《工程力学(工程静力学与材料力学)(第3版)》习题解答：第18章 聚合物的粘弹性行为

工程力学（静力学与材料力学）习题 第18章 聚合物的粘弹性行为

18－1 对于麦克斯韦模型，保持初始应力为0σ时的应变不变，试证明经过时间t 后其应力由下式给出：

)

exp()(0λσσt

t -=

并说明其中λ的含义。

知识点：粘弹性，麦克斯韦模型 难度：难 解答：

解：麦克斯韦模型的本构方程是

η

σ

σε+=t k t d d 1d d t

式中k

为弹簧刚度，η为粘度，令0

d d =t t

ε，得方程

σησk

t -=d d 分离变量 t

k d d η

σσ

-

=

积分得t

k

e C ησ-⋅=

由t = 0时0σσ=，求得0σ=C 于是

t

k e

η

σσ-⋅=0

或 λ

σσt

e -

⋅=0 式中

k

η

λ=

是粘度与刚度之比。

18－2 承受轴向拉伸的橡皮带，当横截面上应力0σ= 10MPa 时，其纵向正应变为0.5，然后保持应变不变，50天后应力减小为5MPa 。试计算若保持同样应变，再经过50天后应力减少到什么数值。

知识点：粘弹性，麦克斯韦模型，应力松弛 难度：难 解答：

解：此问题为串联模型，适用麦克斯韦模型方程

0d d 1d d =+=η

σ

σεt k t t

利用上题结果，求得λ

λ

σσt

t

e

e

t -

-=⋅=10)(0

由题给条件，当t = 50（天）时，应力由10MPa 下降至5MPa 。 于是有λ

λ

t

e

e -

-

=⋅=1010550

，由此可知

2

ln 50=

λ

因而50

2ln 50

2

1010)(t

t

e

t --

⨯=⋅=σ（MPa ），t 以天为单位

再令t = 100（天），可求得5.2210)100(2

=⨯=-σ（MPa ）

再经过50天（一共经过100天），应力减小到2.5MPa.

18－3 对于开尔文模型，若粘弹性材料的弹性模量为E ，则在保持应力不变的情形下，经过时间t 后，其应变值由下式给出：

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

-=

)exp(1)(λσεt k t

并说明其中λ的含义。

知识点：粘弹性，开尔文模型，蠕变 难度：难

解答：

解：开尔文模型的本构方程是

t

E t k d d d d εηεεηεσ⋅+=⋅

+=

对t

求导，并令0d d =t σ

有

0d d d d 22=⋅+⋅t t E σ

ηε

此乃二阶线性齐次常系数微分方程，其特证方程为

02=+Er r η

对应特征根为01=r ，η

E

r -

=2

于是通解为

t

E e

C C t η

ε-+=21)(

利用初始条件，当t = 0时，ε= 0（因来不及发生应变）和

η

σε

=

=0

d d t t

代

入通解有⎪⎩

⎪

⎨⎧=-=+η

ση2210

C E

C C

求得E

C σ

-

=2，E

C σ

=

1，于是

)

1()(t

E e

E t η

σ

ε--=

或

)

1()(λ

σ

εt

e

k

t -

-=

式中k = E 为弹性模量，

k

E

η

η

λ=

=

是粘度与弹性模量之比。

18－4 图示线性粘弹性模型，包括一个刚度系数为k 的弹簧和一个粘度为η的粘性元件，如图所示。试用拉普拉斯变换方法描述蠕变响应，其中应力为常数。

知识点：粘弹性，蠕变 难度：难 解答：

解：

σεε

η

=+k t

d d （常数）

引入拉普拉斯变换

t

e

t f s f t Lf st

d )()()(0

-+∞

⎰=

=

导数变换)0()()]([-

-⋅='f s f s t f L

及变换公式，已知对上述微分方程引入拉普拉斯变换后有 s

k s σ

εεεη=

+--)]0([

由于0)0

(=-

ε，于是有

s

k s σ

εη=

+)(

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+-=+-⋅=

+=

ησηησ

σησ

ε/11)(11)

(k s s k k s k s k k s s

于是

]1[1)1

(][)(11

1

t k

k e k s L s L k L t ηησσεε-----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎣⎡⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+-==

18－5 试证明习题18－4给出的并联模型不能用来描述应力松弛问题。

知识点：粘弹性，麦克斯韦模型，应力松弛 难度：难 解答：

证：应力松弛问题是保持应变不变，即

0d d =t ε

，如果仍应用习题

18－4

的并联模型将导致εσk =是常数的结论，这显然是不对的，只有应用串联模型才能分析应力松弛现象。

18－6 图示麦克斯韦标准线性固体模型的弹簧刚度系数分别为k1和k2，粘度为1η。试证明其本构方程为

τ

σ

στεε+=++t k t k k d d d d )

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习题18-4图