数理统计课后题答案完整版(汪荣鑫)

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数理统计(汪荣鑫版)习题答案详细版

所以
X1 + X 2 + X3 N (0,1)
3
X1
+
X2 3
+
X3
2
χ 2 (1)
同理
X4
+
X5 3
+
X
6
2
χ 2 (1)
由于 χ2 分布的可加性，故
D X1 + X2 + X3 =1 3
1Y 3
=
X1
+
X2 3
+
X3
2
+
X4
+
X5 3
+
X6
2
可知
C=1
3
16. 解：（1）因为 ( ) Xi N 0,σ 2
题的结果可知
x = 2000 + y = 2240.444
sx2
=
s
2 y
= 197032.247
5. 解：变换
yi = 100( xi − 80)
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
xi 79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02
y
∫ FY4
( y) =
P {Y4
≤
y} =
P σY42
≤
y σ2
=
σ2 0
fχ2(1) ( x)dx
fχ2
(y) =
F' Y4
(y) =
y fχ2 (1) σ 2

数理统计答案(汪荣鑫)(2)

n
i
xi
)
1 n
i
Exi
1 n
n
1
1
1
Dx D( n
i
xi ) n2
i
Dxi n2
i
Dx n
13.设X1,X2,…,Xn是区间（-1，1）上均匀分布的母体的一个子样，试求子样平均数的
均值和方差。
解：x U (1,1), Ex 11 0, Dx 22 1
2
12 3
1
1
Ex E( n
解：作变换
yi
xi
100, a
100,
y
1 n
i
yi
10 5
0
x a y 100
sx2
sy2
1 n
i
yi 2
2
y
1 5
[(8)2
(6)2
32
52
62]
0
34
12.设X1,X2,…,Xn是参数为的泊松分布的母体的一个子样，是子样平均数，试求EX 和DX。
解：
x
p(), E x E(1
2
0 )为(2.125 0.0041)
n
（2）若未知
构造函数 T x t(n 1)
S* / n
给定置信概率90%，查得t0.05(15) 1.7531，有
p( T t (n 1)) 1
2
∴母体平均数的置信概率为90%的置信
区间为(x t0.05 (15)
s* )
n
，即（2.125±0.0075）
a
cyi
xi (a cyi ),nx na cny,x a c y
i
i
而sx2

数理统计课后题答案完整版

第一章3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11nii x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a c y==+=+∑所以 x a c y =+ 成立因为 ()2211n x i i s x xn ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c y n c y y n====+--=-=-∑∑∑又因为 ()2211n y i i s y yn ==-∑所以 222xys c s = 成立 6. 解：变换()1027i i y x =-11li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=- 2710yx=+= ()2211lyi i i s m y yn ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s == 7解：*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()22*11li i i s m x xn ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦=8解：将子样值重新排列（由小到大） -4，，，，，0，0，，，，，，()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--==== 9解：121211121211n n i j i j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n x n n +=+()12221121n n ii s x x n n +==-+∑()()()1212221122111122121222222111222112212122222211221122112212121222211211122121n n i i n n i ji j x xn n x x n x n x n n n n n s x n sx n x n xn n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n sn n +====-++⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭+++⎛⎫+=-⎪++⎝⎭⎛⎫+++=+- ⎪+++⎝⎭+++=++∑∑∑()()()()()()22212211222122222112212112212122121222212121122212122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n sn n n n +-++++-=+++-+=+++12. 解：()ix P λ i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =⋅⋅⋅1122111111n n i i i i nni i i i n E X E x Ex n n n n DX D x Dx n nn n λλλλ============∑∑∑∑13.解：(),ix U a b 2i a b Ex += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中()1,1i x U - 0i Ex = 13i Dx = 1,2,,i n =⋅⋅⋅112111101113n ni i i i nni ii i E X E x Ex n n DX D x Dx n nn ==========∑∑∑∑14.解：因为()2,iXN μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以 ()0,1i X N μσ- 1,2,,in =⋅⋅⋅由2χ分布定义可知()222111nniii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布所以 ()2Yn χ15. 解：因为()0,1iX N1,2,,i n =⋅⋅⋅()1230,3X X X N ++0=1=所以()0,1N()221χ同理()221χ由于2χ分布的可加性，故()222123Y χ=+可知 13C =16. 解：（1）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}11122Y Yy F y P Y y P σσ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭()220yf x dx σχ=⎰()()211'221Y Y y f y F y f χσσ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200ny n nY y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（2）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}()22222220nyY nYny F y P Y y P f x dx σχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()222'22Y Y ny nf y F y f χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭故 ()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（3）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =所以()22311n i Y n χσ=⎛= ⎝(){}()()22333210yn Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()()233'2211Y Y y f y F y f n n χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()221000x x f x x χ-⎧>=≤⎩故 ()232000y n Y y f y y σ-⎧>=≤⎩ （4）因为()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以()()1224210,11ni ni N Y χσ==⎛= ⎝(){}()()()()()224224442210'2211yY Y Y y F y P Y y P f x dxy f y F y f σχχχσσσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 故()242000yY y f y y σ-⎧>=≤⎩17.解：因为 ()Xt n存在相互独立的U ，V()0,1UN ()2Vn χ 使X = ()221Uχ则 221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ18解：因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =()221n mi i n X m χσ+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑所以()1nniX Yt m ==（2）因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+()()221221ni i n mi i n X n X m χσχσ=+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑所以 ()221122211,ni n i ii n mn mi ii n i n X m X n Y F n m X n X mσσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解：用公式计算()20.010.019090χ=查表得 0.01 2.33U =代入上式计算可得()20.01909031.26121.26χ=+=20.解：因为()2Xn χ 2E n χ= 22D n χ=由2χ分布的性质3可知()0,1N{}P X c P ≤=≤22lim t n P dt -→∞-∞≤==Φ 故 {}PX c ≤≈Φ第二章 1.,0()0,0()()1()111x x x x xe xf x x E x f x xdx xe dxxe e d x e xλλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-⎧≥=⎨<⎩=⋅==-+=-==⎰⎰⎰令从而有1x λ∧= 2.()111121).()(1)(1)1111k k x x E x k p p p k p ppp ∞∞--===-=-==⎡⎤--⎣⎦∑∑令1p ＝X所以有1p X ∧=２）．其似然函数为1`11()(1)(1)ni x i i nX nni L P P p p p -=-=∑=-=-∏1ln ()ln ()ln(1)ni i L P n p X n p ==+--∑1ln 1()01ni i d L n X n dp p p ==--=-∑解之得11nii np X X∧===∑３．解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以()2122!2!!()12ni i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧∧+=--⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎧=⎪⎨⎪=⎩∑222（a-b ）（） D （X ）=12令E （X ）= D （X ）=S ，1S =n a+b 2（）a 4. 解：（1）设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为：111()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0nni i i nii in i i L x x i nL n x d L nx d θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑（-1）解之得：11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑（2）母体X 的期望1()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞-∞===+⎰⎰而样本均值为：11()1nii X x n E x X X Xθ=∧===-∑令得5.。

数理统计王荣鑫答案

数理统计习题答案第一章1.解： ()()()()()()()12252112222219294103105106100511100519210094100103100105100106100534n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=∑∑∑2. 解：子样平均数 *11li i i X m x n ==∑()118340610262604=⨯+⨯+⨯+⨯=子样方差 ()22*11li i i S m x x n ==-∑()()()()222218144034106422646018.67⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎣⎦=子样标准差 4.32S == 3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11ni i x x n ==∑()1111ni i ni i a c y n n a c y n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1ni i ca y n a c y==+=+∑所以 x a c y =+ 成立()2211nxi i s x x n ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c yn c y y n====+--=-=-∑∑∑因为 ()2211nyi i s y yn ==-∑ 所以222x y s c s = 成立()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====4. 解：变换 2000i i y x =-11n i i y y n ==∑()61303103042420909185203109240.444=--++++-++= ()2211n y i i s y y n ==-∑()()()()()()()()()222222222161240.444303240.4441030240.4449424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247=--+--+-+⎡⎣-+-+-+⎤--+-+-⎦=利用3题的结果可知2220002240.444197032.247x y x y s s =+===5. 解：变换 ()10080i i y x =-13111113n i i i i y y y n ====∑∑[]12424334353202132.00=-++++++-+++++=()2211nyi i s y y n ==-∑()()()()()()22222212 2.0032 2.005 2.0034 2.001333 2.003 2.005.3077=--+⨯-+-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+--⎦=利用3题的结果可知2248080.021005.30771010000yx yx s s -=+===⨯6. 解：变换()1027i i y x =-11li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=-2710yx =+=26.85 ()2211lyi ii s m y y n ==-∑()()()()222212351.5391.54121.5341.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s ==162 *11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()22*11li i i s m x x n ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦= 8解：将子样值重新排列（由小到大）-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====9解： 121211121211n n i ji j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n x n n +=+ ()12221121n n ii s x x n n +==-+∑()()()1212221122111122121222222111222112212122222211221122112212121222211211122121n n i i n n iji j x xn n x xn x n x n n n n n s x n s x n x n xn n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n sn n +====-++⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭+++⎛⎫+=-⎪++⎝⎭⎛⎫+++=+- ⎪+++⎝⎭+++=++∑∑∑()()()()()()22212211222122222112212112212122121222212121122212122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n s n n n n +-++++-=+++-+=+++解：()200.1460.3670.75790.9910110x x F x x x x ⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩158 162 166 170 174 178 18212. 解：()ix P λ i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =⋅⋅⋅1122111111n n i i i i nni i i i n E X E x Ex n n n n DX Dx Dx n n n nλλλλ============∑∑∑∑13.解：(),ix U a b 2i a bEx += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中 ()1,1ix U - 0i Ex = 13i Dx = 1,2,,i n =⋅⋅⋅112111101113n ni i i i nni i i i E X E x Ex n n DX Dx Dx n n n==========∑∑∑∑14.解：因为 ()2,iX N μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以()0,1i X N μσ- 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 由2χ分布定义可知 ()222111nni ii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布所以 ()2Yn χ15. 解：因为 ()0,1i X N 1,2,,i n =⋅⋅⋅ ()1230,3X X X N ++0=1= 所以()0,1N()221χ同理()221χ由于2χ分布的可加性，故()222123Y χ=+可知 13C =16. 解：（1）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}11122Y Yy F y P Y y P σσ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭()220yf x d xσχ=⎰()()211'221Y Y y f y F y f χσσ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200n y n n Y y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（2）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}()22222220nyY nYny F y P Y y P f x dx σχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()222'22Y Y ny nf y F y f χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭故 ()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（3）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =所以()22311ni Y n χσ=⎛= ⎝(){}()()22333210yn Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()()233'2211Y Y y f y F y f n n χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()221000x x f x x χ-⎧>=≤⎩故 ()232000y n Y y f y y σ-⎧>=≤⎩（4）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 所以()()1224210,11ni ni N Y χσ==⎛= ⎝(){}()()()()()224224442210'2211yY Y Y y F y P Y y P f x dxy f y F y f σχχχσσσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 故 ()242000y Y y f y y σ-⎧>=≤⎩17.解：因为 ()X t n存在相互独立的U ，V()0,1UN ()2Vn χ使X =()221U χ则 221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ18解：因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =()221n mi i n X m χσ+=+⎛⎫⎪⎝⎭∑所以()1nniX Y t m ==（2）因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+()()221221ni i n mi i n X n X m χσχσ=+=+⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑所以 ()221122211,ni n i ii n m n mi ii n i n X m X n Y F n m X n X m σσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解：用公式计算()20.010.019090χ= 查表得 0.012.33U =代入上式计算可得 ()20.01909031.26121.26χ=+= 20.解：因为 ()2X n χ 2E n χ= 22D n χ=由2χ分布的性质3可知()0,1N{}P X c P≤=≤22lim tnP dt-→∞-∞≤==Φ故{}P X c≤≈Φ第二章1.00,0()0,0()()1()111xxx xxe xf xxE x f x xdx xe dxxe e d xexλλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-⎧≥=⎨<⎩=⋅==-+=-==⎰⎰⎰令从而有1xλ∧=2.()111121).()(1)(1)1111k kx xE x k p p p k pppp∞∞--===-=-==⎡⎤--⎣⎦∑∑令1p＝X所以有1pX∧=２）．其似然函数为1`11()(1)(1)nix i in X nniL P P p p p-=-=∑=-=-∏1ln()ln()ln(1)niiL P n p X n p==+--∑３．解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以()2122!2!!()12n i i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧∧+=--⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎧=-⎪⎨⎪=+⎩∑222（a-b ）（） D （X ）=12令E （X ）= D （X ）=S ，1S =n a+b 2（）a 4. 解：（1）设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为：111()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0n ni i i nii inii L x x i nL n x d L nxd θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑（-1）解之得：11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑（2）母体X 的期望1()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞-∞===+⎰⎰而样本均值为：11()1nii X x n E x X X Xθ=∧===-∑令得5.。

数理统计课后习题答案答案(汪荣鑫版本)

L

i 1
n

k
( k 1) !
xi
k 1
e
xi
(
1 ( k 1) !
)
n
nk
( xi )
i 1
n
k 1

xi
i
e
ln L n ln ( k 1) ! n k ln ln ( x i )
i 1
n
k 1

i
xi
d ln L d
1 i n
12设母体X服从正态分布 N ( ,1), ( X 1 , X 2 ) 是从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三个估计量 2 1 （1）＾ X 1 X 2 1
2 （2）＾
3 1
（3）＾ 3
4 1
X1
3 3
都是的无偏估计，并求出每个估计量的方差。问哪一个方差最小？ 2 1 2 1 2 1 解：＾ E ( x x ) E x E x E
2 2
X
2

U
2
2
/n
,由 F 分布定义 X
2
F (1, n )
Page 6
8设母体 X N (40, 5 ) ,从中抽取容量n的样本
2
求（1）n=36时， (3 8 P 解： x N ( 4 0, 5 )
2
x 4 3)
64
P 3 8 x 4 3 P{
i i i i
D x D(
1
n
i
xi )
1 n
2
Dx
i
i

1 n

(完整版)汪荣鑫版数理统计习题答案chapitre1

n i 1n i 1n i 1第一章1•在五块条件基本相同的田地上种植某种作物，亩产量分别为（单位：斤），求子样平均数和子样方差。

解： -1 nX x i 100n i 121 n2 —2SX i x 34n i 12•从母体中抽取容量为 60的子样，它的频数分布求子样平均数与子样方差，并求子样标准差。

s .18.67 4.322 2 2x a cy,s x c s y 。

解：由变换y inX ii 1X i a 即X icy i ,nxa cy ina cnycnai 1X a cy由2 1n _21 n2c 2 n_ 2 2 2而s xX i Xa cy i a cy yi y C解:—1l* .Xmi i X4n i 1 2 1* 2 — 2sm i x i x 18.67ni 192, 94, 103, 105， 1063•子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值 X i ,X 2, ,X n 的平均数为为x 。

作变换 y占一a ，得到y i , y 2,c,y n ，它的平均数为— 2y 和方差为S y X 和方差。

试证：ni 110得到它的子样的下列观测数据（单位：磅/英寸2）： 1815, 2020, 2310后利用第3题中的公式获得X 和s 2的数值。

i*m i y i4.对某种混凝土的抗压强度进行研究，1939, 1697， 3030, 2424, 2020, 2909,采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。

先作变换 y iX i2000，再计算y 与s ：，然解：作变换yX i2000，a 2000Y i2164 240.442240.444 2S X2Sy1 nn 2 — y iyi 12197032.2475.在冰的溶解热研究中，测量从0.72 r 的冰变成 0c 的水所需热量，取作试验得到热量数据如下 :79.98， 80.04, 80.02,80.04,80.03,80.03, 80.04,79.97， 80.05， 80.03， 80.02, 80.00,80.02试用变换y i 100X i 80 简化计算法计算子样平均数和子样方差。

数理统计(汪荣鑫)答案第三章

2
∴接受 H0 。 4.某电器零件的平均电阻一直保持在 2.64Ω 。改变加工工艺后，测得 100 个零件的平均电阻为 2.62Ω，电阻标准差 (s) 为 0.06Ω ，问新工艺对此零件的电阻有无显著影响
（α = 0.01 ）？解： n = 100 ， x = 2.62 ， s = 0.06 ①建立原假设 H0 ： µ = 2.64Ω
= Φ(0.575)
= 0.719
3.某批矿砂的 5 个样品中的镍含量经测定为
x(%) 3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24
数理统计(汪荣鑫)Chapitre 3
设测定值服从正态分布。问在α = 0.01 下能否接受假设：这批矿砂的（平均）镍含量为 3.25。解：设 x ~ N (µ,σ 2 ) ，σ 2 未知，计算得 x = 3.252 ， s* = 0.013
问此段时间内该机工作是否正常（α = 5% ）？假定金属棒长度服从正态分布。
解： n = 15 ， x = 10.48 ， s* = 0.2366
①建立原假设 H0 ： µ = 10,5
②在 H 0 成立前提下，构造统计量 T
=
x − µ0 s* / n
~ t(n −1)
{ } ③给定α = 0.05 ，查得 tα (14) = 2.1448 ，使 p T > tα (n −1) = α
=
x − µ0 σn
~
N (0,1)
③给定显著水平α = 0.05 ，有 µα = 1.96 ，使
2
{ } P µ ≥ µα
=
α
即
⎧ P⎨
x
−
µ0
⎫ ≥ 1.96⎬ = 0.05

(完整版)汪荣鑫版数理统计习题答案chapitre1

10011==∑=ni i x n x 3411222=-=∑=n i i x x n s第一章1.在五块条件基本相同的田地上种植某种作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。

解：2.从母体中抽取容量为60的子样，它的频数分布求子样平均数与子样方差，并求子样标准差。

解：411*==∑=li i i x m n x67.181122*2=-=∑=li i i x x m n s32.467.18==s3.子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值n x x x ,,,21⋯的平均数为x 和方差为2x ε。

作变换ca x y i i -=，得到n y y y ,,,21⋯，它的平均数为y 和方差为2y s 。

试证：222,y x s c s y c a x =+=。

解：由变换cax y i i -=，即i i cy a x += ()y cn na x n cy a x ni ini i +=+=∑∑==,11y c a x +=∴而()()()∑∑∑====-=--+=-=ni y in i i n i i xs c y y n c y c a cy a n x x n s 1222212122114.对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的子样的下列观测数据（单位：磅/英寸2）：1939, 1697， 3030, 2424, 2020, 2909， 1815, 2020, 2310 采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。

先作变换2000-=i i x y ，再计算y 与2y s ，然后利用第3题中的公式获得x 和2x s 的数值。

解：作变换2000-=i i x y ，2000=a44.24021649111=⨯==∑=n i i y n y444.2240=+=y a x247.197032112222=-==∑=n i i yxy y n s s5.在冰的溶解热研究中，测量从℃72.0-的冰变成0℃的水所需热量，取13块冰分别作试验得到热量数据如下：79.98， 80.04， 80.02, 80.04, 80.03, 80.03, 80.04， 79.97， 80.05， 80.03， 80.02， 80.00， 80.02 试用变换()80100-=i i x y 简化计算法计算子样平均数和子样方差。

数理统计 (汪荣鑫著) 西安交通大学出版社课后答案

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证明：令
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若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡
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U2 X = 2 ,由F 分布定义 ∴ X 2 ∼ F (1, n) χ /n
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后答
χ 2 ∼ χ 2 (n), 且U 与χ 2独立,U 2亦与χ 2独立
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立， 2 Z2 Z 22 ∼ N (0,1), ∼ χ (1) 3 3 2 2 且与χ 相互独立。由 χ 分布可加性，
Z12 Z 2 2 1 2 1 1 + = ( Z1 + Z 2 2 ) = Y ∼ χ 2 (2),∴ c = 3 3 3 3 3
θ −1
+∞
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2矩法估计
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后答
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试求 σ 的最大似然估计;并问所得估计量是否的无偏估计. ∑x x n n 1 −σ 1 n − σ 解：
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1 −σ e , −∞ < x < ∞ 5.设母体X的密度为 f ( x) = 2σ
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后答
xi − a c
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yi = xi − 100, a = 100, y =
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sx 2 = s y 2 =
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x = a + y = 100
2 1 1 yi 2 − y = × [( −8)2 + ( −6)2 + 32 + 52 + 62 ] − 0 = 34 ∑ 5 n i

《数理统计》汪荣鑫【习题答案】

数理统计课后题答案完整版(汪荣鑫)

第一章3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11nii x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a c y==+=+∑所以 x a c y =+ 成立因为 ()2211nxi i s x xn ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c y n c y y n====+--=-=-∑∑∑又因为 ()2211n y i i s y yn ==-∑所以 222xys c s = 成立 6. 解：变换()1027i i y x =-11li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=- 2710yx=+= ()2211lyi i i s m y yn ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s == 7解： 6266707478*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()22*11li i i s m x xn ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦=8解：将子样值重新排列（由小到大） -4，，，，，0，0，，，，，，()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--==== 9解：121211121211n n i ji j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n x n n +=+()12221121n n ii s x x n n +==-+∑()()()1212221122111122121222222111222112212122222211221122112212121222211211122121n n i i n n i ji j x xn n x x n x n x n n n n n s x n sx n x n xn n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n s n n +====-++⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭+++⎛⎫+=-⎪++⎝⎭⎛⎫+++=+- ⎪+++⎝⎭+++=++∑∑∑()()()()()()22212211222122222112212112212122121222212121122212122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n s n n n n +-++++-=+++-+=+++12. 解：()ix P λ i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =⋅⋅⋅1122111111n n i i i i nni ii i n E X E x Ex n n n n DX Dx Dxn nn nλλλλ============∑∑∑∑13.解：(),ix U a b 2i a b Ex += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中 ()1,1i x U - 0i Ex = 13i Dx = 1,2,,i n =⋅⋅⋅112111101113n ni i i i nni ii i E X E x Ex n n DX Dx Dxn nn==========∑∑∑∑14.解：因为()2,iX N μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以 ()0,1i X N μσ- 1,2,,in =⋅⋅⋅由2χ分布定义可知()222111nni ii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-=⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布所以 ()2Yn χ15. 解：因为()0,1iX N1,2,,i n =⋅⋅⋅()1230,3X X X N ++0=1=所以()0,1N()221χ同理()221χ由于2χ分布的可加性，故()222123Y χ=+可知 13C=16. 解：（1）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}11122Y Yy F y P Y y P σσ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭()220yf x dx σχ=⎰()()211'221Y Y y f y F y f χσσ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200n yn nY y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（2）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}()22222220nyY nYny F y P Y y P f x dx σχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()222'22Y Y ny nf y F y f χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭故()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（3）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =所以()22311n i Y n χσ=⎛= ⎝(){}()()22333210yn Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()()233'2211Y Y y f y F y f n n χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()221000x x f x x χ-⎧>=≤⎩故()232000y n Y y f y y σ-⎧>=≤⎩（4）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以()()1224210,11ni ni N Y χσ==⎛= ⎝(){}()()()()()224224442210'2211y Y Y Yy F y P Y y P f x dxy f y F y f σχχχσσσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰故()242000y Y y f y y σ-⎧>=≤⎩17.解：因为 ()Xt n存在相互独立的U ，V()0,1UN ()2Vn χ使X = ()221Uχ则 221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ18解：因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =()221n mi i n X m χσ+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑所以()1nniX Yt m ==（2）因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+()()221221ni i n mi i n X n X m χσχσ=+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑所以 ()221122211,ni n i ii n mn mi ii n i n X m X n Y F n m X n X mσσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解：用公式计算()20.010.019090χ=查表得 0.01 2.33U =代入上式计算可得()20.01909031.26121.26χ=+=20.解：因为()2Xn χ 2E n χ= 22D n χ=由2χ分布的性质3可知()0,1N{}P X c P ≤=≤22lim t n P dt -→∞-∞≤==Φ 故 {}PX c ≤≈Φ第二章 1. 0,0()0,0()()1()111x x x x xe xf x x E x f x xdx xe dxxe e d x e xλλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-⎧≥=⎨<⎩=⋅==-+=-==⎰⎰⎰令从而有 1x λ∧=2.()111121).()(1)(1)1111k k x x E x k p p p k p ppp ∞∞--===-=-==⎡⎤--⎣⎦∑∑令1p ＝X所以有1p X ∧=２）．其似然函数为1`11()(1)(1)ni x i i nX nni L P P p p p -=-=∑=-=-∏1ln ()ln ()ln(1)ni i L P n p X n p ==+--∑1ln 1()01ni i d L n X n dp p p ==--=-∑解之得11nii np X X∧===∑３．解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以()2122!2!!()12ni i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧∧+=--⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎧=⎪⎨⎪=⎩∑222（a-b ）（） D （X ）=12令E （X ）= D （X ）=S ，1S =n a+b2（）a 4. 解：（1）设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为111()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0nni i i nii ini i L x x i nL n x d L nx d θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑（-1）解之得：11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑（2）母体X 的期望1()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞-∞===+⎰⎰而样本均值为：11()1ni i X x n E x X X Xθ=∧===-∑令得5.。

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数理统计学课后答案

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数理统计习题答案第一章1.解： ()()()()()()()12252112222219294103105106100511100519210094100103100105100106100534n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=∑∑∑ 2. 解：子样平均数 *11li i i X m x n ==∑子样方差 ()22*11l i i i S m x x n ==-∑子样标准差 2 4.32S S == 3. 解：因为 i i x ay c-= 所以 i i x a cy =+所以 x a c y =+ 成立因为 ()2211n y i i s y y n ==-∑ 所以222x ys c s = 成立4. 解：变换 2000i i y x =-1 2 3 4 5 6 7 8 91939 1697 3030 2424 2020 2909 1815 2020 2310-61-303 103042420909-18520310利用3题的结果可知5. 解：变换 ()10080i i y x =-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1379.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.0080.02-2 4 2 4 3 3 4 -3 5 3 2 02利用3题的结果可知 6. 解：变换()1027i i y x =-23.5 26.1 28.2 30.4 -35 -9 12 3423412710yx =+=26.85 7解：身高 154158 158162 162166 166170 170174 174178 178182组中值 156 160 164 168 172 176 180学生数10 14 26 28 12 8 28解：将子样值重新排列（由小到大）-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2， 2.01，2.22，3.2，3.219解： 121211121211n n i ji j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n xn n +=+10.某射手进行20次独立、重复的射手，击中靶子的环数如下表所示：环数 10 9 8 7 6 5 4 频数23942试写出子样的频数分布，再写出经验分布函数并作出其图形。

解：环数 10 9 8 7 6 5 4 频数 2 3 0 9 4 0 2 频率 0.10.150.450.20.111.解：区间划分频数频率密度估计值154158 10 0.1 0.025 158162 14 0.14 0.035 162166 26 0.26 0.065 166170 28 0.28 0.07 170174 12 0.12 0.03 174178 8 0.08 0.02 178182 20.020.005 12. 解： 13.解：(),ix U a b 2i a bEx += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中14.解：因为 ()2,iX N μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以()0,1i X N μσ- 1,2,,i n =⋅⋅⋅由2χ分布定义可知 ()222111nni ii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布所以 ()2Y n χ15. 解：因为 ()0,1i X N 1,2,,i n =⋅⋅⋅ ()1230,3X X X N ++所以()1230,13X X X N ++同理 ()2245613X X X χ++⎛⎫⎪⎝⎭由于2χ分布的可加性，故可知 13C = 16. 解：（1）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200n y n nY y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（2）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以 ()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑故 ()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（3）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以 ()22311n i i X Y n n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑故 ()23210200y n Y e y f y ny y σσπ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩（4）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以()()1224210,11ni i ni i X N n X Y n σχσσ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑故 ()24210200y Y e y f y y y σπσ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 17.解：因为 ()X t n 存在相互独立的U ，V 使 UX V n=则 221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ 18解：因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以 ()1112211nni ii i n m n mi i i n i n X m X n Y t m X nX mσσ==++=+=+==⎛⎫⎪⎝⎭∑∑∑∑（2）因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+所以 ()221122211,ni n i ii n mn mi ii n i n X m X n Y F n m X n X mσσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解：用公式计算查表得 0.01 2.33U =代入上式计算可得 ()20.01909031.26121.26χ=+=20.解：因为 ()2X n χ 2E n χ= 22D n χ= 由2χ分布的性质3可知故 {}2c n P X c n -⎛⎫≤≈Φ⎪⎝⎭第二章1. 从而有 1x λ∧=2.令1p ＝X所以有1p X∧=２）．其似然函数为1`11()(1)(1)ni x i i nX nni L P P p p p -=-=∑=-=-∏解之得11nii np XX∧===∑３．解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以4. 解：（1）设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为：解之得：11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑（2）母体X 的期望而样本均值为：5.。

解：其似然函数为：（2）由于所以11n ii x n σ∧==∑ 为σ的无偏估计量。

6. 解：其似然函数为：解得７．解：由题意知：均匀分布的母体平均数22ββμ=-=，方差1212)0(222ββλ=-= 用极大似然估计法求β得极大似然估计量似然函数：∏==ni nL 11)(θβ β≤≤≤≤≤ni i i i x x 1)(max min 0选取β使L 达到最大取ni i x ≤≤∧=1max β由以上结论当抽得容量为6的子样数值1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，时2.2=∧β即,1.12==∧∧βμ 4033.0122.22.21222≈⨯==∧βσ 8. 解：取子样值为)(),,,(21θ≥i n x x x x则似然函数为： ∏=--=ni x ie L 1)()(θθ θ≥i x要使似然函数最大，则需θ取),,,min(21n x x x即∧θ=),,min(21n x x x9. 解：取子样值)0)(,,(2,1>i n x x x x 则其似然函数∑===-=-∏ni iix n n i x ee L 11)(λλλλλ由题中数据可知则 05.0201==∧λ10. 解：（1）由题中子样值及题意知：极差7.45.12.6=-=R 查表2-1得4299.015=d 故0205.27.44299.0=⨯=∧λ（2）平均极差115.0=R ，查表知3249.0110=d 0455.0115.03249.0=⨯=∧λ 11/解：设∧u 为其母体平均数的无偏估计，则应有x =∧μ 又因4)26261034018(601=⨯+⨯+⨯+⨯=x 即知4=∧μ12. 解：)1,(~μN Xμ=∴)(i x E ，1)(=i x D ， )2,1(=i 则μμ=+=∧2113231)(EX EX E 所以三个估计量321,,∧∧∧μμμ均为μ的无偏估计同理可得85)(2=∧μD ，21)(2=∧μD可知3∧μ的方差最小也亦∧2μ最有效。

13解：)(~λP X λλ==∴)(,)(X D X E 即2*S 是λ的无偏估计又因为λ====∑∑∑===ni i n i i n i i EX n X E n X n E X E 1111)(1)1()(即X 也是λ的无偏估计。

又]1,0[∈∀α λλλαλααα=-+=-+=-+)1()()1()())1((2*2*S E X E S X a E 因此2*)1(S X αα-+也是λ的无偏估计 14.解：由题意：),(~2σμN X因为])(()([)()(21111212i i n i i i i i X X E X X D C X X E C E -+-=-=+-=++∧∑∑λ要使22)(λλ=∧E 只需)1(21+=n C 所以当)1(21-=n C 时2∧λ为2λ的无偏估计。

15.证明：参数θ的无偏估计量为∧θ，∧θD 依赖于子样容量n则,0>∀ε由切比雪夫不等式0lim =∧∞→θD n 故有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∧∞→εθθp n 即证∧θ为θ的相合估计量。

16证明：设X 服从),(p N B ，则分布律为 kk k NP P k X P C )1()(-== ),2,1(N k = 这时NP X E =)( )1()(P NP X D -= 2222)1()(P N P NP EX DX EX +-=+= 例4中N X p -∧=所以P NNPN X E P E ===-∧)(（无偏）罗—克拉美下界满足所以∧=-=P D nNP P I R )1(即∧p 为优效估计17．解：设总体X 的密度函数似然函数为∏=----∑===ni x n x ni i i eeL 12)(222)(221222)2(21)(σμσμπσσπσ因为⎰+∞∞-∂∂dx x f x Lnf )())((22σ=⎰∞+∞-----dx ex x 222)(224221]212)([σμσπσσμ=]2)()([4142248σσμμσ+---X E X E =42σn故2σ的罗—克拉美下界又因∑=∧-=n i i X n E E 122))(1(μσ∑=-=ni i X E n 12))((1μ2σ=且∑=-=n i i X n D D 122))(1()(μσ42σn=所以2∧σ是2∧σ的无偏估计量且)(2∧=σD I R 故2∧σ是2∧σ的优效估计 18．解：由题意：n=100，可以认为此为大子样，所以nS X U μ-=近似服从)1,0(N 得置信区间为ns u x 2(α- )2ns u x α+已知95.01=-α s=40 x =1000 查表知96.12=αu 代入计算得所求置信区间为（992.16 1007.84） 19.解：（1）已知cm 01.0=σ 则由)1,0(~N nX U σμ-=解之得置信区间nu X σα2(- )2nu X σα+将n=16 X =2.125 645.105.02==u u α 01.0=σ代入计算得置信区间（2.1209 2.1291）（2）σ未知 )1(~--=n t nS X T μ解得置信区间为2(αt ns X -)2αt ns X +将n=16 753.1)15()15(05.02==t t α 00029.02=S 代入计算得置信区间为（2.1175 2.1325）。

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