奇函数关于原点对称
函数奇偶性的方法
函数奇偶性的方法
确定一个函数的奇偶性的方法如下：
1. 定义
奇函数：对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)。
偶函数：对于任意实数x，有f(-x) = f(x)。
2. 奇偶性的判断
(1) 如果函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)满足f(-x) = -f(x)，则f(x)为奇函数。
(2) 如果函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)满足f(-x) = f(x)，则f(x)为偶函数。
(3) 如果函数f(x)既不满足奇函数的条件，也不满足偶函数的条件，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
3. 奇偶函数的性质
(1) 奇函数与奇函数相加、相减，结果仍为奇函数；
(2) 偶函数与偶函数相加、相减，结果仍为偶函数；
(3) 奇函数与偶函数相乘，结果为奇函数；
(4) 若f(x)为奇函数，则f(x)的零点关于原点对称；
(5) 若f(x)为偶函数，则f(x)关于y轴对称。
4. 判断奇偶性的方法
(1) 对函数f(x)进行奇偶性的判断时，可尝试代入-x或者x来验证函数是否满足奇函数或偶函数的定义；
(2) 若函数表达式含有二次方及以上的偶次幂，则函数为偶函数；
(3) 若函数表达式含有一次方及以上的奇次幂，则函数为奇函数；
(4) 若函数表达式含有一次方及以上的奇次幂，并且函数表达式中包含一个偶函数，则函数为奇函数。
注意：上述方法只适用于一些简单的函数，复杂函数的奇偶性可能需要使用其他数学工具进行推导。
函数的对称与反对称
函数的对称与反对称函数是数学中的一种重要概念，它描述了数值之间的对应关系。
在函数的研究中，对称性和反对称性是两个重要的性质。
本文将探讨函数的对称性和反对称性，并分析它们的性质和特点。
一、对称函数对称函数是指对于函数定义域内的任意两个元素x和y，如果f(x)=y，那么必有f(y)=x。
简而言之，对称函数关于对角线对称。
在几何中，对称函数可表示为关于y=x的对称。
以函数f(x)为例，如果满足f(x)=f⁻¹(x)，则称之为对称函数。
对称函数可以分为两类：偶函数和奇函数。
1. 偶函数偶函数是指对于函数定义域内的任意一个元素x，如果f(-x)=f(x)，那么该函数为偶函数。
偶函数对应的几何图形是关于y轴对称的，也就是呈现左右对称的特点。
例如，常见的偶函数有y=x²、cos(x)等。
2. 奇函数奇函数是指对于函数定义域内的任意一个元素x，如果f(-x)=-f(x)，那么该函数为奇函数。
奇函数对应的几何图形是关于原点对称的，也就是呈现中心对称的特点。
例如，常见的奇函数有y=x³、sin(x)等。
二、反对称函数反对称函数是指对于函数定义域内的任意两个元素x和y，如果f(x)=-y，那么必有f(y)=-x。
简而言之，反对称函数关于原点对称，也就是关于原点旋转180度后重合。
在几何中，反对称函数可表示为关于原点对称。
以函数f(x)为例，如果满足f(x)=-f⁻¹(x)，则称之为反对称函数。
与对称函数类似，反对称函数同样可以分为偶函数和奇函数。
1. 偶函数偶函数是指对于函数定义域内的任意一个元素x，如果f(-x)=f(x)，那么该函数为偶函数。
偶函数对应的几何图形也是关于y轴对称的，也就是呈现左右对称的特点。
例如，常见的偶函数有y=x²、cos(x)等。
2. 奇函数奇函数是指对于函数定义域内的任意一个元素x，如果f(-x)=-f(x)，那么该函数为奇函数。
奇函数对应的几何图形也是关于原点对称的，也就是呈现中心对称的特点。
函数的奇偶性的判断和证明
函数的奇偶性的判断和证明一、函数的奇偶性的定义对于函数 f(x) ，其定义域 D 关于原点对称，如果 x D,恒有 f( x) f ( x) ，那么函数 f(x)为奇函数；如果 x D,恒有 f( x) f (x) ，那么函数 f (x)为偶函数 . 二、奇偶函数的性质1、奇偶函数的定义域关于原点对称；2、 偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称；3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反；4、 奇函数在原点有定义时，必有f(0) 0.三、判断函数的奇偶性的方法 判断函数的奇偶性的方法，一般有三种：定义法、和差判别法、作商判别法 .1 、定义法 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果 函数的定义域关于原点对称，则继续求 f( x) ；最后比较 f( x)和 f (x)的关系，如果有 f( x)=f (x)， 则函数是偶函数，如果有 f ( x) 2、和差判别法=- f (x) ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数 .对于函数定义域内的任意一个x ，若f( x) f(x) 0，则 f(x) 是奇函数；若f(x) f ( x)0 ，则 f (x) 是偶函数 .3、 作商判别法对于函数定义域内任意一个 x ，设 f ( x) 0，若f (x)1，则 f(x) 是奇函数，f (x) 1，则 f(x)f( x)f ( x)是偶函数解题步骤首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非 偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 f( x) ；最后比较 f ( x) 和 f(x)的关 系，如果有 f( x)= f (x) ，则函数是偶函数，如果有 f( x)=- f ( x) ，则函数是奇函数，否 则是非奇非偶函数 .例 1】判断下列函数的奇偶性②令 x 0，则 f (y) f( y) 2f (0) f (y)2) f (x)2lg(1 x 2) x22点评】(1)判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则 函数是非奇非偶函数 . (2) 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇偶函数的必要非充分条件 . (3)函数的定义域求出来之后，还要注意在解题中应用，不是走一个过场和形式 .第 2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简 .例 2】定义在实数集上的函数f (x) ，对任意 x 、y R ，有 f(x y) f(x y) 2f (x) f(y)且 f (0) 0①证： f (0) 1 ②求证： y f (x)是偶函数解析】证明：①令 x y 0，则 f (0) f (0) 2[ f (0)] 2f (0) 0 ∴ f(0) 1∴ f ( y) f (y)1) f (x) (1 x)1x 1x∴ y f (x) 是偶函数【点评】 对于抽象函数的奇偶性的判断， 和具体函数的判断方法一样， 不同的是， 由于它是抽象函数， 所以在判断过程中，多要利用赋值法，常赋一些特殊值，如 0、-1、1等. 学科 * 网【例 3】判断函数f (x)x x (x 0)的奇偶性x 2x (x 0)【点评】(1)对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函 数，所以要分类讨论 . (2)注意，当 x 0时，求 f ( x) 要代入下面的解析式，因为 x 0, 不是还代入上 面一段的解析式 .1)证明函数 f (x)是奇函数；(2)讨论函数 f(x)在区间 [ 1,1]上的单调性；3)设 f(1) 1 ，若 f (x) m 22am 1，对所有 x [ 1,1]， a [ 1,1]恒成立，求实数 m 的取值范 围.反馈检测 1】已知 f(x)2x 1 2x 11)判断 f(x) 的奇偶性； 2)求 f(x) 的值域．反馈检测 2】已知函数 f (x) 定义域为 [ 1,1] ，若对于任意的 x,y [ 1,1]，都有f (x y) f(x)f (y)，且 x 0时，有 f (x) 0.例 4】判断函数 f(x) lg(x x 1) 的奇偶性 .【点评】 和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式， 但是利用定义判断， 计算较为复杂， 利用和差 判别法可以化繁为简，简捷高效 .【反馈检测 3】已知函数 f(x) log a x 2(a 0且a 1).ax 2(1)求 f (x)的定义域； (2)判定 f (x)的奇偶性；3)是否存在实数 a ，使得 f (x)的定义域为 [ m,n ]时，值域为 [log an数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由xx例 5】判断函数 g(x)x xx的奇偶性 .2x1 2x x x 0，所以 g( x) g(x) ，所以g(x)是偶函数 .点评】 和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式， 但是利用定义判断， 计算较为复杂， 利用和差判别法可以化繁为简，简洁高效1, log a m 1] ？若存在，求出实解析】由题得 x 0 ，因为 g( x) g(x)xx2 x 1 2 xx 2x 1 2x(2x 1)2x 1a1例 6】 证明函数 f (x) x (a 0， a 1)是奇函数 .ax 1【点评】 作商判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式， 判别法可以化繁为简，简捷高效 .参考答案反馈检测 1答案】(1)奇函数；(2){y| 1 y 1} ．但是利用定义判断， 计算较为复杂， 利用作商奇函数；( 2)单调递增函数；( 3)m 2或 m 2.令x y 0 ，得 f (0) f (0) f (0) ，所以 f (0) 0 ， 令y x 可得：f (0) f (x) f( x) 0, 所以 f ( x)f (x) ，所以 f (x)为奇函数(2)f (x) 是定义在 ［1,1］上的奇函数，由题意设 1 x 1x 2 1，则f(x 2) f (x 1) f (x 2) f ( x 1) f (x 2 x 1)由题意x 0时，有 f(x) 0， f(x 2) f (x 1)反馈检测 2 详细解析】 1)因为有 f (x y) f (x) f(y) ， f (x) 是在 ［ 1,1］上为单调递增函数；反馈检测 2 答案】( 1)3)因为 f (x)在 ［ 1,1］上为单调递增函数，所以 f (x)在［ 1,1］上的最大值为 f (1) 1，2所以要使 f (x) <m 22am 1，对所有x [ 1,1],a [ 1,1] 恒成立，22只要 m 2 2am 1 1 ，即 m 2 2am0，22令 g(a) m 2am 2am m2 由g( 1) 0 得2m m 2 g(1) 0 2mm 2m 2或 m 2.反馈检测 3 答案】(1)定义域为 (2) (2, )；(2)f (x) 在定义域上为奇函数； ( 3)a (0,3 2 2)2) .x2即m、n是方程log a log a x 1的两个实根，于是问题转化成关于x的方程x22ax2 (2a 1)x 2 0在(2, ) 上有两个不同的实数解令g(x)ax2(2a1)x2, 则有：322 3 2 2(2a1)28a0a或a222a 11 3 2 2 2a0 a 又0 a 1 2a62g(2) 8a 0a0故存在这样的实数a(0,3222) 符合题意.2。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性对于函数而言，它的对称性和奇偶性是一种重要的性质，可以帮助我们更好地理解和分析函数的特点。
在数学中，对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质，而奇偶性则是函数在自身的对称轴上的性质。
本文将重点讨论函数的对称性和奇偶性。
1. 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数的图像能够保持不变。
常见的函数对称性包括中心对称和轴对称。
1.1 中心对称性中心对称性是指函数的图像以某个点为对称中心，对称轴上的任意两点关于对称中心对称。
形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有中心对称性。
例如，函数f(x) = x^2是一个具有中心对称性的函数。
我们可以将其图像想象成一个抛物线，以原点为对称中心，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的。
1.2 轴对称性轴对称性是指函数的图像以某条直线为对称轴，对称轴上的任意两点关于对称轴对称。
形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有轴对称性。
举个例子，函数f(x) = sin(x)是一个具有轴对称性的函数。
我们可以将其图像想象成一条波浪线，其对称轴为x轴，任意一点关于x轴的对称点的函数值是相等的。
2. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自身的对称轴上的性质。
奇函数和偶函数是两种常见的奇偶性。
2.1 奇函数奇函数是指函数在自身的原点上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = -f(x)。
奇函数的图像关于原点对称。
举个例子，函数f(x) = x^3是一个奇函数。
我们可以观察到，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于原点对称。
2.2 偶函数偶函数是指函数在自身的对称轴上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = f(x)。
偶函数的图像关于对称轴对称。
例如，函数f(x) = x^2是一个偶函数。
我们可以观察到，任意一点关于y轴的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于y轴对称。
函数奇偶性的六类经典题型
奇偶性类型一：判断奇偶性[例1] 判断下列函数奇偶性（1）（且）（2）（3）（4）（5）解：（1）且∴奇函数（2），关于原点对称∴奇函数（3），关于原点对称∴既奇又偶（4）考虑特殊情况验证：；无意义；∴非奇非偶（5）且，关于原点对称∴为偶函数类型二：根据奇偶性求解析式1.函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1，∴当x<0时，－x>0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)， 即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.答案：－－x －1 2.求函数的解析式 （1）为R 上奇函数，时，，解：时，∴∴ （2）为R 上偶函数，时，解：时，∴类型三：根据奇偶性求参数1.若函数f(x)= xln （2a x +a=【解题指南】f(x)= xln （x+2a x +2ln()y x a x =+是奇函数，利用()()0f x f x -+=确定a 的值.【解析】由题知2ln()y x a x =+是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x ++-+=22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 答案：1.2.函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝______.解析：由题意知，g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－1. 答案：－13.已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( )A.17 B ．－1 C ．1D ．7解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝17.4.若函数f(x)＝2x －|x ＋a|为偶函数，则实数a ＝______. （特殊值法） 解析：由题意知，函数f(x)＝2x －|x ＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)， ∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a ＝0. 答案：05.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x ≤0，ax 2＋bx ， x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.（待定系数法）解析：当x >0时，－x <0， 由题意得f (－x )＝－f (x )， 所以x 2－x ＝－ax 2－bx ， 从而a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0. 答案：06.（1），为何值时，为奇函数； （2）为何值时，为偶函数。
函数的对称性与奇偶性的判断方法
函数的对称性与奇偶性的判断方法在数学中，对称性和奇偶性是研究函数性质的重要概念。
判断函数的对称性与奇偶性有助于我们深入理解函数的特点和行为。
本文将介绍几种常见的方法来判断函数的对称性与奇偶性。
一、函数的对称性1. 关于y轴对称如果函数在y轴两侧的取值相同，即f(x) = f(-x)。
这意味着函数图像关于y轴对称。
为了判断该对称性，我们可以通过将x替换为-x，然后观察方程两边是否相等。
2. 关于x轴对称如果函数在x轴上和下两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)。
这表示函数图像关于x轴对称。
同样，我们可以通过将x替换为-x来验证该对称性。
3. 关于原点对称如果函数在原点两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)，这说明函数图像关于原点对称。
同样地，我们可以通过将x替换为-x来检验该对称性。
二、函数的奇偶性1. 关于y轴对称的奇函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
换句话说，当x取相反数时，函数的函数值也取相反数。
2. 关于y轴对称的偶函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
这表示当x取相反数时，函数的函数值保持不变。
3. 奇偶函数的性质奇函数和偶函数有一些特殊的性质。
对于奇函数，它的反函数也是奇函数；对于偶函数，它的反函数也是偶函数。
此外，奇函数和奇函数的乘积是偶函数，偶函数和偶函数的乘积是偶函数，奇函数和偶函数的乘积是奇函数。
三、判断方法示例下面通过几个简单的例子来说明判断函数对称性和奇偶性的方法。
例1：判断函数f(x) = 2x^4 - 3x^2是否关于y轴对称和奇偶性。
由于f(x)是一个多项式函数，它的所有指数都是非负整数，因此它是一个偶函数。
将x替换为-x，我们可以验证f(-x) = f(x)。
所以该函数关于y轴对称。
例2：判断函数f(x) = sin(x)是否关于x轴对称和奇偶性。
由于f(x)是正弦函数，它的值在不同的x值处取正负值，因此它是一个奇函数。
奇偶函数定义判断-概述说明以及解释
奇偶函数定义判断-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，奇函数和偶函数是常见的函数类型。
奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数，其图像关于原点对称；偶函数则是指满足f(-x)=f(x)的函数，其图像关于y轴对称。
了解奇偶函数的定义和特点对于深入理解函数的性质和变化规律具有重要意义。
本文将结合奇函数和偶函数的定义及特点，介绍如何判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法，以及实际应用中奇偶函数的例子，帮助读者更好地理解和应用奇偶函数。
1.2 文章结构本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，将对奇偶函数的概念进行简要介绍，并说明文章的结构和目的。
正文部分分为三个小节，分别讨论奇函数和偶函数的定义与特点，以及奇偶函数的判断方法，通过对这些内容的介绍，读者可以深入了解奇偶函数的概念和特点。
在结论部分，将对奇偶函数的特点进行总结，列举一些应用奇偶函数的实例，同时对奇偶函数的意义做出展望。
整体结构清晰，逻辑严谨，旨在帮助读者更好地理解和运用奇偶函数的知识。
1.3 目的本文旨在深入探讨奇偶函数的定义和特点，并介绍判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法。
通过对奇函数和偶函数的特性进行详细讨论，读者可以更加清晰地了解这两种函数的性质和区别。
同时，我们还将通过实例展示如何应用奇偶函数的性质解决问题，帮助读者更好地理解奇偶函数在数学中的实际应用。
最后，文章还将对奇偶函数的特点进行总结，并展望这一概念在数学中的未来发展。
通过本文的阐述，读者将对奇偶函数有更深入的理解，从而能够更好地运用这一概念解决数学问题。
2.正文2.1 奇函数的定义与特点奇函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，当x的相反数也是该函数的自变量时，函数值取相反数。
换句话说，即f(-x)=-f(x)，其中f(x)为奇函数。
奇函数的特点有以下几点：1. 对称性：奇函数关于原点对称。
也就是说，如果函数图像在x轴上关于原点对称，那么该函数就是奇函数。
大学数学公式大全
大学数学公式大全奇函数：关于原点对称f(-x)=-f(x)：偶函数：关于y 轴对称导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x xctgx xtgx a xxln 1)(logln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin xarcctgx xarctgx xx xx +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x ax dx Cshx chxdx C chx shxdx Caadx aC x ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx xdxC tgx xdx x dxxx)ln(ln csc csc sec sec csc sinsec cos 22222222Cax xa dxCx a x a ax a dx C a x a x a a x dx C ax arctg a x a dxC ctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdxC x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Ca x ax a x dx x a Ca x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n nnn arcsin22ln 22)ln(221cos sin22222222222222222222220ππ222212211cos 12sin udu dx x tg u uu x uu x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin2cos2sin sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xx arthx x x archx x x arshx ee e e chxshx thx ee chx ee shx xxx x xxxx-+=-+±=++=+-==+=-=----11ln 21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim==+=∞→→e xx x xx x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctgtg·正弦定理：R CcBb Aa 2sin sin sin ===·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k nn uvvuk k n n n v un n v nuv uvuCuv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
函数的奇偶性与对称性
函数的奇偶性与对称性函数在数学中起着非常重要的作用，它通过各种数学运算将一个数对映到另一个数。
在这篇文章中，我们将讨论函数的奇偶性与对称性。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在变量值取正和负时的性质是否一致。
具体而言，若对于任意的x，有f(-x)=-f(x)，则函数被称为奇函数；若对于任意的x，有f(-x)=f(x)，则函数被称为偶函数；若对于某些x，有f(-x)≠±f(x)，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数具有对称中心为原点的特点，也就是说当将函数关于原点对称时，图像不变。
例如，f(x)=x^3就是一个简单的奇函数。
当x取正值和负值时，函数的值相反，而且当将其图像沿y=x对称时，图像仍然保持不变。
偶函数则具有关于y轴的对称性，也就是说当将函数关于y轴对称时，图像不变。
例如，f(x)=x^2就是一个典型的偶函数。
当x取正值和负值时，函数的值相同，而且当将其图像沿y轴对称时，图像仍然保持不变。
二、函数的对称性与函数的奇偶性相关的是函数的对称性。
函数的对称性有三种：关于x轴的对称性、关于y轴的对称性和关于原点的对称性。
关于x轴的对称性是指当将函数关于x轴翻转时，图像不变。
例如，f(x)=sin(x)就是一个具有关于x轴对称性的函数。
当x取正值时，函数值是正的，而当x取负值时，函数值是负的，因此函数在x轴上关于原点具有对称性。
关于y轴的对称性是指当将函数关于y轴翻转时，图像不变。
例如，f(x)=cos(x)就是一个具有关于y轴对称性的函数。
当x取正值时，函数值相同，而当x取负值时，函数值也相同，因此函数在y轴上关于原点具有对称性。
关于原点的对称性是指当将函数关于原点翻转时，图像不变。
例如，f(x)=tan(x)就是一个具有关于原点对称性的函数。
当x取正值和负值时，函数的值相反，因此函数在原点上具有对称性。
三、实际应用函数的奇偶性与对称性在实际问题中有广泛应用。
在物理学中，奇函数常用于描述对称的场景，例如电流的方向或磁场的分布。
抽象函数的奇偶性、周期性和对称性
抽象函数的奇偶性、周期性和对称性一、奇偶性1、奇函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么 函数()f x 就叫做奇函数。
（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-；（3）图象特征：奇函数图象关于原点对称。
（这是判断奇函数的直观方法）2、偶函数定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数 ()f x 就叫做偶函数。
（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f =-； （3）图象特征：偶函数图象关于y 轴对称。
（这是判断偶函数的直观方法） 二、周期性周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期，并不是所有周期函数都存在最小正周期。
例如，狄利克雷函数，当x 为有理数时，()f x 取1；当x 为非有理数时，()f x 取0。
（1）如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。
（2）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期的周期函数。
（3）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期的三、对称性1、函数图象本身的对称性（自身对称）题设：函数)(x f y =对定义域内一切x 来说，其中a 为常数，函数)(x f y =满足： （1）)()(x a f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线a x =成轴对称； （2）)()2(x f x a f =-⇔函数)(x f y =的图象关于直线a x =成轴对称；（3）)()(x b f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=成轴对称； （4）)(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称（偶函数）； （5）)(2)2(x f b x a f -=-⇔函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称； （6）)(x f -=—)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点成中心对称（奇函数）；（7）如果函数)(x f y=满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的 常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数；（8）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期（9）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期 的周期函数。
常用的奇偶函数
常用的奇偶函数奇偶函数是数学中常见的一种函数类型，它具有特殊的对称性质。
在日常生活中，我们也可以找到一些奇偶函数的例子，它们存在于各个方面，给我们的生活带来了不少乐趣和启发。
一、奇函数的魅力奇函数是指满足对称性质的函数，即f(x) = -f(-x)。
这种函数的特点是关于原点对称，图像呈现出左右对称的形态。
在生活中，我们可以找到很多奇函数的例子。
1. 自然界中的奇函数在大自然中，存在着许多奇函数的例子。
比如，天空中的云朵形状往往具有奇函数的特点，它们在不同的高度上形成了各种各样的对称形态，给人一种美丽而神秘的感觉。
2. 艺术中的奇函数奇函数的美学特点也被广泛应用于艺术创作中。
绘画、雕塑、音乐等艺术形式中，都可以找到奇函数的身影。
比如，著名的音乐作品《春江花月夜》中，音符的起伏变化呈现出奇函数的特点，给人们带来了一种动人心弦的感觉。
3. 生活中的奇函数除了自然界和艺术领域，奇函数还存在于我们的日常生活中。
比如，钟表的指针运动就是一个奇函数，它们在不同的时间点上呈现出对称的形态。
另外，花朵的形状、人体的结构等也都具有奇函数的特点，给我们的生活带来了美的享受。
二、偶函数的魅力与奇函数不同，偶函数是指满足对称性质的函数，即f(x) = f(-x)。
这种函数的特点是关于y轴对称，图像呈现出上下对称的形态。
在我们的生活中，也可以找到很多偶函数的例子。
1. 几何中的偶函数在几何学中，偶函数也有广泛的应用。
比如，圆的方程就是一个偶函数，它具有关于y轴的对称性质。
另外，对称图形的性质也可以用偶函数来描述，比如正方形、矩形等，它们在对称轴两侧的性质是一样的。
2. 物理中的偶函数在物理学中，偶函数也有着重要的应用。
比如，物体的质量分布、电场的分布等都可以用偶函数来描述。
同时，偶函数还可以用来描述物体的对称性质，比如球体的形状、杆的长度等。
3. 经济中的偶函数在经济学中，偶函数也有一定的应用。
比如，收入分配的曲线往往具有偶函数的特点，即富人和穷人的收入分布呈现出对称的形态。
判断函数奇偶性的三种方法
判断函数奇偶性的三种方法函数的奇偶性是指函数关于原点的对称性。
当函数在原点对称时，我们称其为偶函数；当函数关于原点对称时，我们称其为奇函数。
判断函数奇偶性的三种方法分别是函数表达式的法则、函数图像的法则和函数的性质法则。
一、函数表达式的法则：设函数表达式为f(x)，则有以下判断准则：1.当f(x)=f(-x)时，函数为偶函数。
如f(x)=x^2，f(-x)=(-x)^2=x^2，因此函数f(x)=x^2是偶函数。
2.当f(x)=-f(-x)时，函数为奇函数。
如f(x)=x^3，f(-x)=(-x)^3=-x^3，因此函数f(x)=x^3是奇函数。
通过观察函数表达式中的幂指数的奇偶来判断函数的奇偶性，奇次幂代表奇函数，偶次幂代表偶函数。
二、函数图像的法则：函数图像关于y轴对称时，函数为偶函数；函数图像关于原点对称时，函数为奇函数。
通过绘制函数的图像来观察图像的对称性，从而判断函数的奇偶性。
如果图像关于y轴对称，则函数为偶函数；如果图像关于原点对称，则函数为奇函数。
三、函数的性质法则：对于连续函数，可以通过计算函数的导数来判断函数的奇偶性。
1.对于偶函数，其导函数也为偶函数。
如果函数f(x)是偶函数，则f'(x)=0，即f'(-x)=0。
因此，函数f(x)的导函数f'(x)也是偶函数。
例如f(x)=x^2，f'(x)=2x，f'(-x)=2(-x)=-2x，f'(x)也是偶函数。
2.对于奇函数，其导函数也为奇函数。
如果函数f(x)是奇函数，则f'(x)=-f'(-x)。
因此，函数f(x)的导函数f'(x)也是奇函数。
例如f(x)=x^3，f'(x)=3x^2，f'(-x)=3(-x)^2=3x^2，f'(x)也是奇函数。
综上所述，判断函数的奇偶性主要有三种方法：函数表达式的法则、函数图像的法则和函数的性质法则。
奇函数偶函数知识点归纳
奇函数偶函数知识点归纳
奇函数和偶函数是数学中的基本概念，归纳如下：
1.奇函数：若对于任何x，有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
即函数图像是关于原点对称的，如y=x^3、sin(x)等。
2.偶函数：若对于任何x，有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
即函数图像是关于y轴对称的，如y=x^2、cos(x)等。
3.奇偶性：每个函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和。
因此，我们可以将任何函数表示为奇函数或偶函数的组合。
4.奇偶函数的性质：奇偶函数具有一些特殊的性质，如：- 奇函数与奇函数的乘积是偶函数；- 偶函数与偶函数的乘积是偶函数；- 奇函数与偶函数的乘积是奇函数；- 奇函数在区间[-a,a]上的积分为0，而偶函数则在[-a,a]上的积分为2倍其在[0,a]上积分的值。
5. 奇偶函数的应用：奇偶函数在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
例如，对称性是物理学中一个重要的概念，在处理对称性问题时，奇偶函数的性质常常会用到。
函数关于点(a,b)对称的结论
高中数学，奇函数、偶函数只是点对称和线对称的特殊情形，是最基础且必须掌握的；但是考试试题中，经常遇到的是关于任意点对称或任意直线对称，甚至双对称的情况也比比皆是，这就需要我们更深入的学习，有备无患！下面我们就来一一推导一般情形下的点对称、线对称和双对称公式。
一、函数关于某点对称（单对称）牢记：f(x)关于点（a，b）对称,则有y=f(x)=2b-f（2a-x）或者f(a+x)=2b-f(a-x)（特别的，奇函数关于原点（0,0）对称）证明：∵f(x)上关于点（a，b）对称设P(x0,y0)为函数f(x)上任意一点，即y0 = f(x0)关于点（a，b）对称的点为Q（x,y）则有x0+x=2a,y0+y=2b亦即x0=2a-x,y0=2b-y∴有2b-y=f(2a-x),∴f(x)关于点（a，b）对称的表达式是y=f(x)=2b-f（2a-x），也可表示为f(a+x)=2b-f(a-x)。
例1、已知函数y=f(x)的定义域是，函数g(x)=f(x+5)+f(1-x)，若g(x)=0方程有且仅有7个不同的实数解，则这7个实数解之和为_________.解：∵g(x)=f(x+5)+f(1-x)，令t=2+x，∴g(t)=f(3+t)+f(3-t)=0∴f(3+t)=-f(3-t)关于点(3,0)对称，又方程g(x)=0有且仅有7个不同的实数解，∴方程有一个根为3，其余六个根关于(3,0)对称。
∴这个实数解之和为3+3×6=21二、函数关于某一条直线对称（单对称）牢记：f(x)关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x),或者f(x)=f(2a-x).（特别的，偶函数关于x=0对称）证明：因为f(x)关于直线x=a对称,设(m,n)为f(x)上任一点,即n=f(m)则(m,n)关于x=a的对称点(2a-m,n)也在y=f(x)上,即n=f(2a-m)∴ f(m)=f(2a-m)∴f(x)=f(2a-x).三、双对称情形3.1、牢记：函数f(x)关于某点（a,m）成中心对称,关于直线x=b成轴对称，那么f(x)是周期函数，周期是4|a-b|证明：∵f(x)关于某点（a,m）成中心对称,关于直线x=b成轴对称∴f(x)+f(2a-x)=2m①, f(2b-x)=f(x)②,用2b-x代替x，代入①得f(2b-x)+f(2a-2b+x)=2m，再代入②得f(x)=2m-f(2a-2b+x)，用2（a-b）+x代替x，得f[2(a-b)+x)]=2m- f[4(a-b)+x)]，代入f(x)=2m-f(2a-2b+x)得f(x)=f[4(a-b)+x)]∴f(x)是周期函数，周期是4|a-b|例4、已知f(x)是定义域为R的偶函数，且f(1-x)=-f(1+x)，若x∈[0,1]时，f(x)=(x-1)，则f(2018)=（）解：方法一、由题意，f(x)是定义域为R的偶函数∴f(1-x)=-f(1+x)=f(x-1)，令t=x-1，则x=t+1代入得则f(t)=-f(t+2)∴f(t+2)=-f(t+4)∴f(t)=f(t+4)，即T=4，∴f(2018)=f(2)=-f(0)=-1.方法二、利用点线双对称结论∵f(1-x)=-f(1+x)∴函数关于（1,0）对称又f(x)是定义域为R的偶函数f(x)是周期函数，且周期为T=4∴f(2018)=f(2)=-f(0)=-1.。
怎么一眼看出奇函数偶函数
怎么一眼看出奇函数偶函数函数是数学中重要的概念，其代表的是不同变量之间的关系，在许多数学相关领域中都有广泛的应用。
而在函数中，奇偶函数是两种较为特殊的函数类型。
要想正确区分二者，需要通过一定的方法和技巧。
本文将介绍如何一眼看出奇函数偶函数以及它们的特点和性质。
一、奇函数和偶函数的定义当函数f(-x)=-f(x)时，称函数f(x)为奇函数；当函数f(-x)=f(x)时，称函数f(x)为偶函数。
在这两种函数类型中，奇函数和偶函数都具有一些特殊的性质。
二、奇函数和偶函数的特点1.反对称性奇函数的特点是对称于原点，而偶函数则对称于y轴。
奇函数由于函数图像关于原点对称，因此在图像左侧与右侧之间有一个反转的效果。
因此，奇函数的一些性质是即使左右交换位置，算得的值也是一样的，这被称为反对称性。
例如，sin(x)、tan(x)、cot(x)等函数都是奇函数。
2.对称性偶函数的特点是对称于y轴。
偶函数的性质是在x轴上对函数进行翻转后，函数图像不会发生变化。
因此，偶函数中也存在一些性质，例如在区间上互换两个数值，算得的值还是一样的。
例如，cos(x)、sec(x)、csc(x)等函数都是偶函数。
三、如何一眼看出奇函数偶函数对于一些简单的奇偶函数，可以通过观察其公式或者函数图像来判断它是奇函数还是偶函数。
以常见的三角函数为例，sin(x)是奇函数，而cos(x)是偶函数。
这是因为sin(x)的正负性质与x的正负性质是一致的，而cos(x)的正负性质被y轴的正负性质所决定。
另外，也可以通过函数的性质和定义来判断函数的类型。
例如，如果在原点处计算函数的值，如果等于0，则该函数为奇函数；相反，如果函数的值在原点处不等于0，则该函数为偶函数。
这是因为奇函数在原点处是对称的，偶函数在原点处是对称的。
因此，一个函数在原点处的值可以被用来判断函数是奇函数还是偶函数。
比如，f(x) = x^3 - x是一个奇函数，因为f(0) = 0。
奇函数的公式
奇函数的公式什么是奇函数？奇函数是一种满足对称性质的函数，即对于任何实数x，有f(-x)=-f(x)。
也就是说，奇函数在原点处对称。
那么奇函数有什么特殊的性质呢？我们可以通过奇函数的公式来理解它的性质。
首先，奇函数的一个重要性质是它的积分在对称区间内为0。
即对于任何实数a和b，有：∫a^b f(x) dx = 0这是因为奇函数在对称区间内的正积分和负积分相等，所以它们抵消了。
其次，奇函数的傅里叶级数只包含正弦函数。
傅里叶级数是一种将周期函数分解为正弦函数和余弦函数的方法。
对于奇函数来说，它的余弦函数项为0，只剩下正弦函数项。
具体地，奇函数f(x)的傅里叶级数为：f(x) = ∑n=1^∞ b_n sin(nπx/L)其中L是函数的周期，b_n是傅里叶系数，可以通过以下公式计算：b_n = (2/L) ∫0^L f(x) sin(nπx/L) dx这个公式告诉我们，奇函数可以用一系列正弦函数的线性组合来表示。
这也是为什么奇函数在物理、工程等领域中经常出现的原因，因为正弦函数在波动、振动等问题中具有重要的作用。
最后，奇函数的导数是偶函数。
这是由奇函数的定义可得的，因为对于任何实数x，有f(-x)=-f(x)，所以f'(-x)=-f'(x)。
这个性质告诉我们，奇函数的导数在原点处对称。
那么奇函数的公式具体是什么呢？奇函数的一般形式可以表示为：f(x) = x^n其中n是正奇数，比如n=1,3,5等。
这个公式告诉我们，奇函数的图像呈现出一种对称性，即在原点处对称。
当n越大时，函数的曲率越大，也就是说函数的增长速度越快。
另外，奇函数还可以通过一些基本的奇函数来构建。
比如，正弦函数和x都是奇函数，它们的乘积也是奇函数。
因此，sin(x)、xsin(x)、x^3sin(x)等都是奇函数。
总之，奇函数是一种具有对称性质的函数，它在数学和物理、工程等领域中都有广泛的应用。
通过奇函数的公式和性质，我们可以更好地理解和应用它们。
关于原点的对称点
关于原点的对称点
原点对称是数学中的一种几何现象，原点是X轴与Y轴的交点。
奇函数的任何一个点都有对称点，直角坐标系上一点（x，y）关于原点对称的点为（-x，-y）。
在直角坐标系（即X，Y坐标轴）中的X轴与Y轴的交点叫做原点。
当坐标轴上有一点（X，Y）（此处X，Y取正值）其对称点为同坐标系中的（-X，-Y）这2个点就叫做原点对称，刚才所指的点（X，Y）为第一象限的点（直角坐标系的右上），（-X，-Y）为第三象限的点（直角坐标系的左下）。
如果一个函数f（x）的定义域内的任何一个x和值域内的任何一个y，都有f（-x）=-f（x），且定义域也关于原点对称的话就说f（x）为奇函数（就是说这个函数f（x）的任何一个点（X，Y）都有对称点的话就称其为奇函数）。