微专题8 利用常见几何模型求解立体几何问题(3)(原卷版)

微专题8 利用常见几何模型求解立体几何问题（3）

专题09 最值模型

这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等

例1.已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥

O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )

A ．36π

B ．64π

C ．144π

D ．256π

【类比训练1】体积为183的正三棱锥-A BCD 的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且=:2:3R BC

，点E 为BD 的中点，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是 .

例2.已知三棱锥O ABC -的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，120AOB

∠=︒，当A O C ∆与B O C ∆的面积之和最大时，三棱锥O ABC -的体积为( )

A ．32

B ．233

C ．23

D ．13

【类比训练1】已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则三棱柱的体积的最大值为 ．

【类比训练2】已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为 ．

专题10 垂面模型

例 1.已知ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，3BC =，22PB =，5PC =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为 ．

【类比训练1】在三棱锥P ABC -中，4AB AC ==，120BAC ∠=︒，43PB PC ==，平面PBC ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为 ．

例2.已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，3BC =，22PB =，5PC =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为 ．

【类比训练2】在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则AB 的长为 ．

专题11二面角模型

例1.在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，三角形PAC 为等边三角形，二面角P AC B --的余弦值为63-，当三棱锥P ABC -的体积最大值为13时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 ． 【类比训练1】在三棱锥A BCD -中，ABD ∆和CBD ∆均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为60︒，则三棱锥的外接球的表面积为 ．

例2.在等腰直角ABC ∆中，2AB =，90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 的高，将ABC ∆沿AD 折叠，使二面角B AD C --为60︒，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 ．

【类比训练2】在平面五边形ABCDE 中，60A ∠=︒，63AB AE ==，BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==．将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120︒，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积是 ．

【类比训练3】在三棱锥S ABC -中，6AB =，8BC =，10AC =，二面角S AB C --、S AC B --、S BC A --的大小均为4

π，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，直线SO 交平面ABC 于点M ，则三棱锥S ABC -的内切球半径为 ，SO OM

= ． 专题12 坐标法模型

例3. 四面体ABCD 在空间坐标系内的坐标分别为(0,0,0)A ，(0,0,1)B ，(0,2,0)C ，33(

,,0)22

D ，则该四面体的外接球的面积为（ ）

A ．2π

B ．2π

C ．4π

D ．5π 专题13圆锥圆柱圆台模型

例4.半径为4的球中有一个内接圆柱，圆柱的侧面积为163π，则圆柱的体积为 .