有理函数积分法精选

第21讲 理函数的不定积分

讲授内容

一、有理函数的不定积分

有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为

m

m m n

n n x x x x x Q x P x R βββααα++++++=

=-- 110110)()()(， (1) 其中n ，m 为非负整数，n ααα,,,10 与m βββ ,,10都是常数，且00≠α，00≠β． 若n m >，则称它为真分式；若n m ≤，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式． 根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)： 第一步 对分母()x Q 在实系数内作标准分解： ()()()

()

()t t t s q p x q x p x

a x a x x Q μ

μλλ

++++--=21

12

11

2

1 ， （2）

其中()t i j i ,,2,1,1,0 ==μλβ均为自然数，而且

.,,2,1,04;221

1

t j q p m j j s

i t

j j i

=-=+∑∑==μλ

第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()k

a x -的因式，它所对应的部分分式是

()();22

1k

k a x A a x A a x A -++-+- 对每个形如()

k

q px x ++2的因式，它所对应的部分分式是

()

()

.2

2

22

2211k

k

k q

px x

C x B q

px x C x B q px x C x B ++++

+++++

+++

把所有部分分式加起来，使之等于()x R ．(至此，部分分式中的常数系数i i i C B A ,,尚为待定的.)

第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()x Q ，而其分子亦应与原分子()x P 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．

例1 对()8

42510

9422

345234-+--+-++-=x x x x x x x x x x R 作部分分式分解 解 按上述步骤依次执行如下：()=x Q 84252

345-+--+x x x x x ()()()

.12222

+-+-=x x x x

部分分式分解的待定形式为()().1

22222210+-++++++-=x x C

Bx x A x A x A x R （3） 用()x Q 乘上式两边，得一恒等式

()()121094222

0234+-+≡-++-x x x A x x x x +()()()()()

121222

22

1+--++-+-x x x A x x x x A

+()()()2

22+-+x x C Bx （4）

然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++常数项

的系数，的系数，

的系数，的系数 .1082449483442433123,22102122103210410C A A A x C B A A x C B A A A x C B A A A x B A A 求出它的解：1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A ，并代人(3)式，这便完成了)(x R 的部分分式分解：

.1

1

)2(12221)(22+---+-++-=

x x x x x x x R 上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将x 的某些特定值(如0)(=x Q 的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用2=x 和2-=x 代人(4)式，立即求得1120-==A A 和

，于是（4）式简化成为

)1)(2)(2(161232134+-+-=-+-x x x x A x x x .)2)(2)((2+-++x x C Bx

为继续求得C B A ,,1，还可用x 的三个简单值代人上式，如令1,1,0-=x ，相应得到

⎪⎩⎪

⎨⎧=+-=++=+.83,233,421

11C B A C B A C A 由此易得1,1,21=-==C B A ．这就同样确定了所有待定系数． 一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：

⎰-I k a x dx )()

(； ()⎰<-+++II )04()

(2

2q p dx q px x M Lx k ． 对于()I ，已知()()

⎪⎩⎪

⎨

⎧>+--=+-=--⎰.1,11,1,ln )(1

k C a x k k C a x a x dx k k 对于()II ，只要作适当换元(令2

p

x t +=)，便化为

()

⎰⎰++=+++dt r t N

Lt dx q px x M Lx k

k 222)(⎰⎰+++=,)()(2222k k r t dt N dt r t t L （5） 其中.2

,422

L p

M N p q r -=-=． 当1=k 时，（5）式右边两个不定积分分别为

⎰++=+C r t dt r t t )ln(212

222， .arctan 122C r t r r

t dt +=+⎰ （6） 当2≥k 时，（5）式右边第一个不定积分为

C r t k dt r t t k k

++-=+⎰-12222)

)(1(21

)(. 对于第二个不定积分，记 ,)(122⎰-+=

k k r t dt

I 可用分部积分法导出递推公式如下：

dt r t t r t r I k k ⎰+-+=)()(1222222⎰+-=-dt r t t r I r k k )(11222

212

⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=

--122212)(1)1(211k k r t td k r I r .)()1(2111122212⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+-+=---k k k I r t t

k r I r 经整理得到.)

1(23

2))(1(212

1222----++-=

k k k I k r k r t k r t I （7） 重复使用递推公式(7)，最终归为计算1I ，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令