对股票收益率时间序列的检验研究

金融学对股票收益率时间序列的非线性及机制转变的检验研究王煦逸1林阳春2（同济大学中德学院，上海 200092）0 引言近年来，对金融市场的时间序列的进行建模，试图通过计量经济学模型解释金融市场时间序列的内在关系一直是金融经济学和计量经济学研究的热点课题。

关于金融市场的研究也大都集中于研究金融资产收益率。

Campbell，Lo，MacKinlay认为金融资产收益率可以更好地解释投资的机会收益，同时金融资产收益率时间序列由于本身的统计特性也能更容易建立成模型。

传统的金融资产收益率时间序列模型以线性关系为假设，最重要的是随机游走假设和ARMA模型。

关于随机游走假设的研究主要是讨论金融资产收益率的可预测性。

一般来说，关于实证检验随机游走假设的研究十分困难，原因在于过去和将来的价格变化之间的独立性很难被直接检验出来。

Granger和Morgenstern（1964）在美国的股票市场，Cristina Del Rio（1997）在西班牙的股票市场，Conrad和Jüttner（1993），Ronning（1974），Mühlbradt（1978）和Möller（1986）在德国的股票市场上的研究都否定了随机游走假设。

Conrad和Jüttner（1973）认为，连续的价格变化随机性地相互独立，许多股票收益率分布都存在显著的独立性。

通过随后大量的研究发现，ARMA过程对于描述金融资产收益率时间序列是十分合适的，因为在这种情况下参数和矩函数都比较容易确定。

1970年，Box/Jenkins(1976)解释了ARMA模型建立和参数估计的问题。

从70年代开始，大量关于金融资产收益率的时间序列的线性模型研究都采用了ARMA与其扩展模型，实证研究表明，ARMA模型可以较好地解释金融资产收益率的时间序列的线性结构。

然而由于金融资产收益率时间序列特殊的统计性质，80年代以来，越来越多的研究结果表明了金融资产收益率时间序列具有的非线性的关系，传统的金融资产收益率时间序列线性模型已经不能完整的刻画金融资产收益率时间序列的分布。

90年代以来，关于金融资产收益率时间序列的非线性建模取得了很大的成功。

Maravall（1983）用Bilinear模型研究了西班牙金融市场上的股票收益率。

根据研究结果Maravall 认为，通过Bilinear模型可以修正由ARMA模型产生的10%的预测错误。

Clements和Krolzig （1998），Rothman（1998）则利用了TAR模型成功地模拟了美国宏观经济指标的分布。

De Gooijer (1998)，Potter（1995），Montgomery等等的研究也得出了相似的结果。

随着时间的推移，越来越多的经济科学家都致力于用研究金融资产收益率时间序列的非线性建模。

例如，Granger和Anderson（1978）的Bilinear模型，Tong（1978）的TAR模型，Priestley（1980）的State Space模型，Hamilton（1989）的MRS模型。

在用非线性模型描述金融资产收益率时间序列之前，首先必须解决下列问题：1）线性模型（例如ARMA模型）是否足以描述德国股市DAX30收益率时间序列？2）在DAX30 收益率时间序列中是否存在非线性和机制转变呢？为了回答这两个问题，在本论文中，通过对德国股票市场DAX30指数的收益率时间序列进行实证研究，并对DAX30指数收益率时间序列的非线性性质和机制转变性质进行检验。

1 金融资产收益率时间序列的非线性检验由于许多复杂的时间序列过程并不能通过线性模型完全描述出来，对于非线性模型的应用逐渐受到人们的关注。

对时间序列的非线性检验则成为一个对时间序列成功建模的前提条件。

只有能够成功地检测出时间序列非线性的性质，对时间序列的非线性分析才有意义。

80年代以来非线性检验逐渐成为金融市场理论的一个重要的研究领域，在这种情况下，很多用于非线性检验的新方法和技术应运而生，例如McLeod－Li －检验，Bispectral检验，BDS检验，RESET检验，F检验，神经网络非线性检验等等。

由于时间序列非线性的来源无法得知，因此哪种检验方法最好也很难下定论。

本文将采用部分检验方法，如McLeod－Li －检验和BDS检验。

1王煦逸：管理学博士，同济大学中德学院内部控制学基金教席教授, 同济大学中德学院泽尔腾经济管理研究所常务副所长, 研究方向为行为金融,、金融风险控制和商业银行管理2林阳春：经济学硕士，同济大学中德学院内部控制学基金教席，研究方向为资本市场，公司治理和风险控制；本项目由德国蒂森克虏伯公司基金资助1．1 McLeod －Li 检验Granger 和Anderson （1978）认为，ARMA 模型的残差平方项中体现出来的自相关性是金融时间序列非线性的一个显著特征。

他们指出，如果ARMA 模型的残差平方项中体现出明显的自相关性，则金融时间序列只能通过非线性模型来描述。

这也就是说，在非线性的零假设下，所有的线性模型的残差平方项都应该是完全相互独立的。

由此假设时间序列可以通过ARMA （p ，q ）模型来描述，i 阶残差t ε 为自相关，则i 阶自相关系数为：cov(,), 1,2,.......var()t t i i t i εερε-==i 阶自相关系数的估计值为：121()()ˆ()Ttt i t i i Ttt εεεερεε-=+=--=-∑∑其中：t ε为第t 个残差项。

ε为残差项的算术平均值。

由此Ljung －Box Q －统计值为：21ˆ()(2)mi LB i Q m T T T iρ==+-∑在零假设-所有自相关系数为零-的前提下，Ljung －Box Q －统计值则近似服从自由度为i 的2χ分布。

McLeod 和Li 利用ARMA （p ，q ）模型的平方残差项扩展Ljing －Box Q －统计来验证线性ARMA 模型的缺陷。

McLeod －Li Q-统计被定义为：221ˆ()()(2)mi t ML i Q m T T T iρε==+-∑类似于Ljung －Box Q －统计值，McLeod －Li Q －统计值在零假设之下近似于一个自由度为i-p-q 的2χ分布。

虽然McLeod 和Li 通过Monte Carlo 模拟实验发现，如果观察时间T 在50和200之间的话，这个零假设在大多数情况下都可以被接受，但是如果T 的值非常大的话，残差的正态分布的假设则会对检验结果产生影响(Cromwell, Labys, und Terryza, 1994)。

1. 2 BDS 检验BDS 检验(Brock, Dechert, und Scheinkman, 1987, 1996)原本是一种用于检验时间序列的独立性的检验。

在本论文中，我们将会用BDS 检验ARMA （p ，q ）模型的残差，并确定残差是否像人们所想象的那样独立分布。

这种检验的核心在于，相同的独立分布的残差平均分布在一定大小的区间里。

非线性独立性将导致数据在扩大区间范围的时候和纯粹的随机过程的时候相比要更容易建立起积聚结构效应。

BDS 检验运用的是“相关积分法”。

在检验进行之前，先要确定区间大小ε。

如果时刻s ，t 的观察值为s y 和t y ，则所有的观察值(,)s t y y 按对构建为：{}112211(,),(,),(,),.....(,)s t s t s t s m t m y y y y y y y y +++++-+-其中m 是嵌入区间。

每对观察值的满足ε条件的共有概率被定义为()m c ε概率。

在独立同分布的零假设下共有概率()m c ε是每对概率12(),(),.....c c εε的简化：[]11()()()mmm i i c c c εεε===∏如果需要观察的有n 个样本，那么就要通过满足ε条件的数对的数量和所有被观察数对来估计：111,1102()(,)(1)()m n m n m m n s j t j s t s j c I y y n m n m εε--+-+++==+==-+-∑∑∏ 其中I ε为指示函数：{1 falls0 sonst(,)x y I x y εε-≤=这里的,m n c 也可以作为“相关积分项”来定义。

通过“相关积分项”，BDS 检验统计可以如下定义：()()(,,)mc c BDS m n εεε⎡⎤-=在这里：12222222,1111()42(1)m m m j j m m m nj k k c m c m kc σε---=⎧⎫=++--⎨⎬⎩⎭∑ {}1112()(1)(2)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n nn t s t r s t s s r t r r s s t t r k n n n I y y I y y I y y I y y I y y I y y εεεεεεε==+=+=--++∑∑∑在零假设为“时间序列t y 为独立同分布”时，BDS 检验统计值近似于一个标准的正态分布：(,,)(0,1)BDS n m N ε→如果BDS 检验统计的结果是正值，即,1,1()()0mm n n m c c εε-+⎡⎤->⎣⎦，也就是说“积聚效应”在价格波动中要比纯粹的随机过程中发生的频率要高。

一个正的BDS 检验统计值拒绝了残差为独立正态同分布的假设。

然而在实际中人们还应该注意ε和“嵌入区间” m 的选择范围。

过小的ε，可能会导致对零假设的接受（Scheinkman und LeBaron ，1989）。

而如果ε过大，那么就会存在对数据过高估计的危险。

根据Brock (1992)的建议，如果观察区间大于500时，ε应该取标准差的0.5，1.0，1.5倍值。

Hsieh (1989)则建议m “嵌入区间”应该从2到10的区间里选取。

m 越大，相关函数被高估的风险就越大。

虽然根据Brock 的建议m 即使选择为200T m >的值，也不能完全避免风险，但是风险只会出现在T 值极大的时候。

在本论文中，m 取值为6。

大量的模拟实验研究已经证实，虽然 BDS 检验仅仅是一项特别检验，既它只能证明非线性的存在，并无法证明其具体的种类，但BDS 检验对于认识时间序列的非线性还是十分有效的。

2 金融资产收益率时间序列机制转变的检验经济时间序列中机制转变的检验是现今经济学研究领域的一个重要的组成部分。

大量的实证研究已经证明了实践中机制转变的存在。

例如，金融市场上的交易受经济周期的影响特别大。

典型的机制转变例子是第二次世界大战，1973年的石油价格危机以及2001年9月11日在美国发生的恐怖袭击。