过抛物线的焦点的弦的一般性质

过抛物线的焦点的弦的一般性质

不妨设抛物线方程为)0(22>=p px y ，则焦点)0,2(p F ，准线l 的方程：2p x -=. 过焦点F 的直线交抛物线于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，又作AA 1⊥l , BB 1⊥l ，垂足分别为A 1、B 1.

基本概念:

1.若AB 垂直于抛物线的对称轴，则称线段AB 为抛物线的通径。|AB|= .

2.设P(x 0,y 0)是抛物线y 2=2px(p>0)上的一点，则P 到抛物线焦点F 的距离|PF|称为P 点

的焦半径。|PF|= ；直线AB 经过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点，且与抛物线相

交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)（AB 则为抛物线的焦点弦）.

结论1：4221p x x =⋅ (定值)，2

2212k p p k x x +=+. 结论2：221p y y -=⋅ (定值)，k p y y 221=

+.

结论3：(1)弦长p x x p x p x BB AA BF AF AB ++=+++=+=+=2121112

2||||||||||. (2) 若AB 所在的直线的倾斜角为α，则 α

2sin 2||p AB =.

结论4：若此焦点弦AB 被焦点F 分成n m ,两部分，则p n m 211=+．

结论5：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦中通径最小．

结论6：以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切．

结论7：以抛物线焦半径||AF 为直径的圆与y 轴相切．

结论8：F B F A 11⊥.

结论9：若M 为11B A 的中点，则AB MF ⊥.

结论10：在梯形AA 1B 1B 中，两对角线AB 1与BA 1相交于点抛物线顶点O .