隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
Fx = 2x,
均连续。 Fy = 2y, 均连续。
x0 = 0, y0 = 1. F(0,1) = 0,
Fy (0,1) = 2 ≠ 0,
理知方程x2 + y2 − 1 = 0在 (0,1)的 邻 依定 点 某 域内能唯一确定一个单值可导、 域内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时
y = 1的函数y = f (x)．
的函数， 把y看成x, z 的函数，对z求偏导数得
∂y ∂y 1 = fu ⋅ ( + 1) + fv ⋅ ( xy + xz ), ∂z ∂z
整理得
∂y 1 − fu − xy ⋅ fv . = ∂z fu + xz ⋅ fv
二、方程组的情形
F( x, y, u, v) = 0 G( x, y, u, v) = 0
′ Fz = ( z − f (u, v))z
= 1 − fu ⋅ ( x + y + z)′y − fv ⋅ ( xyz)′y = 1− fu − x y fv .
Fx fu + yz ⋅ fv ∂z 于是， 于是， ∂x = − F = 1 − f − xy ⋅ f . z u v
∂x = − Fy = − fu + xz ⋅ fv . fu + yz ⋅ fv Fx ∂y
何时唯一确定函数u = u( x, y), v = v( x, y)？
∂u = ? ∂x
∂u = ? ∂y
∂v ? = ∂x
∂v = ? ∂y
隐函数存在定理3 隐函数存在定理 3 设F( x, y, u, v)、G( x, y, u, v)在点P( x0 , y0 , u0 , v0 )的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数， 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且F( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0，G( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0，且偏导数所组成的 函数行列式（或称雅可比式） 函数行列式（或称雅可比式）
第六节隐函数的求导公式
2z ( Fx) ( Fx) z xy y Fz z Fz y
FxyFz FzyFx FxzFz FzzFx ( Fy)
Fz2
Fz2
Fz
FxzFz2 FzyFxFz FxzFyFz FzzFxFy . Fz3
z Fx x Fz
d 2 y FxxFy2 2FxyFxFy FyyFx2
(2 z) x( z ) (2 z)2 x
(2 z) x x 2
(2 z)2
z
(2 z)2 x2 .
(2 z)3
或方程两边对x求偏导得：2 x
2z
z x
4
z ， x
z x
2
x
z
.
方程两边对y求偏导得：2
y
2z
z y
4
z， y
z y
2
y
z
.
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例4、设z f ( x y z, xyz)，求 z，x，y . x y z
dx 2
Fy3 上 页 下 页 返 回
例3、设x2 y2 z2 4z，求 z 、z 及 2z . x y x2
解：令F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z，
则 Fx 2x，Fy 2 y，Fz 2z 4.
z x
Fx Fz
2
x
，z z y
Fy Fz
2
y
z
.
2z x 2
d d
y x
Fx Fy
3x2 3 y2
3ay 3ax
x2 ax
ay y2
d 2 y (2x ay)(ax y2 ) ( x2 ay)(a 2 yy)
dx2
(ax y2 )2
第五节 隐函数求导公式
24
隐函数的求导公式
u u v v F ( x , y , u, v ) 0 求 , , , . x y x y G ( x , y , u, v ) 0 F ( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0 将恒等式 G( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0
两边关于x求偏导, 由链导法则得:
F F u F v x u x v x 0
G G u G v 0 x u x v x
u v 解这个以 为未知量的线性方程组. , x x
dy Fx ( x , y ) 隐函数的求导公式 dx Fy ( x , y ) (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x , f ( x )) 0
两边关于x求导, 由全导数公式,得
4
隐函数的求导公式
F ( x , f ( x )) 0
dy Fx ( x , y ) Fy ( x, y ) 0 dx 所以存在 且Fy ( x0 , y0 ) 0， 由于Fy ( x, y)连续，
dz (1, 0, 1) dx 2dy
17
隐函数的求导公式
xyz x 2 y 2 z 2 2
法二 用全微分
yzdx xzdy xydz 2 xdx 2 ydy 2 zdz 0 2 x2 y2 z2 将点(1,0,1)代入上式, 得
dz (1, 0 , 1) dx 2dy
并有
Fy z Fx z . , Fz x Fz y
8
隐函数的求导公式
(证明从略)仅推导公式.
隐函数的求导公式
y 解 令 F ( x , y ) = ln x + y − arctan , x
2 2
x+ y y− x , Fy ( x , y ) = 2 , 则 Fx ( x , y ) = 2 2 2 x +y x +y x+ y dy Fx . =− =− y− x dx Fy
2. F ( x , y , z ) = 0
(1)
∂(F , G ) ∂(F , G ) dy ∂ ( x , z ) dz ∂ ( y, x ) , , =− =− ∂ ( F , G ) dx ∂(F , G ) dx ∂ ( y, z ) ∂ ( y, z )
x2 + y2 + z2 = 6 dy dz 例6：已知 ，求 , . dx dx 2x + 3y + z = 0
把 x 看成 z, y 的函数对 y 求偏导数得
∂x ∂x 0 = f u ⋅ ( + 1) + f v ⋅ ( xz + yz ), ∂y ∂y
整理得
∂x f u + xzf v =− , f u + yzf v ∂y
把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得
∂y ∂y 1 = f u ⋅ ( + 1) + f v ⋅ ( xy + xz ), ∂z ∂z
−u − y ∂u − v x xu + yv ∂v = = , =− 2 2 x −y ∂x ∂x x +y y x x −u yu − xv y −v , = 2 2 x −y x +y y x
求导， 将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu , = 2 2 ∂y x + y
隐函数的求导公式
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2
隐函数求导
f x gyhz f x gxhz f ygzhx . g y hz
七、 dy Ft f x Fx f t . dx Ft F y f t
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0,
dx x0
d2y dx 2
y xy y2
y
x y2
x y
1 y3
,
d2y dx2 x0 1.
例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
解 令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y , x
解 令 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的 函数 y f ( x)．
函数的一阶和二阶导数为
导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并
有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x 0的值.
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
并有
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
例 3 设 x2 y2 z2 4z 0，求x2z2 .
解 令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
则
Fx ( x, y)
第五节隐函数的求导公式
第五节隐函数的求导公式隐函数是指在一些方程中以一个变量表示另一个变量的函数，其中一个变量通常被称为自变量，另一个变量被称为因变量。
求解隐函数的导数是微积分中的重要内容，因为它可以帮助我们找到函数的变化率和切线方程等信息。
本文将介绍隐函数的求导公式。
隐函数求导的关键在于使用链式法则。
链式法则是微积分中的一个基本原理，它描述了复合函数的导数与原函数导数的关系。
在隐函数的情况下，我们可以将因变量视为自变量的函数，并运用链式法则进行导数的计算。
设有一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中y是x的函数。
我们希望求解dy/dx，即隐函数的导数。
首先我们将隐函数方程两边对x求导，得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0由于我们求解的是dy/dx，我们可以将这个方程改写为：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这就是隐函数的求导公式，它告诉我们如何通过对隐函数方程进行求导来获得隐函数的导数。
这个求导公式的推导并不复杂，但需要注意一些细节。
首先，我们要确保F(x, y)在求导过程中对x和y都是可导的。
换句话说，F(x, y)的偏导数存在且连续。
其次，我们要注意分母dF/dy不能为零，否则求导公式将无法成立。
以下是几个例子，以帮助理解隐函数的求导公式：例子1：设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们希望求解dy/dx。
首先对这个方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -2x / (2y) = -x / y这个例子告诉我们，对于圆的方程，求得的导数是-x/y。
例子2：设有一个隐函数方程e^x + ln(y) = 1，我们希望求解dy/dx。
e^x + 1/y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -e^x / (1/y) = -y * e^x这个例子告诉我们，对于指数和对数的方程，求得的导数是-y*e^x。
例子3：设有一个隐函数方程x^3 + 2y^2 = 5，我们希望求解dy/dx。
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
首先，要明确的是，隐函数求导的前提是要把隐函数表达式转化成显函数表达式，然后就可以采用求导的方法来求隐函数的导数。
1、把隐函数的表达式按照给定的变量进行分离，然后求函数
f(x,y,z) = 0 中每个变量的变化对隐函数求导的影响：
f/x= 0
f/y= 0
f/z= 0
2、通过计算得出每个变量对隐函数的影响，然后把这些变量的变化量组合起来，用如下公式求得隐函数的导数：
f/y = x·f/x + y·f/y + z·f/z
3、根据变换后的隐函数的表达式，求出其导数，多元隐函数的求导公式如下：
f/x = x·f/x1 + y·f/x2 + ... + z·f/xn
上式中，x1, x2, ..., xn 分别表示各个变量，而f/x1, f/x2,…, f/xn 表示每个变量对隐函数的影响。
4、求解一元隐函数的导数，采用如下公式：
y'= (dy/dx)·(dx/dy)
5、对于多元隐函数的导数，采用如下公式求解：
f/x=x(x1,x2,…,xn)·f/x1 + y(x1,x2,…,xn)·f/x2 +…
+z(x1,x2,…。
8.5_隐函数的求导公式
将点(1,0,1)代入上式, 得
dz (1,0,1) dx 2dy.
8.5 隐函数的求导公式
例 设有隐函数 F ( x , y ) 0,其中F的偏导数连续,
zz
求 z , z . x y
用多元复合函数求导法
解 法一 由公式. 令 G( x, y, z) F( x , y)
zz
G x
F1
z1
u x u v
8.5 隐函数的求导公式
F( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0 G( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0
求
u ,
x
u , y
v , x
v . y
同理,
F
两边关于y求偏导,得 Gy
y
F u G u
u y u y
F v G v
v y v y
下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的
求导方法. 故由方程组
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
两个方程, 四个变量
确定两个二元函数 u = u(x, y), v = v(x, y), 求
u , u , v , v . x y x y
8.5 隐函数的求导公式
隐函数存在定理3
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
8.5 隐函数的求导公式
设函数f ( x, y)是由方程xyz x2 y2 z2 2
确定的,则z在点(1,0,1)处的全微分dz ( ).
解 法一 用公式
dx 2dy
设 F( x, y, z) xyz x2 y2 z2 2
例
已知 x2 a2
8.5_隐函数的求导公式
dx dx
x x
的方法相同.
26
8.5 隐函数的求导公式
例
设 xx2yy 2 z 1 2z22,(y0,z0)求ddxy
, dz 及 dx
dy dz
,
.
dxx1 dxx1
F F
(F ,G) (u, v )
u G
y = f (x), 它满足条件y0 = f (x0), 并有
dy Fx(x, y) 隐函数的求导公式 dx Fy(x, y)
(证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F(x,f (x))0
两边关于x求导, 由链导法则, 得
4
8.5 隐函数的求导公式
F(x,f (x))0
Fx(x,y)Fy(x,y)
d d
一个隐函数y
=
f
(x),
并求
dy dx
.
证 记 F (x ,y ) x y e x ey,则
(1) F x(x,y)yex与 F y(x,y)xey在点 (0,0) 的邻域内连续;
(2) F(0,0)0;
(3) F y(0,0)10, 隐函数存在定理1
所以方程在点(0,0)附近确定一个有连续导数、
当 x0时 y0的隐函数 y = f (x), 且
隐函数的求导公式 dy Fx(x, y) dx Fy(x, y)
8
8.5 隐函数的求导公式
2. 由三元方程F(x, y, z) = 0确定二元隐函数
z = f (x, y), 求 z , z . x y
隐函数存在定理2 若三元函数F (x, y, z)满足:
(1) 在点P (x0, y0, z0)的某一邻域内具有连续
zz
求 z , z . x y
第五节隐函数的求导公式
第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。
隐函数存在定理1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。
则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx FF dxdy -= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。
将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内 0'≠y F于是得''yx FF dxdy -=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。
隐函数的求导公式(31)
所) 以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数、
当x 0时y 0的隐函数 y f ( x),且
dy dx
Fx Fy
y ex x ey
.
6
隐函数的求导公式
例 已知ln x2 y2 arctan y ,求 dy . x dx
解 令F ( x, y) ln x2 y2 arctan y , x
隐函数存在定理1 设二元函数 F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内满足:
(1) 具有连续偏导数; (2 F ( x0 , y0 ) 0; )(3 Fy ( x0, y0 ) 0, 则方程) F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
1
fu
(y z
1)
fv ( xy
xz y), z
整理得
y
1
fu
xyfv
.
z fu xzfv
18
隐函数的求导公式
二、方程组的情形(隐函数组)
下面讨论由联立方程组所确定的隐函数 求的导方法.故由方程组
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0 确定两个二元函数 u u( x, y), v v( x, y). 求 u , u , v , v . x y x y
dx dx
x x
的方法相同.
23
隐函数的求导公式
例
设
x x2
y y2
z
1
2
2 z2
dy dz
,
.
dx x1 dx x1
分析 y y( x), z
,( y 0, z z(x).
隐函数的求导公式
§8.5 隐函数的求导公式一、二元方程所确定的隐函数的情形由二元方程F x y(,)=0可确定一个一元的隐函数y f x=(),将之代入原方程,得到一个恒等式F x f x[,()]≡0对恒等式两边关于变量x求导,左边是多元复合函数,它对变量x的导数为F F dy dxx y+右边的导数自然为0,于是有F F dy dxx y+=0解出dydx,得到隐函数的导数dydxFFxy=-。
由多元复合函数的求导定理可知,当F x y(,)=0在(,)x y具有一阶连续偏导数,而y f x=()在x可导时,才可求出复合函数F x f x[,()]的导数,若Fy≠0时,才有dydxFFxy=-这一求导方法,实际上就是以往的直接求导数。
二、由三元方程所确定的二元隐函数的偏导数既然二元方程F x y(,)=0可以确定一个一元的隐函数y f x=(),那么三元方程F x y z(,,)=0便可确定一个二元的隐函数z f x y=(,)。
下面,我们介绍用直接求导法求此函数的偏导数。
对F x y z(,,)=0两边关于变量x求偏导,并注意z是x y,的函数,有F Fzxx z+⋅=∂∂解出∂∂zx ,得到二元隐函数的偏导数 ∂∂z xF F x z=-。
类似地，可得到F F z yy z +⋅=∂∂0,∂∂z yF F y z =-。
【例1】设x y z z 22240++-=, 求 ∂∂22zx 。
解: 将方程x y z z 22240++-=中的z 视为x y ,的隐函数,对x 求偏导数有2240x z z xz x+⋅-⋅=∂∂∂∂∂∂z xx z =-2再一次对x 求偏导数,仍然将z 视为x y ,的隐函数有∂∂∂∂222202z xz x z xz =--⋅--()()()=--⋅--()()2222z x x zz=-+-()()22223z x z也可以用下述方法来求二阶偏导数对422=⋅-⋅+xz xz z x ∂∂∂∂两边关于x 求偏导数,注意到x zz ∂∂,均为x y ,的函数,有2224022222+⋅+⋅-⋅=()∂∂∂∂∂∂z xz z xz x∂∂∂∂2222231222z xz xzz x z =+-=-+-()()()三、由两个函数方程所确定的隐函数的导数设有函数方程组F x y u vG x y u v (,,,)(,,,)==⎧⎨⎩00由此联立的方程组可消去一个变量v ,这样便得到由三个变量所构成的函数方程H x y u (,,)=0,而三元函数方程可确定一个二元隐函数 u u x y =(,),将之代入方程组的其中一个,得到另一个三元方程F x y u x y v (,,(,),)=0,于是,我们也可将变量v表示成x y ,的隐函数v v x y =(,)。
隐函数的求导公式93911
三、如 果 函 数 f ( x, y, z) 对 任 何t 恒 满 足 关 系 式
f (tx, ty, tz) t k f ( x, y, z),则称函数 f ( x, y, z)为
k 次齐次函数,试证:k 次齐次函数满足方程
x f y f z f kf ( x, y, z). x y z
点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 )
0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
把x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得x ， y
把 y 看成x, z 的函数对z 求偏导数得y . z
解 令 u x y z, v xyz,
则 z f (u,v),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得
z x
f
u
(1
z x
)
fv ( yz
例5 设 xu yv 0， yu xv 1， 求 u ，u ，v 和v . x y x y
解1 直接代入公式；
解2 运用公式推导的方法，
将所给方程的两边对 x求导并移项
x
y
u x u
y x
v x v
u ,
v
x x
x J
f xgyhz f xgxhz f ygzhx . gy hz
dy
隐函数的求导公式
① 在点
② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ; ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ,
的某邻域内具有连续偏导数 ;
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数 Fx z , x Fz
Fy z y Fz
②
§ 2.8 隐函数的求导公式
注意 J 0, 从方程组②解得
x 1 v u 1 1y , x J 0 y J v v
x u x v 1 , ①式两边对 同理 求导, 可得 u x v y x ② u 1 x y u y , v v 1 x 0 v v x y J u u y x J
G G
§ 2.8 隐函数的求导公式
u 1 ( F , G ) x J ( x, v )
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v ) u v 0, G ) Fx Fu v Fv 1 (F x x y J ( u , y ) Gx Gu u Gv v 0 x x
§ 2.8 隐函数的求导公式
解法2 微分法. 对方程两边求微分:
x y d( ) 0 F1 d( ) F2 z z z d x xd z zd y y d z F1 ( ) )0 F ( 2 2 2 z z dy F1d x F2 xF1 y F2 d z z z2 z d y) dz (F1d x F2 x F1 y F2
第二章 函数微分学 § 2.8 隐函数的求导公式
隐函数求导公式
显函数
xy (x, y) z
隐函数 (二元)隐函数
在什么条件下,方程能够确定隐函数. 连续性?
方程确定的隐函数有什么性质
可导性? …
对方程确定的隐函数如何求导.
➢隐函数组概念
隐 函 数
u u(x, y) v v(x, y)
组 的 显 化
F(x, y,u, v) 0 G(x, y,u, v) 0
邻域内连续且有连续偏导数,又
x, y)
的某一邻域内 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数 的反函数
2) 求
对 x , y 的偏导数.
x y
➢解题思路
(1) 确定因变量个数与自变量个数. 明确变量个数与方程个数 确定因变量个数 方程个数 确定自变量个数 变量个数
(2) 明确因变量与自变量. 题目要求
(3) 方程两边求偏导.
方程个数
例5
设
xu yv 0, yu xv 1,
求
u v ,.
x y
例6 设函数
在点(u,v) 的某一
视u,v为x,y的函数
F
两边对 x 求导
Fx Gx
Fu Gu
u
x u
x
Fv Gv
v x v x
0 0
若在点P 的某邻域内系数行列式J≠0
x x
y
u
y
v
复合关系图
解方程组即得结论
例4
设
u f (ux,v y) v g(u x,v2 y)
其中f,g具有一阶连续偏导数,
求 u , v .
的连续函数 u u(x, y), v v(x, y), 且有偏导数公式 :
u 1 (F,G) , x J ( x, v )
9.4 隐函数的求导公式
一、两个变量的方程F(x,y)=0的情形 二、多个变量的方程F(x,y,z)=0的情形
三、多个变量的方程组的情形
四、小结
9.4 隐函数的求导公式
一、两个变量的方程F(x,y)=0的情形
定理9.7(隐函数存在定理1) 设函数 F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) F ( x0 , y0 ) = 0 ， 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 Fy ( x0 , y0 ) 0 ,则方程 F ( x , y ) = 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的
Fx Gx u 1 (F ,G ) ==Fu x J ( x, v ) Gu Fv Gv , Fv Gv
9.4 隐函数的求导公式
Fu Fx v 1 (F ,G ) ==Gu G x x J ( u, x )
Fy u 1 (F ,G ) ==Gy y J 思考题解答
1 = ， 则 Fx z -x y (- y ) y 1 Fy = -j ( ) , Fz = 2 - j ( ) 2 , z z z z z y - zj ( ) F z z Fx z y z , = = == , Fz x - yj ( y ) x Fz x - yj ( y ) y z z z z y = z. 于是 x x y
设函数 F ( x , y , z ) 在点 x0 , y0 , z0 的某一邻域内 有连续的偏导数，且 F x0 , y0 , z0 = 0 , Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方 F x , y , z = 0 程 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内恒能唯一 确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x , y ) ，它满足条件 z0 = f ( x0 , y0 )， Fy z z Fx ==并有 ， . y x Fz Fz
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第五节 隐函数的求导公式
在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程
()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多
元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。
隐函数存在定理 1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且
()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。
则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一
确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有
''y
x F F dx dy
-= (2)
公式(2)就是隐含数的求导公式
这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。
将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F
其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有
0=⋅∂∂+∂∂dx
dy y F x F 由于'
y F 连续，且 ()0,00'
≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内
0'≠y F
于是得
''y
x F F dx dy
-=
隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函
数，那么一个三元方程
()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程
()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的
定理。
隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏
导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'
≠z y x F z 。
则方程()0,,=z y x F 在点()000,,z y x 的
某个邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数()y x f z ,=，它满足条件
()000,y x f z =，并有
-=∂∂x z
''z
x F F ，=∂∂y z ''z y F F - （4）
这个定理我们不证。
与定理1类似，仅就公式（4）作如下推导。
由定理条件可知：()()0,,,≡y x f y x F
将公式两端分别对x 和y 求偏导数，应用复合函数求导法则有 0'
'
=∂∂⋅
+x
z
F F z x 0''=∂∂⋅+y z F F z y 因为z F '连续，且()0,,000'
≠z y x F z 。
所以存在点()000,,z y x 的一个邻域，在这个邻
域内0'
≠z F ,于是得
''z
x F F x z
-=∂∂ ，''z y F F y z -=∂∂ 公式（4）即是求二元隐函数的偏导数的计算公式。
例1 设3
3
3a xyz z =-确定二元函数()y x f z ,=，求x z ∂∂,y
x z
∂∂∂2
解： 设()=z y x F ,,3
33a xyz z --
则yz F x 3'-= xz F y 3'-= xy z F z 332
'-=
应用公式（4）得
xy
z yz
xy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂2
2''333 xy
z xz xy z xz F F y z z y -=---=-=∂∂22''333 对
x
z
∂∂再一次对y 求偏导数有 ()
()
2
222
2xy
z x y z z yz xy z y z y z y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂⋅--⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+=∂∂∂
()
()
()
xy
z x xy z xz yz xy z xy z xyz z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⋅⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-+=
2
22222 ＝()
()
3
2
22333
2
223332xy z
z
y x xyz z xy z
z
y x xyz xyz z ---=
--+-
例2 设方程F (
)0,2
2
2
2
=--z y y x 确定了二元函数z=z ()y x ,，
试证：xy y
z zx x z yz
=∂∂+∂∂ 证明：设G ()(
)2
2
2
2
,,,z
y y x F z y x --=，则有
121202F x F x F G x
'=⋅'+⋅'=' )(22)2(122
1F F y y F y F G y '-'=⋅'+-⋅'=' G ()'
2'
2'
1'
.22.0.F z z F F z -=-+=
于是 '
2'1'2'1''
.22F z xF zF xF G G x z
z x =
--=-=∂∂
()()'
2
'1'2'2'1'2''.22F z F F y zF F F y G G y z
z y -=---=-=∂∂
所以有
()
xy F xyF xyF xyF F F F y zF xF yz y z
zx x z yz =-+=-+=∂∂+∂∂'
2'1'2'1'2'1'2'2'1 习题8--5
1.求下列各方程所确定的隐函数的导数 (1)0sin 2=-+xy y e
x
(2)x
y
y x arctan ln
22=+
2.求下列各题所确定的隐函数()y x z z ,=的偏导数 (1)022=-++xyz z y x (2)
y
z z x ln = (3)()z y x z y x 3232sin 2-+=-+ (4)
0arctan =+-xyz z e
xy
3. 设(
)2
2z
x yf z x -=+，其中f 可微,证明:x y
z
y x z z =∂∂⋅+∂∂⋅
4设()v u ,Φ具有连续偏导数,证明由方程()0,=--Φbz cy az cx 所确定的函数()y x f z ,=满足c y
z
b x z a =∂∂⋅+∂∂⋅
5.设z z y x 42
2
2
=++,求63
1751==-
-y x
6.设023
=+-y xz z ，求22x z ∂∂，22y
z ∂∂以及y x z
∂∂∂2
7.设⎩⎨⎧⋅+=
⋅-=v u x v u y e e u
u
cos cos 求x u ∂∂，y u ∂∂，x v ∂∂，y
v
∂∂
8.设()t x f y ,=而t 是由方程()0,,=t y x F 所确定的y x ,的函数,其中F f ,都具有一阶连续偏导数,试证明
t
F y F t f x F
t f t F x f dx
dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅
∂∂-∂∂⋅∂∂=
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