理论力学 动力学 达朗贝尔原理

1 m 2 FΙ = ∫ ω x sin α ⋅ dx = mlω 2 sin α 0 l 2
l
ω
C
FT B FAy
A
mg FAx
B
x FI
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0
∑MA = 0
FAx + FΙ − FT = 0 FAy − mg = 0
α
A
l 2 FT l cos α − FΙ l cos α − mg sin α = 0 3 2
本周作业
《练习册》第45～46页 达朗贝尔原理（1）
习题1 轴承处不产生附加动约束力：是指惯性力系自成一个平 衡力系 习题4 求角加速度：以A点为基点分析B点
《练习册》第47～48页
习题2：支承A处光滑 习题4 动力学综合应用
达朗贝尔原理（2）
今天交作业：碰撞共1张作业纸，班级 编号在101及以后的双号请直接交给我。
FI2
mg
A
ω
FAx
FAy
∑F
x
=0
0 FBx + FAx + FI1 − FI2 =
∑F
3个“平衡方程”未知量： 3个约束反力
= 0 FAy − 2mg = 0 mLω 2 sin 2θ FAx = − FBx = h FAy = 2mg
y
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例
均质杆AB长为l，质量为m，以匀角速 度ω 绕 z 轴转动，如图。求：杆与铅 垂线的交角 及铰链 A的反力。 解： 分析运动，杆上各点作圆 周运动，ω匀速，故只有法 向加速度 加惯性力 dm =
n n n * FR = ∑ Fi + ∑ Fi + ∑ FiI = 0 i=1 i=1 i=1
n n n * M o = ∑ M o (Fi )+ ∑ M o (Fi )+ ∑ M o (FiI )= 0 i=1 i=1 i=1
主矢 主矩
0 ∑ Fi + ∑ FIi = 0 ∑ M O ( Fi ) + ∑ M O ( FIi ) =
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y1 FT3
F′T1
FI＝m1lω
2sinα
重锤静止，无惯性力。
3、应用动静法： 对于球 B
∑ Fx1 = 0 ∑ Fy1 = 0
对于重锤 C
m1lω 2sin α − ( FT1 + FT2 )sin α = 0 m1 g + ( FT1 − FT2 )cosα = 0
′ ＝FT3 , FT1
B
FBx
θ
FI1
mg
解：以整体为研究对象，应用动静法求解 。画受力图、建坐标系、 加惯性力、建静 力学“平衡”方程、求解。
2 F = F = ma = ma = mL ω sin θ ？ n I1 I2
∑M
A
=0
L
C
− FBx h − FI1 (0.5h + L cos θ ) − mgL sin θ 0 + FI2 (0.5h − L cos θ ) + mgL sin θ =
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质点系的动静法——在质点系运动的任一瞬时，作用于质 点系的主动力、约束反力与虚加的质点惯性力在形式上组 成一个“平衡”力系。 将作用力分为内力 Fi 和外力 Fi ，则上式可写为
∗ Fi + = Fi + FIi 0 = (i 1, 2,, n)
∗
由静力学知，空间一般力系应满足 主矢： 主矩：
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∑ M A = = Fq1 cos ϕ + Fq 2 cos ϕ , 2 2 3
3 g sin ϕ 3a cos ϕ + l sin ϕ
采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力 学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。 §14-3 刚体惯性力系的简化 惯性力系：所有惯性力组成的力系
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本周作业
《练习册》第45～46页 达朗贝尔原理（1）
习题1 轴承处不产生附加动约束力：是指惯性力系自成一个平 衡力系 习题4 求角加速度：以A点为基点分析B点
《练习册》第47～48页
习题2：支承A处光滑 习题4 动力学综合应用
达朗贝尔原理（2）
下周交作业：达朗贝尔原理（1）、（2） 共2张作业纸，班级编号在1~20的单号 请直接交给我。
d FIR =
m dη l 法向加速度为 ω 2η sin ϕ
m d ηω 2η sin ϕ l
dFIR与η成线性关系
简化惯性力系
FIR = ∫
l 0
m 2 1 ω sin ϕηdη = ml sin ϕω 2 l 2
注意：如果沿直线平行分布力不与该直线垂直，则 该荷载的合力大小不等于荷载图的面积，需积分计算， 14 但合力作用线仍通过荷载图的形心。
例 题
已知： 求：
离心调速器
m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； ω－ O1 y1轴的旋转角速度。
O1 l α α l A l C
x1
ω
l
B
ω－ α 的关系。
解： 1、分析受力：以球 B(或A)和重锤C 为研究对象，分析所受的主动力和约束力 2、分析运动：施加惯性力。 球绕O1y1轴作等速圆周 运动，惯性力方向与法向 加速度方向相反，其值为 FT2 B FT1 FI C m1 g m2 g
∑MA = 0
FAx + FΙ − FT = 0 FAy − mg = 0
α
A
l 2 FT l cos α − FΙ l cos α − mg sin α = 0 3 2
dFI
16
1 1 2 FT = mlω sin α + mg tan α 3 2 1 1 2 FAx = − mlω sin α + mg tan α 2 6 FAy = mg
4
本章的所有习题必须用本章的原理（达朗 贝尔原理、动静法）求解。 受力图中出现惯性力； 用“平衡”方程求解动力学问题。
1. 2.
5
第十四章 动静法（达朗伯原理、达朗贝尔原理）
§14-1 惯性力的概念 质点的达朗伯原理
FN
设质量为m的质点在主动力 F 和约束反力 FN 的作用下运动。 则有 改写上式 令 于是
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§14-3
质点系惯性力系的简化
z
一、一般质点系的惯性力系简化 d = Σ = − Σ = − Σ F F m a m v 惯性力主矢： I Ii i i i i dt dp d p = Σmi vi = mvc FI = − = − (mvc ) = − mac dt dt 惯性力主矢与简化中心的选择无关 惯性力主矩（ 2种简化方法）： 1.向固定点o简化：
11
应该强调指出，该质点并非处于平衡状态，实 际上质点也未真正受到惯性力作用。在质点上假想 地加上惯性力，是为了借用静力学方法求解动力学 问题。
[注] 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。
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例：已知： AB = h, AC = h / 2, ω , θ , L, m，求A、B的约束力。
为d（可省略）
**利用合力矩定理求合力的作用点，设F 作用点到A的距离 IR
FIR ⋅ d cos ϕ = ∫ dFIR ⋅η cos ϕ = ∫
0
l
l
0
m 2 ω sin ϕ cos ϕη 2 dη l
=
将FIR代入,得 列平衡方程
ΣM A = 0 FIR
m 2 2 l ω sin ϕ cos ϕ 3
方法二：直接法
P ω 2a q1 = , g l
B x = a + r sin ϕ， x
a q1
P ω 2 l sin ϕ P ω 2 (a + l sin ϕ ) = q1 + , q2 = g l g l
p g l 2
Fq1 = q1 ⋅ l , Fq 2 = ω 2 sin ϕ ,
Fq1 Fq2 q2
m2 g ′＝ FT1 , 2cosα
FT2
′ ＝FT1 FT1
FT3 B FT1 FI C m1 g m2 g
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F′T1
m1 + m 2 cosα = g 2 m1lω
§14-2 质点系的达朗伯原理 F1 m1 a1 FN2 FI2 F2 m2 FIi FI1 FN1 FNi mi Fi ai 质点系的主动力系
= F + FN ma
——质点的惯性力 F + FN + FI = 0
F + FN + (−ma ) = 0 FI = −ma
a
FI
M
F
——质点的动静法（达朗伯原理） 质点的达朗伯原理——在质点运动的任一瞬时，质点所受 的主动力、约束反力与虚加的质点惯性力在形式上组成一 个“平衡”力系。 6
10
主矢为零
e F ∑ x + ∑ Fgx = 0, e F ∑ y + ∑ Fgy = 0,
∑F +∑F
e z
gz
= 0,
主矩为零
e m ( F ∑ x ) + ∑ m x ( Fg ) = 0
∑m
y
( F e ) + ∑ m y ( Fg ) = 0
e
∑ m (F
z
) + ∑ m z ( Fg ) = 0
2
回顾：
质点系动力学：研究质点系整体运动特征量（动 量、动量矩和动能）的变化与作用力间的关系。
主 要 内 容
•质点系的动量定理 •质点系的动量矩定理 •质点系的动能定理