隐函数的求导公式

第五节 隐函数的求导公式

在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程

()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多

元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。

隐函数存在定理 1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且

()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一

确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有

''y

x F F dx dy

-= (2)

公式(2)就是隐含数的求导公式

这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。 将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F

其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有

0=⋅∂∂+∂∂dx

dy y F x F 由于'

y F 连续，且 ()0,00'

≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内

0'≠y F

于是得

''y

x F F dx dy

-=

隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函

数，那么一个三元方程

()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程

()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的

定理。

隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏

导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'

≠z y x F z 。则方程()0,,=z y x F 在点()000,,z y x 的

某个邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数()y x f z ,=，它满足条件

()000,y x f z =，并有

-=∂∂x z

''z

x F F ，=∂∂y z ''z y F F - （4）

这个定理我们不证。与定理1类似，仅就公式（4）作如下推导。 由定理条件可知：()()0,,,≡y x f y x F

将公式两端分别对x 和y 求偏导数，应用复合函数求导法则有 0'

'

=∂∂⋅

+x

z

F F z x 0''=∂∂⋅+y z F F z y 因为z F '连续，且()0,,000'

≠z y x F z 。所以存在点()000,,z y x 的一个邻域，在这个邻

域内0'

≠z F ,于是得

''z

x F F x z

-=∂∂ ，''z y F F y z -=∂∂ 公式（4）即是求二元隐函数的偏导数的计算公式。

例1 设3

3

3a xyz z =-确定二元函数()y x f z ,=，求x z ∂∂,y

x z

∂∂∂2

解： 设()=z y x F ,,3

33a xyz z --

则yz F x 3'-= xz F y 3'-= xy z F z 332

'-=

应用公式（4）得

xy

z yz

xy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂2

2''333 xy

z xz xy z xz F F y z z y -=---=-=∂∂22''333 对

x

z

∂∂再一次对y 求偏导数有 ()

()

2

222

2xy

z x y z z yz xy z y z y z y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂⋅--⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+=∂∂∂

()

()

()

xy

z x xy z xz yz xy z xy z xyz z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⋅⎪

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

-+=

2

22222 ＝()

()

3

2

22333

2

223332xy z

z

y x xyz z xy z

z

y x xyz xyz z ---=

--+-

例2 设方程F (

)0,2

2

2

2

=--z y y x 确定了二元函数z=z ()y x ,，

试证：xy y

z zx x z yz

=∂∂+∂∂ 证明：设G ()(

)2

2

2

2

,,,z

y y x F z y x --=，则有

121202F x F x F G x

'=⋅'+⋅'=' )(22)2(122

1F F y y F y F G y '-'=⋅'+-⋅'=' G ()'

2'

2'

1'

.22.0.F z z F F z -=-+=

于是 '

2'1'2'1''

.22F z xF zF xF G G x z

z x =

--=-=∂∂