数值积分的插值求积公式
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
三点gauss-chebyshev 求积公式
三点gauss-chebyshev 求积公式
三点Gauss-Chebyshev求积公式是一种数值积分方法，用于计算函数在[-1, 1]区间上的积分。
它基于Chebyshev多项式的零点，并使用三个等距节点进行插值和积分计算。
具体的求积公式如下：
积分近似值 = (b - a) / 3 * [f(a) + 4f((a + b) / 2) + f(b)]
其中，a和b是积分区间的起始和终止点，f(x)是需要计算的函数。
请注意，这个求积公式特别适用于在[-1, 1]区间上具有较光滑性质的函数。
当函数在该区间上不是很光滑或具有较大的变化时，可能需要采用更精确的高阶Gauss-Chebyshev求积公式或其他数值积分方法。
对于其他节点数，可以使用更高阶的Gauss-Chebyshev求积公式，如五点、七点或更多，以提高积分的精度。
这些公式的推导和使用方法是类似的，只需根据具体的节点数和相应的节点位置进行调整。
需要注意的是，当使用数值积分方法时，应根据具体应用需求和被积函数的特点选择合适的公式和节点，并对数值误差进行评估和控制，以获得准确的积分结果。
计算方法数值积分_插值型积分
计算方法数值积分_插值型积分
一．概述
插值型积分是数值积分的一项重要方法，它是将要计算的曲面上的积分点根据插值函数或其中一种样条函数，插值成一条直线之后再求解。
插值型积分主要有牛顿-拉夫逊插值内插法、Chebyshev插值内插法、余弦和正弦插值内插法和Hermite插值内插法等，主要用来解决二元函数、多项式、函数的积分。
同时，插值型积分可以用来求解非常复杂的不可积函数，也可以用于求解紧密的积分，可以节省一定的计算时间。
二、牛顿-拉夫逊插值内插法
牛顿-拉夫逊插值内插法是插值型积分中最常用的方法，它通过在给定的多项式基函数上拟合曲线，计算曲线上积分点的函数值，然后把它们拟合到牛顿-拉夫逊插值函数中，最后将插值函数作为定积分的函数，通过求解插值函数的积分来解决问题。
牛顿-拉夫逊插值内插法一般采用牛顿-拉夫逊插值函数，它是基于多项式的函数，由节点上的函数值和其导数值建立插值函数，其积分也可以由插值函数和它的导数求解。
牛顿-拉夫逊插值函数具有以下特点：
1.多项式阶数不受限；
2.插值函数结果是一条曲线；
3.可以非常精确地表示复杂的函数；。
数值积分的插值求积公式
数值积分的插值求积公式
数值积分的插值求积公式是通过在指定区间上将被积函数进行插值，并利用插值多项式的性质进行数值积分的方法。
常见的数值积分的插值求积公式有以下几种：
1. 矩形公式：取被积函数在每个小区间上的某个点的函数值作为近似值，将小区间的长度乘以相应的函数值进行累加，即可得到近似的积分值。
常见的矩形公式有左矩形公式、右矩形公式和中矩形公式。
2. 梯形公式：将每个小区间上的函数值进行线性插值，形成一系列的梯形，再将所有梯形的面积进行累加，即可得到近似的积分值。
3. 辛普森公式：利用三次插值多项式，将被积函数在每个小区间上近似地表示为一个二次多项式，并用该多项式的积分值代替对应小区间的积分值，再将所有小区间的积分值进行累加，即可得到近似的积分值。
这些插值求积公式的具体计算方法可以参考数值积分的相关课程教材或者算法手册。
插值型求积公式的求积系数
插值型求积公式的求积系数插值型求积公式是一种常用的数值积分方法，其核心在于通过已知的函数值构造出一个插值多项式，再将积分转化为该多项式的积分。
而求积系数，则是决定插值多项式精度和计算效率的关键因素。
下面是插值型求积公式中常用的三种求积系数：1. 牛顿—柯茨公式的求积系数牛顿—柯茨公式通过插值多项式的递推方式来求解积分。
其求积系数可用牛顿插值多项式的差商来表示。
具体公式如下：$$\int_{x_{0}}^{x_{n}} f(x) d x \approx w_{0} f\left(x_{0}\right)+w_{1} f\left(x_{1}\right)+\cdots+w_{n} f\left(x_{n}\right)$$其中，$$w_{0}=h,\ \ w_{i}=\frac{h}{i !} \prod_{j=0}^{i-1}\left(n-j\right)$$2. 拉格朗日公式的求积系数拉格朗日公式的求积系数是通过对插值多项式的积分来求解的。
具体公式如下：$$\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \sum_{i=0}^{n} f\left(x_{i}\right) \int_{a}^{b} L_{i}(x) d x$$其中，$$\int_{a}^{b} L_{i}(x) d x=\frac{b-a}{n+1} \prod_{j=0, j \neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$$3. 均值型求积公式的求积系数均值型求积公式的求积系数是通过对插值多项式在插值点上的值进行平均来求解的。
具体公式如下：$$\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1}f\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2 n} i\right)$$以上三种求积系数组合使用，在不同的数值积分问题中都能够提供较为准确和高效的计算结果。
插值型求积公式的充要条件
插值型求积公式的充要条件插值型求积公式的充要条件插值型求积公式是一个非常重要的计算数值积分的方法，可以用来求解无法用解析式计算的积分，特别是在数值计算领域具有非常广泛的应用。
在本文中，我们将详细讨论插值型求积公式的充要条件。
一、插值型求积公式的概念插值型求积公式是利用已知数据点上的函数值，构造一个插值多项式，再将插值多项式在区间[a,a]上进行积分而得到的数值积分公式。
这种数值积分方法的优点是求积精度高，对于不可积函数也能进行数值积分。
二、插值型求积公式的基本形式在区间[a,a]上，插值型求积公式的基本形式为：∫aa a(a)aa≈∑a=0aaaa(aa)其中，aa为积分权重，a(aa)为插值多项式在节点aa上的函数值。
三、插值型求积公式的误差1.误差的表达式插值型求积公式的误差可以用以下公式来表示：∫aa a(a)aa−∑a=0aaaa(aa)=a(a)(a−a)a+1(a!)2∏a=0a(a−aa) 其中，a∈[a,a]，表示插值多项式的余项。
2.误差的最大值插值型求积公式的误差最大值可以用以下公式计算：|a(a)(a−a)a+1(a!)2∏a=0a(a−aa)|≤a(a−a)a+2(a!)3其中，a为函数a(a) 在区间[a,a]上的最大值。
四、插值型求积公式的充要条件判断一个插值型求积公式的充要条件，需要满足以下两个条件：1.插值节点严格单调插值的节点aa必须是在区间[a,a]上严格单调的。
如果节点不是严格单调的，可能会导致积分方法的误差增大，从而影响计算结果的准确性。
2.积分权重严格正定插值型求积公式的积分权重aa必须满足严格正定的条件，也就是aa＞0。
如果积分权重不是正定的，可能会导致积分方法的精度下降，从而影响计算结果的准确性。
综上所述，插值型求积公式在应用时需要考虑节点和权重的选择，必须满足严格单调和严格正定的条件。
只有在满足这些条件的情况下，插值型求积公式才能够得到准确的数值积分结果，具有非常广泛的应用价值。
插值型数值微分与积分
xi )(x
x i 1 )]
|x x i1
f
(2 ) 2!
[x
x i1
x
x ] | i1 xxi1
h 2
f (2 )
—
右端点
2.两点公式(n=2)
给定三点
x
i1
,
x
i
,
x
及其对应的函数值
i1
yi1,
yi
,
yi1
x i1
xi
即
y i 1
yi
x i1
步长h xi xi1 xi1 xi
y i 1
yi
)
—
左端点公式
f (xi1)
P1( x i 1 )
1 h
(yi1
yi )
—
右端点公式
这称为两点公式。
截断误差:
R1 (xi )
f (1) 2!
[(x
xi )(x
x i 1 )]
|xxi
f
(1 ) 2!
[x
x i1
x
x i 1 ]
|xxi
h 2
f
(1
)
—
左
端点
R1 (xi1)
f (2 ) 2!
[(x
0.264241
而精确值 I 1 2e1 0.26424111。可见，复合Simpson
公式的精确程度优于复合梯形公式，复合Cotes 公式又优于复合
Simpson 公式，而这三种公式的计算量几乎相同。
三、求积公式的误差：
f (n1) () pn (x) f (x) R n (x) f (x) Pn (x) (n 1)! n1(x)
n i!(n i)!0 t(t 1) (t i 1)(t i 1) (t n)dt
数值分析之插值型数值积分
x1=b x
25
数值分析
梯形公式的余项和精度
梯形公式的余项为
R1
=
(b
− a)3 2
1 f ''( )t(t −1)dt, = (a + th) (a,b)
0
由第二积分中值定理得到 R1
= − (b − a)3 12
f
''(), (a,b)
注意到，此时的余项与代数精度保持一致。
26
数值分析
a j=0 xk − x j
n n t− j
(
h)dt
0 j=0 k − j
jk
jk
n
= h(
1
)
n
[
n
(t − j)]dt =
(−1)n−k h
nn
[ (t − j)]dt
j=0 k − j 0 j=0
k !(n − k )! 0 j=0
jk
jk
jk
= (b − a)ck(n) k = 0,1, , n
出定积分的近似值，即
b
b
a f ( x)dx a ( x)dx
6
数值分析
求积公式与代数精度
7
数值分析
6.1 求积公式及代数精度
数值求积公式的一般形式为
b
f (x)dx
a
n
k f (xk )
k =0
式 中 的 xk ( k= 0 , 1 , n称, 为) 求 积 节 点 并 且 有
a x0 x1 xn b，k (k = 0,1, , n) 称为求积系数，
28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350
数值积分的插值求积公式
数值积分的插值求积公式摘要：一、数值积分的概念与重要性1.数值积分的定义2.在科学计算中的应用二、插值求积公式介绍1.插值法的概念2.插值求积公式的推导三、插值求积公式的应用1.数值积分问题的解决2.实际问题的求解四、结论与展望1.插值求积公式的重要性2.未来发展方向正文：数值积分是一种通过离散点来近似计算连续函数积分的方法，它在科学计算中具有广泛的应用，例如在物理、工程、经济等领域。
通过数值积分，我们可以求解一些无法用解析方法求解的积分问题。
插值求积公式是一种基于插值法的数值积分方法。
首先，我们介绍插值法的概念。
插值法是一种通过已知离散点拟合连续函数的方法。
常见的插值法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值求积公式利用插值法，将原积分区间分割成若干子区间，通过对子区间上的函数值进行插值拟合，得到原函数在该点处的值。
插值求积公式的推导可以通过数值积分的基本思想进行。
首先，我们选取一个插值节点序列，将原积分区间分割成若干子区间。
然后，对每个子区间选取一个代表点，计算原函数在该点处的值。
接下来，利用插值法，根据已知离散点拟合连续函数，得到原函数在插值节点处的值。
最后，将插值节点处的函数值代入数值积分公式，计算原函数的积分值。
插值求积公式在数值积分问题的解决中具有重要作用。
例如，对于一些无法用解析方法求解的积分问题，我们可以利用插值求积公式进行数值积分，得到近似解。
此外，插值求积公式还可以应用于实际问题的求解，例如在经济学中，可以通过插值求积公式计算某种经济现象的概率分布。
综上所述，插值求积公式在数值积分中具有重要意义。
作为一种基于插值法的数值积分方法，它为我们解决一些无法用解析方法求解的积分问题提供了可能。
几种常用数值积分方法的比较讲解
学科分类号110.3420本科毕业论文题目几种常用数值积分方法的比较姓名潘晓祥学号1006020540200院（系）数学与计算机科学学院专业数学与应用数学年级2010 级指导教师雍进军职称讲师二〇一四年五月贵州师范学院本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
本科毕业论文作者签名：年月日贵州师范学院本科毕业论文(设计)任务书毕业设计题目几种常用数值积分方法的比较作者姓名潘晓祥学号1006020540200 年级2010级所属学院数学与计算机科专业数学与应用数学班级四班指导教师签名雍进军讲师职称讲师开题日期2013年7月10日主要目标1．了解什么数值积分基本思想和一些常用的数值积分方法；2．对各种数值积分方法的误差以及代数精度进行分析；3．对各积分方法进行比较总结出优缺点。
主要要求通过对几种常用的数值积分方法进行了的分析，并用这几种方法对被积函数是普通函数做了数值积分，并在计算机上进行实验。
数值积分是计算方法或数值分析理论中非常重要的内容，数值积分方法也是解决实际计算问题的重要方法，对几种常用数值积分方法的分析很必要。
主要内容本文通过对复化求积公式, Newton—Cotes求积公式, Romberg求积公式,高斯型求积公式进行分析讨论并在计算机上积分实验,从代数精度,求积公式误差等角度对这些方法进行分析比较，并总结出每种求积分法的优缺点以及实用性。
贵州师范学院本科毕业论文（设计）开题报告书论文题目几种常用数值积分方法的比较作者姓名潘晓祥学号1006020540200 年级2010级数学与计算机所属学院专业数学与应用数学班级数本（4）班科学学院指导教师姓名雍进军职称讲师预计字数5000.00字题目性质应用研究日期2013年7月05 日选题的原由：研究意义:数值积分是数学上的重要课题之一,是数值分析中的重要内容之一,也是数学的研究重点.并在实际问题及应用中有着广泛的应用.常用于科学与工程的计算中,如涉及到积分方程,工程计算,计算机图形学,金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用,所以研究数值积分问题有很重要的意义.数值积分是研究如何求出一个积分的数值.这一课题的起源可追溯到古代,其中一个突出的例子是希腊人用内接与外接正多边形推算出圆面积的方法.也正是此法使阿基米德得以求出π值得上界与下界,若干世纪以来,尤其是十六世纪后,已提出了多种数值积分方法,其中有矩形求积法,内插求积法,牛顿科特斯公式,复化求积公式,龙贝格求积公式,高斯型求积公式.但各种方法都有特点,在不同的情况下试用程度不同,我们将着重从求积公式的代数精度和余项等角度对这些方法进行分析比较. 研究动态:这些年来,有关数值积分的研究已经成为一个很活跃的研究领域,历史上,阿基米德,牛顿,欧拉,高斯,切比雪夫等人都对此有过贡献.研究出各种各样的数值求积公式,但一个好的数值求积公式应该满足:计算简单,误差小,代数精度高.我们将对矩形求积法,内插求积法，牛顿科特斯公式,化求积公式,贝格求积公式,斯型求积公式进行比较.对数值求积公式能有进一步的了解和学习.主要内容：1 数值积分方法的基本思想2 几类常用数值积分方法的基本分析2.1 Newton—Cotes求积公式2.2 复化求积公式2.3 Romberg求积公式2.4 高斯型求积公式3 几类数值积分方法的简单比较评述4利用MATLAB编程应用对几类求积算法的分析比较研究方法：本论文主要通过对相关文献和书籍的参考,合自己的见解,复化求积公式,Newton—Cotes求积公式,Romberg求积公式,高斯型求积公式进行讨论并进行上机实验，从代数精度,求积公式误差等角度对这些方法进行分析比较.完成期限和采取的主要措施：本论文计划用6个月的时间完成,阶段的任务如下:(1)7月份查阅相关书籍和文献;(2)8月份完成开题报告并交老师批阅;(3)9月份完成论文初稿并交老师批阅;(4)10月份完成论文二搞并交老师批阅;(5)11月份完成论文三搞;(6)12月份定稿.主要措施:考相关书籍和文献,合自己的见解,老师的指导下和同学的帮助下完成主要参考文献及资料名称：[1] 关治. 陆金甫. 数学分析基础（第二版）[M]. 北京:等教育出版社.2010.7[2] 胡祖炽. 林源渠. 数值分析[M] 北京:等教育出版社.1986.3[3] 薛毅. 数学分析与实验[M] 北京:业大学出版社2005.3[4] 徐士良. 数值分析与算法[M]. 北京:械工业出版社2007.1[5] 王开荣. 杨大地. 应用数值分析[M] 北京:等教育出版社2010.7[6] 杨一都. 数值计算方法[M]. 北京:等教育出版社 . 2008.4[7] 韩明. 王家宝. 李林. 数学实验（MATLAB）版[M]. 上海:济大学出版社2012.1[8] 圣宝建. 关于数值积分若干问题的研究[J]. 南京信息工程大学. 2009.05.01. : 42[9] 刘绪军. 几种求积公式计算精确度的比较[J]. 南京职业技术学院. 2009.[10] 史万明.吴裕树.孙新.数值分析[M]. 北京理工大学出版社.2010.4.开题报告会纪要时间2013年8月26日地点宁静楼229教师办公室与会人员姓名职务（职称）姓名职务（职称）姓名职务（职称）雍进军导师（讲师）邓喜才副教授李晟副教授龙林林组长指导教师意见：签名：年月日会议记录摘要：指导小组针对课题《二次函数性质的应用》提问了以下问题以及报告人的回答：雍老师问:选择此题目的目的?潘晓祥答:随着计算机和计算方法的飞速发展,几乎所有学科都走向定量化和精确化,计算数学中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。
数值积分概述
解 因为 求 积 公式 2h f (x) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h) 有
A1 , A0, A1, 3 个未知数，设求积公式对于 f (x) 1, x, x2 均准确成立，有
A1 A0 A1 4h hA1 hA1 0 h2 A1 h2 A1 (16 / 3)h3
0 l0 (x)dx
3 0
(x 1)(x (0 1)(0
2)(x 3) 2)(0 3)
dx
3 8
，
A1
A2
9 8
,
A3
3 8
（2）解关于 Ak 的线性方程组，将 f (x) 1, x, x2 , x3 代入 A0 A1 A2 A3 3 ， A1 2 A2 3A3 9 / 2 ， A1 4 A2 9 A3 9 ，
hf
(2h) ，其代数精度至少为
2
次。
将 f (x) x3 ，代入求积公式，左边= 81 h4 ，右边=18h4 ，
4
左边≠右边。求积公式只有 2 次代数精度。
例 在区间 [h, h] 上取节点,0,,确定 及求积系数，构造
代数精度尽可能高的求积公式，并确定其代数精度。
h
解 设求积公式为 f (x) d x Af () Bf (0) Cf ( ) ，因有 h
数 Ak , k 0,1, 代数精度。
,n
使求积公式 ab
f
( x)dx
n
Ak
f
(xk ) 至少有
n
次的
k 0
证明此时 Ak , k 0,1, , n 有唯一解即可。
证
令 f (x) 1, x, x2, , xn
ab
f
( x)dx
7.数值积分-Newton-Cotes公式+龙贝格算法
c(n) k
k 0,1,2,,n，若记其绝对值的和为
n
|
c(n) k
|,
k0
则可以证明
sup{ n } .
n
（2.10）
显然，当 f ( x) 1时，对所有 n 1，都有 I ( f ) In( f ),
n
即
c(n) k
1
k0
结论：当n充分大时，
c(n) k
(k 0,1,2,,n)
当n = 8时，出现了负系数，从而影响稳定性和 收敛性，因此实用的只是低阶公式。
Newton-Cotes公式
b
a
f
( x)dx
(b
n
a)C
(n) j
f
(
x
j)
j0
• 柯特斯系数
n
1 1/2 1/2
2 1/6 4/6 1/6
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90
但用n阶牛顿-柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果
I
41 4 1 x2 dx 2argtan4 2.6516
n
In
2
5.4902
4
2.2776
6
3.3288
8
1.9411
10
3.5956
由上表可以看出：此时数值求积过程是发散的。
注意： 对于n阶Newton-Cotes公式的Cotes系数
（2.6）
其中：
K2(t)
1
72 1
(t (b
a t
)3 )3
(3t a (b 2a
2b), 3t ),
72
a t ab
插值型求积公式一般形式
插值型求积公式一般形式求积是数学中常用到的一类计算问题，从微积分的定义中也可以明确看出，求积是求定积分的特殊情况。
其中有一种情况，是用插值的方法来求积，即插值型求积公式。
什么是插值？通常而言，插值指的是在数据点之间，使用某种拟合函数来代替原始的数据，而将这种拟合的函数引入到求积的过程中，就形成了插值型求积公式。
一般而言，插值型求积公式均可以表示为：$$int_{a}^{b}f(x)varphi_n(x)dx$$其中，$f(x)$表示待求积函数，$a$和$b$分别表示积分区间的下限和上限，$varphi_n(x)$表示插值函数，插值函数的选择可以不同，比如有多项式插值法、拉格朗日插值法、牛顿插值法等等，它们的构造方式也各有不同。
一般来说，对于某种插值函数，它们都可以表示为：$$varphi_n(x)=C_0+C_1(x-x_0)+C_2(x-x_0)(x-x_1)+cdots+C_n(x-x_ 0)(x-x_1)cdots(x-x_{n-1})$$这里，$C_0,C_1,ldots,C_n$表示插值函数中的常数系数，$x_0,x_1,ldots,x_{n-1}$表示分别是区间[a,b]内等分后的n个数据点。
假定某插值函数的形式已知，我们可以求解它的常数系数。
一般的求解方法分为三步：（1）选取待求积函数$f(x)$在n个等分点$x_0,x_1,ldots,x_{n-1}$的值$f(x_0),f(x_1),ldots,f(x_{n-1})$;（2）令$C_0,C_1,ldots,C_n$为未知常数，将它们代入插值函数$varphi_n$中，构造出一个关于$C_0,C_1,ldots,C_n$的方程组；（3）将这个方程组求解，解出$C_0,C_1,ldots,C_n$便求得了插值函数$varphi_n$的形式。
有了插值函数，就可以使用插值型求积公式来计算积分值了，这是一种大大减轻了计算任务的积分计算方法。
数值分析-第六章-数值积分
k 0
而对应的误差为
b
b f (n1) ( )
I In
(
a
f
(
x)
Ln
(
x))dx
a (n 1)! wn1(x)dx
Newton-Cotes公式
当节点为等距节点时，对应的插值型求积公式称为 Newton-Cotes 公式。
梯形公式：最简单的 Newton-Cotes 公式
a
2
梯形公式的误差
梯形公式的误差为：
b f ( )
E I T a 2 (x a)(x b)dx
注意到对任意的 x [a,b] ，有 (x a)(x b) 0，根据积分中值定理，
若 f "(x) C[a,b] ，有
E f ()
b
(x a)(x b)dx
第六章 数值积分
数值积分的基本概念 数值积分的基本思想 代数精度 插值型求积公式
Newton-Cotes 求积公式 梯形公式、辛普森公式、一般的 Newton-Cotes 公式 复化积分公式：复化梯形公式、复化辛普森公式 区间逐次分半法
Romberg（龙贝格）积分
高斯型求积公式
数值积分的基本概念
微积分中定积分的定义为：b Nhomakorabean
a
f
(x
)dx
lim
n m a xxk
k01
xk
f
k( ，)
n
b
n
可用 xk f (xk ) 作为原积分的近似： a f (x)dx xk f (xk ) 。
k 1
k 1
进一步推广得到更一般的公式：
数值分析公式大全
数值分析公式大全1.插值公式：
-拉格朗日插值公式
-牛顿插值公式
-分段线性插值公式
-分段多项式插值公式
- Hermite插值公式
2.数值积分公式：
-矩形法
-梯形法
-辛普森法则
-龙贝格公式
-复合梯形公式
-复合辛普森公式
3.数值微分公式：
-前向差分
-后向差分
-中心差分
-五点差分公式
4.数值方程求根公式：
-二分法
-割线法
-牛顿迭代法
-雅可比迭代法
-弦截法
- Muller法
5.线性方程组求解公式：
- 直接法（LU分解，Cholesky分解）
- 迭代法（雅可比迭代法，Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法）-共轭梯度法
-GMRES法
6.常微分方程数值解法：
- Forward Euler法
- Backward Euler法
- 改进的Euler法
-龙格-库塔法
-预测校正法
7.偏微分方程数值解法：
-有限差分法
-有限元法
-谱方法
-边界元法
8.近似计算公式：
- Taylor级数展开
-泰勒展开的截断误差估计
- 常用数学公式（例如：sin x的级数展开）
9.最优化问题求解公式：
-单变量最优化问题求解公式
-多变量最优化问题求解公式
-线性规划求解公式
-非线性规划求解公式。
插值型求积公式的代数精度范围
插值型求积公式的代数精度范围插值型求积公式是数值分析中的一个重要概念，它在计算定积分的近似值时发挥着关键作用。
那什么是插值型求积公式的代数精度范围呢？咱今儿就来好好说道说道。
先来说说插值型求积公式是咋来的。
比如说，咱要计算一个函数在某个区间上的定积分，但是这个函数的原函数不好找，或者说找起来特别麻烦。
这时候，咱们就可以用插值的方法，找一些节点，通过这些节点上函数的值来构造一个近似的公式，这就是插值型求积公式啦。
咱们就拿个具体的例子瞅瞅。
假设咱要计算函数$f(x) = x^2 + 2x +1$在区间[0, 1]上的定积分。
咱先在这个区间上选几个节点，比如 0、0.5、1 这三个点。
然后根据这几个点上函数的值，通过一定的方法就能构造出一个近似的求积公式。
那代数精度范围又是啥呢？简单来说，就是这个求积公式能精确计算出来的多项式的最高次数。
比如说，如果一个求积公式对于一次多项式能精确计算，对于二次多项式就不行了，那它的代数精度就是 1。
代数精度越高，说明这个求积公式越准确。
咱们来看看几种常见的插值型求积公式，像牛顿-柯特斯公式、高斯求积公式等等。
牛顿-柯特斯公式比较简单易懂，但是它的代数精度相对来说不是特别高。
而高斯求积公式就厉害啦，它的代数精度可以很高，不过计算起来稍微复杂一点。
我记得之前教学生的时候，有个学生就对这个概念特别迷糊。
我给他举了个例子，说假如你去买水果，水果的价格和重量之间有个关系，咱们要算出总价。
但是这个关系不好直接算，就得找个近似的办法，插值型求积公式就像是咱们找的这个近似办法。
而代数精度呢，就好比这个办法能算得多准，是能精确算出便宜的水果价格，还是贵的水果价格也能算准。
这学生一听，恍然大悟，后来学起来就顺溜多啦。
在实际应用中，咱们得根据具体的问题选择合适的插值型求积公式。
如果要求精度不是特别高，计算量又不能太大，那就选个简单点的；要是精度要求特别高，那就算复杂点，也得用上代数精度高的公式。
已知等距节点的插值型求积公式
已知等距节点的插值型求积公式等距节点的插值型求积公式是一种数值积分方法，它可以在一段区间上对函数进行积分。
这种方法使用等距节点，即在确定的区间上使用同样间隔的节点，然后通过插值方法来近似原函数，最终得到积分结果。
以下是已知等距节点的插值型求积公式的详细解释。
首先，我们需要确定插值点的数量和位置。
等距节点的插值型求积公式通常使用n个等距节点，每个节点的间距为h。
插值点的位置可以表示为x0, x1, x2... xn-1，其中x0是区间的左端点，xn-1是右端点。
接下来，我们需要使用Lagrange插值多项式来近似原函数。
Lagrange插值多项式是一个n次多项式，用于在n个给定点上插值。
对于等距节点的插值型求积公式，Lagrange插值多项式的形式为：L(x) = Σf(xi)Li(x)其中，f(xi)是在插值点xi处的函数值，Li(x)是拉格朗日插值基函数。
拉格朗日插值基函数可以表示为：Li(x) = Π(j=0,j!=i) ((x-xj)/(xi-xj))其中，Π代表乘积，j!=i表示j不等于i。
然后，我们需要对Lagrange插值多项式进行积分，从而得到插值型求积公式。
插值型求积公式的形式为：∫f(x)dx ≈∫L(x)dx = hΣf(xi)wi其中，wi是插值点xi处的权重，它们的值可以通过求解以下方程组得到：Σwi = nΣxiwi = 0Σ(x^2i)wi = (n^2-1)/3通过解方程组，我们可以得到每个插值点的权重，从而得到插值型求积公式。
该公式可以用于对函数进行数值积分，从而得到近似的积分值。
总之，已知等距节点的插值型求积公式是一种使用n个等距节点的Lagrange 插值多项式来近似原函数，并通过对多项式进行积分得到的数值积分方法。
它可以用于对函数进行数值积分，从而得到近似的积分值。
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数值积分的插值求积公式
（原创版）
目录
1.数值积分的概念和背景
2.插值求积公式的定义和原理
3.插值求积公式的实际应用
4.插值求积公式的优缺点分析
正文
一、数值积分的概念和背景
数值积分是数值分析中的一种重要方法，它是求解连续函数在某一区间上的定积分的一种近似方法。
在实际应用中，有些函数的积分无法求出解析解，这时就需要借助数值积分方法来求解。
数值积分的方法有很多种，其中插值求积公式是一种常用的方法。
二、插值求积公式的定义和原理
插值求积公式是一种基于插值原理的数值积分方法。
其基本思想是先对被积函数进行插值，然后在插值点上求和，最后得到积分结果。
插值求积公式的具体步骤如下：
1.选择插值函数，如拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等；
2.对被积函数进行插值，得到一系列插值点上的函数值；
3.在插值点上求和，得到积分的近似值。
三、插值求积公式的实际应用
插值求积公式在实际应用中具有广泛的应用，例如在计算机图形学中，可以用插值求积公式来计算曲线下的面积；在物理学中，可以用插值求积公式来计算物体的质心；在金融学中，可以用插值求积公式来计算投资组
合的期望收益等。
四、插值求积公式的优缺点分析
插值求积公式具有以下优点：
1.适用范围广，可以应用于各种类型的函数；
2.计算精度较高，随着插值点数的增加，计算结果的误差会逐渐减小；
3.具有较好的稳定性，对于一些具有奇点的函数，插值求积公式仍能得到较好的结果。
然而，插值求积公式也存在一些缺点：
1.插值求积公式的计算复杂度较高，需要进行多次插值和求和操作；
2.对于一些非线性函数，插值求积公式的精度可能会受到影响。
综上所述，插值求积公式是一种实用的数值积分方法，具有一定的优点和缺点。