电子测量技术第2章 测量误差理论与数据处理
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检测技术 第二章：误差分析与数据处理
可以得到精确的测量结果，否则还可能损坏仪器、设备、元器件等。
2．理论误差 理论误差是由于测量理论本身不够完善而采用近似公式或近似值计算测量 结果时所引起的误差。例如，传感器输入输出特性为非线性但简化为线性 特性，传感器内阻大而转换电路输入阻抗不够高，或是处理时采用略去高 次项的近似经验公式，以及简化的电路模 型等都会产生理论误差。
误差，周期性系统误差和按复杂规律变化的系统误差。如图2.1所示，其中1为定值系差，2 为
线性系统误差，3为周期系统误差，4为按复杂规律变化的系统误差。 系统误差的来源包括仪表制造、安装或使用方法不正确，
测量设备的基本误差、读数方法不正确以及环境误差等。
系统误差是一种有规律的误差，故可以通过理论分析采 用修正值或补偿校正等方法来减小或消除。
•理论真值又称为绝对真值，是指在严格的条件下，根据一定的理论，按定义确定的数值。 例如三角形的内角和恒为180°一般情况下，理论真值是未知的。 •约定真值是指用约定的办法确定的最高基准值，就给定的目的而言它被认为充分接近于 真值，因而可以代替真值来使用。如：基准米定义为“光在真空中1/299792458s的时间 间隔内行程的长度”。测量中，修正过的算术平均值也可作为约定真值。
表等级为0.2级。
r＝
0.12 100% 100% 0.12 A 100
在选仪表时,为什么应根据被测值的大小,在满足被测量数值范围的前提下,尽可能 选择量程小的仪表，并使测量值大于所选仪表满刻度的三分之二。在满足使用 要求时，满量程要有余量，一般余量三分之一，为了装拆被测工件方便。 （同一精度，量程越大，误差越大，故量程要小，但留余量）
第二章 误差分析与数据处理
三．测量误差的来源
1．方法误差 方法误差是指由于测量方法不合理所引起的误差。如用电压表测量电压时，
电子测量技术第二章测量误差分析与数据处理
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1.2测量误差的表示方法
实际相对误差：用实际值A代替真值A0
示值相对误差：用测量值X 代替实际值A
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1.2测量误差的表示方法
例子：
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1.2测量误差的表示方法
（2）分贝误差——相对误差的对数表示
测量方法不合理所造成，采用近似公式计算
• 4.人身误差
测量者本身分辨能力、视觉疲劳、固有习惯等
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.2.2按照误差的性质分类
• 1.系统误差
定义：在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，测 量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改 变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1 测量误差的基本原理
• 测量的目的：获得被测量的真值。 • 真值: 在一定的时间和空间环境条件下，被测量本
身所具有的真实数值。 • 任何测量仪器的测得值都不可能完全准确的等于
被测量的真值 。 • 测量误差：在实际测量过程中，人们对于客观认
识的局限性，测量工具不准确，测量手段不完善， 受环境影响或测量工作中的疏忽等原因 ，都会使 测量结果与被测量的真值在数量上存在差异。
• 电工仪表就是按引用误差 之值进行分级的。是仪表在工 作条件下不应超过的最大引用相对误差。
• 我国电工仪表共分七级：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5 及5.0。如果仪表为S级，则说明该仪表的最大引用误差不 超过S%。
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1.3电子测量仪器误差的表示方法
2.1.2测量误差的表示方法
实际相对误差：用实际值A代替真值A0
示值相对误差：用测量值X 代替实际值A
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1.2测量误差的表示方法
例子：
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1.2测量误差的表示方法
（2）分贝误差——相对误差的对数表示
测量方法不合理所造成，采用近似公式计算
• 4.人身误差
测量者本身分辨能力、视觉疲劳、固有习惯等
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.2.2按照误差的性质分类
• 1.系统误差
定义：在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，测 量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改 变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1 测量误差的基本原理
• 测量的目的：获得被测量的真值。 • 真值: 在一定的时间和空间环境条件下，被测量本
身所具有的真实数值。 • 任何测量仪器的测得值都不可能完全准确的等于
被测量的真值 。 • 测量误差：在实际测量过程中，人们对于客观认
识的局限性，测量工具不准确，测量手段不完善， 受环境影响或测量工作中的疏忽等原因 ，都会使 测量结果与被测量的真值在数量上存在差异。
• 电工仪表就是按引用误差 之值进行分级的。是仪表在工 作条件下不应超过的最大引用相对误差。
• 我国电工仪表共分七级：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5 及5.0。如果仪表为S级，则说明该仪表的最大引用误差不 超过S%。
电子测量技术第二章测量误差分析与 数据处理
2.1.3电子测量仪器误差的表示方法
第二章《误差理论与数据处理》
2 2 12 2 ...... n
n
i2
i 1
n
n
实际上真值一般情况下是 未知，在有限次测量下，用残 余误差代替随机误差可得到标 准差的估计值：
ˆ
v
i 1
n
2 i
n 1
该证明如下：
（一）构建残余误差与随机误差之间的关系：
i li L0
x
n
结论
在n次测量的等精度测量中，算术平均值 1 n 的标准差是单次测量标准差 n ， ， x 。但 也不是n越大越好，因为 n 要出较大的劳动， 而且 难保证测量条件的恒定，从而引入新 n 的误差。一般情况下去n=10为宜。
标准差的计算还有别捷尔斯法，极差法， 最大误差法等。
（4）别捷尔斯（Peters）法
1.253
v
i 1 n
ห้องสมุดไป่ตู้
n
i
n n 1
x 1.253
v
i 1
i
n
n 1
（4）极差法
等精度多次测量被测值 x1 ,x2 ,x3 ,......,xn 服从正态分布，在其中选取最大值 xmax 与最小 值 xmin，则两者之差称为极差：n xmax xmin 标准差的无偏估计： n
n1 n2
x1
i 1
1i
n1
n1
, x2
n2
i 1
2i
n2
,..., xm
m
l
i 1
nm
mi
nm
x ( l1i l2i ... lmi ) / ni
i 1 i 1 i 1 i 1
n
i2
i 1
n
n
实际上真值一般情况下是 未知，在有限次测量下，用残 余误差代替随机误差可得到标 准差的估计值：
ˆ
v
i 1
n
2 i
n 1
该证明如下：
（一）构建残余误差与随机误差之间的关系：
i li L0
x
n
结论
在n次测量的等精度测量中，算术平均值 1 n 的标准差是单次测量标准差 n ， ， x 。但 也不是n越大越好，因为 n 要出较大的劳动， 而且 难保证测量条件的恒定，从而引入新 n 的误差。一般情况下去n=10为宜。
标准差的计算还有别捷尔斯法，极差法， 最大误差法等。
（4）别捷尔斯（Peters）法
1.253
v
i 1 n
ห้องสมุดไป่ตู้
n
i
n n 1
x 1.253
v
i 1
i
n
n 1
（4）极差法
等精度多次测量被测值 x1 ,x2 ,x3 ,......,xn 服从正态分布，在其中选取最大值 xmax 与最小 值 xmin，则两者之差称为极差：n xmax xmin 标准差的无偏估计： n
n1 n2
x1
i 1
1i
n1
n1
, x2
n2
i 1
2i
n2
,..., xm
m
l
i 1
nm
mi
nm
x ( l1i l2i ... lmi ) / ni
i 1 i 1 i 1 i 1
电子测量与智能仪器2——测量误差分析与数据处理共57页
2010年3月
2.1.2 测量误差的表示方法
1、测量误差的分类 测量误差按表示方法分，有
绝对误差和相对误差；当用于表 示测量仪器时还有“引用误差”。
按误差的来源分，有器具误 差、人身误差、影响误差及方法 误差等。
按误差的性质分，有系统误 差、随机（偶然）误差和疏失 （粗大）误差。
2010年3月
2、绝对误差 （1）定义
ΔU1=101-100=1V ΔU2=6-5=1V
2010年3月
3、相对误差
（1）定义
测量的绝对误差与被测量的真值之比
（用百分数表示），称为相对误差用γ0 表示。
0
x A0
100%
一般情况下，可用绝对误差与实
际值之比表示相对误差（有必要区分
时称为实际相对误差），用γA表示
2010年3月
A A x100% x AA100%
2.1 测量误差的基本原理
2.1.1 研究误差的目的 研究误差的目的，归纳起来可有以下几个方
面： ① 正确认识误差的性质和来源，以减小测量误
差。 ② 正确处理测量数据，以得到接近真值的结果。 ③ 合理地制订测量方案，组织科学实验，正确
地选择测量方法和测量仪器，以便在条件允 许的情况下得到理想的测量结果。 ④ 设计仪器时，需要用误差理论进行分析并适 当控制这些误差因素，使仪器的测量准确程 度达到设计要求。
例： A 1 U U 11100% 10 10100% 1% A 2 U U 22100% 1 5100% 20%
用相对误差可以恰当地表征测 量的准确程度。
相对误差是一个只有大小和符号， 而没有量纲的数值。
2010年3月
在误差较小或要求不太严格的场合，
也可以用仪器的测得值代替实际值。这
2.1.2 测量误差的表示方法
1、测量误差的分类 测量误差按表示方法分，有
绝对误差和相对误差；当用于表 示测量仪器时还有“引用误差”。
按误差的来源分，有器具误 差、人身误差、影响误差及方法 误差等。
按误差的性质分，有系统误 差、随机（偶然）误差和疏失 （粗大）误差。
2010年3月
2、绝对误差 （1）定义
ΔU1=101-100=1V ΔU2=6-5=1V
2010年3月
3、相对误差
（1）定义
测量的绝对误差与被测量的真值之比
（用百分数表示），称为相对误差用γ0 表示。
0
x A0
100%
一般情况下，可用绝对误差与实
际值之比表示相对误差（有必要区分
时称为实际相对误差），用γA表示
2010年3月
A A x100% x AA100%
2.1 测量误差的基本原理
2.1.1 研究误差的目的 研究误差的目的，归纳起来可有以下几个方
面： ① 正确认识误差的性质和来源，以减小测量误
差。 ② 正确处理测量数据，以得到接近真值的结果。 ③ 合理地制订测量方案，组织科学实验，正确
地选择测量方法和测量仪器，以便在条件允 许的情况下得到理想的测量结果。 ④ 设计仪器时，需要用误差理论进行分析并适 当控制这些误差因素，使仪器的测量准确程 度达到设计要求。
例： A 1 U U 11100% 10 10100% 1% A 2 U U 22100% 1 5100% 20%
用相对误差可以恰当地表征测 量的准确程度。
相对误差是一个只有大小和符号， 而没有量纲的数值。
2010年3月
在误差较小或要求不太严格的场合，
也可以用仪器的测得值代替实际值。这
《电子测量技术》课程标准(电子信息技术专业)
《电子测量技术》课程标准课程名称：电子测量技术 Electronic Measurement Technology课程性质：专业选修学分：2.5总学时：45，理论学时：36，实验(上机)学时：9适用专业：电子信息技术先修课程：模拟电子技术、数字电子技术、信号与系统、微机原理一、教学目的与要求《电子测量技术》是电子信息、自动控制、测量仪器等专业的通用技术基础课程。
包括电子测量的基本原理、测量误差分析和实际应用，主要电子仪器的工作原理，性能指标，电参数的测试方法，该领域的最新发展等。
电子测量技术综合应用了电子、计算机、通信、控制等技术。
通过本课程的学习，培养学生具有电子测量技术和仪器方面的基础知识和应用能力；通过本课程的学习，可开拓学生思路，培养综合应用知识能力和实践能力；培养学生严肃认真，求实求真的科学作风，为后续课程的学习和从事研发工作打下基础。
二、教学内容与学时分配三、各章节主要知识点与教学要求第1章序论第一节测量的基本概念一、测量的定义二、测量的意义三、测量技术第二节计量的基本概念一、计量二、单位和单位制三、计量标准四、测量标准的传递第三节电子测量技术的内容，特点和方法一、电子测量二、电子测量的内容和特点三、电子测量的一般方法第四节电子测量的基本技术一、电子测量的变换技术二、电子测量的放大技术三、电子测量的比较技术四、电子测量的处理技术五、电子测量的显示技术第五节本课程的任务重点：测量的基本概念、基本要素；单位和单位制，基准和标准，量值的传递准则。
难点：量值的传递准则教学要求：理解测量的基本概念、基本要素，测量误差的基本概念和计算方法。
理解计量的基本概念，单位和单位制，基准和标准，量值的传递准则。
理解测量的基本原理，信息获取原理和量值比较原理。
理解电子测量的实现原理：变换、比较、处理、显示技术。
第2章测量误差理论与数据处理第一节测量误差的基本概念一、有关误差的基本概念二、测量误差的基本表示方法第二节测量误差的来源与分类一、测量误差的来源二、测量误差的分类第三节测量误差的分析与处理一、随机误差的分析与处理二、系统误差的判断及消除方法三、粗大误差的分析与处理第四节测量误差的合成与分配一、测量误差的合成二、测量测量不确定度及其合成三、误差分配及最佳测量方案第五节测量数据处理一、有效数字处理二、测量结果的处理三、最小二乘法与回归分析重点：测量误差的分类估计和处理，系统误差和粗大误差的判断及处理，不确定度的评定方法。
第2章2节长度测量(测量误差和数据处理)-2分析
一般测量仪器的测量力大都控制在200克之内，高精 度量仪的测量力控制在几十克甚至几克之内。为了控制测 量力对测量结果的影响，测量仪器一般应具有使测量力保 持恒定的装置。如：百分表和千分表上的弹簧，千分尺上 的棘轮机构等。
2.8 测量误差和数据处理
2.8.1 测量误差的基本概念
1.测量误差（绝对误差）是指测量结果减去被测量的真值 之差，即：
例如：
有 两 个 被 测 量 的 实 际 测 得 值 X1=100mm ， X2=10mm，δ1=0.02mm，δ2=0.01mm，
则其相对误差为： f1=δ1/ L1×100%=0.02/100×100%=0.02% f2=δ2/ L2×100%=0.01/10×100%=0.1% 由上例可以看出，两个不同大小的被测量，虽然 前者绝对误差大，但 f1＜ f2，表示前者的精确度比后 者高。
ni/N 0.225
实际分布曲线
y
正态分布曲线
0.12
0.01 19.991 x = 20.0 20.007
xi
μ
△x
O
δ
图2-35 频率直方图和正态分布曲线
△x大，图形高。让图形高低不受△x影响，可用
ni N△ x ni N△ x
代替
ni N
——为概率论中的概率密度 ∞， △x 0
N
Δ代替x得光滑曲线称随机误差的正态分布曲线.
n
σ ＝
δ1
2
2 2
n
2 n
i 1
i
n
2
（2-10）
式中σ
i
测量列中单次测量的标准偏差； 测量列中相应各测得值与真值之差。
依据概率论原理，正态分布曲线所包含的面积等于其 相应区间确定的概率，即：
电子测量 第二章误差理论和数据处理
0
产生系统误差的主要原因有： ①测量仪器设计原理及制作上的缺陷。例如
刻度偏差，刻度盘或指针安装偏心，使用过程 中零点漂移，安放位置不当等.
②测量时的环境条件如温度、湿度及电源电 压等与仪器使用要求不一致等。
③采用近似的测量方法或近似的计算公式等。 ④测量人员估计读数时习惯偏于某“方向等原 因所引起的误差。 系统误差体现了测量的正确度，系统误差小， 表明测量的正确度高。
I
V
Rx
I
V
Rx
(a)
(b)
对于图(a)：
R'x
=
U I
= (RV
// Rx )I I
=
Rx RV Rx + RV
R
=
R'x
-
Rx
=
-RV2 Rx + RV
对于图（a）当电压表内阻RV很大时可选a方案。 对于图（b）当电流表内阻RI很小时可用b方案。
3 理论误差 测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似
0.2
0.5
1.0
1.5
2.5
5.0
±S% 0.1
0.2
0.5
1.0
1.5
2.5
5.0
例[2]：检定量程为100μA的1.5级电流表，在50μA刻度上 标准表读数为49μA，问此电流表是否合格？
解： x0=49μA
x=50μA
xm=100μA
m
=
x
- x0 xm
×100%
=
50 - 49×100% 100
一、随机误差的定义、起因和特点
1、定义：
测量术语：“等精度测量”──在相同条件（同一人、 同一仪器同一环境、同一方法）下，对同一量进行重复测 量，称为等精度测量。
产生系统误差的主要原因有： ①测量仪器设计原理及制作上的缺陷。例如
刻度偏差，刻度盘或指针安装偏心，使用过程 中零点漂移，安放位置不当等.
②测量时的环境条件如温度、湿度及电源电 压等与仪器使用要求不一致等。
③采用近似的测量方法或近似的计算公式等。 ④测量人员估计读数时习惯偏于某“方向等原 因所引起的误差。 系统误差体现了测量的正确度，系统误差小， 表明测量的正确度高。
I
V
Rx
I
V
Rx
(a)
(b)
对于图(a)：
R'x
=
U I
= (RV
// Rx )I I
=
Rx RV Rx + RV
R
=
R'x
-
Rx
=
-RV2 Rx + RV
对于图（a）当电压表内阻RV很大时可选a方案。 对于图（b）当电流表内阻RI很小时可用b方案。
3 理论误差 测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似
0.2
0.5
1.0
1.5
2.5
5.0
±S% 0.1
0.2
0.5
1.0
1.5
2.5
5.0
例[2]：检定量程为100μA的1.5级电流表，在50μA刻度上 标准表读数为49μA，问此电流表是否合格？
解： x0=49μA
x=50μA
xm=100μA
m
=
x
- x0 xm
×100%
=
50 - 49×100% 100
一、随机误差的定义、起因和特点
1、定义：
测量术语：“等精度测量”──在相同条件（同一人、 同一仪器同一环境、同一方法）下，对同一量进行重复测 量，称为等精度测量。
电子测量技术(西电版)第2章 测量误差理论与数据处理
时， 分贝误差也为正值；反之亦然。
第2章 测量误差理论与数据处理
3. 满度相对误差(引用相对误差) 前面介绍的相对误差较好地反映了某次测量的准 确程度， 但是， 在连续刻度的仪表中， 用相对误差来 表示整个量程内仪表的准确程度就有些不便。 因为使 用这种仪表时， 在某一测量量程内， 被测量有不同的 数值， 若用式(2-5)计算相对误差， 随着被测量的不同， 式中的分母相应变化， 求得的相对误差也将随着改变。
第2章 测量误差理论与数据处理
例如测量两个电压量， 其中一个电压为V1=10 V， 其绝对误差ΔV1=0.1V；另一个电压为V2=1 V，其绝对误 差ΔV2=0.1 V。尽管两次测量的绝对误差皆为0.1 V， 但是 我们不能说两次测量的准确度是相同的， 显然， 前者测 量的准确度高于后者测量的准确度。 因此， 为了说明测 量的准确程度， 又提出了相对误差的概念。
第2章 测量误差理论与数据处理
在用式(2-5)求相对误差时， 用电表的量程作为分母，
从而引出了满度相对误差(引用相对误差)的概念。 实际中
常用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差Δxm与
该量程的满刻度值(该量程的上限值与下限值之差)xm之比来
表示，
γm=
△x m xm
×100%
(2-11)
第2章 测量误差理论与数据处理
第2章 测量误差理论与数据处理
【例2-2】 某电流表的量程为100 mA， 在量程 内用待定表和标准表测量几个电流的读数如表2-1所示。 试根据表中测量数据大致标定该仪表的准确度等级。
第2章 测量误差理论与数据处理
表2-1 例 2-2的电流表读数
△x m xm
第2章 测量误差理论与数据处理
第二章 测量误差分析与数据处理
• 系统误差的特点是，测量条件一经确定， 误差就为一确切的值。用多次测量取平均 值的方法，并不能改变误差的大小。针对 其产生的根源采取一定的技术措施，以减 小它的影响。例如，仪器不准时，通过校 验取得修正值，即可减小系统误差。
– 系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被 测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的 真值之差。即
• [例] 某待测电流约为100mA，现有0.5级量程为 0～400mA和1.5级量程为0～100mA的两个电流表， 问用哪一个电流表测量较好？
解：用0.5级量程为0～400mA电流表测100mA时，最大 相对误差为
xm 400 x1 s% 0.5% 2% x 100
用1.5级量程为0～100mA电流表测量100mA时的最大相 对误差为 x 100
随机 误差
粗大 误差
1． 绝对误差（Absolute Error）
（1）绝对误差 用被测量对象的显示值（仪器上的示值） x减去被测量对象的真值A0，所得的数据Δx，叫做 绝对误差。 Δx= x – A0 真值A0无法求到，常用上一级标准仪器的示值 作为实际值A（约定真值）代替真值 △x=x- A 特点：
难点：
1．方差与标准差、权、加权平均值。 2．常用函数的合成误差推导与应用。 3．最佳测量条件的确定与测量方案的设
计。
本次课目标
本次课阐述测量误差的基本概念、误差的表 达形式、误差分类、误差来源；给出描述误差大 小的精度概念及其与误差各类误差的特性。 给出测量中的有效数字概念及其在数据处理 中的基本方法。通过学习本章内容，使读者对测 量误差分析及其数据处理的问题有一个概貌的了 解，为学习后面章节的内容奠定基础。
•
含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数 据处理时，应剔除掉。
电子测量技术第二章测量误差分析与数据处理
• 例子：
2.1.2测量误差的表示方法
（3）满度相对误差
用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该量 程值（上限值－下限值）之比来表示的相对误差，称为满 度相对误差（或称引用相对误差）。
m
xm xm
100%
• 电工仪表就是按引用误差 之m 值进行分级的。是仪表在工 作条件下不应超过的最大引用相对误差。
身所具有的真实数值。 • 任何测量仪器的测得值都不可能完全准确的等于
被测量的真值 。 • 测量误差：在实际测量过程中，人们对于客观认
识的局限性，测量工具不准确，测量手段不完善， 受环境影响或测量工作中的疏忽等原因 ，都会使 测量结果与被测量的真值在数量上存在差异。
2.1.1 研究误差的目的
研究误差的目的： (1)正确认识误差的性质和来源，以减小测量误差。 (2)正确处理测量数据，以得到接近真值的结果。 (3)合理地制定测量方案，组织科学实验，正确选择
• 系统误差的定量定义：在重复性条件下，对同一 被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被 测量的真值之差。
Ex A0
2.2.2按照误差的性质分类
• 2.随机误差
• 定义: 在同一测量条件下多次重复测量同一量值时（等 精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可 预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差， 简称随差。
n i1
xi
当测量次数n→∞时，样本平均值的极限称为测量值的
数学期望。
E x
nlim
1 n
n i1 x i
2.3.1 测量值的数学期望与标准差
• 随机误差 • 系统误差
i xi Ex Ex A0
• 随机误差与系 统误差之和， 即绝对误差。
i xi Ex Ex A0 xi A0
2.1.2测量误差的表示方法
（3）满度相对误差
用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该量 程值（上限值－下限值）之比来表示的相对误差，称为满 度相对误差（或称引用相对误差）。
m
xm xm
100%
• 电工仪表就是按引用误差 之m 值进行分级的。是仪表在工 作条件下不应超过的最大引用相对误差。
身所具有的真实数值。 • 任何测量仪器的测得值都不可能完全准确的等于
被测量的真值 。 • 测量误差：在实际测量过程中，人们对于客观认
识的局限性，测量工具不准确，测量手段不完善， 受环境影响或测量工作中的疏忽等原因 ，都会使 测量结果与被测量的真值在数量上存在差异。
2.1.1 研究误差的目的
研究误差的目的： (1)正确认识误差的性质和来源，以减小测量误差。 (2)正确处理测量数据，以得到接近真值的结果。 (3)合理地制定测量方案，组织科学实验，正确选择
• 系统误差的定量定义：在重复性条件下，对同一 被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被 测量的真值之差。
Ex A0
2.2.2按照误差的性质分类
• 2.随机误差
• 定义: 在同一测量条件下多次重复测量同一量值时（等 精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可 预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差， 简称随差。
n i1
xi
当测量次数n→∞时，样本平均值的极限称为测量值的
数学期望。
E x
nlim
1 n
n i1 x i
2.3.1 测量值的数学期望与标准差
• 随机误差 • 系统误差
i xi Ex Ex A0
• 随机误差与系 统误差之和， 即绝对误差。
i xi Ex Ex A0 xi A0
电子测量第二章 测量误差分析与数据处理(教学用)
准确度。
HOME
【2.1.2】一台晶体管毫伏表的10mV挡，当用其进行测量时， 示值为8mV，在检定时8mV刻度处的修正值是-0.03mV，则被测 电压的实际值为
U = 8+(-0.03)=7.97(mV)
测量仪器应当定期送计量部门进行检定，其主要目的就是获 得准确的修正值，以保证量值传递的准确性。
减小测量环境误差的主要方法是改善测量条件，对各种 环境因素加以控制，使测量条件尽量符合仪器要求。
HOME
测量方法误差
指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等 原因所引起的误差 ，又称为理论误差。
如用钢卷尺测量大轴的圆周长s，再通过计算求出大 轴的直径d=s/π，因近似数π的取值不同，将会引起误差。
20 lg
Au (dB)
HOME
Gx
20 lg U0 Ui
20 lg
Au (dB)
式中，Au＝U0/Ui，是电压放大倍数的测得值。又因为
Au = A + ΔΑ
式中，A是放大倍数的实际值。则
Gx
20 lg U0 Ui
20 lg
Au
20 lg A A
仪器所
带附件和附
标准器件误差
仪器误差 附件误差 属工具所带
来的误差。
设计测量装 置时，由于 采用近似原 理所带来的 工作原理误 差
组成设备 的主要零 部件的制 造误差与 设备的装 配误差
设备出厂 读数分 时校准与 辨力有 定度所带 限而造 来的误差 成的读
数误差
数字式仪 元器件老
器所特有 化、磨损、
同理，利用修正值，应在仪器的检定有效期内，否则要重新 检定。
电子测量技术基础-(第二版)-第2章--测量误差和测量结果处理
第2章 测量误差和测量结果处理 ④对于信号源、稳压电源等供给量仪器，绝对误
差定义为
x A x
(2.1-3)
式中A为实际值，x为供给量的指示值(标称值)。 如果没有特殊说明，本书涉及的绝对误差，按式(2.1-2) 定义计算。
与绝对误差绝对值相等、但符号相反的值称为修正 值，一般用符号 c 表示
c x A x
概念：在每一级的比较中，都以上一级标准所体 现的值当作准确无误的值，通常称为实际值，也叫作 相对真值
例：如果更高一级测量器具的误差为本级测量器具误 差的1/3到 1/10，就可以认为更高一级测量器具的测得值(示 值)为真值。
★注意：在本书后面的叙述中，不再对实际值和真值 加以区别。
第2章 测量误差和测量结果处理
第2章 测量误差和测量结果处理
第2章 测量误差和测量结果处理
2.1 误 差 2.2 测量误差的来源 2.3 误差的分类 2.4 随机误差分析 2.5 系统误差分析 2.6 系统误差的合成 2.7 测量数据的处理 习题二
第2章 测量误差和测量结果处理
2.1 误 差
2.1.1 误差的概念 1．真值 A0 一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真 实数值称作它的真值。 “理想” 值
(2.1-4)
第2章 测量误差和测量结果处理
测量仪器的修正值，可通过检定，由上一级标准 给出，它可以是表格、曲线或函数表达式等形式。利用 修正值和仪器示值，可得到被测量的实际值
A x+c
(2.1-5)
例：由某电流表测得的电流示值为0.83 mA，查该电流表检 定证书，得知该电流表在0.8mA及其附近的修正值都为-0.02mA， 那么被测电流的实际值为
(2.1-17)
电子测量与技术第二章 误差处理
当
n
1 n ( x i x0 ) n i 1
确定性系差表达式
M ( X ) x0
结论：系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值 当系差为0，则有
M ( X ) x0
i xi M ( X )
i xi x0
2-24
2、随机误差的影响
i xi
2015-1-24
北京交通大学电气工程学院 姜学东
2-8
第二章 测量误差理论及数据处理
关于随机误差：
*在多次测量中，随机 误差相互抵消
随机误差的绝对值 绝对值相等的正负误差 不会超过一定的界限。 出现的机会相同
（a）、产生的原因 由影响微小、互不相关的多种因素造成。 例如：热骚动、噪声干扰，电磁场微变，空气 扰动，大地微震，测量人员感觉器官的各种无 规律的微小变化等。
第二章 测量误差理论及数据处理
2、n为有限次时
ˆ (X) M( X ) M
(X) ˆ(X)
（1）、有限次测量时平均值的数学期望和方差
对于一系列等精密度的测量，当测量系统、测量条 件和被测量不变，则具有相同的数学期望和标准偏差。
M[ x1 ] M[ x2 ] M[ xn ] M[ X ] [ x1 ] [ x2 ] [ xn ] [ X ]
xi i i
2015-1-24 北京交通大学电气工程学院 姜学东 2-25
第二章 测量误差理论及数据处理
举例：
打靶
2015-1-24
北京交通大学电气工程学院 姜学东
2-26
第二章 测量误差理论及数据处理
x0
(a)
(b)
(c)
电子测量技术误差理论与数据处理
由图可知：坏值的存在，将严重影响平均值（图 中是未考虑值），使其失去意义，因此整理测量 数据时必须先将坏值剔除；剔除坏值后，随机误 差为测量值与平均值的差，根据抵偿性通过多次 测量取算术平均值的方法以消除随差的影响；算 术平均值与被测真值间存在一个恒定系差ε, ε越 小则离真值越近，ε为零时将趋于。
m
xm xm
100%
x
xm
| xm |
| xm |
仪表各量程内绝对误差的
最大值 xm m xm 0
xA
Am
A
第9页
1.1.4测量误差的示方法（续）
电子测量原理
分贝误差——相对误差的对数表示
分贝误差是用dB）。
电压增益的测得值为
Ax
误V差o 为
x x
M (x)
11
n n i
i 1
i i 1
（n→∞）
第24页
电子测量原理
1．2．2 数学期望值及标准差 （续）
在实际测量中，不但测量值大都是离散的，而且测量次数n也为 有限次，则只能得到算术平均值 ：
x
算术平均值
的x数x学期1n望值in为1 ：xi
x x 1 n
1
n
M (x) M (
（1）置信概率与置信区间：
置信区间 x E(x内) 包k含真值的概率称为置信概率。
置信限： k
k——置信系数（或置信因子）
置信概率是图中 阴影部分面积
第30页
电子测量原理
1．2．3 测量结果的置信问题（续）
（2）正态分布的置信概率
当分布和k值确定之后，则置信概率可定
k
P[ x E(x) k ] P[ k ] p( )d k
m
xm xm
100%
x
xm
| xm |
| xm |
仪表各量程内绝对误差的
最大值 xm m xm 0
xA
Am
A
第9页
1.1.4测量误差的示方法（续）
电子测量原理
分贝误差——相对误差的对数表示
分贝误差是用dB）。
电压增益的测得值为
Ax
误V差o 为
x x
M (x)
11
n n i
i 1
i i 1
（n→∞）
第24页
电子测量原理
1．2．2 数学期望值及标准差 （续）
在实际测量中，不但测量值大都是离散的，而且测量次数n也为 有限次，则只能得到算术平均值 ：
x
算术平均值
的x数x学期1n望值in为1 ：xi
x x 1 n
1
n
M (x) M (
（1）置信概率与置信区间：
置信区间 x E(x内) 包k含真值的概率称为置信概率。
置信限： k
k——置信系数（或置信因子）
置信概率是图中 阴影部分面积
第30页
电子测量原理
1．2．3 测量结果的置信问题（续）
（2）正态分布的置信概率
当分布和k值确定之后，则置信概率可定
k
P[ x E(x) k ] P[ k ] p( )d k
电子测量技术第二章
12
等级 ±S%
例：检定量程为100μA的2级电流表,在50μA刻度 上标准表读数为49μA,问此电流表是否合格？ 解： x0=49μA x=50μA xm=100μA
x x0 50 49 n 100% 100% 1% 2% xm 100
合格
13
例：测量10V左右电压 a:使用150V,±1.5级
γ dB
Δx = 10lg(1 + )dB x
电压、电流等参数用dB表示的相对误差为
Δx γ dB = 20lg(1 + ) = 20lg(1+ γ x )dB x
15
例：某电流表测电流96μA,标准表测出的电
流值为100μA，求相对误差和分贝误差？
解： x0=100μA
x=96μA
x x0 96 100 x 100% 100% 4% xm 100
dB 20lg(1 x ) 20lg(1 0.04) 0.355dB
16
2.1.2 测量误差的分类
随机误差
随机误差是由不确定原因引起的 , 不可避免 和消除。
系统误差
系统误差是由较确定的原因引起的 , 可校正 和消除。 粗大误差是指一种显然与事实不符的误差， 必须避免和剔除。
17
粗大误差
测量结果的评定
某次测值的测量误差(绝对误差)
xi i i
测量值 xi与真值A0之差误差
xi A0 i i
A0:真值, xi:测量值,δi :随机误差,ε:系统误差
18
三种误差同时存在的情况
ε δi
xi ε A0 Ex δi xi xk xk
等级 ±S%
例：检定量程为100μA的2级电流表,在50μA刻度 上标准表读数为49μA,问此电流表是否合格？ 解： x0=49μA x=50μA xm=100μA
x x0 50 49 n 100% 100% 1% 2% xm 100
合格
13
例：测量10V左右电压 a:使用150V,±1.5级
γ dB
Δx = 10lg(1 + )dB x
电压、电流等参数用dB表示的相对误差为
Δx γ dB = 20lg(1 + ) = 20lg(1+ γ x )dB x
15
例：某电流表测电流96μA,标准表测出的电
流值为100μA，求相对误差和分贝误差？
解： x0=100μA
x=96μA
x x0 96 100 x 100% 100% 4% xm 100
dB 20lg(1 x ) 20lg(1 0.04) 0.355dB
16
2.1.2 测量误差的分类
随机误差
随机误差是由不确定原因引起的 , 不可避免 和消除。
系统误差
系统误差是由较确定的原因引起的 , 可校正 和消除。 粗大误差是指一种显然与事实不符的误差， 必须避免和剔除。
17
粗大误差
测量结果的评定
某次测值的测量误差(绝对误差)
xi i i
测量值 xi与真值A0之差误差
xi A0 i i
A0:真值, xi:测量值,δi :随机误差,ε:系统误差
18
三种误差同时存在的情况
ε δi
xi ε A0 Ex δi xi xk xk
电气与电子测量技术——测量误差及数据处理
2
5.9720 104 100% 100% 0.030% Ax 2 1.9888
21
2
测量误差的分类
根据测量误差的性质，测量误差可分为3类：
1 系统误差(Systematic Error) 2 随机误差( random error ) 3 粗大误差(Gloss Error)
20
【例】
某四位半数字电压表，量程为2V，工作误差为= 0.025%UX 1个字， 用该表测量时，读数分别为 0.0012V 和 1.9888V ，试求两种情况下的绝对 误差和相对误差。 解：四位半表 1 . 分辨率为0.0001V
9 9 9 9
1 (0.025% 0.0012 0.00011) 1.0030 104 V 1 1.0030 104 1 100% 100% 8.36% Ax1 0.0012 2 (0.025% 1.9888 0.00011) 5.9720 104V
0.25 0.2500 物理测量： 0.25 m 25.00 cm
15
一次测量最大误差的估计
当一个仪表的准确度等级α 选定后，用此表 测量某一被测量时，可能产生的最大绝对误差为：
xm xm a%
最大相对误差为：
rx
xm x m % x x
绝对误差的最大值与 该仪表的标称范围 （或量程）上限Am成 正比。
选定仪表后，被测量的值越接近于标 称范围（或量程）上限，测量的相对 误差越小，测量越准确。
26
随机误差和系统误差特性
系统误差越小，则测量值与实际值符合的程度越高。 随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在某一 常数（平均值）附近。 测量准确度高意味着系统误差和随机误差都小。
电子测量实用技术(PPT) 模块2 测量误差理论与测量数据处理_
模块2 测量误差理论与测量数据处理
模块2
模块提示：测量的目的就是要获得被测量的真值。真
值是利用理想的量具或测量仪器得到的无误差的测量结 果，它是一个理想的概念，但实际的测量中，误差总是 不可避免的。学习误差理论就是为了掌握测量中减小误 差、提高测量精度的方法，培养科学、严谨的工作态度 和工作作风。通过本模块的学习，同学们应重点掌握误 差的分析和处理办法。
电子测量实用技术
模块2 测量误差理论与测量数据处理
模块学习要点：
2.1 测量误差理论 2.2测量数据处理 模块总结与归纳
电子测量实用技术
模块2 测量误差理论与测量数据处理
2.1 测量误差理论
2.1.1 常用测量术语 1.真值A0 一个量值在一定条件下所呈现的客观大小或真实数
值称作真值。要想得到真值，必须利用理想的量具或 测量仪器进行无误差测量。由此可知，真值实际上是 无法测得的。
ACX
如某直流电压表技术说明书中给出修正值为+0.2V，当测 量某一电压时，读数为4.9V，则被测电压的实际值为：
U (4 .9 0 .2 )V 5 .1 V
电子测量实用技术
模块2 测量误差理论与测量数据处理
2. 实际应用中，相对误差有以下几种：
(1) 实际相对误差：它是用绝对误差ΔX与被测量的实际值 A的百分比值来表示的，即
2.标称值 测量器具上标定的数值称为标称值。由于制造和测 量精度不够以及环境等因素的影响，标称值并不一定 等于它的真值或实际值。
电子测量实用技术
模块2 测量误差理论与测量数据处理 3.示值 由测量仪器读
数装置所显示出的 被测量的量值称为 测量仪器的示值， 也称测量仪器的测 量值，它包括数值 和单位。
电子测量实用技术
模块2
模块提示：测量的目的就是要获得被测量的真值。真
值是利用理想的量具或测量仪器得到的无误差的测量结 果，它是一个理想的概念，但实际的测量中，误差总是 不可避免的。学习误差理论就是为了掌握测量中减小误 差、提高测量精度的方法，培养科学、严谨的工作态度 和工作作风。通过本模块的学习，同学们应重点掌握误 差的分析和处理办法。
电子测量实用技术
模块2 测量误差理论与测量数据处理
模块学习要点：
2.1 测量误差理论 2.2测量数据处理 模块总结与归纳
电子测量实用技术
模块2 测量误差理论与测量数据处理
2.1 测量误差理论
2.1.1 常用测量术语 1.真值A0 一个量值在一定条件下所呈现的客观大小或真实数
值称作真值。要想得到真值，必须利用理想的量具或 测量仪器进行无误差测量。由此可知，真值实际上是 无法测得的。
ACX
如某直流电压表技术说明书中给出修正值为+0.2V，当测 量某一电压时，读数为4.9V，则被测电压的实际值为：
U (4 .9 0 .2 )V 5 .1 V
电子测量实用技术
模块2 测量误差理论与测量数据处理
2. 实际应用中，相对误差有以下几种：
(1) 实际相对误差：它是用绝对误差ΔX与被测量的实际值 A的百分比值来表示的，即
2.标称值 测量器具上标定的数值称为标称值。由于制造和测 量精度不够以及环境等因素的影响，标称值并不一定 等于它的真值或实际值。
电子测量实用技术
模块2 测量误差理论与测量数据处理 3.示值 由测量仪器读
数装置所显示出的 被测量的量值称为 测量仪器的示值， 也称测量仪器的测 量值，它包括数值 和单位。
电子测量实用技术
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第2章 测量误差理论与数据处理
人们进行测量的目的， 通常是为了获得尽可能接近真 值的测量结果， 如果测量误差超过一定的限度， 测量工作 及由此产生的测量结果将失去意义。 在科学研究及现代化 生产中， 错误的测量结果有时还会使研究工作误入歧途甚 至带来灾难性的后果。 我们研究误差理论的目的， 就是要 分析误差产生的原因及其发生规律， 正确认识误差的性质， 寻找减小或消除测量误差的方法， 学会测量数据的处理方 法， 使测量结果更接近于真值。 在测量中， 研究误差理论 还可以指导我们合理地设计测量方案， 正确地选用测量仪 器和测量方法，
第2章 测量误差理论与数据处理
5. 在实际测量中， 由于测量器具的不准确， 测量手段的 不完善， 测量环境的影响， 对客观规律认识的局限性以及 工作中的疏忽或错误等因素， 都会导致测量结果与被测量真 值不同。 测量仪器与被测量真值之间的差别称为测量误差。 测量误差的存在具有必然性和普遍性， 人们只能根据需要和 可能， 将其限制在一定的范围内而不可能完全加以消除。 不同的测量， 对其测量误差的大小， 也就是测量准确度的 要求往往是不同的。
第2章 测量误差理论与数据处理
2.1.2
1. 绝对误差 (1) 定义： 由测量所得到的被测量值x与其真值A0之差， 称为绝对误差，
Δx=x-A0 式中，Δx为绝对误差。
(2-1)
前面已提到， 真值A0一般无法得到， 所以用实际值A 代替A0， 因而绝对误差更有实际意义的定义是:
Δx=x-A
(2-2)
第2章 测量误差理论与数据处理
绝对误差表明了被测量的测量值与被测量的实际值之 间的偏离程度和方向。 对于绝对误差， 应注意以下两点： 第一， 绝对误差是有单位的量， 其单位与测得值和实际 值相同；第二， 绝对误差是有符号的量， 其符号表示出 了测量值与实际值的大小关系， 若测量值大于实际值， 2-3)
测量仪器的修正值可以通过上一级标准给出， 修正值
可以是数值表格、 曲线或函数表达式等形式。 在日常测量
中， 利用其仪器的修正值C和该已检仪器的示值x， 可以
A=x+C
(2-4)
第2章 测量误差理论与数据处理
第2章 测量误差理论与数据处理
4. 由测量器具指示的被测量的量值称为测量器具的示值， 也称测量仪器的测量值或测得值。 一般来说， 测量仪器 的示值和读数是有区别的， 读数是仪器刻度盘上直接读 到的数字， 对于数字显示仪表， 通常示值和读数是一致 的， 但对于模拟指示仪器， 示值需要根据读数值和 所用的量程进行换算。 例如以100分度表示量程为50 mA 的电流表， 当指针在刻度盘上的50位值时， 读数是50， 而示值应是25 mA。
第2章 测量误差理论与数据处理
这是因为理想的测量仪器或量具, 即测量过程的 参考比较标准(或叫计量标准)只是一个纯理论值。 尽 管随着科技水平的提高， 可供实际使用的测量参考标 准可以越来越接近理想的理论定义值， 但误差总是存 在的， 而且在测量过程中还会受到各种主观和客观因 素的影响， 所以， 做到无误差的测量是不可能的。
第2章 测量误差理论与数据处理
在每一级的比较中， 都把上一级计量标准所测量的 值当作准确无误的值， 一般要求高一等级测量器具的误 差为本级测量器具误差的1/3~1/10。 在实际值中， 把由 国家设立的尽可能维持不变的各种实物标准作为指定值 (或称约定真值)， 例如， 指定国家计量局保存的铂铱合 金圆柱体质量原器的质量为1 kg， 指定国家天文台保存 的铯钟组所产生的， 在特定条件下铯-133原子基态的两 个超精细能级之间跃迁所对应辐射的9192631770个周期 的持续时间为1 s等。
第2章 测量误差理论与数据处理
3.
测量器具上标定的数值称为标称值， 如标准电阻上标
出的1 Ω， 标准电池上标出来的电动势1.0186 V， 标准砝码
上标出的1 kg等。 标称值并不一定等于它的真值或实际值，
由于制造和测量水平的局限及环境因素的影响， 它们之间
存在一定的误差， 因此， 在标出测量器具的标称值时， 通
第2章 测量误差理论与数据处理
第2章 测量误差理论与数据处理
2.1 测量误差的基本概念 2.2 测量误差的来源与分类 2.3 测量误差的分析与处理 2.4 测量误差的合成与分配 2.5 测量数据处理 思考与练习
第2章 测量误差理论与数据处理
2.1
2.1.1
1. 一个量在被观测时， 该量本身所具有的真实大小称为 真值(记为A0)。 在不同的时间和空间， 被测量的真值往往 是不同的。 在一定的时间和空间环境条件下， 某被测量的 真值是一个客观存在的确定数值。 要想得到真值， 必须利 用理想的测量仪器或量具进行无误差的测量， 由此可以推 断， 真值实际上是无法得到的。
第2章 测量误差理论与数据处理
2. 满足规定准确度要求， 用来代替真值使用的量值称为实 际值(记为A)或叫约定真值。 由于真值是无法绝对得到的， 在误差计算中， 常常用一定等级的计量标准作为实际值来代 替真值。 实际测量中， 不可能都与国家计量标准相比对， 所以国家通过一系列的各级实物计量标准构成量值传递网， 把国家标准所体现的计量单位逐级比较传递到日常工作仪器 或量具上去。
在一般测量工作中， 只要按规定的要求， 达到误差 可以忽略不计， 就可以认为该值接近于真值， 并用它来 代替真值。 除了实际值以外， 还可以用已修正过的多次 测量值的算术平均值来代替真值使用。
第2章 测量误差理论与数据处理
(2) 修正值： 与绝对误差的绝对值大小相等， 但符
号相反的量值， 称为修正值， 用C表示，
常还要标出它的误差范围或准确度等级。 例如某电阻的标
称值为1 kΩ， 误差为±1%， 即意味着该电阻的实际值在
990 Ω到1010 Ω之间；某信号发生器频率刻度的工作误差小
于且等于±1%±1 Hz， 如果在额定条件下该仪器频率刻度
是100 Hz
而实际值是
100±100×1%±1 Hz， 即实际值在98到102之间。