鲁教版(五四制)初中数学七年级下册_角平分线的学习要点

角平分线的学习要点

一、基础知识精要

1．角平分线的性质及其结论

（1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．

如图1所示，OM 平分AOB ∠，N 是OM 上的一点，NP OA ⊥于P ，

NQ OB ⊥于Q ，则NP NQ =．

（2）结论：到角两边的距离相等的点在角的平分线上。

如图1所示， N 是OM 上的一点，NP OA ⊥，NQ OB ⊥，且NP NQ =，则OM 平分AOB ∠．

所以角平分线可以看作到角两边距离相等的所有点的集合．

（3）它们之间的关系：点在角平

分线上点到这个角两边的距离相

等．

2．应用角平分线的性质及其结论时，常用的辅助线是过角平分线上的一点作两边上的垂线．

二、典型例题分析

例1 如图2所示，BF 是DBC ∠的平分线，CF 是ECB ∠的平分线，请问：点F 是否在BAC ∠的平分线，试说明理由？

分析：点F 在BAC ∠的平分线，欲证点在角平分线上可转化为证点到这个角两边的距离相等，这是本题证明的关键．即过点F 作FM AD ⊥于M ，FN BC ⊥于N ， FP AE ⊥于P ，因为BF 是DBC ∠的平分线，所以FM FN =，又因为CF 是ECB ∠的平分线，所以FP FN =，因此FM FP =，即点F 在BAC ∠的平分线．

例2 如图3所示，三条公路两两相交，交点分别为A ，B ，C ，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，可供选择的地址有几处？

分析：有四处，如图3所示，分别是ABC △的三条角平分线的交点L ，ABC △的一个内角平分线和另外两个内角的外角平分线的交点1L ，2L ，3L ．

三、结语点金

1．应用角平分线的性质及其结论时，一定要具备两个垂直距离（即点到直线的距离），证明过程中要直接运用这两个定理，而不要去寻找全等三角形（这样做实际上是重新证明了一次结论）．

2．证明点在角平分线上的常用方法是证明这个点到角的两边的距离相等，从而证明点在角平分线上，这样就把证明“点在线上”的问题转化为证明“线段相等”的问题，体现了“化难为易，化陌生为熟悉”的转化思想．