北大版高数第十章习题解答

/ 1
1
n1+1/n n
=
1,
Ù ∞
1 n=1 n
,
¦ Ù.
(5)
∞ n=1
. n2
(3−
1 n
)n
Ǒ lim n→∞
n
n2
(3−
1 n
)n
=
1 3
,
§Çß, þ .
∞
(6)
n (ln n)n
.
n=2
Ǒ lim n→∞
n
n (ln n)n
= 0,
§Çß, þ .
(7)
∞
1000n n!
.
n=1
Ǒ lim n→∞
=
(ln x)1−p 1−p
|+2 ∞
,
,
Ù
.
Ù.
∞
(11)
1 n(ln ln n)q
(q
>
0).
n=3
Ǒ lim n→∞
1 n(ln ln n)q
/
n(ln
1 n)1/2
=
lim
n→∞
(ln n)1/2 (ln ln n)q
=
lim
x→+∞
x1/2 (ln x)q
= +∞.
Ù ∞
1 n=3 n(ln n)1/2
þ Ã ∞
∞
a2n
b2n
,
n=1
n=1
Ǒ ∞
|anbn|,
∞
(an+bn)2,
∞
|an| n
n=1
n=1
n=1
,
þ Ù ∞ (a2n + b2n) .
n=1
|anbn|
≤
1 2
(a2n
+ b2n),
(an
+
bn)2
≤
3
2(a2n + b2n),
þ ∞ |an| n
.
n=1
Ǒþ ∞
∞
|anbn|, (an + bn)2
n+p
,
ak ≤
uk ≤
k=n+1
k=n+1
k=n+1
k=n+1
n+p
bk .
n+p
|
uk| < ε.
þ ∞ un .
k=n+1
k=n+1
n=1
2.
þ Õ ∞ an ,
Ù ∞ bn ,
ð þ ∞
(an ± bn)
?
n=1
n=1
n=1
: èùÙ . 3. § ¯
à Ǒþ ∞
∞
∞
bn = ± an ± (an ± bn)
x > x0(x < x0) ,
Ý.
þ ¨ î ∞ an nx0
. x > x0 ,
n=1
þ ∞
∞
an nx
=
n an x0−x
nx0
.
n=1
n=1
.Ý
¯ ï:
Ǒþ Ù ∞ an nx
( ).
n=1
¯ Æ º {nx0−x}
.
þ ∞ an nx0 n=1
§Çß,
6.
þ Ý ∞
un
,
Ǒ ∞
2n−1 n
un
n=1
n=1
Ý.
|
2n−1 n
un|
≤
2|un|,
þ ûë ∞ |un|
n=1
þ.
Ǒþ ∞
2n−1 n
|un|
.
n=1
ËÃ10.4
5
1. ¯ þ .
¨ ¨ î þ þ ∞
(1) (ln x)n.
| ln x| < 1
,
n=1
¨ ∞
(2)
1 2n−1
(
1−x 1+x
)n.
n=1
¨ î 1−x 1+x
.
n=1
n=1
bn
=
1 n
,
Ý á þ ¯ ð 5. :
∞
∞
un
vn
,
n=1
n=1
∞
∞
∞
(1) (un + vn); (2) (un − vn); (3) unvn.
n=1
n=1
n=1
èùÙ Ǒ ³ §Çß . (1)
,
un + vn ≥ un,
,
èù ³ î (2)
,
un
=
vn
=
1 n
,
î un
=
n>N ,|
cos k k(k+1)
|
<
1 n
<
ε.
k=n+1
þ ¦Ò,
þ ∞
cos n n(n+1)
.
n=1
(2)
Ù ∞
√1 n=1 n
.
Ý n+p
.
|
√1 | ≥
k=n+1 k
√np+p .
N
N +1 2
≥
√1 2
.
þ ¦Ò,
Ó î n+p
, n = p = N +1 , |
√1 | ≥
k=n+1 k
1000n+1 (n+1)!
/
1000n n!
=
0,
à §Çß,
þ.
(8)
∞
(n!)2 (2n)!
.
n=1
Ǒ lim n→∞
((n+1)!)2 (2n+2)!
/
(n!)2 (2n)!
=
1 4
,
à §Çß,
þ.
(9)
∞
1 3n
(
n+1 n
)n2
.
n=1
Ǒ lim n→∞
n
1 3n
(
n+1 n
)n2
=
e 3
|
=
∞
1 (2n)2
,
¦
n=1
n=1
n=1
þ.
˯ Æ (2)
∞
(−1)n+1 (2n−1)p
(p
>
0).
{
1 (2n−1)p
}
n=1
∞ 1
¨ (2n−1)p
n=1
þ.
¨p > 1îþ ,
¦
Ù0, Ì¢ ¨p > 1î þ
þ. ,Ã
˯ Æ Ù (3)
∞
(−1)n n ln n
.
{
n
1 ln
n
}
0,
e−
3 2
,
þ ∞
1 n2
,
n=1
Ǒ lim n→∞
nn
n+2
(n2+3n+1) 2
/
1 n2
=
lim (1 +
n→∞
) 3n+1
n2
−
n+2 2
=
¦ þ.
∞
(6)
(ln
n n)ln
n
.
n=2
Ǒ lim n→∞
ln[
(ln
n n)ln
n
/
1 n2
]
=
lim (3
n→∞
− ln ln n) ln n
=
þ Ò Ý¨ î ∞
cos nϕ np
.
ϕ=π ,
þ ∞
cos 2nϕ 2np
.
n=1
n=1
ÕÙ
Ù ∞
1 2np
,
Ù ∞
1+cos 2nϕ 2np
.
Ǒ|
cos nϕ np
|
≥
cos2 nϕ np
=
n=1
n=1
1+cos 2nϕ 2np
,
∞ cos nϕ np
þ.
n=1
»∞
5.
an nx
µ
n=1
Ù Ó¨ î ( ),
n=1
5.
þ Ý ∞ un
n=1
, un ≥ un+1 ≥ 0 (n = 1, 2, . . . ),
:
lim
n→∞
nun
=
0.
Ý.
û Ǒ þ ε > 0,
∞
un ,
þ ¦Ò, ¿N,
n=1
¨ î Ùð¨ î n+p
n>N ,
un
<
ε 2
.
2n
n > N , (2n)u2n ≤ 2
uk < ε.
(n+1)! 3(n+1)2
/
n! 3n2
=
lim
n→∞
n+1 32n+1
= 0.
Ã
þ .¦
§Çß,
4
∞
(7)
(−1)n
1 n
sin
π n
.
n=2
Ǒ lim n→∞
1 n
sin
π n
/
1 n2
= π,
þ.
¨ î ∞
(8)
(−1)n+1 tan
ϕ n
(−
π 2
<
ϕ
<
π 2
).
ϕ=0 ,
Û¸ þ . ÃÌ
k=n+1
k=n+1
2n
2n+1
(2n + 1)u2n+1 ≤
uk +
uk < ε.
k=n+1
k=n+1
lim
n→∞
nun
=
0.
ËÃ10.2
1.
¯
.
∞
(1)
2n
sin
π 4n
.
n=1
Ǒ lim 2n sin n→∞
π 4n
/
1 2n
=
π,
þ ∞
1 2n
,
n=1
¦ þ.
∞
(2)
n=1
√1 2n3
+1
.
)
=
1 2
(1
−
1 2n+1
),
þ k=1 .
k=1
Ǒ ∞
(4)
cos2
π n
.
n=1
lim cos2
n→∞
π n
=
1,
Ù.
1
Ǒ ∞ √
(7) n 0.0001.
√ lim n 0.0001 = 1,
n=1
n→∞
Ù.
∞
4.
un
˯Ǒ î þ þ {Sn}. n → ∞ {S2n} {S2n+1}
n=1
vn
=
1 n
,
þ ∞ unvn .
n=1
þ ∞ (un − vn)
n=1
Ù?
Ù ∞ (un + vn) .
n=1
0. (3) èù, ³
6.
lim
n→∞
nun
=
l,
Ý 0 < l < +∞.
Ý.
ûë ¨ û lim
n→∞
nun
=
l
>
0
n
Ǒ lim n→∞
u2n
/
1 n2
=
l2,
þ ∞
1 n2
,
n=1
n→∞
√ n2
π +1+n
/
1 n
=
π 2
,
.
2.
þ Ý ∞ un ,
∞
un np
(p > 0)
þ ∞
n n+1
un
.
n=1
n=1
n=1
Ý ¯ Æ º Õ Ǒ .
{
1 np
}
{
n n+1
}
,
∞ un np
n=1
∞
n n+1
un
n=1
þ.
þ ∞ un ,
n=1
§Çß,
3. Ý
.
¨ î þ ¨ î þ ∞
Ì¢
¦ n=2
,
þ.
þ ¢ð Ù ∞
.
1 n ln n
n=2
¦ Ñ (4)
∞
√
(−1)n
n−1 n
.
n=1
∞
∞
=
(−1)n
n=1
√1 n
−
(−1)n
1 n
,
n=1
¢
,
√
¦ þ ¢ð .
lim
n→∞
n−1 n
/
√1 n
=
1,
þ.
Ù ∞
√ n−1
n
n=1
∞
þ (6)
(−1)n
n=1
n! 3n2
.
.
Ǒ lim n→∞
è A. Ý
þ ∞ un .
Ý û Ǒ ¿ . ¨ î Ùð¨ î n > N
n=1
ε > 0,
lim
n→∞
S2n
=
lim
n→∞
S2n+1
=
A,
, |S2n − A| < ε, |S2n+1 − A| < ε.
n>N
N > 0, , |Sn − A| < ε.
lim
n→∞
Sn
=
A,
þ ∞ un .
<
1,
§Çß, þ .
¨ î ∞
(10)
1 n(ln n)p
(p > 0).
p>1 ,
þ +∞ 1
2 x(ln x)p
=
(ln x)1−p 1−p
|+2 ∞
,
n=2
þ ¨ î Ù . ¨ î Ù 0 < p < 1 ,
p=1 ,
+∞ 1 2 x(ln x)p
=
ln ln x|+2 ∞
+∞ 2
1 x(ln x)p
Ǒ¢n=1
Æ Ù ,
|
tan
ϕ n
|
0,
þ.
þ ¢ð .
lim | tan
n→∞
ϕ n
|/
1 n
=
|ϕ|,
∞
√
√
√
Ì Ǒþ ¢ ¢ð þ (10) sin(π n=1
n2 + 1). sin(π
n2 + 1) = (−1)n sin π(
n2
+
1−n)
=
(−1)n
sin
√π n2+1+n
.
.
lim sin
∞
(2)
n! 3n2
.
n=1
Ǒ lim n→∞
n! 3n2
= +∞,
Ù.
(3)
∞
3n·n! nn
.
Ã
§Çß n=1 ,
Ǒ lim n→∞
/ 3n+1·(n+1)! 3n·n!
(n+1)n+1
nn
=
lim 3(1 +
n→∞
1 n
)−n
=
3e−1
>
1,
Ù.
∞
(4)
n=1
. 1
n1+1/n
Ǒ lim n→∞
Ô ½ë Ëõ
ËÃ10.1
1.
þ ¦ÒÝ :
(1)
þ ∞
cos n n(n+1)
.
n=1
Ý n+p
n+p
n+p
.|
cos k k(k+1)
|
≤
1 k(k+1)
=
(
1 k
−
1 k+1
)
=
1 n+1
−
1 n+p+1
<
1 n
.
k=n+1
k=n+1
k=n+1
û ¹ è î ε > 0,
N
=
[
1 ε
],
n+p
.
n=1
n=1
n=1
ðþ.
Ǒ ∞ √
√
(1) ( n + 1 − n).
¿ î n √
√√
( k + 1− k) = n + 1−1, n → ∞
Ú n=1 ,
Ù.
k=1
∞
(2)
1 (2n−1)(2n+1)
.
¿ î n=1 n→∞
,
Ǒn
n
1 (2k−1)(2k+1)
=
1 2
(
1 2k−1
−
1 2k+1
µ Ù (1)
fn(x)
=
2n
1 +x2
,
−∞
<
x
<
+∞.
.
lim
n→∞
fn(x)
=
0.
|fn(x)
−
0|
≤
1 2n
,
lim
n→∞
1 2n
= 0,
,
¦ Ù.
Ý á þ Ã Ǒþ 3. :
∞
un ,
∞
u2n
.
èù
n=1
n=1
.
Ý Ǒ þ ∞
.
un ,
n=1
lim
n→∞
un
=
0,
˯{un} º.
à ³ §Çß u2n ≤ Mun.
,
þ ∞
u2n
.
n=1
èù ,
þ ¢ Ù ∞
∞
(
1 n
)2
,
1 n
.
n=1
n=1
,ý
un < M .
Ý 4. : þ. Ý. Ã
−∞,
lim
n→∞
/ n
1
(ln n)ln n n2
= 0.
þ ∞
Baidu Nhomakorabea
1 n2
,
n=1
¦ þ.
∞
(7)
n
tan
1 3n
.
n=1
2.
¯
Ǒ lim n→∞
n
n tan
1 3n
=
1 3
,
.
§Çß, þ .
2
(1)
∞
n5 n!
.
n=1
Ǒ lim n→∞
(n+1)5 (n+1)!
/
n5 n!
=
0,
à §Çß,
þ.
cos nϕ np
(0 < ϕ < 2π)
p>1
, 0<p≤1
n=1
Ý ¨ î . (i) p > 1 ,
þ ∞
1 np
.
Ù|
cos nϕ np
|
≤
1 np
,
∞ cos nϕ np
n=1
n=1
þ Ù ¯ Æ Ù . (ii) 0 < p ≤ 1.
{
1 np
}
0,
º µ n cos kϕ ,
k=1
§Çß,
.
Ǒ lim n→∞
√1 2n3
+1
/
√1 n3
=
√1 2
,
þ ∞
√1 n=1 n3
,
¦þ
∞
(3)
√n1n .
n=1
Ǒ lim n→∞
√n1n
= 1,
Ù.
∞
(4)
n2
4n +4n−3
.
n=1
Ǒ lim n→∞
n2
4n +4n−3
/
1 n
=
4,
Ù ∞
1 n
,
n=1
¦ Ù.
∞
(5)
. nn n+2
n=1 (n2+3n+1) 2
Ù ∞
√1 n
.
n=1
(3)
þ ∞
∞
an
bn
,
¿
¨ î N,
n ≥ N an ≤
à un ≤ bn,
n=1
n=1
Ǒþ ∞
un
.
n=1
Ý.
û ε > 0, Ǒ
þ ∞
∞
an
bn ,
¿ N′ > N,
n=1
n=1
¨ î ¸èà n+p
n+p
n > N′ , |
ak| < ε, |
bk| < ε.
n+p
∈
[−1, 1)
þ,
∞
¨ î (3)
1 xn
sin
π 3n
.
n=1
|x|
≤
1 3
1
î ³ §Çß 3
,
|
1 xn
sin
π 3n
|
≤
1 |x|n
π 3n
,
Ǒ(−∞,
−
1 3
)
∪
(
1 3
,
+∞).
,
lim
n→∞
1 xn
sin
π 3n
= 0,
,
2. ¯ø ˯¿ ÑË èçþ .
Ǒ(e−1, e). þ Ǒ(0, +∞). Ù ¨. |x| > þ. þ
Ù ∞
1 n
,
Ù ∞ un .
n=1
n=1
þ ∞ u2n
î n=1 un > 0. þ ∞ u2n n=1
­ Ù ∞
,
un .
n=1
un > 0.
Ǒ .
lim
n→∞
un
/
1 n
=
l,
ËÃ10.3
1. § ¯ ð þ ? þ ð þ ?
(1)
∞
. (−1)n−1
(2n)2
Ǒ þ ∞
| (−1)n−1
(2n)2