20172018学年江苏省南通市如皋市高三(上)第一次联考数学试卷

2017-2018学年江苏省南通市如皋市高三（上）第一次联考数学

试卷

一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=．

2．（5分）函数的定义域为．

3．（5分）已知向量、满足||=2，||=3，、的夹角为60°，则|2﹣|=．

4．（5分）若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则f（3）=；不等式f（x）+f（﹣x）＜的解集为．

5．（5分）已知函数f（x）=，则f（﹣9）=．

6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB=（3c﹣b）cosA，则cosA=．

7．（5分）已知函数f（x）=x+lnx﹣4的零点在区间（k，k+1）内，则正整数k 的值为．

8．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+x在区间（0，2）上是单调增函数，则实数a的取值范围为．

9．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为4，将函数f（x）的图象向右平移个单位后，所得图象关于原点轴对称，则函数y=f（x）在[0，1]上的值域为．

10．（5分）已知函数，其中e为自然对数的底数，则不等式f（x ﹣2）+f（x2﹣4）＜0的解集为．

11．（5分）如图，在四边形ABCD中，=5，BD=4，O为BD的中点，且=，

则=．

12．（5分）已知函数f（x）=在区间（1，2）上存在最值，则实数a的取值范围是．

13．（5分）已知函数若g（x）=f（x）﹣m有三

个零点，则实数m的取值范围是．

14．（5分）在△ABC中，若，，成等差数列，则cosC的最小值为．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．已知，设向量，．

（1）若∥，求x的值；

（2）若，求的值．

16．已知函数f（x）=x3﹣+3kx+1，其中k∈R．

（1）当k=3时，求函数f（x）在[0，5]上的值域；

（2）若函数f（x）在[1，2]上的最小值为3，求实数k的取值范围．

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c﹣b=2bcosA．

（1）求证：A=2B；

（2）若cosB=，c=5，求△ABC的面积．

18．如图，矩形ABCD是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB=50米，AD=100米．现拟在直角三角形OMN内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中，点O 为AD的中点，OM⊥ON，点M在AB上，点N在CD上），将破旧的道路AM重

新铺设．已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM成本为每米500元，设∠OMA=θ，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f（θ）．

（1）求f（θ）关于θ函数关系式，并写出定义域；

（2）为节约投入成本，当tanθ为何值时，总费用f（θ）最小？

19．已知二次函数f（x）为偶函数且图象经过原点，其导函数f'（x）的图象过点（1，2）．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设函数g（x）=f（x）+|f'（x）﹣m|，其中m为常数，求函数g（x）的最小值．

20．设函数．

（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）讨论函数f（x）的单调性；

（3）当时，求证：对任意，都有．2017-2018学年江苏省南通市如皋市高三（上）第一次联

考数学试卷

参考答案与试题解析

一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）={1，4} ．

【解答】解：由M={1，2，3}，N={2，3，4}，

∴M∩N={1，2，3}∩{2，3，4}={2，3}，

又U={1，2，3，4}，

∴∁U（M∩N）={1，4}．

故答案为{1，4}．

2．（5分）函数的定义域为．

【解答】解：∵函数，∴1﹣2log 2x≥0，∴log2x≤=，

∴0＜x≤，故函数的定义域为，

故答案为．

3．（5分）已知向量、满足||=2，||=3，、的夹角为60°，则|2﹣|=．

【解答】解：∵向量、满足||=2，||=3，、的夹角θ=60°，

∴|2﹣|==

==

故答案为：

4．（5分）若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则f（3）=；不等式f（x）+f（﹣x）＜的解集为（﹣1，1）．

【解答】解：设指数函数解析式为y=a x，因为指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），所以4=a﹣2，解得a=，所以指数函数解析式为y=，所以f（3）=；不等式f（x）+f（﹣x）＜为，设2x=t，不等式化为，所以2t2﹣5t+2＜0解得＜t＜2，即＜2x＜2，所以﹣1＜x＜1，所以不等式的解集为（﹣1，1）．

故答案为：；（﹣1，1）．

5．（5分）已知函数f（x）=，则f（﹣9）=2．

【解答】解：∵当x＜0时，f（x）=f（x+2），

∴f（x）在（﹣∞，2）上是周期为2的函数，

∴f（﹣9）=f（1）=3﹣1=2．

故答案为：2．

6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB=（3c﹣b）cosA，则cosA=．

【解答】解：已知等式acosB=（3c﹣b）cosA，