飞行计划问题

数学建模论文飞行计划问题

摘要

甲方飞行员飞行计划可用线性规划的方法实现，求解目标为在满足供给的前提下，使总的费用最低的最优解。总费用为购买新飞机的花费、闲置的熟练飞行员报酬、教练和飞行员报酬（包括培训费用）、执行飞行任务的熟练飞行员报酬、休假期间的熟练飞行员报酬之和，其中执行飞行任务的熟练飞行员报酬和休假期间的熟练飞行员报酬是固定的，总费用不会受它们影响。所以在计算总费用时，可以直接将执行飞行任务的熟练飞行员报酬和休假期间的熟练飞行员报酬算出结果加到总费用中。对于这一类约束最优解的模型，首先，我们可以根据题目给出要求写出对应的目标函数，其次再根据题目中的约束条件建立相应的约束函数，最后用LINGO软件输入相应的代码，求出约束条件下目标函数的最优解。

本文中根据对问题的理解，我们建立了一个约束最优化模型。由于题目给的变量和约束条件较多，首先我们对题目做了相应的定性分析和定量计算，这样使得变量数目极大地减少了，方便对问题的理解和具体的计算。这个约束最优解的模型的具体求解，我们是用LINGO软件来实现。在LINGO软件中，我们只需输入有关的源代码，就可以得到约束问题的最优解。前面对于问题所作的定性分析和定量计算，与由LINGO软件得到的最终答案是一致的。

本题中两个问题的唯一不同点是问题一中每名熟练飞行员作为教练每个月指导20名飞行员（包括自己在内）进行训练，而问题二中是每名熟练飞行员作为教练每个月指导不超过20名飞行员（包括他自己在内）进行训练。这样使得两个问题中的教练和新飞行员的总报酬不同，从而影响到最后的总费用不相同。

通过用LINGO软件求解得：

问题一的约束最优解为：

4个月开始时甲方购买的新飞机的数量分别为60，30，80，0；每个月甲方闲置的飞机的数量为10，0，0，0；每个月甲方闲置的熟练飞行员数目为7，6，4，4；每个月教练和新飞行员的数量为460，220，240，0；每月执行任务的飞行员数目分别为300，450，450，600；每个月休假的熟练飞行员数目为0，240，360，360，则最后求得总消费最低为63855.40。

问题二的约束最优解为：

4个月开始时甲方购买的新飞机的数量分别为60，30，80，0；每个月甲方闲置的飞机的数量为10，0，0，0；每个月甲方闲置的熟练飞行员数目为7，0，0，0；每个月教练的数量为23，12，12，0；每个月的新飞行员数目为432，210，228，0；每月执行任务的飞行员数目分别为300，450，450，600；每个月休假的熟练飞行员数目为0，240，360，360，则最后求得总消费最低为63729.80。

关键字：飞行员数量飞机数量教练数目约束最优化模型

这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月。由于乙方封锁了所有水陆交通通道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送4个月的供给分别需要2次，3次，3次，4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成(每架飞机需要3名飞行员)，可以运送10万t物资。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有20％的飞机会被乙方部队击落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第1个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行员(包括他自己在内)进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假期，假期结束后才能再投入飞行。已知各项费用(单位略去)如下表所示，请为甲方安排一个飞行计划。

如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过20名飞行员(包括他自己在内)进行训练，模型和结果有哪些改变?

二条件假设

1、假设每个月甲方执行飞行计划时，无任何飞机被击落，在他们返回途中有20%被击落，即在训练、运送物资及闲置等时候飞机不会出事。

2、假设新飞机经一个月检查后都可以投入使用，新飞行员经一个月训练后都可以投入飞行,而且被训练后的新飞行员便成为了熟练飞行员。

3、假设没有援军等其它因素来干扰甲乙双方的战争，每月甲方的空中运送计划没有其他因素影响，空运的物资、次数及飞机数目不变。

4、假设飞行员数目只会因为飞机被击落而减少，不受疾病、退休等因素干扰。

5、假设新飞行员训练时不占用飞机，新飞机检查时不占用飞行员。

这个问题条件较多，看起来很复杂，但只要理解了这个题目中所描述的事实，我们可以建立一个约束最优化模型。首先，由题目可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员的数量是确定的，所以这部分的报酬是固定的，在优化目标中可以直接算出。

根据题目要求，则每月参与飞行任务的飞机数量依次为100，150，150和200架，这些飞机最后能返回甲方，参与下个月的飞行任务的数量依次为80，120和120。每月参与飞行任务的飞行员数量依次为300，450，450和600人，这些飞行员最后能返回甲方的人数依次为240，360和360，但是这些飞行员紧接着的一个月是休假的，这些因素都会影响下个月飞行任务的飞机和飞行员的安排。

问题二中，如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过20名飞行员(包括他自己在内)进行训练，则应将教练与新飞行员分开考虑。

四符号及变量说明

符号变量说明

x i 甲方第i个月的购买的新飞机数目

y i 甲方第i个月闲置的飞机数目

z i 甲方第i个月闲置的熟练飞行员数量

u i 甲方第i个月在熟练飞行员指导20名飞行员情况下

教练和新飞行员总数量

m i 甲方第i个月在熟练飞行员指导不超过20名飞行员

情况下教练数量

n i 甲方第i个月在熟练飞行员指导不超过20名飞行员

情况下新飞行员数量

W 总的花费