鲁教版(五四制)初中数学七年级下册_角平分线的学习要点
七年级角平分线知识点总结
七年级角平分线知识点总结在七年级的数学学习中，我们学习了很多新知识，其中包括角平分线的知识。
角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在本文中，我将为大家总结七年级角平分线的知识点，让大家更好地掌握这一知识。
一、角平分线的定义角平分线指的是将一个角分成两个相等的角的线段。
通常情况下，我们将这个线段称为这个角的平分线。
二、角平分线的性质角平分线有很多性质，下面我们来一一介绍。
1、角平分线上的点角平分线上的点必须满足点到角两边的距离相等。
也就是说，如果一条线段在角内，并且到角两边的距离相等，那么这条线段就是这个角的平分线。
2、角平分线相交于一点一个角的两条平分线必定相交于一个点，我们称这个点为这个角的内心。
3、内角平分线定理内角平分线定理是指，如果一个点在角内，并且到角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上。
三、角平分线的应用角平分线在数学中有很多应用，下面我们来介绍一下角平分线的常见应用。
1、求角平分线的长度在图形中，如果已知角的大小和角平分线所在两边的长度，那么可以通过余弦定理或正弦定理来求角平分线的长度。
2、利用角平分线证明线段比例当一个角的内部有两个点与角的两边垂直相交时，可利用角平分线来证明线段比例。
四、角平分线的练习题为了更好地掌握角平分线的知识，在此为大家推荐两道练习题，供大家练习。
1、如图，∠A=97.5°,AD为∠A的平分线，AB=6cm，BC=10cm，则AD约等于____cm。
（结果保留一位小数）A、6.6B、5.8C、8.4D、7.2解：根据余弦定理，我们可以得出：AD≈7.2cm。
2、如图，求MN∶KL的值。
解：由角平分线定理可知：$\quad \frac{MK}{AK}=\frac{NL}{AL}\quad $又因为$AK=AL$，所以$MK=NL$又由题可知：$MK+NL=20$，所以$MK=NL=10$所以：$MN∶KL=MK-LM∶NL-LK=10-6∶10-5=4∶5$以上就是本文对七年级角平分线知识点的总结，希望能够对大家的学习有所帮助。
鲁教版数学七年级下册10
1.通过直观演示和实际操作，引导学生观察、思考、探究角平分线的性质和判定方法，培养他们的观察能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
2.采用小组合作、讨论交流的学习方式，让学生在合作中探究问题、解决问题，提高他们的沟通能力和团队协作能力。
3.设计丰富的例题和练习题，让学生在解题过程中，巩固所学知识，提高分析问题和解决问题的能力。
2.学生在技能方面：尺规作图能力有待提高，对于如何准确、快速地作出角的平分线，学生可能需要更多的练习和指导。
3.学生在情感态度方面：部分学生对数学学习兴趣不足，对本章节的学习可能缺乏积极性。因此，教师需要激发学生的学习兴趣，培养他们的学习信心。
4.学生在合作交流方面：部分学生沟通能力较弱，小组合作中可能不够积极主动。教师应引导学生在合作中相互学习、共同进步，提高他们的团队协作能力。
二、学情分析
针对鲁教版数学七年级下册10.5.2角平分线这一章节，学生已在之前的学习中掌握了角的分类、角的度量以及简单图形的对称性等基本知识。在此基础上，他们对角平分线的概念有了一定的认识，但对于角平分线的性质和判定方法可能仍感到陌生。因此，在本章节教学中，教师应关注以下学情：
1.学生在认知方面：对于角平分线的定义和性质，部分学生可能存在理解上的困难，需要通过直观演示和实际操作，帮助他们建立清晰的概念。
4.教学拓展：
（1）引入数学历史故事，让学生了解角平分线相关知识的起源和发展，激发他们的学习兴趣。
（2）开展数学实践活动，如制作角平分线教具、研究角平分线在实际问题中的应用等，提高学生的实践能力。
（3）鼓励学生参加数学竞赛、讲座等活动，拓宽他们的数学视野。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过向学生展示一幅美丽的蝴蝶图案，引导学生观察图案中的对称美。提问：“你们知道蝴蝶翅膀上的图案有什么特点吗？它们是如何实现对称的？”从而引出角平分线的概念。
初中数学角平分知识点总结
初中数学角平分知识点总结一、角平分线的性质1. 角平分线的定义：如果一条直线把一个角分成两个相等的角，那么这条直线就是这个角的角平分线。
2. 角平分线的性质：角平分线两边的两个角相等。
3. 角平分线的性质：一个角的两个相等的角平分线互相重合。
二、角平分线的判定方法1. 角平分线的判定方法1：通过角平分线的定义，可以轻松判定角的角平分线。
2. 角平分线的判定方法2：如果两条射线的夹角等于一个角的一半，则这两条射线是这个角的角平分线。
三、角平分线的应用1. 利用角平分线的性质求解问题：在证明或计算过程中，可以利用角平分线的性质简化运算，快速求解问题。
2. 利用角平分线的判定方法进行角平分线的判定：在实际问题中，可以通过判定角的角平分线，解决有关角平分线的问题。
四、角平分线的相关定理1. 有关角平分线的相关定理：如角平分线的对称性定理、角平分线的交点定理等，这些定理在具体问题中有一定的应用价值。
2. 角平分线与其他几何图形的关系：在与直线、三角形、多边形等相关的问题中，角平分线也有一定的应用。
五、角平分线的习题解析1. 角平分线的基本应用题：如利用角平分线的性质求解同分、证明一些性质、解决实际问题等。
2. 角平分线的相关综合题：综合利用角平分线的性质和相关定理进行综合性的应用题解析。
通过本文的总结，希望大家能够掌握初中数学中角平分知识点，灵活应用于实际问题中，进一步提高数学解决问题的能力和水平。
角平分线是数学的一个重要知识点，也是初中数学的基础知识之一，希望同学们能够加强对角平分线知识点的掌握，提高数学学习的兴趣和能力。
2017年春季鲁教版五四制七年级数学下学期10.5角平分线教案1
课题 6.5 角平分线课型新授课教学目标1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。
2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。
3．能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。
教学重点角平分线性质定理及其逆定理。
教学难点掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。
教学方法教学后记教学内容及过程教师活动学生活动一、角平分线性质定理1．让学生到黑板上画出他们收集到的日常生活中应用角平分线的例子，并分别说出它们的作用。
2．高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力。
尤其是对于其中很有创意的发现，可以以该学生名字命名，以此鼓励、保护学生的积极性。
3．综合学生的发现，对于其中应用角平分线性质的几个例子，让学生猜想：它们应用的性质有没有什么相同的地方?4．让学生拿出纸折的角，把角对折至两条边完全重合，注意角的顶点处要折好；然后把角的两条边对折几次，让学生观察折痕的特点。
可以带学生完成上述操作，以便学生顺利地把注意力集中到观察折痕上。
5．让学生说出他们的猜想，并说明他们怎1．积极踊跃地到黑板上画出自己收集到的例子，并说出它们分别的作用在哪里。
2．受到老师的表扬和鼓励，很有成就感，增加了学习数学、探索数学、研究数学的兴趣，同时体会数学和现实生活的联系。
3．对于自己的发现进行深入探索，很有兴趣。
但是对于从实际问题中提炼观点，感到有难度。
4．拿出准备好的纸折的角，在老师示范的同时按要求把角和角的边对折几次，观察折痕的性质。
由折纸的过程，可以观察到折痕和角的边垂直，并且对应的折痕长度相等。
5．说出猜想：折痕和角的两边垂直，并且对应的折痕长度相等。
说明白已是通过折纸的过程和观察得到上述猜测的。
6．在老师的表扬和鼓励中，树立起自信，知道思考的重要性。
继续思考刚才的问题，发现么想到的，暴露学生的思维过程，一是为了让学生理顺自己的思路，二是可以找到学生思维的进程。
鲁教版七年级下册数学 第十章10.5《角平分线》
七年级数学下册第十章第5节《角平分线》第1课时教学设计学习目标：1.能够证明角平分线的性质定理及其逆定理；2.进一步发展自己的推理证明意识和能力，培养将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力.3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。
学习重点：角平分线的性质定理的证明；角平分线的判定定理的证明。
学习难点：正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明。
自学设计自学任务一1、你能利用折纸的方法得到角平分线吗？自己拿一张纸试一下。
并仔细观察一下我们找到的角平分线，思考角平分线上的点有什么样的性质。
结论：2、结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
（画图，写出已知、求证）已知: 如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证: PD=PE.自学任务二CB1A2PDEO（1）你清楚这定理的条件与结论了吗？（2）交换定理的题设和结论得到的逆命题是什么？（3）你能证明逆命题是真命题吗？逆命题：已知：求证：证明：由此得出定理：自学检测（1）∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_______；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________。
（3）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O（1）如果∠1 =∠2，求证：OB=OC（2）如果，OB=OC求证：∠1 =∠221OEDAB CAO BECDP训练设计1.如图（1），AD 平分∠BAC ，点P 在AD 上，若PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，则PE______PF.2.如图（2），PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，且PD=PE ，连接AP ，则∠BAP_______∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP 平分∠BAC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，若AD=，则PE=__________.（1）（2）（3）（4）、如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，点D 在BC 上，AD=10，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，且DE=DF ，求DE 的长.（5）、如图,求作一点P, 使PC=PD, 并且点P 到∠AOB 的两边的距离相等.达标测试1.到一个角的两边距离相等的点都在_________.2.∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距3C ●D ●AB O离为_________.3.如图1，∠AOB=60°，CD∠OA于D，CE∠OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.图1 图24.如图2，在∠ABC中,∠C=90°,AD是角平分线，DE∠AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_________ cm.5、已知: 如图, 在△ABC中, AD是它的角平分线且BD=CD, DE⊥AB, DF ⊥AC, 垂足分别是E,F.求证: EB=FC.谈谈自己的收获：BAED CF七年级数学下册第十章第5节《角平分线》第2课时宁阳县中京实验学校张文峰教学设计学习目标：1、证明三角形三个内角的平分线的性质定理；2、综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。
鲁教版(五四制)七年级下册数学10.5角平分线教案
《角平分线》教学设计一、教学背景的分析1、教学内容分析《角平分线》选自鲁教版教材《数学》七年级下册第十章第五节．这一节课既是七年级上册《简单的轴对称图形》第二课时的延续，又是在七年级下册学习了《定义与命题》、《证明的必要性》、《基本事实与定理》以及三角形的有关证明一章中的《全等三角形》和《直角三角形》中的互逆命题、互逆定理、HL定理等基础上进行教学的，教材将这一节的内容分两课时进行，第一课时：探索并证明角平分线的性质定理及判定定理。
具体要求学生能准确地表述命题的条件和结论，能用规范的语言来表达证明过程；会用这两个定理解决简单的问题。
第二课时则是角平分线的性质定理和判定定理在三角形中的应用。
考虑到初二的学生在上学期对角平分线已经有了足够的认知，并且本章教材安排是想让学生进一步体会证明的必要性，发展推理能力，结合我们学校学生的特点，第一课时，来研究角平分线的性质和判定定理；第二课时研究角平分线性质定理和判定定理的应用。
这样的安排，通过类比探究线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，是想将知识更完整和系统地展现给学生，为第二课时的应用打下牢固的基础。
本节课研究角平线的性质定理和判定定理。
2、教学对象分析初二的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：探究角平分线性质定理和判定定理的证明，同时为下节定理的灵活运用打好基础．3、教学重点、难点根据教材的内容及作用确定本节课的教学重点为：角的平分线的性质定理和判定定理的证明及应用．难点是：（1）对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；（2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）（3）对逆定理中的角的内部的条件的准确理解。
教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过思维的引导启发学生，培养思维逻辑的严密性．二、教学目标根据《新课程》对本节课内容的要求，针对学生的一般性认知规律及学生个性品质发展的需要，确定教学目标如下：1、能证明角平分线的性质定理2、会用角平分线的性质定理解决简单的问题。
10.5.1角平分线(1) 说课稿- 2021--2022学年鲁教版七年级下册数学
10.5.1 角平分线（1）说课稿一、教学目标1.知识与技能：学习角平分线的概念，了解角平分线的性质和判定方法。
2.过程与方法：培养学生观察、发现和归纳的能力，培养学生运用角平分线性质解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生认真听讲、认真思考、团队合作的态度。
二、教学重点1.角平分线的定义及性质。
2.利用角平分线解决实际问题。
三、教学难点1.角平分线的定义及判定方法。
2.运用角平分线性质解决实际问题。
四、教学过程1. 导入（3分钟）通过一个生活情境引入角平分线的概念，例如一张照片中的两个人物之间的角是一样大的，那么这个角的两边之间的线就是角平分线。
2. 观察探索（8分钟）让学生在小组内观察三角形和四边形，并讨论如何判断一个线段是角平分线。
引导学生注意观察角所在的图形和线段的位置关系。
3. 角平分线的定义及性质（10分钟）教师引导学生总结观察的结果，并给出角平分线的定义及性质。
通过引导学生找出证明角平分线性质的关键点，进一步巩固学生对角平分线的理解。
4. 角平分线的判定方法（10分钟）教师引导学生通过观察角平分线的性质，总结判定线段为角平分线的方法。
通过示例演示和学生讨论，让学生掌握判定角平分线的有效方法。
5. 实际问题的解决（12分钟）教师提供一些实际问题，要求学生运用所学的角平分线性质解决。
通过小组合作讨论，学生尝试解决问题，并归纳总结解决问题的方法。
6. 拓展应用（7分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生思考和探索。
激发学生对角平分线的深入认识和应用能力。
7. 小结（5分钟）教师对本节课的重点内容进行小结，并提出问题进行回顾和巩固，引导学生理解和掌握角平分线的概念和性质。
五、板书设计## 10.5.1 角平分线（1）1. 角平分线的定义：角平分线是将一个角分成两个相等的角的线段。
2. 角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
3. 判定一个线段是角平分线的方法：观察角的两边和连线的关系。
10.5 角平分线-七年级数学下册(鲁教版)五四学制
10.5 角平分线-七年级数学下册（鲁教版）五四学制介绍本文档将介绍七年级数学下册（鲁教版）中的第10.5节内容，即角平分线。
在五四学制下，我们将详细讨论以下内容：1.角平分线的定义2.角平分线的性质3.角平分线的构造方法4.一些例题和解答通过学习和掌握这些知识，我们能更好地理解和运用角平分线的概念。
角平分线的定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
设∠ABC 是一个角，平分线 AD 将∠ABC 分为两个相等的角，即∠BAD ≌ ∠DAC，则线段 AD 称为角 ABC 的角平分线。
角平分线的性质角平分线具有以下几个重要性质：1.角平分线将角分成两个相等的角；2.位于同一直线上的两个相邻角（即公共顶点和公共边的两个相邻角）的角平分线是相同的；3.与角的两边垂直的角平分线是角的平分线；4.角平分线将角的对边分成两个相等的线段。
角平分线的构造方法构造角平分线的基本步骤如下：1.画一个给定的角，假设为∠ABC；2.在线段 AB 和 BC 上任取一点，分别记为 E 和 D；3.以点 E 为中心，作一个与线段 AB 相等的圆，相交于点 F；4.以点 D 为中心，作一个与线段 BC 相等的圆，相交于点 G；5.连接线段 FG，则线段 FG 就是角 ABC 的角平分线。
需要注意的是，在具体的构造过程中，我们需要使用尺规作图工具。
例题和解答例题1如图，求经过点 A 的角平分线。
B●|\\| \\| \\| \\●----● AC D解答：根据构造角平分线的方法，我们可以进行以下步骤：1.连接线段 AB；2.在线段 AB 上取一点 E，使得 AE = AB；3.以点 E 为中心，作一个与线段 AB 相等的圆，相交于点 D；4.连接线段 AD，则线段 AD 就是经过点 A 的角平分线。
例题2如图，某个角的两条边上分别有一个等边三角形，求证其角平分线垂直于对边。
B/\\/ \\/ \\A●-----●C\\ /\\ /\\/D解答：我们需要证明的是∠ADB 的角平分线 AD 垂直于线段 BC。
鲁教版五四制七年级下册 第十章 三角形的有关证明 角平分线的性质
2 作∠AOB的平分线时，以点O为圆心，某一长度为半 径作弧，与OA，OB分别相交于点C，D，然后分别以 点C，D为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交 于一点，则这个适当的长度为( )
A
A．大于12CD C．小于12CD
B．等于12CD D．以上都不对
3 【中考·枣庄】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶
13 【中考·长春】感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B ＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知：DB＝DC. 探 究 ： 如 图 ② ， AD 平 分 ∠ BAC ， ∠ B ＋ ∠ ACD ＝ 180°，∠B<90°. 求证：DB＝DC.
证明：如图，过点D分别作DE⊥AB于点E， DF⊥AC交AC的延长线于点F. ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. ∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°， ∴∠B＝∠FCD.
10 【中考·福建】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°， AD⊥BC，垂足为点D，求作∠ABC的平分线，分别 交AD，AC于P，Q两点，并证明AP＝AQ. (要求：尺 规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，BQ就是∠ABC的平分线． 证明如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°. ∴∠BPD＋∠PBD＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠AQP＋∠ABQ＝90°. ∵BQ是∠ABC的平分线，∴∠ABQ＝∠PBD， ∴∠BPD＝∠AQP. 又∵∠BPD＝∠APQ，∴∠APQ＝∠AQP. ∴AP＝AQ.
解：如图，作 CG⊥AB 于点 G，CH⊥AD 于点 H. ∵AC 为∠BAD 的平分线，∴CG＝CH. ∵AB＝AD，∴S△ABC＝S△ACD＝12S 四边形 ABCD. 又∵AE＝DF，∴S△AEC＝S△DFC. ∴S 四边形 AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△DFC＋S△ACF＝S△ACD＝12S 四边形 ABCD， 即四边形 AECF 的面积为四边形 ABCD 面积的一半．
鲁教版七年级数学下册_10.5 角平分线
10.5 角平分线
学习目标
1 课时讲解 角平分线的性质定理
角平分线的判定定理 三角形的角平分线的性质定理
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 角平分线的性质定理
知1－讲
1. 性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角的平分线的性质的两个必要条件： (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长 度. 两者缺一不可.
感悟新知
证明：∵OD 平分∠EOF，∴∠BOD=∠AOD. 在△ BOD 和△ AOD 中， OB=OA，
∠ BOD= ∠ AOD， OD=OD， ∴△ BOD ≌△ AOD(SAS). ∴∠ BDO= ∠ ADO，即DO 平分∠ BDA. 又∵ P 为DO 上一点，且PM ⊥ BD，PN ⊥ AD， ∴ PM=PN.
感悟新知
知2－练
证明：过点 D 作 DG⊥AC，垂足为 G，DH⊥AB，垂足为 H. ∵S△DCE＝S△DBF，∴12CE·DG＝12BF·DH. ∵CE＝BF，∴DG＝DH. ∵DG⊥AC，DH⊥AB，∴点 D 在∠BAC 的平分线上， 即 AD 平分∠BAC.
感悟新知
知2－练
例 5 如图1-4-7，∠ MAC 和∠ NCA 是△ ABC 的外角， ∠ ABC 的平分线BD 与∠ MAC 的平分线AD 交于点 D. 求证：CD 平分∠ ACN.
知1－练
感悟新知
知1－练
1-1. [中考·台州]如图，点P 是∠ AOB 的平分线OC 上一点， PD ⊥ OB，垂足为D. 若PD=2，则点P 到边OA 的距离 是( B ) A. 1 B. 2
10.5.2 角平分线(2)教案 鲁教版(五四制)七年级下册数学
10.5.2 角平分线（2）教案一、教学目标1.了解角平分线的定义和性质；2.掌握求解角平分线的方法；3.能够辨别角平分线和角相等的关系。
二、教学准备1.教案、教材、黑板；2.直尺、量角器。
三、教学过程1. 复习复习上一节所学的角平分线的概念和性质，引导学生回顾并巩固知识。
2. 引入通过一个问题引入本节课的学习内容：在平面上，对于一个任意给定的角，能否找到一条直线将该角平分？请思考并回答。
3. 讲解1.角平分线的定义：角平分线是指将一个角分成两个大小相等的角的直线。
2.角平分线的性质：–角平分线将该角分成两个大小相等的角；–角平分线和角的两边相交于同一条直线上的一点；–角平分线和角的两边所成的两个小角互补，它们的和等于90度。
3.通过示例展示角平分线的具体求解方法：–用直尺连接角的两边；–以角的顶点为圆心，任意取一点作圆弧；–在圆弧上任意取一点，再连接这个点和角的顶点。
4. 案例演练让学生在黑板上练习绘制角平分线的方法，并找出给定角的角平分线。
5. 深化理解引导学生思考以下问题：•角平分线和角相等是什么关系？•角平分线与角的两边的位置关系是怎样的？6. 总结通过与学生的互动讨论，总结角平分线的定义、性质和求解方法，并强调角平分线和角的两边位置关系的重要性。
四、课堂练习1.按照给定的角，求解其角平分线。
2.结合实际例子，设计问题引导学生运用角平分线的知识解决实际问题。
五、布置作业略。
六、教学反思本节课通过引入问题、讲解和案例演练等方式，让学生全面了解了角平分线的定义、性质和求解方法。
通过与学生的互动讨论，加深了学生对角平分线和角的两边位置关系的理解。
通过课堂练习和实际问题的解决，巩固了学生的学习成果。
整体上，本节课的教学效果良好，学生对角平分线有了更深入的理解。
初中角平分线知识点总结与巧用
初中角平分线知识点总结与巧用角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段，也可以说是从角的顶点出发，将角内部一分为二的线段。
角平分线的性质和应用是初中数学中重要的内容之一，下面我们来总结一下初中角平分线的知识点以及一些巧妙的应用。
一、角平分线的定义及性质1.角平分线的定义：角平分线是从一个角的顶点出发，将角内部一分为二的线段。
2.角平分线的性质：（1）角平分线被分成的两个小角相等；（2）在平面内，从一个角的顶点出发，将这个角平分为两个相等的角的直线只有一条。
二、角平分线的判定定理1.角平分线判定定理：一个线段能够作为一个角的平分线，当且仅当它等于这个角的对边的一半。
2.角平分线的作法：（1）将这个线段的两个端点与角的两条边的一个顶点连接；（2）若两个连线相等，则这个线段是角的平分线；（3）若两个连线不相等，则这个线段不是角的平分线。
三、角平分线的应用1.直角三分线：在直角三角形中，角平分线特殊的性质是直角三角形的其中一个角的三分线。
（1）设直角三角形ABC中∠B=90°，AB=BC，AD是∠A的平分线；则∠DAB=∠DAC=∠BAC=45°。
（2）在一个直角三角形中，利用角平分线可以将角平分为两个相等的角，从而简化问题的求解过程。
2.角平分线的应用于构造等腰三角形：（1）在已知等腰三角形的等边或等角的情况下，可以通过作角平分线来构造等腰三角形。
（2）构造等腰三角形的步骤：a.画出底边；b.在底边的两端点上作两个相等的角；c.两个角的平分线交于一点，连接该点与底边的另一端点，得到等腰三角形。
3.相关定理及定律的证明：（1）锐角与锐角平分线的相关定理：在锐角ABC中，AD是∠BAC的平分线，那么∠BAD=∠CAD；（2）对称性：如果角平分线上的一部分角等于角的一半，那么角平分线的整体也是角的平分线。
四、优化问题中的角平分线的应用1.角平分线和最大值最小值问题：通过构造合适的角平分线，可以将一个问题化简为一个或多个已知的最值问题，从而求解出最优解。
鲁教版(五四制)七年级下册 10.5 角平分线 教案-word文档
10.5 角平分线一、教学目标：1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。
2、证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力。
3、能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题。
二、教学重、难点教学重点：角平分线的性质定理、判定定理的理解和掌握。
教学难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。
三、教学过程本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究新知；第三环节：巩固练习；第四环节：随堂练习 ；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业1：情境引入我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：从折纸过程中，我们可以得出CD=CE ，即角平分线上的点到角两边的距离相等．你能证明它吗?2：探究新知(1)引导学生证明性质定理请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ．求证：PD=PE ．证明：∵∠1=∠2，OP=OP ，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO ≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性21E D CP O B A质定理。
(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．(2)你能写出这个定理的逆命题吗?我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．它是真命题吗? 你能证明它吗?没有加“在角的内部”时，是假命题．(由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)证明如下：已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上．证明：PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠ PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。
（完整版）初中角平分线知识点总结与巧用
（完整版）初中角平分线知识点总结与巧用11．定义、定理角平分线知识点总结与巧用1.角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2..角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。
3. 逆定理：在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
4. 三角形内心：三角形的三个顶角的角平分线必相交于一点。
二．基本结论1. 三角形内（外）角平分线夹角结论（1）如图①PB 、PC 分别平分∠ABC 和∠ACB ? ∠P=90°+ ∠A，2且点 P 在∠BAC 的角平分线上（2）如图②PB 、PC 分别平分∠ABC 和∠ACB 的外角? ∠P=90°- 1∠A，2且点 P 在∠BAC 的角平分线上（3）如图③PB 平分∠ABC 、PC 平分∠ACB 的外角? ∠P= 1∠A2且点 P 在∠BAC 外角的角平分线上2. 三角形的三条角平分线交于一点（内心），这个点到三角形三边的距离相等。
3. 三角形内（外）角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
（1）在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线? AB ：AC=BD ：DC （2）AD 是△ABC外角∠BAP的角平分线 AB：AC=BD：DC3、关于角平分线常见的辅助线作法：1. 作双高，或多高（1）构造全等（2）对角互补形四边形ABCD 中，BD 是∠ABC 的角平分线，且∠3+∠4=180° ?DA=DC2. 作平行线（1）平分平行?等腰（2）构造A 型、X 型3.截长补短构全等4.平分线+高线,延长?等腰EDO4、典型例题灵活运用1、如图在△ABC 中，PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACB 的外角，连接 AP ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 50 °2、已知：△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点 O ，过 O 的直线EF ∥BC ，分别交 AB 、AC 于 E 、F 两点，若∠BOC=135°，EO ：OF ：OD=20:15:12，△ABC 的面积为 216，则 OD=3、在△ABC 中，∠A=2∠B ，AC=3.5，BC=5.5，D 为射线 BA 上一点，D 到直线 AC ，BC 的距离相等，则 AD= 。
10.5角平分线(1) 教案 2020-2021学年七年级数学鲁教版(五四制)下册
10.5角平分线（第1课时）教案教学目标：1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．教学重点：复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；教学难点：能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．教学过程：一、复习巩固1.点到直线的距离：2.线段垂直平分线的性质及作图方法：3.判定直角三角形全等的特殊方法：二、情景引入如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）S三、学习目标1.复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；2.能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．四、验证性质性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等已知：如图，∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 求证：PD=PE.证明：角平分线性质定理的应用需要具备什么条件呢？ 1.角平分线上的点； 2.垂线段作用：证明线段相等 几何语言：∵OP 是∠AOB 的平分线， PD ⊥OA,PE ⊥OB ， ∴PD = PE 跟踪练习11:如图，AM 是∠BAC 的平分线，点P 在AM 上，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别是D 、E ，PD=4cm ，则PE=______cm.第1题 第2题2．△ABC 中, ∠C=90°,AD 平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D 到AB 的距离是 .三、验证判定你能写出这个定理的逆命题吗？逆命题：在角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
BEBAC PMD E ABCD它是真命题吗？如果是，能证明吗？我们可以类比前面证明性质定理的过程，小组交流。
小组展示：已知：如图，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=PE. 求证：点P 在∠AOB 的角平分线上. 证明：判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 几何语言∵ PD ⊥OA,PE ⊥OB ，PD=PE. ∴点P 在∠AOB 的平分线上.跟踪练习2例1 如图,在△ABC 中,∠BAC=60∘,点 D 是 BC 边上一点,AD=10 DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F,且DE=DF,求 DE 的长.BA DOPE现在我们已经学完了性质定理与判定定理，那么它们之间有什么区别于联系呢，我们一起来看看：（表格让学生自己填填在进行总结）实际运用例2 如图，濮阳市有两条交叉的公路．图中点M，N表示华高和六中，OA，OB表示江汉路和扶余路，现计划修建一送水站，要求送水站到两所学校的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出送水站P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)。
10.5角平分线1 学案 2021—2022学年鲁教版(五四制)数学七年级下册
10.5角平分线1 学案学科：数学年级：七年级学年：2021—2022教材版本：鲁教版（五四制）数学七年级下册1. 学习目标本课学习目标如下：•理解角平分线的概念和性质；•能够根据角平分线的性质进行证明和计算。
2. 学习重点•角平分线的性质；•利用角平分线进行证明和计算。
3. 学习内容本单元学习的内容是角平分线。
3.1 角平分线的概念定义：角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
3.2 角平分线的性质•角平分线将角分成两个相等的角；•角的内切圆的圆心在角的平分线上。
3.3 角平分线的应用•解决与角平分线相关的问题；•运用角平分线解决几何问题。
4. 学习过程4.1 导入教师可以通过提问或举例来引入本课的主题，例如：•你知道什么是角平分线吗？•请举一个生活中使用角平分线的例子。
4.2 角平分线的概念与性质教师简要介绍角平分线的概念与性质，并通过示意图进行解释和演示。
4.3 角平分线的证明教师通过一个具体的例子，引导学生进行角平分线的证明。
例子：证明角ACD的平分线CB可以将角ACD分成两个相等的角。
步骤：1.作角ACD的平分线CB；2.证明角ACB≌角BCD。
4.4 角平分线的运用教师与学生一起解决一个与角平分线相关的问题。
问题：已知△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=120°，在边AC上取一点D，使得∠ADB=∠BDC，求∠ADB的度数。
解题步骤：1.连接BD，作BD的平分线BE；2.证明∠BEC=∠BDC；3.则∠BEC=∠BDC=30°，所以∠ADB=∠BEC-∠BED=30°-∠BDC=30°-30°=0°。
4.5 小结与分享教师让学生进行本课的小结，总结角平分线的性质和运用，并鼓励学生分享自己的思考和答案。
5. 师生互动在学习过程中，教师应与学生保持良好的互动。
以下是一些互动的方式：•提出问题，鼓励学生回答；•引导学生进行小组讨论；•对学生的错误答案进行引导和纠正。
10.5：角平分线（1）教案鲁教版（五四制）七年级下册数学
10.5：角平分线（1）教案鲁教版（五四制）七年级下册数学《角平分线的性质》教学设计教学目标：1．学会求角平分线的方法．2．能综合运用全等三角形、角平分线的性质及其性质逆定理解题．3．通过认识的升华，进一步理解数学、关注数学、热爱数学．教学重点：角平分线的相关结论教学难点：角平分线的相关结论的应用教学策略：鼓励学生自主学习、积极探究、合作交流思考．还有注意引导学生加强对解题思路的分析、解题思想方法的概括和及时的归纳总结．教具准备：多媒体课件教学过程设计一、知识回顾：1．角的平分线的性质：__________________________________________．几何语言：2．角的平分线的性质逆定理：__________________________________________．几何语言：二、问题导入如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC．不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？设计意图：通过问题导入，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．三、典例精讲例1．求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D，E，F．求证：∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF．证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E，∴PD=PE．同理：PE=PF．∴PD=PE=PF．∴点P在∠A的平分线上．即∠A角平分线经过点P．变式训练1：已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F,求证:点F在∠DAE的平分线上.例2．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）已知CD=4cm，求AC的长．（2）求证：AB=AC+CD．解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为E．∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）．又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC（等边对等角）．又∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°．∴∠BDE=90°-45°=45°．∴BE=DE（等角对等边）．在等腰直角三角形BDE中，BD=cm（勾股定理）．∴AC=BC=CD+BD=（4+）cm（2）证明：由（1）的求解过程易知：Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）．∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD．变式训练2：如图，已知在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AC平分∠BAD，CE⊥AD，E为垂足．求证：AB+DE=AE．设计意图：通过例题讲解，加深巩固所学知识，增强学生灵活运用知识的能力．培养学生运用角平分线的性质和判定解决实际问题，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．四、题组训练：1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A．4cmB．6cmC．10cmD．以上都不对2．如图，已知BA，CA分别是∠DBC，∠ECB的平分线，B D⊥DE，CE⊥DE，垂足分别为D,E，则DA与EA有怎样的数量关系____________．3．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE的长是__________．4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE=FD．设计意图：通过练习，使学生加深理解角平分线性质及判定，并能灵活应用．五、课堂小结：角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．设计意图：通过小结，以便学生从更深层次理解性质，熟练应用性质解决问题．六、布置作业：1．如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是（）A．3B．4C．5D．62．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A．DC＝DEB．∠AED＝90°C．∠ADE＝∠ADCD．DB＝DC3．如图所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．4．如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．5．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB•上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由．6．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．求证：AD=CD+AB．设计意图：考查运用角平分线的性质定理、判定地理和三角形知识等综合应用的能力．。
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角平分线的学习要点
一、基础知识精要
1．角平分线的性质及其结论
（1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
如图1所示，OM 平分AOB ∠，N 是OM 上的一点，NP OA ⊥于P ，
NQ OB ⊥于Q ，则NP NQ =．
（2）结论：到角两边的距离相等的点在角的平分线上。
如图1所示， N 是OM 上的一点，NP OA ⊥，NQ OB ⊥，且NP NQ =，则OM 平分AOB ∠．
所以角平分线可以看作到角两边距离相等的所有点的集合．
（3）它们之间的关系：点在角平
分线上点到这个角两边的距离相
等．
2．应用角平分线的性质及其结论时，常用的辅助线是过角平分线上的一点作两边上的垂线．
二、典型例题分析
例1 如图2所示，BF 是DBC ∠的平分线，CF 是ECB ∠的平分线，请问：点F 是否在BAC ∠的平分线，试说明理由？
分析：点F 在BAC ∠的平分线，欲证点在角平分线上可转化为证点到这个角两边的距离相等，这是本题证明的关键．即过点F 作FM AD ⊥于M ，FN BC ⊥于N ， FP AE ⊥于P ，因为BF 是DBC ∠的平分线，所以FM FN =，又因为CF 是ECB ∠的平分线，所以FP FN =，因此FM FP =，即点F 在BAC ∠的平分线．
例2 如图3所示，三条公路两两相交，交点分别为A ，B ，C ，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，可供选择的地址有几处？
分析：有四处，如图3所示，分别是ABC △的三条角平分线的交点L ，ABC △的一个内角平分线和另外两个内角的外角平分线的交点1L ，2L ，3L ．
三、结语点金
1．应用角平分线的性质及其结论时，一定要具备两个垂直距离（即点到直线的距离），证明过程中要直接运用这两个定理，而不要去寻找全等三角形（这样做实际上是重新证明了一次结论）．
2．证明点在角平分线上的常用方法是证明这个点到角的两边的距离相等，从而证明点在角平分线上，这样就把证明“点在线上”的问题转化为证明“线段相等”的问题，体现了“化难为易，化陌生为熟悉”的转化思想．。