高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】令得或,当时, ,当时, ,因此当时, ,所以,当时, ,当时, ,因此,答案为.【考点】导数与最值2.已知函数，其中。
（1）若，求函数的极值点和极值；（2）求函数在区间上的最小值。
【答案】（1）极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为；（2）【解析】（1）把代入原函数，求出的导函数，令导函数等于求出根即可得极值点，把极值点代入原函数得极值。
（2）因为，所以把分两种情况来讨论，当时，函数在区间为单调递增函数，最小值为，当时，求出函数的导函数，并令得增区间，令得减区间，最后得出的最小值。
试题解析：解：（1）当时，。
2分令，得或。
所以，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；在区间上，，函数是增函数。
4分[所以，函数的极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为。
8分（2）当时，是R上的增函数，在区间上的最小值为。
10分当时，。
在区间上是减函数，在区间上，是增函数。
12分所以，在区间上的最小值为， 13分。
14分综上，函数在区间上的最小值为。
【考点】导数在求极值及最值中的应用；3.已知函数.（1）求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2）设函数，其中，求函数在上的最小值.(其中为自然对数的底数)【答案】（1）（2）当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为．【解析】利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点.（2）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.试题解析：（1）由，得切线的斜率为．又切线过点，所以直线的方程为 4分（2），则令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增①当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值为②当，即时，在上单调递减，在上单调递增．在上的最小值为③当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值为．综上：当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为． 12分【考点】（1）利用导数求切线方程；（2）利用导数求函数的最值.4.已知函数在与处都取得极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知函数在与处都取得极值，得到，求出得到：关于a,b的两个方程，联立解方程组可得到a,b的值，从而可写出函数的解析式；（2）由（１）已求出的解析式，要求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值，只需先求出函数在区间[-2，2]的极大值与极小值，再求出两个端点的函数值，然后比较这四个数值的大小，得其中的最大者就是该函数的最大值，最小者就是该函数的最小值．试题解析：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b 1分由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0 3分得a＝，b＝－2 5分经检验，a＝，b＝－2符合题意所以，所求的函数解析式为： 6分（2）由（1）得f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 7分列表如下：（－2，－）－（－，1）9分11分所以当时， 12分【考点】１．函数导数；２．函数极值；３．函数最值．5.点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是( ) A．(1－ln 2)B．(1＋ln 2)C．D．(1＋ln 2)【答案】B【解析】设P(,),则点P到直线4x＋4y＋1＝0的距离= =，设==（），所以= =，当时，＜0，当时，，所以在（0,）是减函数，在（，）上是增函数，所以当=时，==，所以= .【考点】点到直线距离公式；利用导数求最值6.求函数的极值【答案】，当时，有极大值且极大值为；当时，有极小值且极小值为【解析】求函数的极值，首先找到定义域使得函数有意义，其次求导函数，令其等于零，分析函数的单调性，从而找到极值点，求出极值.试题解析：根据题意可知函数定义域为，因为，所以，令，可得，当变化时，有下表-↗↗由上表可知，当时，有极大值且极大值为；当时，有极小值且极小值为【考点】导数法求极值.7.已知函数的图像与轴恰有两个公共点，则 ( )A．-2或2B．-9或3C．-1或1D．-3或1【答案】A.【解析】对函数进行求导即，确定函数的单调性并判断函数的极值点，即令，可得或；令，可得；于是知函数在上单调递减，在，上单调递增，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值.利用函数的图像与轴恰有两个公共点知，极大值等于0或极小值等于0，由此可解出的值．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．8.已知x=-是函数f(x)=ln(x+1)-x+x2的一个极值点。
高三数学：2024届高考数学导数大题精选30题(解析版)(共31页)
2024届新高考数学导数大题精选30题1(2024·安徽·二模)已知函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x .(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间和极值.【答案】(1)y =4x -13；(2)递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为2,3 ，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.【分析】(1)求出函数f (x )的导数，赋值求得f (1)，再利用导数的几何意义求出切线方程.(2)由(1)的信息，求出函数f (x )的导数，利用导数求出单调区间及极值.【详解】(1)函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x ，求导得f(x )=2x -10+3f (1)x，则f (1)=-8+3f (1)，解得f (1)=4，于是f (x )=x 2-10x +12ln x ，f (1)=-9，所以所求切线方程为：y +9=4(x -1)，即y =4x -13.(2)由(1)知，函数f (x )=x 2-10x +12ln x ，定义域为(0,+∞)，求导得f (x )=2x -10+12x =2(x -2)(x -3)x，当0<x <2或x >3时，f (x )>0，当2<x <3时，f (x )<0，因此函数f (x )在(0,2),(3,+∞)上单调递增，在(2,3)上单调递减，当x =2时，f (x )取得极大值f (2)=-16+12ln2，当x =3时，f (x )取得极小值f (3)=-21+12ln3，所以函数f (x )的递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为(2,3)，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.2(2024·江苏南京·二模)已知函数f (x )=x 2-ax +ae x，其中a ∈R ．(1)当a =0时，求曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，求a 的值．【答案】(1)x -ey =0(2)a =1【分析】(1)由a =0，分别求出f (1)及f (1)，即可写出切线方程；(2)计算出f (x )，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，分类讨论a 的范围，得出f (x )的单调性，由f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，列出方程求解即可．【详解】(1)当a =0时，f (x )=x 2e x ，则f (1)=1e ，f (x )=2x -x 2ex，所以f (1)=1e ，所以曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程为：y -1e =1e(x -1)，即x -ey =0．(2)f(x )=-x 2+(a +2)x -2a e x =-(x -2)(x -a )ex，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，当0<a <2时，x ∈[0,a ]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,a ]上单调递减，所以f (x )min =f (a )=a ea =1e ，则a =1，符合题意；当a >2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，x ∈(2,a ]时，f (x )>0，则f (x )在(2,a ]上单调递增，所以f (x )min =f (2)=4-a e2=1e ，则a =4-e <2，不合题意；当a =2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，所以f (x )min =f (2)==2e 2≠1e ，不合题意；综上，a =1．3(2024·浙江绍兴·模拟预测)已知f x =ae x -x ，g x =cos x . (1)讨论f x 的单调性.(2)若∃x 0使得f x 0 =g x 0 ，求参数a 的取值范围.【答案】(1)当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)-∞,1【分析】(1)对f x =ae x -x 求导数，然后分类讨论即可；(2)直接对a >1和a ≤1分类讨论，即可得到结果.【详解】(1)由f x =ae x -x ，知f x =ae x -1.当a ≤0时，有f x =ae x -1≤0-1=-1<0，所以f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，对x <-ln a 有f x =ae x -1<ae -ln a -1=1-1=0，对x >-ln a 有f x =ae x -1>ae -ln a -1=1-1=0，所以f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.综上，当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)当a >1时，由(1)的结论，知f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增，所以对任意的x 都有f x ≥f -ln a =ae -ln a +ln a =1+ln a >1+ln1=1≥cos x =g x ，故f x >g x 恒成立，这表明此时条件不满足；当a ≤1时，设h x =ae x -x -cos x ，由于h -a -1 =ae -a -1+a +1-cos -a -1 ≥ae-a -1+a ≥-a e-a -1+a =a 1-e-a -1≥a 1-e 0=0，h 0 =ae 0-0-cos0=a -1≤0，故由零点存在定理，知一定存在x 0∈-a -1,0 ，使得h x 0 =0，故f x 0 -g x 0 =ae x 0-x 0-cos x 0=h x 0 =0，从而f x 0 =g x 0 ，这表明此时条件满足.综上，a 的取值范围是-∞,1 .4(2024·福建漳州·一模)已知函数f x =a ln x -x +a ，a ∈R 且a ≠0．(1)证明：曲线y =f x 在点1,f 1 处的切线方程过坐标原点．(2)讨论函数f x 的单调性．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】(1)先利用导数的几何意义求得f x 在1,f 1 处的切线方程，从而得证；(2)分类讨论a <0与a >0，利用导数与函数的单调性即可得解.【详解】(1)因为f x =a ln x -x +a x >0 ，所以f (x )=a x -1=a -xx，则f (1)=a ln1-1+a =a -1，f (1)=a -1，所以f x 在1,f 1 处的切线方程为:y -(a -1)=(a -1)(x -1)，当x =0时，y -(a -1)=(a -1)(0-1)=-(a -1)，故y =0，所以曲线y =f (x )在点1,f 1 处切线的方程过坐标原点.(2)由(1)得f (x )=ax -1=a -xx，当a<0时，a-x<0，则f x <0，故f(x)单调递减；当a>0时，令f (x)=0则x=a，当0<x<a时，f (x)>0，f(x)单调递增；当x>a时，f (x)<0，f(x)单调递减；综上：当a<0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减.5(2024·山东·二模)已知函数f x =a2xe x-x-ln x．(1)当a=1e时，求f x 的单调区间；(2)当a>0时，f x ≥2-a，求a的取值范围．【答案】(1)f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞(2)a≥1【分析】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，求导得f x =x+1xxe x-1-1，令g x =xe x-1-1，求g x 确定g x 的单调性与取值，从而确定f x 的零点，得函数的单调区间；(2)求f x ，确定函数的单调性，从而确定函数f x 的最值，即可得a的取值范围．【详解】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，则f x =x+1e x-1-1-1x=x+1xxe x-1-1，设g x =xe x-1-1，则g x =x+1e x-1>0恒成立，又g1 =e0-1=0，所以当x∈0,1时，f x <0，f x 单调递减，当x∈1,+∞时，f x >0，f x 单调递增，所以f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞；(2)f x =a2x+1e x-1-1x=x+1xa2xe x-1，设h x =a2xe x-1，则h x =a2x+1e x>0，所以h x 在0,+∞上单调递增，又h0 =-1<0，h1a2=e1a2-1>0，所以存在x0∈0,1 a2，使得h x0 =0，即a2x0e x0-1=0，当x∈0,x0时，f x <0，f x 单调递减，当x∈x0,+∞时，f x >0，f x 单调递增，当x=x0时，f x 取得极小值，也是最小值，所以f x ≥f x0=a2x0e x0-x0-ln x0=1-ln x0e x0=1+2ln a，所以1+2ln a≥2-a，即a+2ln a-1≥0，设F a =a+2ln a-1，易知F a 单调递增，且F1 =0，所以F a ≥F1 ，解得a≥1，综上，a≥1.6(2024·山东·一模)已知函数f(x)=ln x+12a(x-1)2．(1)当a=-12时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)=f(x)-2x+1有两个极值点x1,x2，且g(x1)+g(x2)≥-1-32a，求a的取值范围．【答案】(1)增区间(0,2)，减区间(2,+∞)(2)[1,+∞)【分析】(1)将a=-12代入求导，然后确定单调性即可；(2)求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入g(x1)+g(x2)≥-1-32a，构造函数，求导，研究函数性质进而求出a的取值范围．【详解】(1)当a=-12时，f(x)=ln x-14(x-1)2，x>0，则f (x)=1x-12(x-1)=-(x-2)(x+1)2x，当x∈(0,2)，f (x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,+∞)，f (x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,+∞)；(2)g(x)=f(x)-2x+1=ln x+12a(x-1)2-2x+1，所以g (x)=1x+a(x-1)-2=ax2-(a+2)x+1x，设φ(x)=ax2-(a+2)x+1，令φ(x)=0，由于g(x)有两个极值点x1,x2，所以Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0x1+x2=a+2a>0x1x2=1a>0，解得a>0．由x1+x2=a+2a，x1x2=1a，得g x1+g x2=ln x1+12a x1-12-2x1+1+ln x2+12a x2-12-2x2+1=ln x1x2+12a x1+x22-2x1x2-2x1+x2+2-2x1+x2+2=ln1a +12a a+2a2-2a-2⋅a+2a+2-2⋅a+2a+2=ln1a +a2-2a-1≥-1-32a，即ln a-12a-1a≤0，令m(a)=ln a-12a-1a，则m (a)=1a-12-12a2=-(a-1)22a2≤0，所以m(a)在(0,+∞)上单调递减，且m(1)=0，所以a≥1，故a的取值范围是[1,+∞)．7(2024·湖北·二模)求解下列问题，(1)若kx-1≥ln x恒成立，求实数k的最小值；(2)已知a，b为正实数，x∈0,1，求函数g x =ax+1-xb-a x⋅b1-x的极值．【答案】(1)1(2)答案见解析【分析】(1)求导，然后分k≤0和k>0讨论，确定单调性，进而得最值；(2)先发现g0 =g1 =0，当a=b时，g x =0，当0<x<1，a≠b时，取ab=t，L x =tx+1-x-t x，求导，研究单调性，进而求出最值得答案.【详解】(1)记f x =kx-1-ln x x>0，则需使f x ≥0恒成立，∴f x =k-1xx>0，当k≤0时，f x <0恒成立，则f x 在(0,+∞)上单调递减，且在x>1时，f x <0，不符合题意，舍去；当k >0时．令f x =0，解得x =1k，则f x 在0,1k 上单调递减，在1k ,+∞ 上单调递增，所以f x min =f 1k =-ln 1k=ln k ，要使kx -1≥ln x 恒成立，只要ln k ≥0即可，解得k ≥1，所以k 的最小值为1；(2)g (x )=ax +(1-x )b -a x ⋅b 1-x ，x ∈[0,1]，a >0，b >0，易知g 0 =g 1 =0，当a =b 时，g x =ax +a -ax -a =0，此时函数无极值；当0<x <1，a ≠b 时，g (x )=ax +(1-x )b -b ⋅a b x =b a b x +1-x -a b x，取ab=t ，t >0，t ≠1，L x =tx +1-x -t x ，t >0，t ≠1，x ∈0,1 ，则L x =t -1-t x ln t ，当t >1时，由L x ≥0得x ≤ln t -1ln tln t，由(1)知t -1≥ln t ，当t >1时，t -1ln t>1，因为x -1≥ln x ，所以1x -1≥ln 1x ，所以ln x ≥1-1x ，即x >0，当t >1时，ln t >1-1t，所以t >t -1ln t ，则ln t >ln t -1ln t >0，所以ln t -1ln tln t<1，即L x 在0,ln t -1ln t ln t 上单调递增，在ln t -1ln tln t,1单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =ab，a ≠b ，当0<t <1时，同理有ln t -1lntln t∈0,1 ，由Lx ≥0得x ≤ln t -1lntln t，即(x )在0,ln t -1lntln t上单调递增，在ln t -1lntln t,1上单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =a b，a ≠b ，综上可知，当a =b 时，函数g x 没有极值；当a ≠b 时，函数g x 有唯一的极大值g ln t -1lntln t，其中t =ab，没有极小值．【点睛】关键点点睛：取ab=t ，将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题.8(2024·湖北武汉·模拟预测)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2,g (x )=sin n x -x n cos x ,x ∈0,π2,n ∈N +．(1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )>0恒成立，求n 的最大值．【答案】(1)极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2；(2)3.【分析】(1)判断函数f (x )为奇函数，利用导数求出f (x )在区间0,π2上的极值，利用奇偶性即可求得定义域上的极值.(2)利用导数证明当n =1时，g (x )>0恒成立，当n >1时，等价变形不等式并构造函数F (x )=x -sin x cos 1nx,0<x <π2，利用导数并按导数为负为正确定n 的取值范围，进而确定不等式恒成立与否得解.【详解】(1)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2，f (-x )=tan (-x )+sin (-x )-92(-x )=-f (x )，即函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，当0<x <π2时，f (x )=sin x cos x +sin x -92x ，求导得：f(x )=1cos 2x +cos x -92=2cos 3x -9cos 2x +22cos 2x =(2cos x -1)(cos x -2-6)(cos x -2+6)2cos 2x，由于cos x ∈(0,1)，由f (x )>0，得0<cos x <12，解得π3<x <π2，由f (x )<0，得12<cos x <1，解得0<x <π3，即f (x )在0,π3 上单调递减，在π3,π2上单调递增，因此函数f (x )在0,π2 上有极小值f π3 =3(3-π)2，从而f (x )在-π2,π2 上的极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2.(2)当n =1时，g (x )>0恒成立，即sin x -x cos x >0恒成立，亦即tan x >x 恒成立，令h (x )=tan x -x ,x ∈0,π2 ，求导得h (x )=1cos 2x -1=1-cos 2x cos 2x=tan 2x >0，则函数h (x )在0,π2上为增函数，有h (x )>h (0)=0，因此tan x -x >0恒成立；当n >1时，g (x )>0恒成立，即不等式sin xn cos x>x 恒成立，令F (x )=x -sin x cos 1n x ,0<x <π2，求导得：F (x )=1-cos x ⋅cos 1nx -1n⋅cos1n-1x ⋅(-sin x )⋅sin xcos 2nx=1-cos1+n nx +1n⋅sin 2x ⋅cos1-n nxcos 2nx=1-cos 2x +1n ⋅sin 2xcos n +1nx =cosn +1nx -cos 2x -1n (1-cos 2x )cos n +1nx =cosn +1nx -1n -n -1ncos 2x cosn +1nx令G (x )=cos n +1nx -1n -n -1n cos 2x ，求导得则G (x )=n +1n cos 1nx ⋅(-sin x )-n -1n⋅2cos x ⋅(-sin x )=sin x n (2n -2)cos x -(n +1)cos 1n x =2n -2n ⋅sin x cos x -n +12n -2cos 1n x=2n -2n ⋅sin x ⋅cos 1n x cos n -1n x -n +12n -2，由n >1,x ∈0,π2 ，得2n -2n⋅sin x ⋅cos 1nx >0，当n +12n -2≥1时，即n ≤3时，G (x )<0，则函数G (x )在0,π2上单调递减，则有G (x )<G (0)=0，即F (x )<0，因此函数F (x )在0,π2 上单调递减，有F (x )<F (0)=0，即g (x )>0，当n +12n -2<1时，即n >3时，存在一个x 0∈0,π2 ，使得cos n -1n x 0=n +12n -2，且当x ∈(0,x 0)时，G (x )>0，即G (x )在(0,x 0)上单调递增，且G (x )>G (0)=0，则F (x )>0，于是F (x )在(0,x 0)上单调递增，因此F (x )>F (0)=0，即sin xn cos x<x ，与g (x )>0矛盾，所以n 的最大值为3.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9(2024·湖北·模拟预测)已知函数f x =ax 2-x +ln x +1 ，a ∈R ，(1)若对定义域内任意非零实数x 1，x 2，均有f x 1 f x 2x 1x 2>0，求a ；(2)记t n =1+12+⋅⋅⋅+1n ，证明：t n -56<ln n +1 <t n ．【答案】(1)a =12(2)证明见解析【分析】(1)求导可得f 0 =0，再分a ≤0与a >0两种情况分析原函数的单调性，当a >0时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定a 的值；(2)由(1)问的结论可知，1n -12n2<ln 1n +1 <1n ，再累加结合放缩方法证明即可.【详解】(1)f x 的定义域为-1,+∞ ，且f 0 =0；f x =2ax -1+1x +1=2ax -x x +1=x 2a -1x +1，因此f 0 =0；i.a ≤0时，2a -1x +1<0，则此时令f x >0有x ∈-1,0 ，令f x <0有x ∈0,+∞ ，则f x 在-1,0 上单调递增，0,+∞ 上单调递减，又f 0 =0，于是f x ≤0，此时令x 1x 2<0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；ii .a >0时，f x 有零点0和x 0=12a-1，若x 0<0，即a >12，此时令f x <0有x ∈x 0,0 ，f x 在x 0,0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 >0，令x 1>0，x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0>0，即0<a <12，此时令f x <0有x ∈0,x 0 ，f x 在0,x 0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 <0，令-1<x 1<0,x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0=0，即a =12，此时fx =x 2x +1>0，f x 在-1,+∞ 上单调递增，又f 0 =0，则x >0时f x >0，x <0时f x <0；则x ≠0时f x x >0，也即对x 1x 2≠0，f x 1 f x 2x 1x 2>0，综上，a =12(2)证：由(1)问的结论可知，a =0时，f x =-x +ln x +1 ≤0；且a =12时x >0，f x =12x 2-x +ln x +1 >0；则x>0时，x-12x2<ln x+1<x，令x=1n，有1n-12n2<ln1n+1<1n，即1n-12n2<ln n+1-ln n<1n，于是1n-1-12n-12<ln n-ln n-1<1n-11-12<ln2<1将上述n个式子相加，t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2<ln n+1<t n；欲证t n-56<ln n+1<t n，只需证t n-56<t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2，只需证1+122+⋅⋅⋅+1n2<53；因为1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1，所以1+122+⋅⋅⋅+1n2<1+213-15+15-17+⋅⋅⋅+12n-1-12n+1=53-22n+1<53，得证：于是得证t n-56<ln n+1<t n.【点睛】方法点睛：(1)此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的关键；(2)对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到不能累加的数列结构，需要进行放缩证明.10(2024·湖南·一模)已知函数f x =sin x-ax⋅cos x,a∈R．(1)当a=1时，求函数f x 在x=π2处的切线方程；(2)x∈0,π2时；(ⅰ)若f x +sin2x>0，求a的取值范围；(ⅱ)证明：sin2x⋅tan x>x3．【答案】(1)πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)a≤3(ⅱ)证明见解析【分析】(1)令a=1时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.(2)(ⅰ)设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,由g x >0得a≤3，再证明此时满足g x >0.(ⅱ)根据(ⅰ)结论判断出F x =sin2x⋅tan x-x3在0,π2上单调递增，∴F(x)>F(0)=0,即sin2x tan x >x3.【详解】(1)当a=1时，f(x)=sin x-x⋅cos x,f (x)=cos x-(cos x-x⋅sin x)=x⋅sin x,fπ2=π2,fπ2=1.所以切线方程为：y-1=π2x-π2,即πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)f(x)+sin2x=sin x-ax⋅cos x+sin2x>0,即tan x-ax+2sin x>0,x∈0,π2，设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,g (x )=2cos x +1cos 2x -a =1cos 2x(2cos 3x -a cos 2x +1).又∵g (0)=0,g (0)=3-a ,∴g (0)=3-a ≥0是g (x )>0的一个必要条件，即a ≤3.下证a ≤3时，满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,又g (x )≥1cos 2x(2cos 3x -3cos 2x +1)，设(t )=2t 3-3t 2+1,t ∈(0,1),h (t )=6t 2-6t =6t (t -1)<0,h (t )在(0,1)上单调递减，所以h (t )>h (1)=0，又x ∈0,π2 ,cos x ∈(0,1),∴g (x )>0,即g (x )在0,π2 单调递增.∴x ∈0,π2时，g (x )>g (0)=0；下面证明a >3时不满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,，g (x )=2cos x +1cos 2x-a ，令h (x )=g (x )=2cos x +1cos 2x -a ，则h (x )=-2sin x +2sin x cos 3x =2sin x 1cos 3x-1，∵x ∈0,π2 ,∴sin x >0,1cos 3x-1>0，∴h (x )>0,∴h (x )=g (x )在0,π2为增函数，令x 0满足x 0∈0,π2,cos x 0=1a ，则g x 0 =2cos x 0+1cos 2x 0-a =2cos x 0+a -a >0，又g (0)=3-a <0,∴∃x 1∈0,x 0 ,使得g x 1 =0，当x ∈0,x 1 时，g (x )<g x 1 =0，∴此时g (x )在0,x 1 为减函数，∴当x ∈0,x 1 时，g (x )<g (0)=0，∴a >3时，不满足g (x )≥0恒成立.综上a ≤3.(ⅱ)设F (x )=sin 2x ⋅tan x -x 3,x ∈0,π2 ,F (x )=2sin x ⋅cos x ⋅tan x +sin 2x ⋅1cos 2x-3x 2=2sin 2x +tan 2x -3x 2=2(sin x -x )2+(tan x -x )2+2(2sin x +tan x )x -2x 2-x 2-3x 2.由(ⅰ)知2sin x +tan x >3x ,∴F (x )>0+0+2x ⋅3x -6x 2=0,，F x 在0,π2上单调递增，∴F (x )>F (0)=0,即sin 2x tan x >x 3.【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数范围即可．11(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=ln (1+x )-11+x．(1)求曲线y =f (x )在(0,f (0))处的切线方程；(2)若x ∈(-1,π)，讨论曲线y =f (x )与曲线y =-2cos x 的交点个数．【答案】(1)y =32x -1；(2)2．【分析】(1)求导，即可根据点斜式求解方程，(2)求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.【详解】(1)依题意，f x =11+x +121+x 32，故f 0 =32，而f 0 =-1，故所求切线方程为y +1=32x ，即y =32x -1．(2)令ln 1+x -11+x =-2cos x ，故ln 1+x +2cos x -11+x=0，令g x =ln 1+x +2cos x -11+x ，g x =11+x -2sin x +121+x -32，令h x =g x =11+x -2sin x +121+x -32，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52．①当x ∈-1,π2时，cos x ≥0,1+x 2>0,1+x-52>0，∴h x <0,∴h x 在-1,π2上为减函数，即gx 在-1,π2 上为减函数，又g 0 =1+12>0,g1 =12-2sin1+12⋅2-32<12-2⋅sin1+12<1-2×12=0，∴g x 在0,1 上有唯一的零点，设为x 0，即g x 0 =00<x 0<1 ．∴g x 在-1,x 0 上为增函数，在x 0,π2上为减函数．又g 0 =2-1>0,g -π4 =ln 1-π4 +2cos -π4 -11-π4=ln 1-π4+2-11-π4<0,g π2=ln 1+π2 -11+π2>0，∴g x 在-1,x 0 上有且只有一个零点，在x 0,π2上无零点；②当x ∈π2,5π6 时，g x <11+x -1+121+x-32<0,g x 单调递减，又g π2 >0,g 5π6 =ln 1+5π6 -3-1+5π6-12<ln4-3<0，∴g x 在π2,5π6内恰有一零点；③当x ∈5π6,π 时，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52为增函数，∴hx =h 5π6 =-11+5π62+1-34⋅1+5π6-52>0，∴g x 单调递增，又g π >0,g 5π6 <0，所以存在唯一x 0∈5π6,π ,g x 0 =0，当x ∈5π6,x 0 时，g x <0,g x 递减；当x ∈x 0,π 时，g x >0,g x 递增，g x ≤max g 5π6 ,g π <0，∴g x 在5π6,π内无零点．综上所述，曲线y =f x 与曲线y =-2cos x 的交点个数为2．【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.12(2024·广东佛山·二模)已知f x =-12e 2x +4e x -ax -5.(1)当a =3时，求f x 的单调区间；(2)若f x 有两个极值点x 1，x 2，证明：f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性；(2)借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，可得t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，借助韦达定理可得t 1+t 2=4，t 1t 2=a ，即可用t 1、t 2表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，进而用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.【详解】(1)当a =3时，f x =-12e 2x +4e x -3x -5，f x =-e 2x +4e x -3=-e x -1 e x -3 ，则当e x ∈0,1 ∪3,+∞ ，即x ∈-∞,0 ∪ln3,+∞ 时，f x <0，当e x ∈1,3 ，即x ∈0,ln3 时，f x >0，故f x 的单调递减区间为-∞,0 、ln3,+∞ ，单调递增区间为0,ln3 ；(2)f x =-e 2x +4e x -a ，令t =e x ，即f x =-t 2+4t -a ，令t 1=e x 1，t 2=e x 2，则t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，则Δ=-4 2-4a =16-4a >0，即a <4，有t 1+t 2=4，t 1t 2=a >0，即0<a <4，则f x 1 +f x 2 +x 1+x 2=-12e 2x 1+4e x 1-ax 1-5-12e 2x2+4e x 2-ax 2-5+x 1+x 2=-12t 21+t 22 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1+ln t 2 -10=-12t 1+t 2 2-2t 1t 2 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1t 2-10=-1216-2a +16-a -1 ln a -10=a -a -1 ln a -2，要证f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0，即证a -a -1 ln a -2<00<a <4 ，令g x =x -x -1 ln x -20<x <4 ，则g x =1-ln x +x -1x =1x-ln x ，令h x =1x -ln x 0<x <4 ，则h x =-1x 2-1x <0，则g x 在0,4 上单调递减，又g 1 =11-ln1=1，g 2 =12-ln2<0，故存在x 0∈1,2 ，使g x 0 =1x 0-ln x 0=0，即1x 0=ln x 0，则当x ∈0,x 0 时，g x >0，当x ∈x 0,4 时，g x <0，故g x 在0,x 0 上单调递增，g x 在x 0,4 上单调递减，则g x ≤g x 0 =x 0-x 0-1 ln x 0-2=x 0-x 0-1 ×1x 0-2=x 0+1x 0-3，又x 0∈1,2 ，则x 0+1x 0∈2,52 ，故g x 0 =x 0+1x 0-3<0，即g x <0，即f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，从而可结合韦达定理得t 1、t 2的关系，即可用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.13(2024·广东广州·模拟预测)已知函数f x =x e x -kx ,k ∈R .(1)当k =0时，求函数f x 的极值；(2)若函数f x 在0,+∞ 上仅有两个零点，求实数k 的取值范围.【答案】(1)极小值为-1e，无极大值(2)e ,+∞【分析】(1)求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；(2)把原函数有两个零点转化为g x =e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.【详解】(1)当k =0时，f x =xe x (x ∈R )，所以f x =1+x e x ，令f x =0，则x =-1，x -∞,-1-1-1,+∞f x -0+f x单调递减极小值单调递增所以f (x )min =f -1 =-e -1=-1e，所以f x 的极小值为-1e，无极大值.(2)函数f x =x e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，令g x =e x -kx ，则问题等价于g x 在0,+∞ 上仅有两个零点，易知g x =e x -k ，因为x ∈0,+∞ ，所以e x >1.①当k ∈-∞,1 时，g x >0在0,+∞ 上恒成立，所以g x 在0,+∞ 上单调递增，所以g x >g 0 =1，所以g x 在0,+∞ 上没有零点，不符合题意；②当k ∈1,+∞ 时，令g x =0，得x =ln k ，所以在0,ln k 上，g x <0，在ln k ,+∞ 上，g x >0，所以g x 在0,ln k 上单调递减，在(ln k ,+∞)上单调递增，所以g x 的最小值为g ln k =k -k ⋅ln k .因为g x 在0,+∞ 上有两个零点，所以g ln k =k -k ⋅ln k <0，所以k >e.因为g 0 =1>0,g ln k 2 =k 2-k ⋅ln k 2=k k -2ln k ，令h x =x -2ln x ，则h x =1-2x =x -2x，所以在0,2 上，h x <0，在2,+∞ 上，h x >0，所以h x 在0,2 上单调递减，在2,+∞ 上单调递增，所以h x ≥2-2ln2=ln e 2-ln4>0，所以g ln k 2 =k k -2ln k >0，所以当k >e 时，g x 在0,ln k 和(ln k ,+∞)内各有一个零点，即当k >e 时，g x 在0,+∞ 上仅有两个零点.综上，实数k 的取值范围是e ,+∞ .【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：(1)确定f x 的定义域.(2)计算导数f x .(3)求出f x =0的根.(4)用f x =0的根将f x 的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内f x 的符号，进而确定f x 的单调区间.f x >0，则f x 在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；f x <0，则f x 在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.14(2024·江苏南通·二模)已知函数f x =ln x -ax ，g x =2ax，a ≠0.(1)求函数f x 的单调区间；(2)若a >0且f x ≤g x 恒成立，求a 的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)2e 3.【分析】(1)求导后，利用导数与函数单调性的关系，对a >0与a <0分类讨论即可得；(2)结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【详解】(1)f x =1x -a =1-axx(a ≠0)，当a <0时，由于x >0，所以f x >0恒成立，从而f x 在0,+∞ 上递增；当a >0时，0<x <1a ，f x >0；x >1a ，fx <0，从而f x 在0,1a 上递增，在1a,+∞ 递减；综上，当a <0时，f x 的单调递增区间为0,+∞ ，没有单调递减区间；当a >0时，f x 的单调递增区间为0,1a ，单调递减区间为1a ,+∞ .(2)令h x =f x -g x =ln x -ax -2ax，要使f x ≤g x 恒成立，只要使h x ≤0恒成立，也只要使h x max ≤0.h x =1x -a +2ax 2=-ax +1 ax -2 ax 2，由于a >0，x >0，所以ax +1>0恒成立，当0<x <2a 时，h x >0，当2a<x <+∞时，h x <0，所以h x max =h 2a =ln 2a -3≤0，解得：a ≥2e 3，所以a 的最小值为2e3.15(2024·山东济南·二模)已知函数f x =ax 2-ln x -1,g x =xe x -ax 2a ∈R .(1)讨论f x 的单调性；(2)证明：f x +g x ≥x .【答案】(1)答案见详解(2)证明见详解【分析】(1)求导可得fx =2ax 2-1x，分a ≤0和a >0两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；(2)构建F x =f x +g x -x ,x >0，h x =e x -1x,x >0，根据单调性以及零点存在性定理分析h x 的零点和符号，进而可得F x 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【详解】(1)由题意可得：f x 的定义域为0,+∞ ，fx =2ax -1x =2ax 2-1x，当a ≤0时，则2ax 2-1<0在0,+∞ 上恒成立，可知f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，令f x >0，解得x >12a；令f x <0，解得0<x <12a；可知f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增；综上所述：当a ≤0时，f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增.(2)构建F x =f x +g x -x =xe x -ln x -x -1,x >0，则F x =x +1 e x -1x -1=x +1 e x -1x，由x >0可知x +1>0，构建h x =e x -1x ,x >0，因为y =e x ,y =-1x在0,+∞ 上单调递增，则h x 在0,+∞ 上单调递增，且h 12=e -20,h 1 =e -1 0，可知h x 在0,+∞ 上存在唯一零点x 0∈12,1 ，当0<x <x 0，则h x <0，即Fx <0；当x >x 0，则h x >0，即F x >0；可知F x 在0,x 0 上单调递减，在x 0,+∞ 上单调递增，则F x ≥F x 0 =x 0e x 0-ln x 0-x 0-1，又因为e x 0-1x 0=0，则e x 0=1x 0,x 0=e -x 0，x 0∈12,1 ，可得F x 0 =x 0×1x 0-ln e -x-x 0-1=0，即F x ≥0，所以f x +g x ≥x .16(2024·福建·模拟预测)已知函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线在y 轴上的截距为-2．(1)求a 的值；(2)若f x 有且仅有两个零点，求b 的取值范围．【答案】(1)2(2)b ∈0,2e 【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得；(2)借助函数与方程的关系，可将f x 有且仅有两个零点转化为方程b =2ln xx有两个根，构造对应函数并借助导数研究单调性及值域即可得.【详解】(1)f (x )=ax-b ，f 1 =a -b ，f (1)=a ×0-b =-b ，则函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线为：y +b =a -b x -1 ，即y =a -b x -a ，令x =0，则有y =-a =-2，即a =2；(2)由a =2，即f (x )=2ln x -bx ，若f x 有且仅有两个零点，则方程2ln x-bx=0有两个根，即方程b=2ln xx有两个根，令g x =2ln xx，则gx =21-ln xx2，则当x∈0,e时，g x >0，则当x∈e,+∞时，g x <0，故g x 在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，故g x ≤g e =2ln ee=2e，又x→0时，g x →-∞，x→+∞时，g x →0，故当b∈0,2 e时，方程b=2ln x x有两个根，即f x 有且仅有两个零点.17(2024·浙江杭州·二模)已知函数f x =a ln x+2-12x2a∈R．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若函数f x 有两个极值点，(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅱ)证明：函数f x 有且只有一个零点．【答案】(1)答案见解析；(2)(ⅰ)-1<a<0；(ⅱ)证明见解析【分析】(1)求出函数的导函数，再分a≤-1、-1<a<0、a≥0三种情况，分别求出函数的单调区间；(2)(ⅰ)由(1)直接解得；(ⅱ)结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.【详解】(1)函数f x =a ln x+2-12x2a∈R的定义域为-2,+∞，且f x =ax+2-x=-x+12+a+1x+2，当a≤-1时，f x ≤0恒成立，所以f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时，令f x =0，即-x+12+a+1=0，解得x1=-a+1-1，x2=a+1-1，因为-1<a<0，所以0<a+1<1，则-2<-a+1-1<-1，所以当x∈-2,-a+1-1时f x <0，当x∈-a+1-1,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时，此时-a+1-1≤-2，所以x∈-2,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．综上可得：当a≤-1时f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．(2)(ⅰ)由(1)可知-1<a<0．(ⅱ)由(1)f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减，所以f x 在x=a+1-1处取得极大值，在x=-a+1-1处取得极小值，又-1<a<0，所以0<a+1<1，则1<a+1+1<2，又f x极大值=f a+1-1=a ln a+1+1-12a+1-12<0，又f-a+1-1<f a+1-1<0，所以f x 在-a+1-1,+∞上没有零点，又-1<a<0，则4a<-4，则0<e4a<e-4，-2<e4a-2<e-4-2，则0<e 4a-22<4，所以f e 4a-2=4-12e4a-22>0，所以f x 在-2,-a+1-1上存在一个零点，综上可得函数f x 有且只有一个零点．18(2024·河北沧州·模拟预测)已知函数f(x)=ln x-ax+1，a∈R．(1)讨论f x 的单调性；(2)若∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)-∞,2．【分析】(1)利用导数分类讨论判断函数f x 的单调性，即可求解；(2)先利用导数证明不等式e x≥x+1，分离变量可得a≤e2x-ln x+1x恒成立，进而e 2x-ln x+1x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，即可求解.【详解】(1)函数f x =ln x-ax+1，a∈R的定义域为0,+∞，且f (x)=1x-a．当a≤0时，∀x∈0,+∞，f (x)=1x-a≥0恒成立，此时f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，令f (x)=1x-a=1-axx=0，解得x=1a，当x∈0,1 a时，f x >0，f x 在区间0,1a上单调递增，当x∈1a,+∞时，f x <0，f x 在区间1a,+∞上单调递减．综上所述，当a≤0时，f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，f x 在区间0,1 a上单调递增，在区间1a,+∞上单调递减．(2)设g x =e x-x-1，则g x =e x-1，在区间(-∞,0)上，g x <0，g x 单调递减，在区间0,+∞上，g x >0，g x 单调递增，所以g x ≥g0 =e0-0-1=0，所以e x≥x+1(当且仅当x=0时等号成立)．依题意，∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，即a≤e2x-ln x+1x恒成立，而e2x-ln x+1x=xe2x-(ln x+1)x=e2x+ln x-(ln x+1)x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，当且仅当2x+ln x=0时等号成立．因为函数h x =2x+ln x在0,+∞上单调递增，h1e=2e-1<0，h(1)=2>0，所以存在x0∈1e,1，使得2x0+ln x0=0成立．所以a ≤e 2x -ln x +1xmin =2，即a 的取值范围是-∞,2 ．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.19(2024·广东·二模)已知f x =12ax 2+1-2a x -2ln x ,a >0.(1)求f x 的单调区间；(2)函数f x 的图象上是否存在两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 (其中x 1≠x 2)，使得直线AB 与函数f x 的图象在x 0=x 1+x22处的切线平行？若存在，请求出直线AB ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)不存在，理由见解析【分析】(1)求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间；(2)求出直线AB 的斜率，再求出f (x 0)，从而得到x 1,x 2的等式，再进行换元和求导，即可解出答案.【详解】(1)由题可得f(x )=ax +1-2a -2x =ax 2+(1-2a )x -2x =(ax +1)(x -2)x(x >0)因为a >0，所以ax +1>0，所以当x ∈(0,2)时，f (x )<0，f (x )在(0,2)上单调递减，当x ∈(2,+∞)时，f (x )>0，f (x )在(2,+∞)上单调递增.综上，f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)由题意得，斜率k =y 2-y 1x 2-x 1=12ax 22+(1-2a )x 2-2ln x 2 -12ax 21+(1-2a )x 1-2ln x 1 x 2-x 1=12a (x 22-x 21)+(1-2a )(x 2-x 1)-2ln x 2x 1x 2-x 1=a 2(x 1+x 2)+1-2a -2ln x2x 1x 2-x 1，f x 1+x 22 =a (x 1+x 2)2+1-2a -4x 1+x 2,由k =f x 1+x22 得，ln x2x 1x 2-x 1=2x 1+x 2，即ln x 2x 1=2(x 2-x 1)x 1+x 2，即ln x 2x 1-2x2x 1-1 x 2x1+1=0令t =x 2x 1，不妨设x 2>x 1，则t >1，记g (t )=ln t -2(t -1)t +1=ln t +4t +1-2(t >1)所以g(t )=1t -4t +1 2=t -1 2t t +1 2>0，所以g (t )在(1,+∞)上是增函数，所以g (t )>g (1)=0，所以方程g (t )=0无解，则满足条件的两点A ,B 不存在.20(2024·广东深圳·二模)已知函数f x =ax +1 e x ，f x 是f x 的导函数，且f x -f x =2e x ．(1)若曲线y =f x 在x =0处的切线为y =kx +b ，求k ，b 的值；(2)在(1)的条件下，证明：f x ≥kx +b ．【答案】(1)k =3，b =1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据题意，求导可得a 的值，再由导数意义可求切线，得到答案；(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，利用导数研究函数g (x )的单调性从而求出最小值大于0，可得证.【详解】(1)因为f x =ax +1 e x ，所以f x =ax +a +1 e x ，因为f x -f x =2e x ，所以a =2．则曲线y =f (x )在点x =0处的切线斜率为f 0 =3．又因为f 0 =1，所以曲线y =f (x )在点x =0处的切线方程为y =3x +1，即得k =3，b =1．(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，x ∈R ，则g x =2x +3 e x -3，设h x =g x ，则h x =e x 2x +5 ，所以，当x >-52时，h x >0，g x 单调递增．又因为g0 =0，所以，x >0时，g x >0，g x 单调递增；-52<x <0时，g x <0，g x 单调递减．又当x ≤-52时，g x =2x +3 e x -3<0，综上g x 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所以当x =0时，g x 取得最小值g 0 =0，即2x +1 e x -3x -1≥0，所以，当x ∈R 时，f x ≥3x +1．21(2024·辽宁·二模)已知函数f x =ax 2-ax -ln x .(1)若曲线y =f x 在x =1处的切线方程为y =mx +2，求实数a ,m 的值；(2)若对于任意x ≥1，f x +ax ≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)a =-1，m =-2(2)12,+∞ 【分析】(1)根据导数几何意义和切线方程，可直接构造方程组求得结果；(2)构造函数g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，将问题转化为g x ≥0恒成立；求导后，分别在a ≤0、a ≥12和0<a <12的情况下，结合单调性和最值求得符合题意的范围.【详解】(1)∵f x =2ax -a -1x，∴f 1 =2a -a -1=a -1，∵y =f x 在x =1处的切线为y =mx +2，∴f 1 =a -1=mf 1 =0=m +2 ，解得：a =-1，m =-2.(2)由f x +ax ≥a 得：ax 2-ln x -a ≥0，令g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，则当x ≥1时，g x ≥0恒成立；。
高三数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高三数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.曲线f(x)＝·e x－f(0)x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为____________．【答案】y＝ex－【解析】因为f′(x)＝·e x－f(0)＋x，故有即原函数表达式可化为f(x)＝e x－x＋x2，从而f(1)＝e－，所以所求切线方程为y－＝e(x－1)，即y＝ex－.2. [2014·辽宁模拟]曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3D．y＝－2x＋1【答案】D【解析】由题意得y＝1＋，所以y′＝，所以所求曲线在点(1，－1)处的切线的斜率为－2，故由直线的点斜式方程得所求切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.3.已知函数的图象在点与点处的切线互相垂直，并交于点，则点的坐标可能是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由题，，，则过两点的切线斜率，，又切线互相垂直，所以，即.两条切线方程分别为，联立得，∵，∴，代入，解得，故选．【考点】导数求切线方程.4.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，即切线的斜率为，所以，因为，所以，即，所以的取值范围是，选B5.设函数的定义域是,其中常数.(1)若,求的过原点的切线方程.(2)当时,求最大实数,使不等式对恒成立.(3)证明当时,对任何,有.【答案】(1)切线方程为和.(2)的最大值是.（3）详见解析.【解析】(1)一般地，曲线在点处的切线方程为：.注意，此题是求过原点的切线，而不是求在原点处切线方程，而该曲线又过原点，故有原点为切点和原点不为切点两种情况.当原点不为切点时需把切点的坐标设出来.(2)令,则问题转化为对恒成立.注意到,所以如果在单调增,则必有对恒成立.下面就通过导数研究的单调性.（3）不等式可变形为：.为了证这个不等式，首先证；而证这个不等式可利用导数证明.故令，然后利用导数求在区间上范围即可.试题解析：(1).若切点为原点,由知切线方程为;若切点不是原点,设切点为,由于,故由切线过原点知,在内有唯一的根.又,故切线方程为.综上所述,所求切线有两条,方程分别为和.(2)令,则,,显然有,且的导函数为：.若,则,由知对恒成立,从而对恒有,即在单调增,从而对恒成立,从而在单调增,对恒成立.若,则,由知存在,使得对恒成立,即对恒成立,再由知存在,使得对恒成立,再由便知不能对恒成立.综上所述,所求的最大值是.（3）当时，令，则，故当时，恒有，即在单调递减，故，对恒成立.又，故，即对恒有：，在此不等式中依次取，得：，，，，，…………………………，将以上不等式相加得：，即.【考点】导数及其应用.6.已知函数(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间；(3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.【答案】(1)(2)详见解析(3)【解析】(1)已知函数的解析式,把切点的横坐标带入函数即可求出切点的纵坐标,对求导得到函数的导函数,把带入导函数即可求的切线的斜率,利用点斜式即可得到切线的方程.(2)对函数进行求导和求定义域,导函数喊参数,把分为两种情况进行讨论,首先时,结合的定义域即可得到导函数在定义域内恒大于0,进而得到原函数在定义域内单调递增,当时,求解导函数大于0和小于0的解集,得到原函数的单调递增和单调递减区间.(3)该问题为存在性问题与恒成立问题的结合,即要求,而的最大值可以利用二次函数的图像得到函数在区间上的最值,函数的最大值可以利用第二问的单调性求的,当时,函数单调递增,无最大值,故不符合题意,当时,函数在处前的最大值,带入不等式即可求的的取值范围.试题解析：(1)由已知， 1分，所以斜率， 2分又切点，所以切线方程为)，即故曲线在处切线的切线方程为。
高三数学导数试题答案及解析
高三数学导数试题答案及解析1.已知正四棱锥S—ABCD中，SA＝2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A．1B．C．2D．3【答案】C【解析】如图所示，设正四棱锥高为h，底面边长为a，则a＝，即a2＝2(12－h2)，所以V＝×a2×h＝h(12－h2)＝－(h3－12h)，令f(h)＝h3－12h，则f′(h)＝3h2－12(h＞0)，令f′(h)＝0，则h＝2，此时f(h)有最小值，V有最大值．2.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为的定义域为，又，由，得．当时，，当时，据题意，，解得．故选B．【考点】应用导数研究函数的单调性3.设(Ⅰ)的图象关于原点对称，当时，的极小值为，求的解析式。
(Ⅱ)若，是上的单调函数，求的取值范围【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】(Ⅰ)由题意知，函数是奇函数，利用奇函数的定义可求出，由函数在处取得极小值为，可得，，进而求出在，一般地，多项式函数为奇函数，则偶次项系数为0，连续可导的函数在某点处取得极值，则该点处导数为0，但连续可导的函数在某点处导数为0，则该处不一定取得极值，所以用以上方法求出函数解析式后，还需进行验证；(Ⅱ)函数在某区间上是单调函数，则导函数在该区间上导数大于等于0恒成立，所以问题又转化为不等式恒成立问题，本题导函数是二次函数，其恒成立问题可用判别式判断，也可分离参数转化为最值问题.试题解析：(Ⅰ)因为的图象关于原点对称，所以有即， 1分所以，所以，所以 3分由，依题意，，，解之，得 6分经检验符合题意 7分故所求函数的解析式为.(Ⅱ)当时，，，因为是上的单调函数，所以恒成立，即恒成立 8分即成立，所以 12分【考点】奇函数、导数与单调性、极值.4.若函数在x=1处取极值，则m=【答案】3【解析】因为，由题意知，，即，.【考点】利用导数求函数的极值.5.已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为 .【答案】【解析】由题意知在有定义，即在恒成立，即，又在增，故在恒成立，因为，故，综上可知,.【考点】利用导数研究函数单调性、函数最值.6.定义：符合的称为的一阶不动点，符合的称为的二阶不动点。
高三数学函数试题答案及解析
高三数学函数试题答案及解析1.一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知如图是“优美图”，则点A，B与边a所对应的三个数分别为________．【答案】3、6、3【解析】观察图中编号为4的边，由于6－2＝5－1＝4，而数字2已为一端点的编号，故编号为4的边的左、右两端点应为5、1，从而易知编号为1的边的左、右两端点应为4、3.考虑到图中编号为1的边，易知点A对应的数为3，点B对应的数为6.故应填3、6、3.2.对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数．例如，[π]＝3，[－1.08]＝－2.如果定义函数f(x)＝x－[x]，那么下列命题中正确的一个是()A．f(5)＝1B．方程f(x)＝有且仅有一个解C．函数f(x)是周期函数D．函数f(x)是减函数【答案】C【解析】f(5)＝5－[5]＝0，故A错误；因为f()＝－[]＝，f()＝－[]＝，所以B错误；函数f(x)不是减函数，D错误；故C正确．3. [2012·江苏高考]已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．【答案】9【解析】通过值域求a，b的关系是关键．由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋)2＋b－.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.∴f(x)＝(x＋)2.又∵f(x)＜c，∴(x＋)2＜c，即－－＜x＜－＋.∴②－①，得2＝6，∴c＝9.4.下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x【答案】C【解析】若f(x)＝|x|，则f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；若f(x)＝－x，则f(2x)＝－2x＝2f(x)；若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1，不满足f(2x)＝2f(x)．5.（3分）（2011•重庆）已知，则a=（）A．1B．2C．3D．6【答案】D【解析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x2，再取极限即可．解：原式==（分子分母同时除以x2）===2∴a=6故答案选D．点评：关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子，是极限运算中常用的计算技巧．6.如果函数在上的最大值和最小值分别为、，那么.根据这一结论求出的取值范围（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】函数在区间上最大值为1，最小值为，即，所以，，即取值范围为，选B.【考点】新定义概念与函数的最值.7.设函数，其中，为正整数，，，均为常数，曲线在处的切线方程为.（1）求，，的值；（2）求函数的最大值；（3）证明：对任意的都有.（为自然对数的底）【答案】（1）;（2）;（3）见解析.【解析】（1）在切点处的的函数值，就是切线的斜率为，可得；根据切点适合切线方程、曲线方程，可得，.（2）求导数，求驻点，讨论区间函数单调性，确定最值.（3）本小题有多种思路，一是要证对任意的都有只需证；二是令，利用导数确定，转化得到．令，证明．（1）因为， 1分所以，又因为切线的斜率为，所以 2分，由点（1,c）在直线上，可得，即 3分4分（2）由（1）知，，所以令，解得，即在（0，+上有唯一零点 5分当0<<时，，故在（0，）上单调递增； 6分当>时，，故在（，+上单调递减； 7分在（0，+上的最大值=== 8分（3）证法1：要证对任意的都有只需证由（2）知在上有最大值，=，故只需证 9分，即① 11分令，则，①即② 13分令，则显然当0<t<1时，，所以在（0，1）上单调递增，所以，即对任意的②恒成立，所以对任意的都有 14分证法2：令，则． 10分当时，，故在上单调递减；而当时，，故在上单调递增．在上有最小值，．，即. 12分令，得，即，所以，即.由（2）知，，故所证不等式成立． 14分【考点】导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性、最（极）值、证明不等式，转化与化归思想，分类讨论思想，应用导数研究恒成立问题.8.对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）=，由图可知，当c∈函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是，故选B．9.设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q【答案】D【解析】对A选项，存在满足条件，故是“保序同构”. 对B选项，存在满足条件，故是“保序同构”.对C选项，存在满足条件，故是“保序同构”.选D.【考点】1、新定义；2、函数.10.设函数f(x)=x3cosx+1.若f(a)=11,则f(-a)=.【答案】-9【解析】f(a)+f(-a)=a3cosa+1+(-a)3cos(-a)+1=2,而f(a)=11,故f(-a)=2-f(a)=2-11=-9.11.对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是()A．(-∞,-1)∪(-,0)B．{-1,-}C．(-1,-)D．(-∞,-1)∪[-,0)【答案】A【解析】由x2-1≤x-x2得-≤x≤1,∴f(x)=函数f(x)的图象如图所示,由图象知,当c<-1或-<c<0时,函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.12.如果f()=,则当x≠0且x≠1时,f(x)=()A．B．C．D．-1【答案】B【解析】令=t,t≠0且t≠1,则x=,∵f()=,∴f(t)=,化简得:f(t)=,即f(x)=(x≠0且x≠1).13.设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________.【答案】2【解析】设e x＝t，则x＝ln t(t>0)，∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2.14.是R上以2为周期的奇函数，当时，则在时是（）A．减函数且B．减函数且C．增函数且D．增函数且【答案】D【解析】因为是R上的奇函数，故，由复合函数单调性知，当时为增函数，故此时；当时，为增函数，又因为是以2为周期的，故在上函数性质和取值完全一样，即时，为增函数，选D.【考点】函数奇偶性、函数单调性.15.直线是函数的切线，则实数．【答案】1【解析】先对函数求导，即，由于切线方程为，所以，，解得：，因此，切点为（2，）或（－2，－），代入切线方程，可得＝ 1.【考点】函数的导数求法，函数导数的几何意义.16.已知函数若直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】如下图所示，作出函数的图象如下图所示，当直线与函数的图象有两个不同的交点，则.【考点】分段函数的图象、函数的零点17.设函数.（1）若x＝时，取得极值，求的值；（2）若在其定义域内为增函数，求的取值范围；（3）设，当=－1时，证明在其定义域内恒成立，并证明（）．【答案】（1）．（2）.（3）转化成.所以.通过“放缩”，“裂项求和”。
高三数学导数试题答案及解析
高三数学导数试题答案及解析1.已知正四棱锥S—ABCD中，SA＝2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为() A．1B．C．2D．3【答案】C【解析】如图所示，设正四棱锥高为h，底面边长为a，则a＝，即a2＝2(12－h2)，所以V＝×a2×h＝h(12－h2)＝－(h3－12h)，令f(h)＝h3－12h，则f′(h)＝3h2－12(h＞0)，令f′(h)＝0，则h＝2，此时f(h)有最小值，V有最大值．2.已知函数在处的切线的斜率为.（1）求实数的值及函数的最大值；（2）证明：．【答案】（1），不存在；（2）参考解析【解析】（1）由函数在处的切线的斜率为，通过求导以及将x=1代入导函数即可得到的值.根据的对函数求导，由定义域的范围即可得到导函数的正负，从而可得函数的单调性.（2）需证明，由题意可得令=1.即可构造.只需令.即可得到.所以只需证明在单调递减即可.由题意可得结论成立.（1）由已知可得函数的定义域为（2分）在是单调递增的最大值不存在（6分）（2）由（1）令，则,,当且仅当时等号成立令则【考点】1.函数的导数.2.函数的最值问题.3.构建新的函数的创新思维.3.等差数列中的是函数的极值点，则A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】，令，解得，，∴，，选A．【考点】导数，等差数列的性质．4.已知集合，以下命题正确的序号是．①如果函数，其中，那么的最大值为。
②数列满足首项,，当且最大时，数列有2048个。
③数列满足，，，如果数列中的每一项都是集合M的元素，则符合这些条件的不同数列一共有33个。
④已知直线，其中，而且，则一共可以得到不同的直线196条。
【答案】②③④【解析】①令，，则，所以，故不正确．②由条件知数列是首项为，公差为2的等差数列，则，则当时，，所以各有两种可能取值，因此满足条件的数列有个，故正确．③根据条件可知满足条件的数列可分为四类：（1），且，有9种；（2），且，有5种；（3），且，有10种；（4），且，有9种，共有9＋5＋10＋9＝33种．④满足的选法有，其中比值相同重复有14种，因此满足条件的直线共有210－14＝196．【考点】1、导数的计数；2、等差数列；3、计数原理．5.已知函数,,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，当时，，所以可知函数在上单调递增，又，，所以可知函数在区间上有且只有一个零点，所以的零点满足；由，当时，，所以可知函数在上单调递减，又，=，因为当时，，所以，可知函数在区间上有且只有一个零点，所以的零点满足；因此函数零点满足的区间至少为，由此可知.【考点】导数公式、函数的零点6.设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 ( )A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】B【解析】试题分析:令，则，设，令，则，要使的图像与图像有且仅有两个不同的公共点只需，整理得，于是可取来研究，当时，，解得，此时，此时；当时，，解得，此时，此时.答案应选B.【考点】函数与导数、函数图象.7.设函数.（1）若，对一切恒成立，求的最大值；（2）设，且、是曲线上任意两点，若对任意，直线的斜率恒大于常数，求的取值范围.【答案】（1）的最大值为；（2）实数的取值范围是.【解析】（1）当时，将不等式对一切恒成立等价转化为来处理，利用导数求处函数的最小值，进而建立有关参数的不等式进行求解，以便确定的最大值；（2）先根据题意得到，假设，得到，进而得到，并构造新函数，利用函数在上为单调递增函数并结合基本不等式法求出的取值范围.试题解析：（1）当时，不等式对一切恒成立，则有，，令，解得，列表如下：减极小值增故函数在处取得极小值，亦即最小值，即则有，解得，即的最大值是；（2）由题意知，不妨设，则有，即，令，则，这说明函数在上单调递增，且，所以在上恒成立，则有在在上恒成立，当时，，则有，即实数的取值范围是.【考点】1.不等式恒成立；2.基本不等式8.已知函数，.(Ⅰ)若，求函数在区间上的最值；(Ⅱ)若恒成立，求的取值范围. （注：是自然对数的底数）【答案】(Ⅰ) 最大值；(Ⅱ)的取值范围是.【解析】(Ⅰ) 讨论去掉绝对值，利用导数求得最值； (Ⅱ) 对分，讨论：当时，，恒成立，所以；当时，对讨论去掉绝对值，分离出通过求函数的最值求得的范围.试题解析：(1) 若，则.当时，，，所以函数在上单调递增；当时，，.所以函数在区间上单调递减，所以在区间[1,e]上有最小值，又因为，，而，所以在区间上有最大值.(2)函数的定义域为．由，得．（*）（ⅰ）当时，，，不等式（*）恒成立，所以；（ⅱ）当时，①当时，由得，即，现令，则，因为，所以，故在上单调递增，从而的最小值为，因为恒成立等价于，所以；②当时，的最小值为，而，显然不满足题意.综上可得，满足条件的的取值范围是.【考点】绝对值的计算、函数的最值求法、利用导数求函数单调性.9.定义在上的函数同时满足以下条件：①函数在上是减函数，在上是增函数；②是偶函数；③函数在处的切线与直线垂直.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设，若存在使得，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由三个条件可得三个等式，从而可求出三个未知数.（Ⅱ）一般地若存在使得，则;若存在使得，则.在本题中，由可得: .则大于的最小值.试题解析：（Ⅰ）,由题设可得:所以（Ⅱ）由得: 即:令由题意得:所以在单调递增,在上单调递减又,所以的最小值为【考点】函数的性质,导数的求法及应用.10.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数的“新驻点”分别为，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】【解析】因为 ,所以即 ,所以 .,所以即, 设: ,,所以在上是单调函数,又,所以 ,所以即设 ,则,或, 或, ,所以在区间上 ;在区间上,;因此在区间上函数没有零点.在区间上是增函数且,所以 .综上 .【考点】导数的运算及应用,函数零点的范围判断.11.已函数是定义在上的奇函数,在上.（1）求函数的解析式;并判断在上的单调性(不要求证明);（2）解不等式．【答案】（1） ;（2）.【解析】{设，则}是求函数解析式问题的重要方法,即求那个区间的解析式设自变量在那个区间,然后运用奇函数的性质进行转化;注意运用{在相同定义域内,增增增; 减减减}判断函数的单调性.（2）利用函数的单调性解不等式,同时注意函数的定义域.试题解析：（1）设，则又是奇函数，所以，= 3分4分是[-1，1]上增函数 .6分（2）是[-1，1]上增函数，由已知得: .7分等价于 ...10分不等式的解集为 12分【考点】求函数解析式,函数的单调性,函数的奇偶性,解不等式.12.设函数 (R)，且该函数曲线在处的切线与轴平行.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）证明：当时，.【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）先求出原函数的导函数，令导函数大于零得单调增区间，令导函数小于零得单调减区间；（Ⅱ）当时，，在上单调递增，求出在上的最大值为和最小值，用最大值减去最小值可得结论.试题解析：（Ⅰ），由条件知，故则 3分于是.故当时，；当时，。
高三数学导数的实际应用试题答案及解析
高三数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数 ().（1）若,求函数的极值;（2）设．①当时,对任意,都有成立,求的最大值;②设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.【答案】（1）参考解析；（2）①－1－e－1，②(－1,+∞)【解析】（1）由函数 ()，且，所以对函数求导，根据导函数的正负性可得到结论（2）①当时,对任意,都有成立，即时，恒成立. 由此可以通过分离变量或直接求函数的最值求得结果，有分离变量可得b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立.通过求函数h(x)＝x2－2x－ (x＞0)的最小值即可得到结论.②若存在,使.通过表示即可得到＝，所以求出函数u(x)＝(x＞1)的单调性即可得到结论.（1）当a＝2,b＝1时,f (x)＝(2＋)e x,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).所以f ′(x)＝e x. 2分令f ′(x)＝0,得x1＝－1,x2＝,列表(0,)(,＋∞)－↗极大值极小值↗由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1,f (x)的极小值是f ()＝4. 4分（2）①因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,所以b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立． 7分记h(x)＝x2－2x－ (x＞0),则h′(x)＝.当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1;所以b的最大值为－1－e－1. 9分解法二：因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，所以g(2)＝－e2＞0,因此b＜0. 5分g′(x)＝(1＋)e x＋(x－－2)e x＝．因为b＜0,所以：当0＜x＜1时,g′(x)＜0,g(x)在(0,1)上是减函数；当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)在(1,＋∞)上是增函数．所以g(x)min＝g(1)＝(－1－b)e－1 7分因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，所以(－1－b)e－1≥1,解得b≤－1－e－1因此b的最大值为－1－e－1. 9分②解法一：因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立． 11分因为a＞0,所以＝.设u(x)＝(x＞1),则u′(x)＝．因为x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,所以＞－1,即的取值范围为(－1,＋∞). 14分解法二：因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立. 11分设u(x)＝2ax3－3ax2－2bx＋b(x≥1)u′(x)＝6ax2－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥-2b 当b≤0时,u′(x）≥0此时u(x)在[1,＋∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)＝－a－b因为存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立所以只要－a－b＜0即可,此时－1＜≤0 12分当b＞0时,令x0＝＞＝＞1,得u(x)＝b＞0,又u(1)＝－a－b＜0于是u(x)＝0,在(1,x)上必有零点即存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立,此时＞0 13分综上有的取值范围为(－1,+∞)------14分【考点】1.函数的极值.2.函数最值.3.函数恒成立问题.4.存在性的问题.5.运算能力.2.将一个边长分别为a、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子．若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是________．【答案】【解析】设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2＝(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2，由R′＝0，∴x＝(a＋b)．∵a<b，∴x∈，∴0<(a＋b)< ，∴1<<.3.对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若，请你根据这一发现，求：（1）函数的对称中心为__________；（2）=________.【答案】(1)；（2）2013.【解析】，，令，∴，∴∴对称中心为，∴，∴.【考点】1.新定义题；2.导数.4.已知，函数．（1）当时，写出函数的单调递增区间；（2）当时，求函数在区间[1，2]上的最小值；（3）设，函数在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）对于含绝对值的函数一般可通过讨论去掉绝对值化为分段函数再解答，本题当时，函数去掉绝对值后可发现它的图象是由两段抛物线的各自一部分组成，画出其图象，容易判断函数的单调递增区间；（2）时，所以，这是二次函数，求其在闭区间上的最小值，一般要分类讨论，考虑对称轴和区间的相对位置关系，从而判断其单调性，从而求出最小值；（3）函数在开区间上有最大值和最小值，必然要使开区间上有极大值和极小值，且使极值为最值，由于函数是与二次函数相关，可考虑用数形结合的方法解答.试题解析：（1）当时，, 2分由图象可知，的单调递增区间为． 4分（2）因为，所以． 6分当，即时，； 7分当，即时，． 8分． 9分（3）， 10分①当时，图象如图1所示．图1由得． 12分②当时，图象如图2所示．图2由得． 14分【考点】含绝对值的函数、二次函数.5.设，当时，恒成立，则实数的取值范围为。
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.若函数，当时，函数有极值－．求函数的解析式．【答案】【解析】(1)利用函数的极值与导数的关系；(2)解决类似的问题时，函数在极值点处的导数为零，注意区分函数的最值和极值．求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(3)若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到．试题解析：解：由题意可知于是，，解得经检验符合题意，因此函数的解析式为．【考点】函数的导数与极值．2.已知函数，其中。
（1）若，求函数的极值点和极值；（2）求函数在区间上的最小值。
【答案】（1）极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为；（2）【解析】（1）把代入原函数，求出的导函数，令导函数等于求出根即可得极值点，把极值点代入原函数得极值。
（2）因为，所以把分两种情况来讨论，当时，函数在区间为单调递增函数，最小值为，当时，求出函数的导函数，并令得增区间，令得减区间，最后得出的最小值。
试题解析：解：（1）当时，。
2分令，得或。
所以，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；在区间上，，函数是增函数。
4分[所以，函数的极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为。
8分（2）当时，是R上的增函数，在区间上的最小值为。
10分当时，。
在区间上是减函数，在区间上，是增函数。
12分所以，在区间上的最小值为， 13分。
14分综上，函数在区间上的最小值为。
【考点】导数在求极值及最值中的应用；3.已知函数在处有极大值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线相切，求的取值范围；（Ⅲ）当时，函数的图象在抛物线的下方，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）通过对函数f（x）求导，根据函数在x=2处有极值，可知f'（2）=0，解得a的值．（Ⅱ）把（1）求得的a代入函数关系式，设切点坐标，进而根据导函数可知切线斜率，则切线方程可得，整理可求得b的表达式，令g'（x）=0解得x1和x2．进而可列出函数g（x）的单调性进而可知-64＜b＜0时，方程b=g（x）有三个不同的解，结论可得．（Ⅲ）当x∈[-2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x-9x2的下方，进而可知x3-12x2+36x+b＜1+45x-9x2在x∈[-2，4]时恒成立，整理可得关于b的不等式，令h（x）=-x3+3x2+9x+1，对h（x）进行求导由h'（x）=0得x1和x2．分别求得h，h（-1），h（3），h（4），进而可知h（x）在[-2，4]上的最小值是，进而求得b的范围．试题解析：（Ⅰ），或，当时，函数在处取得极小值，舍去；当时，，函数在处取得极大值，符合题意，∴．（3分）（Ⅱ），设切点为，则切线斜率为，切线方程为，即，∴．令，则，由得，．函数的单调性如下：↗极大值↘极小值↗∴当时，方程有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线相切．（8分）（Ⅲ）∵当时，函数的图象在抛物线的下方，∴在时恒成立，即在时恒成立，令，则，由得，．∵，，，，∴在上的最小值是，．（12分）【考点】等比关系的确定；利用导数研究函数的极值．4.已知函数在处取得极值为（1）求的值；（2）若有极大值28，求在上的最小值．【答案】（1）（2）在上的最小值为【解析】（1）由，又知在处取得极值，，即可解得的值.（2）由（1）可得，即可求得函数在处有极大值，再由，可得，，再利用单调性易判断在上的最小值为.试题解析：（1）∵，∴又∵在处取得极值，∴且，即且，解得：.（2）由（1）得：，，令，解得：，极大值极小值∴函数在处有极大值，且，∴，此时，，在上的最小值为.【考点】利用函数极值求参数；利用导数求函数最值.5.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是A．5，15B．5，－14C．5，－15D．5，－16【答案】C【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.6.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．个B．个C．个D．个【答案】A【解析】由导函数的图像知，的图像先增后减再增再减，故只有一个极小值点，故选A.【考点】函数导数与极值的关系7.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】求导得=，当-1＜＜0时，，当时，＜0，所以该函数在（-1,0）上是增函数，在（0,1）是减函数，故当=0时，=，所以=3，所以当=-1时，y=，当=1时，=，所以该函数在[-1,1]上的最小值为.【考点】利用导数求函数在某个闭区间上的最值8.设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上,恒成立,则称函数在上为“凸函数”．已知当时,在上是“凸函数”．则在上 ( )A．既有极大值,也有极小值B．既有极大值,也有最小值C．有极大值,没有极小值D．没有极大值,也没有极小值【答案】C【解析】由题设可知:在(-1,2)上恒成立,由于从而,所以有在(-1,2)上恒成立,故知，又因为，所以；从而，得；且当时，当时，所以在上在处取得极大值，没有极小值．【考点】新定义,函数的极值．9.函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．1个B．个C．个D．个【答案】A【解析】设导函数在内的图像与轴的交点(自左向右)分别为，其中，则由导函数的图像可得:当时，，时，且，所以是函数的极大值点；当时，，时，且，所以是函数的极小值点；当或时，，故不是函数的极值点；当时，，而当时，，且，所以是函数的极大值点；综上可知，函数在开区间内有极小值点只有1个，故选A．【考点】1．函数的图像；2．函数的导数与极值．10.已知函数在处取得极值，求函数以及的极大值和极小值．【答案】在处取得极大值，在处取得极小值．【解析】先求出导函数，进而根据条件得出，列出方程组，从中解出的值，进而根据函数的极值与导数的关系求解出函数的极大值与极小值即可．试题解析：因为，所以因为函数在处取得极值所以即∴，令，得或当变化时，与的变化情况如下表：1+0—+∴在处取得极大值，在处取得极小值．【考点】函数的极值与导数．11.求函数的极值【答案】，当时，有极大值且极大值为；当时，有极小值且极小值为【解析】求函数的极值，首先找到定义域使得函数有意义，其次求导函数，令其等于零，分析函数的单调性，从而找到极值点，求出极值.试题解析：根据题意可知函数定义域为，因为，所以，令，可得，当变化时，有下表-↗↗由上表可知，当时，有极大值且极大值为；当时，有极小值且极小值为【考点】导数法求极值.12.已知在与处都取得极值.（1）求，的值；（2）设函数，若对任意的，总存在，使得、，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据条件，可得，由在与处都取得极值，可知，故可建立关于的二元一次方程组，从而解得，此时，需要代回检验是否确实是的极值点，经检验符合题意，从而；（2）由（1）可得由（1）知：函数在上递减，∴，因此问题就等价于求使当时，恒成立的的取值范围，而二次函数图像的对称轴是，因此需对的取值作出以下三种情况的分类讨论：①：；②：；③，分别用含的代数式表示上述三种情况下的最小值表示出来，从而可以建立关于的不等式，进而求得的取值范围为.试题解析：（1）∵，∴. 1分∵在与处都取得极值，∴，∴ 4分经检验，当时，，∴函数在与处都取得极值，∴ 6分；（2）由（1）知：函数在上递减，∴ 8分，又∵函数图象的对称轴是，①：当时：，显然有成立，∴.②：当时：，∴，解得：，又∵，∴.③：当时：，∴，∴，又，∴综上所述： 12分，∴实数的取值范围为 13分.【考点】1.导数的运用；2.二次函数与恒成立问题.13.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】由函数得，令0得x=0或x=1，<0得，>0得x>1或x<0，所以函数在（0,1）上是减函数，在上是增函数，故最大值为f(0)=a=3,f(1)=,f(-1)=,故最小值为,【考点】导数与函数的极值.14.若函数有极值点，且，若关于的方程的不同实数根的个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】，因为函数有极值点，则是方程的两根。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.已知函数（1）若是的极值点，求的极大值；（2）求实数的范围，使得恒成立.【答案】（1）极大值为;（2）综上所述：时，恒成立．【解析】（1）通过“求导数、求驻点、讨论驻点附近导数值的符号、确定极值”，“表解法”形象直观；（2）应用转化与化归思想.要使得恒成立，即时，恒成立；构造函数，应用导数研究函数的最值，注意分以下情况：（ⅰ）当时，（ii）当时，（iii）当时，（iv）当a>1时，综上所述：时，恒成立．试题解析：（1）是的极值点解得 2分当时，当变化时，+4分的极大值为 6分（2）要使得恒成立，即时，恒成立 8分设，则（ⅰ）当时，由得单减区间为，由得单增区间为，得 10分（ii）当时，由得单减区间为，由得单增区间为，此时，不合题意． 10分（iii）当时，在上单增，不合题意． 12分（iv）当a>1时，由得单减区间为，由得单增区间为，此时不合题意． 13分综上所述：时，恒成立． 14分【考点】1.应用导数研究函数的单调性、极（最）值，2.应用导数证明不等式3.转化与化归思想.2.设函数在处取极值，则= ．【答案】2.【解析】因为，又函数在处取极值，所以，从而．【考点】１．函数导数的求法；２．三角恒等变形公式．3.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值4.已知曲线.(1)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；(2)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【答案】(1)，，(2)．【解析】(1)根据导数几何意义，所以.因为，所以.因为过点，所以，(2)由题意得：不等式恒成立，恒成立问题一般转化为最值问题.一是分类讨论求函数最小值，二是变量分离为恒成立，求函数最小值.两种方法都是，然后对实数a进行讨论，当时，，所以.当时,由得，不论还是，都是先减后增，即的最小值为，所以.试题解析：解（1）， 2分因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且. 4分解得， -5分（2）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令， 7分①若a=0，则，所以实数b的取值范围是； 8分②若,，由得， 9分的情况如下：+11分所以的最小值为， 12分所以实数b的取值范围是；综上，实数b的取值范围是． 13分法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令，则等价于∀，恒成立，令，则， 7分由得， 9分的情况如下：+-11分所以的最小值为， 12分实数b的取值范围是． 13分【考点】利用导数求切线、最值.5.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像的是()【答案】D【解析】若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则易得a＝c.∵选项A、B的函数为f(x)＝a(x＋1)2，其中a≠0，则[f(x)e x]′＝f′(x)e x＋f(x)(e x)′＝a(x＋1)·(x＋3)e x，∴x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，满足条件；选项C中，对称轴x＝－>0，且开口向下，∴a<0，b>0，∴f(－1)＝2a－b<0，也满足条件；选项D中，对称轴x＝－<－1，且开口向上，∴a>0，b>2a，∴f(－1)＝2a－b<0，与图像矛盾，故选D.6.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是函数f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xe x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．7.若函数满足：在定义域内存在实数，使(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”．（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数关于可线性分解，求的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．【答案】（Ⅰ）是关于1可线性分解；（Ⅱ）a的取值范围是；（Ⅲ）详见解析．【解析】（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解，关键是看是否存在使得成立，若成立，是关于1可线性分解，否则不是关于1可线性分解，故看是否有解，构造函数，看它是否有零点，而，观察得，，有根的存在性定理可得存在，使；（Ⅱ）先确定定义域为，函数关于可线性分解，即存在，使，即有解，整理得有解，即，从而求出的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：，当时，，对求导，判断最大值为，可得，分别令，叠加可得证结论．试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是R，若是关于1可线性分解，则定义域内存在实数，使得．构造函数．∵，且在上是连续的，∴在上至少存在一个零点．即存在，使． 4分（Ⅱ）的定义域为．由已知，存在，使．即．整理，得，即．∴，所以．由且，得．∴a的取值范围是． 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，，．当时，，所以的单调递增区间是，当时，，所以的单调递减区间是，因此时，的最大值为，所以，即，因此得：，，，，，以上各式相加得：，即，所以，即．１４分【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．8.如图，已知点，函数的图象上的动点在轴上的射影为，且点在点的左侧.设，的面积为.（Ⅰ）求函数的解析式及的取值范围；（Ⅱ）求函数的最大值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）当时，函数取得最大值8.【解析】（Ⅰ）确定三角形面积，主要确定底和高.（Ⅱ）应用导数研究函数的最值，遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数正负，比较极值与区间端点函数值”.利用“表解法”形象直观，易以理解.试题解析：（Ⅰ）由已知可得，所以点的横坐标为, 2分因为点在点的左侧，所以，即.由已知，所以， 4分所以所以的面积为. 6分（Ⅱ） 7分由，得（舍）,或. 8分函数与在定义域上的情况如下：2+↘12分所以当时，函数取得最大值8. 13分【考点】三角形面积，应用导数研究函数的最值.9.设.（1）若时，单调递增，求的取值范围；（2）讨论方程的实数根的个数.【答案】(1)；（2）见解析.【解析】(1)求出函数导数，当时，单调递增，说明当时，，即在恒成立，又函数在上递减，所以；（2）将方程化为，令，利用导数求出的单调区间，讨论的取值当时，，当时，，所以当时，方程无解，当时，方程有一个根，当时，方程有两个根.试题解析：（1）∵∴∵当时，单调递增∴当时，∴,，函数在上递减∴（2）∴令当时∵∴即在递增当时∵∴即在递减∵当时当时∴①当时，方程无解②当时，方程有一个根③当时，方程有两个根【考点】利用导数求函数最值、利用导数研究函数取值、函数和方程思想.10.函数上有最小值，实数a的取值范围是（）A．(-1,3)B．(-1,2)C．D．【答案】D【解析】由题 f'（x）=3-3x2，令f'（x）＞0解得-1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜-1或x＞1,由此得函数在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数故函数在x=-1处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（a2-12，a）上的最小值.∴a2-12＜-1＜a，解得-1＜a＜，又当x=2时，f（2）=-2，故有a≤2,综上知a∈（-1，2],故选D.【考点】用导数研究函数的最值11.设函数，其中.（1)若在处取得极值，求常数的值；（2）设集合，，若元素中有唯一的整数，求的取值范围.【答案】（1)；（2）【解析】（1）由在处取得极值，可得从而解得，此问注意结合极值定义检验所求值是否为极值点；（2）分，，和三种情况得出集合A，然后由元素中有唯一的整数，分析端点，从而求出的取值范围.试题解析：（1），又在处取得极值，故，解得.经检验知当时，为的极值点，故.（2）,当时，，则该整数为2，结合数轴可知，当时，，则该整数为0，结合数轴可知当时，,不合条件.综上述，.【考点】1.利用导数处理函数的极值；2.集合元素的分析12.定义在上的函数满足：①（为正常数）；②当时，.若函数的所有极大值点均在同一条直线上，则_____________.【答案】或.【解析】当时，，故函数在上单调递增，在上单调递增，故函数在处取得极大值，当时，则，此时，此时，函数在处取得极大值，对任意，当时，函数在处取得极大值，故函数的所有极大值点为，由于这些极大值点均在同一直线上，则直线的斜率为定值，即为定值，故或，即或.【考点】1.函数的极值；2.直线的斜率13.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由得或，即或.又，所以或.因为不等式对恒成立，所以或.(1)令，则.令得，当时，；当时，.所以在上是增函数，在是减函数.所以，所以.(2)令，则，因为，所以，所以易知，所以在上是增函数.易知当时，，故在上无最小值，所以在上不能恒成立.综上所述，，即实数的取值范围是.【考点】利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性求最值、含绝对值不等式的解法14.（本小题满分共12分）已知函数，曲线在点处切线方程为。
高三数学利用导数求最值和极值试题
高三数学利用导数求最值和极值试题1. 函数f(x)＝x 3－x 2－3x －1的图象与x 轴的交点个数是________．【答案】3【解析】f′(x)＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10<0，f(x)极大值＝f(－1)＝>0知函数f(x)的图象与x 轴的交点个数为3.2. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( )． A ．(0,2] B ．(0,2) C ．[，2) D ．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可得又a >0，解得<a <2，故选D.3. 已知且关于的函数在上有极值,则与的夹角范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 ，因为在上有极值，所以【考点】有解，，即，，所以],故选B.【考点】1.函数的导数；2.向量的数量积以及向量的夹角.4. 不等式的解集为，且，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】①当时，不等式对任意实数恒成立；②当时，不等式可变形为，由不等式的解集为，且设，令，解得． 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．由此可知，当时，函数取得极小值，也即最小值，且．．故选A．【考点】利用导数研究函数的极值5.记函数的最大值为M，最小值为m，则的值为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，，解得，所以函数的定义域是. 已知函数求导得，，时，当时，，当时，，所以在区间上先增后减，最大值是，因为，，所以，所以.【考点】1.利用导数研究函数的最值；2.函数的单调性与导数的关系6.设.(Ⅰ)若对一切恒成立,求的取值范围;(Ⅱ)设,且是曲线上任意两点,若对任意的,直线AB的斜率恒大于常数,求的取值范围;(Ⅲ)求证:.【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析【解析】（Ⅰ）∴对一切恒成立等价于恒成立.这只要求出函数的最小值即可.（Ⅱ）直线的斜率为：由题设有,不妨设则这样问题转化为函数,在上单调递增所以恒成立，即对任意,恒成立这样只需求出的最小值即可.（Ⅲ）不等式可变为由(Ⅰ) 知（时取等号）,在此不等式中取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：将以上不等式相加即可得证.试题解析：(Ⅰ)令，则由得.所以在上单调递增, 在单调递减.所以由此得：又时，即为此时取任意值都成立综上得：(II)由题设得，直线AB的斜率满足：,不妨设，则即：令函数,则由以上不等式知：在上单调递增,所以恒成立所以，对任意,恒成立又=故(Ⅲ)由(Ⅰ) 知时取等号）,取,得即累加得所以【考点】1、函数的导数及其应用；2、不等关系及重要不等式；3、不等式的证明.7.已知函数只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．∪C．D．∪【答案】B【解析】求导得：，所以的极大值为，极小值为.因为该函数只有一个零点，所以或，所以，选B.【考点】1、导数的应用；2、函数的零点；3、解不等式.8.已知且，现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号为：（）A．①③B．①④C．②④D．②③【答案】D【解析】,函数在处取得极大值，在处取得极小值，由知函数有3个零点，则有，即解得，即，，所以，.【考点】1.函数的极值；2.函数的零点.9.设函数有三个零点，且则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求导数，令，解得故+0—0+又因为，，，，综合以上信息可得示意图如右，由图可知，.【考点】考查函数的零点.10.已知函数，且函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析:因为函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，所以即画出可行域如图所示，为可行域内的点到的距离的平方，由图可知，距离的最小值为距离的最大值为，所以的取值范围为【考点】本小题主要考查导数与极值的关系以及线性规划的应用.点评：对于此类问题，必须牢固掌握导数的运算，利用导数求单调性以及极值和最值.本题导数与线性规划结合，学生必须熟练应用多个知识点，准确分析问题考查的实质，正确答题.11.已知函数既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是_______________【答案】或；【解析】本试题主要是考查了一元三次函数的极值问题的运用。
高考数学利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题(解析版)题型一：利用导数研究函数的单调性
题型一：利用导数研究函数的单调性1、讨论函数的单调性（或区间）1．已知函数211()(1)ln (,0)22f x x a x a a =-+-∈≠R ． （1）讨论函数的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）0a ≤.【详解】解：（1）由已知定义域为()0,∞+，()211'()x a a f x x x x-++=-= 当10a +≤，即1a ≤-时，()'0f x >恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增；当10a +>，即1a >-时，x =或x =所以()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.所以1a ≤-时，()f x 在()0,∞+上单调递增；1a >-时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增. （2）由（1）可知，当1a ≤-时，()f x 在()1,+∞上单调递增，若()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，只需(1)0f ≥，而(1)0f =恒成立，所以1a ≤-成立；当1a >-1≤，即10a -<≤，则()f x 在()1,+∞上单调递增，又(1)0f =，所以10a -<≤成立；若0a >，则()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以(0x ∃∈，()0()10f x f <=，不满足()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立.所以综上所述：0a ≤.2．已知函数32()f x x x mx =+-.（1）若函数()f x 在2x =处取到极值，求曲线()y f x =在(1,())f x 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）113y x =--；（2）()f x 在⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. 【详解】（1）依题意，2()32f x x x m '=+-，(2)1240f m '=+-=，解得16m =，经检验，16m =符合题意；故32()16f x x x x =+-，2()3216f x x x '=+-，故(1)21614f =-=-，(1)11f '=-，故所求切线方程为1411(1)y x +=--，即113y x =--；（2）依题意2()32f x x x m '=+-，412m ∆=+，若0∆，即13m -时，()0f x '，()f x 在R 上单调递增；若0∆>，即13m >-时，令()0,f x x '===令12x x == 故当()1,x x ∈-∞时，()0f x '>，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，故函数()f x 在⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. 3．已知函数()ln a f x x x=+（a 为常数） （1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）0a ≤时，(0,)+∞递增，0a >时，在(0,)a 递减，(,)a +∞递增；【详解】（1）函数定义域是(0,)+∞，221()a x a f x x x x-'=-=， 0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0,)+∞上是增函数；0a <时，0x a <<时，()0f x '<，()f x 递减，x a >时，()0f x '>，()f x 递增．2、根据函数的单调性求参数的取值范围1．已知函数321()23f x ax x x =+-+，其中a R ∈. （1）若函数()f x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围；【答案】（1）()()1,00,a ∈-+∞； 【详解】（1）由321()23f x ax x x =+-+，得2()21f x ax x '=+-. ∵()f x 存在三个单调区间∴()0f x '=有两个不相等的实数根，即2210ax x .∴00a ≠⎧⎨∆>⎩，即0440a a ≠⎧⎨+>⎩，故()()1,00,a ∈-+∞.2．已知函数()321f x x ax =++，a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，求a 的取值范围； （3）若函数()f x 的单调减区间是2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，求a 的值. 【答案】（1）答案见解析（2）[)1,+∞（3）1（1） 由题意知，22()323()3a f x x ax x x '=+=+， 当0a =时，2()30f x x '=≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间是()-∞+∞，； 当0a >时，令2()0()(0)3a f x x '>⇒∈-∞-+∞，，，令2()0(0)3a f x x '<⇒∈-，， 所以()f x 的单调递增区间为2(),(0)3a -∞-+∞，，，单调递减区间为2(0)3a -，， 当0a <时，令2()0(0)()3a f x x '>⇒∈-∞-+∞，，，令2()0(0)3a f x x '<⇒∈-，， 所以()f x 的单调递增区间为2(0)()3a -∞-+∞，，，，单调递减区间为2(0)3a -，； （2）由(1)知，当0a >时，有22(0)(0)33a -⊆-，，，所以2233a -≤-， 解得1a ≥，即a 的取值范围为[1)+∞，； （3）由(1)知，当0a >时，有22(0)(0)33a -=-，，，所以2233a -=-， 解得1a =.3．已知函数()3f x x ax =-+，a R ∈（1）若()f x 在)1,⎡+∞⎣上为单调减函数，求实数a 取值范围；【答案】（1）3a ≤；（2）最大值为0，最小值为16-．【详解】解：（1）因为()3f x x ax =-+，则()'23f x x a =-+．依题意得()'230f x x a =-+≤在[)1,x ∈+∞恒成立，∴23a x ≤在[)1,x ∈+∞恒成立． 因为当1≥x 时，233x ≥，所以 3a ≤．（2）当12a =时，()312f x x x =-+，()()()'2312322f x x x x =-+=-+-，令'0f x 得[]123,0x =∉-，22x =-，所以当32x -<<-时，()'0f x <，()f x 单调递减，当20x -<<时，()'>0f x ，()f x 单调递增，又()327369f -=-=-，()282416f -=-=-，()00f =．∴()f x 在[]3,0-上最大值为0，最小值为16-．。
2023年新高考数学一轮复习4-3 应用导数研究函数的极值、最值(知识点讲解)解析版
专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查利用导数求函数的极值、最值，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．2.考查利用导数研究函数的图象，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．3.考查利用导数解决生活中的优化问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）导数与函数的极值 1．函数的极小值：函数y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在点x ＝a 附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y ＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值：函数y ＝f(x)在点x ＝b 的函数值f(b)比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b 叫做函数y ＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y ＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3.特别提醒：(1)函数f (x)在0x 处有极值的必要不充分条件是f ′(0x )＝0，极值点是f ′(x)＝0的根，但f ′(x)＝0的根不都是极值点(例如()3f x x ＝，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点)．(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．（二）导数与函数的最值(1)在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．（三）利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x)．(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． (4)回归实际问题，结合实际问题作答． （四）常用结论1．若函数f (x)的图象连续不断，则f (x)在[a ，b]上一定有最值．2．若函数f (x)在[a ，b]上是单调函数，则f (x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f (x)在区间(a ，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．【常考题型剖析】题型一：利用导数研究函数的极值例1.（2017·全国高考真题（理））若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）． A ．1- B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a ex ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'， 因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e -=--，故()()212x f x x x e --'=+，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减， 所以()f x 的极小值为()()1111111f e-=--=-，故选A ．例2．（2012·重庆·高考真题（理））设函数()f x 在R 上可导，其导函数为 ()'f x ，且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(2)f 【答案】D 【解析】 【详解】()()2,10,10x x x f x --'->则()0f x '>函数()f x 增； ()()21,10,10x x x f x -<--<'则()0f x '<函数()f x 减；()()12,10,10x x x f x <<--'则()0f x '<函数()f x 减；()()2,10,10x x x f x >-<-<'则()0f x '>函数()f x 增；选D.例3.（2008·福建·高考真题（文））已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点（-1，-6），且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.(Ⅰ)求m 、n 的值及函数y =f (x )的单调区间；(Ⅱ)若a ＞0，求函数y =f (x )在区间（a -1,a +1）内的极值.【答案】（1）m =-3, n =0. f (x )的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；f (x )的单调递减区间是（0，2）（2）当0<a <1时，f (x )有极大值－2，无极小值，当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a=1或a ≥3时，f (x )无极值. 【解析】 【详解】（Ⅰ）利用条件的到两个关于m 、n 的方程，求出m 、n 的值，再找函数y=f （x ）的导函数大于0和小于0对应的区间即可．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，分情况讨论区间（a -1，a+1）和单调区间的位置关系再得结论．(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①…由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得＝3x2＋2mx＋n，………………2分则g(x)＝＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)的图象关于y轴对称，所以－2623m+⨯＝0，解得m＝－3.代入①得n＝0.于是＝3x2－6x＝3x(x－2)．………………………4分由>0得x>2或x<0，故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；………………………5分由<0，得0<x<2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)．………………………6分(2)由(1)得＝3x(x－2)，令＝0得x＝0或x＝2. ………………7分当x变化时，，f(x)的变化情况如下表：增函数增函数…………………………………9分由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．………………………………12分【总结提升】 1.两点说明：（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．2.求函数f(x)极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x 0处取极小值．3.求极值问题主要有两种类型，一是由图象求极值，二是求具体函数的极值. 题型二：根据函数极值（点）求参数的值或范围例4.（2021·全国高考真题（理））设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（ ） A ．a b < B ．a b > C ．2ab a < D ．2ab a >【答案】D 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab .()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，0a <，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >.综上所述，2ab a >成立. 故选：D例5.（2022·全国·高考真题（理））已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________． 【答案】1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，可得()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，()12,x x x ∈时，()0f x '>，再分1a >和01a <<两种情况讨论，方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，构造函数()ln xg x a a =⋅，利用指数函数的图象和图象变换得到()g x 的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】解：()2ln 2e xf x a a x '=⋅-，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以当()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，当()12,x x x ∈时，()0f x '>， 若1a >时，当0x <时，2ln 0,2e 0x a a x ⋅><，则此时()0f x '>，与前面矛盾， 故1a >不符合题意，若01a <<时，则方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ， 即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点， ∵01a <<,∴函数x y a =的图象是单调递减的指数函数，又∵ln 0a <,∴ln x y a a =⋅的图象由指数函数x y a =向下关于x 轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的ln a 倍得到，如图所示：设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln xx a a ⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a '=⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-，则有0020ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅，解得01ln x a=， 则切线的斜率为122ln ln eln a a a a ⋅=，因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点， 所以2eln e a <，解得1e ea <<，又01a <<，所以11ea <<，综上所述，a 的范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭.例6.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.【法案】－7【解析】由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则2310630a ab b a ⎧+--=⎨-+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值， 而a ＝2，b ＝9满足题意， 故a －b ＝－7.例7．（2017·江苏·高考真题）已知函数()32f x =x x 1(0,)a bx a b R +++>∈有极值，且导函数()fx ，的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b²>3a; （3）若()f x ，()fx ，这两个函数的所有极值之和不小于7-2，求a 的取值范围．【答案】（1）2239a b a =+，定义域为(3,)+∞.（2）见解析（3）(36]，. 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求导函数的极值：3a x =-，再代入原函数得33()1032793a a a abf -=-+-+=，化简可得2239a b a =+，根据极值存在条件可得3a >；（2）由（1，构造函数23()=9t g t t +，利用导数研究函数单调性，可得(g g 2>3b a ；（3）先求证()f x 的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于72-，构造差函数213()=9h a a a -+，利用导数研究其单调性，()h a 在(3,)+∞上单调递减．而7(6)=2h -，故可得a 的取值范围．试题解析：解：（1）由()321f x x ax bx =+++，得()22232333a a f x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭'.当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -. 因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以331032793a a a ab f ⎛⎫-=-+-+= ⎪⎝⎭，又0a >，故2239a b a =+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而()23127039a b a a-=-≤，即3a ≥.3a =时，()>0(1)f x x ≠-'，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1x 2x . 列表如下故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因此2239a b a =+，定义域为(3,)+∞.（2）由（1设23()=9t g t t +，则22223227()=99t g t t t --='.当)t ∈+∞时，()0g t '>，从而()g t 在)+∞上单调递增.因为3a >，所以>，故(g g因此2>3b a .（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而()()32321211122211f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++()()()()2222121122121212323223333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >.因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减.因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤. 因此a 的取值范围为(]36，. 【总结提升】由函数极值求参数的值或范围．讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．题型三：利用导数研究函数的最值例8．（2022·全国·高考真题（理））当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知12f ，()10f '=即可解得,a b ，再根据()f x '即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，12f ，()10f '=，而()2a bf x x x '=-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x '=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f '=-+=-．故选：B.例9．（2021·全国·高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为______. 【答案】1【解析】 【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值. 【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞， ∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减； 当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减； 当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增； 又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增； ∴()(1)1f x f ≥= 故答案为：1.例10.（2019年高考全国Ⅲ卷理）已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩.【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-． （ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-a =0，与0<a <3矛盾． 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1． 例11.（2017·北京·高考真题（文））已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-.【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式000yf f x 中即可；（Ⅱ）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h =，从而可以知道()()0h x f x '=<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00xf x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x xh x x x x x x =--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<.所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x ='，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果. 【规律方法】1.求函数f(x)在[a ，b]上的最大值和最小值的步骤： 第一步，求函数在(a ，b)内的极值；第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．3. 二次求导！当导函数y ＝f ′(x)无法判断正负时，可令g(x)＝f ′(x)再求g′(x)，先判断g(x)＝f ′(x)的单调性，再根据单调性确定y ＝f ′(x)的正负号．题型四：利用导数解决生活中的优化问题例12．（2020·江苏省高考真题）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?【答案】（1）120米（2）20O E '=米 【解析】 【分析】（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 【详解】 （1）由题意得2311||40640||8040800O A O A ''=-⨯+⨯∴= ||||||8040120AB O A O B ''∴=+=+=米（2）设总造价为()f x 万元，21||8016040O O '=⨯=，设||O E x '=， 32131()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<<3221336()(160),()()0208008080080f x k x x f x k x x x '∴=+-∴=-=∴=(0舍去)当020x <<时，()0f x '<；当2040x <<时，()0f x '>，因此当20x 时，()f x 取最小值，答：当20O E '=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低. 【总结提升】实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等一般都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，若函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值． 题型五：函数极值与最值的综合问题例13.（2016·天津·高考真题（理））设函数3()(1)f x x ax b =---，x∈R ，其中a,b∈R. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若f （x ）存在极值点x 0，且f （x 1）= f （x 0），其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3；（Ⅲ）设a ＞0,函数g （x ）= |f （x ）|,求证：g （x ）在区间[0,2]上的最大值不小于14.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数'()f x ，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（Ⅱ）由题意得，计算可得00(32)()f x f x -=.再由及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较(1),(1)f f -，33(,()33a a f f -的大小即可，可分三种情况研究：①3a ≥；②334a ≤<；③304a <<. 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.下面分两种情况讨论： （1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得313a x =+，或313ax =-. 当变化时，，的变化情况如下表：所以的单调递减区间为33(1,1)33a a-+，单调递增区间为3(,1)3a -∞-，3(1,)3a ++∞. （Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数1x 满足，且，因此，所以.（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论： （1）当时，33102133a a-≤<≤+，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此{}{}max (2),(0)max 12,1M f f a b b==----，所以.（2）当时，2333231011213333a a a a-≤<-<+<≤+，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，233(0)(1)(1)33a a f f f ≥-=+，233(2)(1)(1)33a af f f ≤+=-， 所以在区间上的取值范围为33[(1),(1)]33a af f +-，因此 3322max (1),(1)max 3,33399a a a a M f f a a b a a b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=+-=-----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭.（3）当时，2323011233a a<-<+<，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， (0)(1(1f f f <=，(2)(1(1f f f >=， 所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.例14．（2021·北京高考真题）已知函数()232xf x x a-=+． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．【答案】（1）450x y +-=；（2）函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-，最大值为1，最小值为14-.【分析】（1）求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由()10f '-=可求得实数a 的值，然后利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当0a =时，()232xf x x -=，则()()323x f x x -'=，()11f ∴=，()14f '=-， 此时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=--，即450x y +-=； （2）因为()232xf x x a-=+，则()()()()()()222222223223x a x x x x a f x xa xa -+----'==++，由题意可得()()()224101a f a -'-==+，解得4a =，故()2324x f x x -=+，()()()()222144x x f x x +-'=+，列表如下：所以，函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-.当32x <时，()0f x >；当32x >时，()0f x <. 所以，()()max 11f x f =-=，()()min 144f x f ==-.【总结提升】求解函数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小范围．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()A．72B．36C．12D．0【答案】D【解析】因为y′＝4x3－4，令y′＝0即4x3－4＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，当x>1时，y′>0，所以函数的极小值为y|＝1＝0，而在端点处的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，所以y min＝0.x2.若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－，1)B．[－，1)C．[－2,1)D．(－2,1)【答案】C【解析】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以f(x)的大致图象如图所示，f(1)＝－2，f(－2)＝－2，若函数f(x)在(a，6－a2)上有最小值，则，解得－2≤a<1.3.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值4.若函数在(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围是( )A．(0，3)B．(－∞，3)C．(0，+∞)D．【答案】D 【解析】∵，且f(x)在(0，1)内有极小值． ∴．5. 已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则的值等于( ) A ．B ．C ．D ．1【答案】D ． 【解析】由已知是奇函数，且当时，的最小值为1，而奇函数图象关于原点对称性，可得当时，有最大值．，当，即时，，在上单调递增；当，即时，，在上单调递减．当时，取最大值，故选D ．【考点】1．函数的奇偶性；2．导数与函数的最大值最小值．6. 如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l 1，在路南侧沿直线铺设线路l 2，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将l 1与l 2接通．已知AB = 60m ，BC = 80m ，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB= α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W ．（1）求W 关于α的函数关系式； （2）求W 的最小值及相应的角α． 【答案】（1）=80+60tanα;（2）,.【解析】（1）过E 作，垂足为M ，由题意得∠MEF="α," 故有，，,化简即可；（2），利用导数求出的最大值和相应的角度即可.试题解析：（1）如图，过E 作，垂足为M ，由题意得∠MEF=α，故有，，， 3分所以=80+ 60tanα（其中8分 （2）W． 设，则． 11分令得，即，得．列表+0所以当时有，此时有． 14分答：铺设水管的最小费用为万元，相应的角． 16分【考点】函数模型的应用、利用导数求函数极值、三角函数综合.7.已知函数.（1）若在处取得极大值，求实数的值；（2）若，求在区间上的最大值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】(1) 本小题首先利用导数的公式和法则求得原函数的导函数，通过列表分析其单调性，进而寻找极大值点；(2) 本小题结合（1）中的分析可知参数的取值范围影响函数在区间上的单调性，于是对参数的取值范围进行分段讨论，从而求得函数在区间上的单调性，进而求得该区间上的最大值.试题解析：（1）因为令，得，所以，随的变化情况如下表：↗↘↗(2)因为所以当时，对成立所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递增在时，，单调递减所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递减所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递减在时，，单调递增又，当时，在取得最大值当时，在取得最大值当时，在，处都取得最大值0. 14分综上所述，当或时，取得最大值当时，取得最大值当时，在，处都取得最大值0当时，在取得最大值.【考点】1.导数公式；2.函数的单调性；3.分类讨论.8.记函数的最大值为M，最小值为m，则的值为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，，解得，所以函数的定义域是. 已知函数求导得，，时，当时，，当时，，所以在区间上先增后减，最大值是，因为，，所以，所以.【考点】1.利用导数研究函数的最值；2.函数的单调性与导数的关系9.设.(Ⅰ)若对一切恒成立,求的取值范围;(Ⅱ)设,且是曲线上任意两点,若对任意的,直线AB的斜率恒大于常数,求的取值范围;(Ⅲ)求证:.【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析【解析】（Ⅰ）∴对一切恒成立等价于恒成立.这只要求出函数的最小值即可.（Ⅱ）直线的斜率为：由题设有,不妨设则这样问题转化为函数,在上单调递增所以恒成立，即对任意,恒成立这样只需求出的最小值即可.（Ⅲ）不等式可变为由(Ⅰ) 知（时取等号）,在此不等式中取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：将以上不等式相加即可得证.试题解析：(Ⅰ)令，则由得.所以在上单调递增, 在单调递减.所以由此得：又时，即为此时取任意值都成立综上得：(II)由题设得，直线AB的斜率满足：,不妨设，则即：令函数,则由以上不等式知：在上单调递增,所以恒成立所以，对任意,恒成立又=故(Ⅲ)由(Ⅰ) 知时取等号）,取,得即累加得所以【考点】1、函数的导数及其应用；2、不等关系及重要不等式；3、不等式的证明.10.已知函数（1）当时，求函数在上的极值；（2）证明：当时，；（3）证明：.【答案】（1）；（2）证明过程详见解析；（3）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值和最值、不等式等基础知识，考查函数思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，将代入，得到解析式，对它求导，列出表格，通过单调性，判断极值；第二问，证明不等式转化为求函数的最小值大于0；第三问，利用第二问的结论，令，利用放缩法得到，再利用对数的性质和裂项相消法求和，得到所证不等式.试题解析：（1）当时，1分变化如下表+00+极大值， 4分（2）令则 6分∴在上为增函数。
高三数学导数计算试题答案及解析
高三数学导数计算试题答案及解析1. [2014·山东济宁]已知f(x)＝x2＋2xf′(2014)＋2014lnx，则f′(2014)＝()A．2015B．－2015C．2014D．－2014【答案】B【解析】f′(x)＝x＋2f′(2014)＋，所以f′(2014)＝2014＋2f′(2014)＋，即f′(2014)＝－(2014＋1)＝－2015.2.（2012•广东）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为_________．【答案】2x﹣y+1=0【解析】y′=3x2﹣1令x=1得切线斜率2所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1）即2x﹣y+1=0故答案为：2x﹣y+1=03.已知函数（,）.（Ⅰ）当时，求曲线在点处切线的方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）时，函数的单调增区间为；单调减区间为，.时, 函数的单调增区间为，;单调减区间为.（Ⅲ）【解析】（Ⅰ））利用导数的几何意义，在处切线的斜率为即为因为，所以当时，.，又，则曲线在处切线的方程为. （Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域，再导数值的符号确定单调区间. （1）若，当，即时，函数为增函数；当，即和时，函数为减函数. 若，当，即和时，函数为增函数；当，即时，函数为减函数.（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. 当时，要使恒成立，即使在时恒成立. 设，易得，从而.（Ⅰ）,.当时，.依题意，即在处切线的斜率为.把代入中，得.则曲线在处切线的方程为. .4分（Ⅱ）函数的定义域为..（1）若，当，即时，函数为增函数；当，即和时，函数为减函数.（2）若，当，即和时，函数为增函数；当，即时，函数为减函数.综上所述，时，函数的单调增区间为；单调减区间为，.时, 函数的单调增区间为，;单调减区间为. .9分（Ⅲ）当时，要使恒成立，即使在时恒成立. 设，则.可知在时，，为增函数；时，，为减函数.则.从而.另解：(1)当时，，所以不恒成立.(2)当且时，由（Ⅰ）知，函数的单调增区间为，单调减区间为.所以函数的最小值为，依题意，解得.综上所述，． .13分【考点】利用导数求切线，利用导数求单调区间，利用导数求最值4.如果f（x）为偶函数，且f（x）导数存在，则f′（0）的值为（）A．2B．1C．0D．﹣1【答案】C【解析】因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（﹣x），此时两边对x求导得：f′（x）=﹣f′（﹣x），又因为f′（0）存在，把x=0代入得：f′（0）=﹣f′（0），解得f′（0）=0．故选C5.已知函数f（x）=，要得到f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）个单位．A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移【答案】D【解析】∵f′（x）=2cos（2x+），∴f′（x）=cos（2x+），∴将f（x）=sin（2x+）向左平移个单位可得：g（x）=f（x+）=sin[2（x+）+）]=sin[（2x+）+]=cos（2x+）=f′（x），故选D．6.若直线是曲线的切线，则实数的值为．【答案】－e【解析】设切点为，则有因此【考点】利用导数求切线7.已知函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）已知点和函数图象上动点，对任意，直线倾斜角都是钝角，求的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】（1）先求导，再令导数等于0，解导数大于0得函数的增区间，解导数小于0得函数的减区间。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解9---导数-极值、最值问题(解析版)
1 / 33高考数学复习考点知识与题型专题讲解专题9导数-极值、最值问题1．高考对本部分的考查一般有三个层次：（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题． 2．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围． 3．求函数f (x )在[a ,b ]上最值的方法（1）若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f (x )在区间(a ,b )内有极值，先求出函数f (x )在区间(a ,b )上的极值，与f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f (x )在区间(a ,b )上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用．（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定．1．已知函数32()6f x x x ax =-+的图象经过点()2,2A ． （1）设t R ∈，讨论()f x 在(),t +∞上的单调性；（2）若()f x 在[],1m m +上的最大值为()f m ，求m 的取值范围． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）⎡⎢⎣⎦．【分析】（1）求出函数解析式，求导数，对t 分类讨论即可求解；（2）根据（1）只需满足()()131m f m f m ≤<⎧⎨≥+⎩即可求解．【解析】（1）因为()22162f a =-=，所以9a =，32()69f x x x x =-+，()()()2'()343331f x x x x x =-+=--，当1x <或3x >时，'()0g x >，当13x <<时，)'(0g x <，所以：①当1t <时，()f x 在(),1t 和()3,+∞上递增，在()1,3上递减；3 / 33②当13t ≤<时，()f x 在(),3t 上递减，在()3,+∞上递增； ③当3t ≥时，()f x 在(),t +∞上递增；（2）因为()f x 在[],1m m +上的最大值为()f m ，所以由（1）可得()()131m f m f m ≤<⎧⎨≥+⎩，解得1m ≤≤故m的取值范围为⎡⎢⎣⎦．2．已知函数()x xf x e e -=+，其中e 是自然对数的底数．（1）设存在[)01,x ∈+∞，使得()()30003f x a x x <-+成立，求正实数a 的取值集合A ；（2）若a A ∈，比较1a e -与1e a -的大小，并证明你的结论．【试题来源】湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（六）【答案】（1）1,2e e ∞-⎛⎫++ ⎪⎝⎭；（2）答案见解析． 【分析】（1）令函数()()313xx g x e a x x e=+--+，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性及最小值，当且仅当最小值()10g <，即可得到参数的取值范围；（2）构造函数()()1ln 1h x x e x =---，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．【解析】（1）令函数()()313xx g x e a x x e=+--+， 则()()2131x x g x e a x e +'=--．当1x 时，210,10x xe x e->-， 又0,a >故()0g x '>,所以()g x 是[)1,+∞上的单调增函数，因此()g x 在[)1,+∞的最小值是()112.g e e a -=+- 由于存在[)01,,x ∞∈+使()0030030x x e e a x x -+--+<成立,当且仅当最小值()10.g <故120,e e a -+-<即1,2e e a -+>则1,.2e e A ∞-⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（2）令函数()()1ln 1,h x x e x =---则()11e h x x-=-'． 令()0,h x '=得1x e =-，当()0,1x e ∈-时(),0,h x '<故()h x 是()0,1e -上的单调减函数． 当()1,x e ∞∈-+时(),0,h x '>故()h x 是()1,e -+∞上的单调增函数 所以()h x 在()0,∞+上的最小值是()1h e -．注意到()()10h h e ==， 所以当()()1,10,1x e e ∈-⊆-时()()(),110.h e h x h -<<= 当()()1,1,x e e e ∞∈-⊆-+时()(),0h x h e <=, 所以()0h x <对任意的()1,x e ∈成立．①当()1,1,2e e a e e -⎛⎫+∈⊆⎪⎝⎭时(),0,h a <即()11ln ,a e a -<-从而11;a e e a --< ②当a e =时11,a e e a --=；③当()(),1,a e e ∞∞∈+⊆-+时()(),0,h a h e >=即()11ln a e a ->-，故11a e e a -->.综上所述，当1,2e e a e -⎛⎫+∈⎪⎝⎭时11,;a e e a --<当a e =时11,a e e a --=；当(),a e ∈+∞时，11a e e a -->．【名师点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 3．已知函数21()ln 21()-=--+∈a f x x ax a R x． （1）当104a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数2121()()2a g x x f x x-=++，当||1a >时，若函数()g x 的极大值点为1x ，证明：2111ln 1->-x x ax ．5 / 33【试题来源】2021届高三数学二轮复习 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）先求出2(1)(221)()x ax a f x x-+-'=-，再对a 分类讨论得到函数()f x 的单调性； （2）通过分析得到21112x a x +=，所以2311111111122x lnx ax x x x lnx -=--+，101x <<，令311()22h x x x xlnx =--+，01x <<，再利用导数证明()1h x >-即得证．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2221212(21)(1)(221)()2a ax x a x ax a f x a x x x x -----+-'=-+=-=-， ①当0a =时，21()x f x x -'=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， ②当104a <<时，由()0f x '=，解得11x =，2112x a=-， 此时11102a->>， ∴当(0,1)x ∈，1[12a-，)+∞时，()0f x '，函数()f x 单调递减， 当[1x ∈，11)2a-，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 综上所述，当0a =时，()f x 在(0,1)上单调递减，在[1，)+∞上单调递增， 当104a <<时，()f x 在(0,1)，1[12a -，)+∞时，单调递减，在[1∈，11)2a -，单调递增．（2）221211()()2122a g x x f x x ax lnx x -=++=-++， 2121()2x ax g x x a x x-+∴'=-+=，当||1a >时，即1a >或1a <-时，令()0g x '=，则2210x ax -+=的两个根为1x ，2x ， 函数()g x 的极大值点为1x ，120x x ， 又121=x x ，122x x a +=，1a ∴>，101x <<，由1()0g x '=，可得211210x ax -+=，则21112x a x +=，3231111111111111222x x x lnx ax x lnx x x x lnx +∴-=-=--+，101x <<，令311()22h x x x xlnx =--+，01x <<，231()22x h x lnx ∴'=-++， 2113()3x h x x x x-∴''=-+=，(0,1)x ∈，当03x <<时，()0h x ''>，当13x <<时，()0h x ''<，()h x ∴'在上单调递增，在，1)上单调递减，3()()03h x h ∴''=-，()h x ∴在(0,1)上单调递减， ()h x h ∴>（1）1=-，故21111x lnx ax ->-．【名师点睛】在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有些问题“一次求导”，不能求出原函数（一般导函数是超越函数）的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题． “再构造，再求导”是破解函数综合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途径．利用二次求导解题时，要注意“导下去，看正负；倒回来，看图象”，“导下去，看正负”指一直对函数求导，直到你能确定导数的正负，确定前面函数的单调区间为止，才停止求导；“倒回来，看图象”指的是根据导数求出对应函数的单调性，再求出端点函数值、拐点值等，画出原函数的图象，逐步分析得到最初的函数的单调性． 4．已知函数()2x x f x e e =-，()2ln 2ag x x x x x =-- （1）求()f x 的极值；（2）若()1,x ∈+∞时，()f x 与()g x 的单调性相同，求a 的取值范围．【试题来源】2021年高考数学二轮优化提升高考数学复习考点知识与题型专题讲解7 / 33专题训练（新高考地区专用）【答案】（1）极小值()11f e=，无极大值；（2）0a ≤．【分析】（1）根据函数的极值的概念可求得结果；（2）由（1）知，()f x 在()1,+∞单调递增，所以()g x 在()1,+∞单调递增，利用导数转化为ln xa x≤在()1,+∞恒成立，构造函数()ln xp x x=，()1,x ∈+∞，利用导数求出()p x 的值域即可得解． 【解析】（1）()f x 的定义域为R ，()1x x f x e-'=，当(),1x ∈-∞时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增．所以()f x 有极小值()11f e=，无极大值．（2）由（1）知，()f x 在()1,+∞单调递增．则()g x 在()1,+∞单调递增，即()1ln 1ln 0g x x ax x ax '=+--=-≥在()1,+∞恒成立，即ln x a x ≤在()1,+∞恒成立，令()ln x p x x =，()1,x ∈+∞；()21ln xp x x -'=， 所以当()1,x e ∈时，()0p x '>；当(),x e ∈+∞时，()0p x '<，所以()p x 在()1,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，又()1,x ∈+∞时，()0p x >，所以()10,p x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以0a ≤．【名师点睛】将函数在指定区间上的单调性转化为导函数的不等式恒成立是解题关键．5．已知函数()()2,ln f x ax g x x ==（1）当1a =时，求()()f x g x -的最小值； （2）若曲线()y f x =与yg x 有两条公切线，求a 的取值范围．【试题来源】吉林省长春市2021届高三质量监测（二）【答案】（1）11ln 222+；（2）12a e >．【分析】（1）由导数得出函数()F x 的单调性，进而得出最值；（2）由题意得出当()()f x g x >时，曲线()y f x =与y g x 有两条公切线，构造函数()2ln xh x x =，利用导数得出其最大值，从而得出a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，令()()()2ln F x f x g x x x =-=-()()212120x F x x x x x -'=-=>，令()0F x '=且0x >可得x =()02F x x '>⇒>，()002F x x '<⇒<<即函数()F x 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增min11ln 2ln 22221122F F =--⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由函数()f x 和()g x 的图象可知: 当()()f x g x >时，曲线()y f x =与y g x 有两条公切线即2ln ax x >在0,上恒成立，即2ln xa x >在0,上恒成立设()2ln x h x x =，()312ln xh x x -'=令()312ln 0,x h x x x-=='=()()000x h x h x x >⇒<<<⇒'>'即函数()h x 在(上单调递增，在)+∞上单调递减即max 12h he ==，因此，12a e >【名师点睛】解决本题的关键在于利用导数得出函数的单调性，进而得出最值．6．已知函数()()2sin 10f x x x =->，()5sin 3g x x x =-+． （1）求()f x 在[]0,π上的最小值； （2）证明：()()g x f x >．【试题来源】湘豫名校联考2020-2021学年高三（3月）9 / 33【答案】（12+；（2）证明见解析． 【分析】（1）求导函数()'f x ，由()'f x 确定单调性，得极小值也即为最小值． （2）不等式()()g x f x >化为3sin 40x x -+．引入函数()3sin 4x x x ϕ=-+()ϕx 的最小值即可证明．【解析】（1）()2cos f x x '，令()0f x '=，得cos x =，故在区间[]0,π上，()f x '的唯一零点是π6x =， 当π0,6x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>，()f x 单调递增，故在区间[]0,π上，()f x的最小值为π26f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）要证：当0x >时，5sin 32sin 1x x x -+-， 即证：当0x >3sin 40x x -+． 令()3sin 4x x x ϕ=-+所以()π3cos 3x x x x ϕ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭，所以π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ,336x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以π1sin 32x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0x ϕ'<， 所以π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，ππ2π,363x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，所以π1sin ,132x ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π6⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以()π33410622x ϕϕ⎛⎫≥=--+= ⎪⎝⎭， 所以(]0,πx ∈时，()0x ϕ>，而()π,x ∈+∞时，()π4406x x ϕ⎛⎫=-++---> ⎪⎝⎭，综上，0x >时，()0x ϕ>，即()()g x f x >．【名师点睛】本题考查用导数求函数的最值，证明不等式．解题方法是不等式变形后，引入新函数，利用导数求得新函数的最值，从而得证不等式成立．7．已知函数12()()sin f x x m x =--，其中14m <-．（1）当1m =-时，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一极小值点．【试题来源】1号卷A10联盟2021届高三开年考 【答案】（1）220x y +-=；（2）证明见解析．【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程．（2）令()()cos g x f x x '==-，可证()g x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，结合零点存在定理可得()g x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点，结合其()g x '在该零点附近的符号可证()'f x 的单调性，结合零点存在定理可证()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一极小值点． 【解析】（1）当1m =-时，12()(1)sin f x x x =+-，则()cos f x x '=-， 所以1(0)2f '=-，又(0)1f =，所以所求切线方程为112y x -=-，即220x y +-=．（2）由题意得，()cos f x x '=-．令()cos g x x =-，则321()sin 4()g x x x m '=-+-，因为3214()y x m =--和sin y x =均在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以()'g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，11 / 33 又3214)0)(0(g m --'=<，32110242g m ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以存在唯一实数00,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g t '=， 则当()00,x t ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当0,2x t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增． 又14m <-，则14m ->12>，即1>，2>，所以(0)10g =-<，1032g π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，02g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 所以存在唯一实数0,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00cos 0g x x =-=， 所以当()00,x x ∈时，()()0f x g x '=<，函数()f x 单调递减； 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f x g x '=>，函数()f x 单调递增， 所以()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一极小值点0x ． 【名师点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明，注意需选择特殊点的函数值，使得其函数值的符号符合预期的性质，选择特殊点的依据有2个方面：（1）与极值点有明确的大小关系；（2）特殊点的函数值较易计算．8．已知函数()()()ln x f x e x m x m x =-+++，2m ≤．（1）若直线:1l y x =+是函数()f x 的切线，求m 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并证明．【试题来源】广东省揭阳市2021届高三下学期教学质量测试【答案】（1）1m =；（2）单调递增函数，证明见解析．【分析】（1）设切点的坐标为(),n t ，求出()f x '，根据直线l 与函数()f x 的图象相切可得出关于t 、m 、n 的方程组，解出这三个未知数的值即可；（2）利用导数证得()()1ln 2ln x e x x x m ≥+≥+≥+，从而可得出()0f x '≥，即可得出结论．【解析】（1）函数()f x 的定义域为(),m -+∞．对函数()f x 求导可得()()ln x f x e x m -'=+．设直线l 关于函数()f x 的切点为(),n t ，则有()()()1ln ln 1n n t n t e m n m n n e m n ⎧=+⎪=-+++⎨⎪-+=⎩，解方程组可得1m =，0n =，1t =；（2）由第（1）问可得()()ln x f x e x m -'=+，令()()1x g x e x =-+，则()1x g x e '=-．可知当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>．即()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，于是有()()()100x g x e x g =-+≥=，即有1x e x ≥+恒成立．构造函数()()()1ln 2h x x x =+-+，则()11122x h x x x +=-=++'． 可知当()2,1x ∈--时，()0h x '<；当()1,x ∈-+∞时，()0h x '>．即()h x 在()2,1--上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，于是有()()()()1ln 210h x x x h =+-+≥-=，即有()ln 21x x +≤+恒成立．当2m ≤时，()()ln ln 21x m x x +≤+≤+成立．综上可得()1ln x e x x m ≥+≥+，即有()0f x '≥恒成立，故函数()f x 为单调递增函数．【名师点睛】本题考查切线的定义，利用待定系数法求参数，利用放缩法证明函数的单调性．该题的本质构造了两个函数x y e =、()ln 2y x =+的公切线1y x =+，并分别与其进行对比，以得到比较的目的．13 / 339．设函数()1()x x a a f x e -=+>． （1）求证：()f x 有极值点；（2）设()f x 的极值点为0x ，若对任意正整数a 都有()0,x m n ∈，其中,m n Z ∈，求n m -的最小值．【试题来源】江苏省盐城市、南京市2021届高三下学期第一次模拟考试【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】（1）由题意得()ln x x f x a a e -'=-，所以()()2ln 0x x f x a a e -''=+>，所以函数()f x '单调递增，由()0f x '=，得()()ln 1,1ln x x ae a ae a==． 因为1a >，所以1ln 0a >，所以1log ln ae x a =． 当1log ln ae x a>时，()()0,f x f x '>单调递增； 当1log ln ae x a<时，()()0,f x f x '<单调递减． 因此，当1log ln ae x a=时函数()f x 有极值． （2）由（1）知，函数()f x 的极值点0x （即函数()f x '的零点）唯一， 因为ln (1)a f e a'-=-．令()ln a g a a =，则()21ln 0a a g a '-==，得a e =． 当a e >时，()()0,g a g a '<单调递减；当0a e <<时，()()0,g a g a '>单调递增，所以()()1g a g e e ≤=，所以()ln 10a f ae '-=-<． 而()0ln 1f a '=-，当2a =时，()00f '<，当3a ≥时，()00f '>．又()1ln 1a e f a '=-．因为a 为正整数且2a ≥时，所以ln 2ln 121a a e≥>>． 当2a ≥时，()10f '>．即对任意正整数1a >，都有()10f '-<，()10f '>，所以()01,1x ∈-恒成立，且存在2a =，使()00,1x ∈，也存在3a =，使()01,0x ∈-．所以n m -的最小值为2．【名师点睛】本题考查导数的应用，解题的关键是利用导数结合零点存在性定理得出()10f '-<，()10f '>，得出,m n 的可能值．10．已知函数()x f x e ax =-，其中a R ∈．（1）讨论函数()f x 在[0,1]上的单调性；（2）若函数()()ln(1)cos g x f x x x =++-，则是否存在实数a ，使得函数()g x 在0x =处取得极小值？若存在，求出a 值；若不存在，说明理由．【试题来源】广东省广州市天河区2021届高考二模【答案】（1）答案见详解；（2）存在2a =，使得()g x 在0x =处取得极小值【分析】（1）求出导函数，讨论1a ≤、1a e <<或a e ≥，结合函数的单调性与导数之间的关系进行求解即可．（2）求出()1sin 1x g x e a x x '=-+++，根据极值的定义可得()020g a '=-=，得出2a =，再证明充分性，利用导数证明当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()g x 单调递增；再构造函数令()212x x m x x e -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，证明当1,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()g x 单调递减．【解析】（1）由()x f x e ax =-，则()x f x e a '=-，因为[0,1]x ∈，则[]1,x e e ∈，当1a ≤时，()0x f x e a '=-≥，函数在[0,1]上单调递增；当1a e <<时，令()0x f x e a '=-≥，解得ln ≥x a ，令()0x f x e a '=-<，解得ln x a <，即函数在[]ln ,1a 上单调递增，在[)0,ln a 上单调递减；当a e ≥时，()0x f x e a '=-≤，函数在[0,1]上单调递减；（2）()()()ln(1)cos cos ln 1x g x f x x x e ax x x =++-=--++，15 / 33()1sin 1x g x e a x x '=-+++， 显然0x =是函数()g x 的极小值点的必要条件为()020g a '=-=，即2a =，此时()1sin 21x g x e x x '=++-+，显然当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()11sin 21sin 2sin 011x g x e x x x x x x '=++->+++->>++， 当1,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()22311131122x x x x x ⎛⎫+-+=++> ⎪⎝⎭， 故213112x x x <-++，令()212x x m x x e -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 则()202x x m x e -'=-≤，故()m x 是减函数， 故当0x <时，()()01m x m >=，即212xx e x <++， 令()1sin 2h x x x =-，则()1cos 2h x x '=-， 当10x -<<时，()1cos102h x '>->，故()h x 在()1,0-上单调递增， 故当10x -<<时，()()00h x h <=，即1sin 2x x <， 故当1,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()1sin 21x g x e x x '=++-+ 2223112202222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫≤+++-+-+=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，当2a =时，0x =是()g x 的极小值点，即充分性也成立，综上，存在2a =，使得()g x 在0x =处取得极小值．【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，解题的关键是结合函数的单调性、极值和导数之间的关系进行构造函数，考查了逻辑推理能力以及运算求解能力，考查了化归与转化思想，综合性比较强．11．已知数列()*11nn a n n ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ． （1）证明：n a e <(*n ∈N ，e 是自然对数的底数)；（2）若不等式()*11,0n a e n a n +⎛⎫+≤∈> ⎪⎝⎭N 成立，求实数a 的最大值．【试题来源】山东省淄博市2021届高三一模考试【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为11ln 2-． 【分析】（1）将所要证明的不等式转化为证明()()()ln 101f x x x x =+-<≤在区间(]0,1上小于零，利用导数研究()f x 在区间(]0,1上的单调性和最值，由此证得结论成立．（2）将不等式()*11,0n a e n a n +⎛⎫+≤∈> ⎪⎝⎭N 成立，转化为()()()ln 1011x g x x x ax =+-<≤+在区间(]0,1上()0g x ≤恒成立，利用导数研究()g x 的单调性，结合对a 进行分类讨论，求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值．【解析】（1）要证()*11n e n n ⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭N 成立，两边取对数：只需证明11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立， 令1x n=，01x <≤，构造函数()()()ln 101f x x x x =+-<≤， 即只需证明函数()f x 在区间(]0,1上小于零，由于()1x f x x =-+'， 在区间(]0,1上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，且()00f =，所以在区间(]0,1上函数()0f x < 所以不等式()*11n e n n ⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭N 成立； （2）对于不等式()11n a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭N ，两边取对数： 只需不等式11ln 1n n a ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭成立， 令1x n=，01x <≤，构造函数()()()ln 1011x g x x x ax =+-<≤+，17 / 33 不等式()11n a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭N 成立，等价于在区间(]0,1上()0g x ≤恒成立， 其中，()222(21)(1)(1)a x a x g x x ax +-=++'，由分子22(21)0a x a x +-=，得其两个实数根为10x =，2212a x a -=； 当12a ≥时，20x ≤，在区间(]0,1上，()0g x '>，函数()g x 单调递増， 由于()()00g x g >=1212a <<时，()20,1x ∈，在区间()20,x 上()0g x '<，在区间()2,1x 上()0g x '>；函数()g x 在区间()20,x 上单调递减，在区间()2,1x 上单调递增；且()00g =，只需()11ln 201g a =-≤+， 得11ln 2a ≤-1211ln 2a <≤-时不等式成立， 当021a <≤时，21x ≥，在区间(]0,1上，()0g x '<，函数()g x 单调递减，且()()00g x g <=，不等式恒成立，综上，不等式(),011n a a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭>N 成立，实数a 的最大值为11ln 2-． 【名师点睛】可将不等式恒成立问题，转化为函数最值来求解，要注意导数的工具性作用．12．已知函数221()2()2x ax f x x x a e =+-∈R （ 2.71828e =…是自然对数的底数）． （1）若()f x 在(0.2)x ∈内有两个极值点，求实数a 的取值范围；（2）1a =时，计论关于x 的方程211()2|ln |()2x f x x x b x b xe⎡⎤-++=∈⎢⎥⎣⎦R 的根的个数． 【试题来源】山西省晋中市2021届高三下学期二模【答案】（1）22e e a <<；（2）答案见解析．【分析】（1）若()f x 在(0,2)x ∈内有两个极值点，则()0f x '=在(0,2)x ∈内有两个不相等的变号根，等价于0x e ax -=在(0,2)x ∈上有两个不相等的变号根．令()x g x e ax =-，分类讨论()g x 有两个变号根时a 的范围；（2）化简原式可得2()|ln |,(0,)x x h x x b x e=--∈+∞，分别讨论(1,)x ∈+∞和(0,1)x ∈时()h x 的单调性，可得()h x 的最小值，分类讨论最小值与0的关系，结合()h x 的单调性可以得到零点个数．【解析】（1）由题意可求得()()22(2)()2x x x a x x x e ax f x x e e '---=+-=，因为()f x 在(0,2)x ∈内有两个极值点，所以()0f x '=在(0,2)x ∈内有两个不相等的变号根，即0x e ax -=在(0,2)x ∈上有两个不相等的变号根．设()x g x e ax =-，则()x g x e a '=-，①当0a 时，(0,2),()0x x g x e a '∈=->，所以()g x 在(0,2)上单调递增，不符合条件．②当0a >时，令()0x g x e a '=-=得ln x a =，当ln 2a ，即2a e 时，(0,2),()0x x g x e a '∈=-<，所以()g x 在(0,2)上单调递减，不符合条件；当ln 0a ，即01a <时，(0,2),()0x x g x e a '∈=->，所以()g x 在(0,2)上单调递增，不符合条件；当0ln 2a <<，即21a e <<时，()g x 在(0,ln )a 上单调递减，(ln ,2)a 上单调递增，若要0x e ax -=在(0,2)x ∈上有两个不相等的变号根，则(0)0,(2)0,(ln )0,0ln 2,g g g a a >⎧⎪>⎪⎨<⎪⎪<<⎩，解得22e e a <<． 综上所述，22e e a <<．19 / 33（2）设2211()|ln |()2|ln |,(0,)2x x x h x x f x x x b x b x xee ⎡⎤=--+-=--∈+∞⎢⎥⎣⎦， 令2x x y e =，则212x x y e '-=，所以2x x y e =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． （ⅰ）当(1,)x ∈+∞时，ln 0x >，则2()ln x x h x x b e =--，所以22()21x x e h x e x x '-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 因为2210,0xe x x->>，所以()0h x '>，因此()h x 在(1,)+∞上单调递增． （ⅱ）当(0,1)x ∈时，ln 0x <，则2()ln x x h x x b e =---，所以22()21x x e h x e x x '-⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． 因为()22221,,1,01,1,x x xe e e e x x ∈><<∴>即21,xe x -<-，又211,x -<所以22()210x x e h x e x x '-⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭，因此()h x 在(0,1)上单调递减． 综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当(0,)x ∈+∞时，2()(1)h x h e b -=--，当2(1)0h e b -=-->，即2b e -<-时，()h x 没有零点，故关于x 的方程根的个数为0，当2(1)0h e b -=--=，即2b e -=-时，()h x 只有一个零点，故关于x 的方程根的个数为1，当2(1)0h e b -=--<，即2b e ->-时，①当(1,)x ∈+∞时，221()ln ln ln 1x x h x x b x b x b e e ⎛⎫=-->-+>-- ⎪⎝⎭，要使()0h x >，可令ln 10x b -->，即()1,b x e +∈+∞； ②当(0,1)x ∈时，121()ln ln ln 12x x h x x b x e b x b e -⎛⎫=-----+>--- ⎪⎝⎭，要使()0h x >， 可令ln 10x b --->，即()10,b x e --∈，所以当2b e ->-时，()h x 有两个零点，故关于x 的方程根的个数为2，综上所述：当2b e -=-时，关于x 的方程根的个数为0，当2b e -=-时，关于x 的方程根的个数为1，当2b e ->-时，关于x 的方程根的个数为2．13．已知函数()()210,2x f x e ax x a =->∈R ． （1）当1a =时，比较()f x 与 1x +的大小； （2）若()f x 有两个不同的极值点12 , x x ，证明：1122ln (1)x a x x x <-． 【试题来源】四川省大数据精准教学联盟2021届高三第二次统一监测【答案】（1）()()10f x x x >+>；（2）证明见解析．【分析】（1）令()()()21102xx g x f x x e x x =--=--->，再利用导数法判断()g x 与0的关系．（2）根据()f x 有两个不同的极值点1 x ，2 x ，转化为1 x ，2 x 为方程x e a x=的两个不同实根有11ln x a lnx =+，22ln x a lnx =+，则11212212||||x lnlnx lnx x x x x x =-=-=-，进而将问题转化为()21121x x a x x -<-，即证明12111a x x -<-，再由（1）得到2112x x e x >++，即2112e x x x >++，然后作出函数()xe h x x=，()112x x x ϕ=++及y a =的图象，利用数形结合法求解．【解析】（1）当1a =时，()()2102x f x e x x =->， 令()()()21102xx g x f x x e x x =--=--->，则()1x g x e x '=--． 令()1x u x e x =--，则()1x u x e '=-，可知()1x u x e '=-为()0,∞+上的增函数， 则()()00u x u ''>=，则()u x 为()0,∞+上的增函数，所以()()00u x u >=，即()0g x '>，所以()g x 为()0,∞+上的增函数，所以()()00g x g >=，所以不等式212x x e x ->+在()0,∞+上成立，21 / 33所以()()10f x x x >+>．（2）()xf x e x α'=-，因为()f x 有两个不同的极值点1 x ，2 x ，所以1 x ，2 x 为方程()0f x '=两不等根，即1 x ，2 x 为方程xea x=的两个不同实根，令()xe h x x =，()()21x e x h x x-'=，令()0h x '>，得1x >；令()0h x '<，得1x <， 则()h x 在()1,+∞上递增，在()0,1上递减， 所以当1x =时，()h x 取得最小值为()1h e =，所以a e >，不妨设1201x x <<<，且11x e ax =，22xe ax =，则11ln x a lnx =+，22ln x a lnx =+，则11212212||||x ln lnx lnx x x x x x =-=-=-， 故只需证明()21121x x a x x -<-，即证明12111a x x -<-． 由（1）知2112xx e x >++，所以22111212x x ex x x x++>=++， 令()112x x x ϕ=++()0x >，则()2222x x x ϕ-'=可得()x ϕ在(上递减，)+∞上递增，函数()xe h x x=，()112x x x ϕ=++及y a =的图象如图所示，令()3434,x x x x <为方程()x a ϕ=两不等根，即()22120x a x +-+=的两个实根，则34342(1),2,x x a x x +=--⎧⎨=⎩由图可知，31240x x x x <<<<， 即421311110x x x x <<<<，所以43123434341111x x x x x x x x --<-==1a =<=-，所以()21121x x a x x -<-，故原不等式()11221x lna x x x <-得证． 【名师点睛】利用导数证明不等式常构造函数φ(x )，将不等式转化为φ(x )＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x )的单调性、最值，判定φ(x )与0的关系，从而证明不等式．14．已知函数()()21ln 0f x x ax x a a=-+>． （1）当1a e=时，求函数()f x 在x e =处的切线方程；（2）若()f x 在(000x x x =<<处取得极值，且()00f x >，求a 的取值范围． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练【答案】（1）12y e x e e ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭；（2）⎫⎪⎪⎝⎭． 【分析】（1）求出()f e 、()f e '，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）求出()222a x x a f x ax -++'=，求得0x =，由()00f x >可得出(3200002ln 3ln 100x x x x -+-><<，构造函数()322ln 3ln 1h x x x x =-+-，其中0x <<利用导数分析函数()h x 在(上单调递增，由()00hx >可得出01x <进而可解得正实数a 的取值范围．【解析】（1）当1a e =时，()2ln x f x x ex e=-+，则()12x f x e x e '=-+， 所以()21f e e e =-+，()12f e e e'=+-，所以切线方程为()211212y e x e e e e x e e e ⎛⎫⎛⎫=+--+-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；23 / 33（2）()221122a x x af x ax x a ax-++'=-+=，设()222g x a x x a =-++，则3180a ∆=+>．因为0x >，由()0g x >，可得2104x a <<，此时()0f x '>； 由()0g x <，可得x >()0f x '<． 所以，函数()f x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭．所以，0x =，则()()0f x f x =极大值且有220020a x x a -++=，可得20021x ax a =+，02114x a +=<a >所以()()0020000002ln 11ln ln 0222x a x x x f x x ax x a a a+-=-+=+-=>，且()()222000000ln 21ln 10f x x ax ax x ax =-+-=+->，所以，21ln ax x >-， 因为0x <012ln 0x ->，即002001ln 12ln x x a x x -<<-，即002001ln 12ln x x x x -<-，整理得(3200002ln 3ln 100x x x x -+-><<，设()322ln 3ln 1h x x x x =-+-，其中0x <<则()324ln 334ln 33x x x h x x x x x-+'=-+=， 0x <<1ln 2x<，所以34ln 0x ->，即当0x <<()0h x '>． 所以，函数()h x 在(上单调递增，()10h =，由()()001h x h >=，可得01x << 即2114a<<1a <<．因此，实数a的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭． 【名师点睛】利用导数求函数极值的步骤如下： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导；（3）解方程()00f x '=，当()00f x '=； （4）列表，分析函数的单调性，求极值：①如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值； ②如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值． 15．已知函数()()2sin 10f x x x =->，())))112sin g x e x x =⋅++．（1）求()f x 在[]0,π上的最小值； （2）证明：()()f x g x >．【试题来源】湘豫名校联考2020-2021学年高三（3月） 【答案】（12+；（2）证明见解析． 【分析】（1）先对函数求导，求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值； （2）要证()()f x g x >，只要证()11x x +>，构造函数()()1h x x x =-+，对函数求导得'()3sin 4h x x x =-+，此时导数等于零，方程无法求解，所以再构造函数()3sin 4x x x ϕ-+数求此函数的单调区间和最值，可得0x >时，()0x ϕ>，从而有()0h x '>，所以得到()h x 是0,上的增函数，进而可得()()01h x h >【解析】（1）()2cos f x x '，令0fx，得cos x =，25 / 33故在区间[]0,π上，fx 的唯一零点是π6x =， 当π0,6x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，0fx，()f x 单调递减， 当π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，0fx，()f x 单调递增，故在区间[]0,π上，()f x的最小值为π26f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）要证：当0x >))2sin 112sin x x x ->++，即证：当0x >时，()()11h x x x =-+>．()())11h x x x x '=+3sin 4x x =-+，令()3sin 4x x x ϕ=-+所以()π3cos 3x x x x ϕ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭，所以π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ,336x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以π1sin 32x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0ϕ'<x ， 所以π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，ππ2π,363x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，所以π1sin ,132x ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以()0ϕ'>x ， 所以()ϕx 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π6⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以()π33410622x ϕϕ⎛⎫≥=--+= ⎪⎝⎭， 所以(]0,πx ∈时，()0x ϕ>，而()π,x ∈+∞时，()π4406x x ϕ⎛⎫=-++---> ⎪⎝⎭，综上，0x >时，()0x ϕ>，即()0h x '>， 即()h x 是0,上的增函数，所以()()01h x h >．【名师点睛】此题考查导数的应用，利用导数求函数的最值，利用导数证明不等式，解题的关键是把()()f x g x >转化为()11x x +>，构造函数()()1h x x x =-+，对函数求导得'()3sin 4h x x x =-+，此时导数等于零，方程无法求解，所以再构造函数()3sin 4x x x ϕ-+数求此函数的单调区间和最值，进而可判断()0h x '>，所以得到()h x 是0,上的增函数，进而可得()()01h x h >，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题16．已知0a >，函数()2xe f x x a=+．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()f x 存在极值点1x 、2x ，求证：()()1212e af x f x a--<⋅．【试题来源】江苏省无锡市天一中学2021届高三下学期二模考前热身模拟 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）求得()()()2222x e x x a f x xa -+'=+，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间；（2）由题意得出122x x +=，12x x a =，2112x a x +=，2222x a x +=，将所证不等式转化为证明121212121222x x x x e e e x x x x --<⋅，即()()11211111210x x x e x e x ------<，令()110,1t x =-∈，构造函数()()()211t t F t t e t e t -=+---，证明出()0F t <对任意的()0,1t ∈恒成立即可． 【解析】（1）当0a >时，函数()2xef x x a=+的定义域为R ，且()()()2222x e x x a f x xa -+'=+．对于方程220x x a -+=，44a ∆=-．①当0∆>时，即()0,1a ∈时，令()0f x '=，11x =21x = 由()0f x '<可得11x <<27 / 33由()0f x '>可得1x <或1x >所以函数()f x在(,1-∞上单调递增，在(1上单调递减，在()1++∞上单调递增；②当0∆≤时，即[)1,a ∈+∞时，()()()22220x e x x a f x xa -+'=≥+，所以函数()f x 在R 上单调递增．（2）由（1）可得01a <<，且1x 、2x 是220x x a -+=的两根． 由根与系数关系可得122x x +=，12x x a =．设1201x x <<<，则()f x 在1x x =处取到极大值，在2x x =处取到极小值， 所以()()12f x f x >．因为2112x a x +=，2222x a x +=，所以命题等价于证明121212121222x x x x e e e x x x x --<⋅， 整理得121121121x x x e x e x x ---<-，即()()11211111210x x x e x e x ------<．令()110,1t x =-∈，构造函数()()()211t t F t t e t e t -=+---，()0,1t ∈， 则()()2t tF t t e e -'=--，()0,1t ∈，令()2t tg t e e -=--，易知()g t 在()0,1上单调递增．因为()020g =-<，()10g >，所以存在()00,1t ∈，使()00g t =，当()00,t t ∈时，()0F t '<，()F t 单调递减；当()0,1t t ∈时，()0F t '>，()F t 单调递增， 所以()()(){}max 0,10F t F F <=，所以()()11211111210x x x e x e x ------<成立，所以()()1212e a f x f x a--<⋅．【名师点睛】利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．17．已知函数()1xf x e ax =--（1）讨论函数()()f xg x x=在其定义域内的单调性； （2）若()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，设()()xh x e f x =，证明：()h x 在R 上存在唯一的极大值点t ，且()3.16h t <【试题来源】浙江省金华市武义第三中学2021届高三下学期2月月考 【答案】（1）在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增；（2）证明见解析． 【分析】（1）先对函数()g x 求导，得()()211x x e g x x '-+=，令()()11xx x e ϕ=-+，则()x x xe ϕ'=，得到()x ϕ在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，结合其定义域，得到()()00ϕϕ>=x ，进而求得()g x 的单调区间； （2）根据()0f x ≥对任意的x ∈R恒成立，可确定1a =，()()()()1,22x x x x h x e e x h x e e x '=--=--，利用导数研究函数的图象的走向，研究得其极值点以及极值的范围，证得结果．【解析】（1）由题意()1x e ax g x x --=，定义域为()()()()211,00,,x x e g x x ∞∞'-+-⋃+=令()()11x x x e ϕ=-+，则()xx xe ϕ'=当0x <时，()0;x ϕ'<当0x >时，()0x ϕ'>()x ϕ∴在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增 ()()00,x ϕϕ∴>=即()g x '在(),0-∞和()0,∞+上均大于零 ()g x ∴在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增29 / 33（2）易知()x f x e a '=-，由()10xf x e ax =--≥对任意的x ∈R 恒成立，即1x ax e ≤-恒成立，当0x =时显然成立，当0x >时，1x e a x -≤恒成立，当0x <时，1x e a x -≥恒成立，令1()x e u x x -=，则22(1)(1)1'()x x x e x e x e u x x x⋅---+==， ()(1)1x v x x e =-+，'()x v x e =，可知'()0v x >，()v x 在R 上单调递增，且(0)110v =-+=，所以当0x <时，'()0u x <，当0x >时，'()0u x >，所以1()x e u x x -=在(,0)-∞上单调减，在(0,)+∞上单调增，且001lim lim 11x xx x e e x→→-==，所以1a =，此时()()()()1,22x x x xh x e e x h x e e x '=--=--，令()22,x x e x τ=--则()21xx e τ='-，当ln2x <-时，()0;x τ'<当ln2x >-时，()0x τ'>，()x τ∴在(),ln2∞--上单调递减，在()ln2,∞-+上单调递增，又()()3322223212200,20,0224e ee τττ⎛⎫=-=>-=-=-< ⎪⎝⎭， ∴存在唯一实数32,,2t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭使得()220t t e t τ=--=，()h x ∴在(),t -∞上递增，(),0t 上递减，()0,∞+上递增， ()h x ∴在R 上唯一的极大值点，即为.t()()222231122416ttt t t t h t e e t t ++--⎛⎫∴=--=--=<⎪⎝⎭． 【名师点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，解题思路如下：（1）对函数求导，之后对其导数再求导，结合导数的符号确定函数的单调性，从而确。
高三数学函数试题答案及解析
高三数学函数试题答案及解析1.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x是函数f(x)＝ln x－的零点，则[x]等于________．【答案】2【解析】∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f′(x)＝＋>0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－>0，知x0∈(2，e)，∴[x]＝2.2.设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为．【答案】【解析】令得：，令得：，由得：，又角的终边在第一象限，所以因而的集合为.【考点】抽象函数赋值法3.下图揭示了一个由区间到实数集上的对应过程：区间内的任意实数与数轴上的线段（不包括端点）上的点一一对应（图一），将线段围成一个圆，使两端恰好重合（图二），再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为（图三）.图三中直线与轴交于点，由此得到一个函数，则下列命题中正确的序号是（）；是偶函数；在其定义域上是增函数；的图像关于点对称.A．（1）（3）（4）.B．（1）（2）（3）.C．（1）（2）（4）.D．（1）（2）（3）（4）.【答案】A【解析】由题意得：对应点为，此时直线与轴交于坐标原点，所以成立，由于函数定义区间为，所以是偶函数不成立，由题意得：直线与轴的交点从左到右，因此在其定义域上是增函数成立，根据直线与轴的交点关于原点对称，而由知的图像关于点对称成立.【考点】函数对应关系4.已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意方程有解，即有解，的取值范围就是函数的值域，当时，，当时，是增函数，取值范围是，即函数的值域是，这就是的取值范围．【考点】方程有解与函数的值域．5.设函数，其中，为正整数，，，均为常数，曲线在处的切线方程为.（1）求，，的值；（2）求函数的最大值；（3）证明：对任意的都有.（为自然对数的底）【答案】（1）;（2）;（3）见解析.【解析】（1）在切点处的的函数值，就是切线的斜率为，可得；根据切点适合切线方程、曲线方程，可得，.（2）求导数，求驻点，讨论区间函数单调性，确定最值.（3）本小题有多种思路，一是要证对任意的都有只需证；二是令，利用导数确定，转化得到．令，证明．（1）因为， 1分所以，又因为切线的斜率为，所以 2分，由点（1,c）在直线上，可得，即 3分4分（2）由（1）知，，所以令，解得，即在（0，+上有唯一零点 5分当0<<时，，故在（0，）上单调递增； 6分当>时，，故在（，+上单调递减； 7分在（0，+上的最大值=== 8分（3）证法1：要证对任意的都有只需证由（2）知在上有最大值，=，故只需证 9分，即① 11分令，则，①即② 13分令，则显然当0<t<1时，，所以在（0，1）上单调递增，所以，即对任意的②恒成立，所以对任意的都有 14分证法2：令，则． 10分当时，，故在上单调递减；而当时，，故在上单调递增．在上有最小值，．，即. 12分令，得，即，所以，即.由（2）知，，故所证不等式成立． 14分【考点】导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性、最（极）值、证明不等式，转化与化归思想，分类讨论思想，应用导数研究恒成立问题.6.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2,［］=1）,对于给定的n N*,定义x,则当x时，函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，故；当时，，故，因为，故，综上函数的值域是．【考点】函数的值域．7.若直角坐标平面内两点满足条件：①点都在的图象上；②点关于原点对称，则对称点对是函数的一个“兄弟点对”(点对与可看作一个“兄弟点对”).已知函数, 则的“兄弟点对”的个数为( )A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】设，则点关于原点的对称点为，于是，，只需判断方程根的个数，即与图像的交点个数，函数图像如下：所以的“兄弟点对”的个数为5个.【考点】1.函数的值；2.新定义题；3.函数的零点.8.已知函数满足，当，，若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，则，于是，故，如图所示，作出函数的图像，观察图像可知：要使函数有三个不同零点，则直线应在图中的两条虚线之间，于是.【考点】1.导数求切线斜率；2.函数的图像9.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数，所以函数在上是增函数，由得，解得或，所以选C.【考点】函数的单调性.10.已知函数，给出下列命题：（1）必是偶函数；（2）当时，的图象关于直线对称；（3）若，则在区间上是增函数；（4）有最大值.其中正确的命题序号是（）A．（3）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（2）（3）【答案】A【解析】当时，不是偶函数，（1）错；取可得，但图象不关于直线对称，（2）错;当时，，其对称轴为，开口向上在区间上是增函数，（3）正确；因为开口向上无最大值，所以也无最大值，（4）错,所以正确的是（3），选A.【考点】函数奇偶性、二次函数图象.11.若直角坐标平面内不同的两点满足条件：①都在函数的图像上；②关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）．若函数，则此函数的“友好点对”有（）对．A．B．C．D．【答案】C【解析】函数关于坐标原点对称的函数为与函数的交点个数（如下图）即为“友好点对”的个数，从图象上可知有两个交点.【考点】求函数解析式,函数的奇偶性,二次函数,对数函数的图象.12.已知函数设表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得最大值为,则 ( )A．B．C．D．【答案】C.【解析】即，当时，取最小值；当时，取最大值,所以，选C.【考点】分段函数求最值.13.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）是，理由详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）判断方程是否有解；（Ⅱ）在方程有解时，通过分离参数求取值范围；（Ⅲ）在不便于分离参数时，通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布. 试题解析：为“局部奇函数”等价于关于的方程有解．（Ⅰ）当时，方程即有解，所以为“局部奇函数”． 3分（Ⅱ）当时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解． 5分令，则．设，则，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，． 7分所以时，．所以，即． 9分（Ⅲ）当时，可化为．设，则，从而在有解即可保证为“局部奇函数”． 11分令，1°当，在有解，由，即，解得； 13分2°当时，在有解等价于解得． 15分（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m的取值范围为． 16分【考点】函数的值域、方程解的存在性的判定.14.对于函数与和区间D，如果存在，使，则称是函数与在区间D上的“友好点”．现给出两个函数①，②，③，④，其中在区间上存在“友好点”的有（）A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【解析】对于①，不符合；对于②，，不符合；对于③，=，，函数在（0，+∞）上是单调减函数，当时，，所以，存在，使成立；对于④令得令，得所以，时，函数取得极大值，且为最大值，最大值为，所以，存在，使成立；故选C.【考点】新定义问题，配方法、导数法求函数的值域.15.已知函数若直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】如下图所示，作出函数的图象如下图所示，当直线与函数的图象有两个不同的交点，则.【考点】分段函数的图象、函数的零点16.已知函数，（，.若,且函数的图像关于点对称，并在处取得最小值，则正实数的值构成的集合是 .【答案】【解析】由于函数的最小正周期为，由于函数的图象关于点对称，并在处取得最小值，即直线是函数的一条对称轴，故是的奇数倍，即，其中，解得，故正实数的取值集合为.【考点】三角函数的对称性、周期性17.设，定义，则+2等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设终边过点的角（不妨设）则，其中是终边过的角（不妨设）．当时，有+2．故选A．【考点】三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的求解，属于基础题。
高三数学导数的实际应用试题答案及解析
高三数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数，．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间是，的单调减区间是．（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）利用导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率为在点处的导数值. 由已知得．所以．，（Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域，再导数值的符号确定单调区间. 当时，,所以的单调增区间为．当时,令，得，所以的单调增区间是；令，得，所以的单调减区间是．（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. “当时，恒成立”等价于“当时，恒成立．”设，只要“当时，成立．”易得函数在处取得最小值，所以实数的取值范围．（Ⅰ）由已知得．因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以．所以．所以． 3分（Ⅱ）函数的定义域是，．（1）当时，成立，所以的单调增区间为．（2）当时，令，得，所以的单调增区间是；令，得，所以的单调减区间是．综上所述，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间是，的单调减区间是． 8分（Ⅲ）当时，成立，．“当时，恒成立”等价于“当时，恒成立．”设，只要“当时，成立．”．令得，且，又因为，所以函数在上为减函数；令得，，又因为，所以函数在上为增函数．所以函数在处取得最小值，且．所以．又因为，所以实数的取值范围． 13分（Ⅲ）另解：（1）当时，由（Ⅱ）可知，在上单调递增，所以．所以当时，有成立．（2）当时，可得．由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是，所以在上单调递增，又，所以总有成立．（3）当时，可得．由（Ⅱ）可知，函数在上为减函数，在为增函数，所以函数在处取最小值，且．当时，要使成立，只需，解得．所以．综上所述，实数的取值范围．【考点】利用导数求切线，利用导数求单调区间，利用导数求最值2.已知y=f（x）与y=g（x）都为R上的可导函数，且f′（x）＞g′（x），则下面不等式正确的是（）A．f（2）+g（1）＞f（1）+g（2）B．f（1）+f（2）＞g（1）+g（2）C．f（1）﹣f（2）＞g（1）﹣g（2）D．f（2）﹣g（1）＞f（1）﹣g（2）【答案】A【解析】∵f'（x）＞g'（x），∴f'（x）﹣g'（x）＞0，∴[f（x）﹣g（x）]′＞0，∴函数f（x）﹣g（x）在R上为增函数．∵1＜2，∴f（1）﹣g（1）＜f（2）﹣g（2），移向即得f（2）+g（1）＞f（1）+g（2）故选A3.某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A．150B．200C．250D．300【答案】D【解析】∵总利润由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.4.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【答案】(1)；(2)；（3）是.【解析】（1）本题求直四棱柱的体积，关键是求底面面积，我们要用底面半径1和表示出等腰梯形的上底和高，从图形中可知高为，而，因此面积易求，体积也可得出；（2）我们在（1）中求出，这里的最大值可利用导数知识求解，求出，解出方程在上的解，然后考察在解的两边的正负性，确定是最大值点，实质上对应用题来讲，导数值为0的那个唯一点就是要求的极值点）；（3），上（2）我们可能把木梁的表面积用表示出来，，由于在体积中出现，因此我们可求的最大值，这里可不用导数来求，因为，可借助二次函数知识求得最大值，如果这里取最大值时的和取最大值的取值相同，则结论就是肯定的.试题解析：（1）梯形的面积=，． 2分体积． 3分（2）．令，得，或（舍）．∵，∴． 5分当时，，为增函数；当时，，为减函数． 7分∴当时，体积V最大． 8分（3）木梁的侧面积=，．=，． 10分设，．∵，∴当，即时，最大． 12分又由（2）知时，取得最大值，所以时，木梁的表面积S最大． 13分综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． 14分【考点】（1）函数解析式；（2）用导数求最值；（3）四棱柱的表面积及其最值.5.一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？【答案】速度为20 km/h时，总费用最少【解析】设火车的速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.由题意，令40＝k·203，∴k＝，则总费用f(x)＝(kx3＋400)·＝a.∴f(x)＝a (0＜x≤100)．由f′(x)＝＝0，得x＝20.当0＜x＜20时，f′(x)＜0；当20＜x＜100时，f′(x)＞0.∴当x＝20时，f(x)取最小值，即速度为20 km/h时，总费用最少．6.已知函数（Ⅰ）若对任意，使得恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）证明：对，不等式成立.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析.【解析】(Ⅰ) 利用导数分析单调性，进而求最值；(Ⅱ)利用不等式的放缩和数列的裂项求和试题解析：（I）化为易知，，设，设，，，上是增函数，（Ⅱ）由（I）知：恒成立，令，取相加得：即证明完毕【考点】查导数，函数的单调性，数列求和，不等式证明7.设等差数列{an }的前n项和为Sn，已知(a5－1)3＋2 011·(a5－1)＝1，(a2 007－1)3＋2 011(a2 007－1)＝－1，则下列结论正确的是()A．S2 011＝2 011，a2 007<a5B．S2 011＝2 011，a2 007>a5C．S2 011＝－2 011，a2 007≤a5D．S2 011＝－2 011，a2 007≥a5【答案】A 【解析】令，在R上单调递增且连续的函数所以函数只有唯一的零点，从而可得，同理∵(a5－1)3＋2 011·(a5－1)＝1，(a2 007－1)3＋2 011(a2 007－1)＝－1两式相加整理可得，由，可得＞0，由等差数列的性质可得【考点】函数性质与等差数列及性质点评：本题的入手点在于通过已知条件的两数列关系式构造两函数，借助于函数单调性得到数列中某些特定项的范围，再结合等差数列中的相关性质即可求解，本题难度很大8.已知定义在上的函数满足，且，，若数列的前项和等于，则＝A．7B．6C．5D．4【答案】B【解析】由得，即为R上的减函数，所以，由，得，即，解得或，又，所以，故，数列即，其前项和为，整理得，解得，故选B．【考点】本题考查了导数与数列的综合运用点评：此类问题常常利用导数法研究函数的单调性，然后再利用数列的知识求解9.已知f（x）=x-（a>0），g（x）=2lnx+bx且直线y=2x－2与曲线y=g（x）相切．（1）若对[1，+）内的一切实数x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=l时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2．71828是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，，xk都有成立；（3）求证：．【答案】（1）；（2）的最大值为．（3）当时，根据（1）的推导有，时，，即．令，得，化简得，。
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高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.已知函数 (R)．(1)当时，求函数的极值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．【答案】（1）当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为.（2）a的取值范围是．【解析】（1）遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数值符号，确定极值”.（2）根据= ，得到△= = .据此讨论：①若a≥1，则△≤0，此时≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增 .计算f（0），,得到结论.②若a＜1，则△＞0，= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．有．给出当变化时，的取值情况表.根据f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．作出结论.试题解析：（1）当时，，∴.令="0," 得. 2分当时,, 则在上单调递增;当时,, 则在上单调递减;当时,, 在上单调递增. 4分∴当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为. 6分（2）∵= ，∴△= = .①若a≥1，则△≤0， 7分∴≥0在R上恒成立，∴ f（x）在R上单调递增 .∵f（0），,∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． 9分②若a＜1，则△＞0，∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．∴．当变化时，的取值情况如下表：x x（x，x）x++11分∵,∴.∴=.同理. ∴.令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．而当时,, 13分故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.综上所述，a的取值范围是． 14分【考点】应用导数研究函数的极值、单调性及函数的图象，分类讨论思想.2.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值3.已知a≤＋lnx对任意的x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________．【解析】令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，故a最大值为0.4.已知函数,是函数的导函数，且有两个零点和(),则的最小值为()A．B．C．D．以上都不对【答案】B【解析】，由题意，当或时，，当时，，因此的最小值是，选B．【考点】函数的极值与最值．5.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是函数f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xe x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．【答案】(，2)【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2.7.设函数f(x)＝x e x，则()．A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点【答案】D【解析】∵f(x)＝x e x，∴f′(x)＝e x＋x e x＝e x(1＋x)．∴当f′(x)＞0时，则x＞－1，函数y＝f(x)是增函数，同理可求，x＜－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是()．A．(0,2]B．(0,2)C．[，2)D．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2，故选D.9.若函数在区间内有极值，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数在区间内有极值，所以导数在区间内必有零点，于是.【考点】1.导数的公式与法则；2.函数的零点.10.某人进行了如下的“三段论”推理：如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点.你认为以上推理的 ( ) A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】本题中，如果，则是函数的极值点是错误的.若是函数的极值点，则函数在的左右两侧异号，而否则尽管有，都不能说明是函数的极值点.如，其导数，函数在上是增函数.所以不是函数的极值点.因此本题是大前提错误.【考点】推理与证明、导数、函数的极值11.在处有极小值，则实数为 .【答案】1【解析】由得，又在处有极小值，故，解得或，当时，有，函数在单调递增，在单调递减，故在处有极小值；当时，有，函数在单调递增，在单调递减，故在处有极大值.综上可知.【考点】利用导数处理函数的极值12.已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间.【答案】（1），无极大值；（2）见解析.【解析】（1）先找到函数的定义域，在定义域内进行作答，在条件下求出函数的导函数，根据函数的单调性与导数的关系，判断函数的极值；（2）先求出函数的导函数，其导函数中含有参数，所以要进行分类讨论，对分三种情况，，进行讨论，分别求出每种情况下的函数的单调增区间和单调减区间.试题解析：（1）函数的定义域是， 1分当时，，所以在上递减，在上递增，所以函数的极小值为，无极大值； 4分（2）定义域， 5分①当，即时，由，得的增区间为；由，得的减区间为； 7分②当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为； 9分③当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为； 11分综上，时，的增区间为，减区间为；时，的增区间为和，减区间为；时，的增区间为和，减区间为. 13分【考点】1、对数函数的定义域；2、含参数的分类讨论思想；3、函数的单调性与导数的关系；4、解不等式；5、求函数的极值.13.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行. （1）确定实数、的正、负号；（2）若函数在区间上有最大值为，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先求导数，因为切线与轴平行，所以导数为0，列出等式，判断出的符号；（2）求导数，令导数为0，解出方程的根，利用导数的正负判断出函数的单调性，通过分类讨论的方法找到最大值，让最大值等于，解出的值.试题解析：（1） 1分由图象在处的切线与轴平行，知，∴. 2分又，故，. 3分(2) 令,得或. 4分∵，令，得或令，得.于是在区间内为增函数，在内为减函数,在内为增函数.∴是的极大值点，是极小值点. 5分令，得或. 6分分类：①当时，，∴ .由解得， 8分②当时，, 9分∴.由得 . 10分记,∵, 11分∴在上是增函数，又，∴, 12分∴在上无实数根. 13分综上，的值为. 14分【考点】1.用导数求切线的斜率；2.用导数求函数最值.14.已知函数，当时取得极小值，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得，当；当；当，故在处取得最小值，即，则，所以，故选D.【考点】导数的极值点求法，导数的极值求解.15.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”。
某同学经过探究发现：任何一个一元三次函数都有“拐点”；且该“拐点”也为该函数的对称中心.若，则( )A．1B．2C．2013D．2014【答案】C【解析】对函数求导，再求导，所以，所以，所以函数的对称中心为.∴，∴，故选C.【考点】1.导数；2.分析问题解决问题的能力.16.数列，则数列中最大项的值为______________。
【答案】【解析】研究函数因为，所以，为极大值点，故数列最大项为第三项，其值为。
【考点】数列的性质，应用导数研究函数的单调性。
点评：中档题，本题将数列问题转化成应用导数研究函数的单调性，体现应用数学知识的灵活性。
17.已知函数在处取得极大值，则的值为（）A．B．－C．－2或一D．不存在【答案】B【解析】：∵，∴f′（x）=3x2+2ax+b，又在x=1处取得极大值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b－a2－7a=10，∴a2+8a+12=0，∴a=－2，b=1或a=－6，b=9．当a=－2，b=1时，f′（x）=3x2－4x+1=（3x－1）（x－1），当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当a=-6，b=9时，f′（x）=3x2－12x+9=3（x－1）（x－3），当x＜1时，f′（x）＞0，当＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；∴=－，故选B。
【考点】利用导数研究函数的极值。
点评：中档题，函数的极值点处的导数值为0.本题解答中，a,b有两组解，注意检验验证，合理取舍。
18.已知函数，且函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析:因为函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，所以即画出可行域如图所示，为可行域内的点到的距离的平方，由图可知，距离的最小值为距离的最大值为，所以的取值范围为【考点】本小题主要考查导数与极值的关系以及线性规划的应用.点评：对于此类问题，必须牢固掌握导数的运算，利用导数求单调性以及极值和最值.本题导数与线性规划结合，学生必须熟练应用多个知识点，准确分析问题考查的实质，正确答题.19.本小题满分12分）设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值(6分)；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围(6分)【答案】（2）【解析】(I)由题意知x=1和x=2是方程的两个根，利用韦达定理可建立关于a,b的两个方程，求出a,b的值.（2）本小题实质是求在上的最大值，利用导数求其最大值，然后令f(x)max<c2，再解关于c的不等式即可得到c的取值范围.20.（12分）设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）。
【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。