高中数学三角函数常考题型：同角三角函数的基本关系

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同角三角函数的基本关系

【知识梳理】

同角三角函数的基本关系

(1) 平方关系：同一个角 α的正弦、余弦的平方和等于 2

2

1.即 sin α＋ cos α＝ 1.

sin α

(2) 商 数 关 系 ： 同 一 个 角 α 的 正 弦 、 余 弦 的 商 等 于 这 个 角 的 正 切 ， 即 cos α＝

π

tan_α其中 α≠ k π＋ 2 k ∈ Z .

【常考题型】

题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值

12

【例 1】

(1)已知 sin α＝13，并且 α是第二象限角，求 cos α和 tan α.

(2) 已知 cos α＝－ 4

，求 sin α和 tan α.

5

2 2

12 2 5 2 5 [ 解] (1)cos α＝ 1－ sin α＝ 1－ 13 ＝ 13 ，又 α是第二象限角， 所以 cos α<0，cos α＝－ 13 ，

sin α 12

＝－

5

.

tan α＝ cos α

(2)sin 2

α＝ 1－ cos 2

α＝ 1－ －4 2

＝ 3

2，

5 5

4

因为 cos α＝－ 5<0 ，所以 α是第二或第三象限角，

当 α是第二象限角时，

3

，tan α＝ sin α 3

sin α＝－ 3

，tan

sin α＝

＝－ ；当 α是第三象限角时，

5

5

cos α 4

α＝

sin α 3

＝

cos α 4.

【类题通法】

已知三角函数值求其他三角函数值的方法

(1) 若已知 sin α＝ m ，可以先应用公式 cos α＝ ± 1－ sin 2α，求得 cos α的值， 再由公式

tan α

sin α

＝

求得 tan α的值．

cos α

(2) 若已知 cos α＝ m ，可以先应用公式 sin α＝ ± 2

α，求得 sin α的值， 再由公式 tan

α

1－cos

sin α

＝

求得 tan α的值．

cos α

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sin α

2

2

α＝ 1，求

＝ m? sin α＝ mcos α及 sin α＋ cos

(3) 若已知 tan α＝ m ，可以应用公式 tan α＝ cos α

1 ， sin α＝ ± m

得 cos α＝ ± 的值．

1＋ m 2

1＋ m 2

【对点训练】

已知 tan α＝ 4

，且 α是第三象限角，求 sin α， cos α的值．

3

解： 由 tan α＝ sin α 4 ，得 sin α＝

4

＝ 3cos α，①

cos α 3

又 sin 2α＋cos 2α＝ 1，②

由①②得

16

2

2

2

α＝ 9

9 cos α＋ cos

α＝1，即 cos 25.

3 4 4

又 α是第三象限角，

故

cos α＝－ 5，sin α＝ 3cos α＝－ 5.

题型二、化切求值

【例 2】

已知 tan α＝ 3，求下列各式的值．

(1)

4sin α－cos α； 3sin α＋ 5cos α

2

2

(2) sin α－ 2sin

α·cos α－ cos α

2

2

；

4cos α－ 3sin α

3 2

1

2

(3) 4sin α＋ 2cos α.

[ 解]

4tan α－ 1 4× 3－1 11；

(1) 原式＝ ＝ ＝

3tan α＋ 5 3× 3＋5 14

(2)

tan 2α－ 2tan α－1 9－2×3－ 1 2

原式＝ 2

＝ 2 ＝－ ；

23

4－ 3tan α

4－3×3

3

sin 2

α＋1

cos 2

α 3

tan 2

α＋

1

4

2

4 2

(3)

原式＝

sin 2α＋ cos 2α ＝

tan 2 α＋ 1

3

× 9＋1

4 2 29

＝

＝

.

9＋1

40

【类题通法】

化切求值的方法技巧

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(1) 已知 tan α＝ m，可以求asin α＋ bcos α asin2α＋bsin αcos α＋ ccos2α

或的值，将分子分母同csin α＋ dcos α dsin2α＋ esin αcos α＋ fcos2α

除以 cos α或 cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．

(2) 对于 asin2α＋bsin αcos α＋ ccos2α的求值，可看成分母是1，利用 1＝ sin2α＋cos2α

进行代

替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．

【对点训练】

已知 tan α＝ 2，求下列各式的值：

2sin α－ 3cos α

(1)；

4sin α－ 9cos α

(2)4sin 2α－ 3sin αcos α－5cos2α.

2sin α－ 3cos α 2tan α－ 32× 2－3

解： (1)＝＝＝－ 1.

4sin α－ 9cos α 4tan α－ 94× 2－9

(2)4sin 22α－ 3sinαcos α－5cosα

2

αcos α－2

4sinα－ 3sin5cosα

＝22，

sin α＋ cos α

这时分子和分母均为关于sin α， cos α的二次齐次式．因为 cos2α≠ 0，所以分子和分母同除以cos2α，

则 4sin2α－3sin αcos α－ 5cos2α＝4tan2α－ 3tan α－ 54× 4－3× 2－ 5

＝＝ 1.

tan2α＋ 14＋ 1

题型三、化简三角函数式

【例 3】化简 tan α

1－1，其中α是第二象限角．

2

sin α

[ 解]因为α是第二象限角，所

以sin α>0， cos α<0.

故 tan α12－ 1＝ tan α1－ sin2α

2

sinαsin α

2sin α cos α

＝ tan αcos α

2＝·

sinα

sin αcos α

＝sinα－ cos α

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