中考数学复习《新定义新概念问题》

中考数学复习新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点．在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力．

解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型

例题：（2017甘肃天水）定义一种新的运算：x*y=，如：3*1==，则（2*3）*2= 2 ．

【考点】1G：有理数的混合运算．

【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．

【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（）*2=4*2==2，

故答案为：2

同步训练：

定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，

①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长．

②若AC⊥BD，求证：AD=CD，

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P 作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；

②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；

（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF=AB 时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；

【解答】解：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，

∴S四边形ABCD是平行四边形，

∵AB=BC，

∴四边形ABCD是菱形，

∵∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是正方形，

∴BD=AC==．

（2）如图1中，连接AC、BD．

∵AB=BC，AC⊥BD，

∴∠ABD=∠CBD，

∵BD=BD，

∴△ABD≌△CBD，

∴AD=CD．

（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，

∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．

若EF与BC不垂直，

①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，

∴AE=AB=5．

②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，

∴BF=AB=5，

∵DE∥BF，

∴DE：BF=PD：PB=1：2，

∴DE=2.5，

∴AE=9﹣2.5=6.5，

综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．

解题方法点析

此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键．

类型2 新定义几何概念型

例题：（2017日照）阅读材料：

在平面直角坐标系xOy中，点P（x

0，y

）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．

例如：求点P

（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．

解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，

∴点P

（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．

根据以上材料，解决下列问题：

问题1：点P

1

（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；

问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；

问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，

且AB=2，请求出S

△ABP

的最大值和最小值．

【考点】FI：一次函数综合题．

【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；

（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．

（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．

【解答】解：（1）点P

1

（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，

故答案为4．

（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，

∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，

∴=1，

解得b=5或15．

（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，

∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，

∴S

△ABP 的最大值=×2×4=4，S

△ABP

的最小值=×2×2=2．

同步训练：（2017湖北随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．

已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．

（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为y=﹣x+，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（1，0）；

（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B 的坐标；

（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N 点坐标；

（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC 中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．【解答】解：

（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2，

∴其梦想直线的解析式为y=﹣x+，

联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，

∴A（﹣2，2），B（1，0），

故答案为：y=﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；

（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，