不定积分的基本公式和直接积分法
第二节不定积分基本公式和运算法则
法则 2 常数因子可提到不定积分号前面，既
kf ( x)dx k f ( x)dx （ k 为 常 数 ）
例 4 求 x ( x 2 5)dx
解
5
1
x ( x 2 5) dx ( x 2 5 x 2 ) dx
2
7
x2
52
3
x2
C
2
x3
x 10 x
7
3
7
3
x C
x3 3x2 2x 4
例5 求
x2
dx 。
解
x 3
3x2 x2
2x
4 dx
(x
3
2 x
4 x 2 )dx
1 x 2 3 x 2 ln x 4 C
2
x
例6 求
(cos x 4 e x 1 dx 。
cos 2 x
解
(cos x 4 e x 1 )dx
cos 2 x
cos
xdx
4 e x dx
1
cos 2
dx x
sin x 4 e x tan x C
例 7 求 2 x2 1 dx 。 x 2 ( x 2 1)
解
2x2 1
x2
(x2
dx 1)
x
x 2(
2
x
1
2
dx 1)
x2
x2
(x2
dx 1)
1
1
1
dx x2
(x2
1)
dx
x
arctan
xபைடு நூலகம்
C
例8 求
x
x
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法一、不定积分的基本公式和运算法则1.基本公式：- 常数公式：$\int c\,dx = cx + C$，其中c为常数，C为常数。
- 幂函数公式：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中n为非零常数，C为常数。
- 指数函数公式：$\int e^x\,dx = e^x + C$，其中C为常数。
- 对数函数公式：$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln，x， + C$，其中C为常数。
2.基本运算法则：- 常数倍法则：$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$，其中k为常数。
- 和差法则：$\int (f(x) \pm g(x))\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$。
- 乘法法则：$\int u \cdot v\,dx = \int u\,dv + \int v\,du$。
- 除法法则：$\int \frac{u}{v}\,dx=i\ln，v，+j\int\frac{dv}{v}$。
直接积分法是指根据不定积分的基本公式和运算法则，直接进行积分计算的方法。
下面介绍一些常见的直接积分法：1.用代换法进行积分：-根据被积函数的形式，选择一个合适的代换，使得原函数的形式更简单。
-对原函数进行代换，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
-将上述结果带入到原函数中，得到最终的积分结果。
2.用分部积分法进行积分：-对于被积函数的乘积形式，选择一个函数进行求导，选择另一个函数进行积分。
- 根据分部积分公式$\int u \,dv = uv - \int v \,du$，进行积分计算。
3.用换元法进行积分：-对于被积函数的形式，选择一个新的变量代替原来的变量，使得积分变得更简单。
-对原函数进行换元，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
不定积分公式大全 含求积分通用方法及例题
不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C迅捷P DF编辑器（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。
不定积分的基本公式和直接积分法
第二节不定积分旳基本公式和直接积分法（ＢasiｃＦoｒｍula of UndefiｎｅdInteｇral ａnｄDirecｔＩnteｇral）课题：1.不定积分旳基本公式2．不定积分旳直接积分法课堂类型：讲授教学目旳：纯熟掌握不定积分旳基本公式,对简朴旳函数能用直接积分法进行积分。
教学重点:不定积分旳基本公式教学难点: 直接积分法教具:多媒体课件教学措施:教学内容：一、不定积分旳基本公式由于不定积分是求导旳逆运算，因此由导数旳基本公式相应地可以得到不定积分旳基本公式。
二、不定积分旳直接积分法运用不定积分旳性质和基本公式，可以求出某些简朴函数旳不定积分,一般把这种求不定积分旳措施叫做直接积分法。
例1 求32x dx ⎰导数旳基本公式()1222()01()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1(arctan )1(arccos )1(cot )1x xx x C x x x e e a a ax xx x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'='=+'='=-+21(log )ln a x x x a'=不定积分旳基本公式()1222011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x xxxdx C dx x Cx x dx C a e dx eCa a dx C a dxx Cx xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x Cx Cdxx C xααα+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arccos arc cot 11log ln a x C dxx C x dx x Cx a =-+=-++=+⎰⎰⎰解 31333412222312x x dx x dx x dx C x C +===⨯+=++⎰⎰⎰例2求(23cos x x dx -+⎰解(32322233233cos 3cos 3sin 5310sin 3xx dx x dx xdx x x x Cx x x C -+=-+=⨯-++=-++⎰⎰⎰⎰例3 求dx x x ⎰-23)1(解Cx x x x Cx x dxxx x dx xx x x dx x x +++-=+-=-+-=-+-=-⎰⎰⎰1||ln 332 31072 )133( 133)1(22327222323 例４ 求221sin cos dx x x⎰ 解22222222221sin cos 11sin cos sin cos cos sin sec csc tan cot x x dx dx dx dx x x x x x x xdx xdx x x C+==+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰例5 求2x x e dx ⎰ 解()()()2222ln 21ln 2xxxx x e e e dx e dx C C e==+=++⎰⎰例6 求2sin 2x dx ⎰解 21cos sin 22x x-=21cos 11sin sin 2222x x dx dx x x C -==-+⎰⎰ 例7 求()221dxx x +⎰解()222211111x xx x =-++ ()222222111111111arctan dx dx dx dx x x x x x x x Cx⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭=--+⎰⎰⎰⎰例8 已知物体以速度()221/v t m s =+沿Ox 轴作直线运动，当1t s =时,物体通过旳路程为3m ，求物体旳运动方程。
不定积分的基本技巧与计算方法
不定积分的基本技巧与计算方法一、不定积分的基本概念和定义（200字）不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数的原函数。
不定积分通常用∫来表示。
给定一个函数f(x)，如果存在函数F(x)满足F'(x) = f(x)，则F(x)称为f(x)的一个原函数。
利用不定积分，我们可以求解出一个函数的所有原函数。
二、不定积分的基本规则（400字）1. 常数积分法：对于常数C，∫C dx = Cx + K（K为常数）2. 幂函数积分法：对于函数f(x) = x^n（n ≠ -1），则其原函数F(x) = ∫f(x) dx = (1/n+1)x^(n+1) + K（n ≠ -1，K为常数）3. 指数函数积分法：对于函数f(x) = e^x，其原函数F(x) = ∫f(x) dx = e^x + K （K为常数）4. 三角函数积分法：对于函数f(x) = sin(x)，其原函数F(x) = -cos(x) + K（K为常数）三、不定积分的常见计算方法（1200字）1. 分部积分法：当有一个积分是一个函数的导数乘另一个函数时，我们可以通过分部积分法来进行计算。
假设有两个函数u(x)和v(x)，则分部积分公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) -∫v(x)u'(x)dx。
需要注意的是，选择u(x)和v'(x)时，要尽量使得∫v(x)u'(x)dx容易计算。
2. 换元积分法：当积分中存在复杂的函数组合时，我们可以通过换元积分法来进行简化。
假设有函数u(g(x))，并且g'(x) ≠ 0，则换元积分公式为∫f(u(g(x)))g'(x)dx =∫f(u)du。
在使用换元积分法时，需要进行适当的变量代换，使得积分变为更容易计算的形式。
3. 部分分式分解法：当被积函数是多项式或多项式除以多项式时，我们可以通过部分分式分解法进行计算。
部分分式分解法的基本思想是将一个有理函数拆分成几个简单的有理函数的和。
高等数学常用不定积分公式
高等数学常用不定积分公式一、基本不定积分公式：1. 常数函数的不定积分：∫k dx = kx + C，其中k为常数，C为任意常数。
2. 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1，C为任意常数。
3. 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln，x， + C，其中C为任意常数。
4. 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C，其中C为任意常数。
5.三角函数的不定积分：a) ∫sinx dx = -cosx + C，其中C为任意常数。
b) ∫cosx dx = sinx + C，其中C为任意常数。
c) ∫sec^2(x) dx = tanx + C，其中C为任意常数。
d) ∫cosec^2(x) dx = -cotx + C，其中C为任意常数。
e) ∫sec(x)tan(x) dx = secx + C，其中C为任意常数。
f) ∫cosec(x)cot(x) dx = -cosecx + C，其中C为任意常数。
6.反三角函数的不定积分：a) ∫1/√(1-x^2) dx = arcsinx + C，其中C为任意常数。
b) ∫1/√(1+x^2) dx = arctanx + C，其中C为任意常数。
c) ∫1/(x^2+1) dx = arctanx + C，其中C为任意常数。
二、常用不定积分公式：1. ∫sin^2x dx = (1/2)(x - sinx cosx) + C，其中C为任意常数。
2. ∫cos^2x dx = (1/2)(x + sinx cosx) + C，其中C为任意常数。
3. ∫tan^2x dx = tanx - x + C，其中C为任意常数。
4. ∫cot^2x dx = -cotx - x + C，其中C为任意常数。
5. ∫sec^3(x) dx = (1/2)(secx tanx + ln，secx + tanx，) + C，其中C为任意常数。
不定积分基本公式表
1 2 dx
1 1 2
C 2x C
例3
求不定积分
2 x e x dx .
解
2 x e x dx ( 2e) x dx
( 2e) x C ln(2e)
2xex C. 1 ln 2
二、不定积分的基本运算法则
法则 1 两个函数的代数和的不定积分等于这
代数和的情况， 即
f ( x) f ( x) f ( x)dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x ) dx.
1 2 n
1 2 n
法则 2
被积函数中的不为零的常数因子可以
提到积分号前面，即
kf ( x )dx k f ( x )dx (k 为不等于零的常数)
当 a e 时,
e x dx e x C ;
(5) (6) (7) (8) (9)
cos xdx sin x C； sin xdx cos x C；
sec2 xdx tan x C； csc2 xdx cot x C；
sec x tan xdx sec x C； (10) csc x cot xdx csc x C；
证 类似性质 1 的证法， 有
k f ( x)dx k f ( x)dx kf ( x).
例4 解
求不定积分
e
(e x 2 sin x 2 x x )dx
x
(e x 2 sin x 2 x x )dx .
dx 2 sin xdx 2 x x dx
2x 2 1
2
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
•复习1原函数的定艾。
2不定枳分的定艾。
3不定枳分的性质。
4不定枳分的几何意义。
•引入在不定枳分的定义、It质以及基本处直的基础上，我们进一步来讨论不定枳分的计偉冋趣，不定枳分的it算方法主耍有三种：有接枳分法、换元枳分法和分部枳分法。
・ »g»a第二节不定枳分的基本公式和运算頁接枳分法-基本枳分公式由干求不定枳分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式《］应地可以得到枳分的基2(secx/= secxtanx d(secx) = secAtairxz/v J sec x tan xdx = secx + C3(-csc.r^cscACOtx d(-cscx)=cscxcotxrfr ^cscxcotxdx = -cscx + C4 (arctan x)r = —1 + .Ld(arctan x) = —1 + x?Zv [ —dx = arc tan.v + C5 (arcsin xY =,丨= d( arcsin A*)=―.=■2 x/l+ .V2l.\ f 严1 .. dx = arcs in x +CJ vr+x2以上十五个公述是求不定枳分的U t t,恋须熟记，不仅要记右端的结果，连要熟悉左端被枳函数的的形式。
求因数的不定枳分的方法叫枳分法。
(2 ) j xjxdx此例表明，对某些分式或根式函数求不定枳分时，可先把它们化力x"的形氏，然后应用显函数的枳分公式求枳分。
二不定枳分的基本运算法则a«i两个因数代数和的枳分，等干各因数枳分的代数和，即J [/W 土g(x)肚=J/(A>/A± j g(x\LxSi 1对于有限多个函数的和也成立的.违则2被枳因数中不为零的常数因子可提到枳分号外，即J kf(x\l.x = kj* f(x\lx( " 0 )M 2 求J (2x' 4-1-e x }dx解J(2x3+\—e x)dx =21x3dx + jdx-j e x dx二—X” + x — 0' + C o例1 •求下列不定枳分.(1)ii貝中毎一項的不定枳分虽然都应当有一个枳分常数，但是逹里并不需要在毎一頂后面则上一个枳分常数，因为代意常釵之利if是任意常数，所以迪里只把它的和C写在末尾，以后仿此。
不定积分的基本公式和直接积分法
不定积分的基本公式和直接积分法第二节不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of UndefinedIntegral and Direct Integral）课题：1.不定积分的基本公式2.不定积分的直接积分法课堂类型：讲授教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。
教学重点：不定积分的基本公式教学难点: 直接积分法教具：多媒体课件教学方法：教学内容：一、不定积分的基本公式由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。
二、不定积分的直接积分法利用不定积分的性质和基本公式，可以求出一些简单函数的不定积分，通常把这种求不定积分的方法叫做直接积分法。
例１ 求32x dx ⎰导数的基本公式 ()1222()01()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1(arctan )1(arccos )1(cot )1x xx x C x xxe e a a ax xx x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'='=+'='=-+21(log )ln a x x x a'=不定积分的基本公式 ()1222011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x x xxdx Cdx x Cx x dx C a e dx e C a a dx C a dxx Cx xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x Cx Cdxx C xααα+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arccos arc cot 11log ln a x C dxx C x dx x Cx a =-+=-++=+⎰⎰⎰解 31333412222312x x dx x dx x dx C x C +===⨯+=++⎰⎰⎰例２求(23cos x x dx -+⎰ 解(32322233233cos 3cos 3sin 5310sin 3xx dx x dx xdx x x x Cx x x C -+=-+=⨯-++=-++⎰⎰⎰⎰例３ 求dx x x ⎰-23)1( 解Cx x x x Cx x dxxx x dx xx x x dx x x +++-=+-=-+-=-+-=-⎰⎰⎰1||ln 332 31072 )133( 133)1(22327222323 例４ 求221sin cos dx x x⎰ 解22222222221sin cos 11sin cos sin cos cos sin sec csc tan cot x x dx dx dx dx x x x x x x xdx xdx x x C+==+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰例５ 求2x x e dx ⎰解 ()()()2222ln 21ln 2xxxx x e e e dx e dx C C e==+=++⎰⎰例６ 求2sin 2xdx ⎰ 解 21cos sin 22x x-=21cos 11sin sin 2222x x dx dx x x C -==-+⎰⎰ 例７ 求()221dxx x +⎰ 解()222211111x x x x =-++ ()222222111111111arctan dx dx dx dx x x x x x x x Cx⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭=--+⎰⎰⎰⎰例８ 已知物体以速度()221/v t m s =+沿Ox 轴作直线运动，当1t s =时，物体经过的路程为3m ，求物体的运动方程。
基本积分公式和直接积分法
2
dx
x arctan x C
例3 计算 tan2 xdx 解 tan2 xdx (sec2 x 1)dx sec2 xdx dx
tan x x C
例4
计算
cos2
x dx 2
解
cos2
x 2
dx
1
cos 2
x
dx
1 2
dx cosdx
1 ( x sin x) C
7
作业: 习题4.2
8
2
6
三、小结
1、基本积分公式 由于求不定积分和求导数互为逆运算，因此基本积分
公式是与基本微分公式对应的积分公式。 在基本微分公式较熟 悉的前提下，基本积分公式是不难记住的。
2、直接积分法 用直接积分法求不定积分时，需先对被积函数作代数恒 等变形（如例1，例2等）或三角恒等变形（如例3，例4等）， 然后再利用不定积分的基本运算法则，化为能直接用基本积分 公式求不定积分的形式，而后求出积分。这里灵活地对被积函 数进行恒等变形是很重要的。
定理1 两个函数代数和的不定积分等于各函数不定积分 的代数和，即
[ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx
证 因为
f ( x)dx
g( x)dx
Байду номын сангаас
f
( x)dx
g( x)dx
f (x)
g( x)
故由不定积分的定义即知定理1成立。类似地，可以证明
定理2 非零常数因子可以提到积分号前面，即
4.2 基本积分公式和直接积分法
主要内容: 1.基本积分公式 2.直接积分法
1
一、基本积分公式
1) 0dx C
3)
不定积分公式及方法总结
一、基本求导公式1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x'=2. (sin )cos x x '= (c o s )s i nx x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(c o t )c s cx x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (c s c )c o t c s x x x'=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. ()2arctan 11x x '+=()a r c s i n x '=()2arccot 11x x '+=-()a r c c o s x '=二、基本积分公式1.1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +⎰， 1l n ||+d x x Cx =⎰ 2. d ln xxa a x C a=+⎰，d x x e x e C =+⎰ 3. sin d cos x x x C =-+⎰， cos d sin x x x C =+⎰ 4. 2secd tan x x x C =+⎰ 2csc d cot x x x C =-+⎰5. tan d ln |cos |x x x C =-+⎰ c o t d l n |s i n |xx x C =+⎰ 6.sec d ln |sec tan |x x x x C =++⎰ c s cd l n |c s cc o t x x x x C=-+⎰ 7.21d arctan 1x x C x =++⎰ a r c s i n x x C =+2211d arctan xx C a x a a=++⎰ arcsinxx C a=+8.ln x x C =+(ln x x C =+9.2211d ln 2x ax C a x a x a-=+-+⎰ 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式21cos 2sin 2x x -= 21c o s 2c o s 2x x +=2. 正余切与正余割正割 1sec cos x x = 22sec 1tan x x =+余割 1csc sin x x= 22csc 1cot x x =+四、常用凑微分类型1.11()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+⎰⎰; 2.1()d ()d() (0)f ax b x f ax b ax b a a+=++≠⎰⎰; 3.11()d ()d (0)f x x x f x x μμμμμμ-⋅=≠⎰⎰;4.1()d ()d (0,1)ln x x x x f a a x f a a a a a=>≠⎰⎰; (e )e d (e )de x x x x f x f =⎰⎰; 5. 1(ln )d (ln )d ln f x x f x x x⋅=⎰⎰;6. (sin )cos d (sin )d sin f x x x f x x = ⎰⎰; (cos )sin d (cos )d cos f x x x f x x =-⎰⎰;7.2(tan )sec d (tan )d tan f x x x f x x =⎰⎰;2(cot )cscd (cot )d cot f x x x f x x =-⎰⎰;8.(sec )sec tan d (sec )d sec f x x x x f x x ⋅=⎰⎰; (csc )csc cot d (csc )d csc f x x x x f x x ⋅=- ⎰⎰;9.(arcsin )(arcsin )d arcsin f x x f x x = ⎰⎰;21(arctan )d (arctan )d arctan 1+f x x f x x x ⋅= ⎰⎰. 五、第二类换元法常用的代换方法(1)可作代换t a x sin =；(2) 22x a +，可作代换t a x tan =； (3)22a x -，可作代换t a x sec =；(4) 分母中次数比较高时，常用倒代换代换1x t =；可作代换t =；可作代换t =六、分部积分基本公式 udv uv vdu =-⎰⎰ 基本方法：()f x dx ⎰()()()f x u xv x '=−−−−−→分解()()u x v x d x '⎰−−−→凑微分()()u x d v x⎰ −−−−→分部积分()()()()u x v x v x du x =-⎰使用分部积分法的关键是将()f x dx 恰当地凑成()()u x dv x 的形式，其遵循的一般原则是：（1）()v x 容易求得；（2）()()v x du x ⎰要容易积分；一般地，按“反 对 幂 指 三”的顺序，前者取为)(x u ，后者取为()v x '.反三角函数 对数函数 幂函数 指数函数 三角函数1.()11cos 2d cos 22d cos d()2222x x x x x x x '=⋅=⎰⎰⎰ （1cos d 2u u ⎰） 1sin 22x C =+ 2. ()331(25)d (25)25d 2x x x x x '+=+⋅+⎰⎰31(25)d(25)2x x =++⎰ （31d 2u u ⎰） 41(25)8x C =++ 3.()222222d d d x x x xe x e x x x e '=⋅=⎰⎰⎰（d u u e u e C =+⎰） 2x e C =+类似地， ()344411d 12d 12812x x x x x x'=⋅+++⎰⎰ 444111d(1+2)ln(12)8128x x C x ==+++⎰ 4. sin 1tan d d (cos )d cos cos x x x x x x x x '==-⋅⎰⎰⎰ cos 1d ln |cos |cos x x C x=-=-+⎰5. ()32231sin d sin 1c sin d d co os cos cos .3s x x x x x x x x x C = =-=-+-⎰⎰⎰6. 33421tan tan tan sec d d tan 4x x x C x x x = =+⎰⎰ 7.2524sincos d sin co cos d s x x x x x x x = ⎰⎰()222sin 1sin dsin x x x =-⎰()246357sin 2sin sin d sin 121sin sin sin .357x x x x x x x C =-+=-++⎰8.22221111d d d arctan 11x x u u C x a a a u x a ⎛⎫⎡⎤= =+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰利用 1a r c t a n .xC a a=+ 9. 1cos 1d (sin )d sin sin x x x x x x x x x+'=⋅+ ++⎰⎰1d(sin )sin x x x x =+ +⎰ln sin +C x x =+。
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法-推荐下载
函数的的形式。
求函数的不定积分的方法叫积分法。
1.求下列不定积分.（1）
例
解：（1）
（2）
x
1 x 2 dx ＝
xdx ＝
3
x 2 dx
1 x2
dx
x2dx x21 C 1 C
5
2
x
2 1
5 2
C
（2） x xdx
x
此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为 x 的形式，然后应用幂函
数的积分公式求积分。
二 不定积分的基本运算法则
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
不定积分公式总结
2
1
+ C
( 5 ) ∫cos x dx = sin x + C ( 7 ) ∫cot x dx = ln | sin x| + C ( 9 ) ∫csc x dx = ln | csc x - cot x| + C ( 11 ) ∫csc2 x dx = - cot x + C ( 13 ) ∫x 2 +a 2 = ( 15 ) ∫a 2 -x
5
xe
x 2
例
xe (x e x e x e 1
x x x x
(1 x)
dx
( x 1)
2
dx
x 2
1)e (x dx 1 dx 1 C
e
x
dx e
x
e x
2
x
e 1 e x (x
x
x 2
dx e d
x
1)
1)
(x e 1
x
1)
dx 1
dx 1
1 1 x
x
1
x
de
x
x
(三 )特殊函数积分法
1、有理函数的不定积分
2 2
+
1 2
∫
1 √５ + x- x dx
2
dx
= - √5 + x - x +
1 2
∫
√ 21 2 1 √ ( ) - (x - ) 2 2 2 1 2x - 1 2 √ = - 5 + x - x + arcsin( )+ C 2 21 √ 3 x 例 2： ∫ 4 dx x + x2 + 1 与例 1 类似，我们有： 1 1 3 ( ) 4x + 2x x x 4 2 ∫ 4 dx = ∫ dx 2 4 2 x + x + 1 x + x + 1 1 2 4 2 d (x + 1 d( x + x + 1) 1 2) = ∫ 4 ∫ 2 后面套公式就好啦 2 4 x + x2 + 1 4 1 3 √ (x 2 + ) + ( ) 2 2
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
·复习1 本函数的定义.2 没有定积分的定义.3 没有定积分的本量.4 没有定积分的几许意思.之阳早格格创做·引进正在没有定积分的定义、本量以及基础公式的前提上，咱们进一步去计划没有定积分的估计问题，没有定积分的估计要领主要有三种：曲交积分法、换元积分法战分部积分法.·道授新课第二节没有定积分的基础公式战运算曲交积分法一基础积分公式由于供没有定积分的运算是供导运算的顺运算，所以有导数的基础公式相映天不妨得到积分的基础公式如下：以上十五个公式是供没有定积分的前提，必须生记，没有然而要记左端的截止，还要认识左端被积函数的的形式.供函数的没有定积分的要领喊积分法. 例1.供下列没有定积分.（1）dxx⎰21（2）dxx x ⎰解：（1）dx x ⎰21＝212121x x dx C Cx -+-=+=-+-+⎰（2）dxx x ⎰＝C x dx x +=⎰252352此例标明，对付某些分式或者根式函数供没有定积分时，可先把它们化为x α的形式，而后应用幂函数的积分公式供积分.二 没有定积分的基础运算规则规则1 二个函数代数战的积分，等于各函数积分的代数战，即规则1对付于有限多个函数的战也创造的．规则2 被积函数中没有为整的常数果子可提到积分号中，即dx x f k dx x kf ⎰⎰=)()( （0≠k ）例2 供3(21)x x e dx +-⎰解 3(21)x x e dx+-⎰=23x dx ⎰+dx ⎰-x e dx⎰=412x x x e C +-+.注 其中每一项的没有定积分虽然皆应当有一个积分常数，然而是那里本去没有需要正在每一项后里加上一个积分常数，果为任性常数之战仍旧任性常数，所以那里只把它的战C 写正在开端，以去仿此.注 考验解搁的截止是可精确，只把截止供导，瞅它的导数是可等于被积函数便止了.如上例由于41()2x x x e C '+-+=321xx e +-，所以截止是精确的.三 曲交积分法正在供积分的问题中，不妨曲交按基础积分公式战二个基赋本量供出截止（如上例）然而偶尔，被积函数常需要通过适合的恒等变形（包罗代数战三角的恒等变形）再利用积分的本量战公式供出截止，那样的积分要领喊曲交积分法.例3供下列没有定积分.（1）1)(x dx⎰ （2）dx x x ⎰+-1122解：（1）最先把被积函数1)(x-化为战式，而后再逐项积分得1)((1x dx x dx-=+--⎰⎰5122221252x x x x C =+--+.注：（1）供函数的没有定积分时积分常数C 没有克没有及拾掉，可则便会出现观念性的过失.（2）等式左端的每个没有定积分皆有一个积分常数，果为有限个任性常数的代数战仍是一个常数，所以只消正在截止中写一个积分常数C 即可.（3）考验积分估计是可精确，只需对付积分截止供导，瞅它是可等于被积函数.若相等，积分截止是精确的，可则是过失的.（2）222221122(1)111x x dx dx dx x x x -+-==-+++⎰⎰⎰222arctan 1dxdx x x C x =-=-++⎰⎰.上例的解题思路是设法化被积函数为战式，而后再逐项积分，是一种要害的解题要领，须掌握.训练 1 322324x x x dx x -++⎰，2 22221(1)x dx x x ++⎰，3 421x dx x +⎰.问案 1 21432ln ||2x x x C x -+-+， 2 1arctan x Cx -+，3 31arctan 3x x x C -++例4供下列没有定积分.（1）xdx⎰2tan （2）dx x 2sin2⎰解：（1）22tan (sec 1)xdx x dx =-⎰⎰（2）C x x dx x dx x+-=-=⎰⎰sin 21212cos 12sin2上例的解题思路也是设法化被积函数为战式，而后再逐项积分，没有过它真止化战是利用三角式的恒等变更.训练 12cot xdx⎰ 22cos 2x dx ⎰3 cos 2xdx cosx-sinx ⎰问案 1 cot x x C --+ 2 1(sin )2x x C++3 sin -cos x x C + 例5设x x f 22cos )(sin ='，供)(x f .解：由于x x x f 222sin 1cos )(sin -=='，所以x x f -='1)(，故知)(x f 是x -1的本函数，果此Cx x dx x x f +-=-=⎰2)1()(2．小结 基础积分公式，没有定积分的本量，曲交积分法. 训练 供下列没有定积分.（1）2(12sin )x dx x -+⎰（2）2212()cos sin dx x x +⎰，（3）dt t t ⎰+2)1(，（4）23)1dt t -+⎰，（5）dx x x ⎰+)6(6， （6）dx x x ⎰--2411，（7）dx x x ⎰-)cot csc(csc ，（8）dx x x ⎰2sin 2cos ，（9）2(cos sin )22t t dt +⎰，（10）dx x ⎰-)1(tan 2，（11）e (3x x x dx -⎰.问案1 2cos 2ln ||x x x C +++， 2 tan -cot x x C +，3 212ln ||2t t t C +++， 4 2arcsin 3arctan t t C -+， 5 761ln 67x x C++， 6 313x x C --+，7 cot csc x x C -++， 8 cot 2x C --+，9 cos t t C -+， 10 tan 2x x C -+，11(3)2arcsin 1ln3xe x C-++.小结 估计简朴的没有定积分，偶尔只需按没有定积分的本量战基础公式举止估计；偶尔需要先利用代数运算或者三角恒等变形将被积函数举止整治．而后分项估计．做业 P81:2,3 板书籍安排。
不定积分的基本公式和直接积分法
1
1 x2dx
1 x
arctan
x
C.
例2 求下列不定积分
(1) sin2
xdx 2
(2)
cos 2x cos x sin
x
dx
解
(1)原式
1
cos 2
x
dx
1 2
(1 cos
x)dx
1 2
[
dx
cos
xdx]
1 2
(
x
sin
x)
C
(2)原式 cos2 x sin2 x dx
ln a
(2) exdx ex C (Q (e x ) e x )
4 三角函数：
(1) sin xdx cos x C (2) cos xdx sin x C
( (cosx) sin x) ( (sin x) cosx)
(3) sec x tan xdx sec x C ( (secx) sec x tan x)
x)
1 1 x2
, (arc
cot
x)
1 1 x2
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分
表
(3)
dx x
ln
|
x
|
C;
说明： x 0,
dx ln x C,
x
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
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不定积分的基本公式和直接积分法
不定积分，也叫原函数或不定积分，是微积分中的一个重要概念。
不
定积分是指求函数的原函数的过程，也就是求解导数的逆运算。
在实际应
用中，不定积分常用于求解曲线下的面积、确定概率密度函数等问题。
本
文将介绍不定积分的基本公式和直接积分法。
不定积分的基本定义是，对函数F(x)求导得到f(x)。
式子可以写作
F'(x) = f(x)，其中F(x)称为f(x)的一个原函数。
不定积分的符号为
∫f(x)dx，表示对函数f(x)求不定积分。
积分号∫放在被积函数前面，
并将被积函数写在后面。
积分变量x在∫的上下限之间。
1.常函数的不定积分：
∫c dx = cx + C，其中c和C是常数。
2.幂函数的不定积分：
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-1，并且C是常数。
3.正弦函数和余弦函数的不定积分：
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
∫cos(x) dx = sin(x) + C
4.指数函数的不定积分：
∫e^x dx = e^x + C
5.对数函数的不定积分：
∫(1/x) dx = ln，x， + C，其中x不等于0
这些基本公式是不定积分中常用的，掌握了这些公式可以在求解不定积分的过程中提供一定的指导。
另外，不定积分还可以通过直接积分法来求解。
直接积分法也叫换元积分法，是不定积分的常用方法之一、直接积分法的基本思想是通过适当的代换将被积函数化简为容易求解的形式。
常见的直接积分法有以下几种：
1. 代入法：通过适当的代换将被积函数化简为容易求解的形式。
例如，将∫(2x + 3)^4 dx通过代入u = 2x + 3来化简。
2. 分部积分法：对一个积分式或一个积产品做分部积分，将其转化为不定积分的和或差的形式。
公式为∫u dv = uv - ∫v du。
3. 三角代换法：通过适当的三角代换将被积函数化简为容易求解的形式。
例如，将∫(x^2 - 1)^(3/2) dx通过代换x = cosθ来化简。
4.偏微分法：通过偏微分的方法将被积函数化简为容易求解的形式。
这种方法在一定的数学背景下使用较多，不同具体问题需要根据实际情况选择合适的偏微分方法。
以上是不定积分的基本公式和直接积分法的介绍，掌握这些方法可以帮助我们更好地求解不定积分。
在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解，可以提高计算效率。
同时，在学习不定积分的过程中，应结合不定积分的性质、技巧和例题进行练习，加深对不定积分的理解和应用能力。