高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)
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高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题
【基础知识点】
一、平行问题
1.直线与平面平行的判定与性质
定义判定定理性质性质定理
图形
条件a∥α
结论a∥αb∥αa∩α=a∥b
2. 面面平行的判定与性质
判定
性质
定义定理
图形
条件α∥β,a⊂β
结论α∥βα∥βa∥b a∥α
平行问题的转化关系:
二、垂直问题
一、直线与平面垂直
1.直线和平面垂直的定义:直线l与平面α内的都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论
文字语言图形语言符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直
推论
如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面
3.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理
垂直于同一个平面的
两条直线平行
4.直线和平面垂直的常用性质
①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平
面的垂线,则这两个平
面垂直
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直,则一个
平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平
面
【典例探究】
类型一、平行与垂直
例1、如图,已知三棱锥A BPC -中,,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点,D 为PB 中点,且△PMB 为正三角形。(Ⅰ)求证:DM ∥平面APC ;
(Ⅱ)求证:平面ABC ⊥平面APC ;
(Ⅲ)若BC 4=,20AB =,求三棱锥D BCM -的体积。
M
D
A
P
B
C
例2.
如图,已知三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥底面ABC ,2AC BC ==,14AA =,AB =M ,N 分别是棱1CC ,AB 中点.
(Ⅰ)求证:CN ⊥平面11ABB A ; (Ⅱ)求证://CN 平面1AMB ;
(Ⅲ)求三棱锥1B AMN -的体积.
【变式1】. 如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧棱1
AA ⊥平面ABC ,ABC ∆为等腰直角三角形,
90=∠BAC ,且1AA AB =,F E D ,,分别是BC CC A B ,,11的中点。 (1)求证://DE 平面ABC ; (2)求证:⊥F B 1平面AEF ;
(3)设AB a =,求三棱锥D AEF -的体积。
A
B
C
A 1
B 1
C 1
M N
二、线面平行与垂直的性质
例3、如图4,在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,AB DC ∥,PAD △是等边三角形,已知24BD AD ==,225AB DC ==.
(1)求证:BD ⊥平面PAD ; (2)求三棱锥A PCD -的体积.
例4、如图,四棱锥P —ABCD 中,⊥PD 平面ABCD ,底面ABCD 为正方形,BC=PD=2,E 为PC 的中
点,.3
1
CB CG =
(I )求证:PC BC ⊥; (II )求三棱锥C —DEG 的体积; (III )AD 边上是否存在一点M ,使得//PA 平面MEG 。若存在,求AM 的长;否则,说明理由。
【变式2】直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1底面ABCD 是直角梯形,∠BAD =∠ADC =90°,AB =2AD =2CD =2. (Ⅰ)求证:AC ⊥平面BB 1C 1C ;(Ⅱ) A 1B 1上是否存一点P ,使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行?证明你的结论.
三、三视图与折叠问题
例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。 若F 为PD 的中点,求证:AF ⊥面PCD ; (1) 证明:BD ∥面PEC ; (2) 求三棱锥E PBC -的体积。
A
B
E
P
D
C
4
4 2 2
4
4 4 正视图
侧视图
俯视图
例6.已知四边形ABCD 是等腰梯形,AB DE BAD DC AB ⊥︒=∠==,45,1,3(如图1)。现将ADE
∆沿DE 折起,使得EB AE ⊥(如图2),连结AB AC ,。 (I )求证:平面⊥ADE 平面ACD ;
(II )试在棱AB 上确定一点M ,使截面EMC 把几何体分成两部分的体积比1:2:=MECB ADCME V V ; (III )在点M 满足(II )的情况下,判断直线AD 是否平行于平面EMC ,并说明理由。
【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示,E 为PD 中点.(I )求证:PB//平面AEC ;(II )求四棱锥C PAB -的体积; (Ⅲ)若F 为侧棱PA 上一点,且
λ=FA
PF
,则λ为何值时,⊥PA 平面BDF.
E
C
A
D
P
M E D C B
A E D
C B
A 图1
图2