第二节：条件概率与条件期望
随机变量的条件分布与条件期望
随机变量的条件分布与条件期望随机变量是概率论中十分重要的概念之一，它描述了在概率模型中可能出现的各种结果。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
在概率论中，我们经常关注的是随机变量的分布以及其与其他变量之间的关系。
本文将重点讨论条件分布与条件期望。
一、条件分布条件分布是指在给定某些条件下，随机变量满足的分布。
对于离散型随机变量，条件分布的计算可以通过条件概率来进行。
假设X和Y是两个离散型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的取值为y的概率。
可以表示为P(Y=y|X=x)。
这个概率可以通过联合概率分布和边缘概率分布来计算。
具体计算方法为：P(Y=y|X=x) = P(X=x,Y=y) / P(X=x)对于连续型随机变量，条件分布的计算可以通过条件密度函数来进行。
假设X和Y是两个连续型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的取值在a到b之间的概率。
可以表示为P(a <= Y <= b | X = x)。
这个概率可以通过联合概率密度函数和边缘概率密度函数来计算。
具体计算方法为：P(a <= Y <= b | X = x) = ∫[a, b] f(x, y) dy / f_X(x)二、条件期望条件期望是指在给定某些条件下，随机变量的期望值。
对于离散型随机变量，条件期望的计算可以通过条件概率和随机变量的取值来进行。
假设X和Y是两个离散型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的期望值E(Y|X=x)。
可以表示为：E(Y|X=x) = Σy y * P(Y=y|X=x)其中Σ为求和符号，y为随机变量Y的取值。
对于连续型随机变量，条件期望的计算可以通过条件密度函数和随机变量的取值来进行。
假设X和Y是两个连续型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的期望值E(Y|X=x)。
可以表示为：E(Y|X=x) = ∫y y * f(y|x) dy其中∫为积分符号，f(y|x)为在给定X=x的条件下，Y的概率密度函数。
§3.5---条件分布与条件期望
FＸ|Ｙ(x | y) P(Ｘ x |Ｙ y)
lim P(Ｘ x | y Ｙ y y) y0
lim P(Ｘ x, y Ｙ y y) y0 P( y Y y y)
lim F (x, y y) F (x, y) 分子、分母同除 y y0 FY ( y y) FY ( y)
Pij PJ
i=1，2，.....
Pj|i
Pij Pi
j=1，2，........
例3.5.5.设(X, Y)的联合密度为：
P( x,
y)
24(1
0
x)
y
0 x 1, 0 y x 其它
求条件密度函数 PX|Y (x | y)和 PY|X ( y | x)
解:PX (x)
P(x, y)dy
5 4 20
PX 0，Y 1 P(X 0)P(Y 1| X 0) 2 3 6
5 4 20
PX 1，Y 0 P(Y 1)P(Y 0 | X 1)
32 6 5 4 20
PX 1，Y 1 P(X 1)P(Y 1| X 1)
32 6 5 4 20
XY 0 1
0
2
6
20 20
1
Ｘ|Ｙ 3 1
2
P
4/7 3/7
例3.5.3 设随机变量Ｘ，Ｙ独立，Ｘ P（1），Ｙ P（2）
在Ｘ Ｙ n 条件下，求X 的条件分布？
解：由已知条件和泊松分布的可加性得：ＸＹ P（1 2）
所以 P(Ｘ k |ＸＹ n)
P(Ｘ k, ＸＹ P(ＸＹ n)
n)
P(Ｘ k ,Ｙ n k) P(ＸＹ n)
6
6
20 20
条件期望资料
析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如政策效果最大化分析等。
⌛️
方法的优缺点
• 优点：有助于中央银行更好地评估政策工具的效果和风险，从而制定更有效 Nhomakorabea货币政策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知货币政策的政策效果分
布。
05
条件期望在其他领域的应用
心理和行为规律。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知消费者的偏好分布。
消费者行为分析的基本问题
• 消费者行为分析是研究消费者在购买、使用和处理商品及服务过程中
的心理和行为规律的方法。
• 条件期望在消费者行为分析中的应用主要是计算消费者在已知某个条
件下，对商品或服务的期望效用。
条件期望在消费者行为分析中的求解方法
知某个条件下，对投资项目的期望收益。
02
条件期望在企业投资决策中的求解方法
• 可以基于概率分布进行求解，如风险调整收益分析、概
率调整收益分析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如收益最大化分析等。
03
方法的优缺点
• 优点：有助于企业更好地评估投资项目的风险和收益，
从而做出更合理的投资决策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知投资项目的
02
条件期望的计算方法
• 当Y是离散随机变量时，条件期望可以通过求和计算：
E(Y|X=x) = ∑y * P(Y=y|X=x)
• 当Y是连续随机变量时，条件期望可以通过积分计算：
E(Y|X=x) = ∫y * P(Y=y|X=x) dy
03
条件期望的性质
• 非负性：E(Y|X) ≥ 0，因为Y的平均值总是非负的。
条件概率,条件分布,条件期望
FX Y ( x y )
x
y
f X Y ( x y ) d x [ f ( x , y ) fY ( y )]d x .
y
x
FY X ( y x )
说明
fY X ( y x ) d y [ f ( x , y ) f X ( x )]d y .
定义
设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x , y ), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y ).若 f ( x, y) 对于固定的 y , fY ( y ) 0, 则称 为在Y y fY ( y ) 的条件下 X 的条件概率密度 , 记为 f ( x, y) f X Y ( x y) . fY ( y )
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二
条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人 , 分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随 机变量, 他们都有自己的分布 .
现在如果限制Y 取值从1.5 m 到1.6 m , 在这个限制下求X 的 分布 .
一 条件概率 (Conditional Probability) 条件概率是指在事件A发生的条 件下，另一事件B发生的概率，记用 P（B|A）.
引例 从所有有两个孩子的家庭随机抽取一个家庭记录男 孩女孩的情况。
则试验所有可能的结果为（男孩记为“b”，女孩记为“g”） (b，b) (b，g) (g，b) (g，g) 设A={ 至少一个男孩}， B ={ 至少一个女孩}， 考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
定义 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , 对于固定
条件分布与条件期望
这表明，二元正态分布的条件分布仍为正态分布：
1 2 2 N r y ， 1 r 2 1 1 2
．
31
二．条件数学期望
32
1．条件数学期望的概念
33
条件分布的数学期望称为条件数学期望．
34
对于离散型随机变量，当 Y y j 时，随机变量 X 的条 件分布律为
1 2 PX Y n
n!
n
e
1 2
．
所以，当 X Y n 时， X 的取值为 0, 1,
2, , n ．
13
PX k X Y n
PX k , X Y n PX k , Y n k PX Y n PX Y n
PX k PY n k k! n k ! PX Y n 1 2 n e 1 2 n!
n! 1 k!n k ! 1 2
k
1k
e 1
2 n k
e 2
2 2 1
17
所以，
PY k PX nP Y k X n
n 0
PX nP Y k X n PX nP Y k X n
n 0 nk
k 1
n 0
k 1
n
n!
e 0
nk
n
n!
e C p 1 p
f X x 0 ．
26
例
设二维随机变量 X , Y 服从平面区域
x, D
y:
x y 1
概率论中的条件概率公式详解贝叶斯定理条件期望等
概率论中的条件概率公式详解贝叶斯定理条件期望等概率论是数学中的一门重要学科，研究的是随机事件的概率性质以及它们之间的关系。
条件概率公式、贝叶斯定理和条件期望是概率论中的重要概念和定理，它们在解决实际问题中具有广泛应用。
本文将对这些概念进行详细解释和讨论。
一、条件概率公式条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
设A和B是两个事件，且P(B)≠0，那么在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率记作P(A|B)，读作“A在B发生的条件下发生”。
条件概率公式的形式为：P(A|B) = P(AB) / P(B)其中，P(AB)表示事件A和B同时发生的概率，又称为A与B的交集的概率。
通过这个公式，我们可以根据已知的条件概率来计算其他事件的概率。
二、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的核心定理之一，它描述了在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率如何更新。
设A和B是两个事件，且P(A)≠0，P(B)≠0，那么贝叶斯定理的表达式为：P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
贝叶斯定理的主要应用在于通过已知的先验概率和条件概率来计算后验概率。
它在统计学、生物信息学、机器学习等领域有着广泛的应用。
三、条件期望条件期望是在已知某一事件发生的条件下，随机变量的期望值。
设X和Y是两个随机变量，且P(Y=y)≠0，那么在事件Y=y已经发生的条件下，随机变量X的条件期望记作E(X|Y=y)。
条件期望的计算公式为：E(X|Y=y) = Σx(x * P(X=x|Y=y))其中，Σ表示对所有可能的取值进行求和。
通过条件期望，我们可以得到在给定条件下随机变量的平均值，从而更好地理解和分析随机事件的分布特性。
综上所述，条件概率公式、贝叶斯定理和条件期望是概率论中的重要概念和定理。
它们可以帮助我们计算和预测事件的概率，以及根据已知条件更新概率。
概率论与数理统计3-6 条件分布与条件期望、回归与第二回归
p(u, y)du.
1 yy
lim
[ p(u, v)du]dv.
y0 y y
lim
y0
1 y
y y y
p
(u)dv
p
( y)
0.
F
(
x
y)
x
p(u, y) p ( y)
du.
由此可见：在 y的条件下，的分布列仍是
§3.6 条件分布与条件期望、回归 与第二回归
一、条件分布
在离散型R.V中，我们利用条件概率公式
P(A B)
P( AB) , P(B)
P(B)
0.
求出了离散型R.V .的条件分布列:P(
xi
yj)
Pi
.
j
类似的问题对连续型R.V .也存在.
由于连续型R.V .取单点值的概率为零，所以用分布列
lim P( x, y y y) . y0 P( y y y)
P( x, y y y)
lim
.
y0 P( , y y y)
设(,)的p d f 为p(x, y),则上式又变为
x yy
密度为P ( y
那么称 xP (
x y
), 如果
x
P
(y
x
x )dx为在(
)dx . y)发生的条件下的条件
数学期望，记为 E( y).即
E(
y)
xP
(y
条件分布与条件期望课件
P(Y=1|X=1)=0.1/0.6=1/6 P(Y=1|X=2)=0.2/0.4=1/2
P(Y=2|X=1)=0.3/0.6=1/2 P(Y=2|X=2)=0.05/0.4=1/8 P(Y=3|X=1)=0.2/0.6=1/3 P(Y=3|X=2)=0.15/0.4=3/8
身高Y
体重X 的分布
体重X
条件分布与条件期望
身高Y 的分布
现在若限制1.7<Y<1.8(米)，在这个条件下去求 X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身 高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑 出的学生中求其体重的分布．
容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布 会很不一样．
例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著 增加．
条件分布与条件期望
运用条件概率密度，我们可以在已知某一随机 变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件 的条件概率.
即: 若(X,Y)是连续型r.v, 则对任一集合A，
P (X A |Y y )A p X |Y (x |y )d x
特别，取 A(,u),
定义在已知 Y=y下，X的条件分布函数为
1, pX(x)0,
0x1，p(y| 其它
x)11x, 0,
0xy1 其它
求(X,Y)的联合密度p(x,y)和Y的边际密度pY(y) 及P(Y>0.5).
解：
p(x,y)p(y|x)pX(x) 1 1x, 0xy1
0,
其 它
条件分布与条件期望
y
pY(y)
x<y
y =x
0
1
x
p(x,y)0的区域
2
e
21 12
概率论（PDF）
条件期望与条件分布我们已经学习了条件概率的基本概念和性质，但只局限于讨论以事件(集合)为条件的情形。
事件作为条件，意味着先验知识的加入导致了样本空间的变化，从而影响概率计算。
由于随机变量是概率论研究的核心内容，很自然地需要将“条件”的概念和方法拓展到随机变量中来。
特别地，条件概率刻画了样本空间中不同集合在概率计算中的相互影响，容易由此联想到“条件”在研究随机向量的各分量间相互关联以及随机过程中所具有的价值。
所以，本章引入条件期望和条件分布的概念，并讨论其性质和应用，让读者体会“条件”对于研究随机变量间关联的重要意义，明确基本概念，掌握与之相关的基本计算方法。
PART A条件期望我们用一个简单例子作为引入。
设离散随机变量X和Y，X取值于{x1,···,x n}，Y取值于{y1,···,y m}。
考虑事件{Y=y k}，在其条件下，X的概率分布会发生变化，P({X=x i}|{Y=y k})=P({X=x i}∩{Y=y k})P({Y=y k}),通常称该概率分布为条件分布，记作P(X=x i|Y=y k)=P(X=x i,Y=y k)P(Y=y k),(1-1)这个概率中包含了Y所提供的先验信息，并将该信息带入到了期望的计算中。
E(X|Y=y k)=n∑i=1x n P(X=x i|Y=y k),(1-2)称该期望为条件期望。
条件期望给出了在已知某些先验信息的条件下，随机变量X取值的平均水平。
上述讨论对于离散随机变量比较准确，但是推广到连续情形会遇到本质的问题。
如果Y是连续随机变量，则P(Y=y)=0，(1-1)没有明确的含义。
如何克服这一困难呢？现代概率论中关于条件期望的阐述为我们提供了帮助。
基本概念首先，明确一个基本事实，条件期望是随机变量，不同于普通期望是确定性常数。
事实上，条件期望的取值取决于随机变量Y，并由此依赖于样本空间。
具体地说，设概率空间为(Ω,F,P)，如果Z(ω)=E(X|Y=Y(ω)),ω∈Ω,(1-3)则有Y(ω)=y k=⇒Z(ω)=E(X|Y=y k),为方便，记Z(ω)为E(X|Y)(ω)。
概率论公式总结
概率论公式总结导语：概率论是一门重要的数学分支，研究状况、理论与技术，它在现代科学、工程、经济、金融等领域起着重要作用。
在概率论的研究中，有许多重要的公式被广泛应用，下面将对概率论中的一些重要公式进行总结，以期帮助读者更好地理解与应用。
一、基本概率公式基本概率公式是概率论的基石，它描述了事件发生的概率与事件发生的次数之间的关系。
设A为一个事件，n(A)为事件A发生的次数，n 为试验总次数，则基本概率公式可以表示为：P(A) = n(A) / n其中，P(A)表示事件A发生的概率。
在实际应用中，我们常常通过统计数据来估计概率，利用大数定律可以验证此公式的有效性。
二、条件概率公式条件概率公式描述了在已知一事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
设A和B是两个事件，且P(B) ≠ 0，则条件概率公式可以表示为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
条件概率公式在实际应用中常常用来进行推理与判断，例如在医学诊断、金融风险评估等领域。
三、贝叶斯公式贝叶斯公式是一种重要的概率论工具，它能够根据已知的一些信息，计算出相关事件的概率。
设A和B是两个事件，且P(A) ≠ 0，则贝叶斯公式可以表示为：P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
贝叶斯公式在机器学习、数据挖掘等领域有着广泛的应用，例如垃圾邮件过滤、推荐系统等。
四、全概率公式全概率公式描述了事件A的概率可以通过事件B的概率来计算。
设B₁、B₂、...、Bₙ为互不相容且构成样本空间的一组事件，且P(B₁) + P(B₂) + ... + P(Bₙ) = 1，则全概率公式可以表示为：P(A) = Σ P(A|Bₙ) * P(Bₙ)其中，Σ表示求和符号。
全概率公式在实际应用中常用于求解复杂问题的概率。
随机过程中的条件期望估计
随机过程中的条件期望估计随机过程是概率论和数理统计中的一个重要概念，用于描述随机变量在不同时间点上的随机演化规律。
条件期望是随机过程中的一个关键概念，用于描述在给定某些条件下，随机变量的平均取值。
一、条件概率与条件期望的基本概念随机过程是指一系列随机变量组成的集合，通常用 {X(t), t∈T} 表示，其中 t 表示时间点，X(t) 表示在时间点 t 上的随机变量。
条件概率是指在给定某些条件下，事件发生的概率。
对于随机过程来说，条件概率可以表示为 P(A|B)，表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
类似地，条件期望 E(X|Y) 表示在给定随机变量 Y 的取值的条件下，随机变量 X 的平均取值。
二、条件期望的性质与计算方法条件期望具有以下性质：1. 线性性质：如果 X 和 Y 是两个随机变量，a 和 b 是常数，则有E(aX+bY|Z) = aE(X|Z) + bE(Y|Z)。
2. 条件期望的法则：如果 X 和 Y 是两个随机变量，则有 E(XY|Z) = E(X|Z)E(Y|Z)。
3. 独立性质：如果 X 和 Y 是独立的随机变量，则有 E(X|Y) = E(X)。
计算条件期望通常使用条件概率的定义和相关的概率计算公式。
对于离散型随机变量，有以下计算方法：1. 条件期望的定义：E(X|Y=y) = ∑x xP(X=x|Y=y)。
2. 条件概率的求解：P(X=x|Y=y) = P(X=x, Y=y) / P(Y=y)。
3. 条件概率的计算：P(X=x, Y=y) = ∑z P(X=x, Y=y, Z=z)。
对于连续型随机变量，计算的方法与离散型类似，只是将求和替换为积分。
三、条件期望在实际应用中的例子条件期望在概率论和数理统计的实际应用中有广泛的用途。
以下是一些例子：1. 金融风险管理：根据过去的市场数据，可以使用条件期望来估计未来的金融资产价格。
例如，在 Black-Scholes 期权定价模型中，使用条件期望来计算期权的价格。
高中数学概率与期望值解题技巧
高中数学概率与期望值解题技巧概率与期望值是高中数学中重要的概念和解题方法，它们在各个领域都有广泛的应用。
掌握概率与期望值的解题技巧，对于高中学生来说非常重要。
本文将从几个常见的题型入手，介绍概率与期望值的解题技巧，并给出具体例子进行说明。
一、概率的计算概率是指某个事件发生的可能性。
在计算概率时，我们需要知道事件的样本空间和事件的发生数。
下面以“抛硬币”为例进行说明。
例题1：抛掷一枚硬币，问正面朝上的概率是多少？解析：硬币的样本空间为{正面，反面}，而正面朝上的事件只有一个，即{正面}。
因此，正面朝上的概率为1/2。
例题2：一副扑克牌中，从中随机抽取一张牌，问抽到红心的概率是多少？解析：扑克牌的样本空间为52张牌，其中红心有13张。
因此，抽到红心的概率为13/52，即1/4。
二、条件概率条件概率是指在已知某个条件下，事件发生的概率。
在计算条件概率时，我们需要知道条件事件的发生数和事件的发生数。
下面以“扑克牌”为例进行说明。
例题3：一副扑克牌中，从中随机抽取一张牌，已知抽到的牌是红心，问这张牌是红桃的概率是多少？解析：已知抽到的牌是红心，说明样本空间缩小为红心牌。
而红心牌中红桃牌有1张，因此，这张牌是红桃的概率为1/13。
例题4：一副扑克牌中，从中随机抽取两张牌，已知第一张牌是红心，问第二张牌也是红心的概率是多少？解析：已知第一张牌是红心，说明样本空间缩小为红心牌。
而红心牌中红心牌有12张，因此，第二张牌也是红心的概率为12/51。
三、期望值的计算期望值是指随机变量的平均值，它可以用来衡量一个随机事件的平均结果。
在计算期望值时，我们需要知道事件的可能结果和每个结果的概率。
下面以“骰子”为例进行说明。
例题5：掷一颗均匀的六面骰子，问掷出的点数的期望值是多少？解析：六面骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}，每个点数的概率为1/6。
因此，点数的期望值为(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。
例题6：掷两颗均匀的六面骰子，问两颗骰子的点数之和的期望值是多少？解析：两颗骰子的样本空间为{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，每个点数之和的概率可以通过列举得到。
条件概率-条件分布-条件期望
y}.
定义 设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为fY ( y).若
对于固定的 y,
fY ( y) 0, 则称
f ( x, y) 为在Y fY ( y)
y
的条件下 X 的条件概率密度,记为
f (x, y)
f (x y)
.
XY
（2）无放回抽样
YX
01
02
2
7
7
12
1
7
7
二、连续型随机变量的条件分布
条件分布函数 FX Y (x y)
条件分布是指在一个随机变量取某个确定值 的条件下,另一个随机变量的分布, 即 FX Y ( x y) P{ X x Y y} .
由于P{Y y}可能为零(连续型时一定为零).故直接 用条件概率来定义时, 会出现分母为零. 因此,在条件分布中,作为条件的注意点 • E(X| Y=y) 是 y 的函数.
所以记 g(y) = E(X| Y=y). 进一步记 g(Y) = E(X| Y).
f (x, y)d x
1 π
1 y2 d x 2
1 y2
π
1 y2 , 1 y 1,
0,
其他.
于是当 1 y 1时,有
fX
Y
(x
y)
(2
1 π)
π 1
y2
2
1 , 1 y2
1 y2 x
1 y2,
0,
其他.
条件数学期望
定义
E ( X
|Y
y)
i
xi P( X xi | Y y)
二 条件分布
一、离散型随机变量的条件
概率论中的条件期望计算公式
概率论中的条件期望计算公式概率论是数学中的重要分支，研究随机事件和概率规律的数学理论。
条件期望是概率论中的一个重要概念，用于描述在给定条件下的期望值。
本文将介绍条件期望的计算公式及其应用。
一、条件期望的定义及性质条件期望是在给定条件下的期望值，记作E(X|Y)，其中X和Y为随机变量。
条件期望于普通期望相似，区别在于条件期望要求在给定条件下对随机变量进行求平均。
条件期望的计算公式如下：E(X|Y) = ∑[x P(X=x|Y)] （离散变量）E(X|Y) = ∫[x f(x|Y) dx] （连续变量）其中，P(X=x|Y)表示在给定随机变量Y的条件下，随机变量X取值为x的概率；f(x|Y)表示随机变量X在给定Y的条件下的概率密度函数。
条件期望的性质：1. 条件期望是随机变量Y的函数，它是Y的函数的期望；2. 如果X和Y相互独立，则条件期望等于普通期望，即E(X|Y) =E(X)；3. 若Z=g(X,Y)，则E(Z|Y) = E(g(X,Y)|Y)。
二、条件期望的计算举例为了帮助读者更好地理解条件期望的计算公式及应用，以下将通过两个具体的案例来说明。
案例一：假设有一批产品，其质量可以用随机变量X表示，X的取值范围为[1, 10]，代表产品的质量评分。
同时，还有一个随机变量Y表示产品的价格，Y的取值范围为[100, 1000]。
现在要求在给定产品价格的条件下，计算产品质量的条件期望。
解决方法如下：根据条件期望的计算公式，我们需要计算P(X=x|Y)。
假设随机变量Y的取值为y，则产品质量为x的条件概率为P(X=x|Y=y)。
如果我们已知产品价格与质量的关系，可以通过分析或者实验得到条件概率的分布。
然后，根据条件概率计算条件期望即可。
案例二：现假设随机变量X和Y相互独立，且它们都服从正态分布。
我们要计算X与Y的乘积Z的条件期望E(Z|Y)。
解决方法如下：根据条件期望的性质，当X和Y相互独立时，条件期望等于普通期望，即E(Z|Y) = E(Z)。
概率论中的条件期望计算公式推导
概率论中的条件期望计算公式推导在概率论中，条件期望是一个重要的概念，它用于描述在给定一定条件下的随机变量的平均值。
本文将介绍条件期望的概念，并推导其计算公式。
一、概率论中的条件期望定义条件期望是在给定一定条件下的随机变量的期望值。
通常使用E(X|Y)表示在给定随机变量Y的条件下，随机变量X的期望。
二、条件期望的计算公式推导假设有两个随机变量X和Y，X的取值为{x1, x2, ..., xn}，Y的取值为{y1, y2, ..., ym}。
我们希望计算在给定Y的条件下X的期望E(X|Y)。
首先，我们需要计算在给定Y的条件下X的条件概率分布。
条件概率分布表示在给定Y的条件下X取各个值的概率。
设P(X=x|Y=y)表示在给定Y为y的条件下，X取值为x的概率。
接下来，我们可以使用条件概率分布来计算在给定Y的条件下X的期望。
计算公式如下：E(X|Y) = ∑[P(X=x|Y) * x]其中，∑表示对所有可能的X取值求和。
这个公式的含义是将在给定Y的条件下X取各个值的概率乘以相应的取值，然后将所有结果求和。
三、举例为了更好地理解条件期望的计算公式推导，我们通过一个例子来说明。
假设有一个投掷两个骰子的实验。
随机变量X表示两个骰子的点数之和，随机变量Y表示第一个骰子出现的点数。
我们希望计算在给定第一个骰子点数为3的条件下，两个骰子点数之和的期望。
首先，我们计算在给定第一个骰子点数为3的条件下，X的取值及对应的条件概率分布。
根据骰子的点数范围，X的取值为{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}。
对于每个x取值，我们需要计算在条件Y为3下的概率 P(X=x|Y=3)。
假设骰子是均匀的，那么在条件Y为3下，X的取值及相应的概率分布如下：P(X=2|Y=3) = 1/36P(X=3|Y=3) = 2/36P(X=4|Y=3) = 3/36P(X=5|Y=3) = 4/36P(X=6|Y=3) = 5/36P(X=7|Y=3) = 6/36P(X=8|Y=3) = 5/36P(X=9|Y=3) = 4/36P(X=10|Y=3) = 3/36P(X=11|Y=3) = 2/36P(X=12|Y=3) = 1/36接下来，我们可以使用条件概率分布来计算在给定Y为3的条件下X的期望。
概率论中的条件期望计算公式推导
概率论中的条件期望计算公式推导实际上，概率论中的条件期望计算公式是概率论中的基本概念之一。
条件期望是指在给定某些条件下，对一个随机变量的期望进行计算。
在本文中，我们将进行条件期望计算公式的推导。
1.导引条件期望是指在一定条件下对随机变量的期望进行计算。
条件期望的计算公式由条件概率和随机变量的期望组成。
下面，我们将通过推导来得到条件期望的计算公式。
2.条件概率的定义条件概率是指在已经发生了某个事件B的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)3.条件期望的定义条件期望是指在已知一个事件B发生的条件下，随机变量X的期望。
条件期望的计算公式为：E(X|B) = Σ[x*P(X=x|B)]其中，Σ代表求和运算，x代表随机变量X可能取到的值，P(X=x|B)代表在事件B发生的条件下，随机变量X取值为x的概率。
4.推导过程为了推导条件期望的计算公式，我们需要利用条件概率和随机变量的期望。
首先，我们将一个事件A表示为：A = {X=x}，即事件A表示随机变量X取值为x。
然后，我们将事件B表示为：B = {Y=y}，即事件B表示随机变量Y取值为y。
根据条件期望的定义，我们可以得到：E(X|B) = Σ[x*P(X=x|B)]接下来，我们需要将条件概率P(X=x|B)进行转化，利用全概率公式和条件概率的定义，我们可以得到：P(X=x|B) = P(X=x∩Y=y) / P(Y=y)代入到E(X|B)的计算公式中，我们可以得到：E(X|B) = Σ[x*P(X=x∩Y=y) / P(Y=y)]接下来，我们将分子进行拆分，得到：E(X|B) = Σ[(x*P(X=x∩Y=y)) / P(Y=y)]根据乘法法则，我们可以将分子进一步拆分，得到：E(X|B) = Σ[(x*P(Y=y|X=x)*P(X=x)) / P(Y=y)]最后，我们可以将求和符号中的x和P(X=x)移到外面，得到：E(X|B) = Σ[x*P(Y=y|X=x)]*P(X=x) / P(Y=y)这就是条件期望的计算公式推导过程。
概率论中的条件期望计算方法
概率论中的条件期望计算方法概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律性和不确定性。
而条件期望是概率论中一个重要的概念，它描述了在给定某些条件下的随机变量的平均值。
在实际应用中，计算条件期望是非常常见的，因此学习条件期望的计算方法对于理解概率论的核心思想和解决实际问题非常重要。
条件期望的计算方法有多种，下面将介绍其中的两种常见方法：条件概率法和条件分布法。
首先，我们来看看条件概率法。
条件概率法是一种直观的计算条件期望的方法，它利用了条件概率的定义。
条件概率是指在某个条件下事件发生的概率。
对于一个随机变量X和一个条件Y，条件概率P(X|Y)表示在给定Y发生的条件下X发生的概率。
条件期望的计算方法可以通过条件概率来实现。
假设我们有两个随机变量X和Y，我们想要计算在给定Y的条件下X的期望。
首先，我们需要计算在给定Y的条件下X的取值的概率分布。
然后，我们将X的每个取值乘以对应的概率，并将结果相加即可得到条件期望。
举个例子来说明。
假设X表示一个硬币的正面朝上的次数，Y表示掷硬币的次数。
我们想要计算在给定掷硬币10次的条件下硬币正面朝上的次数的期望。
首先，我们需要计算在给定掷硬币10次的条件下硬币正面朝上的次数的概率分布。
然后，我们将硬币正面朝上的次数乘以对应的概率，并将结果相加即可得到条件期望。
接下来，我们来看看条件分布法。
条件分布法是一种更加抽象的计算条件期望的方法，它利用了条件概率的性质和条件分布的定义。
条件分布是指在某个条件下随机变量的概率分布。
对于一个随机变量X和一个条件Y，条件分布P(X|Y)表示在给定Y的条件下X的概率分布。
条件期望的计算方法可以通过条件分布来实现。
假设我们有两个随机变量X和Y，我们想要计算在给定Y的条件下X的期望。
首先，我们需要计算在给定Y的条件下X的概率分布。
然后，我们将X的每个取值乘以对应的概率，并将结果相加即可得到条件期望。
举个例子来说明。
假设X表示一个学生的考试成绩，Y表示学生的学习时间。
概率论中的条件期望计算公式
概率论中的条件期望计算公式概率论是数学的一个分支，研究的是随机事件发生的概率及其规律。
条件期望是概率论中的一个重要概念，它描述了在某个条件下随机变量的平均取值。
本文将介绍概率论中的条件期望计算公式及其应用。
一、条件期望的定义考虑一个随机试验，其中有两个随机变量 X 和 Y。
条件期望 E(X|Y) 表示在给定 Y 的条件下，随机变量 X 的平均取值。
条件期望可以看作是在 Y 取某个特定值时，X 的期望。
二、条件期望的计算公式在计算条件期望时，我们需要使用条件概率的概念。
设事件 A 和 B 是两个随机事件，且 P(B) > 0，则 A 关于 B 的条件概率记为 P(A|B)。
根据条件概率的性质，我们可以得到条件期望的计算公式如下：E(X|Y) = ∑[x * P(X = x|Y)] （离散情况）E(X|Y) = ∫[x * f(x|Y)] dx （连续情况）其中，x 是随机变量 X 取的值，P(X = x|Y) 是 X 在给定 Y 条件下的概率密度函数（离散情况下为概率质量函数），f(x|Y) 是 X 在给定 Y条件下的概率密度函数（连续情况下为条件密度函数）。
求和或积分是在所有可能的取值上进行的。
三、条件期望的应用举例1. 投掷两个骰子的情况。
设 X 和 Y 分别表示第一个骰子和第二个骰子的点数。
我们希望求解在第一个骰子的点数已知的条件下，第二个骰子的点数的期望。
根据条件期望的计算公式，我们可以得到：E(Y|X = x) = ∑[y * P(Y = y|X = x)]具体计算过程如下：当 X = 1 时，E(Y|X = 1) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5当 X = 2 时，E(Y|X = 2) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5当 X = 3 时，E(Y|X = 3) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5当 X = 4 时，E(Y|X = 4) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5当 X = 5 时，E(Y|X = 5) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5当 X = 6 时，E(Y|X = 6) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5根据计算结果可以看出，无论第一个骰子的点数是多少，第二个骰子的点数的期望都是3.5。
概率论中的条件期望计算公式推导方法思考
概率论中的条件期望计算公式推导方法思考概率论中的条件期望计算是一项重要的内容，它在实际问题的求解中起到了至关重要的作用。
本文将探讨条件期望的概念以及其计算公式的推导方法，希望对读者在概率论领域的学习与理解有所帮助。
1. 条件期望的概念条件期望是在给定一个或多个条件下，对某个随机变量的期望进行计算的方法。
通常用E(X | Y)表示在已知随机变量Y的条件下，随机变量X的期望。
这种条件期望的计算方法在处理实际问题时非常常见，它能够帮助我们更准确地预测和评估变量之间的关系。
2. 条件期望的计算公式在概率论中，有两种常见的条件期望计算公式，分别是条件概率公式和条件密度公式。
根据具体问题的不同，我们可以选择适用的公式进行计算。
2.1 条件概率公式在离散型随机变量的问题中，我们可以利用条件概率公式来计算条件期望。
设X和Y是两个离散型随机变量，其联合概率分布为P(X=x, Y=y)，则条件期望E(X | Y)可以通过如下计算公式得到：E(X | Y) = Σx(x * P(X=x | Y=y))其中，Σ表示求和运算，x表示X的取值，P(X=x | Y=y)表示在已知Y的条件下，X=x的概率。
2.2 条件密度公式在连续型随机变量的问题中，我们可以利用条件密度公式来计算条件期望。
设X和Y是两个连续型随机变量，其联合概率密度函数为f(x, y)，则条件期望E(X | Y)可以通过如下计算公式得到：E(X | Y) = ∫[x(x * f(x | y))]dx其中，∫表示积分运算，x表示X的取值，f(x | y)表示在已知Y的条件下，X=x的条件概率密度函数。
3. 推导方法思考条件期望的计算公式的推导可以通过数学的严格推导来完成，其中涉及到概率和统计学的相关知识。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的情况，选择合适的公式和方法进行计算。
在条件概率公式的推导过程中，我们需要利用到条件概率的定义以及联合概率的计算方法。
通过对条件概率的逐步计算和变形，我们可以得到条件期望的计算公式。
条件期望和条件概率的关系
条件期望和条件概率的关系条件概率直接决定条件期望的大小。
设X,Y是两个离散的随机变量，X可能的取值是x1,x2,...,xm；Y可能的取值是y1,y2,...,yn。
那么如果已经知道X,Y的联合概率分布，即知道：Pr(X=xi,Y=yj)是多少的话（Pr（A）是说A的概率，i=1,2,...,m;j=1,2,..,n，此表达式的含义就是随机变量X取第i个结果，同时Y取第j个结果的概率），那么X,Y的条件概率就可以表达为：Pr(X=xi|Y=Yj)（含义是给定随机变量Y取第j个数，在这种情况下X取第i个数的概率，竖线右边的事件是条件事件），它等于Pr(X=xi,Y=yj)/Pr(Y=Yj)。
此时，在给定Y=Yj这一条件下，X的条件期望是：E(X|Y=Yj)=Sum(i 从1到m){xi*Pr(X=xi|Y=Yj)}(Sum是求和)。
所以，条件期望和条件概率的关系就和普通的期望-概率关系一样，知道条件概率分布就可以求条件期望，但是反过来不可以。
如果X是连续型随机变量，那么求和符号要变成定积分，但其原理还是和上面一样的。
注意任何条件期望的计算都必须讲清楚条件，不给条件求条件期望是不可能的。
有时候我们把E(X|Y=y)简写为E(X|Y)，但是这只是为了方便。
要求条件期望，必须知道条件分布，求条件分布的公式，在离散情况下就是Pr(X=xi,Y=yj)/Pr(Y=Yj)，连续情况下另有公式，为{偏导数F(x,y)对y/f(y)}。
F(x,y)为X和Y的联合分布函数，f(y)为Y的分布密度函数。
你如果需要知道这个再问。
另外，条件事件不一定是Y=y，也可以是任何关于随机变量Y的函数方程，比如：E(X|Y^2<=4)，这就是说，给定Y的取值范围是（-2,2），求X的平均值。
此时就需要用到二重积分，因为Y的取值已经是一个区间了，合上X可能取值的范围，就组成了一个平面区域，所以要对x,y的联合分布密度函数f(x,y)二重积分来计算。
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分布，求在条件 X Y n 下 X 的条件期望. 1 Key : E ( X | X Y n) n 1 2 2 设某日进入某商店的顾客人数是随机变量 N, X i 表 示第 i 个顾客所花的钱数， 店一天营业额的均值. 是相互独立同
分布的随机变量，且与 N 相互独立，试求该日商店
n
E n 1
n1
X i p( N n ) i 1
nEX1 p( N n)
( EX1 )
n1
np( N n) EX1 EN
#
3
设
是具有指数分布 F ( x ) 1
e x ,( 0, x 0) 的相互独立的随机变量，其中
n E Xk k 1
k 1
n
EX k
2，则有 2) 设 X 1 , X 2 , , X n 是独立的且属于集簇
Var
Xk k 1
n
n
k 1
Var ( X k )
思考与练习
1 设独立随机变量 X 和 Y 服从参数为 的 Poisson
2) 通过取条件计算方差
Var ( X ) E[Var ( X | Y )] Var ( E[ X | Y ])
3) 线性：若 a , b , X ,Y ，则有
E[(aX bY ) |] aE ( X |) bE (Y |)
4) 单调性：若 X ,Y 且 X Y , a .s .，则有
X i [ ti 1 , ti ) , 且有 0 t0 t1 t k t k 1 ，
求 E[ti 1 ,ti ) X .
Key : See paper written by Zheng Zhu-kang !
4.
设在某一天内走进一个商店的人数是数学期望等于
100 的随机变量，又设这些顾客所花的钱都为数学
期望是10元的相互独立的随机变量，再设一个顾客 花钱时和进入该商店的总人数独立，试问在给定的 一天内，顾客们在该店所花钱的期望值为多少？ 解：设N 表示进入该店的顾客人数， X i 表示第 i 个顾 客所花的钱数，则 N 个顾客所花钱的总数为 X i .
i 1 N
则一天内顾客们在该店所花钱的期望值是
故有：
1 EX (2 3 5 2 EX ) 3
EX 10. (小时)
$1.7 独立性
1. 设 X 1 , X 2 , , X n 是独立的且属于集簇 ，则有
1
n E Xk k 1
EX
k 1
n
k
2 X 1 , X 2 , , X n 是独立的且属于集簇 ，则有 2. 设
例4 已知连续抛掷一枚硬币出现正面的概率为 p，现
抛掷该硬币直至出现正面，问需要抛掷的次数的
数学期望是多少？ 解: 设 N 为需要抛掷的次数，记
1 , 第一次抛出正面； Y 0 , 第一次抛出反面；
故 又因为 E ( N | Y 1) 1, E ( N | Y 0) 1 EN 从而有 EN p (1 p)1 EN EN 1 . p
N 于是 E X i 100 10 1000 i 1
它说明顾客们花费在该店钱数的期望值为 1000 元.
N n
N E Xi | N N E( X ) i 1
N E X i E N E ( X ) E ( N ) E ( X ) i 1
由假设 E ( N ) 100, E ( X ) E ( X i ) 10
E[ X |] E (Y |),a .s..
5) 包含性：若1 ,2 是两个 子代数，使得
1 2 ，则有
E[ E ( X |1 ) |2 ] E[ E ( X |2 ) |1 ]
E ( X |), a .s.
4 独立性
1，则有 1) 设 X 1 , X 2 , , X n 是独立的且属于集簇
Var
Xk k 1
n
n
k 1
Var ( X k )
课堂小结
1. 收敛概念：几乎必然收敛（以概率1收敛）； 依概率收敛； 矩收敛（平均收敛）； 依分布收敛 2 条件概率与条件期望 1) 若 X 与 Y 均为离散型随机变量，则
E( X | Y y)
x p( X x | Y y)
Key : EX 1 EN
解: 因为 E (
Xi ) E E( i 1
N
n
Xi ) N i 1
N
Hale Waihona Puke E n1
X i N n p( N n) i 1
N
E n1
X i N n p( N n) i 1
x
2) 若 X 与 Y 有联合密度函数 f ( x , y ) ，则
E( X | Y y)
x f X |Y ( x | y )dx
3. 条件期望的性质 1) 对于随机变量 X 与 Y 有
y E ( X | Y y ) p(Y y ) EX E[ E ( X | Y )] E[ X | Y y ] f Y ( y )dy
EX E ( X | Y 1) P (Y 1) E ( X | Y 2) P (Y 2) E ( X | Y 3) P (Y 3)
由题意知：
E ( X | Y 1) 2; E ( X | Y 2) 3 EX ; E ( X | Y 3) 5 EX
例5 一名矿工被困在一个有三个通道的矿井之中，从
第一个通道行进两个小时后将到达安全地带；从
第二个通道行进三个小时后将绕回矿井原地；从 第三个通道行进五个小时后将绕回矿井原地. 假定
该矿工对此矿井的通道情况完全未知，那么他到
达安全地带所需要的平均时间是多少？ 解: 设 X 为矿工到达安全地带所需要的时间，Y 为他 最初选取的通道，则有
N N E X i E E X i | N） （ i 1 i 1
n ） 而 E X i | N n E X i | N n E X i nE ( X ) i 1 i 1 i 1