运动图像 追及相遇问题

示相遇
等
【变式训练】(双选)(2013·东莞模拟) 四个质点做直线运动， 它们的速度图像分别如图所示，下列说法中正确的是
( CD )
A.四个质点在第1 s内的平均速度相同 B.在第2 s末，质点丙回到出发点 C.在第2 s内，质点甲、丙、丁做加速运动 D.在第2 s末，质点乙、丙离开出发点位移相同
的大小，斜率正负表示物体_加__速__度__的方向。 (3)“面积”的意义： ①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的_位__移__大__小__。 ②若面积在时间轴的上方,表示位移方向为_正__方__向__；若面积在 时间轴的下方,表示位移方向为_负__方__向__。
【思考辨析】
(1)s-t图像是物体的运动轨迹。
【解析】(1)当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大，
设该减速过程经过的时间为t，则
v乙=v甲-at 解得：t=12 s
此时甲、乙间的距离为
s
v甲t
1 2
at 2
v乙t
1012 m 1 0.5122 m 412 m 36 m
2
(2)设甲车减速到零所需时间为t1，则有：
t1
v=甲20
【变式训练—难题】(双选)甲、乙两物体在同一水平轨道上， 一前一后相距s，乙在前，甲在后。某时刻两物体同时开始 运动，甲做初速度为v0、加速度为a1的匀加速运动，乙做初 速度为零、加速度为a2的匀加速运动。假设甲能从乙旁边通 过，下列情况可能发生的是( ) A.a1=a2，一定相遇一次 B.a1＜a2，一定相遇两次 C.a1＞a2，可能相遇两次 D.a1＜a2，可能相遇一次或不相遇
(2)在处理一次交通事故时,交警根据汽车损坏程度估计出 碰撞时的车速为40 km/h,并且已测出刹车痕迹长度为20 m, 请你根据图像帮助交警确定出该汽车刹车前的车速,并在 图像中的纵轴上用字母A标出这一速度。由图像知,汽车刹 车前的速度为多少？
【规范解答】(1)设汽车的质量为m,轮胎与路面间的动摩擦 因数为μ,根据牛顿第二定律,汽车刹车时有 μmg=ma 对汽车的刹车过程由运动学公式得: -2as=-v2 由以上两式得 s v2 即刹车痕迹与刹车前车速的平方成正比。 (2)汽车相撞时的速度2g为40 km/h,根据图像可知从这个速度减到零, 汽车还要向前滑行10 m,撞前汽车已经滑行20 m,所以,如果汽车不 相撞滑行30 m后停下。滑行30 m 对应的初速度即图中 的A点对应速度。故汽车刹车 前的速度为68 km/h。
【解题探究】(1)分析甲、乙两车的运动情况，明确两个 问题： ①两车相距最大距离时速度满足的条件：_甲__、__乙__两__车__速__度__ _相__等__。 ②求乙车追上甲车所用时间的方法：_先__判__断__甲__车__何__时__停__下__，__ _再__计__算__乙__车__追__上__甲__车__的__时__间__。---对于匀减速一定首先 判定运动时间 (2)请画出甲、乙两车的运动过程简图： 提示:
• 训练.如图所示,A、B两物体相距s=7 m,物体A以 =4 m/s的速度向右匀速运动,而物体B此时的速度 =10 m/s,只在摩擦力作用下向右做匀减速运动,加 速度大小为a=2 m/s2,那么物体A追上物体B所用
的时间为 ( B )--匀速追匀减速，出发点不同
• A.7 s
B.8 s
Байду номын сангаас
C.9 s
匀加速
共9种 还要注意
匀减速
是否从同一地点出发
【典例透析3】甲车以10 m/s的速度在平直的公路 上匀速行驶，乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向 做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边开始以0.5 m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：
(1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离； (2)乙车追上甲车所用的时间。--匀速追匀减速
【拓展2】做匀加速直线运动的物体先后经过A、
B、C三点，在AB段物体的平均速度为3 m/s，在
BC段平均速度为6 m/s，AB=BC，则物体在B点的
速度为( )
A.4 m/s
B.4.5 m/s
C.5 m/s
D.5.5 m/s
【解析】选C。因 AB v1t1，BC且AvB2t=2，BC，通过两段路程 的时间之比为 t1 v2 6 2。
2.常见类型
(1)两个做匀减速直线运动物体的追及相遇问题。 (2)两个做匀加速直线运动物体的追及相遇问题。 (3)求追及相遇过程中距离的极值问题。
3.解题思路
用图像法解决追及相遇问题时应把握的三个环节：
环节
基本要求
定量画图时需根据物体在不同阶段的运动情况， 画 图 通过定量计算分阶段、分区间逐一描图
【例2】甲、乙、丙三物体同时同地出发做直线 运动，它们的位移—时间图像如图所示。 请比较在时间t0内它们的平均速率、平均速度的 大小关系。
【总结提升】
1.应用运动图像的三点注意 (1)无论是x-t图像还是v-t图像都只能描述直线运动。 (2)x-t图像和v-t图像都不表示物体运动的轨迹。 (3)x-t图像和v-t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。
2.从v-t图像可得四个运动物理量 (1)运动速度：(2)运动时间：(3)运动加速度： (4)运动的位移：从图线与时间轴围成的面积得到位移，图线 与时间轴围成的面积表示位移的大小，第一象限的面积表示与 规定的正方向相同，第四象限的面积表示与规定的正方向相反。
3.应用运动图像解题“六看”
x-t图像
v-t图像
a
s
t1时间内：
s甲
v甲 2
t1
10 2
20
m
100
m
s乙=v乙t1=4×20 m=80 m
此后乙车运动时间：
t2
s甲 s乙 v乙
20 4
s5
s
故乙车追上甲车需t1+t2=25 s
答案：(1)36 m (2)25 s
【互动探究】若甲车（10m/s)经过乙车(4m/s)旁边时，乙车开始
以恒定的加速度加速运动，甲车匀速行驶，乙车追上甲车前，两
t2 v1 3 1
如图所示画出了物体通过两段路程的v-t图像，
OE∥MG∥NK， 那么EG∶GK=t1∶t2=2∶1， 所以FG∶GH=2∶1，而
FG∶GH vB v1 2 , v2 vB 1
解得：vB=5 m/s，故C正确。
3.图像法在解决追及相遇问题中的应用
1.方法概述
(1)图像可以直观地叙述物理过程,并鲜明地表示物理量间的各 种关系。利用图像解决物理问题,是学好物理的一种重要方法。 (2)追及相遇问题涉及的过程比较复杂，如果用公式法求解， 有时不仅计算量大，而且难以将过程叙述清楚，而使用图像法 求解，往往会比较直观。
()
(2)s-t图像是一条直线，说明物体一定做匀速直线运动。( )
(3)v-t图像是一条平行于t轴的直线，说明物体做匀速直线运
动。
()
(4)s-t图像与时间轴围成的面积表示物体运动的路程。( )
(5)两条v-t图像的交点表示两个物体相遇。
()
(6)两条s-t图像的交点表示两个物体相遇。
()
(7)相向运动的物体各自发生的位移大小之和等于开始时二者
考点 2 追及和相遇问题(三年3考) 【考点解读】讨论追及、相遇的问题,其实质就是分析讨论两 物体在同一时刻能否到达相同的空间位置问题
1.追及相遇问题中的两个关系和一个条件 (1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画 运动示意图得到。 (2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、 追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的 切入点。
之距时即相遇。
()
【典例透析1】(双选)(2013·潮州模拟)一物体自t=0时开始做 直线运动，其速度—时间图像如图所示。下列选项正确的是
( BC )
A.在0～6 s内，物体离出发点最远为30 m B.在0～6 s内，物体经过的路程为40 m C.在0～4 s内，物体的平均速度为7.5 m/s D.在5～6 s内，物体做匀减速直线运动
车有最大距离18 m,求乙车的加速度大小。--匀加速追匀速
【解析】当甲、乙两车速度相等时有最大距离，则
v甲=v乙+a′t
对甲车：s甲=v甲t
对乙车：
s乙
v甲
2
v乙
t
又有：Δsm=s甲-s乙
代入数值，解以上各式得：a′=1 m/s2
答案：1 m/s2
【总结提升】 1.解题思路
2.解题技巧
(1)紧抓“一图三式”,即：过程示意图,时间关系式、速度关系 式和位移关系式。 (2)审题应抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件, 如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等,往往对应一个临界状 态,满足相应的临界条件。 (3)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体 是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析。
2.追及相遇问题常见的情况
假设物体A追物体B,开始时，两个物体相距s0,有两种常见情况: (1)A追上B时，必有sA-sB=s0，且vA≥vB。 (2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度
相同，必有sA-sB=s0，vA=vB。若使两物体保证不相撞，此时应 有vA<vB。 3.追及问题种类： 匀速
从不同的角度描绘同一物理过程所进行的变换， 转换图 如将s-t图像转换成v-t图像等
利用图像中斜率、面积、截距、交点等的含义进 用 图 行定性分析或定量计算，进而解决相关问题
【典例1】两辆完全相同的汽车,沿水平路面一前一 后均以20 m/s的速度前进。若前车突然以恒定的加 速度刹车,在它刚停止时,后车以前车刹车时的加速 度的2倍开始刹车。已知前车刹车的过程中所行驶 的距离为100 m,若要保证两车在上述情况下不相撞, 则两车在匀速行驶时保持的最小距离是多少?
D.10 s
【拓展例题1】
考查内容
利用图像信息解决实际问题
【全国高考透析】如图所示为汽车刹车痕迹长度s(即刹车
距离)与刹车前车速v(汽车刹车前匀速行驶)的关系图像。
例如,当刹车痕迹长度为40 m时,刹车前车速为80 km/h。
(1)假设刹车时,车轮立即停止转动, 尝试用你学过的知识定量推导 并说明刹车痕迹与刹车前车速 的关系。
【高考题组】
4.(2010·天津高考)质点做直线运动的v-t图像如图所示，规 定向右为正方向，则该质点在前8 s内平均速度的大小和方向
【深度剖析】设前、后两车的加速度分别为a1、a2,从刹车开 始到停止所用的时间分别为t1、t2。由题意知，a2=2a1, 则 t2 1根2 t1据题意作出两车从前车刹车开始的v-t图像。 分别为AC和ABD。
为使两不相撞,两车 在匀速行驶时应保持的 最小距离为: Δs=s2-s1=150 m。
【名师指津】图像法解决追及相遇问题的技巧 (1)两个做匀减速直线运动物体的追及相遇问题,过程较为复杂。 如果两物体的加速度没有给出具体的数值,并且两个加速度的大 小也不相同，如果用公式法,运算量比较大,且过程不够直观,若 应用v-t图像进行讨论,则会使问题简化。 (2)根据物体在不同阶段的运动过程，利用图像的斜率、面积、 交点等含义分别画出相应图像，以便直观地得到结论。
知识点 2 追及和相遇问题
1.追及问题的两类情况 (1)若后者能追上前者，追上时，两者处于_同__一__位置，且后者 速度一定不小于前者速度。 (2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度_相__等__时，两 者相距最近。 2.相遇问题 相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和_等__于__开始时两 物体间的距离时即相遇。
第3讲 运动图像 追及相遇问题
知识点 1 匀变速直线运动的图像 Ⅱ
1.直线运动的x-t图像 (1)物理意义：反映了物体做直线运动的_位__移__随_时__间__变化的 规律。 (2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体_速__度__的 大小，斜率正负表示物体_速__度__的方向。
2.直线运动的v-t图像 (1)物理意义：反映了做直线运动的物体的_速__度__随_时__间__变化 的规律。 (2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体_加__速__度__
轴
横轴为时间t,纵轴为 位移x
横轴为时间t,纵轴为速度v
线
倾斜直线表示匀速直线 倾斜直线表示匀变速直线
运动
运动
斜率
表示速度
表示加速度
面积
无实际意义
图线和时间轴围成的面积 表示位移
纵截距
表示初位置
表示初速度
拐点表示从一种运动变 拐点表示从一种运动变为另
特殊点 为另一种运动,交点表 一种运动,交点表示速度相