流体力学势流理论

c1
x2
(y
1 )2 2c1
1 4c12
图6-8（b）
流线：圆心在ｙ轴上，与x轴相切的一组圆， 等势线：圆心在ｘ轴上，与ｙ轴相切的一组圆。
注意： 偶极子和轴线的方向
轴线：源和汇所在的直线
方向：由汇指向源的方向
图6-8（b）
偶极子的方向
为ｘ轴负向
四、点涡（环流）
点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡， 方向垂直于xoy平面，与xoy平面的交点
vs 2 r
vr 0
涡索旋涡强 度的两倍
所求速度的点到 点涡的距离
势函数
d
vr dr
vsrd
2
d
流函数
d
vsdr
vr rd
2 r
dr
2
ln r 2
流线：ψ＝const 同心圆 Γ＞０对应于反时针的转动 Γ＜０对应于顺时针的涡旋
§6－3 绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理 绕圆柱体的无环量流动：无界流场中均匀流和偶
B(D) C, 速度减小， C ,速度增加
三 柱面上的压力分布:
定常，不计质量力的拉格朗日积分式为:
p
V 2
2
p0
V02
2
Vr 0
V 2V0 sin
V 2V0 sin
无穷远均匀流中压力
p
p0
V02
2
(1
4 sin 2
)
压力系数:
Cp
p p0
1 2
V02
圆柱体上：Cp 1 4sin42
ｙ=const，流函数等值 线（流线）
ｘ＝const，等势线 两组等值线相互正交
v0 v0 y
v0
v0
v0 y
v0
平板
平行平壁间的流动 薄平板的均匀纵向绕流
二、源或汇
流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，
Vr=f(r)， V = 0 2πrVr ＝Ｑ
∴ Vr＝Ｑ/2πr
直角坐标系：
Vx
V0
cos (1
r02 r2
)
V
1 r
V0 sin (1
r02 r2
)
二、圆柱表面的速度分布
流场速度分布
Vr
V0
cos (1
r02 r2
)
圆柱表面的速度分布
r r0 Vr 0 V 2V0 sin
V
V0 sin (1
r02 r2
)
Ａ、Ｃ： 0,
A,C为驻点！
Vr 0
V 0
Ｂ、Ｄ：
圆柱面上的压力分布
压力分布既对称于ｘ轴 也对称于ｙ轴。
Cp 1 4sin42
在Ａ，Ｃ两点压力最大 在Ｂ，Ｄ两点压力最小
？讨论： 零流线上的压力变化
？讨论： 零流线上的压力变化
p
V 2
2
p0
V02
2
A, 速度减小，A B(D), 速度增加 B(D) C, 速度减小， C ,速度增加
x
y
Vy
y
x
极坐标：
Vr
r
s
1 r
Vs
s
1 r
r
d
(
r
dr
d )
Vr dr rVsd
Q
2 r
dr
d
(
r
dr
d )
VsdrrVrd
Q
2
d
源自文库
Q 2
ln
r
Q 2
y
s( )
r d
x
Q 2
ln
r
Q 2
流线为θ＝const，为原点引出的一组射线
等势线为ｒ＝const，为同心圆。
流线和等势线相互正交。
r1
这一流动的极限状态称为偶极子，
A(r, )
r r2
Ｍ为偶极矩。
r2
1
2
Q B x C Q x
用迭加法求势函数φ
1
2
Q
2
(ln
r1
ln
r2 )
M cos 2 r
M 2
x x2 y2
y A(r, )
r1
r r2
r2
1
2
Q B x C Q x
流函数
1 2
Q
2
(1
2)
Q
2
( )
当Ｑ＞０，则 Vｒ＞０为点源，反之为点汇。
对于扩大（收缩）流道中理想流体的流动， 可以用源（汇）的速度势来描述。
A o
C
B
v
Q ln r 2
v
D
三、偶极子
定义 无界流场中等流量的源和汇 无限靠近，当间距δx→０时，流 量Ｑ→∞，使得两者之积趋于一
y
个有限数值，即：
x Ｑδx→Ｍ （δx→０）
V0rcos
Mcos 2 r
M 2V0r02
V0
cos (r
r02 r
)
Vr
r
V0
cos (1
r02 ) r2
V
1 r
V0 sin (1
r02 r2
)
V0
ｒ→∞
Vr V0 cos V V0 sin
Vr
V
结论：
均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环量流动
V0
cos (r
r02 r
)
Vr
r
第六章 势流理论
本章主要研究内容：
1.理想流体平面绕流问题（平面势流） 2.几种最简单的势流 3.绕圆柱体的无环流流动 4.绕圆柱体的有环流流动
5.附加惯性力与附加质量
§６-1 几种简单的平面势流 平面流动（或称二元流动）应满足的条件： • 平面上任何一点的速度和加速度都平行于所
在平面，无垂直于该平面的分量；
• 与该平面相平行的所有其它平面上的流动 情况完全相同。
图 6－1
一、均匀流
Vｘ＝Vo， Vy＝０
(1)势函数
d
x
dx
y
dy
Vxdx
Vy dy
V0dx
V0 x C
V0 x
(2)流函数
d
x
dx
y
dy
Vydx
Vx dy
Vody
V0 y
令 V0 y c y const. 令 V0 x c x const.
边界条件的验证
近场边界条件
1
2
V0rcos
Mcos 2 r
1
2
V0rsin
Msin 2 r
令
0 sin (V0r
M )0
2 r
sin 0 0或
ψ＝０的流线中有一部分是ｘ轴
V0
M
V0r 2 r 0
圆周 r r0
M 2 v0
也是流线 0 的一部分
Vr
V
远场边界条件
极子迭加形成的流动。
均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环量流动
一、圆柱绕流的边界条件：
1. 无穷远条件（远场边界条件） 在无穷远处为均匀流
ｒ ∞
Vx V0 Vy 0
或
2.物面条件（近场边界条件）
VVr
V0 cos V0 sin
圆柱表面不可穿透
V0
r = r０，Vｎ= Vｒ=０
Vr
V
或r = r０ 的圆周是一条流线 r = r０，ψ=０（零流线）
r2
x sin1
x sin 1
r2
Q x sin 2 r2
y A(r, )
r1
r r2
x 0 Q x M 1 r2 r
M sin 2 r
r2
1
2
Q B x C Q x
M y
2 x2 y2
令ψ＝C得流线族：
M
2
x2
y
y2
c
或
y x2 y2 c1
即
x2 y2 y 0
,
2
V
2V0
速度达到最大值，
且与圆柱体半径无关。
？讨论：零流线上的速度变化
？讨论：零流线上的速度变化
Vr
V0
cos (1
r02 r2
)
V
V0
sin (1
r02 ) r2
零流线上的速度大小
X轴： V
Vr2
V2
V0
(1
r02 r2
)
圆周：V 2V0 sin
A, 速度减小，A B(D), 速度增加