对称三对角Toeplitz矩阵的条件数估计

对称三对角Toeplitz矩阵的条件数估计

杨兴东;丁三芹;刘诗卉;苏润青

【摘要】In this paper,we studied the norm condition number of symmetry tridiagonal Toeplitz matrix.Then it gives the estimate for 2-norm and Frobenius norm of a symmetry tridiagonal Toeplitz matrix,as well as a numerical example.Tridiagonal Toeplitz matrix which possesses potential practical significance in other applied fields,for example,subjects of cubic spline interpolation,three differential equations,parallel computing,analysis of telecommunication control,heat conduction equationsand so on.%三对角Toeplitz矩阵在三次样条插值、三项差分方程、并行计算以及电信控制分析与热传导方程等学科有着重要的应用.目前,关于三对角Toeplitz矩阵的研究在国内外十分活跃.本文则研究对称三对角Toeplitz矩阵范数条件数,给出对称三对角Toeplitz矩阵的2-范数以及F-范数的估计式,同时给出数值例子.

【期刊名称】《南京师大学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2017(040)002

【总页数】6页(P1-6)

【关键词】对称三对角Toeplitz矩阵;条件数;估计;2-范数;F-范数

【作者】杨兴东;丁三芹;刘诗卉;苏润青

【作者单位】南京信息工程大学数学与统计学院,江苏南京210044;南京信息工程大学数学与统计学院,江苏南京210044;南京信息工程大学数学与统计学院,江苏南京210044;南京信息工程大学数学与统计学院,江苏南京210044

【正文语种】中文

【中图分类】O151.21

设a,b∈R,则n阶实对称矩阵

称为对称三对角Toeplitz矩阵. 三对角Toeplitz矩阵在三次样条插值、三项差分方程、并行计算等数学领域以及电信控制分析、热传导方程等物理领域都有着重要应用[1-5]. 近年来,中外学者对三对角Toeplitz矩阵的研究十分活跃[1-10]. 文献[1-5]研究了三对角Toeplitz矩阵逆的表示方法. 文献[11-12]研究了次对角线为零的二对角Toeplitz矩阵的条件数估计.

本文中,I表示n阶单位矩阵,Rn表示n维实向量集,Rm×n表示实数域上m×n矩阵集. |λ1(A)|≥…≥|λn(A)|表示A的特征值λi(A)之模的递降排序.

σi(A)(i=1,…,n)表示A的奇异值,σ1(A)≥…≥σn(A)表示A的奇异值的降次排序. 显然,如果A为实对称矩阵,则σ1(A)=|λ1(A)|.

设A=(aij)∈Rn×n,则记号‖表示A的Frobenius范数,简记为F-范数,其中tr(A)表示矩阵A的迹. ‖表示A的普范数,又称为2-范数.

设A∈Rn×n,‖·‖为向量范数,则由向量范数诱导的矩阵范数

矩阵A的条件数定义为

众所周知[1-10],当矩阵范数为向量诱导范数时,

显然谱范数为诱导矩阵范数,因而

然而,Frobenius范数不是诱导范数. 一般地

其反例见文献[9]. 早在1995年,Desmond J Hisham获得Frobenius范数条件数计算公式如下

本文研究对称三对角Toeplitz矩阵2-范数以及Frobenius范数条件数,给出式(2)与式(3)的估计,使之计算更加简洁方便.

为了得到Toeplitz矩阵条件数估计,我们需要若干引理.

引理1[7] 设n阶对称三对角Toeplitz矩阵A如(1)所示,λi(A)为A的特征值,则说明:当n→∞时,,因此,当,即|a|>2|b|时,A为严格对角占优矩阵,从而它是非奇异的. 引理2[8] 设A如引理1所设,当时,记A-1=(bij),则

引理3[10] 设A为n阶方阵,‖·‖为诱导矩阵范数,I为n阶单位矩阵,且‖A‖<1. 则引理4[11] 设A=(aij)∈Rn×n为对称矩阵,则

定理1 设对称三对角Toeplitz矩阵

并且>1,则

证由引理1,A的特征值,设

则

设αk=(t1k … tnk)T为A的对应于特征值λk(A)的特征向量,并设

令Q=(α1 … αn),则Q为正交矩阵,且QTAQ=diag(λ1(A),…,λn(A)).

由于>1以及由引理1可知A可逆.

记B=A-1=(bij),由引理2及引理4得

另一方面,记α=e1+en(ei表示n阶单位矩阵的第i列),则‖且

显然

故由勾股定理[12]

由式(6)

故

故由式(2)与式(5)以及式(7)即得式(4). 证毕.

定理2 设A∈Rn×n以及实数a与b如定理1所设,且

则

证记B=I-A,则A=I-B且

由引理1,B的特征值为

于是

故由引理3得

由式(2)以及式(9)、式(10)即可得证. 证毕.

注1 在定理2假设之下,当a2+b2≤1时,则

从而

这时应用式(4)的估计条件数cond2(A)的下界较应用式(8)估计更精确. 当时,如果a≥1则

于是有

这时应用式(8)估计条件数cond2(A)的下界较应用式(4)估计更精确. 注2 当1-a≥0时,式(8)为

当1-a<0时,式(8)为

定理3 设A∈Rn×n以及实数a与b如定理1所设,则

证显然,由A的结构以及F-范数的性质,‖.

设A的特征值为λi(A)(1≤i≤n),则A-1的特征值为

于是存在正交矩阵Q,使

由式(3)、式(5)以及式(9)即得式(11). 证毕.

定理4 设A∈Rn×n以及实数a与b如定理2所设,则

证由定理3的证明以及式(3)、式(9)以及式(10)即得所证. 证毕.

注3 当1-a≥0时式(12)为

当1-a≤0时式(12)为

例设,则.

利用MATLAB计算得,

由定理1,得