动态规划

4. 某工厂购进100 台机器，准备生产I 、II 两种产品，若生产产品I ，每台机器每年可收入45 万元，损坏率为65％；若生产产品II ，每台机器每年收入为35 万元，损坏率为35％，估计三年后将有新型机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？

解 年度为阶段变量k = 1,2,3。

令k x 表示第k 年初完好机器数，k u 表示第k 年安排生产1种产品的机器数，则k x -k u 为第k 年安排生产2种产品的机器数，且0 ≤k u ≤k x 。

则第k +1年初完好的机器数

1k x +=(1-0.65)k u +(1-0.35)(k x -k u )=0.65k x -0.3k u

令(,)k k k v x u 表示第k 年的纯收入，()k k f x 表示第k 年初往后各年的最大利润之和。

显然44,()f x =0;

则()k k f x =max

0u x

≤≤{ (,)k k k v x u +11()k k f x ++} =max

0u x

≤≤{45k u +35(k x -k u )+11()k k f x ++} =max

0u x

≤≤{35k x +10k u +11()k k f x ++} (1)33()f x =

max

0u x ≤≤{353x +103u +44()f x } = max

0u x ≤≤{353x +103u }

353x +103u 关于3u 求导，知其导数大于零，所以353x +103u 在3u 等于3x 处取得最大值，即3x =3u 时，33()f x =453x

（2）22()f x = max

0u x ≤≤{352x +102u +33()f x }

=max

0u x

≤≤{352x +102u +453x } =max

0u x

≤≤{352x +102u +45（0.652x -0.32u ）} =max

0u x

≤≤{352x +102u +45（0.652x -0.32u ）} =max

0u x ≤≤{64.252x -3.52u }

当2u =0时，22()f x =64.252x 。

（3）11()f x = max

0u x

≤≤{351x +101u +22()f x } = max

0u x

≤≤{351x +101u +64.25（0.651x -0.31u ）} =max

0u x ≤≤{76.76251x -19.2751u }

当1u =0时，11()f x =76.76251x

而1x =100

所以 11()f x =7676.25万元

进行回代：第一年100台机器全部用来生产产品2

第二年100台机器全部用来生产产品2 第三年100台机器全部用来生产产品1