过抛物线的焦点的弦的一般性质

抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用

抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用如下：
首先，抛物线焦弦的性质决定了抛物线的几何特性。

抛物线的焦弦公式是y=4ax，这个式子定义了抛物线的性质，一般在其中，a是抛物线的两个焦点之间的距离，因此可以用这个性质来确定抛物线的几何特性。

其次，抛物线焦弦的性质也可以应用于统计学中。

在统计学中，抛物线焦弦是一种线性回归的拟合方法。

它能推断出两个变量之间的相关性，从而用于市场营销、供应链管理以及其他方面的数据预测和分析研究。

最后，抛物线焦弦的性质也可以用于科学研究中。

以抛物线焦弦为模型，可以表达出粒子动力学中问题的数学解。

例如在分子动力学中，用抛物线焦弦可以解释温度和粒子冲突频率之间的关系，从而为科学研究提供新的指导思想。

抛物线焦弦的性质使抛物线变得更加精妙。

它对于几何的解决、统计的分析以及科学研究的指导都具有重要的意义，为我们探究物理现象提供了新的可能性。

过焦点的抛物线弦的结论

过焦点的抛物线弦的结论
过焦点的抛物线弦的结论是：对于任意一条过抛物线焦点的弦，其两个端点和焦点构成的三角形总是一个等腰三角形。

抛物线是一个特殊的曲线，其定义是到焦点和直线的距离相等的点的轨迹。

抛物线有一个重要的性质，即焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到抛物线的准线的垂直距离。

考虑一条过抛物线焦点的弦，设其两个端点分别为A和B，焦点为F。

我们需要证明三角形ABF是一个等腰三角形。

首先，我们可以利用抛物线的性质得到焦点到A点和B点的距离相等，即AF = BF。

这是因为F是焦点，所以FA和FB到准线的垂直距离相等，而根据三角形AFB，我们知道FA=FB。

其次，我们注意到焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到抛物线准线的垂直距离。

假设弦AB与焦点F的连线与抛物线的准线相交于点C，则可以得到FA = FC以及FB = FC。

综上所述，我们得出结论：对于任意一条过抛物线焦点的弦AB，其两个端点和焦点F构成的三角形ABF是一个等腰三角形。

抛物线的焦点弦性质

法二：由题知AB不与x轴平行 p 设AB方程为x my ，（m R） 2 y 2 2 px p 2 p y 2 p (my ) 2 x my 2 y
即：y 2 pmy p 0
2 2
A
y1 y2 p （定值）
2
O
F B
1 当AB x轴时，
O B
F
x
20 AB斜率存在时设为k，（k 0）
2
y p 2 py 2 消元得y 2 （ p ）即y p2 0 k 2 k 2 2 2 y1 y1 p 2 y1 y2 - p ；x1 x2 2 p 2 p 4
p 则直线AB方程为y=k（x- ）代入抛物线方程y2 2 px 2
1 同理， k
以代k得B(2pk2, -2pk) .
1 2 x p ( k ) 0 k2 y p( 1 k ) 0 k
1 1 2 k 2 (k ) 2 k k
2
x0 y0 2 ( ) 2 p p
即 y02 = px0-2p2，
2 px y1 2 px1 y1 y2 2 px 2 px1 y y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 2 px 4 p 2 y1 2 px1 , y1 y2 4 p2 y y1 y2 y1 y2
2 p | y1 y2 | 4 p2
当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB， (5)求O在AB上的射影M轨迹方程. y (5)法一：设M(x3, y3), 则 kOM 3 x3 x

抛物线的焦点弦-经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3：过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1，过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9：（1）、A O 、B 1 三点共线（2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。

抛物线“焦点弦的性质”及解题策略

注意抛物线开口方向的影响，正确处理各种情况下的计算过程。
03
解题策略
利用焦点弦性质解题
焦点弦性质
对于抛物线上的任意一点P，其到焦点F的距离等于到准线的距离。利用这一性质，可以快速找到与焦点弦相关的点P的坐标。
解题方法
利用焦点弦性质，可以求出点P的坐标，进而求出与焦点弦相关的其他量，如弦长、面积等。
在抛物线中，焦点弦的倾斜角可以通过轴线的倾斜角和该弦与轴线的夹角的补角之和（或差）来计算。这个补角等于该弦与轴线的夹角的两倍。当焦点弦与轴线垂直时，其倾斜角等于轴线的倾斜角。
焦点弦的倾斜角
解题策略
根据题目给出的条件，选择适当的方法计算焦点弦的长度、中点坐标或倾斜角。
熟悉抛物线的定义和性质，理解焦点弦的意义和特点。
02
焦点弦的性质
焦点弦的长度
总结词
焦点弦的长度等于通径的长度，等于焦准距的平方根。
详细描述
在抛物线中，焦点弦是指通过焦点的弦，其长度可以通过通径的长度来计算。通径是过焦点的最短的弦，其长度等于焦准距的平方根。当焦点弦与抛物线的轴线不垂直时，其长度还会受到其他因素的影响。
焦点弦的中点坐标
总结词
焦点弦的中点坐标等于焦点坐标加上弦中点与轴线的垂直距离。
详细描述
在抛物线中，焦点弦的中点坐标可以通过焦点坐标和弦中点与轴线的垂直距离之和来计算。这个垂直距离等于弦的长度的一半乘以该弦与轴线的夹角的正切值。
焦点弦的倾斜角
总结词
焦点弦的倾斜角等于轴线的倾斜角加上或减去该弦与轴线的夹角的补角。
详细描述
解题方法
利用代数方法，可以建立方程组、不等式组等，进而求解与抛物线相关的问题。在解题过程中，需要注意方程组的解法、不等式的性质等。

过抛物线的焦点的弦的一般性质

《国际财务管理》章后练习题及答案第一章【题1—1】某跨国公司A，2006年11月兼并某亏损国有企业B。

B企业兼并时账面净资产为500万元，2005年亏损100万元（以前年度无亏损），评估确认的价值为550万元。

经双方协商，A跨国公司可以用以下两种方式兼并B企业。

甲方式：A公司以180万股和10万元人民币购买B企业（A公司股票市价为3元/股）；乙方式：A公司以150万股和100万元人民币购买B企业。

兼并后A公司股票市价3.1元/股。

A公司共有已发行的股票2000万股（面值为1元/股）。

假设兼并后B企业的股东在A公司中所占的股份以后年度不发生变化，兼并后A公司企业每年未弥补亏损前应纳税所得额为900万元，增值后的资产的平均折旧年限为5年，行业平均利润率为10%。

所得税税率为33%。

请计算方式两种发方式的差异。

【题1—1】答案（1）甲方式：B企业不需将转让所得缴纳所得税；B 企业2005年的亏损可以由A公司弥补。

A公司当年应缴所得税=（900-100）×33%=264万元，与合并前相比少缴33万元所得税，但每年必须为增加的股权支付股利。

（2）乙方式：由于支付的非股权额（100万元）大于股权面值的20%（30万元）。

所以，被兼并企业B 应就转让所得缴纳所得税。

B企业应缴纳的所得税=（150 ×3 + 100- 500）×33% = 16.5（万元）B企业去年的亏损不能由A公司再弥补。

（3）A公司可按评估后的资产价值入帐,计提折旧,每年可减少所得税(550-500)/5×33%=3.3万元。

【题1—2】东方跨国公司有A、B、C、D四个下属公司，2006年四个公司计税所得额和所在国的所得税税率为：A公司：500万美元 33%B公司：400万美元 33%C公司：300万美元 24%D公司：-300万美元 15%东方公司的计税所得额为-100万美元，其所在地区的所得税税率为15%。

过抛物线焦点弦的性质及其应用

过抛物线焦点弦的性质及其应用过抛物线焦点的弦是每年高考的热点内容，能够迅速准确的将其解出，是同学们的共同愿望，本文从课本出发，引入两个重要公式，希望对大家有所帮助。

公式一、设AB 是过抛物线y 2=2px 的焦点的弦，若A （x A ,y A ）,B(x B ,y则｜AB ｜＝x A +x B +p|AF |= x A +2p|BF|= x B +2p 所以｜AB ｜＝｜AF|＋|BF|＝x A +x B +p例1、过抛物线y 2=4x 的焦点F 做直线l 与抛物线交于P （x 1,y 1），Q(x 2，y 2)两点，x 1+x 2=6,则｜PQ ｜＝＿＿＿＿＿（2007年广东高考模拟）解：由题可得p=2 ,代入公式一得｜PQ|=x 1+x 2+p=6+2=8公式二、设AB 是过抛物线y 2=2px 的焦点F 的弦，弦AB的倾斜角为θ，则（i ）θcos 1p |FA |-=θc o s 1p |FB |+=(ii)|证明：在Rt △AFD ∵||||cos AF FD ==θ∴θθcos 2cos 2pp x x A A +=- 即 θθcos 1)cos 1(2-+=px A∴ϑϑθθcos 1cos 1)cos 1(2}cos 1(22||-=--++=+=p pp p AF x A 同理可得 θcos 1||+=pFBϑϑϑϑϑϑϑϑsin cos 22212)cos 1)(cos 1()cos 1()cos 1(cos 1cos 1||||||p p p p pp FB FA AB =-=-+++-=-++=+=例2、抛物线y 2=4x 焦点弦被焦点分成长是m 和n 两部分，则m 和n 的关系是（）A 、m+n=mnB 、m+n=4C 、mn=4D 、无法确定解：由已知得p=2，代入公式二可得 ϑcos 12-=m ϑcos 12+=n则m+n=ϑsin24mn=ϑϑϑsin 24)cos 1)(cos 1(4=-+ 所以m+n=mn 故选A例3、如图所示，设O 为抛物线的顶点，F 为焦点且PQ 为过点F 的弦，已知｜OF ｜＝a ,|PQ|=b ，求△OPQ 的面积。

抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程

AB1 2 12 3有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线 y 2= 2 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x , y ) 、B (x , y ) 两点1122结论 1： AB = x 1 + x 2 + pAB =AF + BF = (x + p ) + (x + p) = x + x + p1 2 2 21 22 p结论 2：若直线 L 的倾斜角为θ，则弦长 AB π=sin 2 θ证: (1)若θ= 时,直线 L 的斜率不存在，此时 AB 为抛物线的通径,∴ AB 2= 2 p ∴结论得证π(2)若θ≠时,设直线 L 的方程为： y = (x -2p ) tan θ即 x = y ⋅ cot θ+ p2 2代入抛物线方程得y 2 - 2 py ⋅ cot θ- p 2 = 0 由韦达定理 y y = - p 2 , y + y = 2 p cot θ 由弦长公式得 AB =y 1 - y 2 = 2 p (1 + cot 2θ) =2 p sin 2 θ结论 3：过焦点的弦中通径长最小sin 2 θ≤ 1∴2 psin 2 θ≥ 2 p ∴ AB 的最小值为 2 p ,即过焦点的弦长中通径长最短.结论 4：S 2 ∆oAB = p (为定值) 8 1 + cot 2 θAF + BF 222 212 2 1 S= S+ S= 1OF ⋅ BF ⋅ sin θ+ 1OF ⋅ AF ⋅ sin ϑ ∆OAB∆OBF=1⋅ (+∆ 0 AF) 2 2 θ= 1 ⋅ ⋅ θ= 1 ⋅ ⋅ 2 p ⋅θ=p 2OF2 S 2AF= P 3 8 BFsin OF AB 2sin2 2 sin 2 θsin2 sin θ结论 5： (1) y 1 y 2 = - p p2 (2) x 1x 2=4y 2 y 2 ( y y )2 P 2证 x = 1 , x = 2 ,∴ x x =1 2 = 1 2 p 22 p1 2 4P 2 4结论 6：以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设 M 为 AB 的中点，过 A 点作准线的垂线 AA 1，过 B 点作准线的垂线 BB 1，过 M 点作准线的垂线 MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知MM 1 == = 2 2 2故结论得证结论 7：连接 A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥ B 1FAA 1 = AF ,∴∠AA 1 F = ∠AFA 1 AA 1 // OF ∴∠AA 1 F = ∠A 1 FO ∴∠A 1 FO = ∠A 1 FA同理∠B 1 FO = ∠B 1 FB ∴∠A 1 FB 1 = 90︒∴A 1F ⊥ B 1 F结论 8：（1）AM 1 ⊥ BM 1（2）M 1F ⊥ AB（3） M 1 F = （4）设 AM 1 与 A 1F 相交于 H ，M 1B 与 FB 1 相交于 Q （5） AM 1+ M 1 B = 4 M 1 MAF ⋅ BF则 M 1，Q ，F ，H 四点共圆证：由结论（6）知 M 1 在以 AB 为直径的圆上∴ AM 1 ⊥ BM 1∆A 1 FB 1 为直角三角形， M 1 是斜边 A 1 B 1 的中点∴ A 1 M 1 = M 1 F ∴∠M 1 FA 1 = ∠M 1 A 1 F ∠AA 1 F = ∠AFA 1∠AA 1 F + ∠FA 1 M 1 = ∠AA 1 M 1 = 90︒∴M 1F ⊥ AB∴∠AFA 1 + ∠A 1 FM 1 = 90︒∴ M F 2= AF ⋅ BF AM 1 ⊥ BM 1 ∴∠AM 1 B = 90︒又 A 1F ⊥ B 1F∴∠A 1FB 1 = 90︒所以 M 1，Q ，F,H 四点共圆， AM 1 + M 1 B = AB2= ( A F + BF )2= ( AA+ BB 1 )2= (2 MM )2= 4 MM 2结论 9：（1） A 、O 、B 1 三点共线（2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线 AO 与抛物线的准线的交点为 B 1，则 BB 1 平行于 X 轴（4）设直线 BO 与抛物线的准线的交点为 A 1，则 AA 1 平行于 X 轴AA 1 + BB 1 AB1 21FA FB AF FA FB BF FA B 1 E EA 1 AF BFAE BEAF BF 时⎪ y 1 y 1 1证：因为 k oA = x = y 2 = 2 p , k yoB 1 = y 2 - p = - 2 y 2 p ，而 y 1 y 2 = - p 21 1 12 p2 所以 k oA 结论 10：+=2 p- p 2y 2 1 = = - 2 y 2 p2 p= k oB 1所以三点共线。

抛物线焦点弦性质

抛物线焦点弦的性质及应用
设抛物线的方程为y 2=2px(P ＞0),过焦点F(p 2
,0)作倾斜角为θ的直线，交抛物线于P 、Q 两点，则线段PQ 称抛物线的焦点弦，(如图1).
抛物线的焦点弦具有以下性质:
性质1：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则y 1y 2=-p 2
. 42
21p x x = 例1 设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则 OA ∙OB ＝ .
A 、43
B 、-43
C 、3
D 、-3
性质2：抛物线焦点弦的长度： )(21x x p AB ++==
2p sin 2θ. 性质3：三角形OAB 的面积公式：θ
sin 22p S OAB =∆ 性质4：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
性质5：以抛物线y 2=2px(p ＞0),焦点弦PQ 端点向准线作垂线，垂足分别为M 、N ，则FM ⊥FN.
性质6：设抛物线y 2=2px(p ＞0),焦点为F ，焦点弦PQ ，则1|FP|+1|FQ|=2p
(定值). 例2.过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别是 p,q ，则q
p 11+等于（）（A ）2a （B ）a 21 （C ）4a （D ）a
4 例5：设P 是曲线)1(42-=x y 上的一个动点，则点P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .
性质7：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。

性质8：如图，A 、O 、B
和B 、O 、A 三点分别共线。

抛物线过焦点弦的两个性质

，对于
２性质应用例１（０９福建卷理）２０过抛物线ｙ＝ｐ（Ｏ的２２ｘｐ＞）
ａ采用设而不求的方法，即可解得弦长Ｉ１Ａ．Ｂ
例４（图８设０为抛如）
物线的顶点，Ｆ为抛物线的焦点
＼７ｆ
＞．旦
Ｄ、
：
．
性质２（图４已知如）ＡＢ是过抛物线ｙ＝２ｘｐ＞０２ｐ（）的焦点的弦，Ａ且Ｂ与轴的夹角为，０为坐标原点， △ＯＢ则Ａ
．
图３
ＩＩ＋ＦＸ号＋号＝ＩＩａ）（）＝＋Ｂ
综Ａ等上ＩＩＢ＝
注（如图２若Ａ）Ｂ是过抛物线＝２ｙｐ＞）ｐ（０的
为＝号，一譬０点Ａ离：（）ｙ＝原到Ｂｙ一即一，距
Ｉ｜｝一生巳
ｄ＝
＝ｈｃ号ａｏｎｓ
删ｌ
．
复习参考．
＝
十‘ ７（０年１高版７擞・２９第００期・中）
，
例３（图７若０为坐如）标原点，物线Ｙ＝ｘ与过其抛４焦点Ｆ的直线交于ＡＢ两点，，
３３
Ｐ
。
ＩｎＩ＝ｓｉ
在已知直线上，从而可直接利用性质１性质２去解题．、
’、
ｌ
—
；
ｆ＿ｎ÷ 【ｓ伽４，，：
Ｐ＝２
・・ຫໍສະໝຸດ ・一Ｄ
２
Ｉ＿雷ｃ

抛物线焦点弦经典性质

抛物线10条
焦点弦
通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。
y
A (x1, y1)
F
O
x
B (x2, y2)
过抛物线 y2 2 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x1, y1) 、B (x2 , y2 ) 两点
性质3：过焦点的弦中通径长最小
y
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
C
B
＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜
H
E
OF
x
D
A
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且
EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
2
2
2 2 sin 2
2 s in
S2 OAB
P3
AB 8
性质6：以焦点弦AB为直径的圆和抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识
y
C
B
来证比较简捷．
H
E
OF
x
D
A
证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准
线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
证明：sin 2 1 2 p 2 p sin 2
AB 的最小值为 2 p ,即过焦点的弦长中通径长最短.
性质 4：
S2 OAB
p3 (定值)
AB 8
S OAB
S OBF
S0AF
1 2
OFBFsin源自1 2OFAF
sin
1 OF AF BF sin 1 OF AB sin 1 p 2 p sin p 2

抛物线焦点弦的性质及其应用

抛物线焦点弦的性质及其应用2000.1～2口知识应用抛物线焦点弦的性质及其应闻广东省湛江一中(524038)王增生抛物线焦点弦具有不少性质,均散见在各类书刊上.本文将系统地归纳集中,以期对焦点弦的几条最主要的性质有一个更全面的,更深刻的了解.从而进一步提高运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力.1.焦点弦(通径)的定义通过抛物线焦点的直线(不与抛物线对称轴平行)被抛物线截得的线段,叫做抛物线的焦点弦,如图(1).线段…D图B叫做抛物线Y=2px(户>O)的焦点弦?当AB垂直于抛物线的对称轴时.AB叫做抛物线的通径.2.焦点弦的性质定理l抛物线焦点弦长等于2户(1+古)或.并且以通径长为最小,最小值为2户.(其中,S1n.口或口为焦点弦的斜率或倾斜角O.<a<180.)证:AB所在直线为y=k(x一号)代人y2—2px,整理得:屉2X2--(屉:+2)户+:o.这里.+:=(1+吾)户.据图(1)和抛物线的定义知,IABI---- IAFI+II=laAI+IBBI=十号)+(z十号)=2户(1+吉)或令^=tg口,则IABI=2户(1+ 去)=i2_nL:.显然当屉+..或a专时,焦点弦AB即为通径,其长度为最小值2户.定理2抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数譬和一户.证:由图(1),不妨设A(1,y.),B(.2,Y2),据定理1证明过程知??.=等,将y=k(x一号)(≠o)改写成=T1(+譬)代人2=2px,整理得亭大界(一由It)一2py--/,k=O,.Y1Y2=一声.定理3抛物线焦点弦的两个蛸点在准线上的射影和焦点的莲线互相垂直.证明:如图(2)记A,B分别是焦点弦A(,y1),B(:,Y:)在准线上的射影,则,(一,y1),B(一粤,y2).因为kA'F=二,Kt,=?警JI.,_一A/….一竣.2)及定理2知?弛=--.I'可得屉,,'kB'F~--1,...AF上BF.定理4抛物线焦点弦为直径的圆必切此抛物线的准线.证:如图(3),M为弦AB的中点,A,M:B在准线=一号上的投影分别是A,M,B,据抛物线的定义,得IBFI=IBBl,J;_一lAFI=lAA,I,IABl=f从I+fBB1.村为梯形ABBA的中位线,...IMMI=÷(IAAI+I●1船1)=÷IA引,焦点弦为直径的圆必与准线相6 切..定理5抛物线焦点弦的两个端点的切线互相垂直.并且交点必在准线上.让:郊幽【4),凼切点锾AB过焦点F(詈,0),以由定理2知1.y2一户?又屉柚,屉=蚩?..屉柚'鼬==兰一1,...AQ~BQ,故有切线百相垂富.I/.5l数掌大世界(一巾版)设两切线的交点为Q(x.,Y.).易知切点弦方程为=户(+Xo).将(告,O)t~A,得户(Xo+告)=0.-..0=一告,即Q(.,.)在准线一一告上.特别地,当焦点弦为抛物线的通径时,其切线的交点即为对称轴与准线的交点.定理6如果抛物线两条切线的交点在准线上.则切点弦必为焦点弦.证;由定理5证明过程知,切点弦的方程为Y oY=P(+0).令=0,则=一.因为点Q(0,)在准线上,..一一告.一告,即切点弦必过焦点.3.应用举例例1设.为抛物线的顶点,F为焦点,且PQ为过F的弦.已知lOFl—a,lPQl一6.求/xOPQ的j,r.图(5)面积.(91年全国高中联赛试题)解:由题意知P一2a,所以抛物线可设为Y=4n(n>0)据定理1,lQ『=.sinn一旦鱼,记Y,Yz分别为P,Q两点的纵坐标,则S△P0.=÷l OFl(1Ytl+lY21)一÷lOFllPQl?sina=÷absinO一.~/,.?例2抛物线Y=4p(+户)(户>0)中有两条过原点且互相垂直的直线分别交抛物线于A,B,C, D,试求IABl+lCDl的最小值.解:设AB与抛物线的对称轴OX的倾斜角为n (0,<180.),由坐标平移性质知,原点.恰为抛物线的焦点F?因此由定理1知lABl=,ICDI=4p(0.<口-(180.)...IABI+ICDI一4户(sin+COS'口'口)=≥16户.这里当且仅当n一7r一_~347r时取等号,.'.1ABl+lCDl的最小值是16p.例3过抛物线焦点F的直线交抛物线于P,Q两点,PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R.求证:lFRl=÷lPQl(97广东赛题)证:为不失一般性,设抛物线方程为Y=2px(户>0)如图(6),由定理1知,lPQl一乞.直线PQ的S2?2000.1～2-q参数方程为{专+0s(f为参数).代入22(y=tsina2px整理得t2sin口一2ptcosa--p=0.依题意,lFl=1l:1一....IFRI一:一1lPQ1.例4如图(7),A,B为抛物线Y一2px焦点弦AB在准线上的射影,Q是焦点弦端点的两条切线的交点.求证,Q,K,F,S四点共圆.证:由定理3知AF上BF,由定理5,AQJ-BQ,所以Q,K,F,S四点共圆.例5过抛物线Y一4x的焦点F弦AB的中点的纵坐标为4,求AOB的大小.(o为坐标原点)L'..《JF..<马图(7)证:由定理5易知AOB必为钝角,lOAf=} +},lOBl一l+Yl,lABl:(l—2)+(—Y2),一兰兰±!而~/(l2)+(lY2)+(lY2)+(2Y1)由定理2知12—1,YlY2=一4且一lY2,Yl2,一0.'.COSAOB一——=====兰l-=~/17-t-y~-t-y;.:一一3~/17+(l+她)一2ylY2因为Yl+Y2=8,-..COSAOB=一—,即,.~/890.fAOB一一arccos—兰=.~/89例6从抛物线=2px的准线上任取一点P,作抛物线的两条切线PA,PB,A召为切点.求/xPAB外接圆面积的最小值.解:由定理6知,切点弦即为焦点弦AB.由定理5知,焦点弦AB为直径的圆必与准线相切...-点P 即为直线=一要和以A8为直径的圆相切时的切●l点,再由定理1知,当焦点弦为通径时,△APB的外接圆面积将最小.此时R—P,因此面积最小值为玎户.例7如图(8),从抛物线Y一2px(户>O)的准线上一点Q引两条切线QA,QB,A,B为切点.且A,B在准线上的射影为D,D,连结QF.求证:(1)DQA:AQF,FJ:D——…//Q\——图(8)一BQD,(2)线段IAFI,IQFJ,IBFI成等比数列.证:(1)记点Q(一鲁,Y o).由定理6知,切点弦AB必过焦点F,.AB方程可写为一(一等),一一,又.,一Y o,五.五.,一一1,?QF上AB.由抛物线定义知IAFI=IADI,IBFI=IBDI,.'.AQ,BQ分别平分FQD,FQD,...ADQ:AQF,BQF=BQD.(2)由定理5知AQ上BQ,.在Rf/xAQB中有fOFI=IAF}.IBFI,故lAFI,IOFI,lBFI成等比数列.例8定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动,记线段AB的中点为M.求点M到Y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.解:这是87年高考理科的一道压轴题,解法甚多,如果用上述定理解可以说比任何一种方法都简捷明快得多.事实上,点M到Y轴的距离最短,等价于以AB为直径的圆的圆心到准线一一÷的距离最短,由定理4知当线段AB经过焦点(÷,o)且以AB为直径的圆恰好与准线相切,此时易知圆的半径为R—llABl=32....点M到轴最短距离为3一1一C.÷.由定理5知,焦点弦端点的切线交点必在准线上....其中必有FMY.,注意到切点弦的斜率五=A._一2z一,又五=五一=一一一,即一....一士.因此所求点M的坐标为(辜,士).口学生习作数学大世界(■{ll版)甥发觉陶锚解江西莲花中学高三)(337100)周雁一,理解性错解例1设,(,z)一1+2+3+…+,z,求lira器的值错解:..'f(n)=1+22"+…+,z一÷(+1)(2n+1),(,z)]一(1+2+…+,z);÷,z(,z+1).而f(nz)==2(1+)(2+)——_一03n(1+)析':这是由于对f(n)的理解而导致的错解.其实,f(n)表示前,z个自然数的和,即f(n.)一1+2 +…+(,z2—1)+,z2一÷,z(,z+1),故告=2.,例21+2i是方程+tx+8=0的一个根,求t的值.错解:...1+2是方程的一个根,所以1—2i也是方程的一个根,故t一一((1+2)+(1—2)]=一2.析:这是由于把t错认为是实数,而本题并没有说明t是实数,其实,(1+2)+t(1+2i)+8—0,.t 1—4+4+85+4i6i一13一—主一一丁二,忽视定义域而导致的镶解例3函数,()的定义域关于原点对称,且对于定义域中任意两个不同的值.,,都有f(x一)=今毒,求,)是何种函数?错解:设是定义域中的一个值,令=0,一得f(--x)=再令Xl—,=0得,,)一今:一一一,c—...厂)是奇函数.析:显见,函数,(奎)的定义域不一定包含零. 正解:由已知式fCT--X一今毒,说明-与z的差.--X一在定义域内,因其它义域是关于原点对称的,所以一=z—也在定义域内,则有f(一.)f7(x2)f=(x7z)+1一一f(x1),(2)+1一f(x2)一f(x1)于是f(xl--X2)+f(x2一1)一0即f()+f(--)=0.因此,,()是奇函数.53。

抛物线焦点弦性质及推导过程

抛物线焦点弦性质及推导过程
抛物线的焦点与弦性质让抛物线在自然界中有着广泛的应用，它与椭
圆都属于椭圆类曲线。

抛物线的焦点弦性质是指它的定点在两个曲线的焦点之间具有对称性。

它的几何表现可以表示为：当抛物线的一个焦点相对两个直线的另一个焦
点的线段落在该抛物线上，则此抛物线为一条弦曲线。

抛物线的焦点弦性性可以推导出：设抛物线的方程为：y=ax^2+bx+c，则抛物线的焦点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，将上述抛物线焦点坐标代
入方程，可以得到结论：
ac-b^2/4a等于0，即c=b^2/4a，那么上述方程就可以简写为
y=ax^2+bx+b^2/4a，其中，a、b可以任意取值，只要满足第二步中得到
的结论即可。

抛物线的焦点弦性质可以为在自然界中广泛应用提供有力帮助，在许
多现实应用中都具有重要意义。

抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+=结论3：过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ 结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1，过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9：（1）、A O 、B 1 三点共线（2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。

抛物线焦点弦的一组性质在高考中的应用

抛物线焦点弦的一组性质在高考中的应用作者：杨仑元来源：《课程教育研究·学法教法研究》2017年第14期过抛物线焦点的直线被抛物线所截的线段叫抛物线的焦点弦.与此相关的问题在教科书人教A版选修2-1中较多，高考中也经常考查，经归纳总结得：性质过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，O为坐标原点，过点A作直线垂直于准线L于点A1，过点B作直线垂直于准线L于点B1，易证得如下结论：（一）四个定值1.x1·x2=；2.y1·y2=-p2；3.kOA·kOB=-4；4.；（二）两个公式（弦长、面积公式）5.焦点弦公式：|AB|=x1+x2+p；（教科书人教A版选修2-1P69例4）设直线AB的倾斜角为α，则通径：当AB垂直于x轴时，|AB|=2p；6.焦点三角形面积公式：设直线AB的倾斜角为α，则（三）三个圆7.以焦点弦AB为直径的圆与准线L相切于线段A1B1的中点M；（如图1）8.以线段A1B1为直径的圆与直线AB相切于焦点F；（如图2）9.以焦半径FA为直径的圆与Y轴相切于线段OC的中点D；（如图3）（四）其它性质10.设直线OA交准线L于点H，则BH∥x轴；（教科书人教版选修2-1P70例5）。

高考中的应用举例：1.（2014年高考全国卷Ⅱ，⑩）设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A. B. C. D.略解：由性质6易得，选D。

2.（2013年高考全国卷Ⅱ，⑾）设抛物线的焦点为，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）（A）或（B）或（C）或（D）或解法1 由题意可知，，设圆心为，则，所以圆的方程为因为圆过点（0，2），代入圆方程解得，又因为点M在抛物线上，所以，解得p=2或p=8，选C.解法2 由题意可知，，设圆心为，则，因为圆过点（0，2），所以圆心到其距离与到点相等，解得，又因为点M在抛物线上，所以，解得p=2或p=8。

抛物线过焦点弦的两个性质

线段 AB的长为 8，则 P=— — ．
解。．’过抛物线，=2膨( p>o) 的焦点的弦长l ABI
=8， AB的倾斜角为45。，AB与茗轴的夹角 a也为450，由
№ | ．苁得 8 2j 暑却22·
点评本题也可以设出直线AB的点斜式方程，再联立y2=2芦( p>o) ，利用弦长公式I A曰I =I 茗I 一屯I ． ~／l +J}2 求得P值，这比较麻烦．本题的解法充分体现了利用性质1解题的优越性!
d：崩灿心峥㈣l
·复习参考·
中。7擞·7( 2009年第l o期·高中版)
33
=譬l si n al =譬竽，
又l AB I =—等，
IA I s△伽=虿1 曰 d=÷ 二 si nL： a 巴字 =乏岳
当AB．I ．x轴时，即a=詈，1 orl =孚，I肚I =2p，
． s △ 叫 =虿 1 2p’ 号 =拿，满足 5△ 伽 =≤ ‰
例3( 如图7) 若0为坐
标原点，抛物线，=4x与过其焦点，的直线交于A，启两点，
覆
AOAB的面积为4，则弦AB的长为．
A．4 B．8 C．1 6 D．1 8
解设直线AB与石轴的夹
火 0 j
图7
角为a，依题意
卜 2忐． 4' 粕 a：号，
L
P=2
… =盏 2酉 4- 16 …
n2
的面积 s △ 埘。 2丢麓
证明。．‘y2=2p x( p>O) 的
焦点F( 等，o) ，设船所在直线
图3
．覆
火 D j
图4
的倾斜角为口( 口≠手)，斜率詹=t an p，则直线AB的方程

抛物线焦点弦的常见性质

抛物线焦点弦的常见性质
代学奎
【期刊名称】《河北理科教学研究》
【年(卷),期】2008(000)004
【摘要】过抛物线y2=2px（P〉0）的焦点，作一直线交抛物线于点P，Q，称
线段PQ为抛物线的焦点弦，线段PF和QF分别为过点P，Q的焦半径，又过P，Q作准线l的垂线，垂足为A1，A2，又交y轴于点C，D，准线l与x轴交于点E，如图1．本文总结了抛物线焦点弦的常见性质如下.
【总页数】2页(P7-8)
【作者】代学奎
【作者单位】河北省乐亭县第二中学,063600
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.利用直角梯形性质解抛物线焦点弦性质的有关问题 [J], 岳荫巍;
2.抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用 [J], 韩义成
3.由两道例题引出抛物线焦点弦的一系列相关性质 [J], 任红玉;程国忠
4.抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用 [J], 韩义成
5.抛物线的一个焦点弦性质证明、推广及在高考中的应用 [J], 王新宏
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抛物线焦点弦性质总结

抛物线焦点弦性质总结基本性质已知抛物线22y px =的图像如图所示，则有以下基本结论：1、以AB 为直径的圆与准线L 相切；2、2124p x x ⋅=且212y y p ⋅=-；3、90AC B '∠=︒，90A FB ''∠=︒；4、123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=；5、112AF BF P +=；6A 、O 、B '三点共线，B 、O 、A '三点共线；7、22sin AOB p S α=△，322AOB S p AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△(定值)； 8、1cos p AF α=-，1cos p BF α=+； 9、BC '垂直平分B F '，AC '垂直平分A F '， C F AB '⊥；10、2AB p ≥；11、11()22CC AB AA BB '''==+； 12、3AB p k y =，22tan 2y p x α=-； 13、24A B AF BF ''=⋅，12C F A B '''=. 14、切线方程：()x x m y y +=00性质深究一、焦点弦与切线结论1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上．特别地，当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭．结论2、切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3、弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．结论4、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．特别地，过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5、过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6、PA ⊥PB ．结论7、PF ⊥AB ．结论8、M 平分PQ ．结论9、PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论102PF =结论11、PAB S ∆2min p =二、非焦点弦与切线当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12、①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13、PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14、PFB PFA ∠=∠结论15、点M 平分PQ结论162=。

抛物线焦点弦性质及推导过程

抛物线焦点弦性质及推导过程抛物线是一个非常常见的二次曲线，其方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a不等于0。

抛物线的焦点是一个特殊的点，它在抛物线的对称轴上，距离抛物线顶点的距离与到抛物线焦点的距离相等。

在本文中，我们将研究抛物线焦点的弦性质及其推导过程。

首先，我们来定义抛物线的焦点和顶点，并给出抛物线方程的标准形式。

我们可以通过完成平方的方式将一般形式的抛物线方程转化为标准形式的方程。

标准形式的抛物线方程为：y=a(x-h)^2+k其中(h,k)是抛物线的顶点，a决定了抛物线的开口方向和形状。

焦点的坐标为：F(h,k+p)其中p是焦距，p=1/(4a)。

现在，我们来研究抛物线焦点的弦性质。

假设抛物线上有两个不同的点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，我们要证明直线PQ的中垂线经过焦点F。

首先，我们计算点P和点Q到焦点F的距离。

根据平面几何的距离公式，点P和点Q到焦点F的距离分别为：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)根据抛物线的定义，点P和点Q到抛物线的顶点的距离应该相等。

所以我们有：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)=√((x1-h)^2+(y1-k-p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)=√((x2-h)^2+(y2-k-p)^2)将这两个等式相减，我们得到：(d1)^2-(d2)^2=[(x1-h)^2+(y1-k+p)^2]-[(x2-h)^2+(y2-k-p)^2]=(x1-h)^2+(y1-k+p)^2-(x2-h)^2-(y2-k-p)^2=(x1^2-2x1h+h^2)+(y1^2-2y1k+2y1p+p^2)-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+h^2+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-x2^2+2x2h+y2^2-2y2k-2y2p+p^2 =x1^2-2x1h+x2^2-2x2h+y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p=(x1^2+x2^2-2x1h-2x2h)+(y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p)=x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2+2(y1p-y2p)=(x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2)+2(y1p-y2p)我们知道，抛物线都满足方程y=a(x-h)^2+k。