北航06-07高数第2学期期中试卷及参考答案

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北航-工科数学分析2006-2007 期末试题

2006-2007学年第二学期期末考试试题数学分析一、填空题（每小题6分，共30分）1．设向量场),,(222222y x x z z y F +++=，则_,____________________=F div ._______________________________=F rot ２．在曲面0:2=−Σ−z x e y 上点)2,1,1(处的法线方程是.________________________３．设}0,1|),{(22≥=+=y y x y x L ，则.___________2=∫L ds x４．锥面22y x z +=被圆柱面x y x 222=+截下的曲面的面积为._______________ ５．求极限._____________)1(lim 2200222=+∫∫→xx t x t x dt e x dt e二、（本题满分１０分）计算定积分∫−=10ln 1dx x x I ．三、（本题满分１０分）计算∫∫∫V z dxdydz e ||，其中1:222≤++z y x V ．四、（本题满分１０分）设函数)(x f 在),(+∞−∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，其起点为),(b a ，终点为),(d c ．记∫−++=L dy xy f y y x dx xy f y y I ]1)([)](1[1222，（１）证明曲线积分I 与路径L 无关；（２）当cd ab =时，求I 的值．（３）五、（本题满分１０分）求解微分方程0)sin ()(22=+−−dy y x dx y x ．六、（本题满分１０分）计算∫∫Σ−+−xzdxdyxydzdx dydz x 48)1(22，其中Σ是由曲线)0(a y e x y ≤≤=绕x 轴旋转而成的旋转曲面，其法向量与x 轴正向的夹角恒大于2π．七、（本题满分１０分）计算∫−+−+−=L dzy x dy x z dx z y I )()()(222222，其中L 为平面1=++z y x 被三个坐标平面所截三角形Σ的边界，若从x 轴的正向看去，定向为顺时针方向．八、（本题满分１０分）证明∫∞+−+18sin dx y x x e xy 在),0[+∞上一致收敛．九、加选题（本题满分１０分）设L 是不经过点)0,2(及点)0,2(−的分段光滑的简单闭曲线，试就L 的不同情形计算曲线积分∫ +++−+−−+ ++++−=L dy y x x y x x dx y x y y x y I .)2(2)2(2)2()2(22222222 其中L 取正向．1.解：0)()()(222222=+∂∂++∂∂++∂∂=y x zx z y z y x F div ,222222y x x z z y z y xk j i F rot +++∂∂∂∂∂∂= , ),,(2y x x z z y F rot −−−= , 或k y x j x z i z y F rot )(2)(2)(2−+−+−=.2.解：z x e y F −−=2, ),1,2(),,(22z x z x z y x e e F F F −−−=,)1,1,2(|),,()2,1,1(−==z y x F F F n , 于是所求法线方程为121121−=−=−−z y x 3.解：。

06-07学年第二学期期中考试试卷及参考答案

06-07学年第二学期期中考试试卷及参考答案一、解答下列各题（第1小题5分）1、求曲面221y x z ++=与平面1=x 的交线在点)3,1,1(处的切线与y 轴正向的倾角。

2、具有连续偏导数的函数),(y x f 应满足怎样的条件，才能使曲线积分⎰+L xdy ydx y x f ))(,(与积分路径无关。

（7分）3、求函数)ln(2xy e y x z ++=的全微分。

（6分）4、求函数z xy u 3=在点)2,1,5(A 处沿从点)2,1,5(A 到点)14,4,9(B 方向的方向导数。

（8分）5、求曲线t c z t t b y t a x 22cos ,cos sin ,sin ===在对应于4π=t 的点处的切线和法平面方程(a ，b ，c 为正的常数)。

（7分）二、在曲面22y x z +=上找一点，使它到点)33,2,1(的距离最短，并求最短距离。

（12分）三、计算曲线积分⎰+L y x ds ，其中L 为连接点)1,0(A 与点)0,3(B 的直线段。

（7分）四、计算曲面积分⎰⎰∑+dS z y x )(，其中∑为锥面22y x z +=被柱面ax y x 222=+ 所截得的有限部分。

（10分）五、（8分）计算⎰=a dx x f I 0)(，其中⎰-->=x a y a y a dy e x f 0)2()0(.)( 六、计算曲线积分dy y x x x y dx y x L )]ln([2222+++++⎰，其中L 为曲线x y sin =上从π2=x 到π3=x 的一段。

（10分）七、（10分）设∑为曲面21,222≤≤--=z y x z ，取上侧，计算⎰⎰∑--+=dxdy z x yzdzdx x dydz x z x I 2223)(八、（10分）求均匀圆锥体的质心，其中圆锥体是由锥面22y x Rh z +=与平面)0,0(>>=h R h z 所围成。

(完整版)高等数学(A)06-07下期中试卷参考答案及评分标准

高等数学（ A）06-07-3 期中试卷参考答案及评分标准
一．填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
xyz 1 1．曲线 x y 2 在点 (1,1,1) 处的切线方程为
x1 2
y1
z 1； 3
2．方程 xyz x2 y 2 z2
2 所确定的函数 z z(x, y) 在点 (1,0, 1) 处的全微分
为 dz dx 2dy ；
3．交换二次积分的积分次序
0
2
2
0
dy f (x, y)dx ＝ dx f ( x, y)dy ；
1
1y
1
1x
4．设曲线 C : x cost , y sin t, z
3,0 t
，则
x2 y2 z2ds 2 ；
C
ò 5．设曲面
:x
y z 1 ，则
(x
y )dS
4 3.
3
0
0
1
y y2
（ A ） dy
f(x, y)dx
0
0
1
1 y2
（ B） dy
f(x, y)dx
0
0
1
1
（ C） dx f(x, y)dy
0
0
1
x x2
（ D） dx
f(x, y)dy
0
0
8．设由 3 x2 y 2 z, z 1 x 2 所围成，则
f ( x, y, z)dv
[
[D] C]
1
1 4x2
f (i) 2 e 1 i （ 1 分） 13. 计算 zdv ，其中
( x, y, z) R 3 z x2 y2 z2 2z .

《高等数学》(Ⅱ)期中试题及答案解析

中国石油大学（北京）2008／2009学年第二学期《高等微积分》(Ⅱ) 期中试卷一、填空题（本题包括5小题，每小题4分，本题满分20分）1. 函数)ln(),(22y x y x f +=沿21bl al l +=方向的方向导数，其中b a ,为正实数，{}{}1,0,0,121==l l ：。

⎰⎰⎰Ω++=--=+=Ω积分是在球面坐标系下的三次为连续函数其中则重积分所围成的积分区域是由设)()(,4.22222222f dv z y x f I y x z y x z 与。

()()()=+→2222,0,lim .3yx y x yx 。

().)2,0(,11)(,21)(.41∈----=∑∞=x x x x f x x x f n n 的幂级数是展开成将设.222)(,0,0,2)(.5πππππ+=⎩⎨⎧≤<≤<-=处收敛于为周期的傅里叶级数在的以则设x x f x x x x f二、计算题（本题包括6小题，每小题8分，本题满分48分）1、讨论函数()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,,00,1sin ,22222222y x y x y x y x y x f 在()0,0点的偏导数，偏导函数连续性及可微性。

2、试将yux u 2222∂∂+∂∂化成极坐标的形式。

3、试将()()π≤≤=x x x f 0展开成为正弦，余弦级数，并写出和函数()x s 。

4、试求内接于椭球1222222=++cz b y a x 的长方体中（长方体的各面平行于坐标轴）体积最大者。

5、计算积分()⎰⎰++Dyx adxdy,23222其中D 为a y a x ≤≤≤≤0;0。

6、证明曲线t t tae z t ae y t ae x ===,sin ,cos 与锥面222z y x =+的各母线相交的角度相同。

三、（本题满分8分）.,,还是条件收敛若收敛是绝对收敛敛散性试判断下列两个级数的∑∞=+-1;)1ln()1()1(n n n .,0)1ln(1,故该级数收敛这是一交错级数解↓→+n.................)2(分及比较判别法知故由调和级数的发散性都有又,1)1ln(1)1ln()1(:,,2,1nn n n n >+=+-=∀ .)1(,)1(仅条件收敛即级数非绝对收敛该级数 .......................................................................)4(分∑∞=++-11.2)1()1()2(n n n n n ,2)1()1(,1nn n n n u +-=+令这是一交错级数解 .)2(,121)21(21lim 2)1(2)2)(1(lim ||||lim 11绝对收敛故知级数由于<=+=+++=∞→+∞→+∞→n n n n n u u n nn n nn n...........)8(分四、（本题满分6分）设函数)(),(y x g x y xy f z +=,其中g f ,均具有二阶连续偏导数, 求yx z∂∂∂2.:,,,有由四则法则与链式法则令解yxw x y v xy u === g y f xy f y•x w g x v f x u f x z '+'-'=∂∂'+∂∂'+∂∂'=∂∂122121 ........................................................................)4(分 y y y g y g yf x y f x f y•f y x z )(11)(1)(22222112''+'-''-'-''+'=∂∂∂ ............................................................)6(分 y wg y g yy v f y u f x y f x y v f y u f y•f ∂∂''+'-∂∂''+∂∂''-'-∂∂''+∂∂''+'=11)(1)(2222122212111g yx g y f x f f x y f y x f y x f xy ''-'-'-'+''-''-''+''=3222122321121111 ....................................................)8(分 .113222122311g yxg y f x f f x y f xy ''-'-'-'+''-''=或 ...............................................................)8(分五、（本题满分8分）在极坐标系下交换积分的次序。

《高等数学》(下)2006-2007学年第二学期期中考试试卷

北京化工大学2006——2007学年第二学期《高等数学》（下）期中考试试卷班级：姓名：学号：分数：一、填空（每空3分，3×27=81分） 1．(,,)f x y z =的定义域。

2．设222(,,)33261f x y z x y z x y x y z =++++--+，则在点（1，1，1）处f f fx y z∂∂∂++∂∂∂= 。

3．设(,)z f x y =由方程222224100x y z x y z ++-+--=确定，则zx∂∂= 。

4．设22(,)f x y x y =+，22(,)x y x y Φ=-，则[](,),(,)f f x y x y Φ=。

5．设z f =，其中f 具有连续导数，e sin y u x =，e cos x v y =，函数z对于自变量x ，y 在（0，0）点处的全微分d z = 。

6．函数22u x y =-在点（1，1）处沿与x 轴正方向成角3πα=方向的方向导数为。

7．2u x y z =在点P (1，-1，2)处方向导数的最大值是。

8．曲线x t =，2y t =，3z t =在点（3，9，27）处的切线方程是。

9．曲面e 3zz x y -+=在点（2，1，0）处切平面方程。

10．设D ：2214x y ≤+≤，则()1222d Dxy σ+⎰⎰= 。

11．设D ：3x ≤，1y ≤，则()d Dx x y σ+⎰⎰= 。

12．二次积分d (,)d a xx f x y y ⎰⎰（其中0a >）交换积分顺序后的形式是。

13．二次积分220e 2e 2e 0e d (,)d d (,)d yyy f x y x y f x y x --+⎰⎰⎰⎰交换积分顺序后的形式是。

14．设Ω：22214x y z ++≤，则2d z v Ω⎰⎰⎰的值是。

15．设Ω：z ≤≤222()d f x y z v Ω++⎰⎰⎰化成球坐标系下的三次积分是。

高等数学（下册）（北航）参考答案

高等数学（下册）（北航）参考答案一、选择题（每题3分，共15分）1．平面0122=-++z y x 被柱面422=+y x 截得的区域面积是 ( ) （A ）4π （B ）π54 （C ）12π （D ）48π 解析平面与xoy 面夹角的余弦1cos 3γ=，故被柱面422=+y x 截得的区域面积是412cos ππγ=。

答案 (C) 2．设??≤+=1122)cos(y x dxdy xy I ，??≤+=12)cos(y x dxdy xy I ，??≤≤=1,13)cos(y x dxdy xy I ，则（）（A ）312I I I << （B ）321I I I << （C ）213I I I << （D ）132I I I << 解析当1,1x y ≤≤时，11xy -≤≤，所以()cos 0xy >。

观察积分区域的大小。

答案（A ）。

3．设函数),(y x f 连续, 则=?θθθθsin 204π0)d sin ,cos (d r r r rf ( ).（A ）y y x f x x ?--211010)d ,(d （B ）y y x f x x x-+2111)d ,(d（C ）x y x f y y y ?-2201)d ,(d （D ）x y x f y y y y-221)d ,(d答案 (D)4．设函数),(y x f 具有连续偏导数且12),1(+=y y f y ，若y y x f x x y x d ),(d )13(2+++是某二元函数的全微分，则),(y x f 可取的函数为（）（A ）12++y xy （B ）y xy +2 （C ）y y x ++23 （D ）y xy x ++23解析因为y y x f x x y x d ),(d )13(2+++是某二元函数的全微分，所以2(,)3x f x y x '=，从而()3(,)f x y x C y =+。

高等数学第二学期期中考试试卷及答案

卷号：（A ）（年月日）机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ；（B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ；（C ）．10101zy x =-=+；（D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a ϖϖ且,),(3π=∠b a ϖϖ则_______)()(=+⋅-b a b a ρϖϖϖ32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。

北师大版高二下期中考试数学试卷及答案(理科)-精选

高二下学期期中考试数学（理）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212xy+=上的一点P到焦点1F的距离等于1，则点P到另一个焦点2F的距离是（）A．1B．3C1D．12. 若方程22125x yk k-=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．(,2)-∞-B．(2,5)-C．[)(,2)5,-∞-+∞D．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12y x=±，则双曲线的离心率为（）A．5B C D．544. 设椭圆22221x ym n+=（0m>，0n>）的右焦点与抛物线28y x=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A.2211216x y+= B.2211612x y+= C.2214864x y+= D.2216448x y+=5. xy=与2xy=围成的封闭图形的面积为（）A.31B.41C.61D.216．函数32()32f x ax x=++，若4)1(=-'f，则a的值等于（）A．193B．163C．133D．1037. 曲线123+-=xxy在点（1,0）处的切线方程为（）A.1-=xy B.1+-=xy C. 22-=xy D. 22+-=xy8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D.89. dxx⎰421等于（）A.2ln2- B. 2ln2 C. 2ln- D. 2ln10. 设)(xf'是函数f(x)的导函数，=y)(xf'的图象如左下图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（) （的图象）A B C D11. 方程0333=--xx的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FCFBFA++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A ．9 B. 6 C. 4D. 3 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_________________________ 15．设点P 是双曲线x 2－23y =1上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是． 16. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程为______________________ .三、解答题（共70分） 17. 已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值 18. 若双曲线与椭圆1162522=+y x 有相同的焦点，与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程. 19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x 轴上的椭圆，过它的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．20. 已知a 为实数，()()2()4f x x x a =--。

北京市高二下学期期中考试数学试题(解析版)

一、单选题1．8，2的等差中项是（） A ．±5 B ．±4 C ．5 D ．4【答案】C【分析】利用等差中项的定义直接求解. 【详解】8，2的等差中项为. 8252+=故选：C2．已知，则的值为（）()xf x x e =+()0f 'A ．1 B ．2 C ． D ．e 1e +【答案】B【分析】根据导数计算公式与法则即可得结果．【详解】由，则，所以，()xf x x e =+()1x f x e '=+()0012f e =+='故选：B ．3．已知数列中，，是数列的前项和，则最大值时的值为（） {}n a 112n a n =-n S {}n a n n S n A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】首先表示出，再根据二次函数的性质计算可得； n S 【详解】解：因为，所以112n a n =-()()229112105252n n n n S n n +-==-+=--+所以当时取最大值，且； 5n =n S ()max 25n S =故选：B4．下列求导运算正确的是（） A ． B ． ()sin cos x x '=-1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．D ．()1x x a xa -'='=【答案】D【分析】利用常见函数的导数对选项分别求导即可. 【详解】对于A 选项，，A 选项错误；()sin cos x x '=对于B 选项，，B 选项错误； 211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于C 选项，，C 选项错误； ()ln x x a a a '=对于D 选项，D 选项正确．'=故选：D5．设等比数列{an }的前n 项和是Sn ，a 2＝﹣2，a 5＝﹣16，则S 6＝（） A ．﹣63 B ．63 C ．﹣31 D ．31【答案】A【解析】由已知结合等比数列的通项公式可求出公比和首项，结合等比数列的求和公式即可求出6S .【详解】解：设公比为，则，即，解得，所以， q 352a a q =3162q -=-2q =211a a q==-所以，()()661611263112a q S q---===---故选:A.6．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（） 1xy x =-()2,2A ． B ． C ． D ．2016128【答案】D【分析】利用导数求出所求切线的方程，进而可求得切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】令，则，， ()1x f x x =-()()211f x x '=--()21f '=-所以，曲线在点处的切线方程为，1xy x =-()2,240x y +-=与轴的交点为，与轴的交点为，故所求三角形的面积为．x ()4,0y ()0,421482⨯=故选：D ．【点睛】本题考查切线与坐标轴围成的三角形面积计算，解答的关键就是求出切线的方程，考查计算能力，属于基础题.7．在等差数列中，若，是方程的两根，则的前12项的和为（） {}n a 6a 7a 2320x x ++={}n a A ．12 B ．18C ．－18D ．－12【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，由等差数列性质及前项和公式计算673a a +=-n 即可得出结果.【详解】由，是方程的两根，利用韦达定理可得； 6a 7a 2320x x ++=673a a +=-则的前12项的和； {}n a ()12121112112122a a a a a a S =++⋅⋅⋅++=+由等差数列性质可得，即； 11267a a a a +=+()()12112676618S a a a a =+=+=-故选：C8．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（） A ．尺 B ．尺 C ．尺 D ．尺 11310529652973【答案】B【解析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列， {}n a {}n a 且，故公差， 1305,1a a ==15430129d -==--故， ()1114401051115292929a a ⎛⎫=+-⨯-=-= ⎪⎝⎭故选：B.9．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（） ()2sin f x x a x =+(,)-∞+∞a A ． B ．C ．D ．[2,2]-(2,)-+∞[2,)-+∞(1,1)-【答案】A【分析】由导数判断单调性求解【详解】，由题意恒成立，故 ()2cos f x a x '=+()0f x '≥2020a a -≥⎧⎨+≥⎩解得 22a -≤≤故选：A10．已知函数，下列结论中错误的是（） 2()(1)x f x x e =-A ．函数有零点()f xB ．函数有极大值，也有极小值 ()f xC ．函数既无最大值，也无最小值 ()f xD ．函数的图象与直线y =1有3个交点 ()f x 【答案】C【分析】由确定A 正确，结合导数判断BCD 选项的正确性. ()10f =【详解】，所以A 选项正确.()10f =，所以在区间上递增，在区间上()()()'11x f x x x e =+-()f x ()(),1,1,-∞-+∞()()'0,f x f x >()1,1-递减，()()'0,f x f x <所以当时，有极大值， =1x -()f x ()411f e-=>当时，有极小值，所以B 选项正确.1x =()f x ()10f =注意到恒成立，所以是的最小值，C 选项错误.()0f x ≥()10f =()f x 画出的大致图象如下图所示，由图可知函数的图象与直线y =1有3个交点，D 选项正确. ()f x ()f x 故选：C二、填空题11．函数在处有极值，则常数a ＝______． ()ln f x x ax =-1x =【答案】1【分析】根据极值定义可得，求导并将代入计算即可求得()10f '=1x =1a =【详解】由可得， ()ln f x x ax =-()1f x a x'=-又在处有极值，所以可得， ()f x 1x =()10f '=即，所以.经检验满足题意，()1011f a ='-=1a =故答案为：112．已知数列中，，，则__________． {}n a 11a =131n n a a +=-5a =【答案】41【分析】直接由递推式逐一计算得出即可得解．5a 【详解】由题意，，，． 21312a a =-=32315a a =-=433114a a =-=543141a a =-=故答案为：．41三、双空题13．已知函数的定义域为R ，的导函数，若函数无极值，则()f x ()f x ()()(2)f x x a x =--'()f x a =___________；若x =2是的极小值点，则a 的取值范围是___________. ()f x 【答案】22a <【分析】对进行分类讨论，结合函数的单调性确定正确结论.a 【详解】当时，在区间上递增，在区间上2a <()f x ()(),,2,a -∞+∞()()'0,f x f x >(),2a 递减.的极大值点为，极小值点为.()()'0,f x f x <()f x a 2当时，，在上递增，无极值.2a =()()2'20f x x =-≥()f x R 当时，在区间上递增，在区间上递2a >()f x ()(),2,,a -∞+∞()()'0,f x f x >()2,a ()()'0,f x f x <减.的极大值点为，极小值点为. ()f x 2a 故答案为：；22a <四、填空题14．已知数列满足：，，的前n 项和为，则______． {}n a n a n =11n n n b a a +={}n b n S 2021S =【答案】20212022【分析】利用裂项求和即可求得答案.【详解】由已知可得， 11111(1)1n n n b a a n n n n +===-++故 122334111111111112231n n n S a a a a a a a a n n +=++++=-+-++-+ . 1111n n n =-=++ 202120212022S =故答案为:2021202215．已知函数其中.如果对于任意，，且，都有()2ln ,,23,,x x x a f x x x x a >⎧=⎨-+-≤⎩0a >1x 2x R ∈12x x <，则实数的取值范围是___________. ()()12f x f x <a 【答案】1[,1]e【分析】把题意翻译为函数在上单调递增，则两段函数分别递增，且在分界处右端点大于等()f x R 于左端点的函数值即可．【详解】解：对于任意，，且，都有成立，即函数在上单调递1x 2x R ∈12x x <12()()f x f x <()f x R 增，先考察函数，的单调性， 2()23g x x x =-+-x R ∈配方可得，2()(1)2g x x =---函数在上单调递增，在上单调递减，且（1），()g x (,1)-∞(1,)+∞()max g x g =2=-，1a ∴…以下考察函数，的图象，()ln h x x x =(0,)x ∈+∞则，令，解得．()ln 1h x x '=+()ln 10h x x '=+=1=x e 随着变化时，和的变化情况如下：x ()h x ()h x 'x 1(0,)e 1e1(,)e +∞ ()h x ' -0 +()h x 单调递减极小值单调递增即函数在上单调递减，在上单调递增，且．()h x 1(0,e1(,)e +∞11()()min h x h e e ==-对于任意，，且，都有成立，1x 2x R ∈12x x <12()()f x f x <，∴1a e…，即， 12e->-()()min max h x g x >的取值范围为．a ∴1[,1]e故答案为：．1[,1]e五、解答题 16．已知函数． 321()2313f x x x x =-++(1)求函数在点处的切线方程； ()f x =1x -(2)求函数在的最大值和最小值． ()f x []3,4-【答案】(1) 1183y x =+(2)最大值为，最小值为 7335-【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在的导数值，即切线斜率；代入直线的点斜()f x =1x -式方程即可；（2）利用导数判断出函数在上的单调性，求出极大值和极小值，再分别()f x []3,4-求出端点处的函数值比较即可得出其最大值和最小值．【详解】（1）易知，函数的定义域为； 321()2313f x x x x =-++x ∈R 所以，则切点为113(1)23133f -=---+=-131,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭又，()()2()4331f x x x x x '=-+=--则在点处的切线斜率， ()f x =1x -(1)8k f '=-=所以，切线方程为，整理可得 ()13813y x +=+1183y x =+即函数在点处的切线方程为. ()f x =1x -1183y x =+（2）由（1）可知，当时，，在上单调递减；()1,3x ∈()0f x '<()f x ()1,3或时，，在或上单调递增；()3,1x ∈-()3,4()0f x '>()f x ()3,1-()3,4函数在上的单调性列表如下：()f x []3,4-x[)3,1- 1()1,3 3(]3,4()f xA 极大值A 极小值A所以，的极大值为，极小值为；()f x ()12313713f =-++=()9299113f =-⨯++=又，； ()92991353f =--⨯-=--+()647216341334f =-⨯+⨯+=综上可得，函数在上的最大值为，最小值为 ()f x []3,4-7335-17．已知数列满足，，等差数列满足，. {}n a 11a =12n na a +={}nb 13b a =21b a =（1）求数列，的通项公式； {}n a {}n b （2）求数列的前n 项和. {}n n a b +【答案】（1），；（2） 12n n a -=73n b n =-2113212n n n --+【分析】（1）依题意为等比数列，由等比数列的通项公式计算可得；由，，求{}n a n a 13b a =21b a =出公差，进而得到；n b （2）求得，利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求1273n n n a b n -+=+-和．【详解】解：（1）由，， 11a =12n na a +=可得；12n n a -=设等差数列的公差为， {}n b d 由，， 134b a ==211b a ==可得， 213d b b =-=-则； 43(1)73n b n n =--=-（2），1273n n n a b n -+=+-可得数列的前项和为{}n n a b +n 1(124...2)(41...73)n n -++++++++-． 2121113(473)211222n n n n n n --=++-=-+-18．已知是等差数列，其前n 项和为，再从条件①条件②这两个条件中选择一个作{}n a n S 43a =-为已知，求：(1)数列的通项公式；{}n a (2)的最小值，并求取得最小值时n 的值． n S n S 条件①：；条件②：．424S =-132a a =【答案】(1)条件①：；条件②：211,N n a n n +=-∈315,N n a n n +=-∈(2)条件①：时，最小值为；条件②：或时，最小值为. 5n =525S =-4n =5n =4530S S ==-【分析】（1）根据等差数列定义，设出公差利用所选条件分别解得和，即可写出数列的通项d 1a d 公式；（2）根据通项公式可得前n 项和为的表达式，再根据二次函数性质即可求得最小值. n S 【详解】（1）若选择条件①：设等差数列的公差为，由可得； {}n a d 43a =-133a d +=-又，得，即； 424S =-1434242a d ⨯+=-12312a d +=-解得，19,2a d =-=所以；()()11921211n a a n d n n =+-=-+-=-即数列的通项公式为.{}n a 211,N n a n n +=-∈若选择条件②：设等差数列的公差为，由可得； {}n a d 43a =-133a d +=-又，即，得； 132a a =()1122a a d =+140a d +=解得；112,3a d =-=所以；()()151313121n a a n d n n =-=+--=-+即数列的通项公式为.{}n a 315,N n a n n +=-∈（2）若选择条件①：由可得，； 211,N n a n n +=-∈()22(1)92105252n n n S n n n n -=-+⨯=-=--根据二次函数的性质可得当时，为最小； 5n =25n S =-即时，取最小值，且最小值为. 5n =n S 525S =-若选择条件②：由可得，； 315,N n a n n +=-∈()22(1)339243123922228n S n n n n n n -⎛⎫=-+⨯=-=--⎪⎝⎭根据二次函数的性质可得当或时，为最小； 4n =5n =30n S =-即或时，取最小值，且最小值为. 4n =5n =n S 4530S S ==-19．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大【答案】(1)因为时，所以；(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：； 222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-，令得函数在(3,4)上递增，/2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+-----/()0f x =4x =在(4,6)上递减，所以当时函数取得最大值答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.【详解】(1)利用销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．把x=5,y=11代入,解关于a 的方程即可求a..(2)在（1）的基础上，列出利润关于x 的函数关系式，利润=销售量（销售单价－成品单价），然后利用导数求其最值即可. ⨯20．已知函数.()()ln R f x x ax a =+∈(1)若曲线在x ＝1处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行，求a 的值； ()y f x =(2)求函数的单调区间；()f x (3)若存在，使得，求a 的取值范围． 0x ()00f x >【答案】(1) 1a =(2)见解析(3) 1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由导数的几何意义结合题意知，，解方程即可得出答案； ()12f '=（2）对求导，讨论和时，即可得出函数的单调区间； ()f x 0a ≥a<0()f x （3）由（2）知，当时，，则存在，使得，当时，0a ≥()10f a =≥0x ()00f x >a<0，解不等式即可求出a 的取值范围． ()max 11ln 10f x f a a ⎛⎫⎛⎫=-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）直线2x －y ＋3＝0的斜率为，2k =因为，所以由导数的几何意义知，， ()1f x a x'=+()12f '=所以，解得：.12a +=1a =（2）的定义域为，()()ln R f x x ax a =+∈()0,∞+， ()11ax f x a x x'+=+=当时，，则在上单调递增，0a ≥()0f x ¢>()f x ()0,∞+当时，令，解得：， a<0()=0f x '10x a=->令，得；令，得，()0f x ¢>10x a <<-()0f x '<1x a >-所以在上单调递增，在上单调递减. ()f x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭综上所述，当时，则单调递增区间为；0a ≥()f x ()0,∞+当时，单调递增区间为，单调递减区间为. a<0()f x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（3）若存在，使得，转化为证明，0x ()00f x >()max 0f x >由（2）知，当时，则在上单调递增，而， 0a ≥()f x ()0,∞+()10f a =≥则存在，使得，0x ()00f x >当时，在上单调递增，在上单调递减. a<0()f x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以， ()max 11ln 10f x f a a ⎛⎫⎛⎫=-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：，因为，所以. 1ea >-a<010e a -<<a 的取值范围为. 1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭21．设数列的前项和为．若对，总，使得，则称数列是“数{}n a n n S *n N ∀∈*k N ∃∈n k S a ={}n a G 列”．（1）若数列是等差数列，其首项，公差．证明：数列是“数列”；{}n a 11a =1d =-{}n a G （2）若数列的前项和，判断数列是否为“数列”，并说明理由；{}n a n ()*3n n S n N =∈{}n a G （3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成{}n a G {}n b {}n c ()*n n n a b c n N =+∈立．【答案】（1）证明见解析；（2）数列不是“数列”；理由见解析；（3）证明见解析．{}n a G 【分析】（1）根据数列的定义证明即可；G （2）由，可以判断数列不是“数列”； 13,123,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩{}n a G （3）若，（为常数），可与判断数列是“数列”，继而可以证明成n n d b =b {}n d G ()*n n n a b c n N =+∈立．【详解】解：（1）证明：由题意，1(1)(1)2n a n n =+--=-， (1)(1)2n n n S n -=+-若， (1)(1)22n k n n S n a k -=+-==-则． (1)22n n k n -=+-所以，存在，使得．*k ∈N n k S a =所以，数列是“数列”．{}n a G （2）首先，113a S ==当时，，2n ≥1123n n n n a S S --=-=⨯所以 13,123,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩当时，，得因此数列不是“数列”．2n =1923k -=⨯*k N ∉{}n a G （3）若，（为常数），n n d b =b 则数列的前项和是数列中的第项，因此数列是“数列”． {}n d n (1)2n n n S b +={}n d ()12n n +{}n d G对任意的等差数列，，（为公差）， {}n a ()11n a a n d +-=d 设，， 1n b na =()1(1)n c d a n =--则，而数列和都是“数列”． n n n a b c =+{}n b {}n c G。

数学高二下期中(含答案解析)(1)

一、选择题1．(0分)[ID ：13599]已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，68,77AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =，13CE CB =，则向量AD 与AE 的关系是（） A ．2AD AE = B ．12AD AE =C ．AD AE ⊥D ．AD 与AE 成60︒夹角2．(0分)[ID ：13576]若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A ．2B ．32C ．1D ．123．(0分)[ID ：13550]函数()()sin f x A x ωϕ=+，（其中0A >， 0>ω， 2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（）A ．()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭4．(0分)[ID ：13625]若cos(π4−α)=35，则sin2α=（） A ．725B ．15C ．−15D ．−7255．(0分)[ID ：13621]已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（）． A ．79-B ．29-C ．29D ．796．(0分)[ID ：13615]已知向量(,2),(2,1)a m b ==-，且a b ⊥，则2()a b a a b -⋅+等于（） A ．53-B ．1C ．2D ．547．(0分)[ID ：13591]在ABC ∆中，已知向量AB 与AC 满足()AB AC BC ABAC+⊥且1•2AB AC ABAC=，则ABC ∆是( ) A ．三边均不相同的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．(0分)[ID ：13590]在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+= A ．2 B ．2- C ．12 D ．12-9．(0分)[ID ：13589]已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（）.A ．13B ．15C ．19D ．2110．(0分)[ID ：13588]在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形11．(0分)[ID ：13562]函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动12π个单位，得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（） A ．12πB ．4πC ．3π D ．512π 12．(0分)[ID ：13548]若向量a ，b 满足同3a =，2b =，()a ab ⊥-，则a 与b 的夹角为（） A ．2π B ．23π C ．6π D ．56π 13．(0分)[ID ：13546]将函数()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x （）A ．为奇函数，在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．为偶函数，在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 C ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称14．(0分)[ID ：13542]以下命题①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底； ③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅．其中正确的命题有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个15．(0分)[ID ：13534]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2EC AE =，则向量EM =（）A ．1123AC AB + B ．1162AC AB + C ．1126AC AB + D ．1263AC AB + 二、填空题16．(0分)[ID ：13728]已知向量(1,)a k =，(9,6)b k =-，若//a b ，则k =_________． 17．(0分)[ID ：13726]函数()sin 52sin x f x x+=-的最大值为__________.18．(0分)[ID ：13722]已知函数f(x)=−4cos(ωx+φ)e |x |(ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，则ωφ=__________．19．(0分)[ID ：13714]已知||2,||3a b ==，且a 与b 的夹角是60︒，则|32|a b -=______20．(0分)[ID ：13712]向量(3,4)a =在向量(1,1)b =- 方向上的投影为________.21．(0分)[ID ：13703]已知ΔABC 是边长为√3的正三角形，PQ 为ΔABC 外接圆O 的一条直径，M 为ΔABC 边上的动点，则PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值是______. 22．(0分)[ID ：13696]已知点12(1,1),(7,4)P P ，点P 分向量12PP 的比是12，则向量1PP 在向量(1,1)a =-方向上的投影是______________23．(0分)[ID ：13667]在ABC ∆中，sin 2cos sin A B C =，则ABC ∆为_____三角形． 24．(0分)[ID ：13654]设向量,,a b c 均为单位向量，且2a b c +=，则向量,a b 的夹角等于____________．25．(0分)[ID ：13634]已知向量()2,4a =，向量a 在向量b 上的投影为3，且33a b -=，则b =_____．三、解答题26．(0分)[ID ：13797]已知向量OA ，OB 的夹角是α，1OA =，2OB =.又有向量()1OP t OA =-，向量OQ tOB =，其中01t ≤≤.（1）求PQ （用含有t ，α的表达式）（2）若PQ 在t t =0处取得最小值，当0105t <<，求角α的范围. 27．(0分)[ID ：13791]已知点A （0，2），B （4，4），12OM t OA t AB =+；（1）若点M 在第二或第三象限，且12t =，求2t 取值范围；（2）若14t cos θ=，2t sin θ=，R θ∈，求OM 在AB 方向上投影的取值范围；（3）若21t a =，求当OM AB ⊥，且△ABM 的面积为12时，a 和2t 的值.28．(0分)[ID ：13766]已知O 为坐标原点，设()()()1,1,3,0,3,5OA OB OC === （1）求ABC ∆的面积S ；（2）对向量()()1122,,,a x y b x y ==，定义()12211,2f a b x y x y =-，求(),f AB AC ，并说明(),f AB AC 与S 的关系：（3）请归纳(),f AB AC 的几何意义.29．(0分)[ID ：13764]在Rt ABC ∆中,090C ∠=,边AC BC 、的中点分别是E D 、,若,,2CA a CB b a b ====.（1）分别用a b 、表示AD →和BE →；（2）求AD BE 、所成钝角的大小(结果用反三角函数表示). 30．(0分)[ID ：13751]已知(sin ,1)a θ=，(1,cos )b θ=，[,]44ππθ∈-.（1）求2||a b +的最大值；（2）设a 与b 的夹角为ϕ，求ϕ的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．A 3．A 4．D 5．A 6．B 7．D 8．D 9．A 10．A 11．B 12．C 13．D 14．B 15．B二、填空题16．【解析】试题分析：由于所以解得考点：向量共线坐标表示的应用17．6【解析】【分析】利用分离常数法分离常数然后结合不等式的性质求得最大值【详解】∵所以所以∴时故答案为：6【点睛】本题考查求函数的最值考查正弦函数的性质解题方法是利用分离常数法分离常数然后结合不等式的18．2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=219．6【解析】【分析】由计算【详解】∴＝6故答案为：6【点睛】本题考查向量的模的运算解题时求向量的模一般都是转化为向量的数量积即由转化20．【解析】【分析】根据向量在向量方向上的投影公式计算即可【详解】依题意得因此向量在向量方向上的投影为【点睛】本题主要考查了向量在向量方向上的投影及其计算属于中档题21．34【解析】【分析】利用向量运算化简PM⋅MQ再求解即可【详解】由题易得OP=OQ=1故PM⋅MQ=PO+OM⋅MO+OQ=PO⋅MO+PO⋅OQ+OM⋅MO+OM⋅OQ=OM⋅OQ+OP+PO⋅O 22．【解析】【分析】根据定比分点公式求出点的坐标利用投影公式求出投影即可【详解】由题：点分向量的比是即设即即解得：所以向量在向量方向上的投影是故答案为：【点睛】此题考查求定比分点坐标求向量投影熟练掌握公23．等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出然后利用两角差的正弦公式得出由此可判断出的形状【详解】因为所以即所以即所以因为所以因此是等腰三角形故答案为等腰【点睛】本题考查利用内角和定理诱导公式24．【解析】【分析】由平面向量模的运算可得＝0即可得解【详解】解：由题意得即又故＝0故的夹角为90°【点睛】本题考查了平面向量模及平面向量数量积的运算属基础题25．【解析】【分析】根据条件即可得出然后对两边平方可得出即可求解得到答案【详解】根据条件：且；则；整理得解得或（舍去）故答案为7【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式向量投影的计算公式向量坐标三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】先求出=6,8AD （），=3,4AE （），所以2AD AE =，即得解. 【详解】1141()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+45168168,,(6,8)577577⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111215168268(),,3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3,4)=，所以2AD AE =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．A解析：A 【解析】【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ．【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．3．A解析：A 【解析】由图象可知A=1，周期T π=，所以2ω=，又过点(,0)6π-，所以3πϕ=，即()sin(2)3f x x π=+，每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()sin()3f x x π=+，故选A.4．D解析：D 【解析】试题分析：cos[2(π4−α)]=2cos 2(π4−α)−1=2×(35)2−1=−725，且cos[2(π4−α)]=cos[π2−2α]=sin2α，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．5．A解析：A 【解析】【详解】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A. 【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.6．B解析：B 【解析】因为a b ⊥，所以2m-2=0,解得m=1,所以()2a ba a b-⋅+515==，选B. 7．D解析：D 【解析】【分析】AB AB和AC AC是两个单位向量，设AB AC ABAC+＝AD ，则AD 是BAC ∠的平分线，由此可得AD BC ⊥，从而确定三角形是等腰三角形，再由1•2AB AC ABAC=，求出BAC ∠即可判断．【详解】设AB AC ABAC+＝AD ，∵AB AB和AC AC是两个单位向量，∴AD 是BAC ∠的平分线，由题意AD BC ⊥，∴ABC ∆是等腰三角形，•AB AC ABAC111cos 2BAC ⨯⨯∠=，即1cos 2BAC ∠=，∴3BAC π∠=， ∴ABC ∆是等边三角形，故选：D ．【点睛】本题考查向量的数量积，考查向量加法的平行四边形法则．解题关键是由向量垢平行四边形法则得出设AB AC ABAC+＝AD ，则AD 是BAC ∠的平分线．8．D解析：D 【解析】【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD ，BM ，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果. 【详解】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t R ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-，因为M 是线段AD 的中点，所以：()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++，又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，12t μ=，所以12λμ+=-. 本题选择D 选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．9．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=（，，即14)P （，，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．10．A解析：A 【解析】【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】因为2cos22A b c c+=，所以1cosA 22b cc++=,() ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2π==，,选A.【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.11．B解析：B 【解析】函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动12π个单位得到：()2sin(3)4f x x πϕ=+-图象关于y 轴对称，即函数为偶函数，故424k k πππϕπϕπ-=-⇒=-，所以ϕ的最小值为4π 12．C 解析：C 【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由向量垂直的充分必要条件有：()20a a b a a b ⋅-=-⋅=，即30a b -⋅=，据此可得：3a b ⋅=，设a 与b 的夹角θ，则：3cos 32a b a bθ⋅===⨯⨯,故6πθ=,即a 与b 的夹角为6π. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．D解析：D 【解析】()cos 2()cos 284g x x x ππ⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦，值域为[]1,1-，为偶函数，选项A 排除；周期22T ππ==，令222,k x k k Z πππ-<<∈，,2k x k k Z πππ-<<∈，故单调增区间为(,)()2k k k Z πππ-∈，令222,k x k k Z πππ<<+∈，,2k x k k Z πππ<<+∈，单调减区间为(,)()2k k k Z πππ+∈，函数()g x 在3(,)88ππ-上无单调性，选项B 排除；令2,2x k k Z ππ=+∈，,24k x k Z =+∈ππ，所以对称中心为(,0)24k ππ+，当31,2484k k πππ+==，不符合，排除C 选项；令2,,2k x k k Z x k Z ππ=∈=∈，，当1,2k x π==是函数()g x 的一条对称轴，选项D 正确。

北京高二高中数学期中考试带答案解析

北京高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.点，在平面上的射影的坐标是（）．A．B．C．D．2.已知全集，集合，，则等于（）．A．B．C．D．3.（）．A．B．C．D．4.已知两条相交直线、，平面，则与的位置关系是（）．A．平面B．平面C．平面D．与平面相交，或平面5.已知命题，，则是（）．A．，B．，C．，D．，6.“”是“角是第一象限的角”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7.已知向量，，则等于（）．A．B．C．D．8.命题：，；命题：向量，不平行，则下列命题中为真命题的是（）．A．B．C．D．9.已知向量，，若向量与向量互相垂直，则实数的值是（）．A．B．C．D．10.在四面体中，点为棱的中点，设，，那么向量用基底可表示为（）．A．B．C．D．11.已知，，则的值为（）．A．B．C．D．12.已知，，，则向量与的夹角为（）．A．B．C．D．13.设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：①；②；③；④其中为真命题的是（）．A．①④B．①③C．②③D．②④14.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）．A．B．C．D．15.已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与．给出下列结论：①对于任意给定的点，存在点，使得；②对于任意给定的点，存在点，使得；③对于任意给定的点，存在点，使得；④对于任意给定的点，存在点，使得．其中正确结论的个数是（）．A．个B．个C．个D．个二、填空题1.已知向量，，，则向量的坐标为___________．2.已知向量，，若则实数___________．3.空间不共线的四点，可能确定___________个平面．4.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为___________．5.下图的正方体平面展开图，在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与垂直．其中正确结论的是___________．6.一个棱长为的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是___________．7.高三年级位学生参加期末考试，某班位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是__________．②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是__________．三、解答题1.如图，在四棱锥中，平面平面，，，、分别是、的中点．求证：（Ⅰ）直线平面．（Ⅱ）平面平面．2.已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期．（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值．3.在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点．（Ⅰ）求证：．（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是．若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．4.已知数列具有性质：对任意，，与两数至少有一个属于．（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由．（Ⅱ）求证：．（Ⅲ）求证：．北京高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.点，在平面上的射影的坐标是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】点在平面上的射影和点的坐标相同，坐标相同，坐标为，∴坐标为，故选．2.已知全集，集合，，则等于（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，∴，∴．故选．3.（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】．故选．4.已知两条相交直线、，平面，则与的位置关系是（）．A．平面B．平面C．平面D．与平面相交，或平面【答案】D【解析】根据空间中直线与平面的位置关系的可得：与平面相交或平面．故选．5.已知命题，，则是（）．A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】命题是全称命题，其否定为特称命题，所以“，”．故选．点睛：命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.6.“”是“角是第一象限的角”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若“角是第一象限角”，则“”，“若”，则“角是第一象限角或第三象限角”，所以“”是“角是第一象限角”的必要不充分条件．故选．点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7.已知向量，，则等于（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，，，∴．故选．8.命题：，；命题：向量，不平行，则下列命题中为真命题的是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】∵所以是真命题，又是假命题，所以是真命题．故选．点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.9.已知向量，，若向量与向量互相垂直，则实数的值是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，，∴，，∵与互相垂直，∴，解得：．故选．10.在四面体中，点为棱的中点，设，，那么向量用基底可表示为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】∴．故选．11.已知，，则的值为（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，，∴，∴．故选．12.已知，，，则向量与的夹角为（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，，，∴，，∴，∴与的夹角为，故选．13.设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：①；②；③；④其中为真命题的是（）．A．①④B．①③C．②③D．②④【答案】B【解析】①利用平面与平面平行的性质定理可知：，，则，故①正确；②，，则与可能平行，也可能相交，故②错误；③，且，因为，所以，所以，故③正确；④，或，故④错误．综上所述，真命题是：①③．故选．14.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】三棱锥如图所示，，，，且，∴底面积，∴．故选．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．15.已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与．给出下列结论：①对于任意给定的点，存在点，使得；②对于任意给定的点，存在点，使得；③对于任意给定的点，存在点，使得；④对于任意给定的点，存在点，使得．其中正确结论的个数是（）．A．个B．个C．个D．个【答案】C【解析】①只有平面，即平面时，才能满足对于任意，给定的点，存在点，使得，∵过点与平面垂直的直线只有一条，而，故①错误．②当点与重合时，且，∴平面，∵对于任意给定的点，存在点，使得，故②正确．③只有垂直于在平面中的射影时，，故③正确．④只有平面时，④才正确，因为过点的平面的垂线与无交点，故④错误．综上，正确的结论是②③，故选．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.二、填空题1.已知向量，，，则向量的坐标为___________．【答案】【解析】∵，，，∴．2.已知向量，，若则实数___________．【答案】【解析】∵，，，∴，，．3.空间不共线的四点，可能确定___________个平面．【答案】或【解析】空间四点中，任意三点都不共线时，可确定个平面，当四点共面时，可确定个平面，故空间不共线四点，可确定个或个平面．4.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为___________．【答案】【解析】∵底面面积是，∴底面半径是，又∵圆锥侧面积为，，∴，且圆锥高，∴圆锥的体积为：．5.下图的正方体平面展开图，在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与垂直．其中正确结论的是___________．【答案】④【解析】将正方体还原，如图所示：，故①错；，故②错；和所成角为，故③错；，故④正确．综上，正确结论是④．6.一个棱长为的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是___________．【答案】【解析】三视图对应的几何体如图所示，截面是一个等腰三角形，腰长为，底为，所以截面的面积为：．点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．7.高三年级位学生参加期末考试，某班位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是__________．②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是__________．【答案】乙数学【解析】①观察散点图可知，甲、乙两人中，语文成绩名次比总成绩名次靠前的学生是乙．②观察散点图，作出对角线，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙的成绩名次靠前的科目是数学．三、解答题1.如图，在四棱锥中，平面平面，，，、分别是、的中点．求证：（Ⅰ）直线平面．（Ⅱ）平面平面．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得直线平面．（2）由等边三角形性质得，再根据面面垂直性质定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得结论试题解析：（Ⅰ）证明：∵、分别是、的中点，∴，又平面，平面，∴平面．（Ⅱ）连接，∵，，∴是等边三角形，∴，又平面平面且平面平面，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面．2.已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期．（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值．【答案】（1）（2）最大值1，最小值0【解析】（1）先利用二倍角正余弦公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质求最小正周期．（2）先根据，得正弦函数取值范围，再求函数最值试题解析：（Ⅰ）．∴的最小正周期．（Ⅱ）∵，∴，∴，∴，即：．当且仅当时，取最小值，．当且仅当，即时，取最大值，．点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．3.在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点．（Ⅰ）求证：．（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是．若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）（3）点为棱的中点．【解析】（1）由等腰三角形性质得，再由平面，得，从而根据线面垂直判定定理得平面，即得．（2）利用空间向量研究二面角：先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求出两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系求二面角的余弦值．（3）先设N坐标，根据向量数量积求直线方向向量与平面法向量夹角，再根据线面角与向量夹角关系列方程，解出N坐标，最后确定N位置试题解析：（Ⅰ）证明：∵，是的中点，∴，又平面，∴，∵，∴平面，∴．（Ⅱ）以为原点，分别以，为，轴，如图建立坐标系．则：，，，，，，，，，设平面的一个法向量，则：，取，，，所以，设平面的一个法向量，则：取，，，所以，．故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．（Ⅲ）在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是，设且，，∴，∴，，，∴，若直线与平面所成的的角为，则：，解得，所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点．点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.4.已知数列具有性质：对任意，，与两数至少有一个属于．（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由．（Ⅱ）求证：．（Ⅲ）求证：．【答案】（1）具有性质（2）见解析（3）见解析【解析】（1）直接根据定义进行判断：由于与均不属于数集，所以不具有性质，而肯定时需全面检验：由于，，，，，，，，，，都属于数集，所以具有性质．（2）取极端位置的数：与中至少有一个属于，而，所以，即证．（3）从数列单调性上寻找条件：，所以，，，，，代入即得结论试题解析：（Ⅰ）由于与均不属于数集，所以该数集不具有性质，由于，，，，，，，，，，都属于数集，所以该数集具有性质．（Ⅱ）因为具有性质，所以与中至少有一个属于，由于，所以，故，从而，所以．（Ⅲ）因为，所以，故．由具有性质可知，又因为，所以，，，，，从而，所以．。

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北京高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知向量，，若，则（）．A．B．C．D．2.如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（）．A．，B．，C．，D．，3.已知直线与直线垂直，那么的值是（）．A．B．C．D．4.设是直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）．A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则5.如图，在正方体中，分别是、的中点，则图中阴影部分在平面上的投影为图中的（）A．B．C．D．6.若，则下列结论不正确的是（）．A．B．C．D．7.中，已知点为边上一点，若，，则（）．A．B．C．D．8.在中，已知，，，那么角等于（）．A．B．C．D．9.不等式组表示面积为的直角三角形区域，则的值为（）．A．B．C．D．10.设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）．A．或B．C．D．或11.如图，四边形中，，，，将四边形沿对角线折成锥，使平面平面，则下列结论正确的是（）．A．B．C．与平面所成角的角为D．四面体的体积为12.现向一个半径为的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器液面高度随时间的函数关系的是（）．A．B．C．D．二、填空题1.在中，已知，，，则__________．2.某几何体的三视图如图所示，它的体积为__________．3.已知球的表面积为，球面上有、、三点．如果，，则球心到平面的距离为__________．4.如图，四面体的每条棱长都等于，点，分别为棱，的中点，则__________；__________．5.已知正方形的边长为，点在线段边上运动（包含线段端点），则的值为__________；的取值范围为__________．6.正方形中，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与．则下列结论中正确的结论是__________．（写出所有你认为正确的序号）①对于任意给定的点，存在点，使得．②对于任意给定的点，存在点，使得；③对于任意给定的点，存在点，使得；④对于任意给定的点，存在点，使得．三、解答题1.如图，在三棱锥中，，、分别是、的中点，且平面．（1）求证：平面．（2）求证：平面平面．2.若向量，，，求，以及的值．3.如图，在直三棱柱中，，，点是的中点．①求证：．②求点到平面的距离．③求二面角的余弦值的大小．4.如图，经过点作两条互相垂直的直线和，直线交轴正半轴于点，直线交轴正半轴于点．（1）如果，求点的坐标．（2）试问是否总存在经过，，，四点的圆？如果存在，求出半径最小的圆的方程；如果不存在，请说明理由．5.在四棱锥中，，，，，，，且平面．（1）设平面平面，求证：．（2）求证：．（3）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．6.如图，在等腰直角中，，点在线段上．（1）若，求的长；（2）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值．北京高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知向量，，若，则（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，，故选A.2.如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（）．A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】直线是许多点的集合，题目中可记作，，故选D．3.已知直线与直线垂直，那么的值是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】由两条直线垂直可得，解得，故选C．4.设是直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）．A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】B【解析】A项错误，平面与可能相交；C项错误，直线可能与平面相交或平行；D项错误，直线可能在平面内；故选B．点睛：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，面面垂直的判定和性质，考查空间想象能力，属于中档题和易错题；面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视，面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直与交线而盲目套用造成失误.5.如图，在正方体中，分别是、的中点，则图中阴影部分在平面上的投影为图中的（）A．B．C．D．【答案】A【解析】点在平面上的投影在中点处，点投影在处，由投影可判断图正确，故选B.6.若，则下列结论不正确的是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】略7.中，已知点为边上一点，若，，则（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】由又则; ,所以；【考点】向量运算的几何意义。

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北京高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若，则“”是“”的（）.A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2.抛物线的焦点坐标为( ▲ )A．B．C．D．3.命题“若，则”的逆命题是（）.A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值为（）.A．B．C．D．5.命题，，命题，使得，则下列命题中为真命题的是（）. A．B．C．D．6.“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7.下列命题: ①；②；③④“”的充要条件是“,或”. 中,其中正确命题的个数是( )A．0B．1C．2D．38.已知正方形的四个顶点分别为，，，，点，分别在线段，上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（）.A．B．C．D．二、填空题1.命题“若，则过原点”的否命题是___________.2.椭圆的离心率是___________.3.已知点，分别为双曲线的焦点和虚轴端点，若线段的中点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为___________.4.已知为抛物线上一点，为抛物线焦点，过点作准线的垂线，垂足为.若，点的横坐标为，则___________.5.某单位名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按编号，并按编号顺序平均分为组（号，号，，号），若第组抽出的号码为，则第组抽出的号码应是__________，若用分层抽样方法，则岁以下年龄段应抽取__________人.6.定义：如果对于实数，使得命题“曲线，点到直线的距离”为真命题，就把满足条件的的最小值对称为曲线到直线的距离.已知曲线到直线的距离等于曲线到直线的距离，则实数___________.三、解答题1.已知直线与、轴交于、两点.（Ⅰ）若点、分别是双曲线的虚轴、实轴的一个端点，试在平面上找两点、，使得双曲线上任意一点到、这两点距离差的绝对值是定值.（Ⅱ）若以原点为圆心的圆截直线所得弦长是，求圆的方程以及这条弦的中点.2.如图是一段圆锥曲线，曲线与两个坐标轴的交点分别是，，.（Ⅰ）若该曲线表示一个椭圆，设直线过点且斜率是，求直线与这个椭圆的公共点的坐标.（Ⅱ）若该曲线表示一段抛物线，求该抛物线的方程.3.已知椭圆的右焦点为，离心率为，设直线的斜率是，且与椭圆交于，两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程.（Ⅱ）若直线在轴上的截距是，求实数的取值范围.（Ⅲ）以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积.4.已知曲线，直线（其中）与曲线相交于、两点.（Ⅰ）若，试判断曲线的形状.（Ⅱ）若，以线段、为邻边作平行四边形，其中顶点在曲线上，为坐标原点，求的取值范围.5.已知椭圆（是大于的常数）的左、右顶点分别为、，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线分别交于、两点（设直线的斜率为正数）.（Ⅰ）设直线、的斜率分别为，，求证为定值.（Ⅱ）求线段的长度的最小值.（Ⅲ）判断“”是“存在点，使得是等边三角形”的什么条件？（直接写出结果）北京高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.若，则“”是“”的（）.A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，，所以，或；反之，时，一定可以得到，故“”是“”的必要而不充分条件，选B.【考点】充要条件2.抛物线的焦点坐标为( ▲ )A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线是标准方程，开口向右，焦点在x轴正半轴上，2p=4,p=2,所以焦点坐标是(1,0).故选D3.命题“若，则”的逆命题是（）.A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】命题若“”则“”的逆命题是“”则“”，所以“若，则”的逆否命题是：“若，则”，本题选择C选项.4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值为（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】根据框图的循环结构，依次：，；，；，；跳出循环，∴输出结果，本题选择A选项.点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．5.命题，，命题，使得，则下列命题中为真命题的是（）. A．B．C．D．【答案】C【解析】，，令，，∴是真命题，，，∵，∴，∴是假命题，∴是真命题．本题选择C选项.6.“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程表示双曲线，则，解得或，故“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件，故选A.【考点】1.双曲线的方程；2.充分必要条件7.下列命题: ①； ②； ③ ④“”的充要条件是“,或”. 中,其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】C【解析】解：因为①；错误 ②；成立。

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北京高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为（）A．B．C．D．2.设椭圆的两个焦点分别为作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．3.参数方程表示的曲线是（）A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆4.椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．5.如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（）A．B．C．D．6.已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦的中点到准线的距离为（）A．B．C．D．7.为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为（）A．B．C．D．8.已知抛物线与圆有且只有一个公共点，则（）A．B．C．D．二、填空题1.抛物线的焦点坐标为2.向量若垂直，则实数=3.点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为4.点是椭圆上的一点，是焦点，且，则的面积为5.已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线的右支，且，则此双曲线的离心率的取值范围为6.一个圆柱形容器里装有水，放在水平地面上，现将该容器倾斜，这时水面是一个椭圆面（如图），当圆柱的母线与地面所成角时，椭圆的离心率是三、解答题1.如图，正四棱柱中，的中点，为下底面正方形的中心，（1）求证：；（2）求异面直线所成角的余弦值；（3）求二面角的余弦值.2.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，经过点，其焦点在轴上，（1）求抛物线的标准方程；（2）求过点，且与直线垂直的直线方程；（3）设过点的直线交抛物线于两点，，记和两点间的距离为，求关于的表达式.3.已知椭圆，抛物线，点是上的动点，过点作抛物线的切线，交椭圆于两点，（1）当的斜率是时，求；（2）设抛物线的切线方程为，当是锐角时，求的取值范围.北京高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】2.设椭圆的两个焦点分别为作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意可得，，所以是等腰直角三角形，则。

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北京高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.椭圆的离心率为（）2.双曲线的渐近线方程是（）3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心是坐标原点，离心率为，长轴长为12，那么椭圆方程为（）或或或4.直线：与圆：(θ为参数)的位置关系是（）相切相离直线过圆心相交但不过圆心5.抛物线上的一动点到直线距离的最小值是（）6.如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）i >10 i <10 i >20 i <207.已知点、，动点，则点的轨迹是（）圆椭圆双曲线抛物线8.若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（）2 19.双曲线离心率为2，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（）10.过双曲线的左焦点作圆的切线交双曲线右支于点，切点为，中点在第一象限，则以下正确的是（）与大小不定二、填空题1.抛物线的焦点坐标为_______________；准线方程为_______________.2.曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为_______________.3.右边程序框图的程序执行后输出的结果是_____________.4.若双曲线与双曲线共渐近线，且过点，则双曲线的方程为______________.5.已知曲线：，则“”是“曲线C表示焦点在轴上的椭圆”的______________条件.6.直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，由、分别向准线引垂线、，垂足分别为、，如果，，为的中点，则的值为______________.三、解答题1.（本题满分10分）已知抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，点，，均在抛物线上.（1）求抛物线方程及准线方程；（2）若点在上，求、的值.2.（本题满分12分）已知的两个顶点为，，周长为12.（1）求顶点的轨迹方程；（2）若直线与点的轨迹交于、两点，求的面积.3.（本题满分14分）设、分别是椭圆的左、右焦点，过且斜率为的直线与相交于、两点，且、、成等差数列.（1）若，求的值；（2）若，设点满足，求椭圆的方程.北京高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.椭圆的离心率为（）【答案】A【解析】略2.双曲线的渐近线方程是（）【答案】C【解析】略3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心是坐标原点，离心率为，长轴长为12，那么椭圆方程为（）或或或【答案】C【解析】略4.直线：与圆：(θ为参数)的位置关系是（）相切相离直线过圆心相交但不过圆心【答案】D【解析】略5.抛物线上的一动点到直线距离的最小值是（）【答案】A【解析】略6.如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）i >10 i <10 i >20 i <20【答案】A【解析】略7.已知点、，动点，则点的轨迹是（）圆椭圆双曲线抛物线【答案】D【解析】略8.若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（）2 1【答案】B【解析】略9.双曲线离心率为2，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（）【答案】A【解析】略10.过双曲线的左焦点作圆的切线交双曲线右支于点，切点为，中点在第一象限，则以下正确的是（）与大小不定【答案】C【解析】略二、填空题1.抛物线的焦点坐标为_______________；准线方程为_______________.【答案】（-2，0）x=2；【解析】略2.曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为_______________.【答案】【解析】略3.右边程序框图的程序执行后输出的结果是_____________.【答案】4【解析】略4.若双曲线与双曲线共渐近线，且过点，则双曲线的方程为______________.【答案】【解析】略5.已知曲线：，则“”是“曲线C表示焦点在轴上的椭圆”的______________条件.【答案】必要不充分【解析】略6.直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，由、分别向准线引垂线、，垂足分别为、，如果，，为的中点，则的值为______________.【答案】4【解析】略三、解答题1.（本题满分10分）已知抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，点，，均在抛物线上.（1）求抛物线方程及准线方程；（2）若点在上，求、的值.【答案】（1）；x=-1（2），【解析】略2.（本题满分12分）已知的两个顶点为，，周长为12.（1）求顶点的轨迹方程；（2）若直线与点的轨迹交于、两点，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】略3.（本题满分14分）设、分别是椭圆的左、右焦点，过且斜率为的直线与相交于、两点，且、、成等差数列.（1）若，求的值；（2）若，设点满足，求椭圆的方程.【答案】（1）；（2）【解析】略。