高一数学向量几何人教版
人教版高一数学必修第三册《向量数量积的概念》评课稿
3.5 学生练习与互动讨论
教师可布置一定数量的习题，并组织学生进行练习和互动讨论。教师应及时给予指导和解答，促使学生巩固和应用所学知识。
4. 教学资源
本节课所需的教学资源主要包括教材、黑板、彩色笔等基本教学工具。除此之外，还可以辅助使用多媒体教学资源，例如投影仪、计算器等。
5. 教学评价
5.1 教学效果评价
2.4 教学重点和难点
本节课的教学重点是： - 向量数量积的计算方法； - 向量数量积的几何意义。
教学难点是： - 向量数量积的几何意义的理解。
3. 教学过程
3.1 导入与激发兴趣
教师可通过提问和展示实际生活中的例子，引发学生对向量数量积的兴趣和好奇心，激发学生积极思考。
3.2 知识讲解与示范
教师可通过讲解向量数量积的定义和性质，结合示意图进行直观演示，帮助学生理解概念和性质。
3.3 计算方法与技巧的讲解
教师可结合教材中的例题，详细讲解向量数量积的计算方法和常用的计算技巧，例如用向量坐标表示、向量分解、向量模长的性质等。
3.4 几何意义和应用的讲解
教师可通过实际问题的讲解，引导学生理解向量数量积的几何意义和应用。例如，通过计算向量的数量积来判断向量的夹角、判断四边形是否为矩形等。
2.2 教学目标
根据教材内容和学生的学习需求，本节课的教学目标主要包括： - 理解向量的数量积的概念和意义； - 掌握计算向量的数量积的方法和技巧； - 理解数量积的几何意义和应用。
2.3 教学内容
本节课的教学内容主要包括以下几个方面的内容： - 向量的数量积的定义和性质； - 向量数量积的计算方法； - 向量数量积的几何意义和应用。
人教版高一数学课件-空间向量的概念及运算
3 2.
OE＝OB－BD·cos 60°＝1－12＝12.
所以 D 点坐标为(0，－12， 23)，
即向量O→D的坐标为(0，－12， 23)．
1
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理数
(2)依题意：O→A＝( 23，12，0)，O→B＝(0，－1,0)，O→C＝ (0,1,0)．所以A→D＝O→D－O→A＝(－ 23，－1， 23)，
1
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理数
二 共線、共面向量定理的運用
【例 2】设 A，B，C 及 A1，B1，C1 分别是异面直线 l1， l2 上的三点，而 M，N，P，Q 分别是线段 AA1，BA1，BB1， CC1 的中点．求证：M、N、P、Q 四点共面．
1
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证明：依题意有B→A＝2N→M，A→1B1＝2N→P，则 P→Q＝P→B1＋B→1C1＋C→1Q ＝12B→B1＋B→1C1＋12C→1C ＝12(B→C＋C→C1＋C→1B1)＋B→1C1＋12C→1C ＝12(B→C＋B→1C1)．(*)
(1)MG 两点间的距离|M→G|； (2)cos 〈M→G，B→S〉的值．
1
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理数
解析：由已知得 S 的坐标为(0,0,6)，B(2,2,0)，C(－2,2,0)，
又因为 M 是 SO 的中点，G 是△SBC 的重心，
所以 M(0,0,3)，G(0，43，2)．
(1)|MG|＝ 02＋432＋3－22＝53. (2)M→G＝(0，43，－1)，B→S＝(－2，－2,6)，
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理数
第49講 空間向量的概念及運算
1
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理数
1
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理数
1．与向量 a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是
向量加法运算及其几何意义课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
解：（1）如图，AD表示船速，AB表示江水速度，以AD，AB为邻边作平行四边形
ABCD, 则AC表示船实际航行的速度。
（2）在直角三角形ABC 中，AB 6，BC 15，于是
2
2
AC AB BC 62 152 261 16.2.
因为tan CAB BC 5 ，所以利用计算工具可得CAB 68. AB 2
2 所以小船的实际航行速度15 3 km/ h，方向与河岸垂直.
2
课堂总结
1．向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系； 3. 向量在生活中的应用。
课后作业
完成导学案后的课后作业
谢谢聆听
本课结束
课堂练习
2.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 在 CD 上，判断下列各式是否正确。
（1）DA DP PA（×） （2）DA AB BP D（ P√） （2）AB BC CP PA（×）
3.在四边形 ABCD 中，B→C＋C→D＋D→A＝( D )
→ A.BD
→ B. AC
例3.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。现有一艘船从长江南岸 A点出发，以15km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东6km/h (1)用向量表示江水速度、船速及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的 夹角表示，精确到1°）
人教新课标A版高一数学《必修4》2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课后总结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算， 例如 λ＋a，λ－a 是没有意义的． 2.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩 a 大或缩小为原来的|λ|倍．向量 表示与向量 a 同向的单 |a| 位向量.
谢谢大家！
2 2 1 解：原式＝3(4a－3b)＋9b－6(6a－7b) 8 2 7 ＝ a－2b＋ b－a＋ b 3 9 6
8 2 7 5 11 ＝ 3－1 a＋ －2＋9＋6 b＝3a－18b
5 11 ＝ (3i＋2j)－ (2i－j) 3 18 10 11 11 34 71 ＝5i＋ 3 j－ 9 i＋18j＝ 9 i＋18j.
自我检测
→等 1.如图所示， D 是△ABC 的边 AB 上的中点， 则向量CD 于( B ) 1→ → A.BC＋2BA 1→ → C.－BC－2BA 1→ → B.－BC＋2BA 1→ → D.BC－2BA
1→ → → → → 解析 CD＝BD－BC＝2BA－BC.
2 1 2.设 a＝3i＋2j，b＝2i－j，试用 i，j 表示向量 [(4a－3b)＋ b－ 3 3 1 4(6a－7b)]．
小结 对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识， λ>0 时，λa 与 a 同向，模是|a|的 λ 倍；λ<0 时，λa 与 a 反向， 模是|a|的－λ 倍；λ＝0 时，λa＝0.
跟踪训练 1 下面给出四个命题： ① 对于实数 m 和向量 a、b，恒有 m(a－b)＝ma－mb； ② 对于实数 m、n 和向量 a，恒有(m－n) a＝ma－na； ③ 若 ma＝mb(m∈R)，则有 a＝b； ④ 若 ma＝na (m，n∈R，a≠0)，则 m＝n. 其中正确命题的个数是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
平面几何中的向量方法课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
3
+
2
4
2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则
此四边形为( A )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
由题意得 ＝(3,3)， ＝(2,2)，
∴ ∥，||≠||.
3．平面上有三个点A(－2，y)，B
0,
2
，C(x，y)(x≠0)，若
____________________________________________________________．
(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或
线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：
a⊥b⇔a·
b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))
1
2
CD＝DA＝ AB，求证：AC⊥BC．
证法二
如图，建立直角坐标系，
设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴ ＝(－1,1)， ＝(1,1)．
∴ · ＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.
∴AC⊥BC．
方法总结
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
___________________________________________________．
(3)求角问题，利用公式：cos〈a，b〉＝
⋅
1 2 +1 2
＝
_____________________
12 +12 22 +22
(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
(1)向量的线性运算法的四个步骤
高一数学向量知识点人教版
高一数学向量知识点人教版高一数学是学生接触高中数学的第一门课程，其中涉及到向量的学习。
向量作为高中数学的一个重要概念，不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、工程等领域也扮演着重要的角色。
本文将主要介绍高一数学中向量的相关知识点，以加深对向量的理解和应用。
1. 向量的基本概念：向量是有方向和大小的量，我们通常用有向线段来表示。
一个向量由起点和终点两个点确定，其中起点表示向量的起始位置，终点表示向量的终止位置。
向量一般用小写字母表示，如a，b，c 等。
例如，在平面直角坐标系中，向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1和a2分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
2. 向量的运算：(1) 向量的加法：向量的加法指的是将两个向量相加，其结果是一个向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
例如，对于两个向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)，它们的和为a+b=(a1+b1, a2+b2)。
(2) 向量的减法：向量的减法指的是将一个向量减去另一个向量，其结果仍是一个向量。
向量的减法可以通过向量的加法来实现。
例如，对于两个向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)，它们的差为a-b=a+(-b)=(a1-b1, a2-b2)。
(3) 向量的数乘：向量的数乘指的是用一个实数乘以一个向量，其结果仍是一个向量。
向量的数乘可以改变向量的大小和方向。
例如，对于一个向量a=(a1, a2)和一个实数k，它们的数乘为ka=(ka1, ka2)。
3. 向量的数量积与向量积：(1) 向量的数量积：向量的数量积又称为点积，表示为a·b，结果是一个实数。
向量的数量积可以用来计算两个向量的夹角。
具体计算公式为a·b=a1b1+a2b2。
(2) 向量的向量积：向量的向量积又称为叉积，表示为a×b，结果是一个向量。
向量的向量积主要用于计算平行四边形的面积和判断向量的方向。
具体计算公式为a×b=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)。
向量数乘运算及其几何意义课件高一下学期数学人教
a
B
•例 如图, ABCD
的两条对角线相交于
且 AB=a, AD b,你能用a,b表示MA、MB、MC和MD
解：在 ABCD中
D
C
AC AB AD a b
b
M
DB AB AD a - b A
a
B
平行四边形的两条对角线互相平分
MA 1 AC 1 a + b 1 a 1 b
3b
a 2b a b b
B
AC OC OA
a 3b a b 2b
AC 2AB a
所以,A、B、C三点共线
2b
A
b b
a
O
共线定理小练习
•1）点C在线段AB上,且AC︰CB = 2︰3
2
•则AC 5
AB
BC
-
3 5
AB
•2）判断下列各小题中的向量a与b是否共线
1a 2e,b 2e;
2a
结论: 2a+2b=2(a+b)
设a,b为任意向量，λ•,μ为任意实数，则
有：
①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。
对于任意的向量a、b, 以及任意实、数1、2，
恒有 (1a 2b)=1a 2b
探究与发现:
a=-b，所以a,b共线
2a e1 e2, b 2e1 2e2.
a=-2b， 所以a,b共线
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
例4.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且
人教新课标版数学高一B版必修4课件 向量的概念
思考1 向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？ 答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且 不能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段 表示，也可以用字母符号表示. 用表示向量的有向线段的长度表示.向量A→B的大小，也就是向量A→B 的长度(或称模).记作|A→B|，有向线段A→B箭头表示向量A→B的方向.
记作|a|.两个向量 a 和 b 同向且等长，即 a 和 b 相等，记作 a＝b.
3.向量的平行 (1)通过有向线段A→B的直线，叫做向量A→B的 基线 (如图).如果向量的基线互相平行或 重合，则称这些向量 共线 或 平行 .向量 a
平行于 b，记作 a∥b. (2)长度等于零的向量，叫做零向量 ，记作0.零向量的方向不确定， 在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量 平行 .
第二章 平面向量
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 02
记疑点
03 探要点
究所然
当堂测 04
查疑缺
明目标、知重点
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌 握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的 联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量 及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
当堂测·查疑缺
1234
1.下列说法中错误的是( C )
A.有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B.若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C.长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D.方向相反的两个非零向量必不相等
解析 长度相等但方向相反的两个向量一定共线，由向量的概念
向量的概念 课件 高中数学人教A版(2019)必修第二册
且|
的区别及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
|=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
②单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
③在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
牛刀小试
问题：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
定的，而向量是可以自由移动的；向量可以用有向线段表示，但并不能
说向量就是有向线段
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一
条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，
单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一
个单位圆
得正确选项.
测验
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改
变方向沿东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达
D点．
(1)作出向量AB，BC，CD ；
(2)求AD 的模．
(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量
（速度为10海里/小时）．如果只是给出指令：
“由A地航行15 海里”，小船能否到达B地？
• 如果不指明“向东南方向”航行，小船不一定到达B地
• 给出指令：“向东南方向航行”呢？
• 方向和距离缺一不可
新知探究
（1）向量的实际背景与概念
• 物理中我们学习了位移、速度、力等既有大小、又有方向的量，
在物理中被称为“矢量”，
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
人教版数学高一知识点总结
人教版数学高一知识点总结高一数学教材分为必修一和必修二两个部分，主要内容包括代数、函数、几何、概率与统计四个模块。
下面是对必修一和必修二的知识点进行总结：一、代数1.整数与有理数整数的概念、运算法则、有理数的概念、有理数的四则运算和小数表示。
2.多项式与因式分解多项式的概念和运算、多项式的乘法公式、因式分解公式和因式分解方法。
3.一次函数与一次不等式一次函数的概念和性质、一次函数的图像、一次函数的方程和不等式的解法。
4.二次函数与二次方程二次函数的概念和性质、二次函数的图像、二次方程的解法和应用。
5.分式与分式方程分式的概念和性质、分式的四则运算和化简、分式方程的解法和应用。
二、函数1.函数及其图像函数的概念和性质、函数的基本性质、函数的图像、函数的定义域和值域。
2.一次函数与二次函数一次函数和二次函数的概念、性质和图像、一次函数和二次函数的应用。
3.幂函数与指数函数幂函数和指数函数的概念、性质和图像、幂函数和指数函数的应用。
4.对数函数与指数方程对数函数和指数方程的概念、性质和图像、对数函数和指数方程的应用。
三、几何1.平面与空间中的图形点、线、角的概念和性质、平面图形和空间图形的基本性质。
2.平面向量平面向量的概念和运算、平面向量的线性运算、平面向量的应用。
3.空间向量空间向量的概念和运算、空间向量的线性运算、空间向量的应用。
4.直线和平面直线的方程和性质、平面的方程和性质、直线和平面的位置关系。
5.平面几何运动学平移、旋转、翻转、对称和相似的概念、平面几何运动学的性质。
四、概率与统计1.随机事件与概率随机事件的概念和性质、概率的概念和性质、概率计算的方法。
2.概率分布离散型随机变量的概率分布、连续型随机变量的概率分布、期望和方差的计算。
3.统计与抽样统计调查的方法和步骤、样本调查和总体调查的概念和性质。
4.统计图和统计量统计图的绘制和解读、统计量的计算和应用。
以上就是人教版数学高一必修一和必修二的知识点总结，涵盖了代数、函数、几何、概率与统计四个主要内容，对于高一学习数学非常有用。
高一数学平面向量 PPT课件 图文
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
6.1平面向量的概念-高一数学(人教A版必修第二册)之第六章平面向量
例3.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，写出 图中与向量 OA相等的向量.
OA DO=CB.
变式一：与向量 OA 长度相等的向量有多少个？ 11 个
变式二：是否存在与向量 OA 长度相等，方向相反的向量？ 存在，为 FE.
变式三：与向量 OA长度相等且共线的向量有哪些？
CB, DO, FE
A
8.(1).下列说法正确的是 B( )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
(2).已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量.
相等的有7个.
长度相等且共线的有 15个. A
11、用有向线段表示两个相等的向量，这两个有向
线段一定重合吗？
不一定
练习6、在直角坐标系xoy中，有三点A（1，0），B
（-1，2），C（-2，2），请用有向线段分别表示A
到B，B到C，C到A的位移.
y CB 2
1
A -2 -1 O 1 x
小结
1.向量的概念: 既有大小又有方向的量
有什么关系？ 提示:平行.
4.共线向量与平行向量的关系
平行向量就是共线向量， 共线向量就是平行向量！
说明：我们所研究的向量为自由向量，只与大小
和规方定向：有零关向，量与与有向任线一段向的量起平点行位置无关，有向线
段只是向量的一种几何表示！
概念辨析
例1、判断
温馨提示：
1.做题时要注意向量平行（共线）与直线平行、共线的区别
6.1平面向量的概念
思考:力，时间,路程,功是向 量吗?速度,加速度是向量吗?
人教版高中数学高一A版必修4 第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念
第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念1．丰富多彩的背景，引人入胜的内容．教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了平面向量的有关知识．学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示．向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．最后介绍了平面向量的应用．2．教学的最佳契机，全新的思维视角．向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的．反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着密切的联系，向量应用的优越性也是非常明显的．全新的思维视角，恰当的教与学，使得向量不仅生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机．3．本章充分体现出新教材特点．以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容，注重向量运算与数的运算的对比，特别注意知识的发生过程．对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论．这一章中的一些例题，教科书不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法．解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题．对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力．向量的坐标实际上是把点与数联系起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题．4作者：赵勇，永安三中教师，本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖整体设计教学理念新的课程标准要求我们创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程，获得知识、能力、情感的全面发展．本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变．教学目标1．通过力的分析等实例，了解向量的实际背景；理解向量的概念．2．理解向量的几何表示；掌握零向量、单位向量、平行向量等概念；3．理解相等向量和共线向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量．教学重点、难点1．通过学生自主探究，并在教师的引导下，使学生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等是本节课的重点．2．难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解．学情和教材分析《向量》是高中数学新教材必修四第二章第1节．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具．向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用．所以，向量是高考必考的重点内容，又因为其抽象性，它还是学生在学习中的一个难学内容．本节内容是向量一章的第一节课，因此，是十分关键、重要的一节课．教学准备多媒体课件教学过程导入新课位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．如图1，如何由点A确定点B的位置？图1一种常用的方法是，以A为参照点，用B点A点之间的方位和距离确定B点的位置．如，B点在A点东偏南45°，30千米处．这样，在A点与B点之间，我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置．有向线段AB就是A点与B点之间的位移．位移简明地表示了位置之间的相对关系．像位移这种既有大小又有方向的量，加以抽象，就是我们本章要研究的向量．推进新课新知探究本章引言中，我们知道，位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？图2请大家阅读课本2.1.1向量的物理背景与概念；2.1.2向量的几何表示．并回答下面问题： (1)什么是向量？向量和数量有何不同？ (2)向量如何表示？(3)什么是零向量和单位向量？ (4)什么是平行向量？待学生阅读完后，老师总结并展示课件： 1．什么是向量？向量和数量有何不同？(数量：只有大小，没有方向的量) 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？ 数量有：质量、身高、面积、体积 向量有：重力、速度、加速度提问：角度，海拔，温度是向量吗？ 2．向量如何表示？(1)几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．图3 注：以A 为起点，B 为终点的有向线段记为AB →，线段AB 的长度记作|AB →|(读为模)； (2)也可以表示为a ，b ，c ，…，大小记作：|a|、|b|、|c |、…说明一：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置．所以数学中的向量也叫自由向量．如图4：它们都表示同一个向量．图4练习：向量AB →和BA →是同一个向量吗？为什么？ 不是，方向不同．探究：向量就是有向线段吗？有向线段就是向量吗？ 说明二：有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向．向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向．图5有向线段AB →、CD →是不同的．图6向量AB →、CD →是同一个向量． 3．什么是零向量和单位向量？零向量：长度为0的向量，记为0； 单位向量：长度为1的向量．注：零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的． 向量之间的关系： 4．什么是平行向量？方向相同或相反的非零向量叫平行向量． 注：1.若是两个平行向量，则记为a ∥b .2．我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a . 练习：判断下列各组向量是否平行？图7向量的平行与线段的平行有什么区别？ 练习：已知下列命题：(1)向量AB →和向量BA →长度相等；(2)方向不同的两个向量一定不平行；(3)向量就是有向线段；(4)向量0＝0；(5)向量AB →大于向量CD →.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B例1试根据图8中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A 地至B 、C 两地的位移，并求出A 地至B 、C 两地的实际距离(精确到1 km)．图8请同学们阅读课本2.1.3相等向量与共线向量，并回答问题：什么是相等向量和共线向量？待学生回答后，老师总结并展示课件： 5．什么是相等向量和共线向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量．a ＝b ＝c A 1B 1→＝A 2B 2→＝A 3B 3→＝A 4B 4→图9注：1.若向量a ，b 相等，则记为a ＝b ；2．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．平行向量也叫共线向量．注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上． 练习：判断下列命题是否正确：(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；(2)若|a|＝|b |，则a ＝b ；(3)若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；(4)平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(5)若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；(6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中不正确命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C练习：下列说法正确的是( ) A ．若|a|>|b|，则a>b B ．若|a |＝0，则a ＝0C ．若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ∥b ，则a ＝bE ．若a ＝b ，则|a|＝|b |F ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量G ．若a ＝0，则－a ＝0 答案：EG例2如图10，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的向量．图10解：OA →＝CB →＝DO →， OB →＝DC →＝EO →， OC →＝AB →＝ED →＝FO →.练习：如图11，EF 是△ABC 的中位线，AD 是BC 边上的中线，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：图11(1)与向量CD →共线的向量有________个，分别是________________________________；(2)与向量DF →的模一定相等的向量有________个，分别是______________________；(3)与向量DE →相等的向量有________个，分别是__________．答案：(1)7 DC →、DB →、BD →、FE →、EF →、CB →、BC → (2)5 FD →、EB →、BE →、EA →、AE →(3)2 CF →、FA →课堂小结 通过本节课的学习，要求大家能够理解向量的概念；掌握向量的几何表示；理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用．作业习题2.1A 组2,5设计思路1．首先先对本节课教材内容进行分析2．教材内容的安排和处理根据我所教学生的特点，我对教材进行了如下处理，先由物理中的位置关系导入新课，然后提出问题，并要求学生带着问题去阅读课本，最后由老师总结，并对概念进行概念辨析，以加大学生的思维的深度，拓宽了学生的视野，实现本节课难点的突破，整堂课充分发挥学生的主导作用．3．教法“问题是数学的灵魂，也是学好数学的必然手段”，本节课总体上以问题串的形式，设计为七问五练．着重抓四个知识点，突出学生的“主导地位”．并通过多媒体课件的演示，直观展示向量的有关内容，激发学生的兴趣．4．学法指导以问题为载体，通过提问、阅读、归纳，练习的过程，掌握思考、讨论、交流的学习方法，并体验探究和发现的乐趣．。
人教版高中数学必修26.4平面向量的应用 教案
6.4平面向量的应用教学设计证明：如图，因为平面几何问题转化为向问题中的几何元素，将几何与向量的联系，用解：第一步，建立平面D(1,1),P(x,1-x),E(0,1-x),F(x,0)(1,),(,DP x x EF x x ∴=--=DP EF DP EF∴⊥∴⊥(1)(1)DP EF x x x x =---小结：①建立坐标系；②写出用到的点的坐标及向量坐标；③进行坐标运算；④还原为几何问题。
几何问题代数化数形结合思想2、如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解 设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2， ∴5－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝12.又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，∴|AC →|＝6，即AC ＝ 6.方法总结：向量在平面几何中常见的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R ，b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))(3)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a |=a 2＝x 2＋y 2(a ＝(x ，y ))或AB ＝|AB →|＝x 1－x 22＋y 1－y 22(A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)) 知识探究（二）：向量在物理中的应用举例下面，我们再来感受下向量在物理中的应用。
向量的概念+课件-高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
正确.
2.有下列说法:
①若向量 a 与向量 b 不平行,则 a 与 b 方向一定不相同;②若向量
|,且
与
同向,则
>
;
③若|a|=|b|,则 a,b 的长度相等且方向相同或相反;
④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行.
【解析】由正六边形性质知,△FOA 为等边三角形,所以边长 AF=|a|=1.
【类题通法】寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再找同向与
反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点
的向量.
(2)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是
与向量
的长度相等
C.向量就是有向线段
D.零向量是没有方向的
【解析】选 B.A.单位向量的方向任意,所以当起点相同时,终点在以起点为圆心的
单位圆上,终点不一定相同,所以该选项不正确;
B.向量
与向量
是相反向量,方向相反,长度相等,所以该选项正确;
C.向量是既有大小,又有方向的量,可以用有向线段表示,但不能说向量就是有向线
1.向量的概念和表示方法
大小
方向
矢量
(1)概念:既有_____,又有_____的量.(也称为_____)
(2)向量的表示:
有向线段
大小
①几何表示:用_________来表示向量,有向线段的长度表示向量的_____,箭头所
方向
指的方向表示向量的_____,即用有向线段的起点、终点字母表示,如
高一数学知识点及公式总结人教版
高一数学知识点及公式总结人教版高一数学知识点及公式总结（人教版）在高一数学学习中，我们需要熟练掌握各种知识点和公式，以便能够解决各类数学问题。
本文将对高一数学的知识点和公式进行总结，以帮助同学们更好地学习和理解。
一、函数与方程1. 初等函数- 线性函数：y = kx + b- 平方函数：y = ax^2 + bx + c- 指数函数：y = a^x (a > 0, a ≠ 1)- 对数函数：y = loga x (a > 0, a ≠ 1)- 三角函数：sinx, cosx, tanx2. 二次函数- 一般式：y = ax^2 + bx + c- 平移变换：y = a(x - h)^2 + k- 求解二次方程：ax^2 + bx + c = 03. 不等式与不等式组- 一元一次不等式：ax + b > 0 (a ≠ 0)- 一元一次不等式组：{ax + by > 0; cx + dy < 0 - 一元二次不等式：ax^2 + bx + c > 0 (a ≠ 0)二、解析几何1. 点、线、面与向量- 坐标平面及平面直角坐标系- 向量的定义与性质：平行、共线、共面- 直线的方程：点斜式、两点式、截距式2. 平面图形- 直线与圆的位置关系- 圆的方程：标准式、一般式- 二次曲线：椭圆、双曲线、抛物线三、立体几何1. 空间几何体- 平行线与平面的位置关系- 空间直线的方程：点向式、两平面交线 - 球的方程与性质2. 空间坐标与向量- 空间直角坐标系- 向量的数量积与向量积- 空间几何中的距离与角度四、数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质- 等差数列与等差中项数- 等比数列与等比中项数- 通项公式与前n项和公式2. 数学归纳法- 数学归纳法的基本思想与证明方法- 常用的数学归纳法证明题型五、概率与统计1. 概率的基本概念- 随机事件与样本空间- 古典概型与几何概型- 概率的计算方法：加法原理、乘法原理、全概率公式、贝叶斯公式2. 统计与误差分析- 数据的收集与整理- 频数与频率分布表- 各种统计图表的制作与分析以上仅为高一数学知识点及公式的总结，希望能够对同学们的学习有所帮助。
向量的概念 高一数学课件(人教B版2019必修第二册)
6向量的长度： 向量 AB 的大小也就是向量的
长度（或叫做模），记做| AB |，|ａ| 平面直角坐
7零向量、单位向量概念：
标系内有多
①长度为0的向量叫零向量，记作
少个单位向
0 量？
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
8.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零
向量叫平行向量； ②规定0与任一向量平行.
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
例5：D、E、F依次是等边△ABC的边AB、
BC、CA的中点，在以A、B、C、D、E、F
为起点或终点的向量中，
(1)找出与向量 DE
A
相等的向量； AF和FC
D
F
(2)找出与向量 DF
共线的向量．
B
E
C
BE,EB,EC,CE,BC,CB,FD
向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
9.相等向量定义
长度相等且方向相同的向量叫相 等向量.
（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；
（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向 线段来表示，并且与有向线段的起点无关
10共线向量 ： 任一组平行向量都可移到同一 直线上.因此平行向量 也叫共线向量
北京 O ）50o
天津 A
巩固概念.下面几个命题：
（1）若a = b，b = c，则a = c。 （2）若|a|=0，则a = 0 （3）若|a|=|b|，则a = b
（4）两个向量a、b相等的充要条件是
|a|=|b| a ∥b
（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
6.1.1 向量的概念
平面几何中的向量方法 高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
向量具有“几何”与“代数”的双重身份
1、我们学了向量的线性运算与数量积运算，你能说出它们的 几何意义吗？这与平面几何哪些内容可以相互联系与转化？
B A
O D
A
B C
O B
A B
)
O
A
数量积性质？
求模 求夹角 证垂直
2、向量的代数身份是通过什么来实现的？坐标表示
当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数” 的计算
又有公共点 P，则 A,C, P 三点共线．所以 B 正确．
故选：B
5．(多选)点 P 是ABC 所在平面内一点,满足
PB PC PB PC 2PA 0 ,则ABC 的形状不可能是
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【详解】∵P 是 ABC 所在平面内一点，且
，∴ ， | PB PC | | PB PC 2PA | 0
例 7．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1， 点 E 是 AB 边上的动点，求：
(1) DE CB 的值；(2) DE DC 的最大值．
（2）因为 DE 1, x, DC 0,1 ，所以 DE CB 1 0 x 1 x ， 因为0 x 1， 所以 DE DC 的最大值是 1.
例 8．如图，在
(1)当 a ， b 满足什么条件时，a b a b ? (2)当 a ，b 满足什么条件时， a b a b ?
（2）由（1）可得， a b AC, a b BD a b a b ，即 AC BD ，此时四边形 ABCD 为矩 形从而可得 AB AD a b 时， a b a b .
（5）、两向量垂直的充要条件：向量 a b a •b 0
高一数学向量知识点以及典型例题
平面向量知识点回顾一、 向量的概念（1）向量的基本要素：大小和方向.（2）向量的表示：几何表示法AB ；字母表示：a ；坐标表示法(,)x i y j x y α→→=⋅+⋅=. （3）向量的长度：即向量的大小，记作2a x y =+（4）特殊的向量：零向量a ＝O｜a ｜＝O . 单位向量a 为单位向量｜a ｜＝1.（5）相等的向量：大小相等，方向相同12112212(,)(,)x x x y x y y y =⎧=⇔⎨=⎩（6） 相反向量：0a b b a a b =−⇔=−⇔+=（7）平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.二、向量的运算法则（1）加法a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AB BC AC +=注：向量的加法口诀：首尾相连，首连尾，方向指向末向量。
（2）减法()a b a b −=+− （减法可以变成加法来计算，因此加法的相关运算法则减法也适用）AB BA =− OB OA AB −=注：向量的减法口诀：首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。
（3）数乘()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=注：1.a λ是一个向量,满足:a a λλ=；2.λ>0时, a λ与a 同向; λ<0时, a λ与a 异向; λ=0时,0a λ=.（4）数量积a b b a ⋅=⋅()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅()22a a =a b a b ⋅≤注：1.a b ⋅是一个数；2.00a b ==或时，0a b ⋅=；3. 00a b ≠≠且时，()cos ,,a b a b a b θθ⋅=是之间的夹角三、向量的直角坐标系运算法则 ()11,a x y =，()22,b x y =（1） 加法()1212,a b x x y y +=++（2） 减法()1212,a b x x y y −=−−（3） 数乘()11,a x y λλλ=（4） 数量积1212a b x x y y ⋅=+21a x y =+四、重要的定理以及公式（应用）（1）平面向量基本定理1e ，2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数12,λλ，使112a e e λλ=+.注：1.我们把不是共线的1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；2.基底不是唯一的，关键是不是共线；3.由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e ，2e 的条件下进行分解；4.基底给定时，分解形式是唯一的，12,λλ是被a 、1e ，2e 唯一确定的数量。
高一数学(人教A版)必修4课件：向量数乘运算及其几何意义
1 → → [拓展]在△ABC中，D是BC的中点，则有 AD ＝ ( AB ＋ 2 → AC)．
1 将 [2(2a＋8b)－4(4a－2b)]化简成最简式为( 12 A．2a－b C．a－b B．2b－a D．b－a
)
[答案]
[解析]
B
1 1 原式＝ 12 (4a＋16b－16a＋8b)＝ 12 [(4－16)a＋(16
→ → AB＝λBD，只要由已知条件找出 λ 即可． (2)由两向量共线，列出关于 a、b 的等式，再由 a 与 b 不 共线知，若 λa＝μb，则 λ＝μ＝0.
[解析]
→ → 证明：(1)∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，
→ CD＝3(a－b) → → → ∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b) → ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB. → → ∴AB、BD共线， 又∵它们有公共点 B，∴A、B、D 三点共线．
→ → 规律总结：在上述证明过程中，由 AB 与 AD 不共线及(λ 1 → 1 → → → －μ)AD ＝(1－μ－ λ)AB ，知必有(λ－μ) AD ＝(1－μ－ λ)AB ＝ 2 2 0，进而得到关于λ与μ的方程组．通过本例，应掌握利用向量 共线的条件解题的方法．
如图，O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三 → → → → AB AC ＋ 个点，动点 P 满足OP＝OA＋λ ，λ∈[0，＋∞)，则 → → |AB| |AC| 点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
(2)∵ka＋b 与 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb) 即 ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b， ∵a、b 是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝± 1.
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高一数学向量几何人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容
向量几何
【典型例题】
[例1] 已知向量a 与b 反向，下列等式成立的是（ C ）
-=-
-=+
-=+
+=+
解：利用向量加、减法的法则，当a 与b
-为a 与b 长度之和。
[例2] 已知非零向量AB 、BC 、CA ，条件甲：0=++CA BC AB ，条件乙：AB 、BC 、
CA 组成三角形ABC ，则甲是乙的（ B ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
CA AC CA BC AB 和Q 使，用向量的方法证明P 、A 、Q 三点共线
一. 选择题
1. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若AB 和CD >，且AB 与CD 同向，则CD AB >
B. =，则a 与b 的长度相等且共线
C. 对于任意向量a 、b +≤+
D. 0不能与任何向量平行
2. 下面有四个式子：① a a =--)( ② a a =+0 ③ b a b a -=-+)( ④ 0=-a a 则正确的是（ ）
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②④ 3. 如图，点M 是ABC ∆的重心，则MC MB MA -+为（ ） A. 0 B. ME 4 C. MB 4 D. MF 4
7. 已知正方形ABCD 的边长为1，a AB =，b BC =，c AC ==++b （ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 22
8. 在平行四边形ABCD 中，设a AB =，b AD =，c AC =，d BD =，则下列等式不
9. 向量a 、b
8=
12=
+的最大值、最小值分别为 。
10. 设a 表示向正西北走10km ，b 表示正东北走5km ，c 表示正东南2km ，则c b a 52++
试题答案
一.
1. C
2. A
3. D 提示：MF MB MA 2=+ MF FM MC 22-==
4. C 提示：与OA 共线的有：OD 、EF 、CB
5. B 提示：DB AD AB b a =-=-
6. D
7. D
8. B 二.
9. 20、4
10. 向东北走10km 提示：b b b c a 2202)5(=+=++ 三.
11. 解：)(6
1
6131OB OA b BA OB BC OB BM OB OM -+=+=+
=+= )(61b a b -+=b a 6
5
61+=
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