数值流形元法研究进展与展望
《2024年流形学习算法数据适用性问题的研究》范文
《流形学习算法数据适用性问题的研究》篇一一、引言随着大数据时代的来临，数据分析和处理已成为各领域研究的重要一环。
流形学习作为一种新型的非线性降维方法，在处理复杂数据时展现出强大的能力。
然而，流形学习算法在数据适用性方面仍存在诸多问题。
本文旨在研究流形学习算法在数据适用性方面的问题，分析其存在的挑战和解决方法，以期为相关研究提供有益的参考。
二、流形学习算法概述流形学习是一种基于流形结构的降维方法，通过寻找高维数据在低维流形上的投影，实现数据的降维和可视化。
流形学习算法包括局部线性嵌入、拉普拉斯特征映射、等距映射等方法，具有优秀的非线性降维能力，能够有效地揭示数据的内在结构。
三、流形学习算法数据适用性问题尽管流形学习算法在非线性降维方面表现出色，但在实际应用中仍存在数据适用性问题。
这些问题主要表现在以下几个方面：1. 数据分布问题：流形学习算法假设数据分布在低维流形上，当数据分布不满足这一假设时，算法的性能会受到影响。
例如，当数据具有复杂的分布或噪声干扰时，算法的准确性会降低。
2. 参数设置问题：流形学习算法中涉及许多参数设置，如近邻数、核函数等。
这些参数的设置对算法的性能具有重要影响。
然而，目前尚无有效的参数设置方法，往往需要依靠经验或试错法，导致算法的稳定性和可解释性较差。
3. 数据量问题：流形学习算法在处理大规模数据时，计算复杂度较高，容易陷入过拟合。
此外，当数据量不足时，算法的降维效果可能不理想。
4. 实际应用问题：不同领域的数据具有不同的特性和需求，如何将流形学习算法应用于具体领域，解决实际问题，仍需进一步研究。
四、解决方法与策略针对流形学习算法在数据适用性方面的问题，本文提出以下解决方法与策略：1. 改进算法适应性：针对不同类型的数据分布，可以尝试改进流形学习算法的适应性。
例如，采用更灵活的核函数或引入其他降维技术来提高算法的鲁棒性。
2. 优化参数设置：针对参数设置问题，可以尝试采用自动调参技术或贝叶斯优化等方法来优化参数设置，提高算法的稳定性和可解释性。
数值流形方法
Ti x, y Di
i 1
n
定义在物理覆盖Ui上的覆盖位移函数ui(x,y),vi(x,y)可以是常量、线性的、 高阶多项式或局域级数，用权函数wi(x,y)连接在一起。
wi x, y 0
wi x, y 0
xU j
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( x, y ) U i ( x, y ) U i
0 di ,2 j 1 fij ( x, y ) d i.2 j
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数值流形方法
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数值流形方法
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单元e的整体位移函数
ue ( r ) x, y ux, y q we ( r ) x, y v x, y r 1 ve ( r ) x, y
一般级数函数
设物理覆盖数为n，每个物理覆盖有2m个未知数。 Di为覆盖i待求位移变量{di1 di2 … dim }。 Fi为i覆盖分布到2m个位移变量上的荷载{Fi1 Fi2 … Fim } 。 Kij是刚度矩阵子矩阵，为2m× 2m阶矩阵。
19 2012/9/27 数值流形方法 20
ui ( x, y ) m f ij ( x, y ) vi ( x, y ) j 1 0
总体位移函数
ui x, y n m ux, y n wi x, y Tij x, y Dij v x, y i 1 vi x, y i 1 j 1
ui x, y vi x, y
( x, y ) U i ( x, y ) U i
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Te ( r ) j x, y De ( r ) j
q m r 1 j 1
流形学习研究现状分析
流形学习研究现状分析作者：张韬来源：《中国科技纵横》2019年第14期摘要：流形学习的目的就是对高维样本点集进行非线性降维，从中挖掘出样本点集的有效特征。
本文主要对流形学习算法的研究现状进行分析，从中指出其存在的潜在问题，以及对未来的研究方向进行分析探讨。
关键词：流形学习;样本点集;降维;算法中图分类号：TP181 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2019）14-0203-030 引言随着社会的发展，目前已经进入到数据时代，大数据这个概念被很多的人所认识。
数据时代我们面临的数据量越来越大，且数据的复杂度越来越高。
这样存在一个很突出的问题，当我们对大数据进行处理时，会造成处理的时间及成本代价很高。
另外，通常在对数据进行学习之前，需要对数据进行预处理，即对数据进行清洗。
所谓清洗，就是将无用的信息剔除掉，将有用的信息保留。
常用的方法就是对数据集进行特征提取，根据学习的需求，从中提取有用信息。
通常情况下，数据点集的维度很高，每个维度都表示数据的一个特征，从多个特征中提取少量特征，其实质就是对样本点集进行降维。
常见的降维方法有线性降维算法，其主要目的是通过学习一个线性降维映射，将高维样本点集投影到低维空间。
常见的线性降维算法有P C A [ 9 ] 、MDS[8]、LDA[10]。
主成分分析法（PCA）是最著名的线性降维算法，其采用统计学的思想，通过构造样本点集之间的协方差矩阵来分析样本点的分布特点。
通过对协方差矩阵进行特征值分解，按照特征值的大小对特征向量进行排列。
最大的特征值所对应的特征向量表示第一主成分，它表明，样本点集沿着此方向分布最多。
依次可以构造第二主成分，第三主成分等。
通过这样的方式，可以达到对样本点集进行降维的目的。
多维尺度分析（ M D S ）是另一类比较经典的线性降维算法，其采用几何学的知识，希望在降维过程中保持高维样本点之间的欧氏距离，也就是说降维后，低维样本点之间的欧氏距离与对应的高维样本点之间的距离保持一致。
流形概念的演变与理论发展
流形概念的演变与理论发展一、引言流形是20 世纪数学有代表性的基本概念，它集几何、代数、分析于一体，成为现代数学的重要研究对象。
在数学中，流形作为方程的非退化系统的解的集合出现，也是几何的各种集合和允许局部参数化的其他对象。
〔1〕53 物理学中，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。
流形是局部具有欧氏空间性质的拓扑空间，粗略地说，流形上每一点的附近和欧氏空间的一个开集是同胚的，流形正是一块块欧氏空间粘起来的结果。
从整体上看，流形具有拓扑结构，而拓扑结构是&dquo;软”的，因为所有的同胚变形会保持拓扑结构不变，这样流形具有整体上的柔性，可流动性，也许这就是中文译成流形（该译名由着名数学家和数学教育学家江泽涵引入）的原因。
流形作为拓扑空间，它的起源是为了解决什么问题？是如何解决的？谁解决的？形成了什么理论？这是几何史的根本问题。
目前国内外对这些问题已有一些研究〔1-7〕，本文在已有研究工作的基础上，对流形的历史演变过程进行了较为深入、细致的分析，并对上述问题给予解答。
二、流形概念的演变流形概念的起源可追溯到高斯( C.F.Gauss,177-71855 ) 的内蕴几何思想, 黎曼(C.F.B.Riemann,18261866)继承并发展了的高斯的想法，并给出了流形的描述性定义。
随着集合论和拓扑学的发展，希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)用公理化方案改良了黎曼对流形的定义，最终外尔(H.Weyl,18851955)给出了流形的严格数学定义。
1. 高斯-克吕格投影和曲纹坐标系十八世纪末及十九世纪初，频繁的拿破仑战争和欧洲经济的发展迫切需要绘制精确的地图，于是欧洲各国开始有计划地实施本国领域的大地测量工作。
1817 年，汉诺威政府命令高斯精确测量从哥廷根到奥尔顿子午线的弧长，并绘制奥尔顿的地图，这使得高斯转向大地测量学的问题与实践。
中国流变学研究的现状及对策
中国流变学研究的现状及对策1.引言中国流变学研究的现状及对策1.1 概述流变学是研究物质变形和流动行为的学科，广泛应用于化工、材料科学、地质等领域。
随着科学技术的进步和工业化的发展，中国流变学研究也逐渐取得了显著的进展。
本文将探讨中国流变学研究的现状，并提出相应的对策。
首先，需要了解流变学的定义和发展。
流变学研究的对象是物质的变形和流动行为，通过研究物质的力学行为，揭示物质内部结构和相互作用关系。
流变学的发展经历了多个阶段，从最初的粗略描述到如今的精确计算，涵盖了实验研究、数值模拟和理论研究等多个方面。
其次，回顾中国流变学研究的历史。
中国在流变学研究方面具有悠久的历史，早在古代的冶金、陶瓷工艺中就积累了丰富的经验。
但是，在现代科学技术的发展和国际交流的背景下，中国的流变学研究相对滞后。
直到20世纪80年代，中国开始引进流变学的先进理论和技术，逐渐在这一领域取得了突破。
鉴于中国流变学研究的现状，我们需要采取一系列对策来推动其发展。
首先，加强基础研究是关键。
基础研究是科学发展的基石，只有深入探究物质的流变行为机制，才能为应用研究提供坚实的基础。
其次，提高科研机构和人才培养水平也是必要的。
科研机构应积极投入流变学研究，提供必要的设备和资源支持。
同时，培养和吸引人才也是关键，通过建立流变学专业的学术机构，开展流变学相关课程和培训，培养更多的专业人才。
综上所述，中国流变学研究在过去几十年里取得了显著的进展，但与国际先进水平还存在一定差距。
只有加强基础研究和提高科研机构和人才培养水平，才能不断推动中国流变学在科学研究和应用领域的发展，并为国家的科技创新做出更大的贡献。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几个方面:1.2 文章结构本文将分为引言、正文和结论三个部分进行讨论。
在引言部分中，将首先概述流变学的概念和研究领域的发展。
然后介绍本文的目的，即探讨中国流变学研究的现状及对策。
正文部分将分为两个主要部分：现状和对策。
岩土工程中数值流形方法的应用及研究
岩土工程中数值流形方法的应用及研究数值流形方法是一种通过构建流形来描述复杂系统动力学行为的数值模拟方法。
在岩土工程中，由于岩土材料的非线性、非均质性和随机性，传统的有限元方法在求解复杂问题时存在一些局限性，例如需要大量的计算资源和时间。
而数值流形方法通过对系统的几何结构和动力学特性进行建模和分析，能够更加准确地刻画岩土系统的复杂行为，极大地提高了数值模拟的效率和精度。
数值流形方法在岩土工程中的应用主要包括岩土材料的力学行为分析和岩土体的动力响应预测。
在岩土材料的力学行为分析方面，数值流形方法能够更加准确地模拟岩土的变形、破坏和强度特性，为岩土工程设计和施工提供更为可靠的理论依据。
而在岩土体的动力响应预测方面，数值流形方法能够模拟地震、波浪等外界荷载下岩土体的动力响应，为岩土工程中的地震设计、海岸防护等提供重要的参考依据。
数值流形方法在岩土工程中的研究进展主要集中在两个方面。
一是数值流形方法的理论基础研究，包括流形构建算法、流形表征理论、流形降维方法等方面的深入研究；二是数值流形方法在岩土工程中的应用案例研究，包括针对不同岩土体的数值模拟分析、数值流形方法与其他数值模拟方法的比较研究等方面的实践案例。
数值流形方法在岩土工程中的应用和研究面临一些挑战和问题，需要进一步深入探讨。
一是数值流形方法的建模精度和计算效率问题，尽管数值流形方法在理论上具有很高的建模精度，但是在实际应用中常常需要消耗大量的计算资源和时间，需要进一步改进和优化算法；二是数值流形方法与传统数值模拟方法的融合问题，尽管数值流形方法在岩土工程中的应用已经取得了一定的成果，但是与传统数值模拟方法相比还存在一定的局限性，需要进一步研究如何将两者结合起来，充分发挥各自的优势。
岩体工程数值模拟新方法——数值流形法(NMM)
２ 数值流形法 的基本原理
数值 流 形法 是一种 基 于有 限覆盖技 术 的数值 方法 。有 限 覆 盖 包括 数学 覆盖 和物 理覆 盖两 层含义 ，数 学覆 盖是 数值 流 裘
收稿 日期 ：２ ０ － ６ ０ ０７０—５ 作者简介 ：李学辉 （ ９ ９ ） １６ 一 ，男，汉 ，内蒙古卓资人 ，学士 ，丁 程师 ，研究方 向地质矿产 勘察 。 ＝
简 要评价 关键 词 ： 岩体 工程
中 图分 类号 ： ４ ６ １ Ｕ １．
数值 模 拟 数 值分 析 法 数值流形 法
文献 标识 码 ： Ａ 文章编 号 ： ６ ３ １ １ （０ ７ ０ － ０ ２ ０ １７—８ ６２ ０） ３ ０２ －５
１ 引 言
传统的岩体工程稳定性分析方法可以分为两大类：一类把岩体视为连续体 ，片弹性力学及塑性 Ｊ
Ｖ （， ） ３ＸＹ
对流 形 单元 法 ，覆盖 函数 为常 量 即为常 规有 限元 ，覆 盖 函数 一般 可选 为完 备 坐标 一 次式 、二 阶
式或 一般 级数 形 式 。完 备 一 次式形 式 为 ：
ｄ， ｄ，
ｆ ，） 『 ０ ０ ０ ］ － Ｘ Ｙ ］ｄ， １
维普资讯
第６ 第３ 卷 期 ２０ 年 ９ ０７ 月
石家庄铁路职 业技 术学院学报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｓ Ｊ ＡＺＨＵＡＮＧ Ｓ Ｉ ＨＩＩ Ｉ Ｔ ＴＵＴＥ ＯＦ ＲＡＩ Ｗ ＡＹ ＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｎ Ｌ Ｔ
ｖ（Ｌ． ． ） ６ＮＯ ３
料 区域 的交 接面 等 ）两 者组 成 ，它 是不连 续缝 对数 学覆 盖 的再 剖分 ，Ｊ 数学 语言 米 讲就 是数 学 ｝ ＿ ｆ ｊ
与物 理 材料 场 的交 集 。流形 单元 是指 物理 覆 盖 的公共 区域 ，材 料边 界 内的每 一 点都 在某 …流形 。 ． 内。以下 为一 个数 学覆 盖 、物 理覆 盖 、流形 单元 的划 分实 例 ，可 以看 出 ，模 型 中含 ６个数 学 覆 羔
数值流形方法
数学覆盖和物理网格
数学覆盖 由用户选择，由占整个材料体的许多有限重叠覆 盖组成，如常规的网格、规则的格子、有限元的 网格等。数学覆盖只定义解的精度。 物理网格 作为实际的材料边界，定义其积分区域。包括材 料体的边界、裂缝、块体和不同材料区域的交界 面，不变化的水面也是物理网格的一部分。 物理网格代表材料条件，不能人为地选择。
wi x 0
wi x 0
xU j
x Ui x Ui
w j x 1
权函数的含义是加权平均，它对所有含x的物理覆盖Ui取每个覆盖函 数ui(x)的百分数。
9 2012/9/27 数值流形方法 10
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数值流形方法
总体函数
流形方法中，覆盖函数独立地建立在单个物理覆盖上， 然后将局部位移函数用权函数加权连接在一起，形成总体 位移函数。 覆盖函数可以是常数、线性函数、非线性函数等； 权函数可以是线性函数，也可为非线性函数。由它们的 不同组合可得到不同的总体位移函数。
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0 di ,2 j 1 fij ( x, y ) di ,2 j
数值流形方法
荷载矩阵的组成
荷载矩阵F由初应力矩阵、点荷载矩阵、体荷载矩阵、速 度矩阵及接触矩阵等组成。 初应力矩阵： {Fe ( r ) }
一般覆盖的惯性矩阵和速度矩阵
令 (u(x,y,t) v(x,y,t))T表示为单元e的任一点(x,y)与时间相关的位移，M为单 位面积的质量
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Te ( r ) j x, y De ( r ) j
q m r 1 j 1
q
一阶函数
Te ( r ) x, y De ( r )
岩土工程中数值流形方法的应用及研究
岩土工程中数值流形方法的应用及研究【摘要】岩土工程中数值流形方法是一种新型的数值计算方法，近年来在岩土工程领域得到了广泛的应用与研究。
本文通过对数值流形方法在岩土工程中的基本原理进行分析，总结了其在实际工程中的应用案例及优势与不足。
探讨了数值流形方法未来在岩土工程领域的发展方向以及与传统方法的比较研究。
通过对该方法的前景展望与未来发展趋势进行总结，为岩土工程领域的工程实践和研究提供了新的思路和方法。
数值流形方法的引入，将为岩土工程领域带来更加准确、高效的数值计算工具，推动岩土工程领域的技术进步和发展。
【关键词】岩土工程、数值流形方法、应用、研究、基本原理、应用案例分析、优势、不足、发展方向、比较研究、前景展望、发展趋势、总结1. 引言1.1 岩土工程中数值流形方法的应用及研究概述数值流形方法在岩土工程中的应用涉及到岩土材料的力学性质、变形特征、稳定性分析等方面。
通过对岩土工程数据的建模和分析，可以更准确地预测工程中的各种问题，提高工程设计的精度和效率。
数值流形方法还可以帮助工程师优化设计方案，减少工程成本和风险。
本文将对岩土工程中数值流形方法的基本原理进行介绍，分析数值流形方法在岩土工程中的应用案例，总结数值流形方法在岩土工程中的优势与不足，探讨数值流形方法未来在岩土工程领域的发展方向，并对数值流形方法与传统方法进行比较研究。
希望通过本文的探讨，能够更深入地理解数值流形方法在岩土工程中的应用及研究。
2. 正文2.1 数值流形方法在岩土工程中的基本原理数值流形方法是一种基于流形理论的数值计算方法，其在岩土工程中的应用日益广泛。
数值流形方法的基本原理是利用流形理论中的概念和方法，将岩土工程中的复杂问题转化为具有简单结构的流形空间问题，通过对流形空间的分析和计算，实现对岩土工程问题的精确描述和求解。
在数值流形方法中，岩土工程中的各种地质力学参数和工程性质被视为流形空间中的数据点，通过建立数据之间的联系和结构，实现数据的降维和特征提取，从而揭示出数据之间的内在关联和规律性。
岩土工程中数值流形方法的应用及研究
岩土工程中数值流形方法的应用及研究数值流形方法是近年来发展起来的一种新型计算方法，它是一种依靠数学模型和计算方法来解决实际问题的方法。
在岩土工程领域，数值流形方法已经得到了广泛应用，并在实际工程中发挥了重要的作用。
岩土工程中的数值流形方法是指采用数值计算的方法来模拟和预测岩土体在应力作用下的变形与破坏过程。
数值流形方法是通过将岩土体分割成许多小单元，将物理模型转化为离散的数学模型，然后通过数学计算来模拟和预测岩土体的运动规律和变形过程。
数值流形方法的应用可以大大提高岩土工程的准确性和可靠性。
它可以模拟更加复杂的地质结构和地震活动下的土体破坏过程，能够定量描述土体的变形和破坏机制，对于地下工程设计、地震灾害研究等方面具有重要的作用。
在岩土工程中，数值流形方法主要包括三种方法：有限元法（finite element method）、有限体积法（finite volume method）和边界元法（boundary element method）。
这些方法在模拟和预测岩土体变形和破坏过程方面各有优缺点，可以因地制宜地选择。
有限元法是将岩土体分割为许多小单元，将物理模型转化为数学模型，然后通过数学计算来模拟和预测岩土体的运动规律和变形过程。
它具有精度高、计算速度快、容易实现并行计算等优点。
但同时也存在网格生成困难、不适合处理复杂的几何形状等缺点。
有限体积法是一个基于控制体积的方法，它利用几何体积平均值的概念，通过计算质量守恒、动量守恒和能量守恒的方程组来解决岩土体变形和破坏的问题。
有限体积法可以处理高度压缩、高速冲击过程以及复杂的几何形状，但是涉及到离散网格和边界条件的选取等问题。
边界元法是一种基于位势理论和边界条件的方法，它将二维或三维边界的运动方程转化为边界上位势函数的积分方程，通过求解这些积分方程来解决岩土体变形和破坏的问题。
边界元法具有计算速度快、对网格依赖性小等优点，但同时也存在边界处理困难、对复杂的几何形状求解困难等缺点。
流形学习方法理论研究及图像中应用
流形学习方法理论研究及图像中应用流形学习方法作为一种非线性降维技术，在高维数据的降维与特征提取方面具有广泛的应用前景。
本文旨在探讨流形学习方法的理论依据及其在图像处理中的应用。
流形学习方法的核心理念是在高维数据中寻找低维坐标系下的内在几何结构，以保持数据的局部邻近关系。
流形学习方法具有两个关键特点：局部性和全局性。
局部性是指流形学习方法在处理数据时局部邻近关系，而全局性是指流形学习方法寻求数据在整个空间中的全局几何结构。
流形学习方法的应用场景涵盖了图像识别、数据分类、数据压缩等领域。
为了验证流形学习方法的理论有效性，我们设计了一系列实验，并从数据集中选取了不同类别的图像进行测试。
在实验中，我们采用了常见的评估指标，如准确率、召回率和F1分数等。
实验结果表明，流形学习方法在图像处理中能够有效地提取特征并提高分类准确率。
在图像应用方面，流形学习方法可以被用于图像特征提取和降维。
具体而言，我们首先需要对图像进行预处理，如灰度化、中值滤波等操作，以去除噪声并增强图像质量。
接下来，利用流形学习方法对图像特征进行提取，进而使用分类器对提取出的特征进行分类。
流形学习方法还可以用于图像分割、目标检测等任务。
流形学习方法在图像处理中具有重要的应用价值，能够有效地提取图像特征并提高分类准确率。
随着流形学习方法的不断发展，未来图像处理领域的发展趋势可能会更加注重于深度学习与流形学习的结合，以实现更高效、准确的图像分析与应用。
随着深度学习和技术的快速发展，图像分类任务已经成为计算机视觉领域的热点研究方向。
图像分类旨在根据图像的内容和语义，将不同的图像划分到不同的类别中。
近年来，基于注意力机制的图像分类方法成为了研究的焦点，并在各种应用场景中显示出优越的性能表现。
深度学习是图像分类任务的核心技术，其通过多层的神经网络结构实现对图像特征的提取和分类。
在深度学习中，神经网络层的结构与功能是至关重要的。
卷积神经网络（CNN）是常用的深度学习模型，其通过一系列的卷积层、池化层和全连接层实现对图像特征的逐层提取和分类。
岩土工程中数值流形方法的应用及研究
岩土工程中数值流形方法的应用及研究数值流形方法是近年来发展起来的一种用于处理高维数据的有效方法，它在岩土工程中的应用和研究也逐渐受到重视。
本文将就数值流形方法在岩土工程中的应用进行介绍。
数值流形方法在岩土工程中可以用于数据降维和特征提取。
岩土工程中常常涉及到大量的数据，而且这些数据往往是高维的，包含大量的冗余信息。
利用数值流形方法可以将高维数据映射到一个低维空间，从而降低数据的维度，提取出数据中的重要特征。
这样可以使得数据处理更加高效和准确，为岩土工程的分析和设计提供更好的依据。
数值流形方法在岩土工程中可以用于数据建模和预测。
岩土工程中的数据往往包含着复杂的非线性关系，传统的建模方法往往不能很好地捕捉到这种关系。
而数值流形方法可以通过学习数据的局部结构和几何特征来构建一个非线性模型，从而更好地描述数据之间的关系。
利用这个模型可以进行数据的预测和模拟，为岩土工程的风险评估和安全预警提供支持。
数值流形方法还可以用于岩土工程材料的性能分析和优化设计。
岩土工程中的材料往往具有多个性能指标，传统的方法往往需要进行大量的试验和模拟才能得到最佳的设计方案。
而数值流形方法可以通过学习多个性能指标之间的关系，找到一个合适的权衡点，从而实现多目标优化设计。
这样可以提高设计效率，减少试验和模拟的成本。
数值流形方法在岩土工程中还可以用于异常检测和故障诊断。
岩土工程中的异常数据往往意味着潜在的危险和问题，因此及早发现和诊断这些异常数据对于岩土工程的安全和可靠性非常重要。
数值流形方法可以通过学习正常数据的分布和模式，识别出异常数据，并进行故障诊断。
这样可以及时采取相应的措施，减少事故的发生。
数值流形方法在岩土工程中具有广泛的应用前景和研究价值。
它可以用于数据降维和特征提取、数据建模和预测、材料性能分析和优化设计、异常检测和故障诊断等方面，为岩土工程的分析和设计提供更好的方法和工具。
随着数值流形方法的不断发展和完善，相信它在岩土工程中的应用和研究会更加深入和广泛。
【doc】数值代数的几项进展及待解决的问题
数值代数的几项进展及待解决的问题第2§卷第.期I999年1月青岛海洋大学Jf:'R^:,1)OCFANUNIVERS[rYt)0INGDAO29ilI.【ju～lJour【+lq0;兰代数的几项进展及待解决的问题,.刘新国青岛海洋太学应用数学系.青岛.266003)要进展;第二部分介绍80年代来的几项进展;第三部分指出一些有待深入研宄的同题=笨,艮18O年代前的研究概况近5o年来.数值线代数取得了大量的研究成果.仅Higham的着作一就列出了1134篇参考文献,而这些仅仅是与数值算法稳定性及精度分析有关的部分主要参考文献.若想从这么多的成果中对数值线代数的研究进展给出恰当的全面评介,这是作者力所不及的.本节就作者注意到并留下深刻印象的一些进展做一简要介绍,同时也指出若干值得进一步研究的问题.本文几部专着为线索对8o年代以前的主要进展给出概括性回顾.数字电子计算机的问世为求解数学问题提供了有力的现代工具.计算机容量有限和字长有限使得数值计算过程中舍人误差几乎不可避免,只能求得数学模型的近似解,自然地就应分析计算结果的精度从40年代末开始.数值代数的研究沿两个方向蓬勃展开.其一是数值方法研究.重点是线性代数方程组和代数特征值问题的求解,古老的Gauss消去法和Jacobi方法被发展和完善:Lanczos于1950年提出TLanczos方法;D.Y oung提出了SOR迭代;Kublan0vskaya和Francis各自独立地于1961年发表了QR方法;Householder把镜面反射发展为矩阵计算的基本工具.其二是Givens,Wilkinson等一批数值代数专家着力研究舍入误差对算法及计算结果的影响,引入了向后误差分析方法,取得一系列深刻结果.J.H.Wilkinson出版了他的名着J.既标志着研究的第一阶段的结束.也是新一阶段研究的开始从60年代中期开始,数值代数界的主要兴趣是已有算法的理论分析,主要集中于如何有效地使用QR方法.提出了-上Hessenberg化技巧匕上减少计算量;提出位移技术以提高收敛速度.Wilkinson于1968年剥具Wilkinson位移的QR方法证明有全局收敛性且收敛阶至少是2然而.直到今日.关于QR方法仍未建立完整的收敛理论.正是这一困难问题促使数值代数界转向其它研究,并于1970年前后取得开拓性进展首先.G.WStewart于1970年开始研究广义特征值问收稿El期:i998-o6-22;修订II期:l998一o828刘新国-男.i952年6月生-教授-青岛海洋大学题AX=XBX的扰动理论.并使用了投影尺度;CC.Paige于197t年在他的博士论文中使Lanczos方法"起死回生".掀起了大型稀疏问题的研究浪潮;Peters和Wilkinson合作开始了广义特征值问题的数值方法研究:Mder和Stewart合作把QR方法推广到广义特征值问题而提出了Qz方法这几项里程碑式的工作,使得数值代数界整个7o年代的研究兴趣集中于大型稀疏计算和广义特征值问题其主要结果总结于B.N.Parlett的着作],蒋尔雄的着作和V anLoan与Golub的着作一中1979年.V anDooren在线性系统理论与设计中为奇异束广义特征值问题找到了深刻的应用背景,并提出Schur分解的推广.这项工作一直影响至今.一方面,数值代数界的研究兴趣开始从经典课题转移到其它交叉领域:另一方面也激励一部分学者在70年代创立的研究方向上深人研究.Oolub和V anIoan的着作最初定名为《矩阵计算终极教程》.由此不难看出数值代数界的乐观估计和兴趣转移迹象.V anDooren,Paige.Laub的工作使得"系统与控制中的矩阵计算问题"成为广为关注的研究领域.我国数值代数研究起步较晚,可以说,开始于l979年,从事一些经典领域的研究.70年代末到80年代中期.孙继广在矩阵扰动分析方面发表了一系列的研究论文,其中,以投影几何思想为基础的广义特征值问题扰动理论达到了世界领先水平,这方面的工作总结于他1987年出版的着作中.孙继广还对含参数矩阵特征值的局部性质做了深人研究.他同叶强合作深人探讨了代数特征值逆问题的几乎处处不可解性.进人九十年代,他受Higham工作的启发,深人研究了最佳向后扰动理论,取得了举世瞩目的成果,曹志浩对广义特征值问题的数值方法进行了广泛研究;蒋尔雄给出了具位移QR方法完整的收敛速度分析.从80年代开始,数值线代数的研究领域大大地扩展了.从新近出版的N.J.Higham 的着作一及J.Saad的着作可以对经典领域的研究进展有基本的了解.一个值得指出的问题是,广义特征值问题的数值方法和数值分析研究已有相当的积累,并在今后相当长的时期内仍是数值代数的重要课题,然而至今尚未出版专门性着作,这无疑不便于更多的青年学者加人这一研究领域.2数值线代数的几项进展进入80年代以来.几个经典领域又有了很多进展.2.1线性代数方程组研究方向有2.1.1特殊类型方程组的有针对性方法研究比如,微分方程定解问题离敖后得到的线性代数方程组+通常是大型稀疏的,有特殊结构,往往病态性与阶数有关.这是微分方程数值解法专家和数值代数界都感兴趣的课题.2.1.2经典迭代法的精化一般认为+经典迭代法(比如SOR迭代)如果不与其它改进技术结合使用.则已难与Lanczos类方法竞争.一种精化策略是条件预优,用于克服经典迭代法收敛慢的弱点,基本想法是.对于线性方程组Az=b构造条件预优子.然后用经典迭代法(ig括共轭斜量法)求解MAx—Mb或(MAMr)y—Mb,32一Mry(对称情形)睡氇●新目数值代数时儿项进展及待解硗的问题关键是:选择什幺样的才好当是矩阵时这种精化方法是很成功的当为一般矩阵时.不完全分解条件预优子可使用,但理论结果尚不多.2.1.3研究的主流是大型问题的求解并行技术是一个努力方向关于稀疏问题的重要成果很多,有代表性的是Krylo~t子空间方法类中的完全正交化方法和广义极小残量方法.完全正交化方法的基本原理如下:①Arnoldi过程,令g=b/l』6lf:,对一1,2,…,一A吼对i—I,2,…,,做hi..-qTAZ,Z:一zh.^l斗1一ll:如果h一0坝4转f2)'l=z/t~.,3经过这一过程,则有_4Q{一Q^H^++.…--h1^Ih…--hQ…劬j,HFi-.h10..h一令"一弘为近似解.当』h一】.{()<e时停机,否则进行迭代改善,这个方法在实用时必须使用一些数值技巧,较好的软件已形成.详细讨论可参考Saad的着作-r]理论上.当为实对称矩阵时,上述方法同Lanczos方法一致,为对称三对角阵;当H为对称正定阵时,上述方法与共轭斜量法等价广义极小残量法简称为GMRES 方法,主要用于求解非对称线性方程组=6基本原理是:取初始迭代向量,令r.=bA.r?K.兰span{r…,Ar",……rr'.}为第步Krylov子空间.求"一+.使6一Az"2=minr"一l_!∈而当llbAar"ll2<￡时接受为近似解与一般的Krylov子空间法比较,GMRES的特殊之处是每步残量极小化这样保证了有限步收敛(理论上如此).而且没有breakdown问题.实际使用时一般也是迭代地进行:取定某个.如果()尚不满足精度要求,则以z为新的z重新计算Greenbourn等证明:对于10.O=eP6一Ⅳ组程方g靶船H上解②青岛海洋大学给定的非增数列厂(.)≥厂(1)≥…≥,(一1)≥0,总存在一×矩阵A及初始向量35",使得:Ib一^1.:一,(),一0,1.…,一1这说明,对于一般的非对称方程组,GMERS可能收敛很慢.由此看来,还应对GMRES进一步深人研究.2.2代数特征值问题2.2.1经典方法继续分析与改进计算实对称矩阵全部特征值的标准方法是具Wilkinson位移的QL—w方法].由于Jacobi方法便于并行化且计算特征向量精度高,因此与QLW方法有了竞争力Cuppen于1981年提出的分而治之方法...计算效率更高.2.2.2对于一般矩阵的特征值问题由于QR方法不具备全局收敛性.因此有人提出同伦方法,参阅文献11].由于该方法的计算量有阶数效应,目前只能做为QR方法的递补方法.2.2.3大型稀疏矩阵的部分特征值问题自从1971年Paige的论文发表后一直是数值线代数的活跃领域.目前研究的较多的是Lanezos类方法及Krylov子空间类方法,参阅Ja的博士论文.2.3最小二乘问题80年代前主要研究下述几类问题:fmin|l32|lfmin0Ax—bI:LS:LSE:1_l|1A一6l1一minlEx—f[min0A—b0:ISI:"lEx≤ffrainllAx—bll:LSI:{E.z-一f|l:≤口(≥o)对于中小型问题,LS,LSE,LSI,LSQ都已有良好的数值方法.但对大型稀疏问题则有待进一步研究.1980年,Golub和V anLoan引入了总体最d,--乘问题TLS:设且为×矩阵,B为×P矩阵,考虑Irainll_￡,E口]lR(B+E)[腮(A+E)如果上述,]存在,则下述矩阵方程:A—E^IX—B+E8有解aT称为TLS经典解.Golub--V anLoan,M.Wei,V anHuffel等给出了TLS有解的充分条件,必要条件;刘新国给出了可解的充要条件;M.Wei等还研究了截断TLS解.然而,由于现有的理论分析及算法设计都强烈地依赖奇异值分解(SVD)和c—s分解,不利于大型稀疏问题的面的研究还应继续.再则,TLS是做为LS的修正而提出的,LS已被广泛地应用于统计计算,因此,结合统计应用研究TLS也是值得考虑的.2.4矩阵分解矩阵分解是数值线代数的基本工具,一直受到广泛关注双边正交化秩显示分解由G.W.Stewart于1992年引人,近来被广泛研究,一般称为RRUTV分解.典型是A=uRG1,,lOE』其中和V是酉阵,R为上三角阵,而且1捐l刘新国:数值代数的几项选屣硬待解丧的问题llEl:}+0Gl}≈其中≥……≥>≥……≥为A的奇异值.使用时一般是当+/o<<1时用的截部4三R.I,..Hansen等"对RRUTV与SVD产生的子空间进行了比较-结果表明:(1)当+/较小时二者产生的子空问很接近:(2)RRUTV比SVD更便于处理updating及downdating问题.这类分解包括RRQR,RRURV,RRUEV.最初是根据数字信号处理需要而提出的而且一大型问题研究结果还不多.2.5矩阵扰动分析70年代末到80年代初,孙继广把投影几何思想用于研究矩阵束广义特征值问题的扰动理论.取得系统而深刻的结果.刘新国把Sylvester方程用来建立解代数扰动理论之间的联立,针对Cholesky分解,QR分解,极分解,Lu分解,sR分解,HR分解,上Hessenberg分解及Jacobi矩阵逆特征值问题的解建立了较精确的扰动界【",还有一些学者研究了元素意义下的扰动理论和相对扰动理论.然而,最重要的成果是孙继广受.J.Higham工作的启发.深入系统地对一系列问题建立的最佳向后扰动理论.这种理论的基本想法可以通过下述例子予以说明.考虑线性代数方程组Az--b.设已用某种方法求得近似解x-向后扰动理论是求出满足(4+E)一6+的所有,):而最佳向后扰动理论则研究fminllE.0f【(A+E);一b+ab有关最佳向后扰动理论的进展情况,参阅孙继广的综合性论文及其参考文献2.6代数特征值反问题到目前为止,研究最多的是下述几个问题.加法问题.已知A∈R…,{,……}是一组关于共轭运算封闭的复数,求对角阵D∈.使得A—D以^…..,为特征值.乘法问题.A,H…-一,同上,求对角阵D使得AD以,……,^为特征值jacobi矩阵逆特征值问题,已知21<<^.<<……<一1<一<,求实对称三对角阵-,n,使得,,H以一^.为特征值,l的"1阶顺序主子阵以…为特征值.以上三类问题还有若干推广/变型.极点配置问题.设A∈艘,B∈艘"…..)是一组关于共轭运算封闭的复数求K∈艘使得4+BK以…一一为特征值.这个问题叫输入反馈极点配置问题相应地,还有输出反馈极点配置同题.加法问题和乘法问题提出于1956年,已发展了Newton迭代,同伦方法,逐次谱分解迭代等方法孙继广等证明了这两类问题有几乎处处不可解性.看来应从实际背景出发重新分析问题的提法进展情况可参阅徐树方的博士论文.Jaeobi矩阵逆特征值问题已解决得较完满,参阅周村荃和戴华的着作.极点配置问题在80年代曾被广泛研究.,我们认为,这一领域还有很多工作要傲.反问题是相对传统数学问题的提法而言的.一般而言,每个数学问题都有反问题.而且,正问题对青岛海洋大学分析和认识某个物理系统有用.反问题可用于系统的设计和优化.因此反问题值得研究反问题往往有不适定性,为研究带来困难.3两个待研究的问题3.1非齐次特征值问题设AEe"∈e_求z及纯量满足IAX一+B:【|1xl_F一1如果这样的^,x存在,则称^为非齐次特征值,x为对应的非齐次特征向量.对于p--1且A为实对称矩阵情形,利用A的谱分解已取得较深入的结果.对于一般情形,卢旭光的论文进行了较深刻的几何性质探讨.这类问题的背景很丰富.研究工作很少,数值方法研究更待深入展开.3.2多参数广义特征值问题设A—];l,A∈皿+J一1,…,A～J.-,^)及一(zc】),…+(m),(∈厦稿足z"lI2—1,J—I,….m则称n.,…+k)为A的多参数广义特征值,而xⅡ做相应的多参数广义特征向量上述问题产生于多组变量的典型相关分析m一2的情形及—的情形已基本解决对于一般情形,Horst方法最早研究并提出了幂法;后来胡德昆对rst方法提出补正并论证了收敛性;孙继广提出P--SOR方法并论证了收敛性.这就是关于该问题的进展情况很明显?多参数广义特征值的代数理论,数值方法,数值分析都有待展开研究本文综述了数值线代数的一些重要进展及待解决的问题前二部分概述了8O年代前的主要进展情况和8O年代以来的几项重要进展,第三部分指出了两个极待展开研究的领域限于作者学识及论文篇幅,有很多重要成果并未论及70年代末以来,以Golub为代表的一些数值代数学者转向了"统计中的矩阵计算"方向;以Stewart,V anLoan为代表的一部分学者从经典领域转向了"系统与控制中的矩阵计算"方向;以Higham+Demmel为代表的一些学者则从事"数值稳定性与计算精度分析"方面的研究这三个方向的成果都很多,本文对此论及并不多.事实上,从八十年代初开始+从最优控制及计算统计这两个学科产生了大量的数值代数课题,典型的例于是:典型相关系数的推广和计算;在存聚...如舡脏对实为1期荆新国:数值代数的几项进展殛待解决的问题155Markov链的计算;矩阵函数与矩阵逼近:Sylvester矩阵方程的求解;线性时不变系统的可控性与可观测性;极点配置问题;代数Riccati方程的数值求解;滤波器的设计;条件数理论与估计方法,这些领域的数值研究都有不同程度的进展.而且,如果不结台实际背景分析很难评价这些进展.参考文献1HighamNJ.AccuracyandSabiIit, vofNumericalAlgorithmsSIAMPhiladelphia,19962WilkinsonJHTheAlgebraicgigenvalueProblem.Oxford(UK):OxfordUniversitypress,1 9953PafleetBNThesymmetricEigenvMueProblemsEnglewoodCliffsPrentice—Ha】l,1980 4蒋尔雄.对称矩阵计算上海:上海科学技术出版杜t19845GolubGHandV anLoanCF.MatrixComputations.BMtimoe(MD):JohnsHopkinsUniver sityPress(2rd),6孙继广矩阵扰动分析.北京科学出版杜,19877SandYltcrativeMethodsforsparseLinearSystemsBoston:PWSpub[ish[ngcO,19968SandY andSchul【zMHGMRESgeneralizedmiaimairesidualMgor[thmforsolvingnonsymmetrMlinears ys—t~nlSSIAMJSciStatistComput1986,7:856～8699GrcenhaumA,PtakVandStrakosZAnynon[ncreasingconvergencecurveispossibleforG MRESSIAMJMa-trixAhalAppl,199617(3)-465446910CuppertJJM,AdivideandconquermethodforthesymmetrictridiagonaleigenproblemN umerMath1981,36:177～195I1LiTY,ZengZandCongLSolvingeigenvalueproblemsofnonsymmetricmatriceswithreal homotop[es.SIAMJNumerAna1.1992,89:2Z9～248l2黄琳系统与控制理论中的线性代数.北京:科学出版杜,198413刘新国关于TIS问题的可解性.计算数学,1992,14(2):14刘新国关于TLS的可解性与扰动分析.应用数学,1996.17(2):15FierroRDPerturbatinna【la[ysisfor㈣一sidedorthogona 【decompositions.SIAMJMatrixAnalAppI.1998.17f2)383～400刘新国关于一些矩阵分解因子的扰动分析.计算数学一1996—18(4):377～382刘新国SyIvester方程在矩阵扰动分析中的应用.计算数学一1992.14(3):266～873 ponentw~perturbationboundsforsomematrixdecompositions.BIT.1998.82( 4):7O2～714同18.Onoptimalbackwardperturbationbounds.preprint—DeptofcomputingscienceUmeaUniversity.1997同18.BackwardperturbationanalysisofcertaincharacteristMsubspaces.NumerMath.1993,85:3j7～382橡树方.经典代数特征值反问题的理论与算法:[博士学位论文]北京:中国科学院计算中心.1990周树荃t戴华.代数特征值反问题的理论与方法.郑州河南科学技术出版杜.1994 卢旭光.矩阵非齐扶特征值问题.计算数学.1994—18(3):319～332孙继广多参数特征值问题的一种算法(T)计算数学,1988,8(2):137～1490 DuffTS.ErismanAMaadReidJKDirectmethodsforsparsemeatrices.London:OxfordUniv ersityPrss.l986JLaz.Somenumericalmethodsforlargeunsymmetrice[genproblems:[Ph.D.thesis(Germa ny):B~elefeldU-niv.】994【二∞虬∞孔青岛海洋大学27Ede[rgedensenumerica【linearalgebrain]993:theparallelcomputerinfluence.1mJSuper=ompu=erAPp1.1993.(2)l13～l2S28BjorekAN~mericalMethodsforLeasts口~RFesProblemsSIAMPhihdelphlaPAUSA,l99629GhavimiARandAlanJI.aubBackwarde~FQr—nsitivity,andrefinement.Icomputedsolutionsofa[gebraic RiecatiequationsNumer[_lnAlgApp].993.2(1):29～4030HighamDJCondltionnumbersandtheirconditionnumbersLinAlgApp[,(1995)2l5:l 吣～2133MolerCBandV anLoaⅡCF.Nineteendubiouswaystocomputetheexponenzia[ofamatrixSIAMRev,197S.20(4)80l～83632PaigeCCandWelMHistoryandgeneralizationsoftheCSdecomposltionI1nAlgApp[,l994-208/209303～弛433DattaBNLinearandnumerical】inearalgebraincontro]theory:researchpreblemsLinAlgAgp1.1994.197/l98755～79034FaberVNecessaryandsufficienteondkioasforexisteNee口Iacon~ugatgradientⅢthodsIAMJNumet-An—na【.1g84.21352～362AdvancesandUnsoIredProbIemsinNumericalLinearAlgebraLiuXinguo(AppliedMathematicsDepartmgnt.OceanUnirersityofQingdao,Qingdao,266003) AbstractThispaperreviewssomeimportantadvancesinnumericallinearalgebra.The firstpartsummarizesseveralmainadvancesbefore1980.Thesecondpartintroduces someimportantresultsobtainedsince1980.Thethirdpartpresentssomeunsolved problems.Keywordsnumericallinearalgebra;advcances;review【国际会议综述】茏国浅海水产养殖业近年来虽然得到了较快发展,但也存在着许多问题和障碍(如效益低下,鱼虾病害,渔业环境保护和水产品深加工等).中日水产养殖与水产品加工国际学术研讨会"和"国际对虾养殖生态学研讨会"两个国际会议旨在了解国水产养殖的最新研究成果,探索水产养殖与渔业可持续发展的途径,探讨近几年来对虾疾病在世界养殖业流行的原因.以提高我国水产养殖与水产品加工业在国际上的竞争力,提高我校水产养殖国家重点学科点的科研水平在所收到的论文中,"动物营养对基因表达的影响"等论文具有很高的前沿水平和较强的启发效应【金之亮)。
数值流形方法的几个基本探讨
数值流形方法的几个基本探讨随着计算机技术的不断发展和普及，人们对于数据处理的需求也不断增加，而数据处理的一个重要方向就是对于数据的降维和特征提取。
在这个背景下，数值流形方法作为一种新兴的数据处理技术，受到了越来越多的关注和研究。
本文就数值流形方法的几个基本问题进行探讨，希望能够对于读者有所帮助。
一、数值流形方法的基本概念数值流形方法是一种基于流形理论的数据处理方法，其基本思想是将高维数据映射到低维流形上，从而实现数据的降维和特征提取。
在数值流形方法中，流形是指一个局部具有欧几里得空间结构的对象，它可以被嵌入到高维空间中。
数值流形方法的目标就是寻找这个流形的嵌入方式，从而实现数据的降维和特征提取。
二、数值流形方法的基本步骤数值流形方法的基本步骤包括数据采样、距离计算、流形构建、流形嵌入和流形可视化。
1.数据采样数据采样是指从原始数据中选取一部分数据作为样本，用于后续的数据处理。
数据采样的目的是减少计算量，提高处理效率。
2.距离计算距离计算是指计算样本之间的距离，用于后续的流形构建和嵌入。
常用的距离计算方法包括欧几里得距离、余弦距离、曼哈顿距离等。
3.流形构建流形构建是指根据样本之间的距离，构建出一个具有流形结构的对象。
常用的流形构建方法包括局部线性嵌入(LLE)、等距映射(Isomap)、拉普拉斯特征映射(LE)等。
4.流形嵌入流形嵌入是指将流形嵌入到一个低维空间中，从而实现数据的降维和特征提取。
常用的流形嵌入方法包括多维缩放(MDS)、主成分分析(PCA)、局部线性嵌入(LLE)等。
5.流形可视化流形可视化是指将嵌入后的流形以图形的形式呈现出来，从而便于人们对数据进行直观的理解和分析。
常用的流形可视化方法包括散点图、等高线图、三维曲面等。
三、数值流形方法的应用数值流形方法在数据处理中有着广泛的应用，包括图像处理、文本分析、信号处理、机器学习等领域。
以下分别介绍几个典型的应用案例。
1.图像处理在图像处理中，数值流形方法可以用于图像的降噪、图像的分割、图像的匹配等方面。
《流形学习算法数据适用性问题的研究》范文
《流形学习算法数据适用性问题的研究》篇一一、引言流形学习算法是一种在机器学习和数据科学领域中广泛应用的算法，其核心思想是在高维数据中寻找低维流形结构，以实现数据的降维和可视化。
然而，随着数据规模的扩大和复杂性的增加，流形学习算法在数据适用性方面面临诸多挑战。
本文旨在探讨流形学习算法在数据适用性方面的问题，分析其存在的问题及原因，并提出相应的解决方案。
二、流形学习算法概述流形学习算法是一种基于流形假设的降维方法，其基本思想是通过寻找高维数据中的低维流形结构来降低数据的维度。
流形学习算法在许多领域都得到了广泛的应用，如图像处理、语音识别、生物信息学等。
三、数据适用性问题分析尽管流形学习算法在许多领域取得了显著的效果，但在实际应用中仍存在数据适用性问题。
主要问题包括：1. 数据质量问题：数据中存在的噪声、异常值、缺失值等问题可能影响流形学习算法的效果。
2. 数据规模问题：当数据规模较大时，流形学习算法的计算复杂度较高，可能导致算法运行缓慢或失效。
3. 数据分布问题：不同的数据分布可能具有不同的流形结构，而某些流形学习算法可能无法很好地适应这种变化。
4. 参数设置问题：流形学习算法中的参数设置对算法的性能具有重要影响，而合理的参数设置往往需要大量的先验知识和经验。
四、解决方案与改进措施针对上述问题，本文提出以下解决方案与改进措施：1. 数据预处理：通过数据清洗、去噪、归一化等预处理手段提高数据质量，为流形学习算法提供更好的输入数据。
2. 算法优化：针对计算复杂度较高的问题，可以通过优化算法结构、采用分布式计算等方法降低计算复杂度，提高算法运行效率。
3. 适应不同分布的流形学习算法：研究针对不同数据分布的流形学习算法，以更好地适应实际数据的流形结构。
4. 参数优化与自适应调整：通过引入自适应机制、贝叶斯优化等方法，实现参数的自动调整和优化，减少对先验知识和经验的依赖。
5. 集成学习方法：将多种流形学习算法进行集成，以充分利用各种算法的优点，提高算法的鲁棒性和适用性。
数值流形元法研究进展与展望
Local incompatible mesh refinement with structurized meshes – multilayer refinement
• 石根华于1991年提出了数值流形方法。 • 并不需要太多的数学。
NMM的目标
NMM的目标是以统一的方式求解连续和非连续问题。物体 （求解对象）可以在布满整个空间的格子中飞行，可以发生 大变形甚至破裂
有限元覆盖
什么是数值流形元法
NMM 由三部分组成:
• 覆盖系统：数学覆盖和物理覆盖
• 单位分解 • NMM 空间
所决定的点集（属于RnRm）；其中, f : RnRm Rn 为向量值函数（秩n）
在这个局部区域有参数表示
非流形的例子
non-manifold
manifold
丘成桐、石根华的工作极其意义
• 丘成桐与70年代在流形上面引入了微分方 程 – 意义巨大！因为事件大都发生在流形 上。但是丘并没有给出如何求解流形上的 微分方程。
u = Nd Denote by {E} the collection of elements to be refined; by {dE} the collection of the finer elements, and by d1 the set of inner nodes of {dE}. We can enrich the displacement mode of the coarse element by
s
实现更简单，精度更高；还可推广至3D边界元法
裂纹扩展模拟中所遇到的一些问题的处理办法 —扭结型裂纹问题
+
kink
tip
– +
数值模拟研究现状及发展方向
具体就是关于陆相低渗透油藏和海相碳酸盐岩油藏，网格粗化、计算算法、拟合精度、水驱、三采、两相、三相等方面。
主要的研究机构、领军人物、具体研究或公关方向，使用软件的优缺点等等。
近年来，随着计算机、应用数学和油藏工程学科的不断发展，油藏数值模拟方法得到不断的改进和广泛应用。
通过数值模拟可以搞清油藏中流体的流动规律、驱油机理及剩余油的空间分布；研究合理的开发方案，选择最佳的开采参数，以最少的投资，最科学的开采方式而获得最高采收率及最大经济效益。
经过几十年的发展，该技术不断成熟和完善并呈现出一些新的特点。
1 油藏数值模拟发展历史油藏数值模拟从30年代开始，展开理论研究。
40年代主要以解析解为主，研究“液体驱替机理”、“理论物理学中的松弛方法”、“孔隙介质中均质液体流动”、“油层流动问题中拉普拉斯转换”等零维物质平衡法。
50年代期间开展数值模拟。
60年代致力于对气、水两相和三相黑油油藏问题的求解。
70年代发展了由模拟常规递减和保持压力以外的新方法。
到80年代，由于高速大容量电子计算机的问世，硬件系统突飞猛进发展，油藏模拟已发展为一门成熟的技术，油藏模拟进入商品阶段，用于衡量油田开发好坏、预测投资效应、提高采收率、对比开发方案，大到一个油公司，小到一个企业普遍使用。
在模型上，形成一系列可以处理各种各样复杂问题的模型，如常规油气田——黑油模型、天然裂缝模型，凝析气田——组分模型，稠油油藏——热采注蒸汽模型，还有各种三次采油用的化学驱模型、注C02模型等，在此阶段，突出的是注蒸汽和化学驱模型得到实际应用；组分模型得到广泛应用，并在方法上有重大改进。
模型朝着多功能，多用途，大型一体化方向发展。
数值模拟发展重要历史事件如下图所示：2 国内外数值模拟研究现状进入90年代以后，数值模拟技术有了较大发展。
由于计算机的计算速度突飞猛进地增长，使油藏数值模拟技术进行了一次根本性的改造。
主要表现在以下几个方面：2.1模型技术近年来,油藏模型得到不断发展和完善,提出了多孔介质中全隐式热采、多相流线、黑油与组分混合以及非达西渗流等模型，为稠油蒸汽驱精确模拟、同一油藏不同开采方式的模拟提供了技术支持,是对传统模型适应矿场应用方面的重大技术改进。
流形概念的起源与发展
流形概念的起源与发展
流形概念的起源可以追溯到十九世纪末，当时数学家们开始探索多维空间中的曲线和曲面，并且提出了流形概念。
此后，在二十世纪初，数学家们开始研究更复杂的流形，并且提出了一系列的定义和定理，如流形的定义、流形的奇异性和流形的几何性质等等。
二十世纪后期，随着计算机技术的发展，流形学习在计算机科学中得到了广泛的应用。
流形学习的目的是提取复杂数据集中的流形结构，并利用这些结构进行分类和聚类等机器学习任务。
随着深度学习的发展，流形学习变得更加重要，因为深度学习网络的结构本身也可以被视为一种流形。
此外，流形学习也可以用于生成新的数据，这在许多计算机视觉和自然语言处理任务中都很有用。
数值流形法在基于物理的计算机动画中的应用研究的开题报告
数值流形法在基于物理的计算机动画中的应用研究的开题报告一、研究背景和意义随着计算机技术的不断发展，计算机动画得到了广泛应用，并且在游戏、电影、教育等领域中有着广泛的应用。
对于基于物理的计算机动画，数值流形法的应用已成为重要研究方向。
数值流形法是一种以流形为中心的数值计算方法，它通过近似求解微分方程来提高计算效率。
在基于物理的计算机动画中，数值流形法可以用来模拟物理现象，如流体动力学、弹性形变、布料仿真、动力学等等。
数值流形法的应用可以提供更加准确和快速地模拟物理现象的手段，对于制作逼真的计算机动画有着重要的意义。
此外，数值流形法的研究也有助于发展数值计算方法，并为其他数学和工程领域的研究提供借鉴和参考，具有广泛的研究价值与推广价值。
二、研究目标和内容本文旨在深入理解数值流形法在基于物理的计算机动画中的应用，并在此基础上探究其相关问题。
具体的研究目标与内容如下：1、综述数值流形法在计算机动画中的应用；2、深入研究数值流形法在物理仿真中的原理、方法和技术；3、评估数值流形法在基于物理的计算机动画中的优势和不足；4、尝试解决数值流形法在实际应用中所遇到的问题，并提出改进和优化方案；5、通过实验与应用，验证所提出的方案在提升数值流形法在基于物理的计算机动画中的应用性能方面的有效性。
三、研究方法和思路本文将采用文献查阅、理论分析、实验仿真等多种研究方法，创新性地结合数值计算方法和计算机图形学领域知识，提出新型数值流形法的应用模型。
研究思路如下：1、进行数值流形法的原理解析、仿真算法的研究与分析；2、结合基于物理的计算机动画的实际应用场景，分析数值流形法现有算法在动画制作中存在的问题；3、提出改进数值流形法的方法和方案，并进行实验验证；4、对改进后的数值流形法模型进行对比分析，在性能、稳定性等方面进行综合评价。
四、研究预期结果本文预期可以深入了解数值流形法在基于物理的计算机动画中的应用，并提供改进数值流形法的方法和方案。
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NMM > PUM + XFEM + …
• NMM无网格依赖性，但是XFEM有；
• NMM能够以统一且更加优雅的方式来求解连续和非连续，小变形和大 位移，但是XFEM仅能适用于小变形裂纹扩展的模拟。
NMM的唯一问题是难以融合进现有的商用软件，因此有一 个开放度很高的公共平台，就显得非常重要。
裂纹扩展模拟中所遇到的一些问题的处理办法
A2 A1
K cc K ec
K ce c=通常自由度；e=增强自由度 K ee
Kcc 正比于 A ；Kce 和Kee 中的部分元素正比于 A1 ；另一部分正比于 A2。 A1 >> A2 导致单刚病态和网格依赖性
被裂纹所切割的单元
K1
NMM的单刚
= 大单元
K 2 = 小单元
p
连续到非连续、从小变形到大变形的统一求解。任 何时候都可以生成物理网格
什么是数值流形元法
有限元覆盖：数学网格和物理网格
原则上，可以采用任何方式来生成数学覆盖，但迄今为止，几乎所有的关 于NMM的研究和应用都是基于有限元网格来生成数学覆盖的。在布置数 学网格无需使其与区域相匹配。物理网格是数学网格与区域求交和得到的
kp ，可将解指定为多项式
Vkp V kp
而在奇异片上 kp，用能反映解的奇异特性的函数来构造近似解
m 1 2 uk P a ck cos / 2 ck sin / 2 m 1 2 v P b d cos / 2 d k k sin / 2 k
节点影响域
含多个自由面的无压渗流问题
节点
NMM在渗流力学中应用一个简单例子
分界线 节点太少引起差 值精度损失设置 失败
k=10
分界线 这个区域采用域内 和域外的节点进行 插值，保证了插值 精度，简化了程序 d
FS
10
k=1
节点
d
FS
2 2.5 2.5
w
(a) Node configuration in EFG
现有方法是通过变换，将扭 结后面的裂纹变换成与前沿 裂纹同在一条线上—没有必 要，而且实际上错了
扭结裂纹四个基函数的图像
r sin
2
r cos
2
3 r sin 2
3 r cos 2
NMM在模拟强奇异性问题时的网格无关性
NMM总是利用最高质量的网格来进行计算，但是裂纹扩展过 程中，裂纹相对于网格会出现各种非常奇异的情况。为了再 现这些奇异情况，我们令裂纹体不动，而仅对数学网格做刚 体旋转和平移
多裂纹扩展问题的模拟，三维破裂分析
什么是流形
流形（manifold）是Rn中的一个子集，是 R3中曲线和曲面在高维空间中的 推广。这个子集通常难以用单一参数方程组来表达，而必须借助于对子集 进行分段采用分段参数方程组来表示。
流形例子 t s
• 欧式空间或其子集（满足一定条件） • 地球 • 非线性方程组 f x; y 0 所决定的点集（属于RnRm）；其中, f : RnRm Rn 为向量值函数（秩n）
NMM的目标
NMM的目标是以统一的方式求解连续和非连续问题。物体 （求解对象）可以在布满整个空间的格子中飞行，可以发生 大变形甚至破裂
有限元覆盖
什么是数值流形元法
NMM 由三部分组成:
• • • 覆盖系统：数学覆盖和物理覆盖 单位分解 NMM 空间 数学片
1. 覆盖系统之数学覆盖
为了统一求解连续喝非连续问题，NMM引入了两套覆盖 ：数学覆盖和物理 覆盖。 数学覆盖由若干个简单形状的区域（片）组成的, im , i = 1, …, n m 。所有这些 片 im 合在一起覆盖整个区域 。数学覆盖定义了插值精度，在布置数学覆 盖时，无需关系区域 的具体细节。
什么是数值流形元法
1. 覆盖系统之物理覆盖
物理覆盖是由一系列物理片组成的，而物理片是通过将各数学片与区域的 组件进行求交运算后得到的。区域组件包括：边界、材料分界线、不连续面， 等等。 表示从数学片 p j i 生产的第 j个物理片。 im
奇异片
什么是数值流形元法
流形单元
几个物理片的公共部分被称为一个流 形单元，它是能量积分的基本单元
什么是数值流形元法
NMM 空间
一旦得到了各个物理片上解的表现形式，我们就利用权函数 将这些局部形式连接起来构成整个区域上的解的表现形式
n p p V wkVk v v vk wk , vk Vk k 1 正是由于数学网格和物理网格的分离，才实现了从
挠度对比
Zienkiewicz薄板单元—第一个板单元
NMM在渗流力学中应用
由MLS节点影响域所构成的数学覆盖
移动最小二乘法（MLS）是用来处理空间散乱数据点的一种插值技术，具有 再现基函数的良好特性，近年来被用于无网格伽辽金法（EFG）。在NMM中 采用MLS的节点影响域来构成数学覆盖，可以克服有限元覆盖所导致的线性 相关，且精度更高，更适用于求解自由边值问题。
0 -0.5
Deflection (0.001)
Hale Waihona Puke -1Analytical NMM (0.1) Shell63 (0.1) NMM (0.069) Shell63 (0.069)
-1.5
-2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
收敛
不收敛
椭圆形板
Horizontal ordinate
—线性相关问题 • 对于任何基于单位分解的数值方法，当采用高阶多项式作 为局部逼近时，所得到的总纲方程组是线性相关的—一个 “钉子”问题
Kd = p
• 通过压制与梯度有关的自由度，可以得到一个变分提法
1 1 1 1 T 2 2 v ε σd n ku vn dS t ku vt dS 2 2 Su 2 Su 2
Duffy Transformation
y v t
Iso-parametric Transformation
r x 雅克比带因子 r u s
实现更简单，精度更高；还可推广至3D边界元法
裂纹扩展模拟中所遇到的一些问题的处理办法 —扭结型裂纹问题
+
kink tip
(r, )
+ –
–
幅角取值约定 将整个片视为上下两岸，位于下 岸的点的幅角取负值(2, 0)位于 上岸的点的幅角取正值(0, 2) 经过上述处理，计算精度高多了
结构化网格的局部加密
高度奇异
多尺度裂纹
当同一物理片包含一个短 裂纹时无解析解可供利用， 需加密网格，使得任何一 个片都只包含裂纹的一部 分
Local incompatible mesh refinement with structurized meshes – basic idea
In a coarse element, the displacement vector u at any point of the element can be expressed as u = Nd Denote by {E} the collection of elements to be refined; by {dE} the collection of the finer elements, and by d1 the set of inner nodes of {dE}. We can enrich the displacement mode of the coarse element by u = Nd + N1d1 Then, N1d1 is a piecewise polynomial having homogeneous boundary condition, with no variational crime.
2
t S
2 k nt dS v T pdS S
基于上述变分提法的所导致的K的亏秩数将大幅降低，然后 基于秩-1修正算法，即可高效稳定求解线性相关方程组， 从而将“钉子”拔出了一半：迭代法求解器商有待开发。
裂纹扩展模拟中所遇到的一些问题的处理办法
—1/r奇异积分问题
在计算应力强度因子时，会遇到带有1/r的奇异性的 数值积分，需要通过适当的变换消除奇异性之后， 在应用Gauss积分
什么是数值流形元法
2. 单位分解
假定我们已有了物理覆盖 kp , 对于每个物理片都有一个权 函数 wk r ，它们满足
wk r 0 , if r
p k
w1 2
w11
0 wk r 1 , if r kp
w22
wk r 1 , if r
两个单元自由度不耦合无网格依赖性
NMM在结构力学中的应用
NMM空间的Hermit形式
在有限元发展史上，为了克服协调元精度低、收敛慢，曾有众多学者开展过 非协调元的研究。这些非协调元的共同特点是当采用规则网格时能通过分片 检验，具有良好的数值特性，但对于任意形状的网格则精度很差。为了通过 分片检验，曾采用过各种技术，较典型的有缩减积分等等。 NMM正是主张用规则格子进行分析，因此采用NMM时无需对非协调元的插 值方式做任何修改，即可获取很高的精度。
k 1
np
w21
wk r 被称为从属于 kp 的单位分解 。
微分几何中的单位分解定理，确保了wk r 的存在。
w13
w23
什么是数值流形元法
3. NMM 空间
与有限元相比，NMM更加关注解在片上的行为 在一个不含奇异性的普通片上