最大值和最小值定理定义

于是,得到连续性的等价定义
注意 等价定义如下
x 0
(1)
( 2)
lim [ f ( x0 x ) f ( x0 )] 0
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
(3) 对 0， 0， 当 x x0 时， 有 f ( x) f ( x0 )
ln(1 3x ) lim f ( x ) lim [ a ( x 1 )] x 0 x 0 tan x
3x lim lim a( x 1) 3 a x 0 x x 0 而 f (0) b. 根据函数连续的定义知
3 a 0 , b 0 从 而 得 a 3, b 0
并称 x0 为 f ( x ) 的连续点
反之,称函数在x0 处间断,
且将x0 叫作函数的间断点
因为
y f ( x0 x) f ( x0 ) 故由
x 0
x 0
lim y 0
可推得 lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 或
x 0
lim f ( x ) f ( x0 )
( 4) 若 f ( x ) 在x0附近满足：
1) f ( x ) 在 x0 的邻域（含 x0）有定义
2) l i m f ( x ),
x x0
x x0
lim f ( x) 都 存 在 ;
3) li m f ( x ) li m f ( x ) f ( x0 );
x x0 x x0
于是
x 0
lim y 0, 由 x 的任意性知
y sin x 在 ( , ) 内 连 续 .
同法可以证明 y
cos x 在 (,) 内也连续
x 2 x 1, x 0 例2 证明 f ( x ) 在 x 0 连续. x0 sin x 1, 证 因为 lim f ( x ) 1, lim f ( x ) 1, 且 f (0) 1
且断开的形式是多种多样的.
. 例1 证明 y sin x 在 (, ) 内连续 证 设 x 是 ( , ) 内任一点 , 当 x 有 增 量x 时 ， 相应的函数增量为 x x y sin(x x ) sin x 2 sin cos( x ) 2 2 x cos( x ) 1, 2 x x y 2 sin 2 x 2 2
且在点 x a右连续， 若f ( x ) 在(a, b)内连续，
在点x b左连续，
. 则称f ( x ) 在闭区间 [a, b]上 连 续
连续函数的几何意义: 若y f ( x) 在 [ a, b]上连续, 则对应于函数的图形(曲线) 是连续不断的, 若在 x0处 f ( x) 不连续, 则图形在 x0 必断开,
x 0
x 0
因此 f ( x ) 在 x 0 连续.
例3
1 2 x sin x , x0 sin x 设 f ( x ) b, x0 ln(1 3 x ) a( x 1), x 0 tan x
函数 f ( x ) 在 x 0 连续 问 a , b 为何值时， 1 2 x sin x 1 x 解 lim f ( x ) lim lim lim x sin 0 x 0 x 0 x 0 sin x x 0 sin x x
f ( x0 x)
f ( x0 )
注意
y
x
(1) 增量可正、可负、可为 零；
(2) y 为整体符号 .
0
x0 x0 x
且 随x的 变 化 而 变 化
二.函数连续的定义
定义1
设函数 y f ( x) 在点 x0 的
某邻域内有定义，
若
x 0
lim y 0
则称函数 y f ( x) 在点 x0 是连续的，
三、间断点
定义3
若 f ( x) 在点x0不连续， 则点x0称为f ( x) 的间断点 .
即函数 f ( x) 在点 x0 有下列三种情况之一出 现，
则点 x0称为函数 f ( x) 的间断点: (1) 在点 x0附近有定义， 但在点 x0处无定义；
0
(2) 在点 x0处虽有定义，
x0

0
但 lim f ( x)不存在；
第六节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性
增量 设函数 y f ( x) 在点 x0 的某邻域内有定义，
称为自变量的增量 . 用 x 表示自变量的变化，
若 x从x0变到x0 x , 则 y从f ( x 0 )变 到f ( x 0 x ),
y f ( x0 x ) f ( x0 ) 为函 数 y f ( x ) 的增 量
xx0
x0
xx0
(3) 在点 x0处有定义，且 lim f ( x)存在，
但 lim f ( x) f ( x0 )；
xx0
间断点分类
但 f ( x ) 和 f ( x , (1) 若 源自文库 ( x) 在点 x0间断， 0 0 ) 都存在 则称x0为 f ( x)的第一类间断点；
若x0为 f ( x )的第一类间断点，
且 lim f ( x )存在， 则称x0为 f ( x)的可去间断点；
(2) 若 f ( x0 ) 和 f ( x0 ) 中至少有一个不存在 ,
x x0
则称x0为 f ( x)的第二类间断点； 1, x 0 例4 y sgn( x) 0, x 0 , 则 x 0 为第一类间断点； 1, x 0
则称 f ( x ) 在x0 连 续
定义2
若 lim f ( x ) f ( x0 )，
x x0
则称f ( x ) 在x0左连续 .
若 lim f ( x ) f ( x0 )，
x x0
则称f ( x ) 在x0右连续 .
若f ( x ) 在开区间 (a, b)内每一点连续，
则 称f ( x ) 在(a, b)内 连 续 。