数学物理方程习题
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
α |α|≤m aα (x)∂x , u(x) ∈ ∞ ∈ C0 ,请给出t P 的形式
D′ (Ω)
定义< P u, φ >=< u, t P φ >, φ
7.设P (x, D)是一个C ∞ 系数的线性偏微分算子. 证明： ∑ 1 α α (1)P (x, ξ + η ) = α α ξ P (x, η ); ! ∑ ! α (2)利用莱布尼茨公式∂ = β +γ =α βα ∂ β u · ∂ γ v, 证明： !γ ! ∑ P (x, ∂ )(uv ) = ∂ β u · Rα (x, ∂ )v,
(4).u ∈ D ′ (Ω)为偶广义函数当且仅当对任一奇的φ ∈ D ′ (Ω) 均有 < u, φ >= 0. 12.证明：若f (x) = H (x) cos x, g (x) = H (x) sin x,则 f ′ (x) = δ (x) − g (x), g ′ (x) = f (x), 因此g 与f 分别适合微分方程 u′′ + u = δ , u′′ + u = δ ′ .
∑ 1 ξ α ∂ α uP α (x, η ) α ! α
是一个重要的公式，称为推广的莱布尼茨公式.又以后对任一函数F (x, ξ )恒
β α 记F(β ) (x, ξ ) = ∂x ∂ξ F (x, ξ )，即下标表示对x求导，上标表示对ξ 求导. (α)
8.设有C ∞ (R)函数列{fn (x)}满足 1
· )(ξ ); (3).φ ˆ(cξ ) = |c|−nwenku.baidu.comF (φ( c ∑n 8.多项式P (x) = k=0 ak xk ∈ S ′ , 求它的傅里叶变换.
ˆ∗ g (2)f · g = (2π )−n (f ˆ)
第五章一般理论 1.求下列算子的基本解 (1)P (D) =
d dx
4 (2)P (D) = (3)P (D) = 1.证明∆ =
5.设f ∈ C 3 (Rn )，证明在D ′ (R)中 < δ (t, ·), f (·) >= f (0)δ (t). 6. Duhamel原理:设U (x, t, τ )满足 ∂U = a2 ∂ 2 U , x ∈ R, t > τ (τ > 0), ∂t ∂x2 U | = f (x, τ ).
第三章卷积 1.证明δ ∗ f = f , 当(1)f ∈ C (Rn ), (2)f ∈ D′ (Rn )
3 2.证明 (1)设f ∈ D′ (Rn ), g ∈ D(Rn ),α1 + α2 = α, 则有∂ α (f ∗ g ) = ∂ α1 f ∗ ∂ α2 g (2)设f ∈ D′ (Rn ), g ∈ E ′ (Rn ),α1 + α2 = α, 则有∂ α (f ∗ g ) = ∂ α1 f ∗ ∂ α2 g 3.设f (x) ∈ D′ (Rn ), Ψϵ (x)为磨光核，则f ∗ Ψϵ = fϵ (x) ∈ C ∞ 且有fϵ (x) → f (x) 在D′ (Rn )中成立 4.设f, g, h ∈ D′ (Rn ),其中至少有两个广义函数具有紧支集，证明(f ∗ g ) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) 5.设f ∈ D′ (Rn ),g ∈ E ′ (Rn ),证明suppf ∗ g ⊂ suppf + suppg 6.设f ∈ E ′ (Rn ),g 是一个m次多项式,证明f ∗ g 也是一个m次多项式 第四章Fourier变换 1.证明： ˆ(ξ ), xα f (x)(ξ ) = (−D)α f ˆ(ξ ) (1)设f (x) ∈ S (Rn ),则(Dα f (x))(ξ ) = ξ α f ′ n α α ˆ(ξ ), xα f (x)(ξ ) = (−D) f ˆ(ξ ) (2)设f (x) ∈ S (R ),则(Dα f (x))(ξ ) = ξ f 2.设f (x), g (x) ∈ S (Rn ) 证明 ˆ· g (1)f ∗ g = f ˆ ∑ α 3.设P (x, D)是一个C ∞ 系数的线性偏微分算子P (x, D) = |α|≤m aα (x)Dx ,其 ∑ α −1 算 子 象 征 为σ (x, ξ ) = σ (x, ξ )F ,其 |α|≤m aα (x)ξ ， 证 明P (x, D ) = F 中F 为Fourier变换。 4.证明δ (x, t)关于x部分作Fourier变换< δ (x, t), e−ixξ >= δ (t) ˆ ˆ = (2π )δ 5.设x ∈ R,证明(1)δ ( x) = 1, (2)1 6..设P (ξ ), Q(ξ )皆为常系数多项式, 证明以下各命题等价: (1).φ(x) ∈ S ; (2).对任意P (ξ ), Q(ξ ),P (x)Q(D)φ ∈ S ; (3).对任意P (ξ ), Q(ξ ),Q(D)[P (x)φ(x)] ∈ S . 7.对于φ(x) ∈ S 证明其傅里叶变换有以下性质: (1).F (φ)(−ξ ) = F (φ ˇ)(ξ ) = (2π )n F −1 (φ)(ξ ); (2).τh (F (φ))(ξ ) = φ ˆ(ξ − h) = F (ei<·,h> φ)(ξ );
∂Ω
in Ω
in Ω
∂v dS = ∂n
∫ ∫ ∫ u∆vdx +
Ω
∫ ∫ ∫ ∑ 3 ∂u ∂v dx. ∂x j ∂xj Ω j =1
这里u,v 皆假设足够光滑.利用此式证明: 若u是诺依曼问题∆u = 0 于Ω 中,
∂u | ∂n ∂ Ω
= f,的解, 则问题的一切解必可表
示为u + C , C 为常数. 当然所有u + C 也都是此问题之解. ¯ ∩ C 2 (Ω), 并且u在Ω上有: ∆u ≥ 0, u ̸≡ 10.若Ω是有界连通开集, u ∈ C (Ω) C (常数), 则u必不可在Ω内部达到其上确界. 11.设G(P, Q)为格林函数, 证明: (1)0 < −G(P, Q) <
d2 dx2 d + dx
α, α ∈ R .
2 + ∂r , 其中r =
第六章Laplace方程
n −1 ∂r r 3
√ 2 x2 1 + ... + xn
2.设开集Ω ⊂ R 有界，边界∂ Ω光滑，u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), Q ∈ Ω 证明 ∫ 1 ∂u ∫ ∫ ∆u u ∂ ( 1 )ds − 41 u(Q) = 41 ds − 41 dx π ∂ Ω r ∂n π ∂ Ω ∂n r π Ω r 3.证明球面平均值公式，球体平均值公式 4.证明调和函数的极值原理 5.利用极值原理证明以下Dirichlet问题的唯一性和稳定性 ∆u = 0 u|∂ Ω = f 6.利用Green函数求解上半平面的Dirichlet问题 ∆u(x, y ) = 0 y > 0 u|y=0 = f (x) 7.利用Green函数求解圆Ω上的Dirichlet问题 ∆u = 0 u|∂ Ω = f (x) ¯ ∩ C 2 (Ω), 证明： 8.设Ω = BR (Q)(以Q为心、 R为半径的开圆域), u ∈ C (Ω) ∫∫ ∫∫∫ 1 (1).u(Q) = 4πR )∆udx. u(P )dSp + 41 (1 − 1 2 π r ∂BR (Q) BR (Q) R ∫ ∫ 1 (2).若∆u ≥ 0, 则u(Ω) ≤ 4πR2 u(P )dSp . ∂BR (Q) 9.证明第一格林公式 ∫ ∫ u
(1)limn→∞ fn (x) = δ (x), fn (x) =
t>0
(4)limε→0 Ψε (x) = δ (x)，其中Ψε (x) 为磨光核。 10.设a(x) ∈ C ∞ (Ω),u ∈ D ′ (Ω),证明 ∂ ∂u ∂a (au) = a + u. ∂xi ∂xi ∂xi 11.若广义函数u适合u ˇ = u,(ˇ u = −u),则称u为偶(奇)广义函数.证明： (1).δ (x)与常值函数c皆为偶广义函数. (2).偶广义函数之微商是奇广义函数. (3).任一广义函数u ∈ D ′ (Ω)皆可唯一地分解为一个偶广义函数与一个奇广 义函数之和如下： u(x) = 1 1 (u(x) + u ˇ(x)) + (u(x) − u ˇ(x)). 2 2
1 定理的叙述: 若u(Q)在A点附近调和, u(Q) = o(1) r(A,Q , 则可补充u(Q)在A之 )
值使得u(Q)在A点得邻域中调和. 16.设P 为常系数线性偏微分算子，且有基本解E (x), 满足singsuppE = {0}则P 为亚椭圆的。 (Thm6.3.2) 第七章热传导方程 1.求解热传导算子的基本解 2.求解热传导方程的Cauchy问题 { ∂u − a2 ∆u = f (x, t) t > 0 ∂t u(x, t)|t=0 = φ(x) 3.求解热传导方程的初边值问题. {
2 (i)对任意M > 0,当|a| < M ,|b| < M 时有| (ii)固定a, b有
n→∞
∫b
a
fn (x)dx| ≤ c
lim fn (x) = {
0 a·b>0 1 a<0<b
则有limn→∞ fn (x) = δ (x). 9.证明下列广义极限成立
1 n π n2 x2 +1 (2)limt→0 ft (x) = δ (x), ft (x) = 2√πte1 −x2 /4t 1 sin nx (3)limn→∞ fn (x) = δ (x), fn (x) = π n
α
其中Rα (x, ∂ )一个C ∞ 系数的线性偏微分算子; (3)证明：P (x, ∂ )ex·η = P (x, η )ex·η , 这里x · η = x1 η1 + · · · + xn ηn ; (4)在(2)中令u = ex·ξ , v = ex·η , 在利用(1)，(3)证明(2)中的 Rα (x, ∂ ) = 此题中得到的 P (x, ∂ )(uv ) = 1 α α ξ P (x, η ). α!
1 , r (P,Q)
当P ̸= Q, P, Q ∈ Ω.
5 (2) ∫
∂Ω ∂G(P,Q) dSp ∂n
= 1.
12.当n = 3时, 求上半空间{(x, y, z ); z > 0} 的格林函数. 并给出相应的狄利 克雷问题的解. 13.证明哈纳克不等式：设u在以Q为心R为半径的圆B 内非负调和, 而且 ¯ 上连续, 则 在B
∂u ∂t u − a2 ∂ =0 ∂x2
2
t>0
u(x, t)|t=0 = φ(x) u(0, t) = u(l, t) = 0
6 4.求解热传导方程的初边值问题. {
∂u ∂t u − a2 ∂ = f (x, t) t > 0 ∂x2
2
u(x, t)|t=0 = g (x) u(0, t) = φ1 (t) u(l, t) = φ2 (t)
广义函数与数学物理方程习题
第二章广义函数
∞ 1.设f (x) ∈ C k (Ω),则对Ω内的任意紧子集合K ，必存在一族C0 函数列使得
在K 上函数列以及其直到k 阶的微分一致收敛于f (x)和其相应的微分 2.构造截断函数f (x),并证明|∂ α f (x)| ≤ Mα ε−|α| 3.证明Lloc (Ω) ⊂ D′ (Ω) 4.设f (x) ∈ D′ (Ω), f |Ω = 0 则对任意开集U ⊂ Ω有f |U = 0; 反之若Ω有一个 开覆盖{Uα }且对所有α成立f |Uα = 0则有f |Ω = 0. 5.证明H ′ (x) = δ (x) 6.设C ∞ 系数线性微分算子P = ∑
R −ρ u(Q) R+ρ
≤ u(P ) ≤
R +ρ u(Q). R −ρ
P ∈ B 是B 内任意点, ρ = |P Q|. 14.证明以下更一般的哈纳克不等式： (1)设u ≥ 0是Ω中的调和函数, B4R (Q) ⊂ Ω, 证明对BR (Q)中任二点p1 , p2 有 ∫ u(P1 ) = |BR |−1 BR (P1 ) u(x)dx, ∫ ∫ u(P2 ) = |B3R |−1 B3R (P2 ) u(x)dx ≥ |B3R |−1 BR (P1 ) u(x)dx. (2)利用(1)证明 supBR (Q) u ≤ 3n inf BR (Q) u. (3)证明一般的哈纳克不等式：设u ≥ 0在Ω中调和, K ⊂⊂ Ω是Ω的连通子集, 必可找到一个只与n, K, Ω有关的常数C 使 supK u ≤ C inf K u. 15.证明n = 3时的可去奇点定理.
D′ (Ω)
定义< P u, φ >=< u, t P φ >, φ
7.设P (x, D)是一个C ∞ 系数的线性偏微分算子. 证明： ∑ 1 α α (1)P (x, ξ + η ) = α α ξ P (x, η ); ! ∑ ! α (2)利用莱布尼茨公式∂ = β +γ =α βα ∂ β u · ∂ γ v, 证明： !γ ! ∑ P (x, ∂ )(uv ) = ∂ β u · Rα (x, ∂ )v,
(4).u ∈ D ′ (Ω)为偶广义函数当且仅当对任一奇的φ ∈ D ′ (Ω) 均有 < u, φ >= 0. 12.证明：若f (x) = H (x) cos x, g (x) = H (x) sin x,则 f ′ (x) = δ (x) − g (x), g ′ (x) = f (x), 因此g 与f 分别适合微分方程 u′′ + u = δ , u′′ + u = δ ′ .
∑ 1 ξ α ∂ α uP α (x, η ) α ! α
是一个重要的公式，称为推广的莱布尼茨公式.又以后对任一函数F (x, ξ )恒
β α 记F(β ) (x, ξ ) = ∂x ∂ξ F (x, ξ )，即下标表示对x求导，上标表示对ξ 求导. (α)
8.设有C ∞ (R)函数列{fn (x)}满足 1
· )(ξ ); (3).φ ˆ(cξ ) = |c|−nwenku.baidu.comF (φ( c ∑n 8.多项式P (x) = k=0 ak xk ∈ S ′ , 求它的傅里叶变换.
ˆ∗ g (2)f · g = (2π )−n (f ˆ)
第五章一般理论 1.求下列算子的基本解 (1)P (D) =
d dx
4 (2)P (D) = (3)P (D) = 1.证明∆ =
5.设f ∈ C 3 (Rn )，证明在D ′ (R)中 < δ (t, ·), f (·) >= f (0)δ (t). 6. Duhamel原理:设U (x, t, τ )满足 ∂U = a2 ∂ 2 U , x ∈ R, t > τ (τ > 0), ∂t ∂x2 U | = f (x, τ ).
第三章卷积 1.证明δ ∗ f = f , 当(1)f ∈ C (Rn ), (2)f ∈ D′ (Rn )
3 2.证明 (1)设f ∈ D′ (Rn ), g ∈ D(Rn ),α1 + α2 = α, 则有∂ α (f ∗ g ) = ∂ α1 f ∗ ∂ α2 g (2)设f ∈ D′ (Rn ), g ∈ E ′ (Rn ),α1 + α2 = α, 则有∂ α (f ∗ g ) = ∂ α1 f ∗ ∂ α2 g 3.设f (x) ∈ D′ (Rn ), Ψϵ (x)为磨光核，则f ∗ Ψϵ = fϵ (x) ∈ C ∞ 且有fϵ (x) → f (x) 在D′ (Rn )中成立 4.设f, g, h ∈ D′ (Rn ),其中至少有两个广义函数具有紧支集，证明(f ∗ g ) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) 5.设f ∈ D′ (Rn ),g ∈ E ′ (Rn ),证明suppf ∗ g ⊂ suppf + suppg 6.设f ∈ E ′ (Rn ),g 是一个m次多项式,证明f ∗ g 也是一个m次多项式 第四章Fourier变换 1.证明： ˆ(ξ ), xα f (x)(ξ ) = (−D)α f ˆ(ξ ) (1)设f (x) ∈ S (Rn ),则(Dα f (x))(ξ ) = ξ α f ′ n α α ˆ(ξ ), xα f (x)(ξ ) = (−D) f ˆ(ξ ) (2)设f (x) ∈ S (R ),则(Dα f (x))(ξ ) = ξ f 2.设f (x), g (x) ∈ S (Rn ) 证明 ˆ· g (1)f ∗ g = f ˆ ∑ α 3.设P (x, D)是一个C ∞ 系数的线性偏微分算子P (x, D) = |α|≤m aα (x)Dx ,其 ∑ α −1 算 子 象 征 为σ (x, ξ ) = σ (x, ξ )F ,其 |α|≤m aα (x)ξ ， 证 明P (x, D ) = F 中F 为Fourier变换。 4.证明δ (x, t)关于x部分作Fourier变换< δ (x, t), e−ixξ >= δ (t) ˆ ˆ = (2π )δ 5.设x ∈ R,证明(1)δ ( x) = 1, (2)1 6..设P (ξ ), Q(ξ )皆为常系数多项式, 证明以下各命题等价: (1).φ(x) ∈ S ; (2).对任意P (ξ ), Q(ξ ),P (x)Q(D)φ ∈ S ; (3).对任意P (ξ ), Q(ξ ),Q(D)[P (x)φ(x)] ∈ S . 7.对于φ(x) ∈ S 证明其傅里叶变换有以下性质: (1).F (φ)(−ξ ) = F (φ ˇ)(ξ ) = (2π )n F −1 (φ)(ξ ); (2).τh (F (φ))(ξ ) = φ ˆ(ξ − h) = F (ei<·,h> φ)(ξ );
∂Ω
in Ω
in Ω
∂v dS = ∂n
∫ ∫ ∫ u∆vdx +
Ω
∫ ∫ ∫ ∑ 3 ∂u ∂v dx. ∂x j ∂xj Ω j =1
这里u,v 皆假设足够光滑.利用此式证明: 若u是诺依曼问题∆u = 0 于Ω 中,
∂u | ∂n ∂ Ω
= f,的解, 则问题的一切解必可表
示为u + C , C 为常数. 当然所有u + C 也都是此问题之解. ¯ ∩ C 2 (Ω), 并且u在Ω上有: ∆u ≥ 0, u ̸≡ 10.若Ω是有界连通开集, u ∈ C (Ω) C (常数), 则u必不可在Ω内部达到其上确界. 11.设G(P, Q)为格林函数, 证明: (1)0 < −G(P, Q) <
d2 dx2 d + dx
α, α ∈ R .
2 + ∂r , 其中r =
第六章Laplace方程
n −1 ∂r r 3
√ 2 x2 1 + ... + xn
2.设开集Ω ⊂ R 有界，边界∂ Ω光滑，u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), Q ∈ Ω 证明 ∫ 1 ∂u ∫ ∫ ∆u u ∂ ( 1 )ds − 41 u(Q) = 41 ds − 41 dx π ∂ Ω r ∂n π ∂ Ω ∂n r π Ω r 3.证明球面平均值公式，球体平均值公式 4.证明调和函数的极值原理 5.利用极值原理证明以下Dirichlet问题的唯一性和稳定性 ∆u = 0 u|∂ Ω = f 6.利用Green函数求解上半平面的Dirichlet问题 ∆u(x, y ) = 0 y > 0 u|y=0 = f (x) 7.利用Green函数求解圆Ω上的Dirichlet问题 ∆u = 0 u|∂ Ω = f (x) ¯ ∩ C 2 (Ω), 证明： 8.设Ω = BR (Q)(以Q为心、 R为半径的开圆域), u ∈ C (Ω) ∫∫ ∫∫∫ 1 (1).u(Q) = 4πR )∆udx. u(P )dSp + 41 (1 − 1 2 π r ∂BR (Q) BR (Q) R ∫ ∫ 1 (2).若∆u ≥ 0, 则u(Ω) ≤ 4πR2 u(P )dSp . ∂BR (Q) 9.证明第一格林公式 ∫ ∫ u
(1)limn→∞ fn (x) = δ (x), fn (x) =
t>0
(4)limε→0 Ψε (x) = δ (x)，其中Ψε (x) 为磨光核。 10.设a(x) ∈ C ∞ (Ω),u ∈ D ′ (Ω),证明 ∂ ∂u ∂a (au) = a + u. ∂xi ∂xi ∂xi 11.若广义函数u适合u ˇ = u,(ˇ u = −u),则称u为偶(奇)广义函数.证明： (1).δ (x)与常值函数c皆为偶广义函数. (2).偶广义函数之微商是奇广义函数. (3).任一广义函数u ∈ D ′ (Ω)皆可唯一地分解为一个偶广义函数与一个奇广 义函数之和如下： u(x) = 1 1 (u(x) + u ˇ(x)) + (u(x) − u ˇ(x)). 2 2
1 定理的叙述: 若u(Q)在A点附近调和, u(Q) = o(1) r(A,Q , 则可补充u(Q)在A之 )
值使得u(Q)在A点得邻域中调和. 16.设P 为常系数线性偏微分算子，且有基本解E (x), 满足singsuppE = {0}则P 为亚椭圆的。 (Thm6.3.2) 第七章热传导方程 1.求解热传导算子的基本解 2.求解热传导方程的Cauchy问题 { ∂u − a2 ∆u = f (x, t) t > 0 ∂t u(x, t)|t=0 = φ(x) 3.求解热传导方程的初边值问题. {
2 (i)对任意M > 0,当|a| < M ,|b| < M 时有| (ii)固定a, b有
n→∞
∫b
a
fn (x)dx| ≤ c
lim fn (x) = {
0 a·b>0 1 a<0<b
则有limn→∞ fn (x) = δ (x). 9.证明下列广义极限成立
1 n π n2 x2 +1 (2)limt→0 ft (x) = δ (x), ft (x) = 2√πte1 −x2 /4t 1 sin nx (3)limn→∞ fn (x) = δ (x), fn (x) = π n
α
其中Rα (x, ∂ )一个C ∞ 系数的线性偏微分算子; (3)证明：P (x, ∂ )ex·η = P (x, η )ex·η , 这里x · η = x1 η1 + · · · + xn ηn ; (4)在(2)中令u = ex·ξ , v = ex·η , 在利用(1)，(3)证明(2)中的 Rα (x, ∂ ) = 此题中得到的 P (x, ∂ )(uv ) = 1 α α ξ P (x, η ). α!
1 , r (P,Q)
当P ̸= Q, P, Q ∈ Ω.
5 (2) ∫
∂Ω ∂G(P,Q) dSp ∂n
= 1.
12.当n = 3时, 求上半空间{(x, y, z ); z > 0} 的格林函数. 并给出相应的狄利 克雷问题的解. 13.证明哈纳克不等式：设u在以Q为心R为半径的圆B 内非负调和, 而且 ¯ 上连续, 则 在B
∂u ∂t u − a2 ∂ =0 ∂x2
2
t>0
u(x, t)|t=0 = φ(x) u(0, t) = u(l, t) = 0
6 4.求解热传导方程的初边值问题. {
∂u ∂t u − a2 ∂ = f (x, t) t > 0 ∂x2
2
u(x, t)|t=0 = g (x) u(0, t) = φ1 (t) u(l, t) = φ2 (t)
广义函数与数学物理方程习题
第二章广义函数
∞ 1.设f (x) ∈ C k (Ω),则对Ω内的任意紧子集合K ，必存在一族C0 函数列使得
在K 上函数列以及其直到k 阶的微分一致收敛于f (x)和其相应的微分 2.构造截断函数f (x),并证明|∂ α f (x)| ≤ Mα ε−|α| 3.证明Lloc (Ω) ⊂ D′ (Ω) 4.设f (x) ∈ D′ (Ω), f |Ω = 0 则对任意开集U ⊂ Ω有f |U = 0; 反之若Ω有一个 开覆盖{Uα }且对所有α成立f |Uα = 0则有f |Ω = 0. 5.证明H ′ (x) = δ (x) 6.设C ∞ 系数线性微分算子P = ∑
R −ρ u(Q) R+ρ
≤ u(P ) ≤
R +ρ u(Q). R −ρ
P ∈ B 是B 内任意点, ρ = |P Q|. 14.证明以下更一般的哈纳克不等式： (1)设u ≥ 0是Ω中的调和函数, B4R (Q) ⊂ Ω, 证明对BR (Q)中任二点p1 , p2 有 ∫ u(P1 ) = |BR |−1 BR (P1 ) u(x)dx, ∫ ∫ u(P2 ) = |B3R |−1 B3R (P2 ) u(x)dx ≥ |B3R |−1 BR (P1 ) u(x)dx. (2)利用(1)证明 supBR (Q) u ≤ 3n inf BR (Q) u. (3)证明一般的哈纳克不等式：设u ≥ 0在Ω中调和, K ⊂⊂ Ω是Ω的连通子集, 必可找到一个只与n, K, Ω有关的常数C 使 supK u ≤ C inf K u. 15.证明n = 3时的可去奇点定理.