大连理工大学连续介质力学作业(第一章)
连续介质力学讲义
时间和空间是运动物体的客观存在形式，离开空间和时间来讨论物体的存在和运动是没 有意义的。空间表示物体的形状、大小和相互位置的关系；时间表示物体运动过程的顺序。
标架：作为描写物体运动的基准——时空系，称为标架。 位置变化是可逆的；时间变化是不可逆的。 但在讨论一些理想化的可逆模型时，有时时间也理想化成可逆的。 时空系之间可转换。
第 1 章 绪论
1．物体
在某一确定的瞬时，物体具有一定的几何形状，并有一定的质量。同时物体还可具有 电磁、热容和变形等许多重要的性质。
物体由质点组成，质点占据非常小的确定的空间，具有非常小的确定的质量。 物体可以抽象成各种模型：如质点，刚体、弹塑性体、流体、颗粒体等；按几何性质还 可分为质点、一维的弦和杆、二维的板壳、三维的块体等。若干个物体可以形成集合，组成 系统。系统外的物体构成这个系统的环境或外界。
且不全为零）。
a2
例 2 位于同一平面内的三个矢量 a1 ，a2 ，a3 是线 性相关的，即总可找到α1 ,α 2 ,α 3 （不全为零）使
α1a1 + α2a2 + α3a3 = 0 如图 2.1.2 所示， a2 = α1′a1 + α3′a3 。
集合 R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空
间的维数。设 R 的维数为 n ，则记为 Rn ，欧氏空间为 R3 。
∑ ∑ r =
ξ a = (1) (1) ii
ξ a (2) (2) ii
（2.1.3）
因为
a (1) i
与
ai(
2)
间有确定的变换关系，因此，
ξ
(1) i
与
ξ
(2) i
间亦有确定的变换关系。
④ 空间的基往往与坐标系相关连，每一种坐标系有一个与之对应的确定的基，(2.1.2)
第一章连续体力学课后习题答案(doc X页)
第一章 连续体力学一、本章重难点1、刚体定轴转动的特点及描述刚体定轴转动的各个物理量。
理解线量与角量的关系。
2、力矩、转动动能、转动惯量、刚体定轴转动定理。
3、角动量，刚体定轴转动的角动量定律、角动量守恒定律4、应力、应变的概念，应变的几种形式5、理解应力与应变的关系，弹性模量6、流体、理想流体、流线和流管、定常流动7、流体的连续性方程、伯努利方程8、泊肃叶定律9、层流、湍流、雷诺数10、粘性流体的伯努利方程、斯托克斯定律11、弯曲液面的附加压强（球形液面、柱形液面） 12、毛细现象、润湿和不润湿现象、气体栓塞二、课后习题解答1-1、一飞轮直径为0.2m ，质量为5.00kg ，t 边缘饶一轻绳，现用恒力拉绳子的一端，使其有静止均匀地加速，经0.50s 转速达10转/s 。
假定飞轮可看作实心圆柱体。
求； （1） 飞轮的角加速度及在这段时间转过的转数 （2） 拉力及拉力所做的功（3） 从拉动后t=10s 时飞轮的角速度及边缘上一点的速度和切向加速度及发向速度。
解： ,/1058.1,/6.12,/126,/1026.1)3(3.4921212125232202s m r a s m r a s m r v s t J J J J A t n t t z z z ⨯======⨯====-=ωβωβωωωωτN m r F m r J rF M F r M n t s rad t t z z z 4.31212190,25.2221/6.125)1(20==∴===⇒=⨯===⇒===⇒=βββθπθβθωββω ）（转1-2、有一根长为l 、质量为m 的匀质细杆，两端各牢固的连接一个质量为m 的小球，整个系统可绕一过O 点并垂直于杆的水平轴无摩察的转动，如图。
当系统转到水平位置时，求： （1） 系统所受的和力矩 （2） 系统的转动惯量 （3） 系统的角加速度解： （1）设垂直纸面向里为z 轴的正方向（即力矩的正方向），合力矩为两小球及杆的重力矩之和。
材料力学性能大连理工大学课后思考题答案解读
第一章 单向静拉伸力学性能 一、 解释下列名词。
1弹性比功：金属材料吸收弹性变形功的能力，一般用金属开始塑性变形前单位体积吸收的最大弹性变形功表示。
2．滞弹性：金属材料在弹性范围内快速加载或卸载后，随时间延长产生附加弹性应变的现象称为滞弹性，也就是应变落后于应力的现象。
3．循环韧性：金属材料在交变载荷下吸收不可逆变形功的能力称为循环韧性。
4．包申格效应：金属材料经过预先加载产生少量塑性变形，卸载后再同向加载，规定残余伸长应力增加；反向加载，规定残余伸长应力降低的现象。
5．解理刻面：这种大致以晶粒大小为单位的解理面称为解理刻面。
6．塑性：金属材料断裂前发生不可逆永久（塑性）变形的能力。
韧性：指金属材料断裂前吸收塑性变形功和断裂功的能力。
7.解理台阶：当解理裂纹与螺型位错相遇时，便形成一个高度为b 的台阶。
8.河流花样：解理台阶沿裂纹前端滑动而相互汇合,同号台阶相互汇合长大,当汇合台阶高度足够大时,便成为河流花样。
是解理台阶的一种标志。
9.解理面：是金属材料在一定条件下，当外加正应力达到一定数值后，以极快速率沿一定晶体学平面产生的穿晶断裂，因与大理石断裂类似，故称此种晶体学平面为解理面。
10.穿晶断裂：穿晶断裂的裂纹穿过晶内，可以是韧性断裂，也可以是脆性断裂。
沿晶断裂：裂纹沿晶界扩展，多数是脆性断裂。
11.韧脆转变：具有一定韧性的金属材料当低于某一温度点时，冲击吸收功明显下降，断裂方式由原来的韧性断裂变为脆性断裂，这种现象称为韧脆转变12.弹性极限：试样加载后再卸裁，以不出现残留的永久变形为标准，材料能够完全弹性恢复的最高应力。
13.比例极限：应力—应变曲线上符合线性关系的最高应力。
14.解理断裂：沿一定的晶体学平面产生的快速穿晶断裂。
晶体学平面－－解理面，一般是低指数、表面能低的晶面。
15.解理面：在解理断裂中具有低指数，表面能低的晶体学平面。
16.静力韧度：材料在静拉伸时单位体积材料从变形到断裂所消耗的功叫做静力韧度。
材料力学性能大连理工大学课后思考题答案
第一章 单向静拉伸力学性能 一、 解释下列名词。
1弹性比功：金属材料吸收弹性变形功的能力，一般用金属开始塑性变形前单位体积吸收的最大弹性变形功表示。
2．滞弹性：金属材料在弹性范围内快速加载或卸载后，随时间延长产生附加弹性应变的现象称为滞弹性，也就是应变落后于应力的现象。
3．循环韧性：金属材料在交变载荷下吸收不可逆变形功的能力称为循环韧性。
4．包申格效应：金属材料经过预先加载产生少量塑性变形，卸载后再同向加载，规定残余伸长应力增加；反向加载，规定残余伸长应力降低的现象。
5．解理刻面：这种大致以晶粒大小为单位的解理面称为解理刻面。
6．塑性：金属材料断裂前发生不可逆永久（塑性）变形的能力。
韧性：指金属材料断裂前吸收塑性变形功和断裂功的能力。
7.解理台阶：当解理裂纹与螺型位错相遇时，便形成一个高度为b 的台阶。
8.河流花样：解理台阶沿裂纹前端滑动而相互汇合,同号台阶相互汇合长大,当汇合台阶高度足够大时,便成为河流花样。
是解理台阶的一种标志。
9.解理面：是金属材料在一定条件下，当外加正应力达到一定数值后，以极快速率沿一定晶体学平面产生的穿晶断裂，因与大理石断裂类似，故称此种晶体学平面为解理面。
10.穿晶断裂：穿晶断裂的裂纹穿过晶内，可以是韧性断裂，也可以是脆性断裂。
沿晶断裂：裂纹沿晶界扩展，多数是脆性断裂。
11.韧脆转变：具有一定韧性的金属材料当低于某一温度点时，冲击吸收功明显下降，断裂方式由原来的韧性断裂变为脆性断裂，这种现象称为韧脆转变12.弹性极限：试样加载后再卸裁，以不出现残留的永久变形为标准，材料能够完全弹性恢复的最高应力。
13.比例极限：应力—应变曲线上符合线性关系的最高应力。
14.解理断裂：沿一定的晶体学平面产生的快速穿晶断裂。
晶体学平面－－解理面，一般是低指数、表面能低的晶面。
15.解理面：在解理断裂中具有低指数，表面能低的晶体学平面。
16.静力韧度：材料在静拉伸时单位体积材料从变形到断裂所消耗的功叫做静力韧度。
连续介质力学作业(第一章参考答案)
(
)
5
x ⋅ S ⋅ x = xm g m ⋅ =
1 ij S − S ji g i g j ⋅ xn g n 2
(
)
1 ij S − S ji xm x n g m ⋅ g i g j ⋅ g n 2 1 = S ij − S ji xm xn δim δ n j 2 1 1 = S ij xi x j − S ji xi x j 2 2 1 1 = S ij xi x j − S ji x j xi 2 2 1 1 = S ij xi x j − S ij xi x j 2 2 =0
其他两个，同理可证。 (1)如果二阶张量 S 是反对称张量，对于任意一阶张量 x ，证明 x ⋅ S ⋅ x = 0 (2) S 是二阶反对称张量， A 是二阶对称张量，证明 A : S = 0
5.
¾
解答：
m
（1） x = xm g
因为二阶张量 S 是反对称张量
S=
1 ij S − S ji g i g j 2
(
)
(
)
（2） S = S g i g j ， A = Amn g g ，
ij m n ij A : S = S ij g i g j : Amn g m g n = S ij Amn δim δ n j = S Aij
S ij Aij = − S ji Aij = − S ji A ji = − S ij Aij
c） R ε g R = ε l 所以
T
1 ⎤ ⎥ 2 ⎥ ⎡1.6 ⎢ 3 ⎥⎣ 0 2 ⎥ ⎦
⎡ 0 ⎤⎢ ⎢ 2.3⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎣
3 2 1 2
1⎤ − ⎥ ⎡ 1.775 0.3031⎤ 2⎥ = ⎢ ⎥ 3 ⎥ ⎣0.3031 2.125 ⎦ 2 ⎥ ⎦
张量分析——精选推荐
《连续介质力学》例题和习题第一张、矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、 矢量代数令 11223A A A =++A e e e 112233B B B =++B e e e 则有 11223A A A αααα=++A e e e 11122233()()()A B A B A B +=+++++A B e ee 1122331122331122()()A A A B B B A B A B A B ∙=++∙++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 又因为 11⨯=e e 0 123⨯=e e e 132⨯=-e e e 213⨯=-e e e 22⨯=e e 0 231⨯=e e e 312⨯=e e e 321⨯=-e e e 33⨯=e e 0则 2332131132122(_)()()A B A B A B A B A B A B⨯=+-+-A B e e e习题1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯∙⨯⨯⨯=∙⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯∙⨯=∙⨯-∙⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 单位为正交的基矢量。
*补充知识：矩阵及矩阵运算1、定义：[]()111213212223313233,1,2,3ij A A A A A A A i j A AA ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦A i 表示行，j 表示列；m 和n 相等表示为方阵，称为m （或n ）阶矩阵。
大连理工大学2020年春季《工程力学（一）》在线作业1附标准答案
大连理工大学2020年春季《工程力学（一）》在线作业1附标准答案大连理工大学2020年春季《工程力学（一）》在线作业1附标准答案试卷总分:100 22196320一、单选题 (共 8 道试题,共 40 分)1.受扭空心圆轴横截面上切应力最大处为（）。
A.外边缘B.内边缘C.圆心D.以上均不对正确答案:A2.下列哪个现象不是低碳钢材料拉伸试验出现的现象（）。
A.屈服B.强化C.颈缩D.斜截面拉断正确答案:D3.下列关于力偶性质的说法中，表述不正确的是（）。
A.力偶无合力B.力偶对其作用面上任意点之矩均相等，与矩心位置无关C.若力偶矩的大小和转动方向不变，可同时改变力的大小和力臂的长度，作用效果不变D.改变力偶在其作用面内的位置，将改变它对物体的作用效果正确答案:D4.平面汇交力系平衡的（）条件是力系的合力为零。
A.必要与充分B.必要C.充分D.几何正确答案:A5.极限应力与安全系数的比值称为（）。
A.许用应力B.最大应力C.强度D.刚度正确答案:A6.约束对非自由体的作用力，称为（）。
A.主动力B.被动力C.约束D.约束反力正确答案:D7.主动力的合力作用线在摩擦角范围内，物体始终保持静止，与主动力大小无关的现象称为（）。
B.自锁C.摩擦角D.摩擦锥正确答案:B8.刚体在两个外力作用下平衡的（）条件为此二力等值、反向、共线。
A.充要B.充分C.必要D.以上均不对正确答案:A二、多选题 (共 4 道试题,共 20 分)1.刚体在两个力作用下保持平衡的必要与充分条件是：此二力（）。
A.等值B.反向C.同向D.共线正确答案:ABD2.力是物体间的相互作用，是使物体的运动状态发生改变或引起物体变形的原因。
力的三要素包括（）。
A.大小B.方向D.单位正确答案:ABC3.若要满足切应力互等定理，则两个相互垂直平面上垂直于平面交线的切应力应（）。
A.大小相等B.大小不等C.方向同时指向（或背离）两个相互垂直平面的交线D.方向任意正确答案:AC4.作用于结构的外力统称为荷载。
大连理工流体力学
基本概念或结论：
绝对压 －以绝对零压（绝对真空）为起点
所计算的压强。 相对压强（表压）
－以大气压为起点所计算的压强。 真空度
－大气压与绝对压之差。
基本概念或结论：
静止态不可压缩流体内部任一处流体的 “位势能”与“压强势能”可以相互转 换，但“总势能”不变。
压强随深度作线性增加。 压强可传递，内部压强随自由表面上压
流体的易流动性
定义：流体是能流动的物质。 力学特征：施与微小剪切力就能使流
体发生连续变形。
易流动性是流体的特性之一。分 子结构特点及分子间作用力小决定了 它的这一特性。
流体的压缩性
➢ 流体在一定温度下，体积随压强增大 而缩小的特性称为流体的压缩性。
➢ 一定温度下,压强越高，气体体积压缩 系数越小；随着压强的增大，气体的 可压缩性减弱。
本章主要介绍流体动力学的基本知识，推 导出流体动力学中的几个重要的基本方程：连 续性方程、柏努利方程、动量方程和能量方程 等，这些方程是分析流体流动问题的基础。
第四章 流体动力学分析基础
4.1系统与控制体
控制体－流场中某个确定的空间区域，其界 面为控制面，其大小形状可任意选定。控制 体一经选定，其位置就相对固定了下来。
化与控制体内流体参数变化之间关系。
系统与控制体的对比与关联
系统 系统
系控统制体 系 统
系统位置随运动而改变，可能与控制位置重叠
第四章 流体动力学分析基础
4.2雷诺运输定理
雷诺运输方程－揭示系统内流体参数变 化与控制体内流体参数变化之间关系。
系统与控制体的对比与关联
系统 系统
系控统制体 系 统
流体力学总复习
第一章 流体及其物理性质
重点内容：流体的易流动性、压缩性、粘滞性；
连续介质力学-例题与习题
《连续介质力学》例题和习题第一章 矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、矢量代数令112233A A A =++A e e e ,112233B B B =++B e e e ,则有112233A A A αααα=++A e e e111222333()()()A B A B A B +=+++++A B e e e112233112233112233()()A A A B B B A B A B A B •=++•++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e又因为: 11⨯=e e 0;123⨯=e e e ;132⨯=-e e e ;213⨯=-e e e ;22⨯=e e 0;231⨯=e e e ; 312⨯=e e e ;321⨯=-e e e ;33⨯=e e 0则: 233213113212213(_)()()A B A B A B A B A B A B ⨯=+-+-A B e e e 习题:1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯•⨯⨯⨯=•⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯•⨯=•⨯-•⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 为单位正交基矢量。
3、试判断[]816549782-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵[]1-A 。
二、张量代数例1：令T 是一个张量，其使得矢量a ，b 经其变换后变为2=+Ta a b ，=-Tb a b ，假定一个矢量2=+c a b ，求Tc 。
大连理工大学《工程力学（一）》在线作业附标准答案（1）
7.惯性矩是面积对轴的（）。
A.一次矩
B.二次矩
C.三次矩
D.四次矩
正确答案:B
8.无论实际挤压面为何种形状，构件的计算挤压面皆应视为（ ）。
A.圆柱面
B.原有形状
C.平面
D.圆平面
正确答案:C
二、 多选题 (共 4 道试题,共 20 分)
1.对于宽翼缘梁的腹板和其他短梁以及抗剪能力差的梁，设计时应考虑（）。
大连理工大学《工程力学（一）》在线作业附标准答案（1）
大连理工大学《工程力学（一）》在线作业附标准答案
试卷总分:100 得分:100
一、 单选题 (共 8 道试题,共 40 分)
1.平面图形对通过其形心轴的静矩（）。
A.一定不为零
B.可能不为零
C.恒等于零
D.为任意值
正确答案:C
2.关于主平面及主平面上的应力，下列选项不正确的是（ ）。
A.错误
B.正确
正确答案:B
3.若两梁的跨度、荷载和支撑相同，但横截面面积不同，则两梁的剪力图和弯矩图不一定相同。
A.错误
B.正确
正确答案:A
4.杆件受力弯曲后，其变形特点是：轴线弯曲，横截面绕轴线转动。
A.错误
B.正确
正确答案:B
5.通常情况下，在绘制几种简单荷载共同作
A.正应力强度条件
B.剪应力强度条件
C.正应力刚度条件
D.剪应力刚度条件
正确答案:AB
2.求梁变形的目的有（）。
A.解决梁的刚度问题
B.为求解静不定梁作准备
C.为研究压杆稳定问题提供必要的理论基础
D.求解梁的强度问题
正确答案:ABC
3.挠曲线是变形后的梁轴线，它是一条（）的曲线。
大连理工大学大学物理作业及答案详解1-22
大连理工大学大学物理作业及答案详解作业1 （静电场一）1．关于电场强度定义式，下列说法中哪个是正确的？[ ]A ．场强E的大小与试探电荷0q 的大小成反比。
B ．对场中某点，试探电荷受力F与0q 的比值不因0q 而变。
C ．试探电荷受力F 的方向就是场强E的方向。
D ．若场中某点不放试探电荷0q ，则0F = ，从而0E =。
答案： 【B 】[解]定义。
场强的大小只与产生电场的电荷以及场点有关，与试验电荷无关，A 错；如果试验电荷是负电荷，则试验电荷受的库仑力的方向与电场强度方向相反，C 错；电荷产生的电场强度是一种客观存在的物质，不因试验电荷的有无而改变，D 错；试验电荷所受的库仑力与试验电荷的比值就是电场强度，与试验电荷无关，B 正确。
2．一个质子，在电场力作用下从A 点经C 点运动到B 点，其运动轨迹如图所示，已知质点运动的速率是递增的，下面关于C 点场强方向的四个图示哪个正确？[ ]答案： 【D 】[解]a m E q=，质子带正电且沿曲线作加速运动，有向心加速度和切线加速度。
存在向心加速度，即有向心力，指向运动曲线弯屈的方向，因此质子受到的库仑力有指向曲线弯屈方向的分量，而库仑力与电场强度方向平行（相同或相反），因此A 和B 错；质子沿曲线ACB 运动，而且是加速运动，所以质子受到的库仑力还有一个沿ACB 方向的分量（在C 点是沿右上方），而质子带正电荷，库仑力与电场强度方向相同，所以，C 错，D 正确。
3．带电量均为q +的两个点电荷分别位于X 轴上的a +和a -位置，如图所示，则Y 轴上各点电场强度的表示式为E= ，场强最大值的位置在y = 。
答案：j y a qyE 23220)(2+=πε，2/a y ±= [解]21E E += )(422021y a qE E +==πε关于y 轴对称：θcos 2,01E E E y x ==y a qyE y 23220)(2+==∴πε沿y 轴正向的场强最大处0=dydEy y a y y a dy dE 2)(23)(25222322⨯+-+∝-- 2/a y = 2/a y ±=处电场最强。
第一章2连续介质力学
⎡e1′ ⋅ e1 M = ⎢⎢e′2 ⋅ e1
⎢⎣e3′ ⋅ e1
e1′ ⋅ e2 e′2 ⋅ e2 e3′ ⋅ e2
e1′ ⋅ e3 ⎤ ⎡cos(e1′，e1 )
e′2
⋅
e3
⎥ ⎥
=
⎢⎢cos(e′2，e1
)
e3′ ⋅ e3 ⎥⎦ ⎢⎣cos(e3′，e1 )
cos(e1′，e2 ) cos(e′2，e2 ) cos(e3′，e2 )
A
A
A
J′ = MJMT
例1.26 证明： ∇v 是二阶张量。
解：
∇v
=
ei
∂ ∂xi
(v je j )
=
v j，i ei e j
xi = M mi xm′
∂xi ∂xm′
= M mi
vn′ = M nj v j
∂vn′ ∂xm′
= ∂vn′ ∂xi
∂xi ∂xm′
=
∂(Mnjvj ∂xi
)
Mmi
cos(e1′，e3 )⎤ cos(e′2，e3 )⎥⎥ cos(e3′，e3 )⎥⎦
b = (e1′ e′2 e3′ ) b′ = (e1 e2 e3 ) b b = (e1′ e′2 e3′ ) b′ = (e1 e2 e3 ) MT b′ = (e1 e2 e3 ) b
b = MTb′
b′ = Mb
定义：基矢量ei和ej可作并积，而形成二阶单位并矢量eiej
∇v = 2x1e1e1 + x2e1e2 + 4x2e2e1 + (x1 + 2x2 )e2e2
∇v = (e1
e2 )⎢⎣⎡42xx12
x2 ⎤ ⎡e1 ⎤
连续介质力学作业(第一章)答案
连续介质力学作业（第一章）习题1. 向量~~~~k z j y i x a ++=。
~i ，~j ，~k 表示三维空间中标准正交基。
给定一组协变基~~12i g =，~~~2j i g +=，~~~3k j g +=。
（1）求逆变基1g ，2g ，3g 。
（2）求ij g（3）向量~a 参考逆变基~1g ，~2g ，~3g 表示时，~~i i g a a =，求i a 。
（1）[]222~~~~~~~~~3~2~1= +•= +• +×=• ×=k j k k j j i i g g g g+−=+× += ×=~~~~~~~~3~2~121211i j k k j j i g g g g~~~~~~1~3~22211j k i k j g g g g +−= × += ×=~~~~~2~1~32211k j i i g g gg =+×= ×=(2) g ij =gg ii ⋅gg jj �g ij �=�3/4−11/2−12−11/2−11�(3)a i =aa ⋅gg ii a 1=2x,a 2=x +y,a 3=y +z2. 已知笛卡尔坐标系331e e e ,,，一个新的坐标系定义为−−−= ′′′32132161312161312162310e e e e e e 向量321e e e x 321x x x ++=，给定函数2321x x )f(−=x 。
（1） 求函数f 的梯度）（f grad（2） 求向量x 参考新坐标系的表示形式i ′′=e x i x（3） 求函数f 在新的坐标系下的表达形式),,(321′′′′x x x f （4） 判断）（f grad 的客观性。
3. 二维情况下，一质点应力张量σ主值6.11=σλ，3.22=σλ。
主方向2112123e e N −=，2122321e e N +=。
连续介质力学1d
G gi
G g
j
G ...g
k
G g
l
=
T ...kl ij...
G g
i
G g
j
G ...gk
G gl
论
张 量 复 习
散 度 旋
右左散 散度 度张量∇TG的⋅⋅T∇G散==度gG∂∂s：xT⋅Gs∂∂x⋅TGgsG
= T s
... ks
ij... ;s
=
∇
sT
sj... ...kl
G g G g
i j
左、右梯度均为n+1阶张量,一般是两个不同的张量
张 量 复
仅对标量场有ϕ∇ = ∇ϕ
G
G
对矢量场有 F∇ = (∇F )T
习
•张量场的微分:
GG GG G
梯
dT = (T∇) ⋅ dx = dx ⋅ (∇T ) (1.102)
度 以上运算均涉及张量场对坐标的偏导数—协变导数
8
—
3)协变导数的G 定义
Γ ij ,l
= Γijk gkl
=
∂g j ∂xi
⋅
G g
k
g
kl
=
∂g j ∂xi
G ⋅ gl
=
∂
2
G x
∂xi∂x j
G ⋅ gl
(1.92)
复 习
∴ Γij,l = Γ ji,l
(1.93)
—
张 量 的
Γ ij ,l
=
1 2
(
∂g ∂x
il j
+
∂g jl ∂xi
−
∂g ij ∂xl
)
(1.94)
第 一 章
连续介质力学习题一
1 / 1 连续介质力学习题一一、张量复习1-1 已知k j i ,,为直角坐标系的基矢量，某斜角坐标系的协变基矢为j i g k i g k j g +=+=+=321,,，（1）求逆变基矢321,,g g g （用k j i ,.,表示）；（2）求度量张量ij g ；（3）验证公式i ij j g g g =；（4）有两个矢量：,32321g g g u -+=321g g g v +-=，求v u ,的协变分量i i v u ,及两矢量点积v u ⋅。
1-2 球坐标系，令ϕθ===321,,x x R x ，求该坐标系的2,,,,ds g g g g ij ij j i 。
1-3 设有一抛物柱面坐标系(由两族抛物柱面及平面构成),令ςηξ===321,,x x x ，若已知抛物柱面坐标系与直角坐标系的关系为：ςξηξη-==-=z y x ,),(2122，设 321,,i i i 为直角坐标系的基矢量，试求抛物柱面坐标系的协变基矢和逆变基矢及度量张量(用直角坐标系的基矢量表示)。
1-4 设T 为二阶对称张量，S 为二阶反对称张量，u 为任意矢量，试证明：（1）u T T u ⋅=⋅；（2）u S S u ⋅-=⋅。
1-5 设T 为二阶对称张量，设S 为二阶反对称张量，求证：0:=S T 。
1-6 设S T ,为任意二阶张量，**,S T 为它们的转置，求证：*:**:*::T S S T T S S T ===。
1-7 证明：（1）*)(*)(11--=T T ；（2）对称张量的逆也对称；（3）111)(---⋅=⋅A B B A 。
1-8 设)(),(x v x u 为光滑矢量场，试证：（1）v u v u v u ⋅∇⨯-∇⨯⋅=∇⋅⨯)()()( ；（2）v u v u v u v u v u )()()()()(∇⋅-⋅∇+∇⋅-⋅∇=⨯⨯∇ 。
1-9 证明：对二阶对称张量N ，有N N ⋅∇=∇⋅。
大连理工大学大学物理一作业答案详解1~24
作业11．g R t /2=（R 为圆环的半径）与θ角无关，质点沿任何弦下滑所用的时间都一样。
2．0v =G ；12sin(2)v v a t vθ∆=⋅∆∆GG 。
3．（1）(1)29v t s i j ==+G G G ；（2）21239r r v i j t −==+∆G G G G G ，2136v v a j t −==∆G G G G 。
4．质点A 运动的轨道方程为 3182y x =−，直线；质点B 运动的轨道方程为 29417x y −=，抛物线；质点C 运动的轨道方程为 1622=+y x ，圆； 质点D 运动的轨道方程为 16522=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛y x ，椭圆.。
5．（1）s t 1=、s t 2=时刻的速度和加速度分别为(1s)3(m/s)v t ==，2(1)3(m/s )a t s ==−(2s)6(m/s)v t ==−，2(2)15(m/s )a t s ==−；（2）第2秒内质点的平均加速度为第2秒内质点的平均加速度为2(2s)(1s)9(m/s )v t v t a t=−===−∆第2秒内质点所通过的路程为[( 1.5s (1s))][( 1.5s)(2s)] 2.25(m)S y t y t y t y t ==−=+=−==。
6． （1）火箭的速度函数为 d ln(1)d x v u bt t ==−−；火箭的加速度函数为 d d 1v uba t bt==−； （2）(0s)0v t == 31(100) 4.1610ms v t s −==×；（3）2(0)22.5ms a t s −== 2(100)90ms a t s −==；7. （1) 质点的运动轨道 82+=x y (轨道曲线略)；(2) m j i r G G G 1221+=,m j i r G G G 2442+=；2182−+=ms j i v G G G,22162−+=ms j i v G G G ；2218−==ms j a a G GG .8. n a 增大，t a 不变，a 增大；tn a a=αtan ，由于n a 增大，t a 不变，所以α增大。
大连理工大学连续介质力学作业(第一章)
连续介质力学作业-----1
1.给定一组协变基矢量
(1)求逆变基
(2)求
(3)在上述协变基下，若的逆变分量为，求的协变分量解：
(1)
(2)
(3)
2.已知笛卡尔坐标系，一个新的坐标系定义为：
向量，给定函数
(1)求函数的梯度
(2)求向量参考新坐标系的表示形式
(3)求函数在新坐标系下的表达形式
(4)判断的客观性
解：
(1)
(2)
(3)
(4)
其中，故具有张量的客观性。
(#)
3.二维情况下，一质点应力张量主值。
主方向，。
应变张量主值，主方向与应力张量相同。
为平面直
角坐标系的单位基矢量。
(1)以,为基，计算该质点处应变能密度
(2)求,使得
(3)求,使得
(4)以为基，计算该质点处的应变能密度
(5)计算的球应力张量和偏应力张量，并计算偏应力张量的主值和方向解：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4. 是二阶张量，证明：
证明：
将张量按照标准正交基分解有：
(#)
5(1) 如果二阶张量是反对称张量，对于任意一阶张量，证明
(2) 是二阶反对称张量，是二阶对称张量，证明
证明：
(1)
故对于任意，均有
(2)。
大学物理知识总结习题答案(第一章)
, 带入已知数据，解得
1-10 下面是一个测定农药、叶肥等液体黏滞系数的简易方法。在 一个宽大玻璃容器底部连接一根水平的细玻璃管，测定单位时间内由细 管流出的液体质量即可知h 。若已知细管内直径d=0.1cm，细管长l＝ 10cm，容器内液面高h=5cm，液体密度为1.9×103kg·m－3，测得1min内 自细管流出的液体质量m=0.66×10-3kg，问该液体的h为多少？
1-7 在自然界中经常会发现一种现象，在傍晚时地面是干燥的，而 在清晨时地面却变得湿润了。试解释这种现象的成因。
答：根据对毛细现象的物理分析可知，由于水的表面张力系数与温 度有关，毛细水上升的高度会随着温度的变化而变化，温度越低，毛细 水上升的高度越高。在白天，由于日照的原因，土壤表面的温度较高， 土壤表面的水分一方面蒸发加快，另一方面土壤颗粒之间的毛细水会因 温度升高而下降，这两方面的原因使土壤表层变得干燥。相反，在夜 间，土壤表面的温度较低，而土壤深层的温度变化不大，使得土壤颗粒 间的毛细水上升；另一方面，空气中的水汽也会因为温度下降而凝结， 从而使得清晨时土壤表层变得较为湿润。
解：若钢丝绳的半径为，绳内部某截面上的应力s 为 设钢的弹性极限为，则达到拉伸极限时
由此解出
钢丝绳的最小直径为
1-2 某人的一条腿骨长为0.4m，横截面积平均为5×10-4m2。用此骨支 承整个体重（相当 500N的力），其长度缩短多少？占原长的百分之 几？（骨的杨氏模量按1×1010N·m-2计算）
解：根据表面张力的定义可知，在长为的液面上作用的表面张力为 当将金属细圆环从液面缓慢拉出时，将沿圆环拉出一个环形的液膜。由 于液膜有两个与空气接触的表面，因此，金属细圆环内外均受到液体表 面张力的作用。拉出圆环时，外力与表面张力相平衡，即
连续介质力学作业必做题参考答案
2-12
& 0 k 0 r L = 0 0 0 0
0 0 0
0 & r k0 D= 2 0
r
=−
2 27 = 318 81
(3)ν , µ 两方向上直角的改变量 γ νµபைடு நூலகம்
r X 2 物质速度 V = 2 X 0
2-6
0 r 3 + X 3 t X 2 − X 3 −t e − e 空间速度 v = x 2 2 x 2 + X 3 t X 2 − X 3 −t e + e 2 2
2 0 − 2 0 0 0 r r ，小转动 Ω = 0 0 1 ，小转动张量的 e= 0 2 1 − 2 1 0 0 − 1 0
− 1 反偶矢量为 ω = 0 0
r
(2)ν 方向上的线应变 eνν
r r
2 1 + k 0 0 r r rT 0 , B = F ⋅ F = k 0 0 1
k0 1 0
0 0 1
2 2 C B C I 1C = I 1B = 3 + k 0 , I 2 = I 2 = 3 + k 0 , I 3 = I 3B = 1
2-4
(1)小应变
0 r 2 格朗日加速度场 A = 2 X 6 X 3 (1 + t ) r D= − 0 0 0 A 3 2 3 − 2 − A 0 r A , W = 0 − 3 A −A 2 3 A 2 9 0 − A 2 9 A 0 2 0
连续介质力学-
连续介质力学1、连续介质力学作业〔第二章〕习题连续介质力学作业〔第二章〕习题1、初始构型和当前构型的转换关系：211X22Xx+=，212XX22x+=，33Xx=其中()321,,XXX为一个物质点在初始构型上的坐标，()321,,xxx为同一个物质点在当前构型上的坐标。
参考基是~3~2~1,,eee标准正交基求：〔1〕变形梯度F〔2〕右Cauchy-Green变形张量C〔3〕Green变形张量E〔4〕初始构型上一向量~33~22~11~eXeXeXX++=，变形后在当前构型上是~x，证明~~~~XCXxx??=?和()~~~~~~2XEXXXxx??=〔5〕左Cauchy-Green变形张量b〔6〕Almans2、i变形张量A2、一个连续体内的任意一点，初始时刻坐标为()YX,，经过t时刻后，变为()yx,，其中：atYXx+=，Yy=，其中a是常数。
求：〔1〕变形梯度F〔2〕Green变形张量E〔3〕速度梯度L〔4〕变形张量率?ε〔5〕Green应变速率?E3、证明：〔1〕若B为客观张量，证明2B，nB是客观张量。
〔2〕若M、N为客观张量，证明NM?是客观张量。
4、横截面为圆形的杆，单轴拉伸，拉力为~P，初始长度L，半径R；当前长度l，半径r。
如图：初始时刻坐标为()ZYX,,，经过t时刻后，变为()zyx,,。
Xx1λ=Yy2λ=Zz3λ=其中Ll=1λRr==32λλ求：〔1〕R，F，U，V〔2〕C，E，b，3、A〔3〕验证：当1λ，2λ，3λ趋近于1的时候，E和A近似相等〔4〕L 〔5〕?E，?ε〔6〕Cauchy应力σ，2ndP-K应力S，1stP-K应力P〔7〕验证dVFPdVESdvVVv∫∫∫==:::εσ~Plr~PLRxzy5、匀称拉杆受轴向拉力，拉力同时也随杆一起转动。
考虑二维状况，取笛卡尔坐标系，初始水平状态，x方向轴向应力k，逆时针旋转，转速为ω，经过t时刻后。
求：〔1〕还是参考笛卡尔坐标系，求Cauchy应力σ〔2〕?σ〔3〕速度梯度L〔4〕?ε〔5〕Cauchy应力的Jaumann速率JC?σ可验证：?ε为0时，?σ不为0，不能直接建立二者之间的本构关系。
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连续介质力学作业-----1
1.给定一组协变基矢量
(1)求逆变基
(2)求
(3)在上述协变基下，若的逆变分量为，求的协变分量解：
(1)
(2)
(3)
2.已知笛卡尔坐标系，一个新的坐标系定义为：
向量，给定函数
(1)求函数的梯度
(2)求向量参考新坐标系的表示形式
(3)求函数在新坐标系下的表达形式
(4)判断的客观性
解：
(1)
(2)
(3)
(4)
其中，故具有张量的客观性。
(#)
3.二维情况下，一质点应力张量主值。
主方向，。
应变张量主值，主方向与应力张量相同。
为平面直
角坐标系的单位基矢量。
(1)以,为基，计算该质点处应变能密度
(2)求,使得
(3)求,使得
(4)以为基，计算该质点处的应变能密度
(5)计算的球应力张量和偏应力张量，并计算偏应力张量的主值和方向解：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4. 是二阶张量，证明：
证明：
将张量按照标准正交基分解有：
(#)
5(1) 如果二阶张量是反对称张量，对于任意一阶张量，证明
(2) 是二阶反对称张量，是二阶对称张量，证明
证明：
(1)
故对于任意，均有
(2)。