PD反馈特征结构配置在最优控制问题中的应用

2008年 4月 第 22 卷 第 2期
装 甲 兵 工 程 学 院 学 报
Jou rnal ofA cademy of Ar mo red Force Engineering
Ap r .
2008
Vo l . 22 No . 2
文章编号 : 1672 2 1497 ( 2008 ) 02 2 0071 204
, A ′=
0
C
I A
, B ′=
0
B
.
1 问题提出
考虑如下形式的二阶线性系统 :
q ¨- A q � - C q = B u,
n r
采用如下反馈控制律 :
u = K0 q + K1 q � = Kx, K = [ K0 K1 ] ∈ R (1)
r× 2n
,
系统 ( 1) 对应的闭环系统为
x � = A c x, A c = A ′ + B′ K. ( 3)
K∈R r
n
对 Q ( s )进行如下分块 :
Q ( s) = Q 11 ( s) Q 21 ( s ) Q 12 ( s) Q 22 ( s ) , Q11 ( s) ∈ R
n× r
[ s ].
r× 2n
, 使其满足 :
基于上述推导 , 可通过下面定理给出问题 ESA 的解 。 [5 - 6] 定理 1 : 给定二阶线性系统 ( 1 ) 和 一组共 轭复数 si , i = 1, 2 …, 2 n, 则有 1 ) 如果矩阵对 (A , B ) 可控 , 那么矩阵对 (A ′ ,
2 ) 当上述条件满足时 , 满足方程 ( 10 ) 及 ( 11 ) 的所有矩阵 V 和 W 的参数化表达式可如下给出 :
v1 i v2 i L 11 ( si ) g i si L11 ( si ) g i
punov方程的正定对称解 :
Ac P + PAc = - K R K.
T T
(5) ) 表示矩阵
)可控的 充分 必要 条件 是存 在单 模阵 H ( s ) ∈ B′
R
n ×n
和
L11 ( s) L21 ( s) L12 ( s) L22 ( s) , L 11 ( s ) ∈ R
n× r
L ( s) =
[ s]
时 , 满足
H ( s ) [Q 12 ( s ) P ( s ) C + s I Q11 ( s) ]L ( s) = [ 0 In ]. ( 13)
(Depart m en t of Control Engineering, Academ y of A r mored Fo rce Engineering, B ei jing 100072, Ch ina)
Abstra ct: The problem of p roportiona l plus derivative ( PD ) feedback e igenstructure configuration and its app lica tions in optima l control problem s are investigated in a second 2orde r linear system s . B ased on the parame tric me thod of e igenstruc ture assignment via PD feedback, the op tim al control p roblem in second order linear system s is formula ted as a constra ined m inim ization problem and a corresponding a lgorithm for this m inim ization p roblem is p roposed. A lumped ma ss2spring da shpot system with three degrees and the sim ulation results show the effectiveness of this proposed a lgorithm. Key wor ds: second2order linear system s; feedback control; optima l control; e igenstruc ture configuration 许多机械系统的动力学特性都可以用二阶线 性系统表示 。作为一种重要设计方法 , 二阶线性系 统的特征结构配置引起了广泛关注
r ×r
令
V =
V1 V2
, V1 , V2 ∈ C
,
将其代入方程 ( 9 ) , 可得
V2 = V1Λ, A V2 + BW = V 2Λ - CV 1 . ( 10 ) ( 11是能控的 , 故通过对 [ A - s I
B ]进行一系列的矩阵初等变换 , 得单模矩阵 P ( s )
x �= A′ x +B′ u, ( 2) q q �
。笔者在
文献 [ 5 - 9 ]中给出了二阶线性系统的比例微分反 馈特征结构配置方法 , 其结果具有显示完全参数化 形式 。该方法充分利用了二 阶线性系统的 数学结 构 , 只与原二阶线性系统参数矩阵有关 , 提供了系统 设计的自由度 。
其中 x =
则方程 ( 4) 可写为
Ac V = VΛ. (7) (8) (9)
n× 2n
令 则方程 ( 7) 变为
W = KV , A′ V + B′ W = VΛ.
3 求解问题 O ESA
基于定理 1 中特 征结构配置设计的参数化方 法 , 可给出如下求解 OESA 的定理 。 定理 2: 给出二阶线性系统 ( 1 ) 和一组共轭复数 )可 si , i = 1, 2, …, 2 n , 如果矩阵对 ( A , B ) 和 ( A ′ , B′ 控 , 那么对任意 正定对 称矩阵 R ∈ R ( 5) 的所有矩阵 P 可通过下式给出 : T T 1 V - T g i M ( si ) RM ( sj ) g j P = 2 si + sj
σ( 其中
) 表 示矩阵的特征值 ; tr (
r ×r
V = [ v1 v2 … v2n ], vi =
=
, ( 14)
的迹 ; R ∈R 为任意正定对称矩阵 。 上述的极小化问题等价于如下指标的最优控制 问题
[ 10 11 ]
W = [ w1 w 2 … w2n ], w i = M ( si ) g i ,
( 15)
:
∞
I =
0
u ∫
T
( t) R u ( t) d t.
(6)
其中 v1 i 、 v2i ( i = 1 , 2, …, 2 n ) 分别是矩 阵 V 1 和 V2 的列向量 ;
M ( si ) = Q21 ( si ) L 21 ( si ) - Q22 ( si ) P ( si ) CL11 ( si ) .
其中 q ∈ R 、 u ∈ R 分别是该系统的状态向量和输
收稿日期 : 2008 2 01 2 07 作者简介 : 王国胜 ( 1975 - ) , 男 , 河北迁安人 , 讲师 ,博士.
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装甲兵工程学院学报
第 22 卷
( n + r)
假设闭环系统 ( 3 )的特征值为 si ∈C , 和其对应的特 征向量为 vi ∈C , i = 1, 2 , …, 2n, 则有
(A c - si I) vi = 0 , i = 1, 2, …, n. (4)
2n
∈R
[ s]和 Q ( s ) ∈ R [ s ] , 满足 ( ) ( ) P s [ A - sI B ]Q s = [ 0 I ], Π s ∈ C. ( 12)
n
× n
×( n + r)
从而二阶线性系统 ( 1 )的比例微分反馈特征结构配 置问题可如下描述 。 问题 ESA ( Eigenstruc ture A ssignm ent) : 给定二 阶线性系统 ( 1 ) 和一组共轭复数 si , i = 1, 2, …, 2 n , 求解比例微分反馈增益阵 K∈ R 1 ) 方程 ( 4 )成立 ; 2 ) 特征向量 vi ( i = 1, 2, …, 2 n ) 线性无关 。 在问题 ESA 的基础上 , 二阶线性系统 ( 1 ) 的最 优控制问题可如下描述 。 问题 OES A (Optimal Eigenstruc ture Assignm ent) : 给定二阶线性系统 ( 1 ) , 一组共轭复数 si 和稳定区 域 si , i = 1 , 2, …, 2n, 以及 正定 对称矩 阵 , 在问 题 ESA 的解中寻求增益阵 K∈ R r ×2n , 满足 1 )σi (Ac ) = s i ∈Si , i = 1, 2, …, 2 n; 2 ) m in tr ( P ( K ) ) , 其中 P ( K ) 是下 述 Lya 2 × 2
2 求解问题 E SA
Λ = diag ( s1 , s2 , …, s2 n ) , 令
V = [v 1 v 2 … v 2n ],
此外 , 问题 ESA 的所有反馈增益矩阵 K为
K = WV
r -1
,
( 16)
其中 gi ∈C ( i = 1, 2 , …, 2 n) 为一组自由参量 , 且 满足如下 2 个约束 : 约束 1 : s i = sj Ζ g i = g j , i, j = 1, 2 , …, 2n ; 约束 2 : det (V ) ≠0.
Ap p l ica t ion s of PD F eedba ck E igen str u ctur e C on f igu ra t ion i n O p ti m a l C on tr ol P r ob lem s