奇函数关于原点对称
奇函数关于原点对称关于原点对称的函数是奇函数。
高一数学 函数奇偶性知识点归纳
函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析 函数的奇偶性定义： 1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数． 2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数． 二、函数的奇偶性的几个性质 1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； 2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； 3、可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 4、等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f (||)()f x f x ?=； )()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ； 5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； 6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。 8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。 三、关于奇偶函数的图像特征 一般地： 奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ） 偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。 即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ） 奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单
函数奇偶性六类经典题型
奇偶性 类型一：判断奇偶性 [例1] 判断下列函数奇偶性 （1）（且） （2） （3） （4） （5） 解：（1）且 ∴奇函数 （2），关于原点对称 ∴奇函数 （3），关于原点对称 ∴既奇又偶 （4）考虑特殊情况验证： ；无意义；∴非奇非偶 （5）且，关于原点对称 ∴为偶函数 类型二：根据奇偶性求解析式 1.函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1， ∴当x<0时，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)， 即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1. 答案：－－x－1
2.求函数 的解析式 （1）为R 上奇函数， 时， ， 解： 时， ∴ ∴ （2）为R 上偶函数， 时， 解： 时， ∴ 类型三：根据奇偶性求参数 1.若函数f(x)= xln （2 a x +a= 【解题指南】f(x)= xln （x+2 a x +2ln(y x a x =+是奇函数，利用 ()()0f x f x -+=确定a 的值. 【解析】由题知2ln()y x a x =++是奇函数， 所以22ln()ln()x a x x a x +++-+=2 2 ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 答案：1. 2.函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a ) x 3 为奇函数，则a ＝______. 解析：由题意知，g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－1. 答案：－1 3.已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( ) A.1 7 B ．－1 C ．1 D ．7 解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝1 7.又f (x ) 为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝1 7. 4.若函数f(x)＝2 x －|x ＋a|为偶函数，则实数a ＝______. （特殊值法）
函数图象关于点对称性
函数图象关于点对称性 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点 与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往 能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的 较少。本文只探讨函数的关于点对称性。 I.函数自身关于点对称性 命题1：函数的图像关于点对称的充要条件是 (或者) 证明：（必要性）设是图像上任一点，∵点关于点 的对称点也在图像上，∴，即故，必要性得证。 （充分性）设点是图像上任一点，则，∵ ，∴，即，故点 也在图像上，而点与点关于点对称，充分性 得证。 推论1：奇函数的图像关于原点对称。 证明：设函数是奇函数，则奇函数定义有f(x) f( x) 0，由命题1可得 函数图像关于源点对称。 推论2：如果函数满足,则函数图象关于点对称。（证明略） 推论3：函数的图像关于点。 证明：∵，， ∴
由命题1有函数的图像关于点对称。 例 1 已知定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增，如果且，则的值（）A.恒小于0 B.恒大于0 C.可能为零 D.可正可负 分析：先代替，使变形为，它的特 征就是推论2，因此函数的图像关于点对称。在区间上单调递增， 在区间上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两 个单位。 解：∵且在区间上单调递增， ∴，∵∴函数的图像关于点对称， ∴∴.所以选A 例2如果函数满足，求该函数的对称中心。（因为 自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对 称中心） 如果为奇函数，并且，求该函数的所有对称中心和对 称轴。（由周期性定义知周期为4，又，从而，按上例知x=-1为对称轴，所以为对称轴，为对称中心其中k∈Z） 例3定义在上的函数满足， 则 解：由命题1可得函数关于点对称，所以点关于点的对
函数的性质之---函数的对称性
函数图像的对称性 函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。 1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）: 定理1: 函数()y f x =的图象关于直2 a b x += 对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-= 特殊的有： ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。 ②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（偶函数）)()(x f x f =-⇔。 ③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。 定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称 ()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++ 特殊的有： ① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。 ② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。 ③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。 定理3：（性质） ①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。 ②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。 ③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。 ④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。 2.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。
函数的对称性和奇偶性
函数的对称性和奇偶性 函数的对称性和奇偶性是数学中重要的概念，用于描述函数的 性质和特点。通过研究函数的对称性和奇偶性，我们可以更深入 地了解函数的行为和图像的形状。本文将详细介绍函数的对称性 和奇偶性的定义、性质以及在实际问题中的应用。 一、对称性的定义和性质 函数的对称性是指函数在某些变换下具有不变性的性质。常见 的对称性包括关于y轴的对称、关于x轴的对称和关于原点的对称。下面将分别介绍这三种对称性的定义和性质。 1. 关于y轴的对称性 如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = f(x)，则称函数关于y 轴对称。也就是说，函数图像相对于y轴是对称的。例如，函数y = x^2就是关于y轴对称的，因为对于任意x值，都有(-x)^2 = x^2。 2. 关于x轴的对称性
如果对于函数中的任意x值，都有f(x) = -f(-x)，则称函数关于x轴对称。也就是说，函数图像相对于x轴是对称的。例如，函数y = sin(x)就是关于x轴对称的，因为对于任意x值，都有sin(x) = -sin(-x)。 3. 关于原点的对称性 如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)，则称函数关于原点对称。也就是说，函数图像相对于原点是对称的。例如，函数y = x^3就是关于原点对称的，因为对于任意x值，都有(-x)^3 = -x^3。 对于一个函数而言，可能同时具有以上三种对称性，也可能只具有其中一种对称性。在实际应用中，我们可以根据函数的对称性来简化计算和分析。 二、奇偶性的定义和性质
函数的奇偶性是指函数在某些变换下具有不变性的性质。奇函数和偶函数是最常见的具有奇偶性的函数。下面将分别介绍奇函数和偶函数的定义和性质。 1. 奇函数 如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数。也就是说，奇函数关于原点对称。例如，函数y = sin(x)就是奇函数，因为对于任意x值，都有sin(-x) = -sin(x)。 奇函数的特点是在定义域内存在x = 0时，函数值为0。这意味着奇函数的图像关于原点对称，并且在原点处穿过坐标轴。 2. 偶函数 如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = f(x)，则称函数为偶函数。也就是说，偶函数关于y轴对称。例如，函数y = x^2就是偶函数，因为对于任意x值，都有(-x)^2 = x^2。
与函数奇偶性有关的结论
【与函数奇偶性有关的结论】 1.若一个函数具有奇(偶)性，其定义域必关于原点对称. 判断函数的奇偶性的解题步骤：首先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则必为 非奇非偶的函数.在定义域关于原点对称的前提下，再看其是否符合奇(偶)函数的定义式. 2.奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称;反之，如果一个函数的图像关 于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数 是偶函数． 3.若奇函数在x=0处有意义，则f(0)=0；偶函数对于定义域内任意a 的值满足f(|a|)=f(a). 4.已知函数f(x)是奇函数在某一区间上的解析式，求其在关于原点对称的另一区间上的解析 式的方法为，将原函数中的所有自变量x 都用-x 代换,化简后再各项变号（即-f （-x ））, 当x=0时若有意义，还要注意f(0)=0.而偶函数只需将所有x 都用-x 代换化简后即可. 5.设F(x)=af(x)+b,若f(x)为奇函数，则对于定义域内的任意x 值，都有F(-x)+F(x)=2b. 例1.判断下列函数的奇偶性： (1)g(x)=2211x x -+-. (2)h(x)=(x+1)x x +-11. (3)f(x)=|2|212 ---x x . 解:(1)由于此函数的定义域为{1,-1}关于原点对称，又g(x)=0, ∴ 此函数既是奇函数又是偶函数. (2)此函数的定义域为(-1,1]，不关于原点对称，∴ 此函数既不是奇函数又不是偶函数. (3)此函数的定义域由不等式组???≠--≥-0 |2|2012x x 确定，解得{x|-1≤x ≤1且x ≠0}关于原 点对称，化简得f(x)=x x 21-，易知f(x)是奇函数. 说明: (1)本例中的(2)易错误地变形为h(x)=21)1)(1(x x x -=+-,从而误认为其为偶函数. (2)例中的(3)易错误地变形为???????≠<-≠≥--=,0,21,4,241)(22 x x x x x x x x x f 从而误认为是非奇非偶的函数. 例2.(1)设函数f(x)= ax 7+bx 5+cx+5，其中a ，b ，c 为非零常数，若f(-7)=7，则f(7)=( ). A.7. B.3. C.-7. D.-17. (2)若定义在R 上的奇函数f(x)满足：当x >0时，f(x)=x 2-x+1，求f(x)的表达式. (3)若f(x)，g(x)的定义域为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数.又 1 1)()(2+-=+x x x g x f ，求f(x)的表达式. (4)已知偶函数f(x)在(-∞，0)上函数值随自变量的增大而减少.若f(a)≥f(2)，求实 数a 的取值范围. 解:(1)令g(x)= ax 7+bx 5+cx,则易知y=g(x)是奇函数，∴ f(x)=g(x)+5,由上述5的结论知， f(7)+f(-7)=10.又∵ f(-7)=7，∴f(7)=3.故应选B. (2)∵ f(x)是奇函数且当x ＞0时，f(x)= x 2-x+1，∴ 当x <0时，f(x)=-f(x)=-x 2-x-1. 由于f(x)的定义域为R ，∴ f(0)=0.故?????<---=>+-=.0, 00,01)(22x x x x x x x x x f (3) ∵ f(x)、g(x)的定义域为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴ f(-x)=-f(x),
函数 关于 点 对称
函数关于点对称 （原创实用版） 目录 一、函数关于点对称的定义与概念 二、函数关于点对称的性质与特点 三、函数关于点对称的常见类型及应用 四、函数关于点对称的判断方法与举例 正文 一、函数关于点对称的定义与概念 函数关于点对称，是指将函数图像上的点关于某一点进行对称，所得到的新函数图像与原函数图像完全重合。这个对称点称为函数的对称中心。函数关于点对称是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、化学等学科中都有广泛的应用。 二、函数关于点对称的性质与特点 1.对称性：函数关于点对称后，原函数与新函数的图像完全重合，即具有对称性。 2.唯一性：对于一个函数，其关于点对称的函数只有一个。 3.可逆性：若函数 f(x) 关于点 a 对称，则函数 f(x-a) 关于点 a 对称。 4.平移不变性：若函数 f(x) 关于点 a 对称，则函数 f(x+a) 关于点 a 对称。 三、函数关于点对称的常见类型及应用 1.奇函数：奇函数的图像关于原点对称，即 f(-x)=-f(x)。奇函数在物理、化学等学科中有广泛应用，如正弦函数、余弦函数等。
2.偶函数：偶函数的图像关于 y 轴对称，即 f(-x)=f(x)。偶函数在数学、物理等学科中有广泛应用，如幂函数、指数函数等。 3.反函数：反函数的图像关于直线 y=x 对称。反函数在微积分、概率论等学科中有广泛应用，如指数函数、对数函数等。 四、函数关于点对称的判断方法与举例 判断函数是否关于点对称，可以采用以下方法： 1.代数法：观察函数的解析式，判断是否满足 f(ax)f(a-x)=0。如果满足，则函数关于点对称。 2.几何法：观察函数的图像，判断是否关于某一点对称。如果关于某一点对称，则函数关于点对称。 举例：函数 f(x)=x^2，其解析式满足 f(-x)=f(x)，因此该函数关于原点对称。
奇偶函数知识点
奇偶性 (1) 偶函数的定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(-x),那么f(x)就叫做偶函数. (2) 奇函数的定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= -f(x),那么f(x)就叫做奇函数 性质：一 1 奇偶函数定义域关于原点对称 2 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件 判断下列函数是什么函数 (1)f(x)=kx+b;k≠0 (2)f(x)=1-x 2; (3)f(x)=-x 2,x∈[-3,1] (4) f(x)=0 (5）f(x)=g(x)g(-x) （6）f(x)=g(x)-g(-x) 小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 3．奇偶性的判断 4．①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系 1．如果定义在区间[2－a,4]上的函数y ＝f (x )为偶函数，那么a ＝_6_______. 二 、奇函数⇔图象关于原点对称 偶函数⇔图象关于轴对称 三 定义域包含0的奇函数f(0)=0 偶函数 f(0)不一定=0 证明 f(-x)= -f(x) 代入0 f(0)=-f(0) 所以f(0)=0 Eg 若1()21 x f x a =+-是奇函数，则a = ． 四 、奇偶运算（0除外） 奇±奇 =奇 偶*偶=偶 偶 ±偶 =偶 奇+偶=非奇非偶 奇*偶 =偶 记忆方法 奇为负号- 偶为正好+ 五 复合函数y=f （g （x ）） 内偶则偶，内奇同外 六 单调性 偶函数 在x 0≥和x 0≤单调性相反 奇函数 在x 0≥和x 0≤单调性相同 偶函数f(x)在[a,b]区间最大值为m ，最小值为n ，则在[-b,-a]区间最大值和最小值分别为m 和n 奇函数f(x)在[a,b]区间最大值为m ，最小值为n ，则在[-b,-a]区间最大值和最小值分别为-n ，-m Eg 偶函数f(x)在[1,3]区间x=1取最大值5，x=3取最小值8则在[-3,-1]最大值，最小值分别是多少
函数奇偶性归纳总结
函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。 教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程： 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：
奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a