西安交通大学材料力学-06

E
Fa 3 v A1 3EI
B
F/2
3. 刚化 AD 段
v A2 vC 2 C 2 a
Fa 3 Fa 3 3Fa 3 2 2 EI 2 EI 4 EI v A v A1 v A2 Fa 3 3Fa 3 13Fa 3 3EI 4 EI 12EI
F A F EI a
A
B C
D a
v
m
a
a
(b)
ma 2 v A1 2 EI
2. 刚化 AB 段
ma ( ) A1 EI
A
a m A a
B
C a B C a a
D
m 2ma ( ) A2 B 2 2a 3EI 3EI 2ma 2 v A2 B 2 a 3EI
3. 求和
D
a
5ma ( ) A A1 A2 3EI 7 ma 2 v A v A1 v A2 6 EI
2. 刚化 DC 段
2qa 3 qa 4 13qa 4 v A1 a 3EI 8EI 24EI 3. 刚化 AD 段 v A2 vD 2 D 2 a
qa qa 2 / 2 2 qa 4 11qa 4 3 vD 2 a a 3 2 EI 2 2 EI 8 2 EI 48EI qa qa 2 / 2 qa 3 5qa 3 2 D2 a a 2 2 EI 2 EI 6 2 EI 12EI 11qa 4 5qa 4 31qa 4 v A2 vD 2 D 2 a 48EI 12EI 48EI
d l
F
a C
h
A B x b
2. 用逐段刚化法 刚化 AB 段 刚化 BC段 3. 求和
60 3003 Fa 3 6.17mm vC1 3 3EI 3 210 10 417
Fa 2 l 60 3002 500 vC 2 a 2.05mm 3 GI p 0.4 210 10 15700
若要求 F 移动的轨迹是一条水平直线,则应使曲梁x截面形心到水平轴线
距离等于νx ,即曲梁轴线方程为
F x 2 (l x) 2 f ( x) 3 l EI
例6-3 用逐段刚化法求图示静定梁截面 A 的挠度与转角。梁的抗弯刚度 EI 为已知常数。
m
A a v A a m A ma A a v B m
B a B (c) C a C C a k
D
解： 1. 刚化 BD 段与弹簧
ma 2 v A1 2 EI
D
ma A1 ( ) EI
2. 刚化 AB 段与弹簧
m
A B o C
m
D a
解：利用对称性，一个 m 作用
a
a
(c)
7 ma 2 vo1 16 EI 7 ma 2 vo 2vo1 8 EI
o1 o 2
o 0
m A a o B a (d)
m C
D
解：利用对称性，一个 m 作用
vo1 vo 2
a
ma o1 24EI
vC vC1 vC 2 6.17 2.05 8.22mm
例6-7 车床主轴可简化成图示实心圆截面简支梁，两端为轴承支撑，已知 F = 20 kN，a = 400 mm，b = 200 mm。轴承许用转角 [θ ]= 0.05 rad，[σ ] = 60 MPa，弹性模量 E = 200 GPa，试确定轴的直径 d。
o1 o 2
o 0
F A B o C D
解：利用对称性，一个 F 作用
a
a
(b)
a
F
vo1 vo 2
5Fa 2 o1 ( ) 192EI 5 Fa 2 o 2 o1 ( ) 96 EI
vo 0
例6-2 用查表叠加法求图示静定梁中央截面的挠度与转角。梁的抗弯刚度 EI 为已知常数。
例6-4 用逐段刚化法求图示变截面静定梁外伸端或跨中截面的挠度。
F A EI
D 2EI C
E
F EI B F
解:
1. 对称性分析: C 截面转角为 0 ,
C 截面挠度等于 A 截面相对 C 截面 的位移，固定 C 截面，取一半结构进
F v A
F/2
a
F
a
a
F
a
行分析 2. 刚化 DC 段
D
C2 C
2F l a q 2
例6-9 简支梁受移动载荷 F 作用，弯曲刚度 EI 为常数。若要求载荷移动时的 轨迹是一条水平直线，试问应先把梁弯成什么形状（用ν = f (x) 表示）？
v A
F
解：
B
x l x
当集中力 F 作用在微弯的曲梁 x 处时，该处的挠度仍可按直梁计算，查 表可得
2 2 F (l x) x 2 F x ( l x ) x (l x 2 (l x) 2 ) 6 l EI 3 l EI
32M max 3 32 2.67 106 d 3 [ ] 60
64 2.67 106 (600 400) 4 30.9m m 3 6 21010 0.05
3. 结论
76.8mm
d 76.8mm
例6-8 长度为 l 的矩形截面带钢放置在水平刚性平面上，单位长度重量为 q， 弹性模量为 E，受力F = ql/4 如图所示，试求提起部分的长度 a 和提起的高 度νA 。 F F q q A A νA νA C
3 . 边界条件 x = l , v = 0, = 0 解得 ：
C ql3 / 6
D q l 4 / 8
例6-2 用查表叠加法求图示静定梁中央截面的挠度与转角。梁的抗弯刚度 EI 为已知常数。
百度文库
A
F o B
F C D a
解：利用对称性，一个 F 作用
a
a
(a)
23 Fa 3 vo1 48EI 23 Fa 3 vo 2vo1 24EI
D 2EI C a
4. 求和
例6-5 用逐段刚化法求图示变截面静定梁外伸端或跨中截面的挠度。
q A 2qa v q A B EI 2EI C a a a EI a
B
2qa
解: 1. 对称性分析: C 截面转角 为 0 , C 截面挠度等于 A 截面相对 C 截面的位移，固定 C 截面，取一
半结构进行分析
( )
vo 0
ma o 2o1 ( ) 12EI
例6-3 用逐段刚化法求图示静定梁截面 A 的挠度与转角。梁的抗弯刚度 EI 为已知常数。 F 解： 1. 刚化 BD 段
A v F A a
B
C a (a) B C a
D
Fa3 v A1 3EI
2. 刚化 AB 段
Fa 2 A1 ( ) 2 EI
a
D a
3. 刚化 AD 段
2ma 2 v A2 B 2 a 3EI 2ma A2 B 2 ( ) 3EI
A3
4. 求和
a
B a
m 2 4a k
m vA3 4ak
D 5ma m ( ) A A1 A2 A3 2 3EI 4a k C k 2 a 7 ma m v A v A1 v A2 v A3 m/2a 6 EI 4ak
F A C B
2. 刚度分析
Fab (l a) max B [ ] 6 EI z l
a
解： 1. 强度分析
b
4
d 4 Fab (l a ) Iz 64 6 E[ ] l
64Fab (l a ) d 6 E[ ] l
F ab M max 2.67kNm l d 3 M max Wz 32 [ ]
例7-1 用直接积分法求图示静定梁的挠曲线方程和最大挠度与转角。梁的抗弯刚度 EI 为已知常数。
q A l (a) q x
解：
1. 弯矩方程
M ( x) q x 2 / 2 ( 0 x l )
B
ql M(x) x ql2/2
2. 直接积分
y
A
Q(x)
dv EI EI M ( x)dx dx q 3 2 qx dx x C 6 EIv M ( x)dxdx q 4 x Cx D 24
Fa 2 Fa 2 ( ) 2a 3EI 3EI
D
A2 B 2
v A2
a
F A a B
a
a D
2 Fa 3 B2a 3EI 7 Fa 2 ( ) 6 EI Fa 3 EI
3. 求和
C a
a
A A1 A2
v A v A1 v A2
例6-3 用逐段刚化法求图示静定梁截面 A 的挠度与转角。梁的抗弯刚度 EI 为已知常数。 解： 1. 刚化 BD 段 m
A 2qa
D a
C a
4. 求和
v A v A1 v A2
13qa 4 31qa 4 19Fa 3 24EI 48EI 16EI
例6-6 水平面内折杆 ABC 在 B 处有一轴承，允许 AB 段绕自身的轴线 x 自 由转动，但 B 处不能上、下移动。已知 AB 段为圆杆 d = 20 mm，l = 500 mm， BC 段为矩形 b = 5 mm，h = 10 mm，a = 300 mm， F = 60 N，E = 210GPa， G = 0.4E，求 C 处的垂直位移。 解： 1. BC 段截面 bh3 5 103 I 417mm4 12 12 AB 段截面 204 Ip 15700mm4 32
a
B
l
2. 变形分析
a
解： 1. 弯矩分析 由于 B 截面曲率为 0 ，故弯 矩为0 ，根据平衡条件
B 截面挠度转角 均为0 ， 相当于固定端
qa 2 Fa 2
v A v A ( F ) v A (q)
Fa 3 qa 4 3EI 8 EI q a4 q a4 q a4 6 EI 8EI 24EI