2019-2020年高中数学2.9《平面上两点间的距离》教案苏教版必修2

2019-2020年高中数学2.9《平面上两点间的距离》教案苏教版必修2

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学习要求

1．掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式；

2．能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题．

【课堂互动】

自学评价

（1）平面上两点之间的距离公式为

． （2）中点坐标公式：对于平面上两点，线段的中点是，则12012

022

x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．

【精典范例】

例1：（1）求A(-1,3)、B （2，5）两点之间的距离；

（2）已知A （0，10），B （a ，-5）两点之间的距离为17，求实数a 的值．

【解】(1)由两点间距离公式得

=(2)

17=,解得 a=．

故所求实数a 的值为8或-8． 例2：

已知三角形的三个顶点1(1,0),(1,0),(,

22

A B C -，试判断的形状． 分析：计算三边的长，可得直角三角形．

【解

】2,AB ==

1,BC =

=AC ==∵，

∴为直角三角形.

点评：本题方法多样，也可利用、斜率乘积为-1，得到两直线垂直.

例3：已知的顶点坐标为，求边上的中线的长和所在的直线方程．

分析：由中点公式可求出中点坐标,分别用距离公式、两点式就可求出的长和所在的直线方程．

【解】如图，设点．

∵点是线段的中点，

∴

，

即的坐标为．

由两点间的距离公式得AM ==

因此，边上的中线的长为．

由两点式得中线所在的直线方程为

，即．

点评:本题是中点坐标公式、距离公式的简单应用.

例4．已知是直角三角形，斜边的中点为，建立适当的直角坐标系，

证明：．

证：如图，以的直角边所在直线为坐标轴，建立适当的直角坐标系，

设两点的坐标分别为，

∵是的中点，

∴点的坐标为，即．

由两点间的距离公式得AM =

= 所以，． 追踪训练一

1.式子可以理解为()

两点(a,b )与(1,-2)间的距离

两点(a,b )与(-1,2)间的距离

两点(a,b )与(1,2)间的距离

两点(a,b )与(-1,-2)间的距离

2.以A (3,-1), B (1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为 ()

2x +y -5=0 2x +y +6=0

x -2y =0 x -2y -8=0

3. 线段AB 的中点坐标是(-2,3),又点A 的坐标是(2,-1),则点B 的坐标是．

4．已知点，若点在直线上，求取最小值．

解:设点坐标为,∵在直线上，∴，

222

22(2)(4)212202(3)2

AP x x x x x =-+-=-+=-+，

∴的最小值为． 【选修延伸】

对称性问题

例5: 已知直线，（1）求点关于对称的点；（2）求关于点对称的直线方程．

分析：由直线垂直平分线段，可设，有垂直关系及中点坐标公式可求出点；而关于点对称的直线必平行，因此可求出对称的直线方程．

【解】（1）设，由于⊥，且中点在上，有

00004234311222

y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅-⎪⎩，解得0029585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴

（2）在上任取一点，如，则关于点对称的点为．

∵所求直线过点且与平行，

∴方程为，即．

例6：一条光线经过点,射在直线上，反射后，经过点，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．

分析：入射光线和反射光线所在直线都经过反射点，反射直线所在直线经过点关于直线的对称点．

【解】入射线所在的直线和反射线所在的直线关于直线对称，设点关于直线对称点的坐标为，因此的中点在直线上，且所在直线与直线垂直， 所以00003(1)12231022

y x x y -⎧⨯-=-⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩，

解得．

反射光线经过两点，∴反射线所在直线的方程为．

由得反射点．

入射光线经过、两点，

∴入射线所在直线的方程为．

点评:求点关于直线的对称点，通常都是根据直线垂直于直线，以及线段的中点在直线上这两个关系式列出方程组，然后解方程组得对称点的坐标．

思维点拔：

平面上两点间的距离公式为，线段中点坐标为.平面上两点间距离公式及中点坐标公式有着广泛的应用，如：计算图形面积，判断图形形状等.同时也要注意掌握利用中点坐标公式处理对称性问题.

追踪训练二

1．点(-1,2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐 标为 ( ) (1,4) (-1,4) (1,-4) (-1,-4)

2．直线3x-y-2=0关于x 轴对称的直线方程为．

3．已知点,试求点的坐标,使四边形为等腰梯形．

答案:点的坐标为或．

4．已知定点，，，求的最小值．

(数形结合:

,利用对称性,得到最小值为).

平面上两点间的距离

分层训练

1. 若(4,2)64126A B C --、（，）、（，）、

，则下面四个结论：

①；②；③；④．其中，正确的个数是 ( )

(A)１个. (B) 2个.

(C)3个. (D) 4个.

2. 点关于点的对称点的坐标是 (

) (A) (B)