移除与本阶 段的状态和决策有关外，还可能与系统过去经历的状态和决 策有关。因此，问题的求解就比较困难复杂。而适合于用动 态规划方法求解的只是一类特殊的多阶段决策问题，即具有 “无后效性”的多阶段决策过程。
4 6
C1
3
B2 3
4T
3 3
C2
阶段指标函数：
vk sk , xk cskxk
5
A3
B3
过程指标（阶段递推）函数:
fk(sk ) min
vk (sk , xk )
fk
1
(sk
1 )
k= 4
f4 (C1) = 3, f4 (C2) = 4
2
k=3
f3(B1)=min{1+f4(C1)=4*, 4+f4(C2)=8}=4
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
动态规划的基本概念与算法设计
动态规划的基本概念与算法设计动态规划（Dynamic Programming）是一种解决复杂问题的优化方法，常用于计算机科学和数学领域。
它的基本思想是将一个复杂问题分解为若干个相互重叠的子问题，并通过求解子问题的最优解来构建原问题的最优解。
一、动态规划的基本概念动态规划中的概念主要包括以下几个方面：1. 最优子结构（Optimal Substructure）：一个问题的最优解可以由其子问题的最优解来构建。
也就是说，问题的最优解具备递归性质。
2. 无后效性（无后效性）：一个阶段的状态一旦确定，就不受之后决策的影响。
也就是说，在解决某个阶段的问题时，只需要考虑当前阶段的状态和选择，无需关心之后的情况。
3. 重叠子问题（Overlapping Subproblems）：子问题之间可能会出现重叠的情况，即不同的子问题具有相同的子问题。
二、动态规划的算法设计步骤动态规划的算法设计通常包括以下步骤：1. 确定状态：首先要明确问题的求解需要哪些状态量，并将问题抽象化，将问题的每个阶段的状态定义清楚。
2. 确定状态转移方程：根据问题的最优子结构，利用递归的思想，确定问题的状态转移方程。
状态转移方程描述了问题从一个阶段到下一个阶段的状态转移过程。
3. 确定初始条件和边界条件：确定问题的初始状态和边界状态，也就是递归的终止条件。
4. 确定计算顺序：确定问题的计算顺序，通常是从小规模的子问题开始，逐渐扩展到原问题的规模。
5. 填表计算：根据状态转移方程和初始条件，填充计算表格，记录子问题的最优解。
6. 求解原问题：根据计算表格中的最优解，推导出原问题的最优解。
三、动态规划的示例应用为了更好地理解动态规划的基本概念和算法设计步骤，下面以一个经典的示例问题来说明。
问题描述：给定一个数组nums，其中的元素表示一系列可抢劫的房屋的价值。
要求求解出在不触发警报的情况下，可以获得的最大抢劫价值。
解决思路：1. 状态定义：定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示前i个房屋能够获得的最大抢劫价值。
运筹学动态规划的概念
运筹学动态规划的概念运筹学中的动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法。
它适用于需要做出一系列决策才能获得最优解的情况。
在这种情况下，每个决策都会对接下来的决策产生影响，因此需要考虑整个过程的影响。
动态规划的实质是将多阶段决策过程拆解成一系列子问题，每个子问题都可以用一个状态来描述。
通过求解每个子问题的最优解，就可以逐步得到整个过程的最优解。
动态规划的基本思想是以最优子结构为基础，避免重复计算已经求解过的子问题的过程。
也就是说，如果我们已经知道了子问题的最优解，那么整个问题的最优解就可以通过这些子问题的最优解推导出来。
通常情况下，动态规划问题需要满足以下几个条件：1.具有最优子结构特征：问题的最优解是由子问题的最优解组合而成的。
2.无后效性：子问题的解一旦确定，就不会被改变。
3.子问题重复性：不同的子问题可能会对应相同的状态。
4.边界性：即为问题的较小的子问题需要单独处理。
通过以上条件，我们就可以将动态规划问题分解为一个个子问题，并求解每个子问题所对应的最优值。
动态规划的基本流程分为三个步骤：1.定义状态：构建状态转移方程需要定义状态，状态通常用一个或多个变量来表示，变量的取值代表状态。
2.写出状态转移方程：根据定义好的状态，写出各个状态之间的转移方程。
3.确定边界条件：对较小的子问题需要单独处理，因此当状态变量为边界值时，需要特殊处理。
动态规划的应用广泛，它可以用于解决大量的问题。
例如，求解最长公共子序列问题、背包问题、最短路问题、字符串编辑距离问题等等。
它在图像处理、自然语言处理、生物信息学等领域中也有广泛的应用，如图像去噪、序列比对、DNA 序列匹配等。
总之，动态规划是运筹学中一种解决多阶段决策问题的重要方法，它通过将问题分解成子问题，并求解每个子问题的最优解，得出整个问题的最优解。
在实际应用中，我们需要根据具体问题特点，定义好状态，写出好的状态转移方程，才能有效地解决问题。
数据结构之动态规划动态规划的基本思想和常见应用场景
数据结构之动态规划动态规划的基本思想和常见应用场景动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种通过将问题分解为更小的子问题来解决复杂问题的方法。
它的基本思想是利用已解决过的子问题的解来求解当前问题的解，从而避免重复计算，提高算法效率。
动态规划的应用广泛，可以用于解决一些优化问题、最优化问题以及组合优化问题等。
动态规划的基本思想可以用以下三个步骤来概括：1. 定义子问题：将原问题划分为一个或多个子问题，并找到它们之间的关系。
2. 构建状态转移方程：根据子问题之间的关系，找到问题的递推关系，将问题转化为子问题的解。
3. 解决问题：通过递推计算或者自底向上的方法，求解问题的最终解。
动态规划的核心是状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题与原问题之间的关系，通过它可以求解原问题的解。
在构建状态转移方程时，需要考虑如何选择最优子结构并进行状态转移，以及确定初始状态和边界条件。
动态规划常见的应用场景包括：1. 最优化问题：如最短路径问题、最长递增子序列问题、背包问题等。
这类问题中，动态规划可以帮助我们找到最优解。
2. 组合优化问题：如旅行商问题（TSP）、任务分配问题等。
这类问题中，动态规划可以帮助我们找到最佳的组合方案。
3. 概率计算问题：如概率图模型中的推断问题、隐马尔可夫模型中的预测问题等。
这类问题中，动态规划可以帮助我们计算复杂的概率。
举例来说，我们可以通过动态规划求解最长递增子序列问题。
给定一个序列，我们希望找到其中最长递增的子序列的长度。
首先，定义状态dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。
然后，我们可以根据dp[i-1]和第i个元素的大小关系来更新dp[i]的值，即dp[i]= max(dp[i], dp[j]+1)，其中j为i之前的某个位置，且nums[j] < nums[i]。
最后，我们通过遍历数组，找到dp数组中的最大值，即可得到最长递增子序列的长度。
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4. 某工厂购进100 台机器，准备生产I 、II 两种产品，若生产产品I ，每台机器每年可收入45 万元，损坏率为65％；若生产产品II ，每台机器每年收入为35 万元，损坏率为35％，估计三年后将有新型机器出现，旧的机器将全部淘汰。
试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？
解 年度为阶段变量k = 1,2,3。
令k x 表示第k 年初完好机器数，k u 表示第k 年安排生产1种产品的机器数，则k x -k u 为第k 年安排生产2种产品的机器数，且0 ≤k u ≤k x 。
则第k +1年初完好的机器数
1k x +=(1-0.65)k u +(1-0.35)(k x -k u )=0.65k x -0.3k u
令(,)k k k v x u 表示第k 年的纯收入，()k k f x 表示第k 年初往后各年的最大利润之和。
显然44,()f x =0;
则()k k f x =max
0u x
≤≤{ (,)k k k v x u +11()k k f x ++} =max
0u x
≤≤{45k u +35(k x -k u )+11()k k f x ++} =max
0u x
≤≤{35k x +10k u +11()k k f x ++} (1)33()f x =
max
0u x ≤≤{353x +103u +44()f x } = max
0u x ≤≤{353x +103u }
353x +103u 关于3u 求导，知其导数大于零，所以353x +103u 在3u 等于3x 处取得最大值，即3x =3u 时，33()f x =453x
（2）22()f x = max
0u x ≤≤{352x +102u +33()f x }
=max
0u x
≤≤{352x +102u +453x } =max
0u x
≤≤{352x +102u +45（0.652x -0.32u ）} =max
0u x
≤≤{352x +102u +45（0.652x -0.32u ）} =max
0u x ≤≤{64.252x -3.52u }
当2u =0时，22()f x =64.252x 。
（3）11()f x = max
0u x
≤≤{351x +101u +22()f x } = max
0u x
≤≤{351x +101u +64.25（0.651x -0.31u ）} =max
0u x ≤≤{76.76251x -19.2751u }
当1u =0时，11()f x =76.76251x
而1x =100
所以 11()f x =7676.25万元
进行回代：第一年100台机器全部用来生产产品2
第二年100台机器全部用来生产产品2 第三年100台机器全部用来生产产品1。