点集拓扑习题课
点集拓扑练习题及答案

点集拓扑练习题及答案点集拓扑练习题及答案点集拓扑练习题一、单项选择题(每题1分) 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案:③2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:②3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案:①4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案:④ 6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T ③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:③7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( ) ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案:④ 8、 已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案:④ 9、 已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( ) ①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:②10、已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:④ 11、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案:② 12、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案:④ 13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②14、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②15、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 0 ②1 ③2 ④3 答案:①16、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:③17、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④18、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②19、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是( ) ① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:① 20、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂是( ) ① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:④ 21、在实数空间中,整数集Z 的内部Z是( ) ① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:① 22、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂是( ) ① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:② 23、在实数空间中,区间[0,1)的边界是( ) ① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:③ 24、在实数空间中,区间[2,3)的边界是( ) ① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案:③25、在实数空间中,区间[0,1)的内部是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:④26、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X的子集,则下列关系中错误的是( ) ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A= 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B-=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①28、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、已知X是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( ) ① ()d A φ= ② ()d A X A =- ③ ()d A A = ④()d A X= 答案:①30、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是( ) ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =- ③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠答案:④ 31、已知X是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( ) ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X=③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A =答案:①32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是( )① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ②{X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案:①33、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑,则( )是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案:③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基. ① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案:② 35、离散空间的任一子集为( ) ① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:③ 36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:④ 37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案:② 38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A =( ) ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案:③ 39、在实数空间R 中,下列集合是闭集的是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案:① 40、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )① 整数集Z ② 有理数集 ③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z ' 答案:④ 41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案:④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有4个元素的拓扑有( )个 ① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) ①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案:③45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 是( ) ① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:③46、设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:② 47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ= ③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案:③ 48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ= ③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案:②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④{,,{1}}T X φ= 答案:① 51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ= ③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案:② 52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ= ③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案:④53、设R 是实数空间,Z 是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为( ) ① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案:② 54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,则1P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射,则2P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④ 56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射,则3P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④ 57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射,则4P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④ 58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射,则5P 是( )① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射,则6P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④ 60、设1X 和2X 是两个拓扑空间,12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,则有( ) ①A B A B ⨯≠⨯ ②A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂ 答案:② 61、有理数集Q 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案:①62、整数集Z 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案:① 63、无理数集是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( ) ①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集 答案:② 65、设12,X X 是平庸空间,则积空间12X X ⨯是( ) ① 离散空间 ② 不一定是平庸空间 ③ 平庸空间 ④ 不连通空间 答案:③ 66、设12,X X 是离散空间,则积空间12X X ⨯是( ) ① 离散空间 ② 不一定是离散空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案:① 67、设12,X X 是连通空间,则积空间12X X ⨯是( ) ① 离散空间 ② 不一定是连通空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案:④ 68、实数空间R 中的连通子集E 为( ) ① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对 答案:④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案:③70、实数空间R中的连通子集E为( )①开区间②闭区间③区间④区间或一点答案:④71、下列叙述中正确的个数为()(Ⅰ)单位圆周1S是连通的;(Ⅱ){0}R-是连通的(Ⅲ)2{(0,0)}R-是连通的(Ⅳ)2R和R同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②72、实数空间R( )①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③73、整数集Z作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③74、有理数集Q作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③75、无理数集作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③76、正整数集Z+作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案:③78、2维欧氏间空间2R ( ) ① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案:③79、3维欧氏间空间3R ( ) ① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案:③ 80、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 平庸性 ② 连通性 ③ 离散性 ④ 第一可数性公理 答案:②81、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( ) ① 第一可数性公理 ② 连通性 ③ 第二可数性公理 ④ 平庸性 答案:② 82、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 第一可数性公 ② 可分性 ③ 第二可数性公理 ④ 离散性 答案:② 83、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( ) ① 平庸性 ② 可分性 ③ 离散性 ④ 第二可数性公理 答案:②84、设X 是一个拓扑空间,若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:①85、设{1,2}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:①86、设{1,2}X =,{,,{2}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间 答案:①87、设{1,2,3}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:④88、设{1,2,3}X =,{,,{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:④89、设{1,2,3}X =,{,,{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:④90、设{1,2,3}X =,{,,{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:④91、设{1,2,3}X =,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:① 92、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个单点集都是闭集, 则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案:③ 93、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个有限子集都是闭集, 则X 是( ) ①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案:③ 94、设X 是一个拓扑空间,若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ,都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( ) ①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案:① 95、设X 是一个拓扑空间,若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ,都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案:②96、设{1,23}X =,,{,,{1},{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间 答案:④97、设{1,23}X =,,{,,{2},{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间 答案:④98、设{1,23}X =,,{,,{3},{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间 答案:④99、设{1,23}X =,,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案:④100、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案:④101、设{1,23}X =,,{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案:④ 102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个( )① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间 答案:③ 103、紧致空间中的每一个闭子集都是( )① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对 答案:③ 104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是( ) ① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案:③ 105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是( ) ① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案:③ 106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是( ) ① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集 答案:②107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案:② 108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案:② 109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集,则X 是( )① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间 答案:①二、填空题(每题1分)1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ= 3同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________.答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ;答案:X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则A = ;答案:X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ;答案:X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则A = ;答案:X 10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{1} 12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ= 15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ= 16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;答案:{1} 18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,若它是一个单射,并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,则称映射f 是一个 .答案:嵌入 19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 是一个 ;答案:商映射 20、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集,则称映射f 是一个 ;答案:开映射 21、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集,则称映射f 是一个 ;答案:闭映射 22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间 23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间 24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个 ;答案:不连通空间 25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个 ; 答案:连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,则称这个性质是一个 ;答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个 ;答案:可商性质 28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ,则性质P 称为 ; 答案:有限可积性质 29、设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ;答案:不连通空间. 30、若12,X X 满足第一可数性公理,则积空间12X X ⨯满足 ;答案:第一可数性公理31、若12,X X 满足第二可数性公理,则积空间12X X ⨯也满足 ;答案:第二可数性公理32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案:可遗传性质 33、设D 是拓扑空间X 的一个子集,且D X =,则称D 是X 的一个 ;答案:稠密子集 34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集,则称X 是一个 ;答案:可分空间 35、设X 是一个拓扑空间,如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖,则称X 是一个 ;答案:Lindel Öff 空间 36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案:对于开子空间可遗传性质 37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案:对于闭子空间可遗传性质38、设X 是一个拓扑空间,如果 则称X 是一个0T 空间; 答案:X 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点39、设X 是一个拓扑空间,如果则称X 是一个1T 空间; 答案:X 中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点 40、设X 是一个拓扑空间,如果 则称X 是一个2T 空间; 答案:X 中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交41、正则的1T 空间称为 ;答案:3T 空间 42、正规的1T 空间称为 ;答案:4T 空间43、完全正则的1T 空间称为 ;答案: 3.5T 空间或Tychonoff 空间44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个 . 答案:紧致空间 45、设X 是一个拓扑空间,Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间,则称Y 是拓扑空间X 的一个 .答案:紧致子集46、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个 .答案:可数紧致空间47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间X 是一个 .答案:列紧空间48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X 是一个 .答案:序列紧致空间三.判断(每题4分,判断1分,理由3分) 1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂; (2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2; (3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑. 3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )答案:√ 理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )答案:×理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠. 6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )答案:√ 理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√ 理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂= 从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=. 8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )案:√ 理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 满足第一可数性公理( )答案:√理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理,B 是它的一个可数基,对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基,它是B 的一个子族所以是可数族,从而X 在点x 处有可数邻域基,故X 满 足第一可数性公理. 10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理( )答案:√理由:由于X 满足第二可数性公理,所以它有一个可数基B ,因为Y 是X 的子空间,则{|}B| B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基,从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理. 11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理( )答案:√理由:由于X 满足第一可数性公理,所以对x Y ∀∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ,因为Y 是X 的子空间,则{|}V | V x Y x V Y V =⋂∈是Y 在点x 的一个可数邻域基,从而X 的子空间Y 也满足第一可数性公理. 12、设{1,2,3}X =,{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ,则(,)X T 是3T 空间.( )答案:×理由:因为{1,3}是X 的一个闭集,对于点2和{1,3}没有各自的开邻域互不相交,所以X 不是正则空间,从而不是3T 空间. 注:也可以说明X 不是1T 空间. 13、设{1,2,3}X =,{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=,则(,)X T 是3T 空间.( )答案:× 理由:因为{2,3}是X 的一个闭集,对于点1和{2,3}没有各自的开邻域互不相交,所以X 不是正则空间,从而不是3T 空间.注:也可以说明X 不是1T 空间.14、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是1T 空间.( )答案:×理由:因为对于点1和点2,2没有开邻域不包含1,从而X 不是1T 空间. 注:也可以考虑点2和点3.15、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是4T 空间.( )答案:×理由:因为对于点1和点2,2没有开邻域不包含1,从而X 不是1T 空间.故(,)X T 是4T 空间. 注:也可以考虑点2和点3.16、3T 空间一定是2T 空间.( )答案:√ 理由:因为3T 空间是正则的1T 空间,所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈,{}y 是X 中的闭集,由于X 是正则空间,从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ⋂=,所以X 是2T 空间. 17、4T 空间一定是3T 空间.( )答案:√ 理由:因为4T 空间是正规的1T 空间,所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ,由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间,故存在{},x A 的开邻域,U V 使得U V φ⋂=,这说明X 是正则空间,因此X 是3T 空间. 18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集,则A B ⋃是一个紧致子集.( )答案:√理由:设A 是一个由X 中的开集构成的A B ⋃的覆盖,由于A 和B 都是X 的紧致子集,从而存在A 的有限子族 A 1 A 2 分别是A 和B 的覆盖,故12⋃A A 是A 的有限子族且覆盖A B ⋃,所以A B ⋃是紧致子集. 19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案:√理由:设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集,则对于任何x X ∈,若x A ∉,则易知x 不是A 的凝聚点,因此A A =,从而A 是一个闭集. 四.名词解释(每题2分) 1.同胚映射 答案:设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射,并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射,则称f 是一个同胚映射或同胚. 2、集合A 的内点 答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.如果A 是点x X ∈的一个邻域,则称点x 是集合A 的一个内点.3、集合A 的内部 答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.4.拓扑空间(,)T X 的基 答案:设(,)T X 是一个拓扑空间,B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B 中的某些元素的并,则称B 是拓扑T 的一个基.5.闭包 答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.集合A 与集合A 的导集()d A 的并()A d A ⋃称为集合A 的闭包. 6、序列 答案:设X 是一个拓扑空间,每一个映射:S Z X +→叫做X 中的一个序列. 7、导集 答案:设X 是一个拓扑空间,集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.8、不连通空间 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间. 9、连通子集 答案:设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间,则称Y 是X 的一个连通子集.10、不连通子集 答案:设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个不连通空间,则称Y 是X 的一个不连通子集.11、1 A 空间 答案:一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基,则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间,简称为1 A 空间.12、2 A 空间 答案:一个拓扑空间如果有一个可数基,则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间,简称为2 A 空间. 13、可分空间 答案:如果拓扑空间X 有一个可数稠密子集,则称X 是一个可分空间. 14、0T 空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X 是0T 空间. 15、1T 空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X 是1T 空间.16、2T 空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交,则称拓扑空间X 是2T 空间. 17、正则空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X 是正则空间. 18、正规空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X 是正规空间. 19、完全正则空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果对于x X ∀∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集B 存在一个连续映射:[0,1]f X →使得()0f x =以及对于任何y B ∈有()1f y =,则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.20、紧致空间 答案:设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个紧致空间. 21、紧致子集 答案:设X 是一个拓扑空间,Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间,则称Y 是拓扑空间X 的一个紧致子集.22、可数紧致空间 答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间.23、列紧空间 答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间X 是一个列紧空间.24、序列紧致空间 答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X 是一个序列紧致空间.五.简答题(每题4分) 1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂. 答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂. 2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z →也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集,所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集.答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集. 答案:设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集. 5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T. 答案:]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T 6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T. 答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=-- 8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T. 答案:{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:。
河北师大点集拓扑课件32

河北师大点集拓扑课件 32一、教学内容本节课我们将使用河北师大点集拓扑教材第四章“拓扑空间的基本概念”进行教学。
详细内容涉及拓扑空间的定义、拓扑性质、以及基于集合的拓扑运算。
二、教学目标1. 让学生理解并掌握拓扑空间的基本概念及其性质。
2. 培养学生运用集合拓扑运算,解决实际问题的能力。
3. 培养学生的抽象思维能力和空间想象能力。
三、教学难点与重点教学难点:拓扑空间的定义以及拓扑性质的理解。
教学重点:拓扑空间的构造以及集合的拓扑运算。
四、教具与学具准备1. 教具:多媒体教学设备,PPT课件。
2. 学具:笔记本,教材,文具。
五、教学过程1. 导入:通过展示一些日常生活中的拓扑现象,如拉面、橡胶膜等,引起学生对拓扑学的兴趣。
2. 知识讲解:a. 介绍拓扑空间的定义,解释拓扑性质。
b. 通过例题讲解,让学生了解拓扑空间的构造方法。
c. 讲解集合的拓扑运算,如并集、交集、补集等。
3. 随堂练习:让学生完成一些有关拓扑空间的练习题,巩固所学知识。
六、板书设计1. 拓扑空间的定义2. 拓扑性质3. 集合的拓扑运算并集交集补集七、作业设计1. 作业题目:a. 解释拓扑空间的定义及其性质。
b. 列举三个日常生活中的拓扑现象,并简要说明其拓扑特性。
c. 给出两个集合,求它们的并集、交集和补集。
2. 答案:a. 略b. 略c. 略八、课后反思及拓展延伸1. 反思:本节课学生对拓扑空间的概念和性质掌握程度,以及集合的拓扑运算是否熟练。
2. 拓展延伸:鼓励学生阅读教材相关章节,深入了解拓扑学在其他领域的应用,如物理学、计算机科学等。
重点和难点解析一、教学内容的重点和难点1. 重点:拓扑空间的定义、拓扑性质、集合的拓扑运算。
难点:拓扑性质的理解和运用。
补充和说明:拓扑空间的定义是理解拓扑学的基础,需要重点讲解。
在定义中,强调拓扑空间由一个集合及其上的一个拓扑结构组成,拓扑结构由集合的开放集族构成。
拓扑性质包括连通性、紧致性、可分性等,这些性质在实际问题中有着广泛的应用,应结合实例进行详细讲解。
河北师大点集拓扑课件 3.1
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(ii) 若A, B T|Y,即存在 A1, B1 T
使得 A A1 Y , B B1 Y
于是 A B ( A1 B1) Y
由于 A1 B1 T ,故 A B T|Y .
(iii) 若 T 1 是集族 T|Y 的一个子集族,
即对于每一个
A
T
,存在
1
A1
使得 A A1 Y. 因此
(2) 分别记 F 和 F 为X 和Y 的全体闭集 构成的族,则 F F |Y .
(3) 分别记Uy和Uy为点 y 在 X 和 Y 中的 邻域系,则 Uy Uy |Y .
证明: (1) 由子空间的定义显然;
(2) F|Y {X U | U T } |Y {(X U ) Y |U T } {Y U Y |U T } {Y U |U T } F
(3) 若 U U y ,则存在 V T 使得
y V U . 因此有 V1 T ,使
得 V V1 Y .令 U1 V1 U .
由于 y V1 U1, 从而U1 U y
且有U1 Y (V1 U ) Y V U U
这样有U U y |Y , 故 Uy Uy |Y
一个邻域 U ,使得 V U Y .
因为U (A {y}) ,V (A {y}) Y
从而 V (A {y}) (U (A {y})) Y U (A {y})
故 y dY ( A) . 因此 dY ( A) dX ( A) Y
(2) cY ( A) A dY ( A) A (dX ( A) Y ) (A dX (A)) ( A Y ) AY
n1
, xn1) Rn1 | xi2 1}
河北师大点集拓扑优质课件1[1]0
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河北师大点集拓扑优质课件 1[1]0一、教学内容本节课我们将学习《点集拓扑》教材的第一章“拓扑空间与连续性”的第3节“紧致性”。
具体内容包括:理解紧致性的概念、探讨紧致空间的性质、掌握闭区间上的连续函数的属性以及探讨紧致性与有限覆盖定理之间的关系。
二、教学目标1. 让学生理解并掌握紧致性的定义,能够识别常见的紧致空间。
2. 培养学生运用紧致性解决实际问题的能力,理解紧致性在拓扑空间中的重要性。
3. 让学生掌握闭区间上连续函数的性质,并能运用这些性质解决相关问题。
三、教学难点与重点重点:紧致性的定义及性质,闭区间上连续函数的性质。
难点:理解紧致性与其他拓扑性质之间的关系,运用紧致性解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具:PPT课件、黑板、粉笔。
2. 学具:教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入:通过展示地球仪上的紧致集合(如大陆),引导学生思考紧致性在实际生活中的应用。
2. 知识讲解:(1) 紧致性的定义:介绍紧致性的概念,通过示例让学生理解并掌握紧致集合的特点。
(2) 紧致空间的性质:讲解紧致空间的性质,如闭集、有限覆盖定理等。
(3) 闭区间上连续函数的性质:介绍闭区间上连续函数的性质,如有界性、最大值最小值定理等。
3. 例题讲解:讲解典型例题,引导学生运用所学知识解决实际问题。
4. 随堂练习:布置相关练习题,让学生巩固所学知识。
六、板书设计1. 紧致性的定义2. 紧致空间的性质3. 闭区间上连续函数的性质4. 典型例题及解题方法七、作业设计1. 作业题目:(2) 设f(x)在闭区间[0,1]上连续,证明f(x)在[0,1]上有界。
2. 答案:(1) A为紧致集合,B不为紧致集合。
(2) 证明:由于闭区间[0,1]为紧致集合,根据闭区间上连续函数的性质,f(x)在[0,1]上有界。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思:本节课学生对紧致性的理解程度,以及对闭区间上连续函数性质的掌握情况。
河北师大点集拓扑课件1

2.1拓扑空间的定义及性质。
2.2开集、闭集的定义及性质,例题讲解。
2.3连续映射的概念及判断方法,例题讲解。
3.随堂练习:针对每个知识点,设计相应的练习题,让学生及时巩固所学内容。
4.课堂小结:总结本节课所学知识点,强调重点和难点。
5.课后作业布置:布置相关习题,巩固所学知识。
六、板书设计
2.知识讲解(25分钟):详细讲解拓扑空间、开集、闭集、连续映射等概念和性质。
3.例题讲解(15分钟):结合具体例题,引导学生运用所学知识解决问题。
4.随堂练习(10分钟):设计针对性的练习题,让学生及时巩固所学知识。
5.课堂小结(5分钟):总结本节课的重点和难点,强调注意事项。
三、课堂提问
1.在讲解过程中,适时提问,了解学生对知识点的掌握情况。
2.课堂时间分配是否合理?是否需要调整讲解和练习的时间比例?
3.课堂提问的效果如何?是否需要增加提问的频次和深度?
4.情景导入是否吸引学生的兴趣?是否需要寻找更多有趣的例子?
5.学生对连续映射的判断方法是否熟练?是否需要增加相关例题和练习题?
6.整体教学效果如何?是否存在需要改进的地方?如何调整教学策略以提高教学效果?
3.习题3:判断给定映射是否连续。
答案:根据连续映射的定义,分析映射在开集上的性质。
八、课后反思及拓展延伸
1.反思:本节课的教学效果,学生的掌握程度,对重难点的理解。
2.拓展延伸:
2.1研究更一般的拓扑空间,如度量空间、赋范线性空间等。
2.2探讨不同拓扑空间的性质,如紧性、可分性等。
2.3学习高级拓扑学概念,如同伦、同调等。
2.闭集:集合的补集是开集。
关于开集和闭集的性质,有以下几点需要重点关注:
点集拓扑第三章答案

第三章 子空间,(有限)积空间,商空间3.1子空间1. 证明:(1) 实数空间R 同胚于任何一个开区间;(2) n 维欧氏空间nR 同胚于其中的任何一个开方体, 也同胚于其中的任何一个球形邻域.证明: (1) 设(),αβ是R 的非空开区间. 情形一: ,αβ为有限数. 令()()11:,,.h h x x xαβαβ→=+--R> 用数学分析的方法可验证是从(),αβ到R 的同胚. 情形二:α=-∞, β∈R . 取(),c αβ∈. 令()()(),;:,,,.x x c h h x x c c c x x αβββββ≤⎧⎪→=--⎨-+<<⎪-⎩R> 用数学分析的方法可验证是从(),αβ到R 的同胚.情形三: α∈R , β=+∞. 取(),c αβ∈. 令()(),;:,,,.c x c x c h h x xx x c ααβα-⎧+<≤⎪→=-⎨⎪>⎩R> 用数学分析的方法可验证是从(),αβ到R 的同胚. 情形四: (),αβ=R . 结论显然成立.(2) 设()1,i ii n αβ≤≤∏是nR 中的方体. 取从(),i i αβ到R 的同胚i h , 1i n ≤≤. 则11i n i n h h h h ≤≤=⨯⨯∏ 是从()1,i i i n αβ≤≤∏到n R 的同胚. (定理: :i i i f X Y →连续,1,,i n = ⇒1111:i n i i i n i n i n f f f f X Y ≤≤≤≤≤≤=⨯⨯→∏∏∏ 连续, 其中()()()()1111,,n n n n f f x x f x f x ⨯⨯= .)设()(){}2211,|n n i i i n K x x x c r ≤≤=∈-<∑ R 是n R 中的开球. 则()()()11112211:,,,,n n n n i i i n h K h x x x c x c r x c ≤≤→=--⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ R是从K 到nR 的同胚.2. 如果Y 是拓扑空间X 的一个开(闭)子集, 则Y 作为X 的子空间时特别称为X 的开(闭)子空间. 证明:(1) 如果Y 是拓扑空间X 的一个开子空间, 则A Y ⊂是Y 中的一个开集当且仅当A 是X 中的一个开集;(2) 如果Y 是拓扑空间X 的一个闭子空间, 则A Y ⊂是Y 中的一个闭集当且仅当A 是X 中的一个闭集.证明: (1) 设Y 是拓扑空间X 的开子空间, 即Y 是X 的开子集. 若A Y ⊂是Y 的开子集, 由定理3.1.5, (1), 存在X 的开子集U 使得A U Y =⋂. 因为Y 也是X 的开子集, 故A 是X 的开子集. 反之, 若A Y ⊂是X 的开子集, 则A A Y =⋂是Y 的开集.(2) 设Y 是拓扑空间X 的闭子空间, 即Y 是X 的闭子集. 若A Y ⊂是Y 的闭子集, 由定理3.1.5, (2), 存在X 的闭子集F 使得A F Y =⋂. 因为Y 也是X 的闭子集, 故A 是X 的闭子集. 反之, 若A Y ⊂是X 的闭子集, 则A A Y =⋂是Y 的闭集.3. 设Y 是拓扑空间X 的一个子空间, A Y ⊂. 证明:(1) int ()int ()int ()X Y X A A Y =⋂;(2) ()()Y X A A Y ∂⊂∂⋂, 并举例说明等式可以不成立.其中int X 和int Y 分别表示在拓扑空间X 和Y 中求集合的内部; X ∂和Y ∂分别表示在拓扑空间X 和Y 中求集合的边界.证明: (1) 设()int X a A ∈. 则存在X 的开集O 使得a O A Y ∈⊂⊂. 由于O O Y =⋂,O 是Y 的开集, 从而()i n t Y a A ∈. 由a O Y ∈⊂得()int X a Y ∈. 故int ()int ()Y X a A Y ∈⋂. 反之, 设int ()int ()Y X a A Y ∈⋂. 由int ()X a Y ∈, 存在X 的开集1O 使得1a O Y ∈⊂. 由int ()Y a A ∈, 存在X 的开集2O 使得2a O Y A∈⋂⊂. 令12O O O =⋂. 则O 为X 的开集且a O A ∈⊂, 即有i n t ()X a A ∈. 综上得int ()int ()int ()X Y X A A Y =⋂.(2) 设()Y b A ∈∂. 则b Y ∈. 假设()X b A ∉∂. 则存在b 在X 的开邻域O 使得O A ⊂或O X A ⊂-. 若O A ⊂, 则O Y ⋂是b 在Y 中的开邻域且O Y A ⋂⊂. 这与()Y b A ∈∂矛盾. 若O X A ⊂-, 则O Y ⋂是b 在Y 中的开邻域且O Y A ⋂⋂=∅. 亦与()Y b A ∈∂矛盾. 于是()X b A Y ∈∂⋂. 故()()Y X A A Y ∂⊂∂⋂.令{}1,2,3X =, 其上拓扑为{}{}{}{},1,2,3,1,2,3∅; {}1,2Y =; {}2A =. 可验证2()X A Y ∈∂⋂, 2()Y A ∉∂. ()()Y X A A Y ∂≠∂⋂.4. 设Y 是拓扑空间X 的一个子空间, y Y ∈.证明: (1) 如果S 是X 的一个子基, 则|Y S是Y 的一个子基;(2) 如果yW 是点y 在X 中的一个邻域子基, 则|y YW 是点y 在Y 中的一个邻域子基.证明: 设S 是X 的一个子基, 则12{|,1,2.}n i S S S S i n =⋂⋂∈= BS 为X的基, 则1212|{|,1,2,.}{|,|,1,2,.}Y n i n i i i Y S S S Y S i n T T T T S Y T i n =⋂⋂⋂⋂∈==⋂⋂=⋂∈= B S S为Y 的基, 所以|Y S 为Y 的子基.(2) 设yW是点y 在X 中的一个邻域子基, 则1212|{||,1,2,.}{||,1,2,.}y n i n i W W W Y W y i n W W W W y i n =⋂⋂⋂∈==⋂⋂∈= V WW为y Y ∈在Y 中的邻域基, 所以|y YW是点y 在Y 中的一个邻域子基.5. 设(,)X T和1(,)Y T 的两个拓扑空间,并且Y X ⊂.证明:(1) 如果1(,)Y T 是(,)X T的一个子空间, 则内射:i Y X →是一个连续映射;(2) 如果内射:i Y X →是一个连续映射, 则1|Y ⊃T T.因此我们说: 相对拓扑是使内射连续的最小的拓扑. 证明: 设U ∈T, 则11()i U U Y -=⋂∈T, 故内射:i Y X →是一个连续映射;(2) 对于任意的|Y V ∈T , 存在U ∈T, 使得V U Y =⋂, 因为:i Y X →是一个连续映射, 对于U ∈T, 11()i U U Y V -=⋂=∈T, 因此1|Y ⊃TT.6. 设X 和Y 是两个拓扑空间. 证明映射:f X Y →是一个连续映射当且仅当:()f X f X →是一个连续映射.(这两个映射为何使用同一个符号, 请参见正文中的有关说明.)证明: 设:f X Y →是一个连续映射, 因为()f X 为Y 的子空间, 设U 是()f X 的开集, 则存在Y 的开集B , 使得()U B f X =⋂.1111()(())()()f U f B f X f B X f B ----=⋂=⋂=是X的开集, 所以:()f X f X →是一个连续映射.反之, 设:()f X f X →是一个连续映射, 因为()f X 为Y 的子空间, 设V 是Y 的开集. ()V f X ⋂为()f X 的开集, 而11(())()f V f X f V --⋂=为X 中的开集, 所以:f X Y →是一个连续映射7. 设X 和Y 是两个拓扑空间, A 是X 中的一个子集. 证明: 如果映射:f X Y →连续, 则映射|:A f A Y →也连续.证明: 因为内设 :i A X →是一个连续映射, 映射:f X Y →连续, 所以|A f f i = 是一个连续映射.8. 设X 和Y 是两个拓扑空间, A 是X 中的一个子集. 证明:(1) 如果映射:f X Y →是一个同胚, 则映射|:()A f A f A →也是一个同胚; (2) 如果X 可嵌入Y , 则X 的任何一个子空间也可嵌入Y .证明: 因为映射:f X Y →是一个同胚, 则映射|:()A f A f A →是在上的一一映射, 由第6题知, 映射|:()A f A f A →连续. 下证1(|):()A f f A A -→连续, 设V 是A 的开集,则存在开集U X ⊂, 使得V U A =⋂, 则()1111((|))()|()()()()()()()A A f V f V f V f U A f U f A fU f A ----===⋂=⋂=⋂由于f 是连续映射, 因此 ()11()f U --是Y 中的开集, 11((|))()A f V --是()f A 的开集.(2) 是 (1)的直接推论.9. 在集合2R 中给定一个子集族{[,)[,)|,,,,,}a b c d a b c d a b c d =⨯∈<<R S .验证2R 有惟一的一个拓扑T 以S为它的一个子基. 令2{(,)|1}A x y x y =∈+=R .问A 作为拓扑空间2(,)R T的一个子空间时有什么特点? (提示:证明拓扑空间(,|)A A T是一个离散空间.)10. 证明: 如果X 是一个只含可数个点的拓扑空间, 则存在一个满的连续映射:f X →Q . 其中Q 是由所有有理数构成的实数空间R 的子空间.11. 回答一下问题并给出必要的证明: (1) 有限补空间何时可嵌入可数补空间? (2) 可数补空间何时可嵌入有限补空间?3.2 (有限)积空间1. 设(,)X ρ是一个度量空间, 证明映射:X X ρ⨯→R 是一个连续映射.证明: 任取R 得开子集V . ()1U V ρ-. 若U =∅, 则为X X ⨯的开子集. 设U ≠∅. 任取()12,x x U ∈. 则()12,r x x V ρ∈ . 取0ε>使得(),r r V εε-+⊂. 对任意()()()1212,,/2,/2y y B x B x εε∈⨯, 利用三角不等式可得()()()()()()()12112212121122,,,,,,,.x x x y x y y y x x x y x y ρρρρρρρ--≤≤++即有()12,r y y r ερε-<<+, ()12,y y V ρ∈. 这样()()12,/2,/2B x B x U εε⨯⊂,()12,x x 是U 的内点. U 是开集. 所以ρ连续.2. 设11(,)X ρ和22(,)X ρ是两个度量空间, 定义121212,:()()d d X X X X ⨯⨯⨯→R ,使得对于任何12(,)x x x =, 12(,)y y y =12X X ∈⨯,11112222111222(,)(,)(,);(,)max{(,),(,)}.d x y x y x y d x y x y x y ρρρρ=+=(1) 验证1d 和2d 都是12X X ⨯的度量;(2) 证明12X X ⨯的度量1d , 2d 和ρ是等价的度量, 其中ρ是积度量.证明: (1) 显然1d 和2d 都满足度量的条件(1), (2). 下面证明它们满足三角不等式. 设()()()12121212,,,,,x x x y y y z z z X X ===∈⨯.()()()()()()()()()()()()()()()111122211111122222211122211122211,,,,,,,,,,,,,.d x y x y x y x z z y x z z y x z x z z y z y d x z d z y ρρρρρρρρρρ=+≤+++=+++=+()()(){}()()()(){}()(){}()(){}()()211122211111122222211122211122222,max ,,,max ,,,,,max ,,,max ,,,,,.d x y x y x y x z z y x z z y x z x z z y z y d x z d z y ρρρρρρρρρρ=≤++≤+=+故, 1d , 2d 是12X X ⨯的度量. 其次证明证明1d , 2d 和ρ等价.()()()22,,2,.d x y x y d x y ρ≤≤(1)设U 为()12,X X ρ⨯中的开集, 即对任意x U ∈, 存在0ε>, 使(),B x U ρε⊂, 其中(),B x ρε表示度量空间()12,X X ρ⨯中x 的ε-邻域.由(1)右边不等式, ()2,/2d B x U ε⊂. 即见U 是()122,X X d ⨯中的开集.反之, 设U 是()122,X X d ⨯中的开集, 即对任意x U ∈, 存在0ε>, 使()2,d B x U ε⊂. 由(1)左边不等式, (),B x U ρε⊂. 即见U 是()12,X X ρ⨯中的开集.因此, ()122,X X d ⨯和()12,X X ρ⨯有相同的开集, 2d 和ρ等价. 又()()()1,,2,x y d x y x y ρρ≤≤(2)利用此不等式, 仿上可证()121,X X d ⨯和()12,X X ρ⨯有相同的开集. 从而1d 和ρ等价.图形略.3. 将习题2中的结论推广到n 个度量空间的积空间中去.设(,)i i X ρ为度量空间, 1,2,,i n = 定义:121212,:()()n n d d X X X X X X ⨯⨯⨯⨯⨯→ 使得对于任意的12(,,)n x x x x = 1212(,,)()n n y y y y X X X =∈⨯⨯ , 定义:11112222111222(,)(,)(,)max{(,),(,),(,)}n n n n n d x y x y x y d x y x y x y ρρρρρρ=++=则12,d d 是12n X X X ⨯⨯ 的度量, 12,,d d ρ是等价的度量.4. 设1X 和2X 是两个拓扑空间, 12X X ⨯是它们的积空间, 证明对于任何1A X ⊂和2B X ⊂有(1) A B A B ⨯=⨯; (2) ()oooA B A B ⨯=⨯;(3) ()(())(())A B A B A B ∂⨯=∂⨯⋃⨯∂.(注意, 尽管这里在三个不同的空间中求集合的闭包, 内部和边界使用的记号分别相同, 但并不至于发生混淆.)证明: 设12(,)x x x A B =∈⨯, 对于任意的开邻域12,,x x x U V U V ∈∈⨯∈U UU , 从而()()()()U V A B U A V B ⨯⋂⨯=⋂⨯⋂≠Φ即,,U A V B ⋂≠Φ⋂≠Φ 则12,,x A x B ∈∈ 故 12(,)x x x A B =∈⨯, A B A B ⨯⊂⨯. 反之, 设 12(,)x x x A B =∈⨯, 则12,x A x B ∈∈对于任意的开邻域xW ∈U, 存在12,x x U V ∈∈U U 使得W U=⨯, 由于,U A V B ⋂≠Φ⋂≠Φ, 则()()U A V B ⋂⨯⋂≠Φ 所以x A B ∈⨯, 故,A B A B ⨯⊂⨯ 因此.A B A B ⨯=⨯5. 设1X 和2X 是两个拓扑空间, 1A 和2A 分别是1X 和2X 的子空间, 证明12A A ⨯作为积空间的拓扑与12A A ⨯作为积空间12X X ⨯的子空间的拓扑两者相同.6. 设1X ,2X 和3X 都是拓扑空间, 证明: (1) 积空间12X X ⨯同胚于积空间21X X ⨯;(2) 积空间123()X X X ⨯⨯同胚于积空间123()X X X ⨯⨯; (3) 存在一个拓扑空间Y 使得积空间1X Y ⨯同胚于1X ;(4) 如果1X ≠∅并且积空间12X X ⨯同胚于积空间13X X ⨯, 则2X 同胚于3X . 7. 证明§3.1习题9中定义的拓扑空间2(,)R T 是两个实数下限拓扑空间l R (参见例2.6.1)的积空间.3.3 商空间1. 证明: 离散空间(平庸空间)的任何一个商空间都是离散空间(平庸空间).证明: 设X 离散, 即X 的任一子集为开集. 设R 是X 的任一等价关系. 任取/A X R ⊂. 则()1p A -为X 的开子集, A 为商空间/X R 中的开集. 由/A X R ⊂的任意性, /X R 为离散空间.设(),X T平庸, 即{},X =∅T. 设R 是X 的任一等价关系. 若A 是/X R 的非空真子集, 则()1pA -为X 的非空真子集, ()1p A -∉T, 从而RA ∉T. 所以{},/RX R =∅T. /X R 为平庸空间.2. 设X , Y 和Z 都是拓扑空间. 证明: 如果:f X Y →和:g Y Z →都是商映射, 则:g f X Z → 也是商映射.证明: 因为:f X Y →和:g Y Z →都是满射, 所以:g f X Z → 也是满射. 若W 是Z 的开子集, 由g f 的连续性, ()()1g f W - 是X 的开子集. 若WZ ⊂不是Z 的开子集,由:g Y Z →是商映射, ()1g W -不是Y 的开子集. 进而, 由:f X Y →是商映射,()()11f g W --不是X 的开子集, 即()()1g f W - 不是X 的开子集. 于是, W 是Z 的开子集当且仅当()()1g fW - 是X 的开子集. 所以,:g f X Z → 是商映射.3. 定义映射1:p S →R , 使得对于任何t ∈R 有1()(cos(2),sin(2))p t t t S ππ=∈. 证明p 是一个商映射. (提示:事实上p 是一个开映射.)证明. 令1S 的度量ρ为2R 上的通常度量诱导而来. 由于()()()()()()()()122212(),(cos 2cos 2sin 2sin 2)21cos 222|sin |2||,p x p y x y x y x y x y x y ρππππππππ=-+-=--=-≤-p 为连续映射. p 显然是满射. 由定理3.3.3, 为证p 是商映射, 只需验证p 是开映射.设U 为R 的开子集. 任取x U ∈. 存在01/2ε<<使得(),x x U εε-+⊂.()(),C p x x εε-+ . 对任意1w S C ∈-, 取y ∈R 满足()p y w =以及||1/x y ε≤-≤.则()()()(),2|sin |2sin p x p y x y ρππε=-≥.从而()()(),2s in B p x p U πε⊂, ()px 为()p U 的内点. 由x U ∈得任意性, ()p U 为1S 的开子集.4. 定义映射21:{(0,0)}p S -→R , 使得对于任何2(,){(0,0)}x y ∈-R 有1(,)p x y S =∈.证明p 是一个商映射.5. 设X 和Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个商映射. 令2{(,)|()()}R x y X f x f y =∈=. 证明:(1) R 是X 中的一个等价关系; (2) Y 同胚于商空间/X R .6. 定义映射1:p I S →, 使得对于任何t I ∈有1()(cos(2),sin(2))p t t t S ππ=∈.其中, [0,1]I =. 证明:(1) p 是满的连续闭映射;(2) 例3.3.2中的商空间/I R 与1S 同胚.7. 举例说明商映射可以既不是开映射也不是闭映射.。
3+1《点集拓扑》课程标准

《点集拓扑》课程标准英文名称:Set topoligy 课程编号:407021010适用专业:数学与应用数学学分数:3一、课程性质《点集拓扑》课程属于数学一级学科下的基础数学二级学科,是数学与应用数学专业的培养方案中学科专业教育平台下专业基础课程系列的一门必修课程。
二、课程理念1、培育抽象思维概括能力,提高数学文化素养《点集拓扑》采用了极为有力的表述形式及高度抽象的观点、方法,使他的理论显得十分简捷而具有高度的概括力。
以致它的理论广泛地应用到现代数学的各个分支。
《点集拓扑》不仅在泛函分析、抽象代数、李群论、微分几何、微分方程等其他许多数学分支中有着广泛的应用,而且在自然科学和其它工程技术领域的许多学科诸如电路网络、理论物理、计算机、电子通讯、现代控制理论乃至原子核构造理论等学科都具有广泛的应用,已成为现代数学及现代技术领域中不可替代的基础工具之一,是非数学类众多领域的研究生必修的数学基础课程。
2、增强空间意识,培养扎实的空间状态认识能力《点集拓扑》是数学与应用数学专业人才整体知识结构及能力培养的重要组成部分,在数学与应用数学专业人才的培养方案中占据独特的重要地位,它是现代数学的基础。
本课程面对的是数学与应用数学专业本科四年级的学生,在大学前三年级期间,学生们已经对《数学分析》、《高等代数》以及《空间解析几何》等数学与应用数学专业的基础课程有了系统的学习,为进一步进入《点集拓扑》课程的学习打下了坚实的基础。
通过本课程的学习,使学生理解并掌握点集拓扑和基本方法,能够运用所学的方法对自然界中客观存在的空间形式进行研究、对空间状态进行分析以指导实践。
3、展示点集拓扑的应用,为进一步研究现代数学培养扎实的基础《点集拓扑》是一门相对独立的学科,它与其它学科的联系并不是十分紧密,拓扑学的内容虽然涉及集合论、数理逻辑、度量空间、数学分析等学科,它的一些概念和方法是度量空间、连续函数等概念的推广,但其研究内容和方法已发生了根本的变化,因此具备了集合论、数理逻辑、度量空间、连续函数的基本知识,对拓扑学的学习和理解会起到一定的作用,《点集拓扑》课程需要集合论的基本知识,也是学习拓扑学的必要的基础知识,我们放在了第一章,若熟悉本章知识的内容可直接进行第二章的学习,《点集拓扑》课程的后续课程有代数拓扑学,格上拓扑学等。
点集拓扑讲义ppt.1

精选完整ppt课件
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(A-B)×(C-D)
图1.1.3
该集合等式也可用定义证明,其过程读者自己做为练习完成.
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习题 1.1
1. 试判断下列关系式的正确与错误
A {A}; A {A}; {}; {}; {}; (); 2. 设 A1,A2,,An都是集合,其中 n2,证明:如果 A 1 A 2 A n A 1, 则
而此时可称B为全集,全集在一个问题中是事先 指定的或者是不言自明的.
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对于集合之间的运算,有时用图象表示更直观一些.在下面的图1.1.1中, 我们用两个圆分别表示集合A,B,而用阴影部分表示两个集合运算的结果.
图1.1.1
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观察图1.1.1我们不难得出下面的等式:
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3
❖ 集合一词,我们在高中阶段已经接触过,在那里, 集合是指具有某种属性的对象的全体.在这里,我们 仍采用对集合的这种直观的描述性定义,以后我们 还将经常遇到像这样直观的描述性定义或一些直观 的结论.虽然这样做逻辑性差一些,不及公理集合论 的严密性,但这样做却是我们易于理解和接受的, 不致使读者陷入逻辑困惑之中,从而尽快地进入拓 朴学基础的学习程序.
定义1.1.3 给定集合A,B,由A和B的公共元素
.
构成的集合叫做A与B的交集,记作 AB. 用描述法表示就是:A B { x|x A ,而且 x B }.
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定义1.1.4 给定集合A,B,把由属于A而不属于B 的元素构成的集合叫做A与B的差集,记作 AB. 用描述法表示是 AB{x|x A , x B }. 如果 AB, 称 BA为A在B中的补集,记作 A.
点集拓扑学.pdf
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点集拓扑学教案为开设数学专业本科自学考试及宁德师专数学系数学教育专业“点集拓扑”课程,按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版,北京:高等教育出版社,2003)第一至七章编写的教案。
自考生授课30学时,专科生授课45学时。
教学内容与进度安排如下。
章节自考生授课主要内容时数1朴素集合论22.1-2.3度量空间、拓扑空间、连续映射、邻域42.4-2.7闭集闭包、内部、边界、基、序列43子空间、积空间、商空间34连通、连通分支、局部连通、道路连通35第一、二可数性、可分性、Lindelöf性36.1-6.4各种分离性公理T0-T436.5-6.6分离公理的运算保持、Urysohn度量化定理27.1-7.3紧致性、分离性及R n中的紧致子集37.4-7.5各种紧致性、度量空间中的紧致性27.6局部紧致空间、仿紧致空间1章节专科生授课主要内容时数备注拓扑学的起源1一朴素集合论5习题课时11.1集合、映射与关系21.2无限集、选择公理2二拓扑空间与连续映射14习题课时22.1度量空间与连续映射3不讲附录2.2拓扑空间与连续映射22.3邻域与邻域系1不讲定理2.3.32.4导集、闭集、闭包3不讲例2.4.4,定理2.4.8 2.5内部、边界12.6基与子基1部分证明定理 2.6.3,邻域基及相关内容在5.1中介绍2.7拓扑空间中的序列1三子空间、有限积空间、商空间5习题课时13.1子空间 1.5嵌入在6.6中介绍3.2积空间 1.53.3商空间1例3.3.3起不讲四连通性6习题课时14.1连通空间24.2连通性的某些简单应用14.3连通分支0.54.4局部连通空间14.5道路连通空间0.5道路连通分支不讲五有关可数性的公理5习题课时15.1第一与第二可数性公理25.2可分空间1定理5.2.1不讲5.3Lindelöf空间1六分离性公理8习题课时26.1T0、T1、Hausdorff空间 1.56.2正则、正规、T3、T4空间1例6.2.2讲部分6.3Urysohn引理和Tietze扩张定理0.5不讲定理6.3.1,6.3.4的证明6.4完全正则空间,Tychonoff空间16.5分离性公理与子空间、积空间和商空间16.6可度量化空间1定理6.6.1讲部分七紧致性10习题课时3(含总复习)7.1紧致性 2.5定理7.1.6讲部分7.2紧致性与分离性公理0.5引理7.3.2用分析中的结论7.3n维欧氏空间R n中的紧致子集0.57.4几种紧致性以及其间的关系 1.57.5度量空间中的紧致性17.6局部紧致空间,仿紧致空间1定理7.6.8不讲第一章朴素集合论点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology),它的起源与出发点都是集合论.作为基本的点集拓扑学知识,所需的只是一些朴素集合论的预备知识.本章介绍本书中要用到的一些集合论内容,主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等.作为一教材,讲义对各部分内容均有较系统的论述,作为授课,我们只强调一些基本内容,而对已有过了解的知识不提或少提.记号:Z,Z+,R,Q分别表示整数集,正整数集,实数集和有理数集.一.集合的运算幂集P(X),交∩、并∪、差-(补,余CA,A').运算律:De Morgan律:(1)A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)(2)A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)利用集合的包含关系证明(1).类似可定义任意有限个集的交或并,如记A i.A1∪A2∪…∪A n=(A1∪…∪A n-1)∪A n=∪i≤n A i=∪ni=1规定0个集之并是∅,不用0个集之交.二.关系R是集合X的一个关系,即R⊂X×X,(x,y)∈R记为xRy,称x与y是R相关的.R称为自反的,若∀x∈X,xRx;R称为对称的,若xRy,则yRx;R称为传递的,若xRy,yRz,则xRz.等价关系:自反、对称、传递的关系.如, Δ(X)={(x, x)|x∈X},恒同关系,它是等价关系;{(x,y)|x,y∈R,x<y},小于关系,它是传递的,但不是对称的、不是自反的.设R是X上等价关系,∀x∈X,x的R等价类或等价类[x]R或[x]为{y∈X|xRy},[x]R的元称为[x]R的代表元;商集X/R={[x]R|x∈X}.定理1.4.1设R是非空集合X的等价关系,则(1)∀x∈X,x∈[x]R;(2)∀x,y∈X,或者[x]R=[y]R,或者[x]R∩[y]R=∅.证(2).设z∈[x]R∩[y]R,则zRx,zRy,于是[x]R⊂[y]R且[y]R⊂[x]R,于是[x]R=[y]R.三.映射函数f: X→Y. ∀A⊂X,f(A)={f(x)|x∈A}像;∀B⊂Y,f-1(B)={x∈X|f(x)∈B}原像.满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射i X、限制f|A、扩张、内射i X|A: A→X.X i={(x1,…,x n)|x i∈X i,i≤n}到第i个坐标集集合X i,i≤n,笛卡儿积X1×X2×…×X n= Пi≤n X i=Пni=1X i的投射p i:X→X i定义为p(x)=x i,其中x=(x1,…,x n).对等价关系R,集合X到商集X/R的自然投射p:X→X/R定义为p(x)=[x]R.四.集族数列{x n}={x n}n∈Z+,有标集族{Aγ}γ∈Γ,指标集Γ,与{Aγ|γ∈Γ}不同,可记有标集族A={A}A∈A;类似地,定义其并∪γ∈ΓAγ(或∪A)、交∩γ∈ΓAγ(或∩A),不定义0个集的交.与有限集族有相同的运算律,如De Morgan律A-(∪γ∈ΓAγ)=∩γ∈Γ(A-Aγ),A-(∩γ∈ΓAγ)=∪γ∈Γ(A-Aγ).映射对应的集族性质:f(∪γ∈ΓAγ)=∪γ∈Γf(Aγ),f(∩γ∈ΓAγ)⊂∩γ∈Γf(Aγ),f-1(∪γ∈ΓBγ)=∪γ∈Γf-1(Bγ),f-1(∩γ∈ΓBγ)=∩γ∈Γf-1(Bγ).五.无限集通过一一映射来确定两集合的个数的多少.有限集(∅或与某{1,2,…,n}有一一映射),无限集,可数集(∅或存在X到Z+的单射),不可数集.易验证:有限集是可数集,可数集的子集是可数集,可数集的映像是可数集.定理1.7.3X是可数集⇔X是Z+的映像.由此,Q是可数集,两可数集的笛卡儿积集是可数集,可数个可数集之并集是可数集.定理1.7.8R是不可数集.利用Cantor对角线法证明开区间(0,1)中的实数不可数.直观上,集合A中元素的个数称为该集合的基数,记为card A,或|A|.|Z+|=ℵ0,|R|=ℵ.若存在从集合A到集合B的单射,则定义|A|≤|B|.连续统假设:不存在基数α,使得ℵ0<α<ℵ.选择公理:若A是由非空集构成的集族,则∀A∈A,可取定ε(A)∈A.由选择公理可证明,若α,β是基数,则下述三式中有且仅有一成立:α<β,α=β,α>β.第二章拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础,从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念:拓扑空间、连续映射,分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质,各几种不同的角度生成拓扑空间,及刻画拓扑空间上的连续性.§2.1度量空间与连续映射在R 上,|x-y|表示点x 与y 之间的距离.绝对值是一非负函数,具有三条重要性质.定义2.1.1设X 是一集合,ρ:X ⨯X →R .如果ρ满足正定性、对称性和三角不等式,则称ρ是X 的一个度量.(X,ρ)称为度量空间,ρ(x,y)表示两点x,y 之间的距离.例2.1.1实数空间R .ρ(x,y)=|x-y|,R 的通常度量.例2.1.2n 维欧氏空间R n =R ⨯R ⨯…⨯R .对于x ∈R n,记x=(x i ).定义ρ(x,y)=∑=n1i 2i i )y -(x ,R n 的通常度量,n 维欧氏空间.R 2称为欧氏平面或平面.例2.1.3Hilbert 空间H .H ={x=(x 1,x 2,…)|x i ∈R ,i ∈Z +;∑∞=1i 2ix <∞}.定义ρ(x,y)=∑∞=1i 2i i )y -(x ,则度量空间(H ,ρ)称为Hilbert 空间.例2.1.4离散度量空间.度量空间(X,ρ)称为离散的,若∀x ∈X,∃δx >0,使得不存在X 中的点y ≠x,满足ρ(x,y)<δx .如对集合X,按如下方式定义ρ:X ⨯X →R 是X 上的离散度量:⎩⎨⎧≠==y.x 1,y,x 0,y)(x,ρ定义2.1.2设(X,ρ)是度量空间.B(x,ε)={y ∈X |ρ(x,y)<ε}称为以x 为心,ε为半径的球形邻域,或ε邻域,或球形邻域.对(R ,|.|),B(x,ε)=(x-ε,x+ε).定理2.1.1度量空间(X,ρ)的球形邻域具有性质:(1)∀x ∈X,ε>0,x ∈B(x,ε);(2)∀x ∈X,ε1,ε2>0,∃ε>0,使B(x,ε)⊂B(x,ε1)∩B(x,ε2);(3)若y ∈B(x,ε),∃δ>0使B(y,δ)⊂B(x,ε).证(2)0<ε<min{ε1,ε2};(3)δ=ε-ρ(x,y),则B(y,δ)⊂B(x,ε).定义2.1.3X的子集A称为(X,ρ)的开集,若∀a∈A,∃ε>0,使B(a,ε)⊂A.每一球形邻域是开集.例2.1.5R中的开区间是开集.∀x∈(a,b),让ε=min{x-a,b-x},则B(x,ε)⊂(a,b).同样可证,无限开区也是开集.闭区间[a,b]不是开集.定理2.1.2度量空间的开集具有以下性质:(1)X,∅是开集;(2)两开集的交是开集;(3)任意开集族之并是开集.证(1)由定理2.1.1(1);(2),(3)由定理2.1.1(2).定义2.1.4设X是度量空间,x∈X,U⊂X.U称为x的邻域,若∃开集V,使x∈V⊂U.定理2.1.3U是X中点x的邻域⇔∃ε>0,使B(x,ε)⊂U.定义2.1.5设X,Y是两度量空间.f:X→Y, x0∈X,称f在x0连续,若∀f(x0)的球形邻域B(f(x0),ε)(∀ε>0),∃x0的球形邻域B(x0,δ)(∃δ>0),使f(B(x0,δ))⊂B(f(x0),ε)(当ρX(x,x0)<δ时,ρY(y,f(x0))<ε).称f在X连续,若f在X的每一点连续.定理2.1.4设X,Y是两度量空间.f:X→Y, x0∈X,那么(1)f在x0连续⇔若U是f(x0)的邻域,则f–1(U)是x0的邻域;(2)f在X连续⇔若U是Y的开集,则f–1(U)是X的开集.证(1)利用定义2.1.5,2.1.4.(2)“⇒”f–1(U)是每一点的邻域.“⇐”证每一点连续,利用(1).由此可见,度量空间的连续只与邻域或开集有关.它导入建立比度量空间更一般的拓扑空间的概念及其连续性.§2.2拓扑空间与连续映射定义2.2.1设T是集合X的子集族,若T满足:(1)X,∅∈T;(2)∀A,B∈T⇒A∩B∈T;(3)∀T1⊂T,∪T1∈T;称T是X的一个拓扑.(X,T)是拓扑空间,T的元称为X的开集.空间X的拓扑是X的全体开集的族.定义2.2.2(X,ρ)度量空间.Tρ由X的所有开集构成的族.(X,Tρ)称为由度量ρ诱导出的拓扑空间.简称Tρ为度量拓扑.度量空间⇒拓扑空间.例2.2.1平庸拓扑T={X,∅}.平庸空间.例2.2.2离散拓扑T=P(X).离散空间.X的每一子集是开集.由离散度量空间导出的拓扑是离散拓扑.∪∅}.例2.2.4有限补拓扑T={U⊂X|U'是X的有限子集}{验证T是X上的拓扑.(1)显然.(2)∀A,B⊂X,讨论A∩B时分两种情形,一是A,B中有一是∅,二是A,B都不是∅.(3)设T1⊂T,不妨设∃∅≠A0∈T1,利用De Morgan律.有限补空间.∪∅}.例2.2.5可数补拓扑T={U⊂X|U'是X的可数子集}{定义2.2.3可度量化空间.离散空间是可度量化空间.多于一点的平庸空间不是可度量化空间.度量化问题是点集拓扑学研究的中心问题之一.本书将在§6.6中给出该问题的一个经典的解.定义2.2.4X,Y是两拓扑空间.f:X→Y.称f连续,若Y中每一开集U的原象f-1(U)是X中的开集.定理2.2.1恒同映射连续.连续函数的复合是连续的.定义2.2.5f:X→Y称为同胚或同胚映射,若f是一一映射且f及f-1均连续.定义2.2.6称两空间X与Y同胚,或X同胚于Y,若存在从X到Y的同胚.定理2.2.2(2.2.3)恒同映射同胚(X与X同胚);f同胚⇒f-1同胚(若X与Y同胚,则Y与X同胚);同胚的复合是同胚(若X与Y同胚,且Y与Z同胚,则X与Z同胚).空间的同胚关系是等价关系.拓扑学的中心任务:研究拓扑不变性质.抽象化过程:欧氏空间→度量空间→拓扑空间;点距离→度量→开集.§2.3邻域定义2.3.1设(X,T)是拓扑空间.x∈X,U⊂X称为x的邻域,如果存在V∈T使x∈V⊂U;若U 是开的,U称为x的开邻域.定理2.3.1设U⊂X.U是X的开集⇔U是它的每一点的邻域.证由定义得“⇒”;利用开集之并为开得“⇐”.x在X的所有邻域构成的族称为x的邻域系,记为U x.定理2.3.2U x的性质:(1)X∈U x;∀U∈U x,x∈U;(2)U,V∈U x⇒U∩V∈U x;(3)U∈U x且U⊂V⇒V∈U x;(4)U∈U x⇒∃V∈U x使V⊂U且∀y∈V,V∈U y.证由定义2.3.1得(1);由开集的交是开集得(2);由定义2.3.1得(3);取V为满足x∈V⊂U的开集.由邻域系出发可建立拓扑空间的理论,显得自然,但不流行.利用邻域与开集的关系(定理2.3.1)导出开集,从U x(∀x∈X)具有定理2.3.2的性质的(1)-(4)出发,定义T={U⊂X|∀x∈U,U∈U x},则(X,T)是拓扑空间,且这空间中每一点x的邻域系恰是U x.详见定理2.3.3.定义2.3.2(点连续)映射f:X→Y称为在点x∈X连续,如果U是f(x)在Y中的邻域,则f-1(U)是x在X中的邻域.定理2.1.4保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一致.另一方面,关于点的连续性,易验证(定理 2.3.4),恒等映射在每一点连续,两点连续的函数之复合仍是点连续的.定义2.2.4与定义2.3.2所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致的.定理2.3.5设f:X→Y. 则f连续⇔f在每一x∈X连续.证“⇒”若U是f(x)的邻域,∃开集V使f(x)∈V⊂U,x∈f-1(V)⊂f-1(U).“⇐”若U是Y的开集,∀x∈f-1(U),U是f(x)的邻域,f-1(U)是x的邻域,所以f-1(U)在X中开.§2.4导集、闭集、闭包定义2.4.1设A⊂X.x称为A的聚点(凝聚点,极限点),如果x的每一邻域U中有A中异于x 的点,即U∩(A-{x})≠∅.A的全体聚点之集称为A的导集,记为d(A).x称为A的孤立点,若x不是A的聚点,即存在x的邻域U使U∩(A-{x})=∅,即U∩A⊂{x}.例2.4.1X是离散空间.若A⊂X,则d(A)=∅.∀x∈X,取U={x},则U∩A⊂{x},所以x∉d(A).例 2.4.2X是平庸空间,A⊂X.若A=∅,则d(A)=∅;若|A|=1,则d(A)=X-A;若|A|>1,则d(A)=X.对于x∈X,若U是x的邻域,则U=X,于是U∩(A-{x})≠∅⇔A-{x}≠∅⇔A⊄{x},由此,易计算d(A).定理2.4.1A,B⊂X,则(1)d(∅)=∅;(2)A⊂B⇒d(A)⊂d(B);∪∪;(3)d(A B)=d(A)d(B)(4)d(d(A))⊂A d(A).∪证由定义2.4.1得(1)和(2).∪分别存在x的邻域U,V使得关于(3).由(2)得d(A)∪d(B)⊂d(A B)∪.设x∉d(A)d(B),∪)⊂{x}.U∩A⊂{x},V∩B⊂{x},令D=U∩V,则D∩(A B∪存在x的邻域U,使得U∩A⊂{x},取x的开邻域V⊂U,则V∩A=∅,关于(4).设x∉A d(A),∀y∈V,V∩(A-{y})=∅,y∉d(A),V∩d(A)=∅,x∉d(d(A)).定义2.4.2A⊂X称为X的闭集,如果d(A)⊂A.定理2.4.2A闭⇔A'开.证“⇒”∀x∈A',由于d(A)⊂A,存在x的邻域U使U∩A=∅,于是U⊂A'.“⇐”∀x∈A',A'∩A=∅, x∉d(A),所以d(A)⊂A.例2.4.3R的闭区间是闭集.∪+∞)开集.(a,b)不是闭集,因为a是聚点.[a,b]'=(-∞,a)(b,定理2.4.3记F是空间X的全部闭集族,则(1)X,∅∈F;(2)A,B∈F⇒A B∪∈F;(3)∅≠H⊂F⇒∩H∈H H∈F.证利用De Morgan定律及拓扑的定义.F={U'|U∈T}.直接验证可得(1)、(2).(3)令U={H'∣H∈H}.则∪H∈H H'∈T,从而∩H∈H H=∩H∈H H''=(∪H∈H H')'∈F.Cantor集(例2.4.4)是集合论、点集拓扑或实变函数论中是具有特别意义的例子,它说明R中的闭集可以是很复杂的,在此不介绍.∪称为A的闭包,记为A,A-或c(A).定义2.4.3A d(A)定理2.4.5对A,B⊂X,有(1)∅-=∅;(2)A⊂A-;(3)(A∪B)-=A-∪B-;(4)(A-)-=A-.∪∪∪∪∪∪A-∪B-.证(3)(A∪B)-=A B d(A B)=A d(A)B d(B)=(4)(A-)-=(A∪d(A))-=A-∪d(A)-=A d(A)d(d(∪∪A))=A-.上述4条确定了闭包运算,称为Kuratowski闭包公理,由此可建立拓扑空间的概念.事实上,记此运算为c(A),定义T={U⊂X|c(U')=U'},则(X,T)是拓扑空间,且这空间中每一c(A)=A-,详见定理2.4.8.关于闭包的几个相关结果:(1)x∈A-⇔对x的任一邻域有U∩A≠∅.(定义2.4.3后)(2)d(A)=(A-{x})-.(3)A闭⇔d(A)⊂A⇔A=A-.(定理2.4.4)(4)A-是闭集.(定理2.4.6)(5)A-是包含A的所有闭集之交,是包含A的最小闭集.(定理2.4.7:设F是包含A的所有闭集之交,则A⊂F⊂A-,A-⊂F,所以F=A-.)定义2.4.5(X,ρ)是度量空间.对非空的A⊂X,x∈X,定义ρ(x,A)=inf{ρ(x,y)|y∈A}.定理2.4.9对度量空间(X,ρ)的非空子集A,(1)x∈A-⇔ρ(x,A)=0;(2)x∈d(A)⇔ρ(x,A-{x})=0.证ρ(x,A)=0⇔∀ε>0,∃y∈A,ρ(x,y)<ε⇔B(x,ε)∩A≠∅⇔∀U∈U x, U∩A≠∅⇔x∈A-.定理2.4.10设f:X→Y,则下述等价(1)f连续;(2)若B闭于Y,则f-1(B)闭于X;(3)∀A⊂X,f(A-)⊂f(A)-.证(1)⇒(2)B是Y的闭集,B'是Y的开集,f-1(B')=f-1(B)'是X的开集,f-1(B)是X的闭集.(2)⇒(3)f(A)⊂f(A)-,A⊂f-1(f(A)-),A-⊂f-1(f(A)-),f(A-)⊂f(A)-.(3)⇒(1)设U是Y的开集,U'是Y的闭集且f(f-1(U')-)⊂f(f-1(U'))-⊂U'-=U',f-1(U')-⊂f-1(U'), f-1(U')=f-1(U)'是闭,f-1(U)是开.§2.5内部、边界定义2.5.1若A是x的邻域,则称x是A的内点.A的所有内点的集合称为A的内部,记为A︒.定理2.5.1对A⊂X,A︒=A'-',A-=A'︒'.证x∈A︒,由于A∩A'=∅,于是x∉A'-,从而x∈A'-'.反之,x∈A'-',x∉A'-,∃x的邻域V∩A'=∅, V⊂A,x∈A︒.因此,A︒=A'-'.从而A'︒=A''-'=A-',A︒-=A'︒'.定理2.5.3对A,B⊂X,有(1)X︒=X;(2)A︒⊂A;(3)(A∩B)︒=A︒∩B︒;(4)A︒︒=A︒.证(1)、(2)是显然的.(A∩B)︒=(A'∪B')-'=A'-'∩B'-'=A︒∩B︒.而A︒︒=A'-''-'=A'-'=A︒.关于内部的几个相关结果:(1)A是x的邻域⇔x∈A︒.(2)A︒是开集.(定理2.5.4)(3)A是开集⇔A=A︒.(定理2.5.2)(4)A︒是A所包含的所有开集之并,是含于A内的最大开集.(定理2.5.5)证(2)A︒=A'-'是开集.(3)A开⇔A'闭⇔A'=A'-⇔A=A'-'=A︒.(4)设O是含于A内的所有开集之并,A︒⊂O⊂A,O⊂A︒,所以O=A︒.定义2.5.2x称为A的边界点,若x的每一邻域,既含有A中的点又有A'中的点.A的边界点之集称为边界,记为∂A.定理2.5.6对A⊂X,有(1)∂A=A-∩A'-=∂(A');(2)A-=A︒∪∂A;(3)A︒=A--∂A.∪︒-)=A-.∪'-)=A-∩(A︒A∪-)∩(A︒A∪-∩A'-)=(A︒A证(2)A︒∪∂A=A︒(A(3)A--∂A=A--(A-∩A'-)=A--A'-=A-∩A'-'=A︒.§2.6基与子基度量空间→球形邻域→开集→拓扑.在度量空间中球形邻域的作用就是拓扑空间中基的作用.定义2.6.1设T是空间X的拓扑,B⊂T,如果T中每一元是B中某子集族之并,称B是X的基.所有单点集的族是离散空间的基.定理2.6.2设B⊂T.B为X的基⇔∀x∈X及x的邻域U x,∃V x∈B使x∈V x⊂U x.证“⇒”∃开集W x使得x∈W x⊂U x,∃B1⊂B使得W x=∪B1,∃V x∈B1⊂B使x∈V x⊂U x.“⇐”设U∈T,∀x∈U,∃V x∈B使x∈V x⊂U,从而{V x|x∈U}⊂B且U=∪x∈U V x.在度量空间中,所有球形邻域的族是度量拓扑的基(定理2.6.1).所有开区间的族是R的基.定理2.6.3拓扑空间X的基B满足:(i)∪B=X;(ii)∀B1,B2∈B,x∈B1∩B2,∃B3∈B使x∈B3⊂B1∩B2.反之,若集合X的子集族B满足(1)、(2),定义T={∪B1|B1⊂B},则T是X的以B作为基的唯一拓扑.证验证T是X的拓扑.(1)∅=∪∅.(2)先设B1,B2∈B,∀x∈B1∩B2,∃W x∈B使x∈W x⊂B1∩B2,于是B1∩B2=∪{W x|x∈B1∩B2}∈T.如果A1,A2∈T,设A1=∪B1,A2=∪B2,则A1∩A2=∪{B1∩B2| B1∈B1,B2∈B2}∈T.(3)设T1⊂T,∀A∈T1,∃B A⊂B,使得A=∪B A,那么∪T1=∪(∪{B A|A∈T1}).较强于(ii)且易于验证的条件是(ii')∀B1,B2∈B,B1∩B2∈B.例2.6.1实数下限拓扑空间.令B={[a,b)|a,b∈R,a<b},则B为R上一拓扑的基.这空间称为实数下限拓扑空间,记为R l.开区间是R l中的开集,因为(a,b)=∪i∈Z+[a+1/i,b).定义2.6.2设(X,T)是拓扑空间,S⊂T.若S的元之所有有限交构成的族是T的基,则称S是T的子基.S的元之有限交构成的族{S1∩S2∩…∩S n S∣i∈S,i≤n∈Z+}.显然,空间X的基是子基.∪-∞,b)b∣∈R}是R的子基.∣∈R}{(例2.6.2S={(a,+∞)a对照定理2.6.3,集合X的子集族S要作为子基生成X上的拓扑的充要条件是∪S=X.(定理2.6.4)映射的连续性可用基、子基来刻画或验证.定理2.6.5设X,Y是两拓扑空间,f:X→Y,下述等价:(1)f连续;(2)Y基B,使得B中每一元的原像在X中开;(3)Y有子基S,使得S中每一元的原像在X中开.证(3)⇒(2)设B是S的元之所有有限交构成的族,则B满足(2).(2)⇒(1)设U在Y中开,则U=∪B1,于是f-1(U)=∪{f-1(B)|B∈B1}在X中开.类似地,可定义点的邻域基与邻域子基的概念,同时用它们来验证映射的连续性等.在第五章中定义第一可数性时再介绍这些概念.§2.7拓扑空间中的序列可以与R中一样地定义序列、常值序列、子序列,见定义2.7.1,2.7.3.定义2.7.2X中序列x i→x.极限,收敛序列.平庸空间中任意序列收敛于空间中的任一点.数学分析中的一些收敛性质还是保留的,如常值序列收敛,收敛序列的子序列也收敛.(定理2.7.1)定理2.7.2A-{x}中序列x i→x⇒x∈d(A).证∀x的邻域U,U∩(A-{x})≠∅,所以x∈d(A).定理2.7.3f在x0连续且x i→x0⇒f(x i)→f(x0).证设U是f(x0)的邻域,则f-1(U)是x0的邻域,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈f-1(U),从而f(x i)∈U.上述两定理的逆命题均不成立.例2.7.1设X是不可数集赋予可数补拓扑,则(1)在X中x i→x⇔∃n∈Z+,当i>n时有x i=x;(2)若A是X的不可数子集,则d(A)=X.证(1)的必要性.令D={x i|x i≠x,i∈Z+},则D'是x的邻域,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈D',即x i=x.证(2)∀x的邻域U,A-{x}⊄U'(可数集),所以U∩(A-{x})≠∅,x∈d(A).定理2.7.2的逆命题不真.如例2.7.1,取定x0∈X,让A=X-{x0},则x0∈d(A),但A中没有序列收敛于x0.定理2.7.3的逆命题不真.取X是实数集赋予可数补拓扑,让i:X→R是恒等映射,若在X中x i→x,则在R中f(x i)→f(x),但i在x不连续,因为x在R的开邻域(x-1,x+1)的原像i-1((x-1, x+1))=(x-1,x+1)在X中不是开的.定理2.7.4设{x i}是度量空间(X,ρ)中的序列,则x i→x⇔ρ(x i,x)→0.证x i→x⇔∀x的邻域U,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈U⇔∀ε>0,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈B(x,ε)⇔∀ε>0,∃n∈Z+,当i>n时有ρ(x i,x)<ε⇔ρ(x i,x)→0.第三章子空间、积空间、商空间介绍三种从原有的拓扑空间或拓扑空间族构造新空间的经典方法,引入遗传性、可积性、可商性等概念,这些是研究拓扑性质的基本构架.§3.1子空间对于空间X的子集族A及Y⊂X,A在Y上的限制A|Y={A∩Y|A∈A}.(定义3.1.2)引理3.1.2设Y是空间(X,T)的子集,则T|Y是Y上的拓扑.证按拓扑的三个条件逐一验证.如,设T1⊂T|Y,∀A∈T1,∃B A∈T,使得A=B A∩Y,于是∪T1=∪{B A∩Y|A∈T1}=(∪{B A|A∈T1})∩Y∈T|Y.定义3.1.3对Y⊂X,(Y,T|Y)称为(X,T)的子空间,T|Y称为相对拓扑.“子空间”=“子集”+“相对拓扑”.易验证,若Z是Y的子空间,且Y是X的子空间,则Z是X的子空间.(定理3.1.4)定理3.1.5(3.1.7)设Y是X的子空间,y∈Y,则(1)若T,T*分别为X,Y的拓扑,则T*=T|Y;(2)若F,F*分别为X,Y的全体闭集族,则F*=F|Y;(3)若U y,U y*分别为y在X,Y中的邻域系,则U y*=U y|Y;(4)若B是X的基,则B|Y是Y的基.证(2)F*∈F*⇔Y-F*∈T|Y⇔Y-F*=U∩Y,U∈T⇔F*=(X-U)∩Y,U∈T⇔F*∈T|Y.(4)∀U开于Y,∃X的开集V,使得U=V∩Y,∃B1⊂B,满足V=∪B1,则U=∪(B1|Y).在R的子空间(0,+∞)中(0,1]是闭集.定理3.1.6设Y是X的子空间,A⊂Y,则(1)d Y(A)=d X(A)∩Y;(2)c Y(A)=c X(A)∩Y.证(1)y∈d Y(A),∀y在X中的邻域U,U∩(A-{y})⊃(U∩Y)∩(A-{y})≠∅,所以y∈d X(A)∩Y.反之,设y∈d X(A)∩Y,∀y在Y中的邻域V,∃y在X中的邻域U使V=U∩Y,于是V∩(A-{y})=(U∩(A-{y}))∩Y=U∩(A-{y})≠∅,所以y∈d Y(A).∪X(A)∩Y)=(A d∪c X(A)∩Y.∪X(A))∩(A Y)=∪Y(A)=A(d(2)c Y(A)=A d§3.2有限积空间就平面的球形邻域B d(x,ε)而言,我们知道球形邻域内含有方形邻域,方形邻域内含有球形邻域.从基的角度而言,形如B1(x1,ε1)⨯B2(x2,ε2)的集合就是平面拓扑的基了.对于两个拓扑空间X,Y,在笛卡儿积集X⨯Y中可考虑形如U⨯V的集合之全体,其中U,V分别是X,Y的开集.对于有限个空间X1,X2,…,X n,可考虑形如U1⨯U2⨯…⨯U n的集合.定理3.2.2设(X i,T i)(i≤n)是n个拓扑空间,则X=X1⨯X2⨯…⨯X n有唯一的拓扑,以X的子集族B={U1⨯U2⨯…⨯U n|U i∈T i,i≤n}为它的一个基.证验证B满足定理2.6.3的条件(i),(ii').(1)X=X1⨯X2⨯…⨯X n∈B,∪B=X;(2)若U1⨯U2⨯…⨯U n, V1⨯V2⨯…⨯V n∈B,则(U1⨯U2⨯…⨯U n)∩(V1⨯V2⨯…⨯V n)=(U1∩V1)⨯…⨯(U n∩V n)∈B.定义3.2.2以定理3.2.2中B为基生成X1⨯X2⨯…⨯X n上的唯一拓扑,称为拓扑T1,T2,…,T n的积拓扑.(X,T)称为(X1,T1),…,(X n,T n)的(有限)积空间.定理3.2.4设X=X1⨯X2⨯…⨯X n是积空间,B i是X i的基,则B*={B1⨯B2⨯…⨯B n|B i∈B i,i≤n}是积拓扑T的基.证利用定理2.6.2.设x ∈U ∈T ,∃U i ∈T i 使x ∈U 1⨯U 2⨯…⨯U n ⊂U,∃B i ∈B i 使x i ∈B i ⊂U i ,那么x ∈B 1⨯B 2⨯…⨯B n ⊂U 1⨯U 2⨯…⨯U n ⊂U.例3.2.1形如(a 1,b 1)⨯(a 2,b 2)⨯…⨯(a n ,b n )的集合构成 n 的基.设(X 1,ρ1),(X 2,ρ2)是两个度量空间.令ρ(x,y)=22222211)y ,x ()y ,x (ρρ+,则ρ是X 1⨯X 2上的度量,导出X 上的度量拓扑T .对于n 个度量空间之积可类似地定义.(定义3.2.1)定理3.2.1度量空间的有限积:积拓扑与度量拓扑一致.验证n=2的情形.易验证B 1(x 1,ε/2)⨯B 2(x 2,ε/2)⊂B(x,ε)⊂B 1(x 1,ε)⨯B 2(x 2,ε),于是每一B(x,ε)是积拓扑的开集,且每一B 1(x 1,ε)⨯B 2(x 2,ε)是度量拓扑的开集,所以导出相同的拓扑.定理3.2.5有限积空间X=X 1⨯X 2⨯…⨯X n 以S ={p -1i (U i )|U i ∈T i ,i ≤n}为子基,其中T i 是X i 的拓扑,p i :X →X i 是投射.仅证n=2的情形.p -11(U 1)=U 1⨯X 2,p -12(U 2)=X 1⨯U 2,所以p -11(U 1)∩p -12(U 2)=U 1⨯U 2∈B .定义3.2.3f:X →Y 称为开(闭)映射,若U 开(闭)于X,则f(U)开(闭)于Y .定理3.2.6p i :X →X i 是满、连续、开映射,未必是闭映射.由于p -1i (U i )=X 1⨯X 2⨯…⨯U i ⨯…⨯X n ,所以p i 连续.由于p i (U 1⨯U 2⨯…⨯U n )=U i ,所以p i 是开的.但是p 1:R 2→R 不是闭的.定理3.2.7设映射f:Y →X,其中X 是积空间X 1⨯X 2⨯…⨯X n .则f 连续⇔∀i ≤n,p i ◦f:Y →X i 连续.证充分性.对X 的子基S ={p -1i (U i )|i ≤n,U i ∈T i },f -1(p -1i (U i ))=(p i ◦f)-1(U i )开于Y .多元函数连续当且仅当它的每一分量连续.定理3.2.8积拓扑是使每一投射都连续的最小拓扑.即设T 是积空间X=X 1⨯X 2⨯…⨯X n 的积拓扑,若集合X 的拓扑T *满足:每一投射p i :(X,T *)→X i 连续,则T ⊂T *.证由于{p -1i (U i )|U i ∈T i ,i ≤n}⊂T *,所以T ⊂T *.§3.3商空间回忆,商集X/R,及自然投射p:X →X/R 定义为p(x)=[x]R .问题:设X 是拓扑空间,要在X/R 上定义拓扑,使p 连续的最大的拓扑.讨论更一般的情形,设(X,T )是拓扑空间且f:X →Y 是满射.赋予集合Y 什么拓扑,使f 连续的最大的拓扑.若f连续,且U是Y的开集,则f-1(U)是X的开集.让T1={U⊂Y|f-1(U)∈T},易验证T1是Y上的拓扑.定义3.3.1(3.3.2)称T1是Y的相对于满射f而言的商拓扑,f:(X,T)→(Y,T1)称为商映射.这时,U在Y中开⇔f-1(U)在X中开;F在Y中闭⇔f-1(F)在X中闭.定理3.3.1商拓扑是使f连续的最大拓扑.证设f:(X,T)→(Y,T1)是商映射.显然,f是连续的.如果T2是Y的拓扑使f:(X,T)→(Y,T2)连续,则∀U∈T2,f-1(U)∈T,于是U∈T1,即T2⊂T1,所以T1是使f连续的最大拓扑.定理3.3.2设f:X→Y是商映射.对于空间Z,映射g:Y→Z连续⇔映射g◦f:X→Z连续.证设g◦f:X→Z连续,∀W开于Z,(g◦f)-1(W)=f-1(g-1(W))开于X,由于f是商映射,所以g-1(W)开于Y,故g连续.定理3.3.3连续,满开(闭)映射⇒商映射.证设f:(X,T X)→(Y,T Y)是连续的满开(闭)映射,T1是Y的相对于f而言的商拓扑,要证T Y= T1.由定理3.3.1,T Y⊂T1.反之,∀V∈T1,f-1(V)∈T X.对于开映射的情形,V=f(f–1(V))∈T Y;对于闭映射的情形,V=Y-f(X-f–1(V))∈T Y,所以总有T1⊂T Y.定义3.3.3设R是空间(X,T)的等价关系,由自然投射p:X→X/R确定了X/R的商拓扑T R,称(X/R,T R)为商空间,这时p:X→X/R是商映射.例3.3.1在R中定义等价关系~:∀x,y∈R,x~y⇔或者x,y∈Q,或者x,y∉Q.商空间R/~是由两点组成的平庸空间.由于Q在R中既是开集,也不是闭集,所以单点集[Q]在R/~中既不是开集,也不是闭集.习惯上,把R/~说成是在R中将所有有理点和所有无理点分别粘合为一点所得到的商空间.例3.3.2在[0,1]上定义等价关系~:∀x,y∈[0,1],x~y⇔或者x=y,或者{x,y}={0,1}.[0,1]/~是在[0,1]中粘合0,1两点所得到的商空间,这商空间同胚于单位圆周S1.第四章连通性本章起的四章介绍4类重要的拓扑不变性质.本章讨论连通性、道路连通性、局部连通性及其在实分析中的一些简单的应用.§4.1连通空间在拓扑中怎样定义连通,分隔区间(0,1),(1,2)的关系与(0,1),[1,2)的关系不同,虽然他们都不相交,但相连的程度不一样.定义4.1.1设A,B⊂X,若A∩B-=A-∩B=∅,则称A,B是隔离的.区间(0,1)与(1,2)隔离,但区间(0,1)与[1,2)不隔离.几个基本事实:(1)两不交的开集是隔离的;(2)两不交的闭集是隔离的;(3)隔离子集的子集是隔离的.定义4.1.2X称为不连通的,若X中有非空的隔离子集A,B使X=A∪B,即X可表为两非空隔离集之并.否则X称为连通的.包含多于一个点的离散空间不连通,平庸空间是连通的.定理4.1.1对空间X,下述等价:(1)X是不连通的;(2)X可表为两非空不交闭集之并;(3)X可表为两非空不交开集之并;(4)X存在既开又闭的非空真子集.证(1)⇒(2)设隔离集A,B之并是X,B-=B-∩(A∪B)=(B-∩A)∪(B-∩B)=B.同理,A也是闭的.(2)⇒(3)设X是两非空不交闭集A,B之并,则X是两非空不交开集A',B'之并.(3)⇒(4)设X是两非空不交开集A,B之并,则A,B都是X的既开又闭的非空真子集.(4)⇒(1)若A是X的开闭集,则A,X-A隔离.例4.1.1Q不是R的连通子空间,因为Q=(Q∩(-∞,π))∪(Q∩(π,+∞)).定理4.1.2R是连通的.证若R不连通,则R是两非空不交Array闭集A,B之并.取定a∈A,b∈B,不妨设a<b.令A*=[a,b]∩A,B=[a,b]∩B,则A*,B*是R两非空不交闭集且[a,b]=A*∪B*.让c=supA*.因A*是闭的,c∈A*,c<b,(c,b]⊂B*.因B*是闭的,c∈B*,从而A*∩B*≠∅,矛盾.定义4.1.3若X的子空间Y是连通的,则称Y为连通子集,否则,称为不连通子集.定理4.1.3设A,B⊂Y⊂X,则A,B是Y的隔离集⇔A,B是X的隔离集.证c Y(A)∩B=c X(A)∩Y∩B=c X(A)∩B;同理,c Y(B)∩A=c X(B)∩A.定理4.1.4设Y是X的连通子集.如果X有隔离子集A,B,使Y⊂A∪B,则Y⊂A或Y⊂B.证A∩Y,B∩Y是Y的隔离集,所以A∩Y=∅,或B∩Y=∅,于是Y⊂B或Y⊂A.定理4.1.5若Y是X的连通子集且Y⊂Z⊂Y-,则Z是连通的.证若Z不连通,∃X的非空隔离集A,B使Z=A∪B⊃Y,于是Y⊂A或Y⊂B,不妨设Y⊂A,那么Z⊂Y-⊂A-,于是B=Z∩B=∅,矛盾.定理4.1.6设{Yγ}γ∈Γ是空间X的连通子集族.如果∩γ∈ΓYγ≠∅,则∪γ∈ΓYγ连通.证若∪γ∈ΓYγ是X中隔离集A,B之并,取定x∈∩γ∈ΓYγ,不妨设x∈A,则∀γ∈Γ,Yγ⊂A,所以∪γ∈ΓYγ⊂A,于是B=∅.定理4.1.7设Y⊂X.若∀x,y∈Y,∃X的连通子集Y xy使x,y∈Y xy⊂Y,则Y连通.证设Y≠∅.取定a∈Y,则Y=∪y∈Y Y ay且a∈∩y∈Y Y ay,所以Y连通.定理4.1.8(连续映射保持)设f:X→Y连续.若X连通,则f(X)连通.证若f(X)不连通,则f(X)含有非空的开闭真子集A.由于f:X→f(X)连续,于是f-1(A)是X的非空开闭真子集.连续映射保持性⇒可商性⇒拓扑不变性.有限可积性.对于拓扑性质P,要证有限可积性,因为X1⨯X2⨯…⨯X n同胚于(X1⨯…⨯X n-1)⨯X n,所以只须证:若X,Y具性质P,则X⨯Y具有性质P.定理4.1.9(有限可积性)设X1,X2,…,X n连通,则X1⨯X2⨯…⨯X n连通.证仅证若X,Y连通,则X⨯Y连通.取定(a, Array b)∈X⨯Y.∀(x,y)∈X⨯Y,令S xy=(X⨯{y})∪({a}⨯Y),由于X⨯{y}同胚于X,{a}⨯Y同胚于Y,所以X⨯{y},{a}⨯Y都连通且(a,y)∈(X⨯{y})∩({a}⨯Y),由定理4.1.6,S xy连通且(x,y)∈S xy,再由定理 4.1.7,X⨯Y=∪{S xy|(x,y)∈X⨯Y}连通.§4.2连通性的应用利用R连通性的证明(定理4.1.2)知,区间都是连通的.区间有9类:无限区间5类:(-∞,+∞),(a,+∞),[a,+∞),(-∞,a),(-∞,a].有限区间4类:(a,b),[a,b),(a,b],[a,b].定理4.2.1设E⊂R,则E连通⇔E是区间.证若E不是区间,∃a<c<b,使a,b∈E但c∉E.令A=(-∞,c)∩E,B=(c,+∞)∩E,则E是不交的非空开集A,B之并.定理4.2.2设X连通,f:X→R连续,则f(X)是R的一个区间.注∀x,y∈X,如果t介于f(x)与f(y)之间,则∃z∈X,使f(z)=t.事实上,不妨设f(x)≤t≤f(y),则t∈[f(x),f(y)]⊂f(X),所以∃z∈X,使f(z)=t.定理4.2.3(介值定理)设f:[a,b]→R连续,若r介于f(a)与f(b)之间,则∃z∈[a,b]使f(z)=r.定理4.2.4(不动点定理)设f:[0,1]→[0,1]连续,则∃z∈[0,1]使f(z)=z.证不妨设0<f(0),f(1)<1.定义F:[0,1]→R使F(x)=x-f(x),则F连续且F(0)<0<F(1),∃z∈[0,1]使得F(z)=0,即f(z)=z.定义f:R→R2为f(t)=(cos2πt,sin2πt),则f连续且f(R)=S1,于是S1是连通的.对x=(x1,x2)∈S1, -x=(-x1,-x2)∈S1称为x的对径点,映射r:S1→S1定义为r(x)=-x称为对径映射,则r连续.定理4.2.5(Borsuk-Ulam定理)设f:S1→R连续,则∃x∈S1,使得f(x)=f(-x).证定义F:S1→R为F(x)=f(x)-f(-x),则F连续.若∃a∈S1,使得f(a)≠f(-a),则F(a)⋅F(-a)<0,由定理4.2.2,∃z∈S1,使得F(z)=0,即f(z)=f(-z).定理4.2.6R n-{0}连通,其中n>1,0=(0,0,⋯,0)∈R n.证只证n=2的情形.令A=[0,+∞)⨯R-{0},B=(-∞,0]⨯R-{0},则A∪B=R2-{0},A∩B≠∅.由于(0,+∞)⨯R⊂A⊂c((0,+∞)⨯R),所以A连通.同理,B连通,从而A∪B连通.定理4.2.7R2与R不同胚.证若∃同胚f:R2→R,令g=f|R2-{0}:R2-{0}→R,则g连续,从而g(R2-{0})=R-{f(0)}连通,矛盾.§4.3连通分支将不连通集分解为一些“最大”连通子集(“连通分支”)之并.定义4.3.1x,y∈X称为连通的,若∃X的连通子集同时含x,y,记为x~y.点的连通关系~是等价关系:(1)x~x;(2)x~y⇒y~x;(3)x~y,y~z⇒x~z.定义4.3.2空间X关于点的连通关系的每一等价类称为X的一个连通分支.x~y⇔x,y属于X的同一连通分支.X是X的全体连通分支的互不相交并.定理4.3.1设C是空间X的连通分支,则(1)若Y是X的连通子集且Y∩C≠∅,则Y⊂C;(2)C是连通的闭集.证(1)取定x∈Y∩C,∀y∈Y,则x~y,所以y∈C.(2)取定c∈C.∀x∈C,∃X的连通集Y x∍c,x,由于Y x∩C≠∅,Y x⊂C,于是C=∪{Y x|x∈C}且c∈∩{Y x|x∈C},所以C是连通的.从而C-连通且C-∩C≠∅,于是C-⊂C,故C闭.以上说明:连通分支是最大的连通子集.连通分支可以不是开集.Q的连通分支都是单点集,不是Q的开子集.∀x,y∈Q,由定理4.2.1,不存在Q的连通子集同时含有x,y,所以Q的连通分支都是单点集.§4.4局部连通空间例4.4.1(拓扑学家的正弦曲线)令S={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]},T={0}⨯[-1,1],S1=S∪T,则S-=S1,于是S,S1连通.在S1中,S中点与T中点的“较小的”邻域表现出不同的连通性.定义4.4.1设x∈X.若x的每一邻域U中都含有x的某一连通的邻域V,称X在x是局部连通的.空间X称为局部连通的,若X在每一点是局部连通的.S1是连通,非局部连通的.多于一点的离散空间是局部连通,非连通的.定理4.4.1对空间X,下述等价:(1)X是局部连通;(2)X的任一开集的任一连通分支是开集;(3)X有一个基,每一元是连通的.证(1)⇒(2)设C是X的开集U的连通分支.∀x∈C,∃x的连通的邻域V⊂U,于是V∩C≠∅, V⊂C,所以C是x的邻域,故C开.(2)⇒(3)令B={C⊂X|C是X的开集U的连通分支},则B是X的基.(3)⇒(1)设U是x的邻域,∃开集V使x∈V⊂U,∃连通开集C使x∈C⊂V⊂U,所以X局部连通.定理4.4.2设f:X→Y是连续开映射.若X局部连通,则f(X)局部连通.证∀y∈f(X),及y在f(X)中的邻域U,取x∈f-1(y),则f-1(U)是x的邻域,∃X的连通开集V使x∈V⊂f-1(U),于是y=f(x)∈f(V)⊂U.定理4.4.3局部连通性是有限可积性,即设X1,X2,…,X n局部连通,则X1⨯X2⨯…⨯X n局部连通.证仅证若X1,X2局部连通,则X1⨯X2局部连通.设B1,B2分别是X1,X2的由连通开集组成的基,则{B1⨯B2|B1∈B1,B2∈B2}是X1⨯X2的由连通开集组成的基(定理3.2.4).。
基础拓扑学习题课教案
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基础拓扑学习题课教案习题课1为什么要进行公理集论的研究? 1903年, 著名的罗素悖论: 令A={x|x∉x}. 问A是A的元素吗? 若A∉A, 由A的定义, A∈A; 若A∈A, 仍由A的定义, A∉A. 1919年, 罗素给上述悖论以通俗的形式, 即所谓“理发师悖论”.1.(§1.5习题1(3)) 设X,Y是两个集合, f:X→Y是映射. 证明f是满射当且仅当B=f(f–1(B)), ∀B⊂Y.证设f是满射. 显然, ∀B⊂Y有f(f–1(B))⊂B. 若y∈B, ∃x∈X使得f(x)=y, 于是x∈f–1(B), 所以y=f(x)∈f(f–1(B)), 故B⊂f(f–1(B)). 反之, 若y∈Y=f(f–1(Y)), ∃x∈f–1(Y)使f(x)=y, 因而f是满射.2. (§1.5习题2)设X,Y是两个集合, f:X→Y是映射. 证明下列条件等价:(1) f是单射;(2) f(A∩B)=f(A)∩f(B), ∀A, B⊂X;(3) A=f–1(f(A)), ∀A⊂X;(4) f(X-A)=f(X)-f(A), ∀A⊂X.证(1)⇒(2). 显然, ∀A, B⊂X, f(A∩B)⊂f(A)∩f(B). 若y∈f(A)∩f(B), ∃a∈A, b∈B使得y=f(a), y=f(b). 因为f是单射, 所以a=b∈A∩B, 于是y∈f(A∩B).(2)⇒(3). ∀A⊂X, 显然, A⊂f–1(f(A)). 若x∈f–1(f(A)), 则f(x)∈f(A), 于是f(A∩{x})=f(A)∩{f(x)}={f(x)}, 所以x∈A.(3)⇒(4). ∀A⊂X, 显然, f(X)-f(A)⊂f(X-A). 若y∈f(X-A), 则∃x∈X-A使得y=f(x), 于是y∈f(X)且x∉A=f–1(f(A)), 从而f(x)∉f(A).(4)⇒(1). 若a≠b∈X, 则b∈X-{a}, 于是f(b)∈f(X-{a})=f(X)-f({a}), 从而f(a)≠f(b).3. (§1.5习题3)设X,Y是两个集合, f:X→Y是映射. 证明下列条件等价:(1) f是一一映射;(2) f–1是满射;(3) f–1︒f=i X和f︒f–1=i Y.证由一一映射的定义知(1)⇔(2).(1)⇒(3). 设f是一一的, 由f–1的定义, 当x∈X时, f–1(f(x))=x; 当y∈Y时, f(f–1(y))=y, 所以f–1︒f=i X和f︒f–1=i Y.(3)⇒(1). 若a ≠b ∈X, 则f –1︒f(a)=a ≠b=f –1︒f(b), 所以f(a)≠f(b), 从而f 是单射. ∀y ∈Y , 则f(f –1(y))=y, 于是f 是满射.4. (§1.7习题1) 证明Q 是可数集.证 记Q +={p/q | p, q ∈Z +}, Q -={p/q | -p, q ∈Z +}, 则Q ={0}∪Q +∪Q -. 由于Z +⨯Z +是可数集, 所以Q +, Q -都是可数集, 于是Q 是可数集.5. (§1.7习题3) 证明card R 2=ℵ.若存在从A 到B 的单射, 记|A|<|B|.证 由于存在R 到R 2的单射, 所以ℵ≤ card R 2. 由于存在R 到开区间(0, 1)的单射, 所以存在R 2到(0, 1)2的单射, 若证明了存在(0, 1)2到(0, 1)的单射, 则card R 2≤ℵ, 从而card R 2=ℵ.对(0, 1)中的点用小数表示, 则可建立单射如下:∀(x, y)∈(0, 1)2, (x, y)=(0.x 1x 2⋯x n ⋯, 0.y 1y 2⋯y n ⋯)→(0.x 1y 1x 2y 2⋯x n y n ⋯)∈(0, 1).6. 作业讲评.习题课21. (§2.1习题5) 集合X 的两个度量ρ1, ρ2称为等价的, 如果X 的子集A 是(X, ρ1)的开集当且仅当A 是(X, ρ2)的开集. 定义ρ, ρ1: R 2⨯R 2→R 如下:ρ(x, y)=222211)y -(x )y -(x +,ρ1(x, y)=max{|x 1-y 1|, |x 2-y 2|}.证明: ρ, ρ1是R 2的两个等价的度量.证 记X=R 2. 易验证ρ, ρ1都是X 的度量. 由于ρ1(x, y)≤ρ(x, y)≤2ρ1(x, y), 所以B 1(x, ε/2)⊂B(x, ε)⊂B 1(x, ε). 若A 是(X, ρ)的开集, ∀x ∈A, ∃ε>0使B(x, ε)⊂A, 于是B 1(x, ε/2)⊂A, 所以A 是(X, ρ1)的开集. 若A 是(X, ρ1)的开集, ∀x ∈A, ∃ε>0使B 1(x, ε)⊂A, 于是B(x, ε)⊂A, 所以A 是(X, ρ1)的开集.2. 在度量空间(X, ρ)中, 若x ∈B(y, ε1)∩B(z , ε2), 则∃δ>0使B(x, δ)⊂B(y, ε1)∩B(z , ε2). 证 由x ∈B(y, ε1)∩B(z , ε2)及定理2.1.1, ∃δ1>0使B(x, δ1)⊂B(y, ε1), ∃δ2>0使B(x, δ2)⊂B(z, ε2), 取δ=min{δ1, δ2}>0, 则B(x, δ)⊂B(x, δ1)∩B(x, δ2)⊂B(y, ε1)∩B(z , ε2).3. (§2.2习题6) 设(X, ρ)是一个度量空间. 证明作为拓扑空间X 是离散空间当且仅当ρ是一个离散度量.证 设X 是离散空间. ∀x ∈X, {x}是X 中的开集, ∃εx >0使B(x, εx )⊂{x}, 对于∀y ∈X, y ≠x,ρ(x, y)≥εx>εx/2. 反之, 设(X, ρ)是离散度量空间. ∀x∈X, ∃δx >0满足: ∀ y∈X, y≠x, ρ(x, y)>δx. 则B(x, δx)={x}, 所以{x}是由ρ导出的拓扑空间的开集. 若A⊂X, 则A=∪x∈A{x}是X的开集, 从而X是离散空间.4. (§2.2习题7) 离散空间是可度量化空间.证设(X, T)是离散空间. 按如下方式定义ρ: X⨯X→R是X上的离散度量: 当x=y时, ρ(x, y)=0; 当x≠y时, ρ(x, y)=1. 则在度量空间(X, ρ)中每一单点集是开集, 所以由ρ导出的度量拓扑是离散拓扑, 故X是可度量化空间.5. (§2.2习题12) 设X, Y是两个同胚的拓扑空间. 证明: 如果X是可度量化的, 则Y也是可度量化的.证设(X, T)是可度量化空间, 其中T由X上的度量ρ诱导出的拓扑. 让f: Y→X是同胚. 定义ρ1: Y⨯Y→R为ρ1(y1, y2)=ρ(f(y1), f(y2)), 则ρ1是Y的度量. 事实上, ∀y1, y2, z∈Y, ρ1(y1, y2)= ρ(f(y1), f(y2))≤ρ(f(y1), f(z))+ρ(f(z), f(y2))=ρ1(y1, z)+ρ1(z, y2).这时, y∈B1(y0, ε)⇔f(y)∈B(f(y0), ε). 于是, 对V⊂Y, V是拓扑空间Y中的开集⇔f(V)是拓扑空间X中的开集⇔f(V)是度量空间(X, ρ)中的开集⇔∀x∈f(V), ∃ε>0使B(x, ε)⊂f(V)⇔∀y∈V, ∃ε>0使B1(y, ε)⊂V⇔V是度量空间(Y, ρ1)中的开集.6. 作业讲评.习题课31. 设U是拓扑空间X的开集. 若A⊂X, 则U∩A-⊂(U∩A)-.证若x∈U∩A-, 对x的任意邻域V, V∩U是x的邻域,所以V∩U∩A≠∅, 从而x∈(U ∩A)-.由此, 若U是X的开集且U∩A=∅, 则U∩A-=∅.2. 度量空间中的每一有限集是闭集.证设(X, ρ)是度量空间. 只需证X的每一单点集是闭集. ∀x∈X, 对y∈X-{x}, 让ε=ρ(x, y)>0, 则B(y, ε/2)⊂X-{x}, 于是X-{x}是开集, 从而{x}是闭集.3. 设A是拓扑空间X的子集, 则∂(∂A))⊂∂A. (§2.5习题2(5))证∂A是X的闭集, 于是∂(∂A))=c(∂A)∩c(X-∂A)⊂c(∂A)=∂A.4.(§2.6习题1) 集合X的子集族B, B1是X的同一拓扑T的两个基的充分必要条件: (1) x∈B∈B⇒∃B1∈B1, x∈B1⊂B; (2) x∈B1∈B1⇒∃B∈B, x∈B⊂B1.证必要性. 如果x∈B∈B, 因为B∈T且B1是T的基, 由定理2.6.2, 所以∃B1∈B1, x∈B1⊂B, (1)得证. 同理, (2)成立.充分性. 设B, B1是X的拓扑T, T1的基. ∀U∈T, ∀x∈U, ∃B∈B, 使得x∈B⊂U, 由(1), ∃B1∈B1, x∈B1⊂B⊂U, 所以U∈T1, 于是T⊂T1. 同理, 由(2)知, T1⊂T.5. 证明:度量空间中每一子集的导集是闭集. (§2.4习题8)证设(X, ρ)是度量空间, A⊂X. 要证明d(d(A))⊂d(A). 若x∉d(A), ∃x的开邻域U使得U ∩(A-{x})=∅. 若∃y∈U∩(d(A)-{x}), 则∃ε>0使得B(y, ε)⊂U, 让2δ=ρ(x, y)>0, V=B(y, ε)∩B(y, δ), 则V是y的邻域, 且x∉V⊂U, 所以V∩A=∅, 从而y∉d(A), 矛盾. 因此, U∩(d(A)-{x})=∅, 从而x∉d(d(A)).存在较多问题的练习.1. 设A是有限补空间X中的一个无限子集. 求d(A), A︒.解对x∈X的邻域U, A-{x}⊄U'(有限集), 所以U∩(A-{x})≠∅, x∈d(A), 所以d(A)=X.若A︒≠∅, 由于X-A⊂X-A︒ (有限集), 所以X-A是有限集. 当X-A是有限集时, A是开集, A︒=A; 当X-A是无限集时, A︒=∅.进一步问: 设X是无限集. 若B是有限补空间X中的一个有限子集, 求d(B), B︒.这时, d(B)=∅, B︒=∅. (({x}∪(X-A))∩(A-{x}=∅)2.设X是一个度量空间. 证明: X有一个基只含有有限个元⇔X必为只含有有限个点的离散空间.证设度量空间(X, ρ)有基B只有n个元. 若X不是有限集, 取X中不相同的n+1个点{x1, x2,…,x n+1}, 让2ε=min{ρ(x i, x j):1≤i≠j≤n+1}>0. 由于B(x i, ε)是x i的邻域, 存在B i∈B使得x i∈B i⊂B(x i, ε). 若存在z∈B(x i, ε)∩B(x j, ε), 则ρ(x i, x j) ≤ρ(x i, z)+ ρ(z, x j)< 2ε, 从而i=j. 因此{B(x i, ε):i≤n+1}是n+1个不相同的元, 于是{B i: i≤n+1}是B中n+1个不相同的元, 矛盾. 故X 是有限集. 又由X是度量空间, 所以X是离散空间.反之, 设X={x1, x2,…,x n}是离散空间, 则B={{x i}:i≤n}是X的只含有限个元的基.3.证明:实数集合R有一个拓扑以集族{[a, +∞) | a∈R}∪{(-∞, b] | b∈R}为它的一个子基, 并说明这个拓扑的特点. (§2.6习题3)证由于R=[0, +∞)∪(-∞, 0], 所以上述集族是R上一拓扑的子基. 这拓扑是离散拓扑, 因为∀x∈R, {x}=[x, +∞]∩(-∞, x)是开集, 于是R的每一子集是开集.习题课41. 设X, Y是拓扑空间, A⊂X. 若f: X→Y连续, 则f|A: A→Y也连续. (§3.1习题7)证若U是Y中的开集, 则(f|A)-1(U)= f-1(U)∩A是A中的开集, 所以f|A连续. 同理, f|A: A→f(A)连续.2. 设X, Y是拓扑空间, A⊂X, B⊂Y, 则(A⨯B)-= A-⨯B-, (A⨯B)︒ = A︒⨯B︒.(§3.2习题4)证(1) 设p=(x, y) ∈(A⨯B)-, 对x, y分别在X, Y中的邻域U, V, U⨯V是p在X⨯Y中的邻域, (U⨯V)∩(A⨯B) ≠∅, 即U∩A≠∅且V∩B ≠∅, 所以x∈A-且y∈B-, 于是p=(x, y)∈A-⨯B-. 反之, 设p=(x, y)∈A-⨯B-, 对p在X⨯Y中的任一邻域W, 分别存在X, Y中的开集U, V, 使p∈U⨯V⊂W, 则x∈U且y∈V, 于是U∩A≠∅且V∩B ≠∅, 从而(U⨯V)∩(A⨯B) ≠∅, 因此W∩(A⨯B) ≠∅, 所以p=(x, y) ∈(A⨯B)-.由此, 有限积空间中, 各因子空间中闭集之积是积空间中的闭集.(2) X⨯Y的开集A︒⨯B︒⊂A⨯B, 所以A︒⨯B︒⊂(A⨯B)︒. 反之, 若p=(x, y)∈(A⨯B)︒, 分别存在X, Y中的开集U, V, 使p∈U⨯V⊂(A⨯B)︒⊂A⨯B, 于是x∈U⊂A且y∈V⊂B, 那么x∈A︒且y∈B︒, 故p∈A︒⨯B︒.3.积空间X⨯Y同胚于积空间Y⨯X. (§3.2习题6)证定义f: X⨯Y→Y⨯X为f(x, y)=(y, x). 则f是一一映射. 若U, V分别是Y, X的开集, 则f-1(U⨯V)=V⨯U是X⨯Y的开集, 所以f连续. 若A, B分别是X, Y的开集, 则f(A⨯B)=B⨯A是Y⨯X的开集, 所以f-1连续.同理可证, 积空间(X⨯Y)⨯Z同胚于积空间X⨯(Y⨯Z); 积空间{x}⨯Y同胚于空间Y, {x}是单点空间. 仅证后一断言. 定义f: {x}⨯Y→Y为f(x, y)=y. 则f是一一映射. 若U是Y的开集, 则f-1(U)={x}⨯U是{x}⨯Y的开集, 所以f连续. 若V是Y的开集, 则f({x}⨯V)=V是Y的开集, 所以f-1连续.4. 设f: X→Y是一一映射. 下列等价:(1) f同胚; (2) f是连续的开映射; (3) f是连续的闭映射; (4) f是商映射.证(1)⇒(2)、(3). 设f同胚. 若A是X的开(闭)集, 由于f-1:Y→X连续, (f-1)-1(A)=f(A)是Y的开(闭)集, 所以f是开(闭)映射. 定理3.3.3已证(2)或(3)⇒(4). 最后证(4)⇒(1). 设f是商映射, 要验证f-1:Y→X连续. 若U是X的开集, 由于U= f-1(f(U)), 所以(f-1)-1(U)=f(U)是Y的开集, 于是f-1连续.5. 举例说明商映射可以既不是开映射也不是闭映射. (§3.3习题7)证在R上定义等价关系~: ∀x, y∈R, x~y⇔或者x, y∈Q, 或者x=y. 记P=R-Q, 则商集R/~={q}∪P, 自然投射f:R→R/~定义为f(Q)=q, f(p)=p, ∀p∈P. R赋予通常的欧氏拓扑, Y= R/~赋予商拓扑, 则f是商映射. 但f既不是开映射也不是闭映射.{0}是R的闭集, 若f是闭映射, 则f({0})={q}是Y的闭集, 由于f连续, 于是f-1({q})=Q 是R的闭集, 矛盾. 开区间(0, 1)=U是R的开集, 若f是开映射, 则f(U)是Y的开集, 由于f 连续, 于是f-1(f(U))=(0, 1)∪Q是R的开集, 矛盾.存在较多问题的练习.1. §3.2习题5:不清楚要证明什么, 关键在于说明这两个拓扑是同一基生成的;2.§3.3习题2: 不清楚证明商映射要证明什么, 与定义稍有不同, 关键在于给定依赖于拓扑的商映射的等价刻画.习题课51. 设X是一个拓扑空间, Y是X的一个子集, 证明: Y是不连通子集当且仅当存在X的开集(闭集)A和B使得Y⊂A∪B, A∩B⊂X-Y, A∩Y≠∅和B∩Y≠∅成立. (§4.1习题7)证设Y不连通, 则存在Y中非空的不相交开集(闭集)C和D使得Y=C∪D. 存在X中的开集(闭集)A和B使得C=A∩Y, D=B∩Y, 则Y⊂A∪B, A∩B⊂X-Y, A∩Y≠∅和B∩Y≠∅成立. 反之, 由假设条件, A∩Y, B∩Y是Y中一对非空的隔离集, 其并是Y, 所以Y不连通.2.证明:欧氏平面R2中所有至少有一个坐标为有理数的点构成的集合是一个连通子集. (§4.1习题14)证R2中所有至少有一个坐标为有理数的点构成的集合Y=(R×Q)∪(Q×R). ∀x=(x1, x2), y=(y1, y2)∈Y, 不妨设x1∈Q. 若y1∈Q, 则({x1}×R)∪(R×{0})∪({y1}×R)是Y的含点x, y的连通子集. 若y1∉Q, 则y2∈Q, 则({x1}×R)∪(R×{y2})是Y的含点x, y的连通子集.3.在欧氏平面R2中令Y={(0, y)∈R2|y∈R}∪{(x, 0)∈R2|x∈R}, 证明Y与实数空间R不同胚. (§4.3习题8)证若存在同胚f:Y→R, 则Y-{(0, 0)}与R-{f(0, 0)}同胚, 从而它们有相同个数的连通分支. Y-{(0, 0)}有4个连通分支, 而R-{f(0, 0)}仅有2个连通分支, 矛盾.4. 设A是n≥2维欧氏空间R n的一个可数子集, 证明R n-A是连通的. (§4.2习题4)证∀a, b∈R n, 记L(a, b)是R n中连接a, b两点的直线段.b∈R n-L(x, y)使b, x, y三点不共线. ∀z∈L(a, b), 让V(x, z,y)=L(x, z)∪L(z, y), 则不同的z所定义的折线V(x, z, y)仅在两端点处相交. 由于L(a, b)是不可数集, A是可数集, 所以存在c∈L(a, b)使V(x, c, y)∩A=∅, 即V(x, c, y)⊂Y是含点x, y的连通子集.5. 局部连通性是开遗传性质. (§4.4习题3)证设X是局部连通空间, U是X的开子空间, 要证U是局部连通的. 如果V是U的开集, 则V是X的开集, 于是V的任一连通分支C是X的开集(定理4.4.1), 从而C也是U的开集, 故U是局部连通的.6.连续映射未必保持局部连通性.证让N是自然数集, S={0}∪{1/n: n∈Z+}, 均赋予实直线的子空间拓扑. 则N是离散空间, 从而是局部连通空间. S不是局部连通空间(S的连通分支均是单点集). 定义f: N→S为f(0)=0, f(n)=1/n, n∈Z+, 则f连续.7. 证明拓扑学家的正弦曲线S1不是道路连通空间. (§4.5习题3)证仍使用例 4.4.1中的记号. 设f:[0, 1]→S1是S1中连结(0, 0)与(1, sin1)的道路. 让A={t∈[0, 1]: f(t)∈T}, 由于T是S1中的闭集, 所以A是[0, 1]中的闭集, 让c=supA, 则c∈A 且c<1.让g=f|[c, 1]:[c, 1]→S1, 则g连续, g(c)∈T, g(t)∈S, c<t≤1. 记f(t)=(x(t), y(t)), 则x(t), y(t)连续, x(c)=0, 且当c<t≤1时, x(t)>0, y(t)=sin(1/x(t)). 不妨设y(c)≠1, c=0. ∀n∈Z+, 选取z n满足: x(0)=0<z n<x(1/n), sin(1/z n)=1. 由于x(t)在[0, 1/n]上的连续性及介值性定理, ∃t n满足: 0<t n<1/n, x(t n)=z n. 于是序列{t n}收敛于0, 但是y(t n)=sin(1/x(t n))=1, 所以序列{y(t n)}不收敛于y(0), 矛盾.存在较多问题的练习.1. §4.1习题12, 在充分性的证明中要验证f的连续性.2. §4.4习题2, 有限补空间的连通性及局部连通性.习题课61. 证明:第一可数空间的连续开映像是第一可数空间.(定理5.1.4)证设f: X→Y连续、满、开映射, 其中X是A1空间. ∀y∈Y, ∃x∈X使f(x)=y. 因X是A1, 设V是点x的可数开邻域基, 则V*={f(V) | V∈V}是点y的可数开邻域基. 事实上, 设U是y在Y 中的邻域, 由f在x连续, 则f-1(U)是x的邻域, ∃V∈V使x∈V⊂f-1(U), y∈f(V)⊂U.2. 证明:第二可数空间中由互不相交开集构成的子集族是可数族. (5.1节习题4)证设{Uγ}γ∈Γ是A2空间X的互不相交开集族. 让B={B n}n∈N是X的可数基. ∀γ∈Γ, 取定xγ∈Uγ, ∃n∈N使xγ∈B n⊂Uγ, 由此定义函数h: Γ→N. 因为{Uγ}γ∈Γ是互不相交的, 所以h是单射, 而N是可数集, 所以Γ是可数集.3.可分性是开遗传性质.证设U是可分空间X的开子空间. 让D是X的可数稠密子集, 令E=D∩U, 则E是U的可数子集, 下证cl U(E)=U. ∀u∈U及u在U中的开邻域V, ∃X中开集W使W∩U=V, 所以V 是x在X中开邻域, ∃d∈V∩D=V∩E, 所以u∈cl U(E). 故U是可分子空间.4. 连续映射保持可分性. (5.2节习题4)证设f: X→Y连续满映射, X是可分空间, 要证明Y是可分空间. 让D是X的可数稠密子集, 则f(D)是Y的可数子集. ∀y∈Y, 让U是y在Y中的开邻域, ∃x∈X使f(x)=y, 由于f:X→Y 连续, f-1(U)是x在X中的开邻域, ∃d∈f-1(U)∩D, 从而f(d)∈U∩f(D), 故f(D)是Y的稠密子集. 另证: 设D-=X, 由f的连续性, f(X)=f(D-)⊂f(D)-, 所以f(X)=f(D)-.5.可分性是有限可积性.(5.2节习题5)证由于可分性是拓扑性质, 只要证明: 若X, Y都是可分空间, 则X⨯Y是可分空间. 让D, E分别是X, Y的可数稠密子集, 则D⨯E是X⨯Y的可数子集. 由于(D⨯E)-=D-⨯E-=X⨯Y(3.2节习题4), 故D⨯E是X⨯Y的可数稠密子集, 所以X⨯Y是可分空间.6.证明: D-=X⇔对X的不空开集U, U∩D≠∅.证设D-=X, 对X的不空开集U, 取定x∈U, 则U是x∈D-的邻域, 所以U∩D≠∅. 反之, 若D-≠X, 令U=X-D-, 则U是X的不空开集且U∩D=∅.7. Lindelőf空间的连续象是Lindelőf空间. (5.3节习题1)证设f: X→Y是连续满映射, 其中X是Lindelőf空间. 设U是空间Y的开覆盖, 则{f-1(U) | U∈U}是X的开覆盖, 它有可数子覆盖{f-1(U i)}i∈N, 于是{U i}i∈N是U的可数子覆盖. 故Y是Lindelőf空间.习题课7-81. 设f:X→Y, A⊂Y, B⊂X, 则有f(f-1(A)∩B)=A∩f(B).证∀y∈f(f-1(A)∩B), ∃x∈f-1(A)∩B使y=f(x)∈A∩f(B), 所以f(f-1(A)∩B)⊂A∩f(B). 另一方面, ∀y∈A∩f(B), ∃x∈B使y=f(x)∈A, 于是x∈f-1(A)∩B, 所以y=f(x)∈f(f-1(A)∩B), 因此A∩f(B)⊂f(f-1(A)∩B).拓扑空间的运算性质2. 若(X, T)是拓扑空间, Y是一个集合, f:X→Y是满射, 令T1={U⊂Y: f-1(U) ∈T}, 则T1是Y的一个拓扑.证直接验证T1满足拓扑的三个要求.3. 定义函数ρ:R⨯R→R如下: 对于任意的x, y∈R, 若x=y, 则ρ(x, y)=0; 若x≠y, 则ρ(x, y)=1. 证明:(1) (R, ρ)是度量空间;(2) 由ρ诱导的R上的度量拓扑是离散拓扑, 从而这度量拓扑不是R上的通常拓扑.证(1) 利用度量公理验证. 主要的三角不等式, 即∀x, y, z∈R, 有ρ(x, y)≤ρ(x, z)+ρ(z, y). 如果x=y, 上式成立; 如果x≠y, 则或者x≠z, 或者z≠y, 于是ρ(x, z)+ρ(z, y)≥1=ρ(x, y), 上式成立.(2) ∀x∈R, B(x, 1)={x}, 所以{x}是开集, 从而每一子集是开集, 故度量拓扑是离散拓扑.4.证明:在实数空间R中[0, 2[不是开集, 但在R的子空间[0, 5]中, [0, 2[是开集.证利用开集的定义及R的子空间拓扑来证明.5. 设X为拓扑空间, A为X的子集. 给出A的闭包的定义, 证明: x∈A-当且仅当对于x的任何邻域U, 有U∩A≠∅.证由定义 2.4.3, A-=A∪d(A); 由定义 2.4.1, x∈d(A)⇔对于x的任何邻域U, 有U∩(A-{x})≠∅. 设x∈A-, 则x∈A或x∈d(A). 若x∈A, 显然, 对于x的任何邻域U, x∈U∩A≠∅; 若x∈d(A), 则对于x的任何邻域U, 有U∩(A-{x})≠∅, 所以U∩A≠∅.反之, 设对于x的任何邻域U, 有U∩A≠∅. 若x∈A, 则x∈A-; 若x∉A, 则对于x的任何邻域U, U∩(A-{x})≠∅, 所以x∈d(A), 则x∈A-.6.若X是离散空间, X中序列{x k}收敛, 则存在自然数N, 使得当k,n>N时, x k=x n .(2.7节习题1)证利用{x}是开集及收敛的定义.7. 设f: X→Y是连续的双射. 下列等价:(1) f同胚; (2) f是连续的开映射; (3) f是连续的闭映射; (4) f是商映射.证(1)⇒(2)、(3). 设f同胚. 若A是X的开(闭)集, 由于f-1:Y→X连续, (f-1)-1(A)=f(A)是Y的开(闭)集, 所以f是开(闭)映射. 定理3.3.3已证(2)或(3)⇒(4). 最后证(4)⇒(1). 设f是商映射, 要验证f-1:Y→X连续. 若U是X的开集, 由于U= f-1(f(U)), 所以(f-1)-1(U)=f(U)是Y的开集, 于是f-1连续.8. 证明:空间X中不相交的开集是隔离的.证设X的开集U, V满足U∩V=∅, 则U-∩V=∅且U∩V-=∅.9.设A是空间X的连通子集, B是X的一个既开又闭的集合, 证明: 如果A∩B≠∅, 则A⊂B(4.1节习题6)证显然, A= (A∩B)∪(A-B), 而A∩B, A-B是子空间A的互不相交闭集, 于是它们是隔离集, 由A的连通性及A∩B≠∅, A-B=∅, 即A⊂B.10.设Y是空间X的连通子集. 证明: 如果A和B是X的两个无交的开集(闭集)使得Y⊂A∪B, 则或者Y⊂A或者Y⊂B. (4.1节习题8)证A, B是X的隔离集, 所以由Y的连通性及定理4.1.4, 或者Y⊂A或者Y⊂B. 也可直接证明如下: Y=(Y∩A)∪(Y∩B), 而Y∩A, Y∩B是Y的隔离集, 所以Y∩A=∅或Y∩B=∅, 于是Y⊂B或Y⊂A.11. 局部连通性是开遗传性质. (§4.4习题3)证设X是局部连通空间, U是X的开子空间, 要证U是局部连通的. 如果V是U的开集, 则V是X的开集, 于是V的任一连通分支C是X的开集(定理4.4.1), 从而C也是U的开集, 故U是局部连通的.。
点集拓扑讲义熊金城部分习题参考答案
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点集拓扑讲义部分答案P73 第2.1节3.设(),X ρ是一个 的度量空间,证明: (1) X 的每一个子集都是开集;(2) 如果Y 也是一个度量空间,则任何映射:f X Y →都是连续的. 证 (1) 对任意的A X ⊂和任意顶的x A ∈,取14ε=,则(){},B x x A ε=⊂,所以A 是开集.(2) 设:f X Y →为任一映射,U ∈T Y,由(1)知,()1f U -∈TX,所以,f 是连续映射.6.从殴氏平面2到实数空间的映射2,:m s →定义为对任何()12,x x x =,(){}()1212max ,,m x x x s x x x ==+证明m 和s 都是连续函数。
(提示:分别用2的度量1ρ和2ρ(参见第5题).)证 先证m 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意一点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为(){}{}{}()()111221212,max ,max ,max ,x y x y x y x x y y m x m y ρ=--≥-=-(其中1ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,m B x B m x εε⊂,即m 在2x ∈对于2的度量1ρ而言是连续的,由于2x ∈是任意的,从而对于2的度量1ρ而言连续.由习题5的结论知,m 对于2的度量ρ而言是连续的.下面再证s 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意一点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为()()()()()211221212,x y x y x y x x y y s x s y ρ=-+-≥+-+=-(其中2ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,s B x B s x εε⊂,即s 在2x ∈对于2的度量2ρ而言是连续的,由于2x ∈是任意的,从而对于2的度量2ρ而言连续.由习题5的结论知,s 对于2的度量ρ而言是连续的.P73 第2.2节2. 对于每一个n +∈,令{}n A m m n +=∈≥,(1) 证明P ={}{}n A n +∈⋃∅是正整数集+的一个拓扑;(2) 写出1+∈的所有开邻域.(1) 证 显然1,A +∅=∈P .又n A ∅⋂=∅∈P ,1,2,n =.任意,n m A A ∈P ,{}max ,n m m n A A A ⋂=∈P ,对任意的P 1⊂P ,{}11min :n n n n A TB A TB A A ∈∈=∈P ,因此P 为+的拓扑.(2) 1+∈的唯一开邻域为1A +=.7. 设P 1和P 2是集合X 的两个拓扑,证明P1⋂P 2也是X 的一个拓扑.举例说明P1⋃P 2可以不是X 的拓扑.证 若P 1和P2都是X 的拓扑,,由于,X ∅∈P 1,P2,所以,X ∅∈P1⋂P 2;任意,A B ∈P 1,P 2,则A B ⋂∈P 1,P2,所以A B ⋂∈P1⋂P 2;对任意的P '⊂P 1⋂P2,即P '⊂P1,P2,则'A T A ∈∈P 1,P2,所以'A T A ∈∈P 1⋂P 2. 因此P 1⋂P 2是X 的拓扑.例,设{},,X a b c =, P {}{}{}{}1,,,,,,a b c a b c =∅, P{}{}{}{}2,,,,,,b a c a b c =∅,显然, P1,P2都是X 的拓扑,P1⋃P2{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,a b b c a c a b c =∅,因{}{},a b ∈P 1⋃P2,{}{}{},a b a b =⋃∉P1⋃P 2,因此P 1⋃P 2不是X 的拓扑.10. 证明:(1) 从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续的; (2) 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续的. 证 (1) 设(X ,P 1)是任意拓扑空间,( ,Y P 2)是平庸拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P2,,U Y =或∅,所以()1,fU X -=或∅,它们都属于P 1,所以f 连续.(2) 设(X ,P 1)是离散拓扑空间,( ,Y P2)是任意拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P 2 ,(){}()11x f U f U x --∈=∈P1,所以f 连续.(因为离散拓扑空间的单点集是开集).P73 第2.4节2. 设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,证明:(1) x X ∈是集合A 的凝聚点当且仅当x 是集合{}A x -的凝聚点; (2) 如果()d A B A ⊂⊂,则B 是一个闭集.证 (1) 若x X ∈是集合A 的凝聚点, 当且仅当对任意的U ∈Ux,有{}()U A x ⋂-≠∅,由{}{}(){}A x A x x -=--,从而{}(){}{}U A x x ⋂--≠∅,即x 是集合{}A x -的凝聚点.(2) 因为()d A B A ⊂⊂,所以()()d B d A B ⊂⊂,即()d B B ⊂,故B 为闭集. 3. 证明:闭包运算定义中的Kuratovski 公理等价于条件:对任何,A B X ⊂,()()()()()*****A c A c c B c A B c ⋃⋃=⋃-∅.证 “必要性”若Kuratovski 公理成立,则对任意,A B X ⊂,()()()()()()()()********A c A c c B c A c B c A B c A B c ⋃=⋃=⋃=⋃-∅;“充分性”若对任意,A B X ⊂,有()()()()()*****A c A c c B c A B c ⋃⋃=⋃-∅,则令A B ==∅,有()()()()()()******c c c c c c ∅⋃∅⋃∅=∅-∅=∅⇒∅=∅;令A B =,有()()()()()()()()()()**********A c A c c A c A c c A A c A c A c c A ⋃⋃=-∅=⇒⊂⇒⊂,并且()()()***c c A c A ⊂,所以()()()***c c A c A =。
河北师大点集拓扑课件 4.5
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定理4.5.2 设 X 和 Y 是两个拓扑 空间,其中 X 是道路连通空间,
f : X Y 是一个连续映射. 则 f (X )
是道路连通空间.
1
g
x1 x2
f
y1
f (X)
y2
0
X
Y
定理4.5.3 设 X1 , X 2 ,
, Xn 是
n 1 个道路连通空间. 则积空间
X1 X 2 X n 也是道路连通空间.
证明:只需证明 n=2 的情形. 对x ( x1 , x2 ), y ( y1, y2 ) X1 X 2 对于 i =1,2,由于 X i 是道路连通空 间, 故在 X i 中有从 道路. f i .
xi 到 yi 的一条
定义映射 f :[0,1] X1 X 2 使得对 任意 t [0,1] 有 f (t ) ( f1 (t ), f 2 (t )) 易知 f 是连续映射. 且 f1 (0) x, f 2 (1) y . 故 X1 X 2 是道路连通空间. 注:R 是一个道路连通空间.
定理4.5.5 n 维欧氏空间 R 的任 何一个连通开集都是道路连通的. 证明: 设V 是 R n 的一个连通开集, 不 妨设 V ,则V 是它所有道路连通 分支的无交并,由于V 的每一个道路 连通分支都是开集,从而此时若V 的 连通分支的个数多于一个,则V 可以 写成无交的两个非空开集的并.
下面我们证明 C C 由于 R 是局部连通的,从而 C 是开 集,由th4. 5.5知连通开集 C是道路连 通的,从而它必包含于U 的某一个道 路连通分支中,由于 a C 故必有 C C
n
又因为 C 是道路连通子集,从而 必为连通子集,故必包含在U 的某一 个连通分支中,由于 a C ,故必 有 C C , 因此有 C C . 作业:2, 5:(1)、(2) 思考题:4,6
河北师大点集拓扑课件10

河北师大点集拓扑课件10一、教学内容1. 拓扑空间的定义与基本性质2. 开集、闭集、边界、内部与外部的概念3. 拓扑的几种重要性质:分离性、可数性、局部紧性等4. 积空间与商空间的构造及性质5. 紧致性与连通性的定义、判定与性质二、教学目标1. 理解拓扑空间的基本概念,掌握拓扑的几种重要性质2. 掌握开集、闭集、边界等概念,能够运用它们解决实际问题3. 学会使用紧致性与连通性对拓扑空间进行分类与判定三、教学难点与重点1. 教学难点:拓扑空间的构造与性质、紧致性与连通性的判定2. 教学重点:拓扑空间的基本概念、拓扑的性质与分类四、教具与学具准备1. 教具:多媒体教学设备、黑板、粉笔2. 学具:教材、笔记本、文具五、教学过程1. 实践情景引入通过展示几个典型的拓扑空间实例,引导学生发现拓扑空间的基本概念。
2. 例题讲解讲解教材中的典型例题,帮助学生理解拓扑空间的开集、闭集、边界等概念。
3. 知识点讲解(1)拓扑空间的定义与基本性质(2)开集、闭集、边界、内部与外部的概念(3)拓扑的几种重要性质:分离性、可数性、局部紧性等(4)积空间与商空间的构造及性质(5)紧致性与连通性的定义、判定与性质4. 随堂练习针对每个知识点,设计相应的练习题,让学生当堂巩固所学内容。
5. 课堂小结六、板书设计1. 拓扑空间的定义与基本性质2. 开集、闭集、边界、内部与外部的概念3. 拓扑的几种重要性质4. 积空间与商空间的构造及性质5. 紧致性与连通性的判定七、作业设计1. 作业题目:(1)设X为拓扑空间,证明:X是T0空间当且仅当X中任意两点都有不同的闭邻域。
(2)设A、B是拓扑空间X的两个子集,证明:A∪B是紧致的当且仅当A和B都是紧致的。
(3)设X、Y是两个拓扑空间,证明:如果X是连通的,Y是紧致的,则X×Y也是连通的。
2. 答案:(1)略(2)略(3)略八、课后反思及拓展延伸1. 反思:本节课是否成功引导学生理解拓扑空间的基本概念,掌握拓扑的几种重要性质?教学难点是否讲解透彻?2. 拓展延伸:(1)研究更高级的拓扑性质,如仿紧性、局部连通性等(2)探讨拓扑空间与其它数学分支(如:分析、代数、几何等)的联系(3)学习拓扑空间的其它重要应用,如:动力系统、微分几何等重点和难点解析1. 拓扑空间的基本概念及其性质的理解2. 开集、闭集、边界等概念的掌握3. 拓扑性质的判定与应用4. 紧致性与连通性的理解及其判定5. 作业题目的设计与解答一、拓扑空间的基本概念及其性质的理解拓扑空间是点集拓扑学的核心概念,它由一个非空集合及其上的拓扑结构组成。
河北师大点集拓扑课件1[1]0
![河北师大点集拓扑课件1[1]0](https://img.taocdn.com/s3/m/e7481706ac02de80d4d8d15abe23482fb4da0208.png)
河北师大点集拓扑课件 1[1]0一、教学内容本次课程选自《点集拓扑》教材的第二章,详细内容包括:拓扑空间的基本概念、拓扑的性质、子空间拓扑、积空间拓扑以及连续映射等。
二、教学目标1. 理解拓扑空间的基本概念,掌握拓扑的性质及其判断方法。
2. 掌握子空间拓扑和积空间拓扑的构建方法,了解其在实际中的应用。
3. 理解连续映射的定义,学会判断映射的连续性。
三、教学难点与重点1. 教学难点:拓扑性质的判断、连续映射的判断。
2. 教学重点:拓扑空间的基本概念、子空间拓扑和积空间拓扑的构建方法。
四、教具与学具准备1. 教具:多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具:教材、笔记本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入:通过展示生活中的拓扑现象,如地图的折叠、电路板的设计等,引起学生对拓扑学的兴趣。
2. 知识讲解:(1) 拓扑空间的基本概念:介绍拓扑的定义、拓扑的性质及其判断方法。
(2) 子空间拓扑:讲解子空间拓扑的构建方法,举例说明其在几何图形中的应用。
(3) 积空间拓扑:介绍积空间拓扑的构建方法,举例说明其在多变量函数中的应用。
(4) 连续映射:讲解连续映射的定义,通过例题讲解如何判断映射的连续性。
3. 随堂练习:针对每个知识点,设计相应的练习题,让学生巩固所学内容。
六、板书设计1. 黑板左侧:拓扑空间的基本概念、性质、判断方法。
2. 黑板右侧:子空间拓扑、积空间拓扑、连续映射的例题讲解。
七、作业设计1. 作业题目:(1) 设集合X上的拓扑为T,证明T的子集的交集也是X上的拓扑。
(2) 设A、B是拓扑空间X的两个子集,证明A∪B的子空间拓扑是由A和B的子空间拓扑的并构成的。
(3) 设f: X → Y是连续映射,证明f在X上的任意闭集上的限制也是连续的。
2. 答案:(1) 证明:设{Ti}i∈I是拓扑空间X的一族拓扑,则∩i∈ITi 也是X上的拓扑。
(2) 证明:设A、B是拓扑空间X的两个子集,A∪B的子空间拓扑为TA∪B,则有TA∪B={A∪B∩U|U∈TX}。
河北师大点集拓扑课件 4.2

同胚.
作业
作 业:3,6 思考题:4,7
定理4.2.3 设 f :[a,b] R 是从闭 区间[a,b ]到实数空间R的一个连续映 射. 则对于f (a)与 f(b)之间的任何一个 实数 r . 存在 z∈[a,b]使得 f (z)=r .
定理4.2.8 设 f : Dn Dn 是一 个连续映射, 其中 Dn是 n 维闭球体.
a b 使得[a,b] E, 从而存在 a c b 使得 c E ,
令 A (,c) E, B (c,) E
从而 A 和 B 都是 E 的非空开集,且有
A B E, A B 因此E不连通.
定理4.2.1 设E 是实数空间R 的 一个子集. E 是包含着不少于两个点 的一个连通子集当且仅当E 是一 个区间.
SSS
n
nnn
RRRllll
是是 是一一 一
lll,,, 则则 则存存 存在在 在xxx SSS
n
nn
定理4.2.5 设 f : S1 R是一个连续 映射. 则在 S1 中存在一对对径点 x 和 -x ,使得 f (x) = f (-x) .
证明:令 F : S1 R 使得对 x S1
F(x) x f (x) . 则F 是一个连续
映射.
且这时有F (0)<0, F (1)>0 . 由th4.2.3
知存在z∈[0,1] , 使得 F(z) 0 ,
即 f (z) z .
单单位位圆圆周周 SS11是是连连通通的的
令令ff ::RRSS11,,使使得得对对ttRR
则存在 z Dn 使得 f (z) z.
点集拓扑作业和自学要求

点集拓扑作业1、各章节后作业第一章:P12:习题2、4;P17:习题1、2、3;P21:习题3、4;P25:习题1、3、5;P31:习题1;P39:习题4;第二章:P50:习题2、3、6;P58:习题1、3(注n=4不做)、5、10、12;P73:习题1、2、3、8;P78:习题1、2、5、6;P86:习题1、4、5、7;P92:习题1、3;第三章:P99:习题2、4、8;P108:习题2、4(1)(2)、6(1)(1);P114:习题1、2;第四章:P122:习题1、2、6、9、11、13;P130:习题3;P134:习题2;P139:习题1;2、小论文连续映射的性质及其应用3、检查学习效果的考查题一、填空(每空3分)1、设A 是有限补空间X 中的一个不无限子集,则()=A d =A2、恰含有两个点的集合一共有 个拓扑。
3、X 是拓扑空间,记x u 为点X x ∈的邻域系,如果V U ⊂∈且x u U 则V x u 。
4、拓扑空间X 的拓扑有一个基由所有的单点子集构成,则X 为 空间。
5、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间,它的拓扑=J6、设X 是一个拓扑空间,X A ⊂则有=A7、积空间21X X ⨯同胚于积空间8、平庸空间的任何一个商空间都是 空间9、设X 是一个拓扑空间,X A ⊂,如果()A A d ⊂,则称A 是拓扑空间X 中的一个 二、判断题(正确的在题后括号内打“√”,不正确打“⨯” 每小题2分)1、设X 和Y 是两个拓扑空间,Y X f →:如果X 中的一个序列{}+∈Z i i x 收敛于0x就有)()(lim 0x f x f i i =∞→,则连续在点X 0∈x f 。
( )2、设X 是实数集合,拓扑为有限补拓扑,拓扑空间X 到实数空间R 的恒同映射是连续映射。
( )3、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间,则有(]Q r ⋂∞-,(r 是无理数)恒为子空间Q 的开集。
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点集拓扑学练习题判断(每题4分,判断1分,理由3分)1.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射 答案:理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑答案:理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂;(2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2;(3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( ) 答案:理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而()d A φ=. 5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( ) 答案:理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( ) 答案:理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.名词解释(每题2分)1.同胚映射答案:设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射,并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射,则称f 是一个同胚映射或同胚.2、集合A 的内点答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.如果A 是点x X ∈的一个邻域,则称点x 是集合A 的一个内点.3、集合A 的内部答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.4.拓扑空间(,)T X 的基答案:设(,)T X 是一个拓扑空间,B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B 中的某些元素的并,则称B 是拓扑T 的一个基.5.闭包答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.集合A 与集合A 的导集()d A 的并()A d A ⋃称为集合A 的闭包.7、导集答案:设X 是一个拓扑空间,集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.简答题(每题4分)1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂. 答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z →也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集,所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集.答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集.答案:设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集.判断(每题4分,判断1分,理由3分)7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )答案:√理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 满足第一可数性公理( ) 答案:√理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理,B 是它的一个可数基,对于每一个x X ∈,易知{} B B |x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基,它是B 的一个子族所以是可数族,从而X 在点x 处有可数邻域基,故X 满 足第一可数性公理.10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理( )答案:√理由:由于X 满足第二可数性公理,所以它有一个可数基B ,因为Y 是X 的子空间,则{|}B | B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基,从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理.11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理( )答案:√理由:由于X 满足第一可数性公理,所以对x Y ∀∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ,因为Y 是X 的子空间,则{|}V | V x Y x V Y V =⋂∈是Y 在点x 的一个可数邻域基,从而X 的子空间Y 也满足第一可数性公理.12、设{1,2,3}X =,{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ,则(,)X T 是3T 空间.( )答案:×理由:因为{1,3}是X 的一个闭集,对于点2和{1,3}没有各自的开邻域互不相交,所以X 不是正则空间,从而不是3T 空间.注:也可以说明X 不是1T 空间.13、设{1,2,3}X =,{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=,则(,)X T 是3T 空间.( )答案:×理由:因为{2,3}是X 的一个闭集,对于点1和{2,3}没有各自的开邻域互不相交,所以X 不是正则空间,从而不是3T 空间.注:也可以说明X 不是1T 空间.14、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是1T 空间.( )答案:×理由:因为对于点1和点2,2没有开邻域不包含1,从而X 不是1T 空间.注:也可以考虑点2和点3.15、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是4T 空间.( )答案:×理由:因为对于点1和点2,2没有开邻域不包含1,从而X 不是1T 空间.故(,)X T 是4T 空间.注:也可以考虑点2和点3.16、3T 空间一定是2T 空间.( )答案:√理由:因为3T 空间是正则的1T 空间,所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈,{}y 是X 中的闭集,由于X 是正则空间,从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ⋂=,所以X 是2T 空间. 17、4T 空间一定是3T 空间.( )答案:√理由:因为4T 空间是正规的1T 空间,所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ,由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间,故存在{},x A 的开邻域,U V 使得U V φ⋂=,这说明X 是正则空间,因此X 是3T 空间.18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集,则A B ⋃是一个紧致子集.( )答案:√理由:设A 是一个由X 中的开集构成的A B ⋃的覆盖,由于A 和B 都是X 的紧致子集,从而存在A 的有限子族 A 1 A 2 分别是A 和B 的覆盖,故12⋃A A 是A 的有限子族且覆盖A B ⋃,所以A B ⋃是紧致子集.19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案:√理由:设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集,则对于任何x X ∈,若x A ∉,则易知x 不是A 的凝聚点,因此A A =,从而A 是一个闭集.名词解释(每题2分)8、不连通空间答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间.9、连通子集答案:设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间,则称Y 是X 的一个连通子集.10、不连通子集答案:设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个不连通空间,则称Y 是X 的一个不连通子集.11、1 A 空间答案:一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基,则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间,简称为1 A 空间. 12、2 A 空间答案:一个拓扑空间如果有一个可数基,则称这个拓扑空间是一个A空间.满足第二可数性公理的空间,简称为213、可分空间答案:如果拓扑空间X有一个可数稠密子集,则称X是一个可分空间.T空间:14、答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任意两个不相同的点中必T空间.有一个点有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X是0 T空间:15、1答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任意两个不相同的点中每T空间.一个点都有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X是1 T空间:16、2答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任意两个不相同的点各自T空有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交,则称拓扑空间X是2间.17、正则空间:答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X是正则空间.18、正规空间:答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X是正规空间.19、完全正则空间:答案:设X是一个拓扑空间,如果对于x X∀∈和X中任何一个不包含点x的闭集B存在一个连续映射:[0,1]f x=以及对f X→使得()0于任何y B∈有()1f y=,则称拓扑空间X是一个完全正则空间.20、紧致空间答案:设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个紧致空间.21、紧致子集答案:设X 是一个拓扑空间,Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间,则称Y 是拓扑空间X 的一个紧致子集.22、可数紧致空间答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间.23、列紧空间答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间X 是一个列紧空间.24、序列紧致空间答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X 是一个序列紧致空间.简答题(每题4分)5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=-- 9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ= 10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.答案:因为离散空间的每一个基必定包含着单点集,所以包含着不可数多个点的离散空间不是2A 空间.至多含有可数多个点的离散空间是2A 空间.13、试说明实数空间R 是可分空间.答案: 因为Q 是可数集,且R 的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q 都有非空的交,因此R Q =,故实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.答案: 设X 是一个度量空间, 对X x ∈∀,则所有的以x 为中心,以正有理数为半径的球形邻域构成x 处的一个可数邻域基,从而X 满足第一可数性公理.15、设X 是一个1T 空间,试说明X 的每一个单点集是闭集.答案:对x X ∀∈,由于X 是1T 空间,从而对每一个,y X y x ∈≠,点y 有一个邻域U 使得x U ∉,即{}U x φ⋂=,故{}y x ∉,因此{}{}x x =,这说明单点集{}x 是一个闭集.16、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个单点集都是闭集,试说明X 是一个1T 空间.答案:对于任意,,x y X x y ∈≠,{},{}x y 都是闭集,从而{}x '和{}y '分别是y 和x 的开邻域,并且有{}x x '∉,{}y y '∉.从而X 是一个1T 空间.17、设(,)X T 是一个1T 空间,∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =⋃∞和*X =⋃*T T {},试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.答案:对任意*,,x y X x y ∈≠,若x ,y 都不是∞,则,x y X ∉.由于X 是一个1T 空间,从而,x y 各有一个开邻域,U V ,使得,x V y U ∉∉;若x ,y 中有一个是∞,不妨设x =∞,则y 有开邻域X 不包含∞.由以上的讨论知,对*X 中任意两个不同点必有一个点有一个开邻域不包含另一点,从而X 是0T 空间.18、若X 是一个正则空间,试说明:对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ,都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.答案: 对x X ∀∈,设U 是x 的任何一个开邻域,则U 的补集U '是一个不包含点x 的一个闭集.由于X 是一个正则空间,于是x 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ⋂=,因此V W '⊂,所以V W W U -''⊂=⊂.19、若X 是一个正规空间,试说明:对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ,都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.答案:设A 是X 的任何一个闭集,若A 是空集,则结论显然成立.下设A 不是空集,则对A 的任何一个开邻域U ,则U 的补集U '是一个不包含点A 的一个闭集. 由于X 是一个正规空间,于是A 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ⋂=,因此V W '⊂,所以V W W U -''⊂=⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.答案:设A 是X 的任何一个子集,若A 是空集,则()d A φ=,从而A 的导集是闭集.下设A 不是空集,则对(())x d A '∀∈,则x 有开邻域U ,使得({})U x A φ-⋂=,由于X 是1T 空间,从而{}U x -是开集,故{}(())U x d A '-⊂,于是(())U d A '⊂,所以(())d A '是它每一点的邻域,故(())d A '是开集,因此()d A 是闭集.21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.答案:如果X 的无穷子集的A 没有凝聚点,则对于任意x X ∈,有开邻域x U ,使得(){}x U A x φ⋂-=,于是X 的开覆盖{|}x U x X ∈没有有限子覆盖,从而X 不是紧致空间,矛盾.故紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.22、如果X Y ⨯是紧致空间,则X 是紧致空间.答案:考虑投射1:P X Y X ⨯→,由于1:P X Y X ⨯→是一个连续的满射,从而由X Y ⨯紧致知X 是一个紧致空间.23、如果X Y ⨯是紧致空间,则Y 是紧致空间.答案:考虑投射2:P X Y Y ⨯→,由于2:P X Y Y ⨯→是一个连续的满射,从而由X Y ⨯紧致知Y 是一个紧致空间.24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.答案:如果 A 是Y 的任意一个由X 中的开集构成的覆盖,则{}Y '⋃B =A 是X 的一个开覆盖.设1 B 是B 的一个有限子族并且覆盖X .则1{}Y '- B 便是A 的一个有限子族并且覆盖Y ,从而Y 是紧致子集.证明题(每题8分)1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.证明:如果()f X 是Y 的一个不连通子集,则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分 于是11(),()f A f B --是X 的非空子集,并且:111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外,1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==,这说明X 不连通,矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂. 证明:因为B A ,是X 的开集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集. 又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分 由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂. 证明:因为B A ,是X 的闭集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集. 又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分 由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个连通子集.证明:若Z 是X 的一个不连通子集,则在X 中有非空的隔离子集,A B使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃ ………………………………… 3分 由于Y 是连通的,所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂,由于Z Y A⊂⊂,所以Z B A B φ⋂⊂⋂=,因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂,则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集. 证明:若Y γγ∈Γ是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=⋃………………………………………… 4分任意选取x Y γγ∈Γ∈,不失一般性,设x A ∈,对于每一个γ∈Γ,由于Y γ连通,从而Y A γγ∈Γ⊂及B φ=,矛盾,所以Y γγ∈Γ是连通的. ………………………………………… 8分6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集,B 是X 的一个既开又闭的集合.证明:如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.证明:若B X =,则结论显然成立.下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分 由于A B φ⋂≠及A 连通,所以A B A ⋂=,故A B ⊂.………… 8分7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠. 证明:若()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂,故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.证明:若X 满足第一可数公理,则在X x ∈处,有一个可数的邻域基,设为V x ,因为X 是可数补空间,因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域,从而x y V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂.于是'⊂y V y }{, …………………………………………………4分 由上面的讨论我们知道: }{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'⊂=-因为}{x X -是一个不可数集,而}{x X y uV -∈' 是一个可数集,矛盾. 从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.证明:若X 满足第一可数公理,则在X x ∈处,有一个可数的邻域基,设为V x ,因为X 是有限补空间,因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域,从而x y V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂.于是'⊂y V y }{, …………………………………………………4分由上面的讨论我们知道:}{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'⊂=-因为}{x X -是一个不可数集,而}{x X y u V -∈' 是一个可数集,矛盾.从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分10、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理,证明:Y 也满足第二可数性公理.证明:设X 满足第二可数性公理,B 是它的一个可数基.由于:f X Y →是一个开映射,{()|}B B f B B =∈是由Y 中开集构成的一个可数族. …………………………………………………………3分下面证明B 是Y 的一个基.设U 是Y 的任意开集,则1()f U -是X 中的一个开集.因此存在1 B B ⊂,使得11() B B f U B -∈=.由于f 是一个满射,所以有11(())() B B U f f U f B -∈==,从而U 是B 中某些元素的并,故B 是Y 的一个基.这说明Y 也满足第二可数性公理. ……8分11、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理,证明:Y 也满足第一可数性公理.证明:对y Y ∀∈,由于:f X Y →是一个满射,所以存在x X ∈,使得()f x y =,由于X 满足第一可数性公理,故在点x 处存在一个可数邻域基,设为 V x ,又由于:f X Y →是一个开映射,则{()|} V V y x f V V =∈是Y 中点y 的一个可数邻域族. …………3分 下面证明 V y 是Y 中点y 的一个邻域基.设U 是Y 中点y 的任意邻域,则1()f U -是X 中点x 的一个邻域.因此存在 V x V ∈,使得1()V f U -⊂.因此()f V U ⊂,从而 V y 是Y 中点y 的一个邻域基.这说明Y 也满足第一可数性公理. ……………………………………………………8分 12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。