相互独立事件
事件的相互独立性课件
【思路探究】 利用相互独立事件的定义判断． 【自主解答】 (1)“从甲组中选出 1 名男生”这一事件 是否发生，对“从乙组中选出 1 名女生”这一事件发生的概 率没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率 为58，若这一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生， 则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对 后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
2．判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的 角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是 否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互 独立事件．
相互独立事件发生的概率
面对 H7N9 流感病毒，各国医疗科研机构都在 研究疫苗，现有 A、B、C 三个独立的研究机构在一定的时期 内能研制出疫苗的概率分别是15、14、13.
事件的相互独立性
相互独立事件的概念与性质 【问题导思】 甲箱里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱里装有 2 个白球， 2 个黑球．从这两个箱子里分别摸出 1 个球，记事件 A＝“从 甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”． (1)事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率吗？ (2)试求 P(A)，P(B)，P(AB)． (3)P(B|A)与 P(B)相等吗？ (4)P(AB)与 P(A)P(B)相等吗？
法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜” 为对立事件，而红队都不获胜为事件 D E F ，且 P( D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1.
∴红队至少两人获胜的概率为 P2＝1－P1－P( D E F )＝1－0.35－0.1＝0.55.
1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至 多”问题可以考虑间接法．
高中数学选修2-3优质课件：事件的相互独立性
[解] 令事件 A，B，C 分别表示 A，B，C 三个独立的研究 机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件 A，B， C 相互独立，且 P(A)＝15，P(B)＝14，P(C)＝13.
(1)他们都研制出疫苗，即事件 ABC 发生，故 P(ABC)＝ P(A)P(B)·P(C)＝15×14×13＝610.
第三页，编辑于星期一：点 三十六分。
[类题通法] 判断事件是否相互独立的方法
(1)定义法：事件 A，B 相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B)． (2)利用性质：A 与 B 相互独立，则 A 与 B ，A 与 B，A 与 B 也都相互独立． (3)有时通过计算 P(B|A)＝P(B)可以判断两个事件相互 独立．
第九页，编辑于星期一：点 三十六分。
[对点训练] 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5，购买 乙种商品的概率为 0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互 独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求： (1)进入商场的 1 位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率． 解：记 A 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买甲种商品”， 则 P(A)＝0.5； 记 B 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买乙种商品”，则 P(B)＝0.6；
第十三页，编辑于星期一：点 三十六分。
[类题通法] 解决此类问题应注意
(1)恰当用事件的“并”“交”表示所求事件； (2)“串联”时系统无故障易求概率，“并联”时系统 有故障易求概率，求解时注意对立事件概率之间的转化．
第十四页，编辑于星期一：点 三十六分。
[对点训练] 在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要其中 1 个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每 个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段时间内线路正常 工作的概率． 解：如图所示，记这段时间内开关 KA，KB，KC 能 够闭合为事件 A，B，C.
高考专题复习 相互独立事件(解析版)
第3讲相互独立事件1.对于事件A ，B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A ，B 是相互独立事件．2.若A 与B 相互独立，则()()()()()()()||P B A P B P AB P B A P A P A P B ===,．3.若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．4.若()()()P AB P A P B =，则A 与B 相互独立．【温馨提示】①A B ,中至少有一个发生的事件为A ∪B ；②A B ,都发生的事件为AB ；③A B ,都不发生的事件为AB ；④A B ,恰有一个发生的事件为AB AB ；⑤A B ,至多有一个发生的事件为AB AB AB .【套路修炼】考向一独立重复事件【例1】某小区停车场的收费标准为：每车每次停车的时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙两人独立来该停车场停车(各停车一次)，且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示.(1)求甲、乙两人所付停车费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与均值E (ξ)．【答案】（1）29（2）见解析【解析】(1)由题意，得12＋3x ＝1，所以x ＝16.16＋13＋y ＝1，所以y ＝12.记甲、乙两人所付停车费相同为事件A ，则P (A )＝12×16＋16×13＋16×12＝29.所以甲、乙两人所付停车费相同的概率为29.(2)ξ可能取的值为0,1,2,3,4,5，P (ξ＝0)＝112，P (ξ＝1)＝12×13＋16×16＝736，P (ξ＝2)＝16×16＋16×13＋12×12＝13，P (ξ＝3)＝16×16＋16×13＋16×12＝16，P (ξ＝4)＝16×12＋16×13＝536，P (ξ＝5)＝16×12＝112.所以ξ的概率分布为ξ012345P1127361316536112所以E (ξ)＝0×112＋1×736＋2×13＋3×16＋4×536＋5×112＝73.【套路总结】求相互独立事件同时发生的概率(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法【举一反三】1.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与均值E (ξ)，方差V (ξ)．【答案】见解析【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过31－14－＝14，1－16－＝16.两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512.(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ的可能取值为0,40,80,120,160，则P (ξ＝0)＝14×16＝124，P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P (ξ＝160)＝14×16＝124.所以ξ的概率分布为ξ04080120160P1241451214124E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.V (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝40003.2．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的概率分布和均值；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【答案】见解析【解析】(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝14，P (X ＝1)＝12××13××14＝1124，P (X ×13×14＋12××14＋12×13×＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的概率分布为X 0123P14112414124E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.考向二均值与方差在决策中的应用【例2】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：年入流量X 40<X <8080≤X ≤120X >120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【答案】见解析【解析】(1)由题意，得p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3×110＝0.9477.(2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5000，E (Y )＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－800＝4200，因此P (Y ＝4200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2＝10000，因此P (Y ＝10000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的概率分布为Y 420010000P0.20.8所以，E (Y )＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－1600＝3400，因此P (Y ＝3400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2－800＝9200，因此P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5000×3＝15000，因此P (Y ＝15000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1，由此得Y 的概率分布为Y 3400920015000P0.20.70.1所以，E (Y )＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．【套路总结】随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．【举一反三】1.某投资公司在2018年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．【答案】见解析【解析】若按“项目一”投资，设获利为X 1万元，则X 1的概率分布为X 1300－150P7929∴E (X 1)＝300×79＋(－150)×29＝200.若按“项目二”投资，设获利为X 2万元，则X 2的概率分布为X 2500－3000P3513115∴E (X 2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200.V (X 1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35000，V (X 2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140000.∴E (X 1)＝E (X 2)，V (X 1)<V (X 2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．2.为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的概率分布及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．【答案】见解析【解析】(1)设顾客所获的奖励额为X .①由题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②由题意，得X 的所有可能取值为20,60.P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，故X 的概率分布为X 2060P1212所以顾客所获的奖励额的均值为E (X )＝20×12＋60×12＝40.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以，先寻找均值为60的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元；因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析．对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的概率分布为X 12060100P162316X 1的均值为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为V (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝16003.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的概率分布为X 2406080P162316X 2的均值为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为V (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.【套路运用】1．现有甲、乙、丙三名学生参加某大学的自主招生考试，考试分两轮，第一轮笔试，第二轮面试，只有第一轮笔试通过才有资格进入第二轮面试，面试通过就可以在高考录取中获得该校的优惠加分，两轮考试相互独立.根据以往多次的模拟测试，甲、乙、丙三名学生能通过笔试的概率分别为0.4，0.8，0.5，能通过面试的概率分别为0.8，0.4，0.64.根据这些数据我们可以预测：（1）甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生通过第一轮笔试的概率；（2）甲、乙、丙三名学生能获得该校优惠加分的人数的数学期望.【答案】(1)0.6(2)0.96【解析】（1）记事件：甲通过第一轮笔试，事件：乙通过第一轮笔试，事件：丙通过第一轮笔试，事件：至少有两名学生通过第一轮笔试，则，，.，，，所以至少有两名学生通过第一轮笔试的概率为。
事件的相互独立性
解 记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格 证书”为事件C， 则 P(A)＝45×12＝25， P(B)＝34×23＝12， P(C)＝23×56＝59. 因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大.
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
解 记事件A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品.
PA·[1－PB]＝14， 由题设知PB·[1－PC]＝112，
PA·PC＝29， 解方程组并舍去不合题意的根，得 P(A)＝13，P(B)＝14，P(C)＝23.
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.
√D.不是相互独立事件
解析 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错. 而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件.
12345
2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，
甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为
二、相互独立事件概率的计算
例2 根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6， 购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立. (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
解 记 A 表示事件“购买甲种保险”，B 表示事件“购买乙种保险”，则由题意得 A 与 B，A 与 B ， A 与 B， B 与 A 都是相互独立事件，且 P(A)＝0.5，P(B)＝0.6. 记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”， 则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
高中数学必修二课件：事件的相互独立性
3．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别是什么？ 答：对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，那么称A，B 互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，那么称 A，B对立，显然A＋B为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但可能同时 不发生．如掷一枚均匀的骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B， 则A，B可能都不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发 生的概率没有影响． A，B互斥，则P(AB)＝0；A，B对立，则P(A)＋P(B)＝1. A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)，可见这是不相同的概率．
1．对相互独立事件定义的理解
答：对于事件A，B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响，那么称这两个事件为相互独立事件．例如甲袋中装有3个白球，2个黑 球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲 袋摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记 为事件B，显然A与B相互独立．
思考题1 袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第
一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，“第二次摸得黑球”记为 C，那么事件A与B，A与C间的关系是( A )
A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立
课时学案
题型一 相互独立事件的判断
例1 (1)把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独 立事件．
①A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}； ②A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3点}； ③A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}； ④A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．
相互独立事件的概念
相互独立事件的概念在概率论与统计学中，相互独立事件是指两个或多个事件之间没有相互影响的情况。
换句话说，一个事件的发生与其他事件的发生没有关联。
相互独立事件的概念对于计算概率和进行统计分析非常重要。
相互独立事件的定义可以通过以下方式表示：假设有两个事件A和B，如果事件A的发生与事件B的发生无关，即事件A的发生与B的发生概率之间没有关联性，那么事件A和B就是相互独立的。
这可以用数学表示为：P(A∩B) = P(A) *P(B)。
在相互独立事件的情况下，事件A的发生不会对事件B的发生产生任何影响，反之亦然。
这意味着知道事件A发生的概率并不能提供有关事件B发生的任何信息，以及知道事件B发生的概率不能提供有关事件A发生的任何信息。
相互独立事件可以被看作是完全独立的事件。
这个概念在实际生活中有很多应用。
例如，在投掷一枚硬币和一颗骰子的情况下，投掷硬币出现正面的事件A和骰子出现1点的事件B是相互独立的。
因为硬币的结果不会影响骰子的结果，反之亦然。
因此，投掷硬币出现正面和骰子出现1点的联合概率等于投掷硬币出现正面的概率乘以骰子出现1点的概率。
在统计学中，相互独立事件的概念对于计算组合概率和联合概率非常有用。
计算相互独立事件的概率可以简单地将事件的概率相乘。
例如，对于两个相互独立的事件A和B，它们的交集概率可以通过将事件A的概率乘以事件B的概率来计算。
这可以表示为P(A∩B) = P(A) * P(B)。
此外，相互独立事件还有一个重要的性质，即它们的互补事件也是相互独立的。
互补事件是指某事件不发生的情况。
如果事件A和B是相互独立的，那么它们的互补事件A'和B'也是相互独立的。
这个性质可以通过概率的定义和相互独立事件的定义推导得出。
总结起来，相互独立事件是指两个或多个事件之间没有相互影响的情况。
在相互独立事件中，一个事件的发生与其他事件的发生无关。
相互独立事件的概率可以简单地通过将事件的概率相乘来计算。
高二数学相互独立事件同时发生的概率知识精讲 人教版
高二数学相互独立事件同时发生的概率知识精讲 人教版【基础知识精讲】1.相互独立事件与事件的积事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.设A 、B 是两个事件，那么A ·B 表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生，它可以推广到有限多个事件的积.2.相互独立事件发生的概率两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. P(A ·B)＝P(A)·P(B) (1)证明：设甲试验共有N 1种等可能的不同结果，其中属于A 发生的结果有m 1种，乙试验共有N 2种等可能的不同结果，其中属于B 发生的结果有m 2种，由于事件A 与B 相互独立，N 1，m 1与N 2，m 2之间是相互没有影响的，那么，甲、乙两试验的结果搭配在一起，总共有N 1·N 2种不同的搭配，显然这些搭配都是具有等可能性的.另外，考察属于事件AB 的试验结果，显然，凡属于A 的任何一种试验的结果同属于B 的任何一种乙试验的结果的搭配，都表示A 与B 同时发生，即属于事件AB ，这种结果总共有m 1·m 2种.因此得：P(AB)＝2121N N m m ⋅⋅＝11N m ·22N m∴ P(AB)＝P(A)P(B)这个公式进一步推广：P(A 1A 2……A n )＝P(A 1)P(A 2)…P(A n )即：如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.值得注意的是：①事件A 与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算： P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)特别地，当事件A 与B 互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为 P(A+B)＝P(A)+P(B)②事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.3.独立重复试验.独立重复试验，又叫贝努里试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某种事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.一般地，如果在一次试验中某件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率P n (k)＝k P k (1-P)n-kP n (k)＝k P k (1-p)n-k 可以看成二项式［(1-p)+p ］n展开式中的第k+1项.【重点难点解析】本节的重点是相互独立事件的概念乘法公式，理解并掌握n 次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式.难点是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率的求法.例1甲、乙两人独立地解同一个问题，甲解决这个问题的概率为P1，乙解决这个问题的概率为P2，那么两人都没能解决这个问题的概率是( )A.2-P1-P2B.1-P1P2C.1-P1-P2+P1P2D.1-(1-P1)(1-P2)E⋃，而解法一：记甲解决成功为E，乙解决成功为F，则两个均未成功为事件FE⋃)＝1-P(E∪F)＝1-［P(E)+P(F)-P(EF)］，由于E、F独立，故P(EF)＝P(E)P(F)，P(FE⋃)＝1-P1-P2+P1P2.故选C.这样，P(F解法二：记号同解法一，所求事件为EF，由于E与F独立，故P(EF)＝P(E)·P(F)＝(1-P1)(1-P2)＝1-P1+P2+P1P2.解法三：可采用极端原则：设P1＝1，P2＝0，则所求概率为0，而四个选项中只有C此时值为0.故选C.例2甲、乙、丙各进行一次射击，如果甲、乙2人击中目标的概率是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算：(1)3人都击中目标的概率；(2)至少有2人击中目标的概率；(3)其中恰有1人击中目标的概率.解 (1)记“甲、乙、丙各射击一次，击中目标”分别为事件A、B、C彼此独立，三人都击中目标就是事件A·B·C发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.8×0.6＝0.384(2)至少有2人击中目标包括两种情况：一种是恰有2人击中，另一种是3人都击中，其中恰有2人击中，又有3种情形，即事件A·B·C，A·B·C，A·B·C分别发生，而这3种事件又互斥，故所求的概率是P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)＝P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)＝0.8×0.8×0.4+0.8×0.2×0.6+0.2×0.8×0.6+0.8×0.8×0.6＝0.832(3)恰有1人击中目标有3种情况，即事件A·B·C，A·B·C，A·B·C，且事件分别互斥，故所求的概率是P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)+P(A)·P(B)+P(C)+P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.2×0.4+0.2×0.8×0.4+0.2×0.2×0.6＝0.152.答：3人都击中目标的概率是0.384；至少2人击中目标的概率是0.832；恰有1人击中目标的概念是0.152.说明题(3)还可用逆向思考，先求出3人都未击中的概率是0.016，再用1-0.832-0.016可得.例3甲、乙两人各投篮3次，每次投中得分的概率分别为0.6和0.7，求(1)甲、乙得分相同的概率；(2)甲得分比乙多的概率.解 (1)分别令3次投篮中甲投中0次、1次、2次、3次为事件A 0，A 1，A 2，A 3；乙恰投中0次，1次，2次，3次为事件B 0，B 1，B 2，B 3，当且仅当他们投中次数相同时得分才相同，设得分相同为事件D.那么D ＝A 0B 0+A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3所以P(D)＝P(A 0B 0)+P(A 1B 1)+P(A 2B 2)+P(A 3B 3)＝(1-0.6)3(1-0.7)3+C 31×0.6×(1-0.6)2×C 31×0.7×(1-0.7)2+C 32×0.62×(1-0.6)C 32×0.72×(1-0.7)+0.63×0.73＝0.321(2)设“甲得分比乙多”为事件E ，当且仅当甲投中次数比乙多，事件E 发生，所以E ＝A 1B 0+A 2B 0+A 3B 0+A 2B 1+A 3B 1+A 3B 2利用公式可求得P(E)＝0.243例4 工人看管3台机床，在1小时内，3台机床正常工作(不需要照顾)的概率分别是0.9，0.8，0.85，求在任一小时内.(1)3台机床都不需要照顾的概率.(2)3台机床中至少有一台不需要工人照顾的概率. 解 (1)可以认为机床的工作是相互独立的.设A 1，A 2，A 3分别表示第1、2、3台机床不需要工人照顾，则P(A 1A 2A 3)＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)＝0.9×0.8×0.85＝0.612.即3台机床都不需要工人照顾的概率为0.612.(2)“3台机床中至少有一名不需要照顾”与“3台都需要工人照顾”是对立事件，即A 1+A 2+A 3与1A 、2A 、3A 是对立事件，所以P(A 1+A 2+A 3)＝1-P(321A A A ++) ＝1-P(321A A A ) ＝1-P(1A )P(2A )P(3A )＝1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85) ＝0.997即3名机床中至少有一台不需要照顾的概率为0.997.【难题巧解点拨】例1 有10台同样的机器，每台机器的故障率为0.03，各台机器独立工作，今配有2名维修工人，一般情况下，一台机器故障1个人维修即可，问机器故障无人修的概率是多少?解 A 表示机器故障无人修的事件，A 表示机器故障多不超过2，则P(A )＝C 100(0.97)10+C 101(0.97)9(0.03)+C 103(0.97)8(0.03)2＝0.9972P(A)＝1-P(A )＝0.0028.说明 出现故障的机器数大于2时即为机器故障无人修的情况，因为正向思考需考虑8种情况，所以应用逆向思考的方法.例2 设在一袋子内装有5只白球和5只黑球，从袋子内任取5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋中，求这5次取球中(结果保留两个有效数字)①取得白球3次的概率②至少有一次取得白球的概率解 本题考查事件在n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率.设取得一次白球的事件为A ，A 在一次试验中发生的概率P ＝0.5，所以取得白球3次的概率即A 在5次独立实验中恰好发生3次的概率.C 530.53(1-0.5)5.3＝0.3125≈0.31至少有一次取得的白球的概率为1-C 500.50(1-0.5)5＝0.96875≈0.97例3 每周甲去某地的概率是41，乙去某地的概率是51，假定两人的行动之间没有影响，分别求下列事件发生的概率：(1)一周内甲、乙同去某地的概率；(2)一月内(以四周计)甲去某地的概率.解 (1)P ＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝41×51＝201 (2)P ＝1-C 40(1-41)4(41)0＝1-(43)4＝256175评析：(1)为相互独立事件同时发生；(2)为n 次独立重复实验恰好发生k 次的事件，也可由P ＝C 41(41)1(43)3+C 42(41)2(43)2+C 43(41)3(43)+C 44(41)4(43)0求解.【课本难题解答】有甲、乙、丙三批罐头，每100个，共中各1个是不合格的，从三批罐头中各抽出1个，计算：(1)3个中恰有一个不合格的概率； (2)3个中至少有1个不合格的概率.解 (1)P 1＝P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C )＝P(A )·P(B)·P(C)+P(A)·P(B )·P(C)+P(A)·P(B)·P(C )＝3×(0.01×0.992)≈0.03或者P 1＝C 31×0.01×(1-0.01)2＝3×0.01×0.992≈0.03(2)1-0.993≈0.03【命题趋势分析】本节主要了解互斥事件与相互独立事件的意义：会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；了解独立重复试验，会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.【典型热点考题】例1 将一枚硬币连掷4次，出现“2个正面，2个反面”的概率是( )A.21 B.83 C.52D.1解 掷一枚硬币一次看作一次试验，出现上面事件为A ，则P(A)＝21，而连掷4次可看作4次独立重复实验，所求问题即为4次独立重复试验中事件A 恰好发生2次的概率是多少，根据n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率公式P n (k)＝k P k (1-P)n-k得到：P 4(2)＝C 42·(21)2·(21)2＝83∴应选B.例2 生产某种产品出现次品的概率为2%，生产这种产品4件，至多一件次品的概率为( )A.1-(98%)4B.(98%)4+(98%)3·2%C.(98%)4D.(98%)4+C 41(98%)3·2%解 生产一件产品看作一次试验，产品为次品，记作事件A ，则所求问题就是4次独立重复试验中事件A 发生一次或不发生的概率.由公式 P n (k)＝k P k (1-p)n-k.得：P ＝C 40(2%)·(1-2%)4+C 41(2%)(1-2%)3＝(98%)4+C 41(98%)3·2% ∴应选D.本周强化练习： 【同步达纲练习】一、选择题1.若事件P 与Q 独立，则P 与Q ；P 与Q ；P 与Q 相互独立的对数是( ) A.0 B.1 C.2 D.32.下列正确的说法是( ) A.互斥事件是独立事件 B.独立事件是互斥事件C.两个非不可能事件不能同时互斥与独立D.若事件A 与事件B 互斥，则A 与B 独立.3.一个均匀的正四体，第一面是红色，第二面是白色，第三面是黑色，而第四面同时有红、白、黑三种颜色，P 、Q 、R 表示投掷一次四面体接触桌面为红、白、黑颜色事件.则下列结论正确的是( )A.P 、Q 、R 不相互独立B.P 、Q 、R 两两独立C.P 、Q 、R 不会同时发生D.P 、Q 、R 的概率是314.一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是( ) A.第一次摸出是白球与第一次摸出是黑球B.摸出后不放回.第一次摸的是白球，第二次摸的是黑球C.摸出后放回，第一次摸的是白球，第二次摸的是黑球D.一次摸两个球，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球5.某产品合格率为0.9，下列事件可看作独立重复试验( ) A.一次抽3件，都是合格品 B.一次抽3件，只有2件合格品 C.抽后放回，连续抽三次都是次品D.抽出后，合格品就不放回，是次品就放回，连续抽三次，三次都是合格品6.一批产品100件，其中5件是次品，从中任取三件，恰有一件是次品的概率是( ) A.C 31·0.05·(1-0.05)2B.51C.1005×3D.310025.915C C C7.推毁敌人一个工事，要命中三发炮弹才行，我炮兵射击的命中率是0.8.为了95%的把握摧毁工事，需要发射炮弹的个数是( )A.6B.5C.4D.38.甲、乙两人独立答题，甲能解出的概率为P ，乙不能解出的概率为q ，那么两人都能解出此题的概率是( )A.pqB.p(1-q)C.(1-p)(1-q)D.1-(1-p)(1-q)9.一批产品共有100个，次品率3%，从中任取3个恰有1个次品的概率是( )A.C 310.03(1-0.03)2B.C 31(0.03)2(1-0.03)C.C 31(0.03)3D.310019713C C C10.10颗骰子同时掷出，共掷5次，则至少有一次全部出现一个点的概率是( )A.［1-(65)10］5B.［1-(65)5］10C.1-［1-(61)10］5D.1-［1-(65)5］10二、填空题1.两雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，则有且仅有1名雷达发现飞行物的概率为.2.一个工人看管10部机器，在某段时间里一部机器需要人照看的概率为31，则在这段时间内，有四部机器需要照看的概率是.3.100个大小一样的球，其中红球90个，白球10个，现从中任取10个球.(1)若取后放回去，连续10个都是红球的概率＝；(2)若取后不放回，连续取10个都是红球的概率＝.4.每次射击打中目标的概率为0.2，如果射击6次，则至少打中两次的概率＝.5.某工人出废品的概率是0.2，则4天中仅有1天出废品的概率＝.6.一批棉花中任抽一纤维，长度小于45厘米的概率是0.75，则任抽3根纤维，两根小于45厘米，一根不小于45厘米的概率是.7.盒中有7个白球和3个黑球，从中连续取两次，两次都是白球.(1)如第一个取出后不放回，再取第二个，此时概率为；(2)如第一个球取出后放回，然后再取第二个，此时概率为.8.某气象局预报天气情况的准确率为0.9，那么一周内有五天准确的概率为.三、解答题1.两位乒乓球运动员水平相当，甲四次中胜乙三次的概率与甲八次中胜乙五次的概率哪种大?2.三位同龄工人参加人寿保险，在一年中，每人的死亡率都是0.01，年初交10元保险金，如一年内死亡，则发给家属100元.(1)一年中，保险公司亏本的概率?(2)保险公司一年中要付出200元的概率是多少?3.两个抽屉，各存放五个零件，使用时从任一抽屉中取一个，问过一段时间后第一个抽屉已用完，第二个抽屉还剩2个的概率?【素质优化训练】1.某厂正常用水(一天内用水在额定量之内)的概率为43，求在六天内至少四天用水正常的概率.2.一盒中装有20个弹子球，其中10个红球，6个白球，4个黄球，一小孩随手拿出4个，求至少有3个红球的概率.3.甲、乙两人进行五打三胜制的象棋赛，若甲每盘胜率为53，乙每盘胜率为52(和棋不算)，求：(1)比赛以甲比乙为3比0胜出的概率? (2)比赛以甲比乙为3比2胜出的概率?(3)比赛以乙比甲为3比1胜出的概率?4.现有一题面向全班50名同学征求解答，假定每人独立解出此题的概率为0.1，问此题能否在该班独立被解答的概率达95%?5.某人在车站上等车，可坐任何车回家，已知半小时内电车到站的概率为21，公交车到站的概率为41，计算此人十分钟内能乘回家的概率.【生活实际运用】船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费.据预测下月好天气的概率是0.6，坏天气的概率是0.4，问应如何作出决策?解 因为天气好坏是不确定因素，因此作决策时存在一定的风险，我们不能保证所作的决策一定会取得最好的效益，但必须使效益的期望值是最高的.要作出是否出海的决策，其主要依据是效益的高低，根据题意，不出海的效益是-1000元，而出海的效益要视天气而定，有60%的概率获5000元的收益，有40%的概率获-2000元的收益，故可求得出海效益的期望值.E ＝5000×60%+(-2000)×40% ＝2200(元).显然高于不出海的收益-1000元.故选择出海.【知识验证实验】证明“五局三胜”制(即比赛五局，先胜三局者为优胜者)是公平的比赛制度，即如果比赛双方赢得每局是等可能的，各局比赛是独立进行的，则双方获胜的概率相同.证 将每一局比赛看作一次试验，考察一方，如甲方胜或负(即乙方负或胜)，问题归结为n ＝5的贝努里试验.设A 表示一局比赛中“甲获胜”事件，由题意，P(A)＝21，记B k 为“五局比赛中甲胜k 局”事件，k ＝0、1、2、3、4、5.则P(“甲获胜”)＝P(B 3∪B 4∪B 5).则利用概率的加法公式，注意到C 5k ＝C 55-k即得 P(“甲获胜”)＝P(B 3)+P(B 4)+P(B 5)＝C 53(21)5+C 54(21)5+C 55(21)5＝21. 而P(“乙获胜”)＝P(“甲获胜”)＝1-21＝21.【知识探究学习】从某鱼池中捕得1200条鱼，做了红色记号之后再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕1000条鱼，计算其中有红色记号的鱼的数目，共有100条，试估计鱼池中共有多少条鱼.解 依次捕鱼的情况有r 个结果，因是有放回地捕鱼，所以每次捕得都有n 种可能，共有n r 个结果，其中有记号的鱼出现k 次的基本事件数目为C r k n 1r (n-n 1)r-k，那么概率为P k (n)＝r(n n 1)k (1-nn 1)r-k. 为了求P k (n)的最大值时的n ，我们设x ＝nn 1，考察函数f(x)＝x k (1-x)r-k,x ∈(0,1). 而f(x)＝kk r k r k )(1--［(r-k)x ］k ［k(1-x)］r-k≤kk r k r k )(1--｛［∑=-k i k r 1)(x+∑-=-kr i x k 1)1(］/k+(r-k)｝k+(r-k)＝k k-r(r-k)-k［rx k k r x k r k )1()()(--+-］k+r-k＝rk r k rk r k --)(. 当且仅当(r-k)x ＝k(1-x)，即x ＝r k 时，上式等号成立，即rk＝x 时，f(x)达到最大.于是^n ＝［k r n 1］时，P k (n)达到最大值，这样我们把［k rn 1］作为鱼池中鱼数n 的估计量.在题中^n ＝10010001200⨯＝12000(条).[参考答案]【同步达纲练习】一、1.D 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.A 8.B 9.D 10.C二、1.P(A ·B)+P(A ·B )＝0.26 2.0.227 3.0.349，0.330 4.0.34 5.0.410 6.0.422 7.(1)157 (2)0.49 8.C 75·0.95·0.12三、1.C 43·(21)3·21＝41.C 85(21)5(21)3＝327，前者概率大于后者2.(1)1-(1-0.01)3＝0.0297 (2)C 32·(0.01)2·0.99＝0.0002973.C 85·0.55(1-0.5)3＝327 【素质优化训练】 1.C 64(43)4(41)2+C 65(43)5·(41)+C 66(43)6＝0.83 2.P ＝420410110310C C C C ＝32322 3.(1)P ＝(53)3＝12527 (2)P ＝C 53(53)3(52)2＝625216 (3)P ＝C 43(52)3(53)1＝62596 4.P ＝1-0.950＝0.995＞0.95. 故能够. 5.P ＝21×41+21×(1-41)+(1-21)×41＝85或者P ＝21+41-21×41＝85.。
数学-事件的相互独立性
事件的相互独立性高中数学 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．导语 我们知道，积事件AB 就是事件A 与事件B 同时发生．因此，积事件AB 发生的概率一定与事件A ，B 发生的概率有关．那么，这种关系会是怎样的呢？一、相互独立事件的概念问题1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A ＝“第一枚硬币正面朝上”，B ＝“第二枚硬币反面朝上”．计算P (A )，P (B )，P (AB )，你有什么发现？提示 用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点．而A ＝{(1,1)，(1,0)}，B ＝{(1,0)，(0,0)}，所以AB ＝{(1,0)}．由古典概型概率公式，得P (A )＝P (B )＝，P (AB )＝.1214于是P (AB )＝P (A )P (B )．知识梳理 如果P (AB )＝P (A )P (B )成立，则称事件A 与事件B 相互独立．例1 判断下列事件是否为相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．解 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩58下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一47事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者57不是相互独立事件．反思感悟 两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件．跟踪训练1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________．(填序号)①A，B；②A，C；③B，C.答案 ①②③解析 根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C 相互独立．二、相互独立事件的性质问题2 互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系．如果事件A与事件B相互独立，B A那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验为例，分别验证A与，与B，A B与是否独立，你有什么发现？B B B B提示 对于A与，因为A＝AB∪A，而且AB与A互斥，所以P(A)＝P(AB∪A)＝P(AB)B B B B＋P(A)＝P(A)P(B)＋P(A)，所以P(A)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)P()．由事B A A B件的独立性定义，知A与相互独立．类似地，可以证明事件与B，与相互独立．知识梳理 B A A B1．如果事件A与事件B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．2．一般地，如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积．例2 一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2A表示第二次摸得白球，则事件A1与2是( )A．相互独立事件B．不相互独立事件C．互斥事件D．对立事件答案 AA A解析 由题意可得2表示“第二次摸到的不是白球”，即2表示“第二次摸到的是黄球”，A由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与2是相互独立事件．反思感悟 互斥事件与相互独立事件都描述了两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响；互斥的两个事件可以相互独立，相互独立的两个事件也可以互斥．跟踪训练2 若P (AB )＝，P ()＝，P (B )＝，则事件A 与B 的关系是( )19A 2313A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立答案 C解析 因为P ()＝，所以P (A )＝，又P (B )＝，P (AB )＝，所以有P (AB )＝P (A )P (B )，所A 23131319以事件A 与B 相互独立但不一定互斥．三、相互独立事件概率的计算例3 根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．解 记A 表示事件“购买甲种保险”，B 表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A 与B ，A 与，与B ，与都是相互独立事件，且P (A )＝0.5，P (B )＝0.6.B A B A (1)记C 表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C ＝AB ，所以P (C )＝P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.5×0.6＝0.3.(2)记D 表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D ＝B ，所以P (D )＝P (B )＝P ()·P (B )＝(1－0.5)×0.6＝0.3.A A A 延伸探究 本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？解 记E 表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，方法一 则事件E 包括B ，A ，AB ，且它们彼此为互斥事件．A B 所以P (E )＝P (B ＋A ＋AB )＝P (B )＋P (A )＋P (AB )＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.A B A B 方法二 事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件．所以P (E )＝1－P ( )＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.A B 反思感悟 (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤①首先确定各事件之间是相互独立的．②求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．跟踪训练3 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相1314互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：(1)两人都能破译的概率；(2)恰有一人能破译的概率；(3)至多有一人能破译的概率．解 记事件A 为“甲独立地破译出密码”，事件B 为“乙独立地破译出密码”．(1)两个人都破译出密码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝×＝.1314112(2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A ＋B ，B A ∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )B A B A ＝P (A )P ()＋P ()P (B )B A ＝×＋×＝.13(1－14)(1－13)14512(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，∴其概率为1－P (AB )＝1－＝.11211121．知识清单：(1)相互独立事件的判断．(2)相互独立事件概率的计算．2．方法归纳：用列举法、定义法求相互独立事件的概率．3．常见误区：对事件是否相互独立判断错误．1．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A 1表示第1次摸到白球，A 2表示第2次摸到白球，则A 1与A 2( )A ．是互斥事件 B ．是相互独立事件C ．是对立事件 D ．不是相互独立事件答案 D解析 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A ，C 错．而事件A 1的发生对事件A 2发生的概率有影响，故两者不是相互独立事件．2．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为( )A ．1 B ．0.629C ．0 D ．0.74或0.85答案 B解析 设“甲保险丝熔断”为事件A ，“乙保险丝熔断”为事件B ，则P (A )＝0.85，P (B )＝0.74，由事件A 与B 相互独立，得“两根保险丝都熔断”为事件AB ，∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.85×0.74＝0.629.3．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，且3人是否击中目标相互独立．若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为________．答案 0.009解析 3人向目标各发1枪，由相互独立事件的概率计算公式，得目标没有被击中的概率P ＝(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.85)＝0.3×0.2×0.15＝0.009.4．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各170169168道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．答案 370解析 加工出来的零件的正品率是××＝，因此加工出来的零件的(1－170)(1－169)(1－168)6770次品率为1－＝.6770370课时对点练1．掷一枚骰子一次，设事件A ：“掷出偶数点”，事件B ：“掷出3点或6点”，则事件A ，B 的关系是( )A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥答案 B解析 事件A ＝{2,4,6}，事件B ＝{3,6}，事件AB ＝{6}，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，所以P (A )＝＝，P (B )＝＝，P (AB )＝＝×，即P (AB )＝P (A )P (B )，因此事件A 与B 相互独36122613161213立．当“掷出6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．2．(多选)下列各对事件中，不是相互独立事件的有( )A ．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B ．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C ．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”D ．甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”答案 ACD解析 在A 中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在B 中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C 中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在D 中，设“至少有1人射中目标”为事件A ，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B ，则AB ＝B ，因此当P (A )≠1时，P (AB )≠P (A )·P (B )，故A ，B 不独立．故选ACD.3．某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是( )A ．0.64 B ．0.56 C ．0.81 D ．0.99答案 C解析 A i 表示“第i 次击中目标”，i ＝1,2，则P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝0.9×0.9＝0.81.4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0.12 B ．0.42 C ．0.46 D ．0.88答案 D解析 设“甲被录取”记为事件A ，“乙被录取”记为事件B ，则两人至少有一人被录取的概率P ＝1－P ()＝1－[1－P (A )][1－P (B )]＝1－0.4×0.3＝0.88.AB 5．从甲袋中摸出1个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出13121个球，则可能是( )23A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率答案 C解析 记4个选项中的事件分别为A ，B ，C ，D ，则：P (A )＝1－×＝，131256P (B )＝×＝，131216P (C )＝1－×＝，(1－12)(1－13)23P (D )＝×＋×＝.13(1－12)(1－13)12126．(多选)下列各对事件中，M ，N 是相互独立事件的有( )A ．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M ＝“出现的点数为奇数”，事件N ＝“出现的点数为偶数”B ．袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M ＝“第1次摸到白球”，事件N ＝“第2次摸到白球”C ．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ＝“第1枚为正面”，事件N ＝“两枚结果相同”D ．一枚硬币掷两次，事件M ＝“第一次为正面”，事件N ＝“第二次为反面”答案 CD解析 在A 中，M ，N 是互斥事件，不相互独立；在B 中，M ，N 不是相互独立事件；在C 中，P (M )＝，P (N )＝，P (MN )＝，P (MN )＝P (M )P (N )，因此M ，N 是相互独立事件；121214在D 中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M ，N 是相互独立事件．7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，1625则该队员每次罚球的命中率为________．答案 35解析 设此队员每次罚球的命中率为P ，则1－P 2＝，所以P ＝.1625358．两人打靶，甲中靶的概率为0.8，乙中靶的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是________，它们都不中靶的概率为________．答案 0.56 0.06解析 设A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，A与B相互独立，利用P(AB)＝P(A)P(B)得P(AB)AB A B＝0.8×0.7＝0.56，P()＝P()P()＝(1－0.8)(1－0.7)＝0.06.9．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解 记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”；记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”．(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.B A B A B A(2)易知D＝(A)∪(B)，则P(D)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.E AB E AB A B E(3)易知＝，则P()＝P()＝P()P()＝0.5×0.4＝0.2.故P(E)＝1－P()＝0.8.10．为刺激消费，逐渐形成以国内大循环为主体，国内、国际双循环相互促进的新发展格局，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表：200元300元400元500元老年0.40.30.20.1中年0.30.40.20.1青年0.30.30.20.2某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点．(1)求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率；(2)求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率．解 (1)设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1，则P1＝(0.7)2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448.(2)消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002，消费总额为1 400元的概率是(0.1)2×0.2＋2×(0.2)2×0.1＝0.010，消费总额为1 300元的概率是(0.1)2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋0.23＋2×0.22×0.1＝0.033，所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045.11.同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y (若指针停在边界上则重新转)，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中，满足xy ＝4的概率为( )A. B. C. D.1161831614答案 C解析 满足xy ＝4的所有可能如下：x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1.∴所求事件的概率为P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1)＝×＋×＋×＝.14141414141431612．设两个相互独立事件A 和B 都不发生的概率为，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且19A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )等于( )A. B. C. D.291181323答案 D解析 由题意知，P ()·P ()＝，A B 19P ()·P (B )＝P (A )·P ()．A B 设P (A )＝x ，P (B )＝y ，则Error!即Error!∴x 2－2x ＋1＝，∴x －1＝－，或x －1＝(舍去)，191313∴x ＝.2313．如图，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )12A. B. C. D.31634131614答案 C解析 灯不亮包括四个开关都断开，或下边的2个都断开且上边的2个中有一个断开，这两种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，∴灯不亮的概率为×××＋×××＋×××＝.121212121212121212121212316∵灯亮与不亮是对立事件，∴灯亮的概率是1－＝.316131614．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．答案 0.128解析 由已知条件知，第2个问题答错，第3,4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A ，则P (A )＝0.8，故P ＝P [(A ＋)AA ]＝[1－P (A )]·P (A )·P (A )＝0.128.A A15．(多选)如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A ，B ，C ，D ，E .箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是( )A ．A ，B 两个盒子串联后畅通的概率为13B ．D ，E 两个盒子并联后畅通的概率为130C ．A ，B ，C 三个盒子混联后畅通的概率为56D ．当开关合上时，整个电路畅通的概率为2936答案 ACD解析 由题意知，P (A )＝，P (B )＝，P (C )＝，P (D )＝，P (E )＝，所以A ，B 两个盒子畅1213141516通的概率为×＝，因此A 正确；D ，E 两个盒子并联后畅通的概率为1－×＝1－＝1223131516130，因此B 错误；A ，B ，C 三个盒子混联后畅通的概率为1－×＝1－＝，因此C 正确；293023141656当开关合上时，电路畅通的概率为×＝，因此D 正确．293056293616．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租14121214车时间互不影响且都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．解 甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为1－－＝，1－－＝.141214121414(1)租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况．都付0元的概率为P 1＝×＝；141218都付2元的概率为P 2＝×＝；121418都付4元的概率为P 3＝×＝.1414116所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝.516(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元．所以可得P (ξ＝4)＝×＋×＋×＝，141412141412516即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为.516。
事件的相互独立性课件
【思路启迪】 如果A、B是，所以利用独立事件的概率公 式来解题即可．
【解】 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件 B，则A、B相互独立，从而A与 B 、 A 与B、 A 与 B 均相互独 立．
(1)“两个都能破译”为事件AB，则 P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.
要点二 求相互独立事件的概率
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤是 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌 握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同 时发生．
一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中 任取2个球，取出后再放回，求：
(1)一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和 生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}， B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．已知家庭中有三个小孩， 判断A与B的独立性；
(2)判断下列各对事件是否是相互独立事件： 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从 甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1 名男生”与“从乙组中选出1名女生”．
2．熟记部分符号语言含义：如A，B至少有一个发生的 事件记为A∪B；都发生记为AB；恰有一个发生的事件记为 (A B )∪( A B)；至多有一个发生的事件记为(A B )∪( A B)∪( A B )．
甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率 分别为13和14.
求(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能破译的概率．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝CC2325·CC2225＝130·110＝1300. 故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是 红球的概率是1300.
事件的相互独立性与条件概率
TANJIUHEXINTIXING
探究核心题型
题型一 条件概率
例1 (1)某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示.公司规
定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位.记事件A
为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员工小李的
车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于
思维升华
求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率 之积. (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手 计算.
跟踪训练2 溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注
和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定
条件下，第二次拿到红球的概率为
√ 3
1
3
2
A.10 B.3 C.8 D.9
设A＝{甲第一次拿到白球}， B＝{甲第二次拿到红球}， 则 P(AB)＝AA12A21013＝115，P(A)＝CC11120＝15， 所以 P(B|A)＝PPAAB＝13.
思维升华
求条件概率的常用方法 (1)定义法：P(B|A)＝PPAAB . (2)样本点法：P(B|A)＝nAB .
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立.( × ) (2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B).( √ )
(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”为事件A，“第2枚为正
面”为事件B，则A，B相互独立.( √ )
第十章
考试要求
1.了解两个事件相互独立的含义. 2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.
相互独立事件
2.2.2 事件的相互独立性一、知识复习问题一：1）条件概率定义及公式2）什么是相互独立事件？3）若A，B独立，则A、A，B，B关系如何？4）什么是互斥事件？对立事件？二、知识学习问题二：互斥事件与独立事件的区分：互斥事件与独立事件的区分：（1）互斥事件：一次试验中的两个事件，不可能同时发生。
（2）相互独立事件：两个试验中的各一个事件，一个事件是否发生对另一个事件是否发生没有影响。
这两个事件可以同时发生，也可同时不发生。
问题三：两相互独立事件同时发生的概率：例题1某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；（注：指定号码为中奖号码）(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．例1解答提示： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A）U（B）表示．由于事件A与B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P (A）十P（B）=P（A）P（）+ P（）P（B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A）U （B）表示．由于事件 AB , A和 B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P（A）+ P（ B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：（1）人都射中目标的概率；（2）人中恰有人射中目标的概率；（3）人至少有人射中目标的概率；（4）人至多有人射中目标的概率？例2解答提示：记“甲射击次，击中目标”为事件，“乙射击次，击中目标”为事件，则与，与，与，与为相互独立事件，（1）人都射中的概率为：，∴人都射中目标的概率是．（2）“人各射击次，恰有人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件发生）根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：∴人中恰有人射中目标的概率是．（3））：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是，∴“两人至少有1人击中目标”的概率为．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为：．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率解：分别记这段时间内开关，，能够闭合为事件，，．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是．答：在这段时间内线路正常工作的概率是．例3 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？例3解答提示：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A、B、C，则P（A）=0.9，P（B）=0.8，P（C）=0.85，P=[1-P（A）]•[1-P（B）]•[1-P（C）]=（1-0.9）×（1-0.8）×（1-0.85）=0.003答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003．（Ⅱ）P=[1-P（A）]•P（B）•P（C）+P（A）•[1-P（B）]•P（C）+P（A）•P（B）•[1-P（C）]=（1-0.9）×0.8×0.85+0.9×（1-0.8）×0.85+0.9×0.8×（1-0.85）=0.329．答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329．例4三个元件T 1、T 2、T 3正常工作的概率分别为,43,43,21将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路.（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.11例4解答提示：记“三个元件T 1、T 2、T 3正常工作”分别为事件A 1、A 2、A 3，则.43)(,43)(,21)(321===A P A P A P（Ⅰ）不发生故障的事件为（A 2+A 3）A 1.（2分） ∴不发生故障的概率为321521]41411[)()]()(1[)4)(()(])[(1321311321=⨯⨯-=⋅⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P 分（Ⅱ）如图，∴把T 2或T 3放在T 1的位置才能使电路中不发生故障的概率最大． 此时不发生故障的概率最大.证明如下： 图1中发生故障事件为（A 1+A 2）·A 3 ∴不发生故障概率为3221)()]()(1[)()(])[(3213213212=⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P )11(12分P P >∴。
相互独立事件同时发生的概
第七节 相互独立事件同时发生的概率一、基本知识概要：1.相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，那么称事件A ，B 为相互独立事件。
注： 如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的。
两个相互独立事件A 、B 同时发生的概率为：P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）；如果事件A 1，A 2，…n A 彼此独立，则P （A 1·A 2·…n A ）=P （A 1）·P （A 2）·…P （n A ）；2.事件的积：设事件A 、B 是两个事件，A 与B 同时发生的事件叫做事件的积，记作A ·B 。
（此概念可推广到有限多个的情形）3.独立重复试验（又叫贝努里试验）：在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率记为P n （k ），设在一次试验中事件A 发生的概率为P ，则P n （k ）=k n k k n P P C --)1(。
二、重点难点: 对相互独立事件、独立重复试验的概念的理解及公式的运用是重点与难点。
三、思维方式: 分类讨论，逆向思维（即利用P （A ）=1－P （A ））四、特别注意：1.事件A 与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)。
特别地，当事件A 与B 互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为P(A+B)＝P(A)+P(B)2.事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.五、例题：例1.（2004年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张。
相互独立事件的概念
相互独立事件的概念相互独立事件是概率论中一个重要的概念，它描述了两个或多个事件之间的统计独立性。
在概率论中，事件的相互独立性是指事件A和事件B的发生与否互不影响或者说彼此独立，即事件A发生的概率与事件B发生的概率无关。
相互独立事件的概念可以通过以下性质进行说明：1. 乘法规则：两个独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
设A和B是两个独立事件，则有P(A ∩ B) = P(A) × P(B)。
2. 加法规则：两个独立事件至少有一个发生的概率等于它们各自发生概率之和减去它们同时发生的概率。
设A和B是两个独立事件，则有P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)。
3. 依概率的性质：对于相互独立的事件A和B，事件A的发生概率与事件B的发生概率的比值等于事件A的发生概率与全样本空间的概率之比。
即P(A|B) = P(A) × P(B)。
4. 独立事件的补事件也是独立事件：如果事件A和事件B是独立事件，则事件A的补事件和事件B的补事件也是独立事件。
相互独立事件的概念在实际问题的解决中有着广泛的应用，例如:1. 投硬币的实验：投掷一枚硬币是一个相互独立的事件，每次投掷硬币都不会受前一次的投掷结果的影响。
2. 掷骰子的实验：掷一个骰子是一个相互独立的事件，每次掷骰子都不会受前一次的掷骰子结果的影响。
3. 独立抽样：在统计学中，独立抽样是指在一次抽样中，每次抽取的样本独立且与之前的抽样无关。
4. 检验流程的相互独立性：在某些工业生产过程中，不同的检验过程可能是相互独立的，即前一道工序的检验结果不会对后一道工序的检验结果产生影响。
相互独立事件的概念是概率论中的一个基础概念，它使得我们能够对复杂的概率问题进行简化和计算。
通过理解相互独立事件的性质和应用，我们可以更好地应用概率论解决各种实际问题。
相互独立事件
(3) A B A B A B A B
(4) A B A B A B A B
课堂小结 几个相互独立事件同时发生的概率乘法 公式应用 ①所要解决的概率问题是由若干个连续 的分过程所组成的总过程; ②将复杂概率的求解转化较简单的问题; ③注意逆向思维的运用.
（3）只有1人通过体能测试的概率。 5/12 解：设A表示事件“甲通过体能测试”，B表示事件“乙通 过体能测试”，C表示事件“丙通过体能测试”。则P（A） =2/5，P（B）=3/4，P（C）=1/3。 （1）设M1表示“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即M1=ABC ∵事件A、B、C相互独立， ∴P（M1）=P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）=1/10 （2）设M2表示事件“甲、乙、丙3人只有2人通过体能测试”， 则M 2 ABC ACB BC A
课堂练习
1、（废品问题）要生产一种产品，甲机床的废品率是
0.04，乙机床的废品率是0.05，从生产的产品中各取一 件，求： （1）至少有一件废品的概率；0.088 （2）恰好有一件废品的概率；
0.086 （3）至多有一件废品的概率； 0.998 （4）无废品的概率. 0.912
课堂练习
3、（射击问题）：甲、乙两名射手独立地射击同一地击中敌机的概率都是 0.8，如果要以99%的把握击中来犯敌机，问至少需要 同时发射几枚导弹？ 解：设至少需要同时发射n枚导弹. 记事件A为“敌机 被击中”，则
P( A) 1 P( A) 1 (1 0.8)n 1 0.2n
根据题意，得：
∴P(A)=P(A1· 2)= P（A1）· A P（A2)=0.8×0.7=0.56 答:从校外向四中数学组打电话,打通的概率为0.56。
高三数学事件的相互独立性
C100 · C99
③从中抽两次,每次1件则两次都抽 1· 1 C C 出次品的概率是_ ___ 4 4
(放回抽取) C1001· C1001
( 互斥事件)
求 较 复 杂 事 件 概 率
分类
正向 分步
P(A+B)= P(A) + P (B) P(A· B)= P(A) ·P (B)
( 互独事件)
(1-a)(1-b)
A
B
6.某系统由A,B,C三个元件组成, 每个元件正常工作概率为P. 2- P3 P+P 则系统正常工作的概率为____
C
7.在100件产品中有4件次品. ①从中抽 2 件 , 则 2 件都是次品概率 2 C4 为___ C100 2 ②从中抽两次,每次1件则两次都抽 1· 1 C C 4 3 出次品的概率是___ 1 1
事件的相互独立性(2)
习题课
复习回顾
1、事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概 率为： P(AB)= P(A)P(B) .
一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
P（A1· A2……An）=P（A1）· P（A2）……P（An）
3、如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（即A， B中有一个发生）的概率：P(A+B)= P(A)+P(B) .
一般地，如果事件 A 1、A 2、...A n ，彼此互斥，那 么事件 A1 A2 +...+An 发生（即 A 1、A 2、...A n 中 恰有一个发生）的概率：
条件概率及互相独立事件-高考数学知识点
条件概率及互相独立事件-高考数学知识点条件概率及互相独立事件一、条件概率
条件概率是一种带有附加条件的概率。
是指若事件A与事件B是相依事件，即事件A的概率随事件B是否发生而变化，同样，事件B的概率与随事件A是否发生而变化，则在事件A已发生的条件下，事件B出现的概率称为事件B的条件概率。
条件概率就是事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下的发生概率。
条件概率表示为P(A|B)，读作“在 B 条件下 A 的概率”。
P(A|B)=P(AB)/P(B),P(B|A)=P(AB)/P(A)
二、独立事件
相互独立事件: 事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
三、热定预测
预测高考可能会对独立事件的概率、n次独立事件的概率、n次独立重复试验的概率、二项分布重点考察。
解答题仍会保持中等难度，分值约为10分。
条件概率与互相独立事件在高二的课程中就已经还是涉及。
概率之相互独立事件
模块一、相互独立事件一、知识点梳理 1、相互独立事件1）相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。
2）相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ .二、例题精讲相互独立事件的概率习题1、任意抛掷三枚硬币，恰有2枚硬币正面朝上的概率为（ ） A 、43 B 、 83 C 、31 D 、41 2、电灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，则三个灯泡在1000小时以后最多有一个坏了的概率是（ ）A 、0.401B 、0.104C 、0.410D 、0.0143、将一枚硬币连掷五次，若五次中有两次出现正面的概率为P 1，有3次出现正面的概率为P 2，则P 1 与P 2的大小关系是__________________。
4、某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率； (2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)5、名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31。
（1）设X 为这名学生在途中遇到的红灯次数，求X 的分布列； （2）设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列； （3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率。
6、（2010辽宁）甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为32和43，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）模块二、独立重复试验一、独立重复试验1、独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验2、独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项3、散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 0 1 …k … nPnn q p C 00 111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n由于kn k k n q p C -恰好是二项展开式 011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝b(k ；n ，p)．独立重复试验概率习题1、某射手每次射击击中目标的概率是0.8,求这名射手在 10 次射击中,(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．) 解：设X 为击中目标的次数，则X ～B (10, 0.8 ) . (1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为P (X = 8 ) ＝88108100.8(10.8)0.30C -⨯⨯-≈.(2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为 P (X ≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )8810899109101010101010100.8(10.8)0.8(10.8)0.8(10.8)C C C ---⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-0.68≈.2、（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布． 解：依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以，P (ξ=0)=02C (95%)2=0.9025，P (ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095， P (2=ξ)=22C (5%)2=0.0025．因此，次品数ξ的概率分布是ξ 0 1 2 P 0.9025 0.095 0.00253、重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．解：依题意，随机变量ξ～B ⎪⎭⎫ ⎝⎛61,5．∴P (ξ=4)=6561445⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C =777625，P (ξ=5)=55C 561⎪⎭⎫ ⎝⎛=77761． ∴P (ξ>3)=P(ξ=4)+P (ξ=5)=388813 4、某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率 解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A ．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率4454455(4)0.8(10.8)0.80.41P C -=⨯⨯-=≈ 答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即4454555555555(4)(5)(4)0.8(10.8)0.8(10.8)P P P P C C --=+==⨯⨯-+⨯⨯- 450.80.80.4100.3280.74=+≈+≈答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74． 5、某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）解：记事件A ＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率55513(0)(1)()44P =-=， 1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率145511(1)(1)44P C =⨯⨯-，所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为[]551(0)(1)0.37P P P =-+≈ 答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37．点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法例6．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n 次 记事件A ＝“射击一次，击中目标”，则()0.25P A =．∵射击n 次相当于n 次独立重复试验，∴事件A 至少发生1次的概率为1(0)10.75n n P P =-=-．由题意，令10.750.75n-≥，∴31()44n ≤，∴1lg4 4.823lg 4n ≥≈，∴n 至少取5．答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次例7．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次，∴从低层到顶层停不少于3次的概率3364455549999991111111()()()()()()()2222222P C C C C =++++3459990129999999911()()2()()22C C C C C C C ⎡⎤=+++=-++⎣⎦+991233(246)()2256=-=设从低层到顶层停k 次，则其概率为k9999111C ()()()222k k k C -=，∴当4k =或5k =时，9kC 最大，即991()2k C 最大，答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大．例8．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；（2）按比赛规则甲获胜的概率．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12． 记事件A =“甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=． ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=．(2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++， 又因为事件A 、B 、C 彼此互斥，故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=． 答：按比赛规则甲获胜的概率为12．例9．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 20.3010=） 解：记事件A ＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8P A =，()10.80.2P A =-=， （1）设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%． ∵每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则00()(0)0.8(10.8)0.2n n n n P B P C ==-= ∴()1()10.2n P B P B =-=-．由题意，令()98%P B >，所以0.20.02n<，两边取常用对数得，lg0.2lg0.02n <．即(lg 21)lg 22n -<-，∴lg 22 1.69902.43lg 210.6990n ->=≈-，且n N ∈，所以取3n ≥．答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384P C =⨯⨯==，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384课堂练习：1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p -2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）()A 32100.70.3C ⨯⨯ ()B 1230.70.3C ⨯⨯ ()C 310 ()D 21733103A A A ⋅ 3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）()A 33351A A - ()B 211232323355A A A A A A ⋅⋅+ ()C 331()5- ()D 22112333232()()()()5555C C ⨯⨯+⨯⨯ 4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 5．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）6．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．7．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为 ．8．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为31，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求： ⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率； ⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率10．（1）设在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为8081，试求在一次试验中事件A 发生的概率（2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为13，求在第n 次才击中目标的概率 答案：1. C 2. D 3. A 4. A 5. 0.784 6. 0.0467. 23 8.（1）()323551240333243P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()5552211113243P B P B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 9.⑴5550.90.59049C =； ⑵5550.10.00001C =；⑶()3325530.90.10.0729P C =⋅=； ⑷()()55450.91854P P P =+= 10.(1) 23P = (2) 112()33n P -=⋅模块三、条件概率一、条件概率及其性质1.对于两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号)|(A B P 来表示，其公式为)()()|(A P AB P A B P =. 2.条件概率的性质 ①1)|(0≤≤A B P ；②如果B 和C 是两个互斥事件，则)|()|()|(A C P A B P A C B P +=⋃.1、（2011辽宁）从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，事件A =“取到的两个数之和为偶数”，事件B =“取到的两个数之均为偶数”，则)|(A B P = ( )2、已知103)(=AB P ，53)(=A P ，则=)|(A B P ________. 3、已知随机变量X 服从二项分布)31,6(~B X ,则)2((=X P 等于 （ ）A.1613B.2434C.24313D.24380选修2-3 2.2.1 条件概率补充练习一、选择题1．下列式子成立的是( )A ．P (A |B )＝P (B |A ) B ．0<P (B |A )<1C ．P (AB )＝P (A )·P (B |A )D ．P (A ∩B |A )＝P (B ) [答案] C[解析] 由P (B |A )＝P (AB )P (A )得P (AB )＝P (B |A )·P (A )． 2．在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( )A.35B.25C.110 D.59[答案] D[解析] 设第一次摸到的是红球(第二次无限制)为事件A ，则P (A )＝6×910×9＝35，第一次摸得红球，第二次也摸得红球为事件B ，则P (B )＝6×510×9＝13，故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为P ＝P (B )P (A )＝59，选D.3．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A.56B.910C.215D.115[答案] C[解析] 本题主要考查由条件概率公式变形得到的乘法公式，P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215，故答案选C. 4．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( )A.14B.13C.12D.35[答案] B[解析] 抛掷红、黄两颗骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，两颗骰子点数之积包含4×6,6×4,6×5,6×6共4个基本事件．所以其概率为4361236＝13.5．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )A.56B.34C.23D.13[答案] C6．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在吹东风的条件下下雨的概率为( )A.911B.811C.25D.89[答案] D[解析] 设事件A 表示“该地区四月份下雨”，B 表示“四月份吹东风”，则P (A )＝1130，P (B )＝930，P (AB )＝830，从而吹东风的条件下下雨的概率为P (A |B )＝P (AB )P (B )＝830930＝89.7．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是( )A.23B.14C.25D.15[答案] C[解析] 设A i 表示第i 次(i ＝1,2)取到白球的事件，因为P (A 1)＝25，P (A 1A 2)＝25×25＝425，在放回取球的情况P (A 2|A 1)＝25×2525＝25.8．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )A ．1B.12C.13D.14[答案] B[解析] 设A i 表示第i 次(i ＝1,2)抛出偶数点，则P (A 1)＝1836，P (A 1A 2)＝1836×918，故在第一次抛出偶数点的概率为P (A 2|A 1)＝P (A 1A 2)P (A 1)＝1836×9181836＝12，故选B.二、填空题9．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为________．[答案] 0.310．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．[答案]9599[解析] 设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到正品”为事件B ，则P (A )＝5100，P (AB )＝5100×9599，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝9599.准确区分事件B |A 与事件AB 的意义是关键．11．一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是________．[答案] 12[解析] 一个家庭的两个小孩只有3种可能：{两个都是男孩}，{一个是女孩，另一个是男孩}，{两个都是女孩}，由题目假定可知这3个基本事件的发生是等可能的．12．从1～100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为________．[答案]3350[解析] 根据题意可知取出的一个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数共有33个，故所求概率为3350.三、解答题13．把一枚硬币任意掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现正面”，求P (B |A )．[解析] P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝14， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.14．盒中有25个球，其中10个白的、5个黄的、10个黑的，从盒子中任意取出一个球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率．[解析] 解法一：设“取出的是白球”为事件A ，“取出的是黄球”为事件B ，“取出的是黑球”为事件C ，则P (C )＝1025＝25，∴P (C )＝1－25＝35，P (B C )＝P (B )＝525＝15∴P (B |C )＝P (B C )P (C )＝13. 解法二：已知取出的球不是黑球，则它是黄球的概率P ＝55＋10＝13.15．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？[解析] 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球． P (B )＝42＋4＝23，P (B －)＝1－P (B )＝13. (1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵P (A |B －)＝38＋1＝13， ∴P (A )＝P (A ∩B )＋P (A ∩B －)＝P (A |B )P (B )＋P (A |B －)P (B －) ＝49×23＋13×13＝1127.16．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人．从该班任选一个作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率． [解析] 设事件A 表示“选到第一组学生”， 事件B 表示“选到共青团员”． (1)由题意，P (A )＝1040＝14.(2)要求的是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率P (A |B )．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝4 15.。
专题18 事件的相互独立性
事件的相互独立性知识点一 相互独立事件的概念对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称独立. 知识点二 相互独立事件的性质如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立. 【例1】判断下列事件是否为相互独立事件.(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.【例2】（2022•秀屿区月考）下列说法正确的个数有( )（1）掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M = “出现偶数点”， N = “出现3点或6点”．则M 和N 相互独立；（2）袋中有大小质地相同的3个白球和1个红球．依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是13；（3）甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中标率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98；（4）柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出地鞋不成双”的概率是45． A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】（2021•新高考Ⅰ）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ) A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立【例4】（2022•乙卷）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1p ，2p ，3p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则( ) A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大【例5】（2022•南海区月考）电路从A 到B 上共连接了6个开关，每个开关闭合的概率为23．若每个开关是否闭合相互之间没有影响，则从A 到B 连通的概率是( )A ．1027B ．100243C ．448729D ．4081【例6】（2022•东莞市月考）甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为p ，若甲赢得比赛的概率为q ，则q p -取得最大值时(p = )A ．12B C D 【例7】（2022•多选•麒麟区期末）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A 表示事件“两次掷出的点数之和是4”， B 表示事件“第二次掷出的点数是偶数”， C 表示事件“两次掷出的点数相同”， D 表示事件“至少出现一个奇数点”，则( ) A ．A 与C 互斥B ．3()4P D =C ．B 与D 对立 D ．B 与C 相互独立【例8】（2022•多选•南关区月考）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果；记A = “Ⅰ号最子出现的点数为1”； B = “Ⅱ号骰子出现的点数为2”； C = “两个点数之和为8”； D = “两个点数之和为7”，则以下判断不正确的是( )A ．A 与B 相互独立 B ．A 与D 相互独立C ．B 与C 相互独立D ．C 与D 相互独立 【例9】（2022•多选•萨尔图区月考）下列关于概率的命题，正确的有( ) A ．若事件A ，B 满足12(),()33P A P B ==，则A ，B 为对立事件B ．若事件A ，B 满足122(),(),()339P A P B P AB ===，则A ，B 相互独立C ．若对于事件11,,,()()(),()28A B C P A P B P C P ABC ====，则A ，B ，C 两两独立D ．若对于事件A ，B ，A 与B 相互独立，且P （A ）0.7=，P （B ）0.6=，则()0.42,()0.88P AB P A B ==【例10】（2022•多选•福州期末）在某社区兴办的“环保我参与”有奖问答比赛活动中，甲、乙、丙3个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是34，甲、丙2个家庭都回答错的溉率是112，乙、丙2个家庭都回答对的概率是14，若各家庭回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是( )A．乙家庭回答对这道题的概率为38B．丙家庭回答对这道题的概摔为78C．有0个家庭回答对的概率为596D．有1个家庭回答对的概率为712【例11】（2020•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12．（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率．【例12】（2019•新课标Ⅱ）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求(2)P X=；（2）求事件“4X=且甲获胜”的概率．同步训练1.（2021•天津）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为23；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．2.（2020•天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为16；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．3．（2019•新课标Ⅰ）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是0.18．4.（2022•昆山市期中）甲乙两运动员打乒乓球比赛，采用7局4胜．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时甲得分的概率为12，各球的结果相互独立在某局双方10:10平后，乙先发球，则甲以13:11赢下此局的概率为()A．29B．19C．16D．1185.（2022•东城区月考）射击运动员甲、乙分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9．两人中恰有一人射中目标的概率是()A．0.06B．0.16C．0.26D．0.726.（2022•保定月考）甲、乙两名同学进行投篮训练，已知甲同学每次投篮命中的概率为13，乙同学每次投篮命中的概率为12，两名同学每次投篮是否命中相互独立．若甲、乙分别进行2次投篮，则他们命中的次数之和不少于2的概率为()A．12B．59C．23D．347.（2022•多选•汶上县月考）某社区开展“防疫知识竞赛”，甲、乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为()A．(1)(1)p q q p pq-+-+B．p q+C．pq D．1(1)(1)p q---8．（2022•多选•长清区月考）从甲袋中摸出一个红球的概率是14，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( ) A ．2个球都是红球的概率为18B ．2个球中恰有一个红球的概率为12C ．至少有1个红球的概率为38D ．2个球不都是红球的概率为789.（2022•多选•鲤城区期中）某高中多媒体制作社团制作了m 个视频，n 张图片(m ，*n N ∈，1)m n >>，从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A ，“视频甲入选”为事件B ，“图片乙入选”为事件C ，下列判断正确的是( ) A ．P （A ）P =（B ）P +（C ） B ．P （A ）P =（B ）P ⋅（C ）C ．()()()P A P BC P BC =+D ．()()P BC P BC >10.（2022•多选•广州期末）已知某随机试验的两个随机事件A ，B 概率满足P （A ）0>，P （B ）0>，事件C = “事件A 与事件B 恰有一个发生”，则下列命题正确的有( )A ．若B A =，则A ，B 是互斥事件 B ．若A ，B 是互为独立事件，则A ，B 不可能是互斥事件C ．()P AB P >（C ）D ．()P AB P <（C ）11.（2015•北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“⨯”表示未购买．（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？12.（2022•邹城市期中）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为35，25，15，且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（2）求该选手至多进入第二轮考核的概率．。
相互独立事件
2.2.2 事件的相互独立性、、知识复习问题一：1、条件概率定义及公式2、什么是相互独立事件？A B3、若A，B独立，则A、，B，关系如何？4、什么是互斥事件？对立事件？、、知识学习问题二：互斥事件与独立事件的区分：互斥事件与独立事件的区分：（1）互斥事件：一次试验中的两个事件，不可能同时发生。
（2）相互独立事件：两个试验中的各一个事件，一个事件是否发生对另一个事件是否发生没有影响。
这两个事件可以同时发生，也可同时不发生。
问题三：两相互独立事件同时发生的概率：例题1某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；（注：指定号码为中奖号码）(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．例1解答提示：(1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A）U（B）表示．由于事件A 与B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A）十P （B）=P（A）P （）+ P （）P（B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A）U（B）表示．由于事件AB , A 和 B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P ( AB ) + P（A）+ P （ B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：（1）人都射中目标的概率；（2）人中恰有人射中目标的概率；（3）人至少有人射中目标的概率；（4）人至多有人射中目标的概率？例2解答提示：记“甲射击次，击中目标”为事件，“乙射击次，击中目标”为事件，则与，与，与，与为相互独立事件，（1）人都射中的概率为：，∴人都射中目标的概率是．（2）“人各射击次，恰有人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件发生）根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：∴人中恰有人射中目标的概率是．（3））：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是，∴“两人至少有1人击中目标”的概率为．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为：．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率解：分别记这段时间内开关，，能够闭合为事件，，．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是．答：在这段时间内线路正常工作的概率是．例3 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？例3解答提示：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A、B、C，则P（A）=0.9，P（B）=0.8，P（C）=0.85，P=[1-P（A）]•[1-P（B）]•[1-P（C）]=（1-0.9）×（1-0.8）×（1-0.85）=0.003答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003．（Ⅱ）P=[1-P（A）]•P（B）•P（C）+P（A）•[1-P（B）]•P（C）+P（A）•P（B）•[1-P（C）] =（1-0.9）×0.8×0.85+0.9×（1-0.8）×0.85+0.9×0.8×（1-0.85）=0.329．答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329．例4三个元件T 1、T 2、T 3正常工作的概率分别为将它们中某两个元件并联后再和,43,43,21第三元件串联接入电路.（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.11例4解答提示：记“三个元件T 1、T 2、T 3正常工作”分别为事件A 1、A 2、A 3，则.43)(,43)(,21)(321===A P A P A P （Ⅰ）不发生故障的事件为（A 2+A 3）A 1.（2分）∴不发生故障的概率为32152141411[)()]()(1[)4)(()(])[(1321311321=⨯⨯-=⋅⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P 分（Ⅱ）如图，∴把T 2或T 3放在T 1的位置才能使电路中不发生故障的概率最大．此时不发生故障的概率最大.证明如下：图1中发生故障事件为（A 1+A 2）·A 3∴不发生故障概率为3221)()]()(1[)()(])[(3213213212=⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P )11(12分P P >∴。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
个事件叫做相互独立事件．
趣味思考：
三个臭皮匠能否抵过诸葛亮？
比赛双方：诸葛亮和臭皮匠团队
比赛规则：各位选手必须独立解题，团队 中有一人解出即为获胜。
已知诸葛亮想出计谋的概率为0.8，三个 臭皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率各 为0.6、0.5、0.4.问这三个臭皮匠能胜过 诸葛亮吗 ？
例2 在某段时间内，甲地下雨的概率是 0.2，乙地下雨的概率是0.3。假定在这 段时间内两地是否下雨相互之间没有影 响，计算在这段时间内：
（1）甲、乙两地都下雨的概率；
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
（3）其中至少有一个地方下雨的概率。
(1)0.2*0.3=0.6 (2)(1-0.2) ·(10.3)=0.56 (3)1-0.56=0.44
一、复习提问:
1、互斥事件的定义？ 2、对立事件的定义？ 3、互斥事件中有一个发生的概 率公式？ 4、对立事件中有一个发生的概 率公式？
（1）一个坛子里有6个白球，3个黑球，l个红球，
设摸到一个球是白球的事件为 A ，摸到一个球是黑球 的事件为B ，问 A与 B是互斥事件呢，还是对立事件？
（2）甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2 个白球，2个黑球．设从甲坛子里摸出一个球，得到白
如何求一些事件的概率： ① 分清事件类型 ② 分解复杂问题为基本的互斥事件与相 互独立事件.
诸葛亮与臭皮匠答案分析：至少一个臭 皮匠想出计谋即可。可用间接法。
集体的力量大于个人！
作业： 习题三2、3、6
（3）事件A：在一次考试中，张三的成绩及格 与事件B：在这次考试中李四的成绩不及格。
（4）一个口袋内装有2个白球和2个黑球,把 “从中任意摸出1个球,得到白球”记作事件A, 把“从剩下的3个球中任意摸出1个球,得到白 球”记作事件B。
（5）生产一种零件, 记“从甲车间生产的零 件中,抽取一件合格品”为事件A,”从乙车间生 产的零件中,抽取一件合格品”为事件B。
观察P(A·B)与P(A)、 P(B)之间有何关系？
有P(A·B)= P(A) ·P(B)=0.6×0.6=0.36
归纳总结： 性质4：若A、B是相互独立事件，则有
P（A·B）= P（A）·P（B）
即两个相互独立事件同时发生的 概率，等于每个事件发生的概率的 积。
推广：
如果事件A1，A2，…An相互独立， 那么这n个事件同时发生的概率，等 于 每个事件发生的概率的积.即： P（A1·A2·…·An）=P（A1）·P（A2）·…·P(An)
球叫做事件 A，从乙坛子里摸出一个球，得到白球叫 做事件 B．问 A与 B是互斥事件呢？还是对立事件？
还是其他什么关系？
相互独立事件 同时发生的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ率
一．相互独立事件的定义
把“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事 A
件 ，把“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”叫做B
事件 ．很明显，从一个坛子里摸出的是白球还是黑 球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没有影响．
经典例题：
例1 生产一种零件，甲车间的合格率是96%， 乙车间的合格率是95%，从它们生产的零件 中各抽取一件，都抽到合格品的概率是多少？
解：记从甲车间抽到的是合格品为事件A，从 乙车间抽到的是合格品为事件B，则都抽到合 格品可记为A·B
又因为A与B是相互独立事件
∴ P（A·B）= P（A）·P（B） =0.95×0.96=0.912
合作交流
请同学们举出相互独立事件的例子:
例：一个坛子中装有3个白球，2个黑球。 如果有放回地摸取即第一次取出的球放 回去，求两次都取到白球的概率为多少？
分析：设“第一次取出的球是白球”为事件A， 则P(A)=0.6,“第二次取出的球是白球”为事件 B，则P(B)=0.6.
相互独立事件A、B同时发生记 A·B ，即 事件 A·B=“两次取到都是白球”, 如何求 P(A·B)？
② A、B、C都不发生； ③ A、B、C中恰有一个发生； ④ A、B、C中至少有一个发生； ⑤ A、B、C中至多有一个发生.
课后练习
课堂小结:
互斥事件
相互独立事件
定义 概率公式
不可能同时发 事件A是否发生对事件B 生的两个事件 发生的概率没有影响
P(A+B)=P(A)+P(B) P(A B) P(A) P(B)
练习1下列各对事件中，A与B是否是相互独立 事件？ （1）篮球比赛的“罚球两次”，事件A：第 一次罚球，球进了.事件B：第二次罚球，球 进了. （2）现有两个坛子，甲坛子里有3个白球，2 个黑球；乙坛子里有2个白球，2个黑球
事件A：从甲坛子里摸出一个球，得到白球
事件B：从乙坛子里摸出一个球，得到白球.
练习： 甲、乙2人各进行1次射击，如 果2人击中的概率都是0.6，计算:
(1)2人都击中目标的概率；
(2)其中恰有1人击中目标的概率; (3) 目标被击中的概率。
(1)记“甲、乙2人各射击一次，甲击中目标” 为事件A， “甲，乙2人各射击一次，乙击中 目标”为事件B。由于甲（或乙）是否击中， 对乙（或甲）击中的概率是没有影响的，因此 A与B是相互独立事件。又“两人各射击1次，
都击中目标”就是事件A ·B发生。 P（A·B） =P（A）·P（B）=0.6 ·0.6=0.36
(2)包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中， 另一种是甲未击中，乙击中。以上两种情况互 斥，所求概率是P=0.6*(1-0.6)+(1-0.6)*0.6 =0.48
(3)0.84
拓 展 练习：用数学符号语言表示下列关系： 延 伸 ① A、B、C同时发生；