作业+讲义 第4讲 万有引力
高考物理一轮复习讲义 第4章 第4讲 万有引力定律及应用
第4讲 万有引力定律及应用一、开普勒三定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等a 3T 2＝k ,k 是一个与行星无关的常量自测1 (2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律,下列说法符合史实的是( ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上,导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上,总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律,找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律,发现了万有引力定律 答案 B解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律,但没有找出行星按照这些规律运动的原因,牛顿发现了万有引力定律． 二、万有引力定律 1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比,与它们之间距离r 的二次方成反比． 2．表达式F ＝G m 1m 2r 2,G 为引力常量,G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2.3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用,当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时,物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点,r是两球心间的距离．4．天体运动问题分析(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动,其所需向心力由万有引力提供．(2)基本公式:GMmr2＝ma＝⎩⎪⎨⎪⎧m v2r→v＝GM rmrω2→ω＝GMr3mr⎝⎛⎭⎫2πT2→T＝2πr3GMm vω自测2(2019·全国卷Ⅱ·14)2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描述F随h变化关系的图像是()答案D解析在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中,根据万有引力定律,可知随着h的增大,探测器所受的地球引力逐渐减小,但不是均匀减小的,故能够描述F随h变化关系的图像是D.三、宇宙速度1．第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度,其数值为7.9 km/s.(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度,也是人造卫星的最大环绕速度．(4)第一宇宙速度的计算方法．由GMmR2＝mv2R得v＝GMR;由mg＝mv2R得v＝gR.2．第二宇宙速度使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度,其数值为11.2 km/s.3．第三宇宙速度使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度,其数值为16.7 km/s.自测3(2019·北京卷·18)2019年5月17日,我国成功发射第45颗北斗导航卫星,该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星()A ．入轨后可以位于北京正上方B ．入轨后的速度大于第一宇宙速度C ．发射速度大于第二宇宙速度D ．若发射到近地圆轨道所需能量较少 答案 D解析 同步卫星只能位于赤道正上方,A 项错误;由GMm r 2＝m v 2r 知,卫星的轨道半径越大,卫星做匀速圆周运动的线速度越小,因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度),B 项错误;同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度,小于第二宇宙速度,C 项错误;若发射到近地圆轨道,所需发射速度较小,所需能量较少,D 正确.1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体,例如月球、卫星绕地球的运动．3．开普勒第三定律a 3T 2＝k 中,k 值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k 值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．例1 (多选)(2019·四川绵阳市第三次诊断)2019年1月3日10时26分,我国嫦娥四号探测器完成了“人类探测器首次实现月球背面软着陆”的壮举．嫦娥四号近月制动后环月飞行时先在月球上空半径为R 的轨道上做匀速圆周运动,后贴近月球表面做匀速圆周运动,线速度大小分别是v R 和v 0,周期分别是T R 和T 0,已知月球半径为r ,则( ) A.v R v 0＝r R B.v R v 0＝r RC ．T R >T 0D ．T R <T 0答案 BC解析 根据万有引力提供向心力有:G Mmr 2＝m v 2r,所以v ＝GMr ,所以v R v 0＝rR,A 错误,B 正确;根据开普勒第三定律可知:绕同一中心天体运动,半径越大,周期越长,所以T R >T 0,C 正确,D 错误．变式1 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知( ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案 C解析 由开普勒第一定律(轨道定律)可知,太阳位于木星运行轨道的一个焦点上,故A 错误．火星和木星绕太阳运行的轨道不同,运行速度的大小不可能始终相等,故B 错误．根据开普勒第三定律(周期定律)知太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数,故C 正确．对于太阳系某一个行星来说,其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等,不同行星在相同时间内扫过的面积不相等,故D 错误．1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果:一是重力mg ,二是提供物体随地球自转的向心力F向．(1)在赤道上:G MmR 2＝mg 1＋mω2R .(2)在两极上:G MmR2＝mg 0.(3)在一般位置:万有引力G MmR2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南、北两极,g 值越大,由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即GMmR2＝mg .2．星球上空的重力加速度g ′星球上空距离星体中心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′,mg ′＝GMm (R ＋h )2,得g ′＝GM(R ＋h )2.所以g g ′＝(R ＋h )2R 2.3．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力． (2)两个推论①推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即∑F 引＝0. ②推论2:在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对其的万有引力,即F ＝G M ′mr2.例2 若地球半径为R ,把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”号下潜深度为d ,“天宫一号”轨道距离地面高度为h ,“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为( ) A.R －d R ＋hB.(R －d )2(R ＋h )2 C.(R －d )(R ＋h )2R 3D.(R －d )(R ＋h )R 2答案 C解析 设地球的密度为ρ,则在地球表面,重力和地球的万有引力大小相等,有:g ＝G MR 2.由于地球的质量为:M ＝ρ·43πR 3,所以重力加速度的表达式可写成:g ＝GM R 2＝G ·ρ43πR 3R 2＝43πGρR .根据题意有,质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,故在深度为d 的地球内部,受到地球的万有引力即为半径等于(R －d )的球体在其表面产生的万有引力,故“蛟龙”号的重力加速度g ′＝43πGρ(R －d ),所以有g ′g ＝R －d R .根据万有引力提供向心力G Mm(R ＋h )2＝ma ,“天宫一号”所在处的重力加速度为a ＝GM (R ＋h )2,所以a g ＝R 2(R ＋h )2,g ′a ＝(R －d )(R ＋h )2R 3,故C 正确,A 、B 、D 错误．变式2 (2020·广东东莞市调研)“神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射,对接“天宫二号”．若飞船质量为m ,距地面高度为h ,地球质量为M ,半径为R ,引力常量为G ,则飞船所在处的重力加速度大小为( ) A ．0 B.GM (R ＋h )2 C.GMm (R ＋h )2 D.GMh 2 答案 B天体质量、密度的计算使用方法已知量 利用公式 表达式 备注质量的计算利用运行天体r 、T G Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝4π2r 3GT 2只能得到中心天体的质量 r 、vG Mmr 2＝m v 2r M ＝r v 2Gv 、TG Mmr 2＝m v 2r G Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝v 3T 2πG利用天体表面重力加速度 g 、Rmg ＝GMm R2M ＝gR 2G密度的计算利用运行天体r 、T 、RG Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝ρ·43πR 3ρ＝3πr 3GT 2R3 当r ＝R 时ρ＝3πGT2利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g 、R mg ＝GMm R 2M ＝ρ·43πR 3ρ＝3g 4πGR例3 (2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月,我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”,其自转周期T ＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体,已知万有引力常量为6.67×10－11N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3答案 C解析 脉冲星自转,边缘物体m 恰对球体无压力时万有引力提供向心力,则有G Mm r 2＝mr 4π2T 2,又知M ＝ρ·43πr 3整理得密度ρ＝3πGT 2＝3×3.146.67×10－11×(5.19×10－3)2kg/m 3≈5.2×1015 kg/m 3. 变式3 (2019·河南安阳市下学期二模)半径为R 的某均匀球形天体上,两“极点”处的重力加速度大小为g ,“赤道”处的重力加速度大小为“极点”处的1k .已知引力常量为G ,则下列说法正确的是( ) A ．该天体的质量为gR 2kGB ．该天体的平均密度为4g3πGRC ．该天体的第一宇宙速度为gR kD ．该天体的自转周期为2πkR(k －1)g答案 D解析 在两“极点”处:G Mm R 2＝mg ;在赤道处:G Mm R 2－m g k ＝m 4π2T 2R ,解得天体的质量为M ＝gR 2G ,T＝2πkR (k －1)g,选项A 错误,D 正确;该天体的平均密度为ρ＝M V ＝gR 2G ·43πR 3＝3g4πGR ,选项B 错误;由G MmR 2＝m v 2R＝mg 可知该天体的第一宇宙速度为v ＝gR ,选项C 错误．变式4 (2020·山东临沂市质检)2018年7月25日消息称,科学家们在火星上发现了第一个液态水湖,这表明火星上很可能存在生命．美国的“洞察”号火星探测器曾在2018年11月降落到火星表面．假设该探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T ,已知火星的半径为R 1,地球的半径为R 2,地球的质量为M ,地球表面的重力加速度为g ,引力常量为G ,则火星的质量为( )A.4π2R 13M gR 22T 2B.gR 22T 2M 4π2R 13C.gR 12GD.gR 22G 答案 A解析 绕地球表面运动的天体由牛顿第二定律可知: G MmR 22＝mg 同理,对绕火星表面运动的天体有: GM 火m R 12＝m (2πT)2R 1 结合两个公式可解得:M 火＝4π2R 13M gR 22T 2,故A 对．1．线速度:G Mmr 2＝m v 2r ⇒v ＝GMr 2．角速度:G Mmr2＝mω2r ⇒ω＝GMr 33．周期:G Mmr 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ⇒T ＝2πr 3GM4．向心加速度:G Mm r 2＝ma ⇒a ＝GM r 2结论:r 越大,v 、ω、a 越小,T 越大．例4 (2019·全国卷Ⅲ·15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速度大小分别为a 金、a 地、a 火,它们沿轨道运行的速率分别为v 金、v 地、v 火．已知它们的轨道半径R 金<R 地<R 火,由此可以判定( ) A ．a 金>a 地>a 火 B ．a 火>a 地>a 金 C ．v 地>v 火>v 金 D ．v 火>v 地>v 金答案 A解析 金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力,则有G Mm R 2＝ma ,解得a ＝G MR2,结合题中R 金<R 地<R 火,可得a 金>a 地>a 火,选项A 正确,B 错误;同理,有G MmR 2＝m v 2R ,解得v ＝GMR,再结合题中R 金<R 地<R 火,可得v 金>v 地>v 火,选项C 、D 错误．变式5 (2019·天津卷·1)2018年12月8日,肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射,“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测,率先在月背刻上了中国足迹”,如图1.已知月球的质量为M 、半径为R .探测器的质量为m ,引力常量为G ,嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r 的匀速圆周运动时,探测器的( )图1A ．周期为4π2r 3GM B ．动能为GMm2RC ．角速度为Gm r 3D ．向心加速度为GMR2答案 A解析 嫦娥四号探测器环绕月球做匀速圆周运动时,万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力,由GMm r 2＝mω2r ＝m v 2r ＝m 4π2T2r ＝ma ,解得ω＝GMr 3、v ＝GMr、T ＝4π2r 3GM 、a ＝GMr2,则嫦娥四号探测器的动能为E k ＝12m v 2＝GMm2r,由以上可知A 正确,B 、C 、D 错误．变式6 (2019·江苏卷·4)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星,该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图2所示,设卫星在近地点、远地点的速度分别为v 1、v 2,近地点到地心的距离为r ,地球质量为M ,引力常量为G .则图2A ．v 1＞v 2,v 1＝GMr B ．v 1＞v 2,v 1＞GMr C ．v 1＜v 2,v 1＝GMrD ．v 1＜v 2,v 1＞GMr答案 B解析 “东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运动的过程中,只有万有引力做功,因而机械能守恒,其由近地点向远地点运动时,万有引力做负功,卫星的势能增加,动能减小,因此v 1＞v 2;“东方红一号”离开近地点开始做离心运动,则由离心运动的条件可知G Mmr 2＜m v 12r,解得v 1＞GMr,B 正确,A 、C 、D 错误．1．(2018·全国卷Ⅲ·15)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星P ,其轨道半径约为地球半径的16倍;另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( ) A ．2∶1 B ．4∶1 C ．8∶1 D ．16∶1答案 C解析 由G Mm r 2＝mr 4π2T 2知,T 2r 3＝4π2GM ,则两卫星T P 2T Q 2＝r P 3r Q 3.因为r P ∶r Q ＝4∶1,故T P ∶T Q ＝8∶1.2．(2019·陕西榆林市第三次测试)2019年3月10日我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功将“中星6C ”卫星发射升空,卫星进入预定轨道,它是一颗用于广播和通信的地球静止轨道通信卫星,假设该卫星在距地面高度为h 的同步轨道做圆周运动．已知地球的半径为R ,地球表面的重力加速度为g ,万有引力常量为G .下列说法正确的是( ) A ．同步卫星运动的周期为2πRgB ．同步卫星运行的线速度大小为g (R ＋h )C ．同步轨道处的重力加速度大小为(R R ＋h )2gD ．地球的平均密度为3g 4πGR 2答案 C解析 地球同步卫星在距地面高度为h 的同步轨道做圆周运动,万有引力提供向心力,有:GMm (R ＋h )2＝m 4π2(R ＋h )T 2,在地球表面附近,重力等于万有引力,有:mg ＝GMmR 2,故同步卫星运动的周期为:T ＝2π(R ＋h )3gR 2,故A 错误;根据万有引力提供向心力,有:GMm(R ＋h )2＝m v 2R ＋h,解得同步卫星运行的线速度大小为:v ＝gR 2R ＋h ,故B 错误;根据万有引力提供向心力,有:G Mm(R ＋h )2＝mg ′,解得g ′＝(R R ＋h)2g ,故C 正确;由mg ＝GMm R 2得:M ＝gR 2G ,故地球的平均密度为:ρ＝M4πR 33＝3g4πGR,故D 错误． 3．(2019·山东泰安市第二轮复习质量检测)2019年1月3日,嫦娥四号月球探测器成功软着陆在月球背面,成为人类历史上第一个在月球背面成功实施软着陆的人类探测器．如图1所示,已关闭动力的探月卫星在月球引力作用下沿椭圆轨道(图中只画了一部分)向月球靠近,并在B 处变轨进入半径为r 、周期为T 的环月圆轨道运行．已知引力常量为G ,下列说法正确的是( )图1A ．图中探月卫星飞向B 处的过程中速度越来越小 B ．图中探月卫星飞向B 处的过程中加速度越来越小C ．由题中条件可以计算出探月卫星受到月球的引力大小D ．由题中条件可以计算出月球的质量 答案 D解析 探月卫星飞向B 处时,万有引力增大,做正功,探月卫星动能增大,加速度增大,A 、B 选项错误;由于探月卫星质量未知,无法计算出探月卫星受到月球的引力大小,C 选项错误;由GMmr 2＝m (2πT )2r 可得:M ＝4π2r 3GT2,D 选项正确．4．(2019·广西钦州市4月综测)2018年5月,我国成功发射首颗高光谱分辨率对地观测卫星——“高分五号”．“高分五号”轨道离地面的高度约7.0×102 km,质量约2.8×103 kg.已知地球半径约6.4×103 km,重力加速度取9.8 m/s 2.则“高分五号”卫星( ) A ．运行的速度小于7.9 km/s B ．运行的加速度大于9.8 m/s 2C ．运行的线速度小于同步卫星的线速度D ．运行的角速度小于地球自转的角速度 答案 A解析 第一宇宙速度是卫星的最大环绕速度,是发射卫星的最小速度,所以卫星的运行速度小于7.9 km/s,故A 正确;由G MmR 2＝ma 可知,运行的加速度随着高度的增大而减小,故运行的加速度小于地面的重力加速度,即小于9.8 m/s 2,故B 错误;“高分五号”轨道离地面的高度约7.0×102 km,小于同步卫星的高度(同步卫星的高度约为地球半径的6倍),根据GMmR 2＝m v 2R得:v＝GMR,故运行的线速度大于同步卫星的线速度,故C 错误;地球的自转角速度与同步卫星相同,根据GMmR2＝mω2R 解得ω＝GMR 3,轨道越高,角速度越小,故“高分五号”卫星运行的角速度大于地球自转的角速度,故D 错误．5．(2019·西藏山南二中一模)为了观测地球表面的植被覆盖情况,中国发射了一颗人造卫星,卫星的轨道半径约为地球同步卫星轨道半径的14,那么这个卫星绕地球一圈需要多长时间( )A ．12小时B ．1小时C ．6小时D ．3小时答案 D解析 地球同步卫星的周期为24小时,根据开普勒第三定律:r 同3T 同2＝r 卫3T 卫2,代入数据可得:T卫＝3小时,故D 正确,A 、B 、C 错误．6．(2019·云南昆明市4月教学质量检测)已知地球质量为木星质量的p 倍,地球半径为木星半径的q 倍,下列说法正确的是( )A ．地球表面的重力加速度为木星表面的重力加速度的pq 2倍B ．地球的第一宇宙速度是木星“第一宇宙速度”的pq倍C ．地球近地圆轨道卫星的角速度为木星“近木”圆轨道卫星角速度的p 3q倍 D ．地球近地圆轨道卫星运行的周期为木星“近木”圆轨道卫星运行的周期的q 3p 倍答案 A解析 万有引力提供向心力,则有:G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r ＝ma解得:v ＝GMr,T ＝2πr 3GM,ω＝GM r 3,a ＝GMr2 星球表面重力加速度为:g ＝GM R 2;由g ＝GMR2可知地球表面的重力加速度为木星表面的重力加速度的pq 2,故A 正确;由v ＝GMr可知第一宇宙速度为:v ＝GMR,则地球的第一宇宙速度是木星的“第一宇宙速度”的pq,故B 错误;由ω＝GMr 3可知近地卫星的角速度ω＝GMR 3,地球近地卫星的角速度为木星“近木”卫星角速度的pq 3,故C 错误;由T ＝2πr 3GM可知近地卫星的周期T ＝2πR 3GM,所以地球近地卫星的周期为木星的“近木”卫星周期的q 3p,故D 错误．7．(2019·河南郑州市第一次模拟)“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想．“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验,测得物体从静止自由下落h 高度的时间为t ,已知月球半径为R ,自转周期为T ,引力常量为G .求:(1)月球表面重力加速度;(2)月球的质量和月球的第一宇宙速度; (3)月球同步卫星离月球表面高度． 答案 (1)2h t 2 (2)2R 2h Gt22hRt 2(3)3T 2R 2h2π2t 2－R 解析 (1)由自由落体运动规律有:h ＝12gt 2,所以有:g ＝2ht2.(2)月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度,根据重力提供向心力mg ＝m v 12R ,所以:v 1＝gR ＝2hRt 2在月球表面的物体受到的重力等于万有引力,则有: mg ＝GMm R 2所以M ＝2R 2hGt2.(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力有:GMm(R ＋h ′)2＝m v 2R ＋h ′＝m (R ＋h ′)4π2T 2解得h ′＝3T 2R 2h2π2t 2－R .。
课时作业2：第4讲 万有引力定律及应用
课时限时练(限时：40分钟)对点练1 开普勒三定律的理解和应用1. (2020·湖南衡阳市第一次联考)2019年10月8日，瑞典皇家科学院在斯德哥尔摩宣布，将2019年诺贝尔物理学奖，一半授予美国普林斯顿大学吉姆·皮布尔斯，以表彰他“关于物理宇宙学的理论发现”，另外一半授予瑞士日内瓦大学的米歇尔·麦耶和瑞士日内瓦大学教授兼英国剑桥大学教授迪迪埃·奎洛兹，以表彰他们“发现一颗环绕类日恒星运行的系外行星”。
若某一系外行星的半径为R ，公转半径为r ，公转周期为T ，宇宙飞船在以系外行星中心为圆心，半径为r 1的轨道上绕其做圆周运动的周期为T 1，不考虑其他星球的影响。
(已知地球的公转半径为R 0，公转周期为T 0)则有( )A.r 31T 21＝R 30T 20B.r 3T 2＝R 30T 20C.该系外行星表面重力加速度为4π2r 1T 21D.该系外行星的第一宇宙速度为4π2r 31T 21R 答案 D解析 开普勒第三定律r 3T 2＝k ，其中k 与中心天体有关，系外行星、宇宙飞船、地球做圆周运动的中心天体均不同，故A 、B 错误；对宇宙飞船G Mm r 21＝m 4π2T 21r 1＝ma n解得a n ＝4π2r 1T 21，GM ＝4π2r 31T 21，故C 错误；对系外行星的近地卫星G Mm 0R 2＝m 0v 21R解得v 1＝GM R ＝4π2r 31T 21R ，故D 正确。
2.(2020·安徽六安市省示范高中教学质检)国产科幻巨作《流浪地球》上映，开创了中国科幻电影的新纪元，打破了中国人不会拍摄科幻电影的魔咒，也引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论。
其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系。
假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R ，最远距离为7R (R 为加速前地球与太阳间的距离)，则在该轨道上地球公转周期将变为( ) A.8年 B.6年 C.4年 D.2年答案 A解析 由开普勒第三定律R 3T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R ＋7R 23T 21，解得T 1＝8年，选项A 正确。
专题一第4讲万有引力定律及其应用
D 正确．
栏目 导引
专题一 力与运动
拓展训练2
(2013· 南通二模 )( 多选 ) 为了对火星及其周围的空
ห้องสมุดไป่ตู้
间环境进行探测,我国发射了第一颗火星探测器“萤火一号”.
专题一 力与运动
解析： “萤火一号”在两个不同圆轨道上运动时，由万有引力
2 4 π Mm 定律和牛顿第二定律得 G 2 (R ＋ h1) ， 2＝ m T1 （ R＋ h1）
4π Mm G ＝ m 2 (R＋ h2)，联立以上两式可求得火星的质 T2 （ R＋ h2） 2 量和半径，但无法求解“萤火一号”的质量，选项 A 正确，B 错误；由于“萤火一号”的质量未知，故无法求解火星对“萤 Mm 火一号”的引力，选项 C 错误；在火星表面有 G 2 ＝ mg，解 R GM 得 g＝ 2 ，选项 D 正确． R
假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动 时，周期分别为 T1和 T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且
忽略火星的自转影响，万有引力常量为 G.仅利用以上数据，
可以计算出( AD ) A．火星的质量
B．“萤火一号”的质量
C．火星对“萤火一号”的引力 D．火星表面的重力加速度
栏目 导引
栏目 导引
专题一 力与运动
拓展训练3
(2012· 高考四川卷)(单选)今年4月30日，西昌卫
星发射中心发射的中圆轨道卫星,其轨道半径为2.8×107 m． 它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×107 m)相 比( B ) A．向心力较小 B．动能较大 C．发射速度都是第一宇宙速度 D．角速度较小
高中物理第四章 第4讲万有引力定律优秀课件
竞争、合作、落实、高效
自测3 (20xx·北京卷·18)20xx年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航 卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星).该卫星 A.入轨后可以位于北京正上方 B.入轨后的速度大于第一宇宙速度 C.发射速度大于第二宇宙速度
√D.假设发射到近地圆轨道所需能量较少
例4 (20xx·全国卷Ⅲ·15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆
A.12小时 C.6小时
B.1小时
√D.3小时
1234567
利用公式 GMr2m＝mr4Tπ22 GMr2m＝mvr2
GMr2m＝mvr2 GMr2m＝mr4Tπ22
mg＝GRM2m
竞争、合作、落实、高效
表达式 M＝4GπT2r23 M＝rGv2
M＝2vπ3TG
M＝gGR2
备注
只能得 到中心 天体的 质量
竞争、合作、落实、高效
密
利用运
r、T、R
度
行天体
的
计
3.万有引力的“两点理解〞和“两个推论〞 (1)两点理解 ①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力. ②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力.
竞争、合作、落实、高效
(2)两个推论 ①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力 为零，即∑F引＝0. ②推论 2：在匀质球体内部距离球心 r 处的质点(m)受到的万有引力等于球体内 半径为 r 的同心球体(M′)对其的万有引力，即 F＝GM′r2 m.
√D.由题中条件可以计算出月球的质量
1234567
图1
竞争、合作、落实、高效
4.(20xx·广西钦州4月综测)20xx年5月，我国成功发射首颗高光谱分辨率对地观 测卫星——“高分五号〞.“高分五号〞轨道离地面的高度约7.0×102 km，质量 约2.8×103 kg.地球半径约6.4×103 km，重力加速度取9.8 m/s2.那么“高分五号 〞卫星
第4讲 万有引力定律与航天
6.4×106
m/s
＝7.9×103 m/s。 方法二：由 mg＝mvR21得
v1＝ gR＝ 9.8×6.4×106 m/s＝7.9× 103 m/s。 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速
度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π Rg＝5 075 s≈85 min。
2．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s＜v 发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤ v 发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v 发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
二、万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线
上，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的 乘积成正比、与它们之间 距离 r 的 二次方 成反比。
2．表达式：F＝Gmr1m2 2，G 为引力常量，其值为 G＝6.67×10－11N·m2/kg2。
3．适用条件：(1)公式适用于 质点 间的相互作用。当两个物体
解析：近地轨道卫星的轨道半径稍大于地球半径，由万有引力提供向心力，可
得 GMr2m＝mvr2，解得线速度 v＝
GrM，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大
于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的线速度较小，选项 B 错
误；由万有引力提供向心力，可得 GMr2m＝mr2Tπ2，解得周期 T＝2π GrM3 ，所
答案：D
对点清
1. 四个分析 “四个分析”是指分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半
径的关系。
GMr2m＝mmmωvar→22→r→av＝ω＝G＝rM2
2020高考物理第4章第4讲万有引力定律及其应用课件
的上空，需要在全球范围内进行观测和应用的气象卫星、导航卫星
等都采用这种轨道。如图所示，若某颗极地轨道卫星从北纬45°的
正上方按图示方向首次运行到南纬45°的正上方用时45分钟，则
(4)高度一定：据 GMr2m＝m4Tπ22r 得 r＝ 3 G4MπT2 2＝4.23×104km，卫星离地面高 度 h＝r－R≈6R(为恒量)。
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
3．极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现 全球覆盖。 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨 道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为 7.9km/s。 (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
• B．万有引力定律只适用于天体之间
• C．万有引力的发现，揭示了自然界一种基本相互作用的规律
• D．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的 万有引力大小是相同的
• [解析] 牛顿提出了万有引力定律，卡文迪许测定了引力常量的数 值，万有引力定律适用于任何物体之间，万有引力的发现，揭示了 自然界一种基本相互作用的规律，A、B错误C正确；地球绕太阳在 椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是不 相同的，D错误。
[答案] (1)不同。围绕星球表面运转卫星的线速度即为第 一宇宙速度。
(2)越大。
• 思维诊断：
• (1)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。( × )
• (2)牛顿根据前人的研究成果得出了万有引力定律，并测量得出了万 有引力常量。( ×)
高一物理竞赛讲义-专题四 万有引力定律、引力势能
高一物理竞赛讲义专题四万有引力定律、引力势能【概念与规律】 1.万有引力定律 （1）公式：2MmF Gr=，其中G=6.67×10-11N ·m 2/kg 2。
（2）适用条件：公示只适用于质点间的相互作用。
当两个物体间的距离远远大于物体本身的尺寸时，物体可视为质点。
均匀球体可视为质点，r 是两球心间的距离。
（3）由万有引力定律可以推出，质量为M 、半径为R 的均匀球壳对球心为r 、质量为m 的质点的万有引力为()()20r R F GMmr R r⎧⎪=⎨⎪⎩ ＞＞ 2.应用万有引力定律解决天体运动问题基本方法：把天体看作是做匀速圆周运动的物体，其所需的向心力由万有引力提供，即()2222222Mm v G m mr m r m f r r r T πωπ⎛⎫==== ⎪⎝⎭在地面上2Mm mg GR =地地。
在空中h 高处()2'Mm mg G R h =+。
物体的重力和地球对该物体的万有引力差别很小，一般可认为二者大小相等。
3.开普勒三定律（1）轨道定律：行星绕太阳做椭圆轨道运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。
此定律揭示了太阳系各行星的轨道形状以及太阳和行星的相对位置。
由于行星的椭圆轨道跟圆相似，所以通常把行星轨道作为圆周来处理。
（2）面积定律：行星和太阳之间的连线，在相等的时间内，所扫过的面积相等。
如图所示。
此定律反映了行星速率变化的规律，说明行星在远日点速率最小，在近日点速率最大。
2221111111111111222v S R R t R t R θω===，2222222222222111222v S R R t R t R θω=== 因t 1=t 2，S 1=S 2，故R 1v 1=R 2v 2。
（3）周期定律：行星运动周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。
即32R T=常数（此常数只与太阳质量有关）。
此定律阐明了各行星运动周期与其轨道的长半轴的关系。
2020版高考物理一轮通用课时作业：第四章 第4讲万有引力与航天
一、选择题(本题共10小题，1～6题为单选题，7～10题为多选题)1．牛顿时代的科学家们围绕引力的研究，经历了大量曲折顽强而又闪烁智慧的科学实践．在万有引力定律的发现历程中，下列叙述不符合史实的是()A．开普勒研究了第谷的行星观测记录，得出了开普勒行星运动定律B．牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力规律推广到宇宙中的一切物体，得出了万有引力定律C．卡文迪许首次在实验室中比较准确地得出了引力常量G的数值D．根据天王星的观测资料，哈雷利用万有引力定律计算出了海王星的轨道解析：D开普勒研究了第谷的行星观测记录，得出了开普勒行星运动定律，A正确．牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力规律推广到宇宙中的一切物体，得出了万有引力定律，B正确．卡文迪许首次在实验室中比较准确地得出了引力常量G的数值，C正确．英国人亚当斯和法国人勒维耶根据万有引力推测出“新”行星的轨道和位置，柏林天文台年轻的天文学家伽勒和他的助手根据勒维耶计算出来的“新”行星的位置，发现了海王星，D错误．2．太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像．图中坐标系的横轴是lg TT0，纵轴是lgRR0；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列四个选项中正确的是()解析：B根据开普勒第三定律a3T2＝k可得R3＝kT2，R30＝kT20，两式相除后取对数，得lg T2T20＝lgR3R30，整理得2lgTT0＝3lgRR0，结合数学知识可知，选项B正确．3．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为()A ．1 hB ．4 hC ．8 hD ．16 h解析：B 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律r 3T 2＝k 可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出它们间的位置关系如图所示．卫星的轨道半径为r ＝Rsin 30°＝2R由r 31T 21＝r 32T 22得(6.6R )3242＝(2R )3T 22. 解得T 2≈4 h.4.理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的实心球体，O 为球心，以O 为原点建立坐标轴Ox ，如图所示．一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x 轴上各位置受到的引力大小用F 表示，则选项所示的四个F 随x 变化的关系图中正确的是( )解析：A 因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则在距离球心x 处(x ≤R )物体所受的引力为F ＝GM 1m x 2＝G ·43πx 3ρ·m x 2＝43G πρmx ∝x ，故F －x 图线是过原点的直线；当x >R时，F ＝GMm x 2＝G ·43πR 3ρ·m x 2＝4G πρmR 33x 2∝1x2，故选项A 正确．5.(2018·长沙模拟)两颗互不影响的行星P 1、P 2，各有一颗近地卫星S 1、S 2绕其做匀速圆周运动．图中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度a ，横轴表示某位置到行星中心距离r 平方的倒数，a －1r2关系如图所示，卫星S 1、S 2的引力加速度大小均为a 0.则( )A ．S 1的质量比S 2的大B ．P 1的质量比P 2的大C ．P 1的第一宇宙速度比P 2的小D ．P 1的平均密度比P 2的大解析：B 根据牛顿第二定律得G Mm r2＝ma ，则得行星周围空间各处物体因行星引力产生的加速度为a ＝GM r2，由此不能判断近地卫星S 1、S 2的质量大小，由数学知识知，a －1r2图像的斜率等于GM ，斜率越大，GM 越大，即M 越大，所以P 1的质量比P 2的大，选项A 错误，B 正确；设第一宇宙速度为v ，由a 0＝v 2R得v ＝a 0R ，由图看出，P 1的半径比P 2的半径大，a 0相等，可知P 1的第一宇宙速度比P 2的大，选项C 错误；行星的平均密度ρ＝M43πR 3＝a 0R 2G43πR 3＝3a 04πGR，P 1的半径比P 2的半径大，a 0相等，则P 1的平均密度比P 2的小，选项D 错误． 6．(2018·哈尔滨模拟)设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为R .宇航员在小行星上用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F 1＝F 0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F 2＝F 02.假设第三次在赤道平面内深度为R2的隧道底部，示数为F 3；第四次在距星表面高度为R 处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F 4，已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是( )A ．F 3＝F 04，F 4＝F 04B ．F 3＝F 04，F 4＝0C ．F 3＝15F 04，F 4＝0D ．F 3＝4F 0，F 4＝F 04解析：B 设该行星的质量为M ，则质量为m 的物体在极点处受到的万有引力：F 1＝GMm R 2＝F 0，由于球体的体积公式为V ＝4πr 33，由于在赤道处，弹簧测力计的读数为F 2＝F 02.则：Fn 2＝F 1－F 2＝12F 0＝mω2·R ，所以半径R 2以内的部分的质量为M ′＝(R2)3R 3·M ＝18M ，物体在R2处受到的万有引力：F 3′＝GM ′m (R 2)2＝12F 1＝12F 0，物体需要的向心力：Fn 3＝mω2·R 2＝12mω2R ＝14F 0，所以在赤道平面内，深度为R 2的隧道底部，示数为F 3＝F 3′－Fn 3＝12F 0－14F 0＝14F 0，第四次在距星表高度为R 处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧秤的示数为0，故选项B 正确．7.如图所示，飞行器P 绕某星球做匀速圆周运动．星球相对飞行器的张角为θ.下列说法正确的是( )A ．轨道半径越大，周期越长B ．轨道半径越大，速度越大C ．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D ．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度 解析：AC 由G Mm r 2＝m v 2r ＝mr (2πT)2得v ＝GMr，T ＝2πr 3GM，可知，轨道半径越大，线速度越小，周期越大，A 项正确，B 项错误；若测得周期和轨道半径，由G Mm r 2＝mr (2πT )2可知，可以测得星球的质量，但由于星球的半径未知，因此不能求出星球的平均密度，D 项错误；若测得张角θ，可求得星球半径R 与轨道半径r 的比值为R r ＝sin θ2，由G Mm r 2＝mr (2πT )2和ρ＝M 43πR 3得ρ＝3πGT 2(r R )3＝3πGT 2sin 3θ2，因此C 项正确．8.2017年1月24日，报道称，俄航天集团决定将“质子-M ”运载火箭的发动机召回沃罗涅日机械制造厂．若该火箭从P 点发射后不久就失去了动力，火箭到达最高点M 后又返回地面的Q 点，并发生了爆炸，已知引力常量为G ，地球半径为R .不计空气阻力，下列说法正确的是( )A ．火箭在整个运动过程中，在M 点的速率最大B ．火箭在整个运动过程中，在M 点的速率小于7.9 km/sC ．火箭从M 点运动到Q 点(爆炸前)的过程中，火箭的机械能守恒D ．已知火箭在M 点的速度为v ，M 点到地球表面的距离为h ，则可求出地球的质量 解析：BC 火箭在失去动力后，在M 点的速率最小，选项A 错误；火箭从M 点运动到Q 点(爆炸前)的过程中，只有万有引力做功，火箭的机械能守恒，选项C 正确；7.9 km/s 是最大的环绕速度，火箭在整个运动过程中，在M 点的速率小于7.9 km/s ，选项B 正确；火箭做的不是圆周运动，根据选项D 中给出的条件，无法求出地球的质量，选项D 错误．9．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动．假设地球可视为质量均匀分布的星球，地球半径为R 、地球北极表面附近的重力加速度为g 、引力常量为G 、地球质量为M ，则地球的最大自转角速度ω为( )A ．ω＝2πGMR 3 B ．ω＝GMR 3C ．ω＝g RD ．ω＝2πg R解析：BC 取地球赤道上一质量很小的质点，设其质量为m ，要维持该质点随地球一起以最大角速度ω转动，则质点与地球之间的万有引力等于向心力，有G MmR 2＝mRω2，解得ω＝GMR 3，A 错误，B 正确．在地球北极表面附近，G Mm ′R2＝m ′g ，则GM ＝gR 2，代入上式可得ω＝gR，C 正确，D 错误． 10.如图，三个质点a 、b 、c 的质量分别为m 1、m 2、M (M 远大于m 1及m 2)，在万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为r a ∶r b ＝1∶4，则下列说法中正确的有( )A ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶8B ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶4C ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线12次D ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次解析：AD 根据开普勒第三定律：周期的平方与半径的三次方成正比，则a 、b 运动的周期之比为1∶8，A 对；设图示位置夹角为θ<π2，b 转动一周(圆心角为2π)的时间为t ＝T b ，则a 、b 相距最远时：2πT a T b －2πT b T b ＝(π－θ)＋n ·2π(n ＝0,1,2,3，…)，可知n <6.75，n 可取7个值；a 、b 相距最近时：2πT a T b －2πT b T b ＝(2π－θ)＋m ·2π(m ＝0,1,2,3，…)，可知m <6.25，m 可取7个值，故在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次，D 对．二、计算题(本题共2小题．需写出规范的解题步骤)11.如图所示，A 是地球的同步卫星．另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h .已知地球半径为R ，地球自转的角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地心．(1)求卫星B 的运行周期．(2)若卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近(O 、B 、A 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？解析：(1)根据万有引力定律和牛顿第二定律， 对卫星B 有：G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2B (R ＋h )对地球表面上的物体：G Mm ′R 2＝m ′g联立解得T B ＝2π(R ＋h )3gR 2(2)由题意得(ωB －ω0)t ＝2π 又ωB ＝2πT B，解得t ＝2πgR 2(R ＋h )3－ω0.答案：(1)2π(R ＋h )3gR 2(2)2πgR 2(R ＋h )3－ω012．(2018·安徽安庆模拟)发射宇宙飞船的过程要克服引力做功，已知将质量为m 的飞船在距地球中心无限远处移到距地球中心为r 处的过程中，引力做功为W ＝GMmr ，飞船在距地球中心为r 处的引力势能公式为E p ＝－GMmr ，式中G 为引力常量，M 为地球质量．若在地球的表面发射一颗人造地球卫星，发射的速度很大，此卫星可以上升到离地心无穷远处(即地球引力作用范围之外)，这个速度称为第二宇宙速度(也称逃逸速度)．(1)试推导第二宇宙速度的表达式．(2)已知逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M ＝1.98×1030 kg ，求它可能的最大半径？解析：(1)设距地心无穷远处的引力势能为零，地球的半径为R ，第二宇宙速度为v ，所谓第二宇宙速度，就是卫星摆脱中心天体束缚的最小发射速度．则卫星由地球表面上升到离地球表面无穷远的过程，根据机械能守恒定律得E k ＋E p ＝0即12m v 2－G MmR ＝0 解得v ＝2GMR(2)由题意知v >c ，即2GMR>c 得R <2GM c 2＝2×6.67×10－11×1.98×10309×1016 m ≈2.93×103 m则该黑洞可能的最大半径为2.93×103 m. 答案：(1)v ＝ 2GMR(2)2.93×103 m。
《万有引力定律的应用》 讲义
《万有引力定律的应用》讲义一、万有引力定律的发现在物理学的发展历程中，万有引力定律的发现无疑是一颗璀璨的明珠。
17 世纪，英国科学家牛顿在前人的研究基础上，通过对天体运动的深入思考和实验观察，提出了万有引力定律。
牛顿发现，任何两个物体之间都存在着相互吸引的力，这个力的大小与两个物体的质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。
其数学表达式为：F ＝ G （m1 m2) ／ r²，其中 F 表示两个物体之间的引力，G 是万有引力常量，m1 和 m2 分别是两个物体的质量，r 是它们之间的距离。
万有引力定律的发现，不仅解释了地球上物体的下落现象，还成功地解释了天体的运动规律，如行星绕太阳的运动、月球绕地球的运动等，为人类认识宇宙打开了新的大门。
二、万有引力定律在天文学中的应用1、计算天体的质量通过观测天体的运动轨道和周期，结合万有引力定律，可以计算出天体的质量。
例如，对于绕太阳运行的行星，我们可以根据其轨道半径和公转周期，计算出太阳的质量。
同样，通过观测月球绕地球的运动，也可以计算出地球的质量。
以计算太阳质量为例，假设某行星绕太阳的轨道半径为 r，公转周期为 T。
根据万有引力提供向心力，有：F ＝ m （2π ／ T)² r又因为 F ＝ G （M m) ／ r²，其中 M 为太阳质量，m 为行星质量。
联立可得：M ＝4π² r³ ／（G T²)2、预测天体的运动轨迹万有引力定律可以帮助我们准确地预测天体的运动轨迹。
天文学家可以根据已知天体的位置、速度和质量等信息，通过计算万有引力的作用，预测出它们未来的运动方向和位置。
这对于研究天体的演化、发现新的天体以及保障太空探索任务的安全都具有重要意义。
3、研究星系的结构和演化星系是由大量恒星、气体和尘埃组成的巨大天体系统。
万有引力定律在研究星系的结构和演化中起着关键作用。
星系中的恒星之间通过万有引力相互作用，形成特定的结构和运动模式。
专题一 第4讲 万有引力定律及其应用
做真题•明考向 建体系•记要点 研考向•提能力 限训练•通高考
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考向一 天体质量及密度的计算
解析：根据万有引力充当向心力有GMr2m＝m4Tπ22r，可得火星的
质量M＝
4π2 GT2
r3，即知道飞行器的周期T和轨道半径r，就可以
得到火星的质量，选项B正确，D错误．A、C项中只知道飞行
[考情分析] ■ 命题特点与趋势——怎么考 1．近几年有关万有引力定律及其应用的题目在高考中通常 以选择题的形式出现，极个别情况下会出现在计算题中，难 度一般中等；在考查内容上一般考查天体运动参量间的关系、 天体质量(密度)的估算、万有引力定律等基本概念和基本规 律的理解与应用，有时还会涉及能量知识，同时还会考查运 用控制变量法进行定性判断或定量计算的能力． 2．从命题趋势上看，分析人造卫星的运行规律仍是考试中 的热点，以近几年中国及世界空间技术和宇宙探索为背景的 题目备受青睐，会形成新情景的物理题．
＝m
v2，再结 r
合v＝st可以求出M＝vG2r＝stG2·θs ＝Gst32θ，选项C正确；由于不知
月球的半径，所以无法求出月球的密度，选项D错误．
答案：C
做真题•明考向 建体系•记要点 研考向•提能力 限训练•通高考
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考向一 天体质量及密度的计算
2．(2018·湖南长沙市高三统考)2016年11月17日12时41分， 我国航天员景海鹏、陈冬踏上返回之旅．他们在“天宫二号” 空间实验室已工作生活了30天，创造了中国航天员太空驻留 时间的新纪录．假设未来的某一天我国宇航员登上某一星球， 测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍， 而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球质量大约是 地球质量的( ) A．2倍 B.4倍 C．8倍 D．16倍
《万有引力》讲义
《万有引力》[知识点析]一、万有引力定律的内容和公式宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，这一规律叫万有引力定律。
其数学表达式为：221r m m GF =式中G= 6.67×10-11Nm 2/kg 2 ,叫万有引力常量。
这个定律适用的条件是：质点间的相互作用。
当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。
万有引力和重力的关系是：重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的。
物体的重力和地球对该物体的万有引力差别很小，一般可以认为二者大小相等，即mg 0 =G 2021R m m 式中g 0为地球表面附近的加速度，R 0为地球半径。
[例题析思][例析1] 两大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F 。
若两个 半径2倍于小铁球的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为：（ ）A 、2FB 、4FC 、8FD 、16F[思考1] 用m 表示地球同步卫星的质量，h 表示它距地面的高度，r 0表示地球半径，g 0表示地球表面的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则同步卫星所受地球对它的万有引力的大小是：（ ）A 、等于零B 、等于0202)(g h R mR + C 、等于40203ωg R m D 、以上均不对二、应用万有引力定律分析天体的运动 1、 1、 基本方法：把天体的运动近似看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
①2R GmM =mg g=2R GM (或GM=gR 2),要注意g 与R 的对应关系,如当R 是地球半径时,对应的g 是地球表面的重力加速度.②2r GMm =rm v 2=m ω2r=m(T π2)2r=m(2πf)2r,应用时根据实际情况选用适当的公式进行分析. 卫星运行速度v 、角速度ω、周期T 与轨道半径r 的关系：①由2r GMm =r m v 2有v=r GM ,故r 越大,运行速度v 越小; ②由2r GMm =m ω2r 有ω=3rGM ,故r 越大,角速度ω越小; ③由2r GMm =m(T π2)2r 有T=GMr 32π,故r 越大,周期T 越大. [例析2] 两颗人造地球卫星，甲的质量是乙的质量的2倍，同样时间内，甲的转数是乙的转数的4倍，则甲受向心力是乙受向心力的 。
20110425-04万有引力讲义-含答案
D
8．通信卫星的质量为m，地球半径为R，自转角速度 为ω，地球表面重力加速度大小为g，则关于通信卫星 的下列说法中正确的是( ) (A)距地面高度 h
3
R2 g
R
(B)卫星做匀速圆周运动的线速度大小 v 3 R 2 g
2 3 a R g (C)卫星做匀速圆周运动的向心加速度大小
2.83
12.如图所示，A、B两质点在t0时刻位于直线MN上P、 Q两点处，且具有相同的速度v0，质点A绕MN直线上一 点O作匀速圆周运动，OP = R，质点B作加速度恒定的 直线运动，在某一时刻T1，A、B两质点又具有相同的速 度，那么B质点的加速度应满足的条件是_________。
a=-2v02／(2k+1)πR (k = 0，1，2…)
[解]由图b受力分析可列出方程组：
N cosθ-μN sinθ = mω12R = mω12h tgθ N sinθ+μN cosθ = mg ①/②得 cos sin 2 h tg
① ②
sin cos
1
g
1
g h tg
cos sin sin cos
[例2]如图，当两个质量为m的小球的角速度ω作圆锥摆 运动时，质量为2m的大球将做什么运动?(两小球没有 转之前系统是静止的)
静止不动。
[例3]在顶角为2θ的圆锥形漏斗内有一个小球，小球距 尖底的高度为h，如图所示，如果小球与锥面之间的摩 擦系数为μ，当小球与漏斗一起转动时要保持高度h不 变，那么漏斗应有怎样的角速度ω?
A
2.如图所示，长L的细绳系于O点，另一端拴一质量为m 的小球，小球自O点正下方L/4处以初速度v0水平向右抛 出，平抛后经一定时间绳被拉直，此时绳与竖直方向 成60°角，则v0大小为( )
《认识万有引力定律》 讲义
《认识万有引力定律》讲义一、什么是万有引力定律在我们生活的这个浩瀚宇宙中，存在着一种神秘而又无处不在的力量，它默默影响着天体的运行、物体的下落，甚至是我们日常生活中的许多现象。
这股力量就是万有引力。
万有引力定律是由伟大的科学家牛顿发现的。
简单来说，万有引力定律指出：任何两个物体之间都存在着相互吸引的力，这个力的大小与这两个物体的质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。
用数学公式来表达就是：F ＝ G （m1 m2) ／ r²。
其中，F 表示两个物体之间的引力，G 是引力常量，m1 和m2 分别是两个物体的质量，r 则是两个物体质心之间的距离。
二、万有引力定律的发现历程万有引力定律的发现并非一蹴而就，而是经历了一个漫长而曲折的过程。
早在古代，人们就已经注意到了物体下落的现象，但对于其背后的原因却一无所知。
直到17 世纪，开普勒通过对行星运动的观测和研究，总结出了行星运动的三大定律，为万有引力定律的发现奠定了基础。
牛顿在思考苹果为什么会落地的问题时，受到了启发。
他意识到，地球对苹果的吸引力可能与地球对月球的吸引力是同一种性质的力。
经过深入的思考和研究，牛顿最终发现了万有引力定律。
这个发现不仅仅是对物体下落和天体运动的简单解释，更是人类对自然界认识的一次重大飞跃，它将地面上的力学现象与天体的运动规律统一了起来。
三、万有引力定律的影响万有引力定律的发现对人类社会产生了深远的影响。
在天文学领域，它帮助我们更好地理解了天体的运动规律。
通过万有引力定律，我们可以精确地计算行星的轨道、预测彗星的回归，甚至发现新的天体。
在航天领域，万有引力定律是航天器发射和轨道计算的重要依据。
我们可以根据万有引力定律来确定航天器的发射速度、轨道高度和运行周期，从而实现人类对太空的探索。
在日常生活中，万有引力定律也无处不在。
比如，我们能够稳稳地站在地球上，就是因为地球对我们的引力。
物体下落、水流向低处等常见的现象，也都是万有引力在起作用。
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考点一 万有引力定律的理解1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比． 2．表达式F ＝G m 1m 2r2，G 为引力常量：G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2.3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点． (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离． 4．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向，如图1所示．(1)在赤道上：G MmR 2＝mg 1＋mω2R .(2)在两极上：G MmR2＝mg 2.(3)在一般位置：万有引力G MmR2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR2＝mg .[思维深化]判断下列说法是否正确．(1)地面上的物体所受地球引力的大小均由F ＝G m 1m 2r2决定，其方向总是指向地心．( )(2)只有天体之间才存在万有引力．( )(3)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F ＝G MmR2计算物体间的万有引力．( )(4)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大．( )1．[万有引力和重力的关系]静止在地面上的物体随地球自转做匀速圆周运动．下列说法正确的是( ) A ．物体受到的万有引力和支持力的合力总是指向地心 B ．物体做匀速圆周运动的周期与地球自转周期相等 C ．物体做匀速圆周运动的加速度等于重力加速度D ．物体对地面压力的方向与万有引力的方向总是相同 2．[万有引力定律的理解]由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二．若地球半径为R ，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为d ，“天宫一号”轨道距离地面高度为h ，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为( ) A.R －d R ＋h B.(R －d )2(R ＋h )2 C.(R －d )(R ＋h )2R 3 D.(R －d )(R ＋h )R 2万有引力的“两点理解”和“两个推论”1．两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． 2．地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力． 3．万有引力的两个有用推论(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即ΣF 引＝0.(2)推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对其的万有引力，即F ＝G M ′mr2.考点二 中心天体质量和密度的估算1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2r T2.(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G MmR2＝mg (g 表示天体表面的重力加速度)．2．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT2；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．3．[中心天体质量的求解](2015·江苏单科·3)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，该中心恒星与太阳的质量比约为( )A.110B ．1C ．5D ．10 4．[中心天体密度的求解](2014·新课标全国Ⅱ·18)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ，地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( ) A.3π(g 0－g )GT 2g 0 B.3πg 0GT 2(g 0－g ) C.3πGT 2 D.3πg 0GT 2g5．[中心天体质量和密度的求解](多选)公元2100年，航天员准备登陆木星，为了更准确了解木星的一些信息，到木星之前做一些科学实验，当到达与木星表面相对静止时，航天员对木星表面发射一束激光，经过时间t ，收到激光传回的信号，测得相邻两次看到日出的时间间隔是T ，测得航天员所在航天器的速度为v ，已知引力常量G ，激光的速度为c ，则( )A ．木星的质量M＝v 3T 2πGB ．木星的质量M ＝π2c 3t 32GT 2C ．木星的质量M ＝4π2c 3t 3GT 2D ．根据题目所给条件，可以求出木星的密度估算天体质量和密度时应注意的问题1．利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．2．区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝43πR 3中的R 只能是中心天体的半径．考点三 卫星运行参量的比较与计算1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律规律⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧G Mm r2＝(r ＝R 地＋h )⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m v 2r→v ＝ GM r →v ∝1rmω2r →ω＝ GM r 3→ω∝1r3m 4π2T 2r →T ＝ 4π2r 3GM →T ∝r 3ma →a ＝GM r 2→a ∝1r2越高越慢mg ＝GMm R2地(近地时)→GM ＝gR 2地2．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心． 3．同步卫星的六个“一定”6．[绕不同中心天体运动卫星参量的比较](2013·广东·14)如图2，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A ．甲的向心加速度比乙的小B ．甲的运行周期比乙的小C ．甲的角速度比乙的大D ．甲的线速度比乙的大7．[绕相同一中心天体运动卫星参量的比较](2015·福建理综·14)如图3，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2，线速度大小分别为v 1、v 2，则( ) A.v 1v 2＝r 2r 1 B.v 1v 2＝r 1r 2 C.v 1v 2＝(r 2r 1)2 D.v 1v 2＝(r 1r 2)28．[同步卫星问题分析](2014·天津·3)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( ) A ．距地面的高度变大 B ．向心加速度变大 C ．线速度变大 D ．角速度变大利用万有引力定律解决卫星运动的技巧1．一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． 2．两组公式G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r ＝mamg ＝GMmR2(g 为星体表面处的重力加速度)3．a 、v 、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较，最终归结到半径的比较．考点四 卫星变轨问题分析1．运动分析(1)当卫星的速度突然增大时，G Mm r 2<m v 2r，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝ GMr可知其运行速度比原轨道时减小．(2)当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2>m v 2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝ GMr可知其运行速度比原轨道时增大．卫星的发射和回收就是利用这一原理． 2．能量分析卫星由低轨道进入高轨道后，重力势能增大，动能减小，机械能增大．9．[变轨中运行参量和能量分析](2013·新课标Ⅰ·20)(多选)2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km 的近圆轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下面说法正确的是( )A ．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B ．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C ．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D ．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用10．[变轨中运行参量的分析](多选)如图4所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的“长征三号丙”运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100 km ，周期为118 min 的工作轨道，开始对月球进行探测．下列说法正确的是( )A ．卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小B ．卫星在轨道Ⅲ上经过P 点的速度比在轨道Ⅰ上经过P 点时大C ．卫星在轨道Ⅲ上运动周期比在轨道Ⅰ上短D ．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上多 11．[变轨中运行参量的分析]2013年12月2日凌晨1时30分，嫦娥三号月球探测器搭载长征三号乙火箭发射升空．这是继2007年嫦娥一号、2010年嫦娥二号之后，我国发射的第3颗月球探测器，也是首颗月球软着陆探测器．嫦娥三号携带有一台无人月球车，重3吨多，是我国设计的最复杂的航天器．如图5所示为其飞行轨道示意图，则下列说法正确的是( )A ．嫦娥三号的发射速度应该大于11.2 km/sB ．嫦娥三号在环月轨道1上P 点的加速度大于在环月轨道2上P 点的加速度C ．嫦娥三号在环月轨道2上运动周期比在环月轨道1上运行周期小D ．嫦娥三号在动力下降段中一直处于完全失重状态卫星变轨问题“四个”物理量的规律分析1．速度：如图6所示，设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v 3>v B .图62．加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同．3．周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知T 1<T 2<T 3.4．机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 1、E 2、E 3，则E 1<E 2<E 3.考点五 宇宙速度的理解与计算 1．第一宇宙速度的推导方法一：由G Mm R 2＝m v 21R 得v 1＝ GMR＝7.9×103 m/s.方法二：由mg ＝m v 21R得v 1＝gR ＝7.9×103 m/s.第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min＝2πRg＝5 075 s ≈85 min.2．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动．(2)7.9 km /s<v 发<11.2 km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆． (3)11.2 km /s ≤v 发<16.7 km/s ，卫星绕太阳做椭圆运动．(4)v 发≥16.7 km/s ，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间． [思维深化]判断下列说法是否正确．(1)第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度．( ) (2)第一宇宙速度的大小与地球质量有关．( ) (3)月球的第一宇宙速度也是7.9 km/s.( )(4)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度．( )(5)若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体可绕太阳运行．( )12．[宇宙速度的理解](多选)2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )A ．发射速度只要大于第一宇宙速度即可B ．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C ．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D ．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的2313．[第二宇宙速度的求解]物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝2v 1.已知某星球半径是地球半径R 的13，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g 的16，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )A.gRB.13gRC.16gR D.3gR14．[第一宇宙速度的求解]“伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年，行程37亿千米，终于到达木星周围．此后在t 秒内绕木星运行N 圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星大气层烧毁．设这N 圈都是绕木星在同一个圆周上运行，其运行速率为v ，探测器上的照相机正对木星拍摄整个木星时的视角为θ(如图7所示)，设木星为一球体．求： (1)木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径； (2)木星的第一宇宙速度．宇宙速度问题的分析思路考点六 双星或多星模型1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图8所示．图8(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω 21r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω 22r 2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即 T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L(3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1，与星体运动的线速度成反比．[思维深化]1．若在双星模型中，图8中L 、m 1、m 2、G 为已知量，双星运动的周期如何表示？答案 T ＝2π L 3G (m 1＋m 2)2．若双星运动的周期为T ，双星之间的距离为L ，G 已知，双星的总质量如何表示？答案 m 1＋m 2＝4π2L 3T 2G15．[双星模型]质量不等的两星体在相互间的万有引力作用下，绕两者连线上某一定点O 做匀速圆周运动，构成双星系统．由天文观察测得其运动周期为T ，两星体之间的距离为r ，已知引力常量为G .下列说法正确的是( )A ．双星系统的平均密度为3πGT2B ．O 点离质量较大的星体较远C ．双星系统的总质量为4π2r 3GT2D ．若在O 点放一物体，则物体受两星体的万有引力合力为零16．[双星模型](2013·山东理综·20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )A.n 3k 2T B.n 3k T C.n 2k T D.n k T 17．[三星系统](2015·安徽理综·24)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图10为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A 星体质量为2m 、B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：图10(1)A 星体所受合力大小F A ； (2)B 星体所受合力大小F B ；(3)C 星体的轨道半径R C ； (4)三星体做圆周运动的周期T .双星和多星问题的特点及分析思路1．双星模型(1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的． (2)它们的运行周期和角速度是相等的．(3)两颗行星做匀速圆周运动的半径r 1和r 2与两行星间距L 的大小关系：r 1＋r 2＝L . 2．多星模型(1)每颗行星运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力来提供． (2)行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等． (3)注意利用几何知识求半径．1．(2012·新课标全国·21)假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－d RB ．1＋d RC ．(R －d R )2D ．(R R －d)22．(2012·福建理综·16)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( ) A.m v 2GN B.m v 4GN C.N v 2Gm D.N v 4Gm 3．(2015·新课标全国Ⅱ·16)由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道．当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行．已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m /s ，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s ，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图11所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )图11A ．西偏北方向，1.9×103 m/sB ．东偏南方向，1.9×103 m/sC ．西偏北方向，2.7×103 m/sD ．东偏南方向，2.7×103 m/s4．(2015·新课标全国Ⅰ·21)(多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m 高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103 kg ，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s 2.则此探测器( ) A ．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s B ．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 NC ．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒D ．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度练出高分 基础巩固1．关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是( ) A ．第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律 B ．开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力C ．牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”D ．卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值2．火星成为我国深空探测的第二颗星球，假设火星探测器在着陆前，绕火星表面匀速飞行(不计周围其他天体的影响)，宇航员测出飞行N 圈用时t ，已知地球质量为M ，地球半径为R ，火星半径为r ，地球表面重力加速度为g .则( )A ．火星探测器匀速飞行的速度约为2πNR tB ．火星探测器匀速飞行的向心加速度约为4π2N 2rt2C ．火星探测器的质量为4πN 2r 3gR 2t 2D ．火星的平均密度为3πMN 2gR 2t3．(2015·海南单科·6)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7，已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R .由此可知，该行星的半径约为( ) A.12R B.72R C ．2R D.72R 4.(多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图1所示．若AO >OB ，则( )A ．星球A 的质量一定大于星球B 的质量 B ．星球A 的线速度一定大于星球B 的线速度C ．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D ．双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大5．(多选)“天宫一号”与“神舟八号”交会对接成功，标志着我国对接技术上迈出了重要一步．如图2所示为二者对接前做圆周运动的情形，M 代表“神舟八号”，N 代表“天宫一号”，则( )A ．M 发射速度大于第二宇宙速度B ．M 适度加速有可能与N 实现对接C ．对接前，M 的运行速度大于N 的运行速度D ．对接后，它们的速度大于第一宇宙速度6．(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G .关于四星系统，下列说法正确的是( ) A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ．四颗星的轨道半径均为a2C ．四颗星表面的重力加速度均为GmR 2D ．四颗星的周期均为2πa 2a(4＋2)Gm综合应用7.(2015·山东理综·15)如图3所示，拉格朗日点L 1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L 1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a 1、a 2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a 3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是( ) A ．a 2>a 3>a 1 B ．a 2>a 1>a 3 C ．a 3>a 1>a 2 D ．a 3>a 2>a 18．假设火星可视为质量均匀分布的球体，已知“火卫一”(火星的卫星)绕火星做圆周运动的半径为R ，周期为T ，火星的半径为R 0，自转周期为T 0，则火星表面的重力加速度在赤道处大小与两极处大小的比值为( ) A.R 3T 20R 30T 2 B.R 30T 2R 3T 20 C ．1－R 3T 20R 30T 2 D ．1－R 30T 2R 3T 20 9．(2014·山东理综·20)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图4所示，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m ，月球半径为R ，月面的重力加速度为g 月．以月面为零势能面，“玉兔”在h 高度的引力势能可表示为E p ＝GMmhR (R ＋h )，其中G 为引力常量，M 为月球质量．若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为( ) A.mg 月R R ＋h (h ＋2R ) B.mg 月R R ＋h (h ＋2R ) C.mg 月R R ＋h (h ＋22R ) D.mg 月R R ＋h(h ＋12R )10．(多选)2014年11月1日早上6时42分，被誉为“嫦娥五号”的“探路尖兵”载人返回飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术，为“嫦娥五号”任务顺利实施和探月工程持续推进奠定了坚实基础．已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t (t 小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s ，航天器与月球的中心连线扫过角度为θ，引力常量为G ，则( )A ．航天器的轨道半径为θsB ．航天器的环绕周期为2πtθC ．月球的质量为s 3Gt 2θD ．月球的密度为3θ24Gt211．2012年6月18日，“神舟九号”宇宙飞船与“天宫一号”成功对接，在发射时，“神舟九号”宇宙飞船首先要发射到离地面很近的圆轨道，然后经过多次变轨，最终与在距地面高度为H 的圆形轨道上绕地球飞行的“天宫一号”完成对接，假设之后整体保持在距地面高度仍为H 的圆形轨道上绕地球继续运动．已知地球半径为R 0，地面附近的重力加速度为g .求： (1)地球的第一宇宙速度；(2)“神舟九号”宇宙飞船在近地圆轨道运行的速度与对接后整体的运行速度之比．(用题中字母表示)。