《工程力学(工程静力学与材料力学)(第3版)》习题解答：第18章 聚合物的粘弹性行为

工程力学（静力学与材料力学）习题 第18章 聚合物的粘弹性行为18－1 对于麦克斯韦模型，保持初始应力为0σ时的应变不变，试证明经过时间t 后其应力由下式给出：)exp()(0λσσtt -=并说明其中λ的含义。

知识点：粘弹性，麦克斯韦模型 难度：难 解答：解：麦克斯韦模型的本构方程是ησσε+=t k t d d 1d d t式中k为弹簧刚度，η为粘度，令0d d =t tε，得方程σησkt -=d d 分离变量 tk d d ησσ-=积分得tke C ησ-⋅=由t = 0时0σσ=，求得0σ=C 于是tk eησσ-⋅=0或 λσσte -⋅=0 式中kηλ=是粘度与刚度之比。

18－2 承受轴向拉伸的橡皮带，当横截面上应力0σ= 10MPa 时，其纵向正应变为0.5，然后保持应变不变，50天后应力减小为5MPa 。

试计算若保持同样应变，再经过50天后应力减少到什么数值。

知识点：粘弹性，麦克斯韦模型，应力松弛 难度：难 解答：解：此问题为串联模型，适用麦克斯韦模型方程0d d 1d d =+=ησσεt k t t利用上题结果，求得λλσσtteet --=⋅=10)(0由题给条件，当t = 50（天）时，应力由10MPa 下降至5MPa 。

于是有λλtee --=⋅=1010550，由此可知2ln 50=λ因而502ln 5021010)(ttet --⨯=⋅=σ（MPa ），t 以天为单位再令t = 100（天），可求得5.2210)100(2=⨯=-σ（MPa ）再经过50天（一共经过100天），应力减小到2.5MPa.18－3 对于开尔文模型，若粘弹性材料的弹性模量为E ，则在保持应力不变的情形下，经过时间t 后，其应变值由下式给出：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)exp(1)(λσεt k t并说明其中λ的含义。

知识点：粘弹性，开尔文模型，蠕变 难度：难解答：解：开尔文模型的本构方程是tE t k d d d d εηεεηεσ⋅+=⋅+=对t求导，并令0d d =t σ有0d d d d 22=⋅+⋅t t E σηε此乃二阶线性齐次常系数微分方程，其特证方程为02=+Er r η对应特征根为01=r ，ηEr -=2于是通解为tE eC C t ηε-+=21)(利用初始条件，当t = 0时，ε= 0（因来不及发生应变）和ησε==0d d t t代入通解有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+ηση2210C EC C求得EC σ-=2，EC σ=1，于是)1()(tE eE t ησε--=或)1()(λσεtekt --=式中k = E 为弹性模量，kEηηλ==是粘度与弹性模量之比。

18－4 图示线性粘弹性模型，包括一个刚度系数为k 的弹簧和一个粘度为η的粘性元件，如图所示。

试用拉普拉斯变换方法描述蠕变响应，其中应力为常数。

知识点：粘弹性，蠕变 难度：难 解答：解：σεεη=+k td d （常数）引入拉普拉斯变换tet f s f t Lf std )()()(0-+∞⎰==导数变换)0()()]([--⋅='f s f s t f L及变换公式，已知对上述微分方程引入拉普拉斯变换后有 sk s σεεεη=+--)]0([由于0)0(=-ε，于是有sk s σεη=+)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-⋅=+=ησηησσησε/11)(11)(k s s k k s k s k k s s于是]1[1)1(][)(111t kk e k s L s L k L t ηησσεε-----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-==18－5 试证明习题18－4给出的并联模型不能用来描述应力松弛问题。

知识点：粘弹性，麦克斯韦模型，应力松弛 难度：难 解答：证：应力松弛问题是保持应变不变，即0d d =t ε，如果仍应用习题18－4的并联模型将导致εσk =是常数的结论，这显然是不对的，只有应用串联模型才能分析应力松弛现象。

18－6 图示麦克斯韦标准线性固体模型的弹簧刚度系数分别为k1和k2，粘度为1η。

试证明其本构方程为τσστεε+=++t k t k k d d d d )(212习题18-4图式中，11k ητ=。

知识点：粘弹性，麦克斯韦标准线性固体模型 难度：难 解答：证：对于右半部属于串联模型，其应力1σ与应变ε关系为1111d d 1d d ησσε+=t k t （1）左半部应力2σ与应变ε关系为εσ⋅=22k （εεε==21） （2）再利用σσσ=+21 （3）由（3）式，21σσσ-=代入（1）式得)(1d d d d 1d d 2121σσησσε-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t t k t再将（2）式代入上式得)(1d d d d 1d d 2121εσηεσεk t k t k t -+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=移项得 σησεηε1112121d d 1d d )1(+=++t k k t k k或τσσετε+=++t k t k k d d d d )(212式中11k ητ=18－7 试证明麦克斯韦标准线性固体模型的蠕变柔量表达式为c21220c 111)()(τσεtek k k k t t C -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++==式中，ττ212c k k k +=。

知识点：粘弹性，麦克斯韦标准线性固体模型，蠕变柔量习题18-6图难度：一般 解答：证：蠕变柔量定义为c )()(σεt t C =由上题已经证明应变与应力关系为τσσετε+=++t k t k k d d d d )(221式中11k ητ=讨论蠕变问题时，控制应力σ为常数0σσ=，而0d d =t σ。

于是方程化为τσετε0221d d )(=++k t k k此方程的通解是εττσσεttk k k eC k eC k -+-+=+=12)(12212式中11221221)(k k k k k k k ηττε⋅+=+=利用初始条件t = 0时tk d d 11111εηεσ==222εσk =，且εεε==21，及210σσσ+=给出0210|)(=+=t k k εσ或2100|k k t +==σε 代入解中得12210C k k k +=+σσ∴ )11(22101k k k C -+=σ于是ετσσεte k k k k t --++=)11()(221020求得c21220c 111)()(τσεte k k k k t t C -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++==18－8 低碳奥氏体合金锻件在816℃时的应力—变形—时间关系试验曲线如图所示。

试求其在应力σ= 105MPa 时的最小蠕变率。

知识点：粘弹性，蠕变率 难度：一般 解答：解：查图8－1可知，当固定应力为σ= 105MPa 时，应变与时间关系如下表示ε（%） 0.1 0.2 0.5 1.0 t （h ）1.5815.85 100251 t∆∆ε（%/h ）0.0130.00350.0033可见最小蠕变率/h1033h /103.3h /%0033.0d d 65min--⨯=⨯=≈tε18－9 176℃时铝合金在两种应力水平下的蠕变曲线如图所示。

试求其在应力σ= 59MPa 时的最小蠕变率。

知识点：粘弹性，蠕变率 难度：一般习题18-8图习题18-9图解答：解：当σ= 55MPa 时，h/105.241526010)2.08.0(d d 6255--⨯=-⨯-=tε当σ= 62MPa 时，h/107.66015010)4.04.1(d d 6262--⨯=-⨯-=tε利用线性插值公式，可求得。

当应力σ= 59MPa 的最小蠕变率是)h (%106.48h /106.48h /10]5.247.66[74h /105.24d d d d 55625559d d d d 1466655625559-----⨯=⨯=⨯-+⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---+=ttttεεεε18－10 奥氏体钢制连杆750℃下工作，由蠕变试验测得这种材料在750℃下的数据列于表中。

假定连杆所承受的轴向载荷F = 35kN ，在10000h 内允许的蠕变总应变为1%，并要求安全因数3c =n 。

试求连杆的横截面面积。

知识点：粘弹性，伪弹性设计方法 难度：难 解答： 解：利用公式][σ≤A F其中c][n xσσ=，3c =n ，x σ由限制性条件)h (%1010h /10h 10000%1h /156---⨯==÷=ε 确定。

查表知，当σ= 70MPa 时，)h (%108h /15--⨯=ε当σ= 100MPa 时，)h (%1026h /14--⨯=ε利用线性插值易求得，当)h (%1010h /15--⨯=ε 时，对应的应力24.70)70100(826081070=-⨯--+=x σMPa于是4.23324.70][c===n xσσMPa1496)MPa (4.23)N (1035][3=⨯=≥σF A （mm2）18－11 长l = 1m 、横截面面积31029.1⨯=A mm2的拉杆由酰胺塑料制成。

假定酰胺塑料的蠕变应力—应变—时间关系可近似地由下式描述：nm t k k E)()(21σσσε++=其中，σ和ε分别为正应力和正应变，t 为时间，单位为d （天）。

现已知：E = 1.7GPa （注：原书为MPa ），91108.34-⨯=k m2/N ，m = 1.16，921041.3-⨯=k m2/（N ·d ），n = 0.75。

若要求拉杆在1年内的总伸长不超过6.94mm ，试确定许可轴向载荷。

知识点：粘弹性，伪弹性设计方法 难度：难 解答：解：刚度条件应写作无量钢形式如下：3211094.6][)()(-⨯=≤++=εσσσεn m t k k E式中E = 1.7GPa ，91108.34-⨯=k （1/Pa ）3108.34-⨯=（1/MPa ），321041.3-⨯=k /（MPa ·d ），n = 0.75，m = 1.16，若应力用MPa 作单位，则上式给出375.0316.1331094.6)3651041.3()108.34(107.1---⨯≤⨯⨯⨯+⨯+⨯σσσ或 375.0416.1441094.61011784102031088.5----⨯≤⨯+⨯+⨯σσσ这是一个关于σ的非线性方程（或不等式），利用迭代法可求出其近似值。

但考虑到左式的第三项占主要部分，不妨选初始值)0(σ，使之满足375.0)0(41094.61011784--⨯=⨯σ求得375.0143)0(1007.1)10117841094.6(---⨯=⨯⨯=σ（MPa ）简单迭代程序为75.01)(16.1)(3)1(]0005.00172.010889.5[k k k σσσ--⨯=-+选3)0(1007.1-⨯=σ于是75.01316.133)1(]1007.10005.0)1007.1(0172.010889.5[---⨯⨯-⨯⨯-⨯=σ75.01333]10000535.01000616.010889.5[---⨯-⨯-⨯=310062.1-⨯=（MPa ）3)2(1006.1-⨯=σ（MPa ）可取迭代值31006.1-⨯≤σ（MPa ）于是求得作用载荷37.11029.11006.133=⨯⨯⨯≤=-A P σ（N ） 许可轴向载荷 [P] = 1.37 N18－12 某种材料的σ= 100MPa 下的蠕变率可由下述方程确定：TBA -=e ε其中，A 、B 均为材料常数，T 为热力学温度，单位为K 。