人教版高中数学必修五 第三章3.1第2课时不等式的性质与应用
2019-2020学年高中人教A版数学必修5课件：第三章 3.1 第2课时 不等式的性质
(2)a>b>0 且 c>d>0⇒ac>bd，已知的两个不等式不仅要 求同向，而且不等式两边必须为正值．
(3)a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)，及 a>b>0⇒n a>n b(n ∈N，n≥2)成立的条件是已知不等式两边为正值，并且 n∈ N，n>1，否则结论就不成立．假设去掉 b>0 这个条件，取 a ＝3，b＝－4，n＝2，就会出现 32>(－4)2 的错误结论；又若 去掉了“n∈N 且 n≥2”这个条件，取 a＝3，b＝2，n＝－1， 又会出现 3－1>2－1，即13>12的错误结论．
□ (2)a>b，c<0⇒ac 05 < bc. □ 性质 5：a>b，c>d⇒a＋c 06 > b＋d. □ 性质 6：a>b>0，c>d>0⇒ac 07 > bd. □ 性质 7：a>b>0⇒an 08 > bn(n∈N，n≥2)． □ 性质 8：a>b>0⇒n a 09 > n b(n∈N，n≥2)．
解 由 2<a≤5,3≤b＜10 得 2＋3<a＋b<5＋10,2×3<ab<5×10， 即 5<a＋b<15,6<ab<50.
拓展提升 利用不等式的性质求代数式的取值范围要注意的问题 (1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质． (2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提 条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质， 如由 a>b 及 c>d，推不出 ac>bd；由 a>b，推不出 a2 >b2 等． (3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、 相除的错误．
高中数学新人教B版必修5课件：第三章不等式3.1.2不等式的性质(1)
> ≥10%.
所以,同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件变
好了.
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
题型五
+
反思一般地,设a,b为正实数,且a<b,m>0,则 + > .利用这个不等
式,可以解释很多现象,比如b g糖水中有a g糖(b>a>0),若再添上m g
糖(m>0,且未到达饱和状态),则糖水变甜了.再比如芭蕾舞演员跳芭
蕾时总是踮起脚尖,这是为什么呢?这是因为踮起脚尖改变了演员
下半身与整个身高的比值,使这个比值接近于黄金分割比0.618,从
而带给观众更美的享受.
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改为 “
3
>
3
” ,其他条件不变,应该怎样证明?
1
1
1
1
3
证明:∵a>b>0,∴0< < ,即 > >0.
又 c>d>0,∴ > >0,∴
3
c
b
>
.
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高中数学人教A版必修5课件：3.1.2 不等式的性质
1
1
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题型一
比较大小
【例1】 (1)比较下列两个代数式的大小:x2+3与3x; (2)已知a,b均为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小. 分析:我们知道,a-b>0⇔a>b,a-b<0⇔a<b,因此,若要比较两个代 数式的大小,只需作差,并与0作比较即可. 解:(1)(x2+3)-3x=x2-3x+3
当且仅当 x=y= 2 , 且z=1 时取等号.
1
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题型二
不等式性质的应用
【例2】 对于实数a,b,c,给出下列命题: ①若a>b,则ac2>bc2; ②若a<b<0,则a2>ab>b2; ③若a>b,则a2>b2;
④若 a<b<0,则 ������ > ������.
其中,正确命题的序号是 .
1 解析:∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴ -������ ������ ������ ������ ������ 又∵a>b>0,∴ > , ∴ < . ������ ������ -������ -�
> 0.
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型四
题型三
证明不等式
������ ������
=
(2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b). ∵a>0,b>0,且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0. ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.
高中数学第3章不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质新人教B版必修5
2．设 M＝x2，N＝－x－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与 x 有关
A [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，故 M>N.]
a>b，b>c⇒_a_>_c_
性质 3(可加性)
a＞b⇒_a_＋__c_>_b_＋__c_
推论 1 性质 3
推论 2
a＋b＞c⇒_a_＞__c_－__b__ a＞b，c＞d⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d_
性质 4(可乘性) a＞b，c＞0⇒_a_c_＞__b_c_；a＞b，c＜0⇒_a_c_＜__b_c_
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为 正确吗？
[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能 相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变 形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪吗？ ∵2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
1．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问 题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题 中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
人教B版人教B版高中数学必修五3.1第2课时不等式的性质
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6．船在水流速度一定的甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度
和船在静水中的速度是否相等，为什么？
[ 分析 ] 要比较船在水流速度一定的甲地和乙地间来回行驶一
次的平均速度和船在静水中的速度的大小关系， 首先要把这两个速度
B． 1 D． 3
信达
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
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1
u2－ v2－u2
v2
∵ u －u＝ u － u＝ u ＝－ u<0
－ ∴ u <u.
因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度
不相等，平均速度小于船在静水中的速度．
信达
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
ba (1) 已知 a<b<0，求证： a<b；
ab (2) 已知 a>b>0，求证： b > a ；
11 (3) 已知 a>b，a<b，求证： ab>0.
b a b2－a2 [ 解析 ] (1) a－b＝ ab
信达
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人教A版高中数学必修五课件第三章3.1第2课时不等式的性质与应用ppt版本
归纳升华 利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系， 最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转 化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化， 就有可能扩大其取值范围．
[变式训练] 已知 12＜a＜60，15＜b＜36，则 a－b 的取值范围为________，ab的取值范围为________．
②若 α，β 满足－1≤1≤α α＋＋2ββ ≤≤31，，试求 α＋3β 的取值 范围．
答案：(1)(－3，3)．
π
π
(2)解：①由－2≤α ＜β ≤2知，
－π2 ≤α
π ≤2，
α－β ＜0 且
π
π
－2≤－β ≤2，
相加得－π ≤α－β ＜0，即 α－β∈[－π，0)．
②设 α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)a＋(x＋2y)β.
[变式训练] 已知 c＞a＞b＞0，则c－a a与c－b a的大小 关系为________．
答案：c－a a＞c－b a
类型 3 利用不等式的性质求取值范围(互动探究)
[典例 3] (1)若 1＜α＜3，－4＜β＜2，则 α－|β|的取 值范围是________．
(2)①0≤|β|＜4 已知－π2 ≤α ＜β≤π2 ，求 α－β 的取 值范围．
故 B 为假命题；
a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－1b＞－1a，
a＜b＜0⇒－a＞－b＞0.
⇒ab＞ba，
故 C 为假命题；
a＞b⇒b－a＜0，
1a＞1b⇒1a－1b＞0⇒b－aba＞0. ⇒ab＜0.
因为 a＞b，所以 a＞0 且 b＜0，故 D 为真命题．2，故 A
人教B版高中数学必修五3.1.2不等式的性质上课课件
不等;4与4+4，那 么反过来呢？
2、桌子上有一个盘放着五个苹果，另 一个盘放着八根香蕉，问那一个多？反 过来呢？
由以上的两个例子可以得出一下结论
性质1 如果a>b那么b<a;如果b<a,那么a>b.
性质1表明，把不等式的左边和右边交换
位置，所得不等式与本来的不等式异同，我
若a>b>0则有
an bn a b 0,bn an 0 (a b)(b n an ) 0
若a=b则有a-b=0
(a b)(b n an ) 0
若0<a<b则有
an bn a b 0 bn an 0
(a b)(b n an ) 0
综上所述时 a, b R ，都有
(3) ∵a＞b，并且-4＜0 ∴两边都乘以-4，由不等式基本性质3 得 -4a＜-4b
性质4 如果a>b,c>0，则ac>bc;如果 a>b,c<0则ac<bc
推论1 如果a>b>0,则c>d>0,则ac>bd
证明：因为a>b,c>0.所以ac>bc
又因为c>d,b>0所以bc>bd
几个两边都是正数的同向不等式的 两边分别相乘，所得到的不等式与原不 等式同向
例3.将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得的 数的大小，用“<”或“>”填空：
7×3_______4×3， 7×2_______4×2， 7×1_______4×1， 7×（－1）_______4×（－1）， 7×（－2）_______4×（－2）， 7×（－3）_______4×（－3），
几个同向不等式的两边分别相加，所 得的不等式与原不等式同向。
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跟踪
训练
证法二：∵c<d，∴－c>－d.
又a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)．
即a－c>b－d.
(2)当a>b≥0时，
∵n∈N，且n>1，
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∴an>bn， n
n a>
b.
当a>0>b时，
∵n为奇数，
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∴an>0，bn<0，n a>0， n b<0.
∴an>bn， n
n a>
论．
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1．已知a≥b，则下列不等式正确的是( B )
A.1a≥1b
B．ac2≥bc2
C.ca2＞cb2
D．(ac)2≥(bc)2
自测
自评
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2．(2013·上海卷)如果a<b<0，那么下列
不等式成立的是( D )
11 A.a<b
B．ab<b2
C．－ab<－a2 D．－1a<－1b
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训练
1．对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是( ) A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则1a＞1b C．若a＜b＜0，则ba＞ab D．若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0
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解析：解法一：∵c2≥0，∴c＝0时， 有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0⇒aab＞abb⇒1b＞1a， 故B为假命题；
1 2
>
1 2
；
(3)若 a＞b＞c，则有 a|c|＞b|c|.
人教版高中数学必修五课件：不等式的性质
(3) x2 5x 6与2x2 5x 9. (3) (2x2 5x 9) (x2 5x 6) x2 3 0.
(4)当x 1时, x3 与 x2 x 1. (4) x3 ( x2 x 1) (x 1)(x2 1) 0.
人教版高中数学必修五课件：3.1不等 式的性 质(共1 7张PPT )
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不等式的基本性质
方法2:换底公式求商比较法
解 : 0 x 1,0 1 x 1,1 x 1, 0 1 x2 1,
log(1x) (1 x) 0 , N loga (1 x) 0 ,
M N
loga (1 x) loga (1 x)
拓展 : a b a2n1 b2n1(n N ). 推论3 : 开方法则 a b 0 n a n b 0(n N ).
可简单记为:5定3推1拓展共9条性质
不等式的基本性质
例1.比较下列各组中两个数或代数式的大小. (1) 2 3 7 与4.
(1) 2 3 7 4.
(2) n 1 n 与 n 2 n 1, n N .
必修5 第三章 不等式
§3.1 不等式的基本性质
不等式的基本性质
1.不等式的定义
用不等号___、 ___、 ___、 ___和 ___连接的
式子就叫做不等式.
2.实数比较大小的原理
a b __a__b___0__ ; a b __a___b___0_ ; a b __a___b___0_ .
3.求差比较法 作差→ 变形→判号
不等式的基本性质
4.求商比较法
当b 0时 a 1
a b ___b______ ; a 1
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3.1.2不等式的性质一、学习目标1.通过对初中三条基本性质的回忆，以及上节学习的知识，证明不等式的基本性质和推论.2.在了解不等式的基本性质的基础上，利用它们来证明一些简单的不等式.3.通过本节的学习，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度.体会数学的结构美和系统美，激发学生学习数学更大的热情.二、重点难点教学重点：理解并证明不等式的基本性质与推论，并能用基本性质证明一些简单的不等式.教学难点：不等式基本性质的灵活应用.三、教学过程导入新课思路1.（复习导入）让学生回忆并叙述初中所学的不等式的三条基本性质，即不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不■等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.让学生根据上一节的学习将上面的文字语.言用不等式表示出来，并进一步探究，rti此而展开新课.思路2.（类比导入）等式具有许多性质，其中有：在等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得的仍是等式.我们自然会联想到，不等式是否也会有此同样的性质呢？学生会进一步探究验证这个联想，由此而展开新课.推进新课13活动：教师引导学生一起冋忆等式的性质：等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.利用这些性质，我们可以对等式进行化简、变形或证明.那么不等式会不会也有类似的性质呢？也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果会不会不变呢？为此教师引导学生回忆上节课学过的实数的基本性质（或用多媒体展示），即a—b>0 a>b； a—b<0 a<b； a—b = 0 a = b.根据实数的基本性质，要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差.这是我们研究不等关系的一个出发点.从实数的基本性质，我们可以证明下列常用的不等式性质：性质1,如果a>b,那么b<a；如果bVa,那么a>b,即a>b b<a.这种性质称为不等式的对称性.性质2,如果a>b, b>c,那么a>c,即a>b, b>c a>c.这种性质称为不.等式的传递性.性质3,如果a>b,那么a+c>b + c,即不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.由此得到推论1,不等式屮的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边•这个推论称为不等式的移项法则.推论2,如果a>b, c>d,则 a + c>b + d.这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式，同向不等式可以相加，这个推论可以推广为更一般的结论.性质4,如果a>b, c>0,则ac>bc；如果a>b, c<0,则ac<bc.推论1,如果a>b>0, c>d>0,那么ac>bd.推论2,如果a>b>0,那么a n>b n（neN+, n>l）・推论3,如果a>b>0,那么*^>*^（nGN+, n>l）.以上这些不等式的性质是解决不等式问题的基本依据.其屮性质1是不等式的对称性；性质2是不等式的传递性；性质3表明不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向，由此可得不等式川任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边；性质4表明，不等式两边允许用非零数（或式）去乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号，这点与等式的性质不同；性质4的推论1说明两边都是止数的同向不等式可以相乘；性质4的推论2说明两边都是正数的不等式可以乘方；性质4的推论3说明两边都是 正数的不等式可以开方.应用示例例1、（教材本节例题）：活动：•本节教材上共安排了这一个例题，含3个小题，都是不等式性质的简单应用， 教师不可忽视本例的训练，过高估计了学生逻辑推理的书写能力.实践证明，学生往往推理不严密.教学 时应指导学生根据不等式的性质的条件和结论，强调推理要有理有据，严谨细致，条理清晰.点评：应用不等式性质对已知不等式进行变形，从而得出要证的不等式，是证明不等式的常用方法之C C变式训练：已知a>b>0，c<0,求证：L>厂 a b证明：Va>b>0, ab>0, —>0.,于是 a • ~r>b • —7,即;>丄. ab ab ab bac c由 c<0,得一>「 a bJT JT a + B a — B例2已知一片W a < B ,求的収值范围.活动：教师引导学生回忆本题的背景，这类问题是学习三角函数内容时经常遇到的，由于当时所学知识所 限，往往容易出错.这里我们在已知的基础上，运用不等式的基本性质得出所要得到的结果.点评：在三角函数化简求值屮，角的范围的确定往往成为正确解题的关键.3 已知 a>b>0, c<d<0, e<0,求证：最〉肯'活动：教师引导学生观察结论，由于e<0,因此即证占，引导学生作差，利用本节所学的不 等式基木性质.解：V -y < a < P ,nan JT 0 JTJI a 上面两式相加，得一<— + B Ji JI p JI JT 3 n・・・一存一可<孑2 <寿，又知a 0 ,・a — p -^V0,故 2 Ji a — p w=<0.2. 若a>b>0,则下列不等式中总成立的是（）b b+1 A. a a 十1C. a+f>b+ 丄 b a3. 有以下四个条件:®b>O>a ； @0>a>b ； @a>O>b ；④a>b>0.其屮能使丄<£成立的有 __________ 个条件• a b答案：a b 1. C 解法一：Va>b, c 2+l>0,・••注解法二：令a=l, b=—2, c = 0,代入A 、C> D 中，可知A 、B 、D 均错.2. C 解法一：由 a>b>0 =^>0<-<7 =>a+：>b+丄. a bb a解法二：令a=2, b=l,排除A 、D,再令a=|, b=*,排除B.”厂 1 11 1 3. 解析：①Vb>0, A->0. Va<0, :-<Q. :-<7：- b a a b 证明：c<d<0 -c>-d>0a>b>0 a —c'b — d e<0 点评：本例是灵活运用不等式的性质.证明吋一定要推理有据，思路条理清晰.知能训练1-若a 、b. ceR, a>b,则下列不等式成立的是（） 11 - b < B. a 2>b 2a b c -?+T >7+TD. a.|c | >b | c | B. a+l>b+： a b 2a + b a D ，I+2b >b e >b T d e②Vb<a<0,・・・£>丄.b a— 1111(3)Va>0>b, A->0, -<0. /•->-a b a b厂、 1 1@Va>b>0, /.-<- a b课堂小结1.教师与学生共同完成本节的小结.从实数的基本性质与三条基本性质的回顾，到所有性质的推得, 推论的证明，以及例题的探究、变式训练等.真正温故知新，将本节课所学内容纳入已有的知识体系.2.教师进一步强调代数逻辑推理的方法要领，指出利用不等式的性质时容易忽略的地方，以及证明不等式时需要注意的问题.作业习题3—1A组4、5；习题3—1B组4.。
人教A版高中数学必修五3.1.2不等式的性质及应用.docx
数学·必修5(人教A 版)3.1 不等关系与不等式3．1.2 不等式的性质及应用►基础达标1．已知a ＞b ，判断下列不等式的正确性(对的打“√”，错的打“×”)：(1)1a ＜1b ( )(2)ac 2＞bc 2(c ≠0)( )(3)lg(a －b )＞0( )(4)a －c ＞b －c ( )解析：(1)取a ＝1，b ＝－2知1a ＞1b ，(1)错；(2)∵c ≠0，∴c 2＞0，又a ＞b ，∴ac 2＞bc 2.(2)对；(3)当a －b ∈(0,1]时，lg(a －b )≤0.(3)错；(4)∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－c )．(4)对．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√2．已知1a ＜1b ＜0，判断下列不等式的正确性(对的打“√”，错的打“×”)：(1)a 2＜b 2( )(2)ab ＜b 2( )(3)a b ＋b a ＞2( )(4)|a |＋|b |＞|a ＋b |( )解析：∵1a ＜1b ＜0，∴a ＜0，b ＜0且1a －1b ＜0，即b －a ab ＜0，∴b －a ＜0，即b ＜a ＜0.(1)由b ＜a ＜0⇒－b ＞－a ＞0⇒b 2＞a 2，(1)对；(2)由b ＜a ＜0，又b ＜0⇒b 2＞ab ，(2)对；(3)a b ＋b a －2＝a 2＋b 2－2ab ab＝(a －b )2ab ＞0，(3)对； (4)由a ＜0，b ＜0⇒|a ＋b |＝|a |＋|b |，(4)错．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×3．如下图，y ＝f (x )反映了某公司的销售收入y 与销量x 之间的函数关系，y ＝g (x )反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系．当销量x 满足下列哪个条件时，该公司盈利( )A ．x >aB ．x <aC ．x ≥aD ．0≤x ≤a解析：当x <a 时，f (x )<g (x )；当x ＝a 时，f (x )＝g (x )；当x >a 时，f (x )>g (x )，选A.答案：A4．若a ，b ，m ∈R ＋，a ＜b ，将a 克食盐加入b －a 克水中，所得溶液的盐的质量分数为P 1，将a ＋m 克食盐加入b －a 克水中，所得溶液的质量分数为P 2，对P 1 、P 2的大小判断正确的是( )A ．P 1＜P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1＞P 2D ．P 1与P 2大小不确定解析：P 1＝a (b －a )＋a ＝a b ，P 2＝a ＋m (b －a )＋a ＋m＝ a ＋m b ＋m ，P 1－P 2＝a b －a ＋m b ＋m ＝m (a －b )b (b ＋m )， 又∵a ＜b ，m ，a ，b ∈R ＋，∴P 1－P 2＜0，即P 1＜P 2.故选A.答案：A5．设x >1，－1<y <0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下：________.答案：y <－y <x►巩固提高6．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，把a ＋b,2ab ，2ab 中最大与最小者分别记为M 和m ，则( )A ．M ＝a ＋b ，m ＝2abB ．M ＝2ab ，m ＝2abC ．M ＝a ＋b ，m ＝2abD ．M ＝2ab ，m ＝2ab解析：a＋b－2ab＝(a－b)2≥0，∴a＋b≥2ab.又0＜a＜1,0＜b＜1，∴0＜ab＜1，∴ab＞ab.∴2ab＞2ab，∴M＝a＋b，m＝2ab.故选A.答案：A7．已知0＜a＜1,2＜b＜4，则b－2a的取值范围是________．解析：由0＜a＜1⇒0＜2a＜2⇒－2＜－2a＜0.又2＜b＜4，两式相加得：0＜b－2a＜4.答案：(0,4)8．已知x＞0，则x＋3－x＋2____x＋1－x(填“＞”“＜”或者“＝”)解析：x＋3－x＋2＝1x＋3＋x＋2，x＋1－x＝1x＋1＋x，又x＋3＋x＋2＞x＋1＋x＞0，∴1x＋3＋x＋2＜1x＋1＋x.答案：＜9．已知a＞b＞0，比较下列各组两式的大小：(1)a＋1b与b＋1a；(2)ab与2a＋ba＋2b.解析：(1)∵a＞b＞0 ，∴1b＞1a，∴a＋1b＞b＋1a.(2)∵2a ＋b a ＋2b －a b ＝b 2－a 2(a ＋2b )b ＝(b ＋a )(b －a )(a ＋2b )b＜0， ∴a b ＞2a ＋b a ＋2b.10．已知0＜x ＜1,0＜a ＜1，试比较|log a (1－x )|和|log a (1＋x )|的大小．解析：解法一：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝[log a (1－x )＋log a (1＋x )]·[log a (1－x )－log a (1＋x )]＝log a (1－x 2)log a 1－x 1＋x. ∵0＜1－x 2＜1,0＜1－x 1＋x＜1， ∴log a (1－x 2)log a 1－x 1＋x＞0. ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.解法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )log a (1＋x ) ＝|log 1＋x (1－x )| ＝－log 1＋x (1－x )＝log 1＋x 11－x＝log 1＋x 1＋x 1－x 2＝1－log 1＋x (1－x 2) ∵0＜1－x 2＜1,1＋x ＞1，∴log 1＋x (1－x 2)<0.∴1－log 1＋x (1－x 2)＞1.∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.解法三：∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1,1＜1＋x ＜2，∴log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0.∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)．∵0＜1－x 2＜1，且0＜a ＜1，∴log a (1－x 2)＞0.∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.1．作差比较中常用的变形手段有：通分、因式分解、配方等．比较含字母的量的大小时，若不能确定差的符号，可对字母进行分类讨论．2．对于某些多项式，可将条件中的式子当作一个整体，把待求式用整体表示出来，再用不等式的性质．3．证明不等式时，可结合条件先进行适当分析转化．。
人教B版高中数学必修五第三章不等式的性质.docx
高中数学学习材料唐玲出品3.1.2 不等式的性质 课时目标 1.掌握不等式的性质，明确各性质中结论成立的前提条件.2.利用不等式的性质判断不等式是否成立，以及对不等式进行等价变形．不等式的性质(1)性质1：a >b ⇔b ____a .(2)性质2：a >b ，b >c ⇒a ____c .(3)性质3：a >b ⇔a ＋c ____b ＋c .推论1：a ＋b >c ⇒a >____；推论2：a >b ，c >d ⇒a ＋c ____b ＋d .(4)性质4：a >b ，c >0⇒ac ____bc ；a >b ，c <0⇒ac ____bc .推论1：a >b >0，c >d >0⇒ac ____bd ；推论2：a >b >0⇒a n ____b n (n ∈N ＋，n >1)；推论3：a >b >0⇒n a ____n b (n ∈N ＋，n >1)．一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c | 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b>a C.a b >a >a b 2 D.a b >a b 2>a 3．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b4．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c5．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 26．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0二、填空题7．若角α、β满足－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围为________． 8．已知a >b >0，c <d <0，则b a －c 与a b －d的大小关系是________． 9．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 按从大到小的顺序排列为________．10．已知三个不等式：①ab >0；②c a >d b；③bc >ad .以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成______个正确命题．三、解答题11．若a >b (ab ≠0)，试比较1a 与1b的大小．12．已知f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．能力提升13.如图所示为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口A ，B ，C 的机动车辆数如图所示，图中x 1，x 2，x 3分别表示该时段单位时间通过路段AB ，BC ，CA 的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则( )A ．x 1>x 2>x 3B ．x 1>x 3>x 2C ．x 2>x 3>x 1D ．x 3>x 2>x 114．实数a ，b ，c ，d 满足下列条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .则将a ，b ，c ，d 按从小到大的顺序排列为____________．1．不等式的性质是不等式的基础，也是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确的理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化，才能正确的加以运用．2．不等式性质定理，有同向不等式相加，得同向不等式，并无相减；有均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除．3．1.2 不等式的性质答案知识梳理(1)< (2)> (3)> c －b > (4)> < > > >作业设计1．C [对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b，∴A 不成立； 对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴a c 2＋1>b c 2＋1恒成立， ∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．]2．D [取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >a b2>a .] 3．C [对于A ，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于C ，∵a <b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b； 对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b＝－1.] 4．D [因为a ＝log 54<1，log 53<log 54<1，b ＝(log 53)2<log 53，c ＝log 45>1，所以b <a <c .]5．A [由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .]6．D [由a >|b |得－a <b <a ，∴a ＋b >0，且a －b >0.∴b －a <0，A 错，D 对．a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b )[(a －b 2)2＋34b 2]∴a 3＋b 3>0，B 错．而a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )>0，∴C 错．]7．(－π，0)解析 ∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2. ∵－π2<α<π2，∴－π<α－β<π. ∵α<β，∴α－β<0，故－π<α－β<0.8.b a －c <a b －d解析 ∵c <d <0，∴－c >－d >0.∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.∴1b －d >1a －c >0，∵a >b >0. ∴a b －d >b a －c . 即b a －c <a b －d. 9．a >b >c解析 ∵a ＝log 3π>log 33＝1，∴a >1，∵b ＝log 23＝12log 23<12log 24＝1，∴b <1. c ＝log 32＝12log 32<1，∴a >b ，a >c . 又b ＝log 23＝12log 23>12， c ＝log 32＝12log 32<12， ∴b >c ，∴a >b >c .10．3解析 对②作等价变形：c a >d b bc －ad ab >0. 于是①②③，①③②，②③①都成立， ∴可组成3个正确命题．11．解 方法一 当ab >0时，1ab>0， ∴a ·1ab >b ·1ab ，∴1b >1a； 当ab <0时，1ab<0， ∴a ·1ab <b ·1ab ，∴1b <1a. 综上，当ab >0时，1a <1b； 当ab <0时，1a >1b.方法二 ∵1a －1b ＝b －a ab，a >b ，∴b －a <0. 当ab >0时，b －a ab <0，1a <1b； 当ab <0时，b －a ab >0，1a >1b. 综上，当ab >0时，1a <1b； 当ab <0时，1a >1b. 12．解 ∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， f (－2)＝4a －2b .∴f (－2)＝3(a －b )＋(a ＋b )＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.故f (－2)的取值范围为(5,10)．13．C [∵x 1＝50＋(x 3－55)＝x 3－x 3>x 1， x 2＝30＋(x 1－20)＝x 1＋x 2>x 1， x 3＝30＋(x 2－35)＝x 2－x 2>x 3， ∴x 2>x 3>x 1.]14．a <c <d <b解析 ∵a ＋d <b ＋c ，∴d －b <c －a ， ∵a ＋b ＝c ＋d ，∴b －d ＝c －a ， ∴d －b <b －d 且a －c <c －a .∴d <b ，a <c .又d >c ，∴a <c <d <b .。
新人教B版必修5高中数学第三章不等式3.1.2《不等式的性质》
例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：
（1）已知a>b，ab>0，求证：
1 a
1 b
；
证明：（1）因为ab>0，所以 1 0
ab
又因为a>b，所以 a 1 b 1
ab ab
即1 1
ba
因此 1 1
ab
பைடு நூலகம்
（2）已知a>b， c<d，求证：a－c>b－d；
比较实数的大小一般步骤： 作差－变形－判断符号
变形是关键： 1°变形常用手段:配方法，因式分解法 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几个平
方和；几个因式的积
一、不等式的几个基本概念
1．判断两个实数大小的方法
对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种
关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的方
4 f( 1 ) 1 , 1 f( 2 ) 5
求: f (3) 的取值范围.
解：因为f(x)=ax2－c,
所 以
f (1) a c
f
(2)
4a
c
解之得
a
c
1 [ f (2) f 3
1 f (2) 4
3
3
(1)] f (1)
所以f(3)=9a－c= 8 f (2) 5 f (1)
a－c>0 a>c.
这个性质也可以表示为c<b，b<a，则c<a. 这个性质是不等式的传递性。
性质3：如果a>b，则a+c>b+c. 证明：因为a>b，所以a－b>0， 因此(a+c)－(b+c)=a+c－b－c=a－b>0，
人教版高中数学必修五课件3.1 第2课时 不等式的性质3精选ppt课件
cd
所以ac>bd>0.
又因为cd>0，所以 >0.
所以ac· >bd· >0，
即 所以
a b0. dc
a b. dc
a
e
c2
＞e
bd2
.
a b. dc
a
1
c2
＜
b
1
d2
.
【补偿训练】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，
求证： P Q
【证明】因为c＜d＜0，所以-c＞-d＞0.
么方法？ 提示：需要用作商法，先比较 与1的大小关系，再由 不等式的性质得出P与Q的大小关系.
(a )ab， b
【解析】因为a>0，b>0，所以P>0，Q>0，
因为
=aa-b·bb-a= a≠b，
所以当aa>b>0时， P>Q. b
>1，a(-ab)>a 0b ，则
b
>1，于是
当 P>bQ>.a>0时，0<Px2x5， <1，a-b<0，则Qx3x4x2，>1，于是
(4)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加， 不等号方向不变，不能相减”. (5)性质6，7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为 正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式.
(6)性质7，8可并为函数y=xn(n>0)在(0，+∞)上递增. (7)性质1，3是单向推导，其他是“双向”推导.
Q
2.(变换条件、改变问法)本例条件改为已知a>0，且
a≠1，
试比较log0.5 与log2 的大小.
【解析】 2 Paa31a21 aa2a1， (1)当a>1时，a (a-1)>0，所以 Q
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第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第2课时不等式的性质与应用
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1
x ＜a 等价于( )
A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1a
B ．－1a ＜x ＜1b
C ．x ＜－1a 或x ＞1b
D ．x ＜－1b 或x ＞1
a
解析：由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＞1
a ；
(2)当x ＜0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1
b
.
综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b 或x ＞1
a .
答案：D
2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ＜b 2＜1 B ．log 12b ＜log 12a ＜0
C ．2b ＜2a ＜2
D ．a 2＜ab ＜1
答案：C
3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y 的取值范围是()
A．[－7，26] B．[－1，20]
C．[4，15] D．[1，15]
答案：B
4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是()
A．a3＜b3B．a2＜b2
C．(－a)3＜(－b)3D．(－a)2＜(－b)2
解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A.
答案：A
5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利()
A．x＞a B．x＜a
C．x≥a D．0≤x≤a
解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a 时，f(x)＞g(x)，故选A.
答案：A
二、填空题
6．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的序号是
________． 答案：②④
7．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π
3，则α－β的取值范围是
________．
答案：(－5
6
π，0)
8．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下________．
答案：y ＜－y ＜x 三、解答题
9．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，判断b a －c 与a
b －d 的大小．
解：因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，
所以－c ＞－d ＞0，所以a －c ＞b －d ＞0， 所以0＜1a －c ＜1
b －d
，
又因为a ＞b ＞0，所以b a －c ＜a
b －d
.
10．已知0＜x ＜1，0＜a ＜1，试比较|log a (1－x )|和 |log a (1＋x )|的大小．
解：法一：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝
[log a (1－x )＋log a (1＋x )]·[log a (1－x )－log a (1＋x )]＝log a (1－x )2
log a 1－x 1＋x
.
因为0＜1－x 2
＜1，0＜1－x
1＋x
＜1，
所以log a (1－x 2
)log a 1－x
1＋x
＞0.
所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.
法二：⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
log a （1－x ）log a （1＋x ）＝|log 1＋x (1－x )|＝ －log 1＋x (1－x )＝log 1＋x 1
1－x ＝
log 1＋x 1＋x 1－x 2＝1－log 1＋x (1－x 2
)． 因为0＜1－x 2＜1，1＋x ＞1， 所以log 1＋x (1－x 2)＜0. 所以1－log 1＋x (1－x 2)＞1. 所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|. 法三：因为0＜x ＜1，
所以0＜1－x ＜1，1＜1＋x ＜2， 所以log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0. 所以|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝ log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)． 因为0＜1－x 2＜1，且0＜a ＜1， 所以log a (1－x 2)＞0.
所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.
B 级 能力提升
1．对下列不等式的推论中： ①a ＞b ⇒c －a ＞c －b ； ②a ＞b ＋c ⇒(a －c )2＞b 2； ③a ＞b ⇒ac ＞bc ；
④a ＞b ＞c ＞0⇒(a －c )b ＞(b －c )b ；
⑤a ＞b ，1a ＞1
b ⇒a ＞0，b ＜0.
其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：A
2．若－2＜c ＜－1＜a ＜b ＜1，则(c －a )(a －b )的取值范围为________．
答案：(0，6)
3．若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，且1≤f (1)≤2；3≤f (2)≤4，求f (3)的取值范围．
解：由题意设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋c ，f （2）＝4a ＋c ，
所以⎩⎨⎧
a ＝f （2）－f （1）
3
，
c ＝4f （1）－f （2）3
，
而f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f （1）－f （2）
3＝
8f （2）－5f （1）
3，
因为1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4， 所以5≤5f (1)≤10，24≤8f (2)≤32， 所以－10≤－5f (1)≤－5， 所以14≤8f (2)－5f (1)≤27， 所以143≤8f （2）－5f （1）3≤9，
即14
3≤f (3)≤9.。