复合函数的导数PPT课件
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《复合函数的导数》课件
复合函数的导数
目 录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复 合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而 成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体 地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
THANKS
感谢观看
复合函数导数的应用 利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性 。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有 重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数 。
乘积法则
目 录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复 合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而 成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体 地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
THANKS
感谢观看
复合函数导数的应用 利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性 。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有 重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数 。
乘积法则
《复合函数求导》课件
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
边际分析
在经济学中，导数可以用来进行边际分析，帮助理解经济变量的 变化对总体的影响。
弹性分析
导数可以用来计算弹性，帮助理解经济变量之间的相对变化。
最优化问题
通过导数，可以找到使经济效用最大的最优解。
导数在物理学中的应用
速度和加速度
在物理学中，导数可以用来计算速度和加速度，从而更好地理解 物体的运动状态。
03
复合函数求导的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
导数在几何中的应用
切线斜率计算
在几何中，导数可以用来计算曲线的切线斜率， 从而了解曲线在某一点的增减性。
极值问题
通过导数，可以确定曲线的极值点，从而确定曲 线的最大值和最小值。
曲线的凹凸性
导数的符号可以用来判断曲线的凹凸性，从而更 好地理解曲线的形状。
导数在经济学中的应用
商式法则是指对复合函数的商式形式进行求导，即对分子和分母分别进行求导，然后将结果相除。
详细描述
商式法则用于处理复合函数中多个函数的商式形式。其基本思想是将复合函数分解为两个基本初等函 数的商，然后分别对分子和分母进行求导。具体地，对于复合函数$frac{f(u)}{g(u)}$，商式法则可以 表示为$frac{f'(u) cdot g(u) - f(u) cdot g'(u)}{[g(u)]^2}$。
《复合函数求导》ppt课件
目录 CONTENTS
• 引言 • 复合函数求导法则 • 复合函数求导的应用 • 复合函数求导的注意事项 • 习题与解答
01
引言
课程背景
01
复合函数求导是微积分中的重要概念，是学习微积分的基础。
复合函数的偏导数和全微分课件
复合函数的偏导数和全微 分课件
• 引言 • 复合函数的偏导数 • 复合函数的全微分 • 偏导数和全微分的应用 • 习题与解答
01
引言
课程背景
复合函数是高等数学中的重要概念， 它在解决实际问题中有着广泛的应用。
偏导数和全微分是复合函数分析中的 关键概念，对于理解复合函数的性质 和计算方法具有重要意义。
05
习题与解答
习题部分
计算复合函数f(u,v)的偏导数
给定u=u(x,y)和v=v(x,y)，求f对x和y的偏导数。
计算全微分
给定复合函数f(u,v)的全微分表达式，求f对u和v的全微分。
判断偏导数和全微分的关系
根据偏导数和全微分的定义，判断它们之间的关系。
答案与解析
计算复合函数f(u,v)的 偏导数
偏导数的符号表示
用"∂"表示偏导数，例如：f'x(x0, y0)表示函数f在点(x0, y0)处对x的偏导数。
复合函数的偏导数计算
链式法则
对于复合函数，如果外层函数是u(x, y) = f(g(x, y))，则其偏导数为∂u/∂x = ∂f/∂g * ∂g/∂x。
隐式函数求导
对于由方程F(x, y) = 0定义的隐式函数y， 其偏导数为∂y/∂x = -F'x / F'y。
曲线和曲面的切线问题
切线的定义
切线是曲线或曲面在某一点的邻近区域 内的一条直线。在数学上，切线是通过 曲线或曲面在该点的外法线向量定义的 。
VS
切线的求法
通过求曲线或曲面的偏导数，我们可以得 到曲线或曲面在该点的切线方向。在三维 空间中，切线可以用一个向量来表示，该 向量与曲线或曲面的外法线向量平行。
• 引言 • 复合函数的偏导数 • 复合函数的全微分 • 偏导数和全微分的应用 • 习题与解答
01
引言
课程背景
复合函数是高等数学中的重要概念， 它在解决实际问题中有着广泛的应用。
偏导数和全微分是复合函数分析中的 关键概念，对于理解复合函数的性质 和计算方法具有重要意义。
05
习题与解答
习题部分
计算复合函数f(u,v)的偏导数
给定u=u(x,y)和v=v(x,y)，求f对x和y的偏导数。
计算全微分
给定复合函数f(u,v)的全微分表达式，求f对u和v的全微分。
判断偏导数和全微分的关系
根据偏导数和全微分的定义，判断它们之间的关系。
答案与解析
计算复合函数f(u,v)的 偏导数
偏导数的符号表示
用"∂"表示偏导数，例如：f'x(x0, y0)表示函数f在点(x0, y0)处对x的偏导数。
复合函数的偏导数计算
链式法则
对于复合函数，如果外层函数是u(x, y) = f(g(x, y))，则其偏导数为∂u/∂x = ∂f/∂g * ∂g/∂x。
隐式函数求导
对于由方程F(x, y) = 0定义的隐式函数y， 其偏导数为∂y/∂x = -F'x / F'y。
曲线和曲面的切线问题
切线的定义
切线是曲线或曲面在某一点的邻近区域 内的一条直线。在数学上，切线是通过 曲线或曲面在该点的外法线向量定义的 。
VS
切线的求法
通过求曲线或曲面的偏导数，我们可以得 到曲线或曲面在该点的切线方向。在三维 空间中，切线可以用一个向量来表示，该 向量与曲线或曲面的外法线向量平行。
人教版高中数学 选择性必修二 A版5.2.3《简单复合函数的导数》课件PPT
′
= 2cosx ∙ + 2 ∙ −
=2
2
− 2
2
= 2cos2
知识梳理
=
= 2的导数为 ′ = ′() = 2
= = 的导数为 ′ = ′ = = cos2x
∴ ′()=′() ∙ ′ = 22
第三部分
课堂练习
跟踪练习
1.求下列函数的导数：
(1) = 2 − 2
(2) = ln
4
+ 5 2 + − 1
(3) = 2
跟踪练习
解析: 1 ′ = 22 + 22
′
3
1
4
(2) = 4() ∙ + 10+1= ()3 +10 + 1
=
2
′
= ′
(
≠ 0)
课堂总结
复合函数的求导法则：
一般地，对于由函数 = 和 =
数 =
复合而成的函
，它的导数与函数 = 和 =
的导
数间的关系为： ′ = ′ ∙ ′ . 即对的导数等于对
的导数与对 的导数的乘积。
2 3
即 =
2
3
课堂互动
2.求函数 = 2 + 2 的导数.
解析:
2
′()＝
2 2
=
1
2
+ 2 + 22
+ 2 + 22
课堂互动
3.求函数 = 3 + 2
解析: ′ =
2
(3
简单复合函数的导数 课件-高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册
) (
)
x
(
1
x
)
.
2
5 1 x
1 x
5 1 x
(1 x)
5
1
2 2
2
2
2
y
(2
x
3)
1
x
(2
x
3)(1 x ) ;
解:
1
2 2
讲
课
人
：
邢
启
强
1
1
y 4 x(1 x ) (2 x 2 3) (1 x 2 ) 2 2 x
2
2
3
即曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 5.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,
所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
讲
课
人
：
邢
启
强
13
典型例题
例4(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(
A. 5
B.2 5
C.3 5
)
D.0
(2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=
.
分析:(1)设 P(x0,y0)→由 y'|= =2 求P(x ,y )→由点到直线的距离求最小值
)
x
(
1
x
)
.
2
5 1 x
1 x
5 1 x
(1 x)
5
1
2 2
2
2
2
y
(2
x
3)
1
x
(2
x
3)(1 x ) ;
解:
1
2 2
讲
课
人
：
邢
启
强
1
1
y 4 x(1 x ) (2 x 2 3) (1 x 2 ) 2 2 x
2
2
3
即曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 5.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,
所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
讲
课
人
：
邢
启
强
13
典型例题
例4(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(
A. 5
B.2 5
C.3 5
)
D.0
(2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=
.
分析:(1)设 P(x0,y0)→由 y'|= =2 求P(x ,y )→由点到直线的距离求最小值
高等数学第九章第四节多元复合函数的求导法则课件.ppt
tt
z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t
则有u 0, v 0,
z
u du , v dv t dt t dt
uv
o( )
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv ( 全导数公式 ) d t u d t v d t
t tt
z f (u,v) , u (x, y), v (x, y)
z x
z u z v u x v x
f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
又如, z f (x,v), v (x, y)
当它们都具有可微条件时, 有
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 xy
f22 x y
为简便 起f11见
,y引(x入 z记) f号12
xfy12z
f2f2, u
fy12f
2
2 f u v
,
例5. 设
二阶偏导数连续,求下列表达式在
极坐标系下的形式
解: 已知
,则
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u,v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
u v
说明: 若定理中
5.2.3简单复合函数的导数课件(人教版)
y通过中间变量u表示成x的函数.
复合函数
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u， y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和 u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
试一试
指出以下函数是由哪些函数复合而成的？
（1）y＝log2(x＋1) （2）y＝(3x+5)3
（3）y＝e－0.05x＋1
y=log2u和u=x+1 y=u3和u=3x+5 y=eu和u=－0.05x+3
探究:如何求复合函数的导数？以函数 y=sin2x 为例，研究其导数.
y′ =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2 (sinxcosx)′ =2[ (sinx)′cosx + sinx (cosx)′] = 2[cos2x-sin2x]=2cos2x
特别地，[cf ( x)] ___cf__(_x_)__；
f (x)
f ( x)g( x) f ( x)g( x)
(3)
g(
x)
[g( x)]2
.
学习新知
思考 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？
LOGO
函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无 法用现有的方法求它的导数.
[解] 解法一：f′(x)＝2f′(2－x)·(2－x)′－2x＋8＝－2f′(2－x)－2x＋8， 则f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，得f′(1)＝2. 又f(1)＝2f(1)－1＋8－8，得f(1)＝1， 故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1.
巩固练习 1.曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________.
复合函数求导PPT课件
在书写时不要把 写成 ,两者是不完全 一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变 量 的求导. 3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间 变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数. 法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变 量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接 求导,就不必再选中间变量. 复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有 机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导 数,逐步掌握复合函数的求导法则.
因为k立.
例6:设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x) 解:
说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法 则.
我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论: “可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函 数为偶函数”.现在我们利用复合函数的导数重新加以 证明: 证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x 求导得: ,故 为 奇函数. 同理可证另一个命题. 我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数 的导函数也是周期函数. 证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义 域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x). 两边同时对x求导得: 即 也是以T为周期的周期函数.
备用
在上面的例子中涉及到了二次曲线在某点的切线 问题,但在上面的解法中回避了点在第二、三、四象限 的情况.可能有同学会提出对于二次曲线在任意点的切 线怎样求的问题,由于它涉及到隐函数的求导问题.我们 不便去过多的去研究. 下面举一个例子使同学们了解一下求一般曲线在任 意点的切线的方法.(说明:这个内容不属于考查范围.) 例子:求椭圆 在点 处的切线方程. 解:对椭圆方程的两边分别求导(在此把y看成是关于x 的函数)得: 于是所求切线方程为:
复合函数的导数 课件
题型二 复合函数的导数
例 2 求下列函数的导数： (1)y＝(－2x＋1)2; (2)y＝ex－1；
π (3)y＝log2(2x＋1); (4)y＝2sin(3x－ 6 )；
(5)y＝ 1 . 1－2x
【思路分析】 复合函数求导的关键是选择中间变量，必须 正确分析复合函数是由哪些基本初等函数经过怎样的顺序复合 而成的，分清其间的复合关系，要善于把一部分量或式子暂时当 作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量，求导时需要记住中 间变量，注意逐层求导，不遗漏．此外，还应特别注意中间变量 的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．
探究 3 本题不要将函数 y＝ x21－3x看做是由 y＝u1，u＝ v， v＝x2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．
思考题 3 (1)曲线 y＝ 3x2＋1在点(1，2)处的切线方程为 __________________．
【答案】 3x－2y＋1＝0
(2)y＝ 1 的水平切线方程是________． 1－x2
思考题 2 求下列函数的导数： (1)y＝ 1 ； (2)y＝esinx；
1－2x2 (3)y＝sin2x; (4)y＝5log2(2x＋1)．
【解析】 (1)解法一：y＝u－12，u＝1－2x2，则
y′x＝y′u·u′x＝(－12u－32)·(－4x)＝－21(1－2x2)－32(－4x)
＝2x(1－2x2)－32＝（1－2x22）x 1－2x2.
【解析】 ∵y＝ x21－3x＝(x2－3x)－12， ∴y′＝－21(x2－3x)－32·(x2－3x)′ ＝－12(x2－3x)－23·(2x－3)． ∴曲线 y＝ x21－3x在点(4，12)处的切线斜率为 k＝y′|x＝4＝－21(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－156.∴曲线在点 (4，21)处的切线方程为 y－12＝－156(x－4)，即 5x＋16y－28＝0.
高中数学选择性必修二 5 2 3简单复合函数的导数课件(共27张)
5.2.3
简单复合函数的导数
课标阐释
思维脉络
1.了解复合函数的概念.(数学抽象) 简 单 复 合 函 数 的 导 数
2.理解复合函数的求导法则,并能求
概念
简单的复合函数的导数.(逻辑推理、
求导法则——应用
数学运算)
激趣诱思
知识点拨
我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角
函数、常数函数,我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、
a=
.
分析:(1)设 P(x0,y0)→由 y'| = =2
0
求P(x0,y0)→由点到直线的距离求最小值
(2)求y'→由y'|x=0=2求a的值
)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.
2
,∴y'| =
f'(x)=(
)
A.2cos 2x+2e2x
B.cos 2x+e2x
C.2sin 2x+2e2x
D.sin 2x+e2x
解析:因为f(x)=sin 2x+e2x,所以f'(x)=2cos 2x+2e2x.故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(2020福建高二期末)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f'(2)=-1,则a=(
(1)中间变量的选择应是基本函数结构;
(2)关键是正确分析函数的复合层次;
(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;
简单复合函数的导数
课标阐释
思维脉络
1.了解复合函数的概念.(数学抽象) 简 单 复 合 函 数 的 导 数
2.理解复合函数的求导法则,并能求
概念
简单的复合函数的导数.(逻辑推理、
求导法则——应用
数学运算)
激趣诱思
知识点拨
我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角
函数、常数函数,我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、
a=
.
分析:(1)设 P(x0,y0)→由 y'| = =2
0
求P(x0,y0)→由点到直线的距离求最小值
(2)求y'→由y'|x=0=2求a的值
)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.
2
,∴y'| =
f'(x)=(
)
A.2cos 2x+2e2x
B.cos 2x+e2x
C.2sin 2x+2e2x
D.sin 2x+e2x
解析:因为f(x)=sin 2x+e2x,所以f'(x)=2cos 2x+2e2x.故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(2020福建高二期末)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f'(2)=-1,则a=(
(1)中间变量的选择应是基本函数结构;
(2)关键是正确分析函数的复合层次;
(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;
高数课件64复合函数求导法则
03
误区三
运算错误。有些同学在求导过程中由于运算不熟练或粗心大意导致出错。
要避免这种误区，需要加强运算练习，提高运算准确性和熟练度。
典型例题分析与解答
例题一
求函数$y = sin(2x)$的导数。
分析
这是一个典型的复合函数求导问题，其中外层函数是$sin u$，内层函数是$u = 2x$。根据复合函数求导法则，我们 有$frac{dy}{dx} = frac{d(sin u)}{du} cdot frac{du}{dx} = cos u cdot 2 = 2cos(2x)$。
解答
$y' = 2cos(2x)$。
例题二
求函数$y = e^{tan x}$的导数。
分析
这也是一个复合函数求导问题，其中外层函数是$e^u$， 内层函数是$u = tan x$。根据复合函数求导法则，我们有 $frac{dy}{dx} = frac{d(e^u)}{du} cdot frac{du}{dx} = e^u cdot sec^2 x = e^{tan x} cdot sec^2 x$。
解答
$y' = e^{tan x} cdot sec^2 x$。
07 总结与展望
课程内容总结
复合函数求导法则基本概念
讲解了复合函数、中间变量、链式法则等基本概念，为求导法则 的学习打下基础。
复合函数求导法则的推导
详细推导了复合函数求导法则，包括一元复合函数、多元复合函数 以及含参变量的复合函数的求导方法。
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04 复合函数求导法则的应用
单一复合函数的求导
链式法则
若函数u=g(x)在点x可导，函数 y=f(u)在对应点u=g(x)可导，则 复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且 其导数为y'=f'(u)g'(x)或 dy/dx=dy/du * du/dx。
5.2.3简单复合函数的导数课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第二册
第五章 一元函数的导数及其应用
5.2.3简单复合函数的导数
学习目标
了解复合函数的概念. 理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数.
准备好了吗？一起去探索吧！
复合函数的概念及求导法则.
重点
难点
求简单复合函数的导数.
复习
上节课我们学习了导数的四则运算法则.我们来复习一下.
对于两个函数 f (x) 和 g(x) ，有如下法则： [ f (x) g(x)] f (x) g(x) ； [ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x) ；
A. y ' ln(2x 5) x
2x 5
C. y ' 2xln(2x 5)
√B. y ' ln(2x 5) 2x 2x 5 D. y ' x 2x 5
y ' x'ln(2x 5) x[ln(2x 5)]' ln(2x 5) x 1 (2x 5)' ln(2x 5) 2x .
2cos 2x
yu (sin u) cosu ，ux (2x) 2
可以发现， yx 2cos 2x cosu·2 yu·ux .
复合函数的求导法则： 一般地，对于由函数 y f (u) 和 u g(x) 复合而成的函数 y f (g(x)) ， 它的导数与函数 y f (u) ， u g(x) 的导数间的关系为 yx yu·ux .
若求函数 y (1 x)6的导数呢？ 如何求函数 y ln(2x 1)的导数？
探究一 复合函数的概念
分析函数 y ln(2x 1) 的结构特点.
若设
u
2x
1
x
1 2
，则
y
ln
5.2.3简单复合函数的导数
学习目标
了解复合函数的概念. 理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数.
准备好了吗？一起去探索吧！
复合函数的概念及求导法则.
重点
难点
求简单复合函数的导数.
复习
上节课我们学习了导数的四则运算法则.我们来复习一下.
对于两个函数 f (x) 和 g(x) ，有如下法则： [ f (x) g(x)] f (x) g(x) ； [ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x) ；
A. y ' ln(2x 5) x
2x 5
C. y ' 2xln(2x 5)
√B. y ' ln(2x 5) 2x 2x 5 D. y ' x 2x 5
y ' x'ln(2x 5) x[ln(2x 5)]' ln(2x 5) x 1 (2x 5)' ln(2x 5) 2x .
2cos 2x
yu (sin u) cosu ，ux (2x) 2
可以发现， yx 2cos 2x cosu·2 yu·ux .
复合函数的求导法则： 一般地，对于由函数 y f (u) 和 u g(x) 复合而成的函数 y f (g(x)) ， 它的导数与函数 y f (u) ， u g(x) 的导数间的关系为 yx yu·ux .
若求函数 y (1 x)6的导数呢？ 如何求函数 y ln(2x 1)的导数？
探究一 复合函数的概念
分析函数 y ln(2x 1) 的结构特点.
若设
u
2x
1
x
1 2
，则
y
ln
5.2.3简单复合函数的导数课件(人教版)
（2） 函数 的图像在点 处的切线方程为_ ______________.
变式.（1） 若存B. C. D.
（2） 若曲线 在点 处的切线与直线 平行,且切线与 之间的距离为 ,求直线 的方程.
（2） ；
（3） ;
（4） .
（5） .
问题探究
（5） .
方法总结
练习巩固
1.
2.
求下列函数的导数
例1 求下列函数的导数:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） ;
（5） .
变式.求下列函数的导数：
（1） ；
（2） ；
（3） .
蓝本P107
复习回顾
◆ 知识点 导数的运算法则
已知 ， 为可导函数.
（1） ______________.
（2） ______________________，特别地， ________.
（3） _ ________________
蓝本P108
小试牛刀
求下列函数的导数
（1） ;
复习回顾
◆ 知识点二 基本初等函数的导数公式
1.若 （ 为常数），则 ____.
2.若 （ ，且 ），则 ________.
3.若 ，则 _______.
4.若 ，则 ________.
5.若 （ ，且 ），则 _________；特别地，若 ，则 _____.
6.若 （ ，且 ），则 _ _____；特别地，若 ，则 _ ___.
[素养小结]求复合函数的导数时,应把握好以下环节:
（1）选取恰当的中间变量,使构成复合函数的基本初等函数符合求导法则中的函数结构;
（2）从外到内,层层剥皮,依次求导;
变式.（1） 若存B. C. D.
（2） 若曲线 在点 处的切线与直线 平行,且切线与 之间的距离为 ,求直线 的方程.
（2） ；
（3） ;
（4） .
（5） .
问题探究
（5） .
方法总结
练习巩固
1.
2.
求下列函数的导数
例1 求下列函数的导数:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） ;
（5） .
变式.求下列函数的导数：
（1） ；
（2） ；
（3） .
蓝本P107
复习回顾
◆ 知识点 导数的运算法则
已知 ， 为可导函数.
（1） ______________.
（2） ______________________，特别地， ________.
（3） _ ________________
蓝本P108
小试牛刀
求下列函数的导数
（1） ;
复习回顾
◆ 知识点二 基本初等函数的导数公式
1.若 （ 为常数），则 ____.
2.若 （ ，且 ），则 ________.
3.若 ，则 _______.
4.若 ，则 ________.
5.若 （ ，且 ），则 _________；特别地，若 ，则 _____.
6.若 （ ，且 ），则 _ _____；特别地，若 ，则 _ ___.
[素养小结]求复合函数的导数时,应把握好以下环节:
（1）选取恰当的中间变量,使构成复合函数的基本初等函数符合求导法则中的函数结构;
（2）从外到内,层层剥皮,依次求导;
D8-4多元复合函数求导ppt课件
∵ f 有二阶连续偏导数，
∴
*
解
例4 设
，其中
具有二阶连续
偏导数，求：
*
例4 设
求：
∵ f 有二阶连续偏导数，
∴
*
情形Ⅲ 中间变量既有一元函数，又有多元函数。
则函数
设
z
u
v
w
x
y
x
y
*
解：
z
u
v
w
x
y
x
y
例5.设
求
*
例5
求
设
另解：
题设函数可看作由
复合而成，利用情形Ⅱ中的公式可得同样结果
或者先式
两边取对数，后求得
偏导数
*
多元复合函数求导，遵循一个如下法则：
设复合函数有n个中间变量
这里变化率即为偏导数（或导数）
[（因变量对 的变化率）×
（ 对自变量 变化率）]
则复合函数对自变量
的变化率等于
m个自变量
*
。
例如 设
，而
，则
再如,
注意:
这里
表示固定 y 对x 求导,
*
思考与练习
1.
求
解：
*
2. 设
f 具有二阶连续偏导数,
求
解: 令
则
*
3. 已知
求
解: 由
两边对 x 求导, 得
*
4.
求
在点
处可微 , 且
设函数
解: 由题设
(2001考研)
*
解
另解 因为
所以
。
例5 设
而
求全导数
*
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复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有 机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导 数,逐步掌握复合函数的求导法则.
三、例题选讲：
例1:求下列函数的导数: (1) y (2x 1)5
解:设y=u5,u=2x+1,则:
yx yu ux (u5 )u (2x 1)x 5u4 2 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4 .
解:
y
1(
x
4
)5
5 1 x
( x ) 1 x
1(
x
4
)5
5 1 x
(1
1 x)
2
1 5
4
6
x 5 (1 x) 5 .
解:
y
3(tan
x)2
(tan
x)
3
tan
2
x
(
sin cos
x x
)
3(
sin cos
x x
)2
cos
x
cos
x sin cos2 x
x(
sin
x)
3(
sin cos
x x
)2
1 cos2
x
3sin
2
x
sec4
x.
解: y (2x2 3) 1 x2
y
4 x(1
x2
1
)2
(2x2
3)
1
(1
x2
1
)2
2x
2
1
(2x2 3)(1 x2 )2 ;
4x 1 x2 x(2x2 3) 6x3 x .
1 x2
1 x2
(5):y=sin2(2x+π/3)
法法二一::yyy2112s[i0[n1(s2icnxo(4s(x43x)2c2o)3s4()]2]x, 2sin3(4)
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数.
二、新课——复合函数的导数：
1.复合函数的概念:
对于函数y=f[ (x)],令u= (x),若y=f(u)是中间变量 u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f[ (x)]
是自变量x的复合函数.
2.复合函数的导数:
1 (2) y (1 3x)4
解:设y=u-4,u=1-3x,则:
yx
yu
ux
(u4 )u
(1
3 x )x
4u5
(3)
12u5
12 (1 3x)5
.
(3) y (1 sin2 x)4 解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:
yx yu uv vx (u4 )u (1 v2 )v (sin x)x 4u3 2v cos x 4(1 sin2 x)3 2sin x cos x 4(1 sin2 x)3 sin 2x .
复合函数的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义.
2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 y=-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
2x 2x2) 1 2x2
(3) y
1
(x5
9
x2
1
)2
(5x4
9
7
x2
)
2
2
(4)
135
(3 (6
x x
4)2 7)4
例3:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R= 10cm时,圆面积增加的速度.
解:由已知知:圆半径R=R(t),且 Rt = 2cm/s.
又圆面积S=πR2,所以 St |R10 2R Rt |R10 2 10 2 =40π(cm)2/s.
设函数 u ( x) 在点x处有导数 ux ( x),函数y=f(u)在
点x的对应点u处有导数yu f (u) ,则复合函数 y f [(x)] 在点x处也有导数,且 yx yu ux; 或记 fx[(x)] f (u)(x).
如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u =3x-2,则 yu 2u, ux 3, 从而 yx yu ux 18x 12 .结果与我 们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.
(3) y [ f (sin2 x) f (cos2 x)]
f (sin2 x)(sin2 x) f (cos2 x)(cos2 x)
f (sin2 x) 2sin x cos x f (cos2 x) 2cos x( sin x)
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
例2:求下列函数的导数:(1)y=(2x3-x+1/x)4;
解:
y
4(2 x 3
x
1 )3 x
(2 x 3
x
1 ) x
4(2 x 3
x
1 )3(6x2 x
1 x2
1)
.
(2) y 5 x
1 x
(3)y=tan3x; (4) y (2x2 3) 1 x2
2
x
2sin(4 2 ) .
x
2
3
)
.
2
3
3
练习1:求下列函数的导数:
(1) y 3 ax2 bx c (2) y 1
(3) y x2 x x
1 2x2
(4) y (3x 4)3
6x 7
答案:
(1) y
(2ax b)3 ax2 bx c 3(ax2 bx c)
(2) y
(1
所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
例5:设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( 1 x2 );(3)f(sin2x)+f(cos2x)
解: (1) y f ( x2 ) ( x2 ) 2xf ( x2 );
(2) y f ( 1 x2 ) 2x x f ( 1 x2 ); 2 1 x2 1 x2
在书写时不要把 fx[(x)]写成 f [(x)],两者是不完全 一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变
量( x)的求导.
3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间
变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.
法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变 量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接 求导,就不必再选中间变量.
故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s.
例4:在曲线
y
1
1 x2上求一点,使通过该点的切线平行于
x轴,并求此切线的方程.
解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知:
切线斜率
k
f
(
x0
)
(
1
1 x
2
)
|x
x0
2x0 (1 x02 )2
0, x0
0.
把x0=0代入曲线方程得:y0=1.
三、例题选讲：
例1:求下列函数的导数: (1) y (2x 1)5
解:设y=u5,u=2x+1,则:
yx yu ux (u5 )u (2x 1)x 5u4 2 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4 .
解:
y
1(
x
4
)5
5 1 x
( x ) 1 x
1(
x
4
)5
5 1 x
(1
1 x)
2
1 5
4
6
x 5 (1 x) 5 .
解:
y
3(tan
x)2
(tan
x)
3
tan
2
x
(
sin cos
x x
)
3(
sin cos
x x
)2
cos
x
cos
x sin cos2 x
x(
sin
x)
3(
sin cos
x x
)2
1 cos2
x
3sin
2
x
sec4
x.
解: y (2x2 3) 1 x2
y
4 x(1
x2
1
)2
(2x2
3)
1
(1
x2
1
)2
2x
2
1
(2x2 3)(1 x2 )2 ;
4x 1 x2 x(2x2 3) 6x3 x .
1 x2
1 x2
(5):y=sin2(2x+π/3)
法法二一::yyy2112s[i0[n1(s2icnxo(4s(x43x)2c2o)3s4()]2]x, 2sin3(4)
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数.
二、新课——复合函数的导数：
1.复合函数的概念:
对于函数y=f[ (x)],令u= (x),若y=f(u)是中间变量 u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f[ (x)]
是自变量x的复合函数.
2.复合函数的导数:
1 (2) y (1 3x)4
解:设y=u-4,u=1-3x,则:
yx
yu
ux
(u4 )u
(1
3 x )x
4u5
(3)
12u5
12 (1 3x)5
.
(3) y (1 sin2 x)4 解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:
yx yu uv vx (u4 )u (1 v2 )v (sin x)x 4u3 2v cos x 4(1 sin2 x)3 2sin x cos x 4(1 sin2 x)3 sin 2x .
复合函数的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义.
2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 y=-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
2x 2x2) 1 2x2
(3) y
1
(x5
9
x2
1
)2
(5x4
9
7
x2
)
2
2
(4)
135
(3 (6
x x
4)2 7)4
例3:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R= 10cm时,圆面积增加的速度.
解:由已知知:圆半径R=R(t),且 Rt = 2cm/s.
又圆面积S=πR2,所以 St |R10 2R Rt |R10 2 10 2 =40π(cm)2/s.
设函数 u ( x) 在点x处有导数 ux ( x),函数y=f(u)在
点x的对应点u处有导数yu f (u) ,则复合函数 y f [(x)] 在点x处也有导数,且 yx yu ux; 或记 fx[(x)] f (u)(x).
如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u =3x-2,则 yu 2u, ux 3, 从而 yx yu ux 18x 12 .结果与我 们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.
(3) y [ f (sin2 x) f (cos2 x)]
f (sin2 x)(sin2 x) f (cos2 x)(cos2 x)
f (sin2 x) 2sin x cos x f (cos2 x) 2cos x( sin x)
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
例2:求下列函数的导数:(1)y=(2x3-x+1/x)4;
解:
y
4(2 x 3
x
1 )3 x
(2 x 3
x
1 ) x
4(2 x 3
x
1 )3(6x2 x
1 x2
1)
.
(2) y 5 x
1 x
(3)y=tan3x; (4) y (2x2 3) 1 x2
2
x
2sin(4 2 ) .
x
2
3
)
.
2
3
3
练习1:求下列函数的导数:
(1) y 3 ax2 bx c (2) y 1
(3) y x2 x x
1 2x2
(4) y (3x 4)3
6x 7
答案:
(1) y
(2ax b)3 ax2 bx c 3(ax2 bx c)
(2) y
(1
所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
例5:设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( 1 x2 );(3)f(sin2x)+f(cos2x)
解: (1) y f ( x2 ) ( x2 ) 2xf ( x2 );
(2) y f ( 1 x2 ) 2x x f ( 1 x2 ); 2 1 x2 1 x2
在书写时不要把 fx[(x)]写成 f [(x)],两者是不完全 一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变
量( x)的求导.
3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间
变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.
法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变 量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接 求导,就不必再选中间变量.
故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s.
例4:在曲线
y
1
1 x2上求一点,使通过该点的切线平行于
x轴,并求此切线的方程.
解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知:
切线斜率
k
f
(
x0
)
(
1
1 x
2
)
|x
x0
2x0 (1 x02 )2
0, x0
0.
把x0=0代入曲线方程得:y0=1.