现代分析基础

1.什么是数学，数学的内涵是什么？第一章19世纪时由恩格斯给出的定义，数学是研究现实世界的数量关系和空间形式（简称：数与形）的科学按照恩格斯所说，数与形是数学的两大基本柱石之一。整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的。

20世纪初的定义，数学是研究模式与秩序的科学,数学研究的基本对象是各种各样的集合以及在它们上面赋予的各种结构。

一、对数学进行分类

（1）从纵向划分：初等数学和古代数学；变量数学；近代数学；现代数学。

（2）从横向划分：基础数学（理论、纯粹数学）（代数、几何、分析，三大分支）

应用数学；计算数学；概率统计；运筹与控制论。

二、数学的独特思考方式

分类化归类比抽象化符号化公理化最优化模型化

三、1近代数学的特征：

分析的严密化;

代数的抽象化;

几何的非欧化。

2现代数学的六大特征

从单变量到多变量，从低维到高维；

从线性到非线性；

从局部到整体，从简单到复杂；

从连续到间断，从稳定到分岔；

从精确到模糊；

计算机的应用。

四、现代对数学的认识

数学即包括数学思维，数学文化，数学素质。

（1）数学思维：一种能够通过分析、类比等方法从众多的事物现象中归纳出其共性和本质性的抽象性思维，一种能够从已知事理中推知未知事理的逻辑性思维，一种敢于突破常规、勇于创新的创造性思维，一种用数学方法模拟与验证现实世界的模式化思维。

（2）数学文化：现代科技文化的核心，是现代科技的形式语言，是理性主义观念。

（3）数学素质：是具有“数学思维”能力和运用数学思想方法解决实际问题的能力的一种特殊素质。

五、现代数学的三大趋势：分支多、交叉多

交错发展、高度综合、逐步走向统一的趋势；

边缘、综合、交叉学科与日俱增的趋势；

数学表现形式、对象和方法日益抽象化的趋势。

六、数学形成与发展的因素与轨迹

1. 数学的形成与发展的因素实用的、科学的、哲学的和美学的因素，共同促进了数学的形成与发展，第一动力：解决因社会需要而直接提出的问题。第二动力：提供自然现象的合理结构。第三动力：智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣。第四动力：对美的追求。

2. 数学发展的轨迹数学发展的基本模式是：具体──抽象──具体

从具体事物、现象（具体）出发，提炼出能够反映其本质的结构（抽象）进行研究，研究的结果再返回到（更多、更广泛的）具体事物、对象（具体）中。

2 设“。”是集合A上的二元运算。

设“。”是集合A上的二元运算。

（1）若A中存在关于运算的左幺元el和右幺元er，则有el = er = e，

且e是A中关于运算的惟一幺元。

（2）若A中存在关于运算的左零元ol和右零元or，则有ol = or = o

且o是A中关于运算的惟一零元。

（3）若A中存在关于运算的幺元e且可结合，元素a∈A存在左逆元al-1和右逆元ar-1，则有al-1 = ar-1 = a-1，且a-1是a的惟一逆元

证明（1）因为el和er分别是A中关于的左幺元和右幺元，则由定义知，对任意的x∈A，有elx =x。

令x = er，则有eler = er。

同理有eler = el，所以el = er。

令el = er = e，即e是幺元，又若e'也是A中关于的幺元，则ee' = e，ee' = e'，所以e = e'，即e是惟一的幺元。

（2）因为0l和0r分别是A中关于的左零元和右零元，则由定义知，对任意的x∈A，有0lx =0l。

令x = 0r，则有0l0r = 0r。

同理有0l0r = 0l，所以0l = 0r。

令0l = 0r = 0，即0是零元，又若0'也是A中关于的零元，则00' = 0，00' = 0'，所以0 = 0'，即0是惟一的零元。

（3）设al-1和ar-1分别是a的左逆元、右逆元，所以al-1a = e，aar-1 = e。而

(al-1a)ar-1 = ear-1 = ar-1，al-1(aar-1) = al-1e = al-1

又因为可结合，所以

(al-1a)ar-1 = al-1(aar-1)

故ar-1 = al-1，所以ar-1 = al-1 = a-1，因此a有逆元a-1。又若b也是a的逆元，则ab = ba = e。

b = be = b(aa-1) = (ba)a-1 = ea-1 = a-1

因此a-1是a的惟一逆元

3.为什么群无零因子？

群G的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立：对任意a,x,y∈S，a*x = a*y 蕴涵x = y ; x*a = y*a 蕴涵x = y

欲G 证无零因子．反设G 中有零因子，X ，Y ,X ≠0,Y ≠0,但XY = 0．于是XY ＝ X0，据可约性得Y = O ，矛盾．因此G 无零因子

4.什么是线性空间？第三章

（线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题． 设V 是一个非空集合，F 为数域．如果

1)对于任意两个元素V ∈βα,，总有唯一的一个元素V ∈γ与之对应，称为 α 与β 的和，记作βαγ+=

2)对于任一数 F λ∈与任一元素V α∈，总有唯一的一个元素V δ∈与之对应，称为λ与α的积，记作δλα=

如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么V 就称为数域F 上的线性空间． ,,;,V F

αβγλμ∈∈设 (1);αββα+=+()()(2);

αβγαβγ++=++(3)0,,0;

V V ααα∈+=在中存在零元素对任何都有

(4),, 0;V V ααβαβ∈∈+=对任何都有的负元素使

(5)1;αα=()()(6);

λμαλμα=()(7);λμαλαμα+=+()(8).λαβλαλβ+=+(凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算． 2 ．线性空间中的元素不一定是有序数组．3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定

义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间． )

6.什么是函数？函数的实质是什么？第四章

（1）函数定义：设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的数集。如果对于每个数x ∈D ，变量y 按照一定的法则总有确定的数值和它对应，则称y 是x 的函数，记作y=f(x)。数集D 叫做这个函数的定义域，x 叫做自变量，y 叫做因变量 。

（2）函数实质：某些研究的“量”之间存在有机的相互联系、相互依赖，一些量的数值完全依赖于其它的量。函数的三要素：定义域、对应法则、值域。由于值域是由定义域及对应法则决定的，所以也可以认为函数由定义域和对应法则两