2022届云南省昆明市高三“三诊一模”市统测数学(理)试题解析
云南省昆明市2024届”三诊一模“高三复习教学质量检测数学试题含答案
【考试时间：3月28日15∶00—17∶00】昆明市2024届“三诊一模”高三复习教学质量检测数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若{}n a 是等比数列，11a =，35a=，则5a =（）A.7 B.9C.25D.35【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解.【详解】{}n a 是等比数列，11a =，35a =，则2315a q a ==，故2535525a a q ==⨯=．故选：C ．2.双曲线22149x y -=的渐近线方程是（）A.32y x =± B.23y x =±C.94y x =±D.49y x =±【答案】A 【解析】【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可.【详解】双曲线22149x y -=的渐近线方程是：32y x=±故选：A3.复平面内表示复数()1i z m m =++()m ∈R 的点在直线2y x =上，则m =（）A.1B.1- C.2D.2-【答案】A 【解析】【分析】首先得到复数z 在复平面内对应的点的坐标，即可得到方程，解得即可.【详解】复数()1i z m m =++()R m ∈在复平面内对应的点为(),1m m +，依题意可得12m m +=，解得1m =.故选：A4.已知下图网格中面积最小的正方形边长为1，平面向量a ，b 如图所示，则a b -=（）A.2B.C.D.1【答案】C 【解析】【分析】根据题意，建立坐标系，可得a、b的坐标，进而求出a b -的坐标，计算其模可得答案．【详解】根据题意，如图建立坐标系，则(3,0)a =，(2,1)b = ，则(1,1)a b -=-，故||a b -= ．故选：C ．5.在()()()345111x x x +++++的展开式中，含2x 项的系数是（）A .16B.19C.21D.24【答案】B 【解析】【分析】根据二项式展开式的通项计算可得.【详解】因为()1nx +展开式的通项为()1C 0,N r rr n T xr n r +=≤≤∈，所以()()()345111x x x +++++的展开式中含2x 项为2222222345C C C 19x x x x ++=，所以展开式中含2x 项的系数是19.故选：B6.已知函数()2e exxf x -=+，则下列说法正确的是（）A.()f x 为增函数B.()f x 有两个零点C.()f x 的最大值为2eD.()y f x =的图象关于1x =对称【答案】D 【解析】【分析】利用导数讨论函数的单调性，结合选项依次计算，即可求解.【详解】A ：2()e e x x f x -'=-，令()0f x '=，得1x =，当1x <时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故A 错误；B ：由选项A 知，函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且()12e 0f =>，所以函数()f x 在R 上没有零点，故B 错误；C ：由选项A 知，函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()()min 12e f x f ==，即函数()f x 的最小值为2e ，故C 错误；D ：2(2)e e ()x x f x f x --=+=，所以函数()f x 图象关于直线1x =对称，故D 正确.故选：D7.早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E 和某小行星M 绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在0E 位置时，测出02π3SE M ∠=；行星M 绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了1E 位置，测出13π4SE M ∠=，10π3E SE ∠=．若地球的轨道半径为R ，则下列选项中与行星M1.7≈）（）A.2.1RB.2.2RC.2.3RD.2.4R【答案】A 【解析】【分析】连接01E E ，根据给定条件，在01ME E 中利用正弦定理求出1ME ，再在1SME 中利用余弦定理求解即得.【详解】连接01E E ，在01SE E 中，01SE SE R ==，又10π3E SE ∠=，则01SE E 是正三角形，01E E R =，由02π3SE M ∠=，13π4SE M ∠=，得10π3E E M ∠=，015π12E E M ∠=，在01ME E 中，01π4E ME ∠=，由正弦定理得011ππsin sin 34E E E M =，则122RE M R ==，在1SME中，由余弦定理得2.1SM R =≈.故选：A8.已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，圆2222x y a b +=-与E 的一个交点为P ，直线2PF 与E 的另一个交点为Q ，123tan 4F QF ∠=，则E 的离心率为（）A.35B.2C.34D.2【答案】B 【解析】【分析】由题意可得12PF PF ⊥，设1||PF x =，由椭圆的定义可知，2PF 的表达式，再由12tan F QF ∠的值，可4||3PQ x =，在2Rt PQF 中，可得x a =，可得点P 为短轴的端点，在12QF F 中，由余弦定理可得a ，c 的关系，即求出椭圆的离心率的值．【详解】由题意知，圆22222x y a b c +=-=过椭圆的两个焦点，因为P 为圆与椭圆的交点，所以12PF PF ⊥，因为112||3tan ||4PF F QF PQ ∠==，设1||PF x =，可得2||2PF a x =-，4||3PQ x =，所以2247||||||(2)233QF PQ PF x a x x a =-=--=-，所以127||2||43QF a QF a x =-=-，在2Rt PQF 中，21212||||||QF PQ PF =+，即22247433x x a x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得57433x a x =-或57433x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，解得x a =或6x a =（舍去），此时点P 为椭圆短轴的顶点，又121212221212sin 3tan cos 4sin cos 1F QF F QF F QF F QF F QF ∠⎧∠==⎪∠⎨⎪∠+∠=⎩，解得124cos 5F QF ∠=（负值舍去），且21||3QF a =，15||3QF a =，在12QF F 中，由余弦定理可得222222121212121254||||||499cos 152||||5233a a c QF QF F F F QF QF QF a a +-+-∠==⨯⨯，整理可得222a c =，所以2c e a ==．故选：B ．【点睛】关键点点睛：涉及焦点三角形问题一般是利用椭圆的定义及余弦定理进行处理，本题关键是推导出P 为短轴顶点.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()sin 2f x x =，若()()1212f x f x ==，则12x x -的值可以为（）A.π2B.π3C.π4D.2π3【答案】BD 【解析】【分析】根据整体法以及特殊角的三角函数值可得25ππ12x k =+或1ππ12x k =+，即可求解.【详解】令()11πsin 222π26f x x x k =⇒==+或25π22π6x k =+，12,Z k k ∈,故25ππ12x k =+或1ππ12x k =+，12,Z k k ∈，故12215ππππππ,Z 12123x x k k m m -=+∈=+--,取0m =和1m =-可得π3或2π3，故12x x -的值可以为π3或2π3，故选：BD10.在数列{}n a 中，2n ∀≥，*N n ∈，111n n n a a a a +-+=，记{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（）A.若11a =，22a =，则31a =B.若11a =，22a =，则4n n a a +=C.若12a =，23a =，则1n a n =+D.若12a =，23a =，则20230S =【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知，结合条件11a =，22a =，可依次求出数列的前几项，从而判断A 、B ；由题意可得11n n n n a a a a +--=-，根据等差数列的定义可判定数列{}n a 为等差数列，从而判断C 、D.【详解】若11a =，22a =，又2311a a a a +=，则31a =，A 正确；若11a =，22a =，由A 选项可知31a =，又4312a a a a +=，可得41a =-，5413a a a a +=，可得512a a =-≠，B 错误；若12a =，23a =，则2n ∀≥，*N n ∈，112n n n a a a +-+=，可得11n n n n a a a a +--=-，所以数列{}n a 为等差数列，且211d a a =-=，所以1n a n =+，C 正确；且20201920212302S ⨯=⨯+⨯=，D 正确.故选：ACD11.在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，以对角线BD 为折痕将△ABD 进行翻折，折后为A BD ' ，连接A C '得到三棱锥A BCD -'，在翻折过程中，下列说法正确的是（）A.三棱锥A BCD -'体积的最大值为14B.点,,,A B C D '都在同一球面上C.点A '在某一位置，可使BD A C '⊥D.当A B DC '⊥时，A C '=【答案】ABD 【解析】【分析】根据锥体体积公式即可求解A ，根据直角三角形的性质即可求解B ，根据线面垂直得线性垂直即可求解CD.【详解】如图所示：分别过,A C 作,AM BD CN BD ⊥⊥，对A ，当平面A BD '⊥平面BCD 时，三棱锥A BCD -'的高最大为12A M AM '==，∴三棱锥A BCD -'体积的最大值为11113224⨯⨯⨯=，A 正确；对B ，90BA D BCD '∠=∠=︒ ，BD 的中点为O ，则OB OB OC OA ===',故O 为三棱锥A BCD -'的外接球球心，B 正确；对C ，若存在点A '在某一位置，使BD A C '⊥，连接A N '，由于BD A C '⊥，CNBD ⊥，,,A C CN C A C CN ''⋂=⊂平面A CN '，则BD ⊥平面A CN '，又A N '⊂平面A CN '，A N BD '∴⊥，这与A M BD '⊥相矛盾(M ,N 不重合），∴不存在点A '在某一位置，使BD A C '⊥，C 错误；对D ，当A B DC '⊥，又BC DC ⊥，A B BC B '= ，,,A B BC B A B BC ''=⊂ 平面A BC ',DC ∴⊥平面A BC '，又A C '⊂平面A BC '，DC A C '∴⊥，又A D '=1CD =，A C '∴=，D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知cos 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2α=__________．【答案】-【解析】【分析】根据同角三角函数关系式求出sin α，tan α，再利用二倍角正切公式求解.【详解】由cos 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 3α∴==，sintan cos ααα∴==，()222tan 2tan 21tan 1ααα∴===---.故答案为：-.13.已知正六棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为16π，则该正六棱锥的体积为__________．【答案】2【解析】【分析】作图，分外接球的球心在棱锥内部和外部两种情况，运用勾股定理列式分别计算.【详解】设正六棱锥H ABCDEF -，底面中心为G ，外接球半径为R ，底面正六边形的边长为a ，棱锥的高HG h =，则24π16πR =，2R ∴=，FG a =，当外接球的球心O 在棱锥内部时，2h >，在Rt HGF △中，222FH HG FG =+，即2212h a =+，在Rt OGF △中，222R OG FG =+，即()2242h a =-+，联立()22221242h a h a ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得3h =，a =所以正六棱锥H ABCDEF -的体积为163342V =⨯⨯⨯=.当外接球的球心O 在棱锥外部时，2h <，在Rt HGF △中，222FH HG FG =+，即2212h a =+，在Rt OGF △中，222R OG FG =+，即()2242h a =-+，联立()22221242h a h a⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得3h =，a =这与2h <矛盾，不合题意舍去.综上，该正六棱锥的体积为2V =.故答案为：932.14.如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位，共移动六次．质点位于4的位置的概率为__________；在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次3的位置的概率为__________．【答案】①.332##0.09375②.18##0.125【解析】【分析】计算质点移动6次可能的结果，质点位于4的位置的可能结果，根据古典概型的概率公式即可求解；根据条件概率的概率公式计算.【详解】由题意可得：质点移动6次可能的结果有6264=种，质点位于4的位置则指点向右移动5次向左移动1次，从质点移动6次中选1次向左移动，其它5次向右移动共有16C 6=种，所以质点位于4的位置的概率为636432=；在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次3的位置，可知从1开始的5步中，第1、2步必须向右，第3步向左或向右均可，若第3步向左则第4步向右，若第3步向右则第4步向左，第5步向左向右均可，则走法有224⨯=种，总的质点移动5次可能的结果有5232=种，则在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次3的位置的概率为41328=.故答案为：332；18.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 为1AC ，AB 中点，连接1A B ，1BC ．（1）证明：DE ∥平面11A BC ；（2）若DE AB ⊥，1AB BC ==，12AA =，求二面角11A BC C --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）53【解析】【分析】（1）由三角形中位线的性质可得1//DE BC ，再由线面平行的判定定理可证明；（2）建系，分别找到平面11A BC 的一个法向量和平面11B BCC 的法向量，代入空间向量的二面角余弦公式，再利用同角三角函数关系求出正弦值即可.【小问1详解】连接111,,,AC A C DE A B ，因为D ，E 分别为1AC ，AB 的中点，所以1//DE BC ，又因为DE ⊂/平面11A BC ，1BC ⊂平面11A BC ，所以//DE 平面11A BC ．【小问2详解】由（1）得1DE BC ∥，因为DE AB ⊥，所以1AB BC ⊥，因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，所以1AB BB ⊥，因为11BB BC B = ，所以AB ⊥平面11B BCC ，故AB BC ⊥．建立如图所示的空间直角坐标系B -xyz，则()10,1,2A ，()0,0,0B ，()11,0,2C =，()10,1,2BA = ，()11,0,2BC =，设平面11A BC 的一个法向量为(),,n x y z =，则112020n BA y z n BC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，可取()2,2,1n =- 为平面11A BC 的一个法向量，可取()0,1,0m =为平面11B BCC 的一个法向量，则2cos ,3n m n m n m ⋅==，设二面角11A BC C --的大小为θ，则2cos 3θ=，sin 3θ==，所以二面角11A BC C --的正弦值为53．16.某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为了解研发资金的投入额x （单位：千万元）对年收入的附加额y （单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额i x 和年收入的附加额i y 进行研究，得到相关数据如下：年份2017201820192020202120222023投入额i x 103040608090110年收入的附加额iy 3.20 4.00 4.80 6.007．307.309.25（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）若年收入的附加额与投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X 表示这三个年份为“优”的个数，求X 的分布列及数学期望．参考数据：712976iii x y==∑，7142l i y ==∑，72132800i i x ==∑．附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()112221n niii ii i nniiii x x y y x y nx ybx x xnx===---==--∑∑∑∑ ，a y bx =-$$．【答案】（1） 0.06 2.4y x =+（2）分布列见解析，97【解析】【分析】（1）根据最小二乘法即可求解，（2）根据超级几何概率公式求解概率，即可由期望公式求解.【小问1详解】依题意，()1103040608090110607x =⨯++++++=，()13.244.867.37.459.2567y =⨯++++++=，717221297676060.063280073600i ii ii x y nx ybxnx==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑ ，60.0660 2.4ay bx =-=-⨯= ，所以y 关于x 的线性回归方程为 0.06 2.4y x =+.【小问2详解】由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个，所以X 的可能取值为0，1，2，3，()033437C C 40C 35P X ===，()123437C C 181C 35P X ===，()213437C C 122C 35P X ===，()3337C 13C 35P X ===，X 的分布列如下：X 0123P43518351235135所以X 的期望是()41812190123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.已知函数()ln 1xf x x =+．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1x ≥时，()()1f x a x -≤，求a 的取值范围．【答案】（1）1122y x =-（2）12a ≥【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）由题意，将问题转化为()()21ln 0g x a x x =--≥（[)1,x ∞∈+）恒成立，利用导数讨论函数()g x 的单调性，即可求解.【小问1详解】由于()10f =，则切点坐标为()1,0，因为()21()1ln 1x x x f x +-=+'，所以切线斜率为()112f '=，故切线方程为10(1)2y x -=-，即1122y x =-．【小问2详解】当[)1,x ∞∈+时，()()1f x a x -≤等价于()2ln 1x a x -≤，令()()21ln =--g x a x x ，[)1,x ∞∈+，()2ln 1x a x -≤恒成立，则()0g x ≥恒成立，2121()2ax g x ax x x='-=-，当0a ≤时，()0g x '≤，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，()()10g x g ≤=，不符合题意；当102a <<时，由()0g x '=，得1x =>，x ⎡∈⎢⎣时，()0g x '≤，函数()g x 单调递减，()()10g x g ≤=，不符合题意；当12a ≥时，21a ≥，因为1x ≥，所以2210ax -≥，则()0g x '≥，所以函数()g x 在[)1,+∞上单调递增，()()10g x g ≥=，符合题意．综上所述，12a ≥．18.已知抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ，直线1y x =+与C 交于A ，B 两点，8AF BF +=．（1）求C 的方程；（2）过A ，B 作C 的两条切线交于点P ，设D ，E 分别是线段PA ，PB 上的点，且直线DE 与C 相切，求证：PD PE AD BE =．【答案】（1）24x y =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ()120x x <<，直线方程联立抛物线方程，利用韦达定理表示1212,y y y y +，结合抛物线的定义即可求解；（2）利用导数的几何意义求出直线PA 、PB 方程，进而求得()2,1P -，设()00,T x y ，求得014D x x y =、024E x x y =，结合弦长公式表示PD PE 与AD BE ，即证12211D E D E D E D E y y y y y y y y y y y y +++=--+，由（1），化简计算即可证明.【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()120x x <<，联立212x y x py=-⎧⎨=⎩，得()22210y p y -++=，则2480p p ∆=+>，1222y y p +=+，121y y =，则12238AF BF y y p p +=++=+=，故2p =，所以C 的方程为24x y =．【小问2详解】由（1）知126y y +=，因为抛物线C ：214y x =，则12y x '=，则12PA x k =，22PB x k =，则直线PA 方程为111()2xy y x x -=-，即()112x x y y =+，同理直线PB 方程为()222x x y y =+．联立()()112222xx y y xx y y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，得()()12122x x x y y -=-，则()121222y y x x x -==-，将2x =代入得1122x y y x y y =+⎧⎨=+⎩，两式相加得()()()()121212122112y x x y y y y y y =+-+=-+--+=-，即1y =-，所以点()2,1P -．设直线DE 与抛物线相切于点()00,T x y ，则直线DE 方程为()002xx y y =+．设(),D D D x y ，(),E E E x y ，联立()()110022D D D D x x y y x x y y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，两式作比1100D D x y y x y y +=+，即()220110011001101044D x y x y x x x x x x y x x x x --===--，同理024E x x y =，因为)()11D P E P DE PD PE y y y y y =--=++，同理)()12D E AD BE y y y y =--，故要证PD PE AD BE =，即证12211D E D E D E D E y y y y y y y y y y y y +++=--+，即证210D E D E y y y y y y +++=，即证2201020102210444444x x x x x x x x x x ++⋅+⋅=，即证()()0120121240x x x x x x x x +++=，即证()()0121240x x x x x ++=，由（1）知()212121616x x y y ==，又120x x <，故124x x =-，上式成立，故PD PE AD BE =．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．19.若非空集合A 与B ，存在对应关系f ，使A 中的每一个元素a ，B 中总有唯一的元素b 与它对应，则称这种对应为从A 到B 的映射，记作f ：A →B ．设集合{}5,3,1,1,3,5A =---，{}12,,,n B b b b = （*n ∈N ，6n ≤），且B A ⊆．设有序四元数集合()1234{,,,,i P X X x x x x x A ==∈且1,2,3,4}i =，(){}1234,,,Q Y Y y y y y ==．对于给定的集合B ，定义映射f ：P →Q ，记为()Y f X =，按映射f ，若i x B ∈（1,2,3,4i =），则1i i y x =+；若i x B ∉（1,2,3,4i =），则i i y x =．记()41B ii S Y y ==∑．（1）若{}5,1B =-，()1,3,3,5X =--，写出Y ，并求()B S Y ；（2）若{}123,,B b b b =，()1,3,3,5X =--，求所有()B S Y 的总和；（3）对于给定的()1234,,,X x x x x =，记41ii xm ==∑，求所有()B S Y 的总和（用含m 的式子表示）．【答案】（1）()2,3,3,5Y =--，()1B S Y =（2）40（3）63128m +【解析】【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；（2）对1，3-，5是否属于B 进行分类讨论，求出对应所有Y 中的总个数，进而求解；（3）由题意，先求出在映射f 下得到的所有1y 的和，同理求出在映射f 下得到的所有i y （2,3,4i =）的和，即可求解.【小问1详解】由题意知，()()()()()1,3,3,511,3,3,52,3,3,5Y f X f==--=+--=--，所以()23351B S Y =--+=．【小问2详解】对1，3-，5是否属于B 进行讨论：①含1的B 的个数为25C 10=，此时在映射f 下，1112y =+=；不含1的B 的个数为35C 10=，此时在映射f 下，11y =；所以所有Y 中2的总个数和1的总个数均为10；②含5的B 的个数为25C 10=，此时在映射f 下，4516y =+=；不含5的B 的个数为35C 10=，此时在映射f 下，45y =；所以所有Y 中6的总个数和5的总个数均为10；②含3-的B 的个数为25C 10=，此时在映射f 下，2312y =-+=-，3312y =-+=-；不含3-的B 的个数为35C 10=，此时在映射f 下，23y =-，33y =-；所以所有y 中2-的总个数和3-的总个数均为20．综上，所有()B S Y 的总和为()()101256202314010040⨯++++⨯--=-=．【小问3详解】对于给定的()1234,,,X x x x x =，考虑1x 在映射f 下的变化．由于在A 的所有非空子集中，含有1x 的子集B 共52个，所以在映射f 下1x 变为111y x =+；不含1x 的子集B 共521-个，在映射f 下1x 变为11y x =；所以在映射f 下得到的所有1y 的和为()()5511121216332x x x ++-=+．同理，在映射f 下得到的所有i y （2,3,4i =）的和()()5521216332i i i x x x ++-=+．所以所有()B S Y 的总和为()12346332463128x x x x m ++++⨯=+．【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点.。
云南省昆明市2022届”三诊一模“高三3月复习教学质量检测理科综合试题(含答案)
秘密★启用前【考试时间：3月29日 9:00-11:30】昆明市2022届“三诊一模”高三复习教学质量检测理科综合能力测试注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Zn-65一、选择题：本大题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于细胞中蛋白质和核酸的叙述，错误的是A.都以碳链为骨架B.都参与基因的表达C.都存在于核糖体和线粒体中D.核酸都不具有运输功能2.下列有关生物学实验的叙述，正确的是A.蛋白质变性后不能与双缩脲试剂发生紫色反应B.被健那绿染液染成蓝绿色的线粒体也可为细胞代谢提供能量C.活的动物细胞能被台盼蓝染成蓝色D.可根据溴麝香草酚蓝水溶液变成蓝色的时间，检测CO2的产生情况3.ERGIC是内质网和高尔基体之间的一个中间膜区室，COPII小泡可将物质由内质网运输到ERGIC,物质经ERGIC分选后，再通过COPI小泡分别运输到内质网和高尔基体，具体过程如下图。
下列叙述错误的是A.COPII小泡与ERGIC的融合过程体现了生物膜的流动性B.COPI小泡、COPII小泡和ERGIC的膜上可能有相同的蛋白质C.酶的合成、加工、运输过程均需要COP I小泡和COPII小泡的参与D.ERGIC对COPII小泡运输来的物质具有识别作用4.研究发现，基因A的过度表达与细胞癌变有关。
某种siRNA 能与基因A编码的mRNA结合导致基因A不能表达。
2024届云南省昆明市高三上学期“三诊一模”摸底诊断测试理综物理试题(解析版)
昆明市2024届高三“三诊一模”摸底诊断测试理科综合能力测试注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回。
可能用到的相对原子质量：H 1Li 7C 12O 16S 32Fe 56−−−−−−二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求，第19~21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
1. 放射性同位素衰变的快慢有一定的规律，质量为0m 的碳()14614C 发生β衰变，经过时间t 后剩余碳14的质量为m ，其0mt m − ）A. 碳14放出的β粒子来自核外电子B. 碳14的衰变方程为14140671C N e −→+C. 碳14的半衰期为11460年D. 100个碳14原子经过11460年后还剩25个【答案】B 【解析】【详解】A ．碳14放出的β粒子来自于原子核内的中子转化为质子时产生的，故A 错误；B ．根据衰变过程满足质量数和电荷数守恒可知，碳14的衰变方程为14140671C N e −→+故B 正确；C ．放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间，叫半衰期。
由图知，碳14的半衰期为5730年，故C 错误；D ．半衰期是放射性元素衰变的统计规律，对少数原子核不适用，故D 错误。
故选B 2. 海王星的质量是地球质量的17倍，它的半径是地球半径的4倍。
宇宙飞船绕海王星运动一周的最短时间与绕地球运动一周的最短时间之比为（ ）A. 4B. 4:17C. 8D. 817:【答案】C 【解析】 【详解】由2224Mm G m r r Tπ= 可得2T π= 则宇宙飞船绕海王星运动一周的最短时间与绕地球运动一周的最短时间之比为:8T T =海王地球故选C 。
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试(三模)数学试题(理)(解析版)
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试（三模）数学试题（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在复平面内，复数21iz i=+所对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限『答案』A 『解析』22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-， ∴复数z 所对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限．故选：A ．2.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}2|B b b A =+∈，则A B =（ ）．A. {}2,1,0--B. {}1,0,1-C.2,0,2D. {}0,1,2『答案』D『解析』因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以{}{}2|0,1,2,3,4B b b A =+∈=，因此{}0,1,2AB =.故选：D.3.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（ ）． A. 各月的利润保持不变B. 各月的利润随营业收入的增加而增加C. 各月的利润随成本支出的增加而增加D. 各月的营业收入与成本支出呈正相关关系『答案』D『解析』对于A ，通过计算可得1至5月的利润分别为0.5，0.8，0.7，0.5，0.9，故A 错误； 对于B ，由A 所得利润，可知利润并不随收入增加而增加，故B 错误； 对于C ，同理可得C 错误；对于D ，由折线图可得支出越多，收入也越多，故而收入与支出呈正相关，故D 正确， 故选：D ．4.已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（ ）A.B.C. 2D. 4『答案』C『解析』由题，点P 在直线b y x a =b a =，故离心率2c a ==.故选：C5.已知点()cos10,sin10A ︒︒，()cos100,sin100B ︒︒，则AB =（ ）A. 1B.C.D. 2『答案』B 『解析』点(cos10,sin10)A ︒︒，(cos100,sin100)B ︒︒，||AB ∴=====6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A. 216B. 108C. D. 36『答案』B『解析』根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰三角形，高为6的三棱柱体， 如图所示：所以：16661082V =⨯⨯⨯=．故选：B ．7.材料一：已知三角形三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为S =，其中2a b cp ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式 材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知ABC 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC 面积的最大值为（ ）A.B. 3C. D. 6『解析』由材料二可得点A 的轨迹为椭圆，其焦距24c =，长轴26a =，短轴2b =当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC 的面积取得最大值，∴max 142S =⋅= 故选：C.8.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象向左平移2π个单位后与()f x 的图象重合，则ω的最小值为（ ） A. 8B. 4C. 2D. 1『答案』B『解析』因为函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象向左平移2π个单位后与()f x 的图象重合， 所以*,2nT n N π=∈（其中T 为函数()f x 的最小正周期），即22n ππω⋅=，所以4n ω=，因为*n N ∈，所以min 4ω=.故选：B.9.如图1，已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，AD PC ⊥．将PAD △沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（ ）A. 平面PAB ⊥平面PBCB. BC ⊥平面PDC C PD AC ⊥D. 2PB AN =『答案』A『解析』由已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，AD PC ⊥得四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ,AD DC ⊥,AD PC ⊥，PD DC D ⋂= 所以AD ⊥平面PCD ,又AD ∥BC ,BC ∴⊥平面PDC ,所以B 正确 平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD平面ABCD AD =,PD AD ⊥PD ∴⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD PD AC ∴⊥,所以C 正确PD ⊥平面ABCD ,PD AB ⊥又AB AD ⊥,PD DA D ⋂=AB ∴⊥平面PAD ,AB PA ∴⊥,PAB ∴是直角三角形，又PB 的中点为N所以2PB AN =，所以D 正确. 故选：A10.已知F 为抛物线()220x py p =>的焦点，点P 为抛物线上一点，以线段PF 为直径的圆与x 轴相切于点M ，且满足MF PM =，2PF =，则p 的值为（ ） A. 4B. 3C. 2D. 1『答案』C『解析』如下图所示，设线段PF 的中点为点N ，由题意可知，圆N 与x 轴相切于点M ，则MN x ⊥轴， 又MF PM =，N 为PF 的中点，MN PF ∴⊥，//PF x ∴轴，由于2PF =，则点2,2p P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入抛物线方程得242p p ⋅=，即24p =， 0p >，解得2p =.故选：C.11.已知函数()()221()4442xf x exx k x x =--++，2x =-是()f x 的唯一极小值点，则实数k 的取值范围为（ ）A. )2,e ⎡-+∞⎣B. )3,e ⎡-+∞⎣ C.)2,e ⎡+∞⎣D. )3,e ⎡+∞⎣『答案』D『解析』求导有()()()()()228242x xf x e x x k x e x k x ⎡⎤=--++=-++⎣⎦'.设()()4xg x ex k =-+，则()()3x g x e x '=-，故当(),3x ∈-∞时()0g x '<，()g x 单调递减；()3,x ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调递增. 故若()()4xg x ex k =-+有两个零点，则必有一根03x >，则此时有()03,x x ∈时()0f x '<；()0,x x ∈+∞时()0f x '>，故0x x =为()f x 的极小值点，与题意不符.故()()40xg x ex k =-+≥恒成立，故()()min 30g x g =≥，即()3340e k -+≥，解得)3,k e ⎡∈+∞⎣.故选：D 12.ABC 中，2A π=，2AB AC ==，有下述四个结论：①若G 为ABC 的重心，则1331AG AB AC =+ ②若P 为BC 边上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+为定值2③若M ，N 为BC 边上的两个动点，且MN =AM AN ⋅的最小值为32④已知P 为ABC 内一点，若1BP =，且AP AB AC λμ=+，则λ+的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④『答案』A『解析』因为在ABC 中，2A π=，2AB AC ==； 所以ABC 为等腰直角三角形；①如图1，取BC 中点为D ，连接AD ，因为G 为ABC 的重心，所以G 在AD 上，且23AG AD =， 所以()2211133233AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，故①正确； ②如图1，同①，因为D 为BC 中点，ABC 为等腰直角三角形，所以AD BC ⊥， 若P 为BC 边上的一个动点，则AP 在AD 上的投影为cos AP PAD AD ∠=，因此221()22242AP AB AC AP AD AD BC ⎛⎫⋅+=⋅==⨯= ⎪⎝⎭，故②错；③如图2，以A 点为坐标原点，分别以AB 、AC 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，易得，BC 所在直线方程为：2x y +=； 因为M ，N 为BC 边上的两个动点，所以设()11,2M x x -，()22,2N x x -，且[]12,0,2x x ∈，不妨令12x x <，因为MN =()()2212212x x x x -+-=，即()2121x x -=，则211x x -=， 所以()()()()()12121111221221AM AN x x x x x x x x ⋅=+--=++---221111332222222x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当112x =时，等号成立；故③正确；④同③建立如图3所示的平面直角坐标系，则(2,0)AB =，(0,2)AC =，设(),P x y ，则(,)=AP x y ，又AP AB AC λμ=+，所以22x y λμ=⎧⎨=⎩，即22x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为P 为ABC 内一点，且1BP =，设PBA θ∠=， 则0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 2cos B x x BP θθ=-=-，sin sin y BP θθ==，因此11cos sin 122226x y πλθθθ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,6612πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以sin 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭无最值，即λ+无最值，故④错.故选：A.二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分．13.若5250125(21)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则1a =__________．『答案』10『解析』因为5250125(21)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，5(21)x -的展开式的通项为()()51521rrrr T C x -+=-，令51r -=，得4r =，则()()44552110T C x x =-=故110a = 故答案为：1014.若“0x ∃∈R ，()20ln 10x a +-=”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．『答案』[0,)+∞ 『解析』“200,(1)0x R ln x a ∃∈+-=”是真命题，20(1)10a ln x ln ∴=+=；故答案为：[0,)+∞．15.在ABC 中，4AB =，BC =6B π=，D 在线段AB 上，若ADC 与BDC 的面积之比为3:1，则CD =__________．『答案』1 『解析』如图，因为ADC 与BDC 的面积之比为3:1，所以:3:1AD DB =，又因为4AB =，所以1BD =， 在BDC 中，由余弦定理得，22222cos 121cos16CD BD BC BD BC DBC π=+-⋅⋅∠=-⨯=所以1CD =. 故答案为：1.16.某校同时提供A 、B 两类线上选修课程，A 类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B 类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A 类、B 类课程中的一类学习．当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分共_______分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共________分．『答案』 (1). 180 (2). 190『解析』根据题意，当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分520420180⨯+⨯=分.设学生选择A 类选修课()x x N ∈次，B 类选修课()y y N ∈次，则x 、y 所满足的约束条件为40301200203090040,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，即43120239040,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，目标函数为54z x y =+，如下图所示：则可行域为图中阴影部分中的整数点（横坐标和纵坐标均为整数的点），联立402390x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得3010x y =⎧⎨=⎩，可得点()30,10A ，平移直线54z x y =+，当直线54z x y =+经过可行域的顶点A 时，直线54z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 530410190z =⨯+⨯=. 因此，通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共190分. 故答案为：180；190.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 为正项等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若321S =，2316a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）从三个条件：①3nn n a b =；②2n n b a n =+；③2log 3n n a b =中任选一个作为已知条件，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，因为：2316a a a +=，所以21116a q a q a +=，故：260q q +-=，解得：2q或3q =-（舍去），故2q．由：321S =，得：()21121a q q ++=，将2q代入得：13a =，所以数列{}n a 的通项公式为：132n n a -=⨯；（2）选择①3nn na b =： 11322333n n n n n na b --⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，数列{}n b 是首项为11b =，公比为23的等比数列， 所以2123312313nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，选择②2n n b a n =+：12322n n n b a n n -=+=⨯+，所以()()2312(22)321122n n nn n T n n -+=+=⨯-++- 选择③2log 3nn a b =： 1122232log log log 2133n n n n a b n --⨯====-，数列{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列． 所以(1)2n n n T -=． 18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △为正三角形，M 是PC 的中点，过M 的平面α平行于平面PAB ，且平面α与平面PAD 的交线为ON ，与平面ABCD 的交线为OE ．（1）在图中作出四边形MNOE （不必说出作法和理由）；（2）若PC =，求平面α与平面PBC 形成的锐二面角的余弦值．解：（1）如图，四边形MNOE 即为所求，其中N 为PD 中点，O 为AD 中点，E 为BC 中点；（2）连接OP ，依题意：PC ==，所以222PC DC PD =+，则DC PD ⊥，又因为DC AD ⊥且PD AD D ⋂=， 所以DC ⊥平面PAD ，则DC PO ⊥， 因为PAD △为正三角形且O 为AD 中点， 所以PO ⊥平面ABCD ，则PO OA ⊥，PO OE ⊥，OA OE ⊥， 以O 为原点建立如图坐标系O xyz -，因为4AB =，所以(2,4,0)B ，(0,4,0)E ，(N -，(1,M -，则(0,2,0)NM =，(1,2,ME =，(2,0,0)EB =， 设平面α的一个法向量为()111,,m x y z =，则11112020y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(3,0,1)m =， 设平面NME 的一个法向量为()222,,n x y z =，则22222020x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(0,3,2)n =．则cos ,7||||27m n mn m n ⋅〈〉===，所以平面α与平面PBC 形成的锐二面角的余弦值为7. 19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左焦点为1(1,0)F -，经过点1F 的直线l 与圆222:(1)8F x y -+=相交于P ，Q 两点，M 是线段2PF 与C 的公共点，且1||MF MP =．（1）求椭圆C 的方程；（2）l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求2ABF 的面积． 解：（1）如图：由圆222:(1)8F x y -+=可得2PF =，因为1||MF MP =，所以12222||a MF MF MP MF PF =+=+==， 即a =1c =，故1b =，所以椭圆的方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，易知2(1,0)F ， 因为A 为线段PQ 的中点，则12AF AF ⊥，所以22212111111111(1,)(1,)(1)(1)10AF AF x y x y x x y x y ⋅=---⋅--=---+=+-=，又221112x y +=，解得10x =，11y =±， 若11y =，则(0,1)A ，直线l 的方程为1y x =+，由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2340x x +=，所以1243x x +=-，所以243x =-，213y =-，即41,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以2ABF 的面积1212114422233S F F y y =⋅-=⨯⨯=． 若1y =-，同理可求得2ABF 的面积43S =． 综上，2ABF 的面积为43. 20.近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售．为了做好苹果的品控，小张从自己果园的苹果树上，随机摘取150个苹果测重（单位：克），其重量分布在区间[]100,400内，根据统计的数据得到如图1所示的频率分布直方图．（1）以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了30个苹果，求这30个苹果中重量在(300,400]内的个数X 的数学期望；（2）小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏．该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1或2，且这两种结果的概率相同；从出发格（第0格）开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2所示的路径向前行进一次，若掷出1点，即从当前位置向前行进一格（从第k 格到第1k +格，k ∈N ），若掷出2点，即从当前位置向前行进两格（从第k 格到第2k +格，k ∈N ），行进至第3l 格（获得福袋）或第32格（谢谢惠顾），游戏结束．设买家行进至第i 格的概率为(0,1,2,,32)i p i =⋅⋅⋅，01p =．（ⅰ）求1p 、2p ，并写出用2i p -、1i p -表示(2,3,,31)i p i =⋅⋅⋅的递推式；（ⅱ）求32p ，并说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家．解：（1）由图可知，苹果的重量在(]300,400内的频率为：(0.00360.0020)500.28+⨯=． 一顾客从该果园购买的30个苹果中重量在300,(400]内的个数为X ，则~(30,0.28)X B ，所以()300.288.4E X =⨯=（个）．（2）（i ）买家要行进至第1格的情况只有一种：买家第一次抛掷骰子，结果为1，行进至第一格，其概率为12，则112p =； 买家要行进至第2格的情况有以下两种：①当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2，行进至第2格，其概率为12； ②当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1，行进至第2格，其概率为111224⨯=； 所以2113244p =+=． 买家要行进至第i 格(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅的情况有以下两种：①当前格在第2i -格，抛掷一次骰子，结果为2，行进至第i 格，其概率为212i p -；②当前格在第1i -格，抛掷一次骰子，结果为1，行进至第i 格，其概率为112i p -； 所以121122i i i p p p --=+(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅． （ii ）由（i ）得，()()11212i i i i p p p p ----=--，即11212i i i i p p p p ----=--(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅， 又10111022p p -=-=-≠， 所以数列{}1i i p p --(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅是首项为1012p p -=-，公比为12-的等比数列．所以112ii i p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅，所以()()()112100i i i i i p p p p p p p p ---=-+-+⋅⋅⋅+-+11111222i i -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111221113212i i ++⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭， 即121132i i p +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅．所以买家行进至第31格（获得福袋）的概率为3232312121113232p ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； 又买家行进至第32格（谢谢惠顾）的概率为3131323011************p p ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由于32313031322111111110323232p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以买家行进至第31格的概率大于行进至第32格的概率，即小张网店推岀的此款游戏活动是更有利于买家．21.已知()sin f x x =，()ln g x x =，2()1h x x ax =--． （1）若[0,1]x ∈，证明：()(1)f x g x ≥+；（2）对任意(]0,1x ∈，都有()e()()0f x h x g x +->，求整数a 的最大值． 解：（1）设()sin ln(1)(01)F x x x x =-+≤≤，则1()cos 1F x x x '=-+， 因为21()sin (1)F x x x ''=-+，且[0,1]x ∈，则()F x ''在[0,1]单调递减，因为1(1)sin104F ''=-<，(0)10F ''=>， 所以存在唯一零点0(0,1)x ∈，使得()00F x ''=，所以x ∈()00,x 时，()0F x ''>，x ∈()0,1x 时，()0F x ''<， 则()F x '在()00,x 时单调递增，在()0,1x 上单调递减， 又11(1)cos1cos 0223F π'=-+>-+=，(0)0F '=， 所以()0F x '>在()0,1上恒成立，所以()F x 在[]0,1上单调递增， 则()(0)0F x F ≥=，即()0F x ≥． 所以()(1)f x g x ≥+．（2）因为对任意的(]0,1x ∈，不等式()()()0f x eh x g x +->， 即sin 21ln 0x e x ax x +--->恒成立，令1x =，则sin1e a >，由（1）知sin1ln 2>，所以ln2sin1123e e e =<<<，由于a 为满足sin 21ln 0x e x ax x +--->的整数，则2a ≤，因此sin 2sin 21ln 21ln xx e x ax x e x x x +---≥+---．下面证明sin 2()21ln 0xH x ex x x =+--->在区间(0,1]恒成立即可．由（1）知sin ln(1)x x >+，则sin 1x e x >+， 故22()121ln ln H x x x x x x x x >++---=--， 设2()ln G x x x x =--，(0,1]x ∈，则1(21)(1)()210x x G x x x x+-'=--=≤， 所以()G x 在(0,1]上单调递减，所以()(1)0G x G ≥=，所以()0H x >在(0,1]上恒成立． 综上所述，a 的最大值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分． 『选修4-4：坐标系与参数方程』22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,0P ，倾斜角为α．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2sin 2cos ρθθ=．（1）写出直线l 的参数方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且2||3PM =，求sin α． 『答案』（1）直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 曲线C 的直角坐标方程为22y x =．（2）sin α=解：（1）根据直线过点()1,0P ，倾斜角为a 可得直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），由2sin 2cos ρθθ=得22sin 2cos ρθρθ=，将sin y ρθ=，cos x ρθ=代入可得曲线C 直角坐标方程：22y x =.（2）将1cos x t α=+，sin y t α=代入到22y x =，得22sin 2cos 20t t αα--=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则M 对应的参数为122t t +，由韦达定理得1222cos sin t t αα+=，所以122cos 2||||||2sin 3t t PM αα+===，所以24cos 4sin 9αα=，所以241sin 4sin 9αα-=， 所以4299sinsin 044αα+-=，解得23sin 4α=， 由[0,)απ∈，所以sin α=. 『选修4-5：不等式选讲』23.设函数()()lg 12f x x x a =-+++． （1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域； （2）设()12g x x x a =-+++，当[]2,1x ∈-时，()2g x x a ≥-成立，求a 的取值范围．解：（1）当5a =-时，要使函数()y f x =有意义，需满足1250x x -++->. 当2x -≤时，则有1250x x ---->，即260x -->，解得3x <-，此时3x <-； 当21x -<<时，则有1250x x -++->，即20->，不合乎题意； 当1x ≥时，则有1250x x -++->，即240x ，解得2x >，此时2x >. 综上所述，不等式1250x x -++->的解集为()(),32,-∞-+∞. 因此，当5a =-时，函数()y f x =的定义域为()(),32,-∞-+∞；（2）当[]2,1x ∈-时，由()2g x x a ≥-可得23x a a -≤+，则30a +≥，可得3a ≥-，由23x a a -≤+可得323a x a a --≤-≤+，解得333a x a -≤≤+，[][]2,13,33a a ∴-⊆-+，323313a a a -≤-⎧⎪∴+≥⎨⎪≥-⎩，解得213a -≤≤.因此，实数a 的取值范围是2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
2024届云南省昆明市高三“三诊一模”摸底诊断测试数学及答案
数学试卷·第1页（共7页）秘密★启用前 【考试时间：1月15日 15∶00—17∶00】昆明市2024届高三“三诊一模”摸底诊断测试数 学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,6}B =，则()U A B =ðA ．{1,2,3}B ．{2,3,5}C ．{1,3,5}D ．{3,4,5}2．复数i2i+在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知F 是抛物线2:4C x y =的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则||MF =4A ．1344CD CA CB=+ B ．3144CD CA CB=+C ．1455CD CA CB=+ D ．4155CD CA CB=+ 5．某学校运动会男子100m 决赛中，八名选手的成绩（单位：s ）分别为：13.09，13.15，12.90，13.16，12.96，13.11，x ，13.24，则下列说法错误的是 A ．若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155，则13.15x = B ．若该八名选手成绩的众数仅为13.15，则13.15x = C ．若该八名选手成绩的极差为0.34，则12.9013.24x ≤≤ D ．若该八名选手成绩的平均数为13.095，则13.15x =数学试卷·第2页（共7页）EDCB AO30°30°30°30°6．已知函数()sin cos f x x x =+，若存在[0,2π]x ∈，使得方程有三个不等的实根1x ，2x ，3x 且123x x x <<，则321x x x --=A ．2πB ．3π2 C ．π D ．π28．第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的．如图所示，作Rt AOB △，1OA =，30AOB ∠=︒，再依次作相似三角形BOC △，COD △，DOE △，……，直至最后一个三角形的斜边OM 与OA 第一次重叠为止．则所作的所有三角形的面积和为 A 111]-B 114[(1]3- C121]-D 124[(1]3-二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南昆明“三诊”模拟理科数学试题(含答案)
秘密★启用前昆明市2020届“三诊一模”高三复习教学质量检测理科数学23注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素颦将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.己知集合/ = 或x>2} , 5 = {-3,-2,-1,0,1,2,3）.则=A. {-3,-2}B. {2,3}C. {-3,-23）D. {-3,-2,2,3}2.已知复数z满足（l + 2i）z = 5i,则2 二A. 2 + iB. 2-iC. -2 + iD. -2-i3.在正项等比数列{q}中，若4=1, 4=2+2, S.为其前〃项的和，则含= S'A. 6B. 9C. 12D. 154.若央角为120。
的向量a与。
满足|0 + b| = |b| = 2,则同=A. 1B. 2C. 2GD. 45.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 1正视图便视图俯视图6 .执行如图所示的程序框图，则输出的7 =A.C.D.7 .已知恻（？：。
-1）2+/=/”>1）与刀轴负半轴的交点为“，过点M 且斜率为2的直线/与圆C 的另一个交点为N,若MN 的中点户恰好落在y 轴上，贝=A 5R 石「50 A. —-- C.一 D ・ --224 48 .若在线y = x 与曲线y = lnx + ax 相切，贝ija =A. -B. --C. --lD. 1-1ee e e9 .抛物线上任意两点4、夕处的切线交于点P,称为“阿基米德三角形”.当线段 经过抛物线焦点产时，△P/8具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；②△P48为直角三角形，且P/1P8；③PFJ.48. 若经过抛物线/= 4x 焦点的一条弦为48,阿基米德三角形为△P/8,且点尸的纵坐 标为4,则直线48的方程为A. x-2y-l = 0B. 2x + y-2 = 0C. x + 2y-l = 0D. 2x-y-2=010 .已知函数/（x ） = P+3x,若对任意不等式/（2/-M + /⑺NO 恒成立，则实数 m 的取值范围是A.加41B. m <. --C.D.64一］24811 .已知正四棱锥尸的高为2. AB = 24i,过该棱锥高的中点且平行于底面488的平面截该正四棱锥所得截面为44G 。
云南省昆明市第一中学教育集团2022届高二升高三诊断性考试(期末考试)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前云南省昆明市第一中学教育集团2020-2021学年2022届高二升高三诊断性考试(期末考试)数学(理)试题(解析版)一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分）.1．已知集合A＝{0,1,2},集合B＝{x|x﹣1≥0},则A∩B的真子集个数为（）A．1B．2C．3D．4解：因为集合A＝{0,1,2},集合B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1},所以A∩B＝{1,2},故A∩B的真子集个数为22﹣1＝3．故选：C．2．若,则复数z＝（）A．1﹣i B．2﹣i C．3﹣2i D．3﹣i解：∵,∴z＝（1﹣i）（2+i）＝2﹣i﹣i2＝3﹣i．故选：D．3．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一,其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和,也就是我们所谓的“1+1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的,我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都做出了相当好的成绩．若将8拆成两个正整数的和,则拆成的和式中,加数全部为质数的概率为（）A．B．C．D．解：将8拆成两个正整数的和,基本事件有：1+7＝8,2+6＝8,3+5＝8,4+4＝8,5+3＝8,6+2＝8,1+7＝8,共7个,拆成的和式中,加数全部为质数包含的基本事件有：3+5＝8,5+3＝8,共2个,则拆成的和式中,加数全部为质数的概率p＝．故选：A．4．已知sin x﹣cos x＝,则sin2x＝（）A．B．C．D．解：∵sin x﹣cos x＝,∴两边平方可得：1﹣sin2x＝,解得：sin2x＝．故选：A．5．一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的高为（）A．B．C．D．2解：由三视图还原原几何体如图,该几何体为正三棱柱,底面正三角形一边上的高为2,设底面等边三角形的边长为a,可得,得a＝4,再设正三棱柱的高为h,可得,解得h＝．。
云南省昆明市第三中学2021-2022学年高三上学期第三次综合测试理科数学试卷 (含答案)
云南省昆明市第三中学高2022届高三上学期第三次综合测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 设集合A ={x |x 2-2x -3＜0}，B ={x |y =ln （2-x ）}，则A ∩B =（ ） A. {x |-1＜x ＜3} B. {x |-1＜x ＜2} C. {x |-3＜x ＜2} D. {x |1＜x ＜2}2. 已知z 1+2i=2+i ，则复数z +5的实部与虚部的和为（ ）A. 10B. -10C. 0D. -53. 如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图的结果为（ ）A. 7B. 6C.9D.84. 如果X ∼B(20,p)，当p =1/2且P(X =k)取得最大值时， k 的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 115. 设a =20.3，b =0.32，c =log x （x 2+0.3）（x ＞1），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a ＜b ＜cB. b ＜a ＜cC. c ＜b ＜aD. b ＜c ＜a6. 哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为（ ）A. 60B. 80C. 120D. 2407. 一个几何体的三视图（单位：Cm ）如图所示，则该几何体的体积是80cm 3．则图中的x 等于（ ）A. 32B. 23C. 3D. 68. 设等差数列{a n }满足3a 8=5a 15，且a 1 ＞0，S n 为其前n 项和，则数列{S n }的最大项为（ ）A. S 23 B. S 24C. S 25D. S 269. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤6x −3y ≤−2x ≥1若目标函数z =ax +by （a ＞0，b ＞0）的最小值为2，则1a +3b 的最小值为（ ）A. 2+√3B. 5+2√6C. 8+√15D. 2√310. 已知函数f （x ）=A sin （2x +φ）-12（A ＞0，0＜φ＜π2）的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线x =π12对称，若对于任意的x ∈[0，π2]，都有m 2-3m ≤f （x ），则实数m 的取值范围为（ ）A. [1，32] B. [1，2]C. [32，2]D. [3−√32，3+√32] 11. 如图所示点F 是抛物线y 2=8x 的焦点，点A 、B 分别在抛物线y 2=8x 及圆x 2+y 2-4x -12=0的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是（ ）A. （8，12）B. （6，10）C. [6，8]D. [8，12]12. 函数32()2e ln f x x x mx x =-+-有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )1.,A e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 21.,B e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭211.,C e e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 21.,D e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 若n =8∫e11x dx ，则二项式（√x -2√x）n的展开式中常数项为 ______ ． 14. 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ______ ． 15. 在直角三角形△ABC 中，C =π2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，对平面内的任意一点M ，平面内有一点D 使得3MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 16. 若数列{a n }满足a n -（-1）na n -1=n （n ≥2，n ∈N *），S n 是{a n }的前n 项和，则S 40= ______ ．三、解答题（本大题共6小题，共80分）17. 如图所示，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，且BD =1，E 为AC 的中点，AE =32，cos B =2√77，∠ADB =2π3．（1）求AD 的长； （2）求△ADE 的面积．18. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日昼夜温差x （°C ） 10 11 13 12 8 6 就诊人数y （个） 222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． （1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y =bx +a ；（附：b ^=∑(ni=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2=∑x i ni=1y i −nxy∑x i2n i=1−nx 2）19. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC =45°，O 在AB 上，且OB =OC =23AB ，又PO ⊥平面ABC ，DA ∥PO ，DA =AO =12PO ．（Ⅰ）求证：PD ⊥平面COD ； （Ⅱ）求二面角B -DC -O 的余弦值．CAE20. 设F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上的点，且PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，坐标原点O 到直线PF 1的距离是13|OF 2|．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）过椭圆C 的上顶点B 作斜率为k （k ＞0）的直线l 交椭圆C 于另一点M ，点N 在椭圆C 上，且BM ⊥BN ，求证：存在k ∈[14，12]，使得|BN |=2|BM |．21. 已知函数f （x ）=x ln x -（x -1）（ax -a +1）（a ∈R ）． （Ⅰ）若a =0，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若x ＞1时，f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．选作题：考生在22、23中选作一题。
2023-2024学年云南省高考数学三校联考模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年云南省高考数学三校联考模拟试题（一模）一、单选题1．已知1z ，2z 是方程2220x x +=-的两个复根，则2212z z -=（）A ．2B ．4C ．2iD ．4i【正确答案】B【分析】利用求根公式求出两个复根，然后利用复数的运算法则及模的公式直接计算即可.【详解】已知1z ，2z 是方程2220x x +=-的两个复根，所以222i1i 22z ±===±，则设11i z =+，21i z =-，所以()()2212121222i 4i 4z z z z z z -=+-=⨯==，故选：B.2．已知集合{}1,0,1A =-，{}2,32B a a a =-+，若{}0A B ⋂=，则=a （）A ．0或1B ．1或2C ．0或2D ．0或1或2【正确答案】C【分析】根据集合的并集的结果分类讨论求参数.【详解】由于{}0A B ⋂=，则0B ∈.若0a =，则2322a a -+=，此时{}0,2B =符合题意.若2320a a -+=，则1a =或2,1a =时，{}0,1B =，此时{}0,1A B = 不合题意；2a =时，{}0,2B =符合题意，因此0a =或2，故选:C.3．有7个人排成前后两排照相，前排站3人后排站4人，其中甲同学站在前排，乙同学站在后排的概率为（）A ．142B ．114C ．221D ．27【正确答案】D【分析】总事件数看成7人站一排,考虑符合题意的情况，从余下5人中选2人与甲站在前排,根据古典概型的计算公式求解即可.【详解】先计算总事件数，可以看成7人站一排有77A 种.现在考虑符合题意的情况，从余下5人中选2人与甲站在前排，乙站在后排有234534C A A 种，概率为23453477C A A 2A 7P ==.故选:D.4．平面向量a 与b 的夹角为2π3，已知()6,8a =- ，10b = ，则向量b 在向量a 上的投影向量的坐标为（）A ．()3,4-B ．()4,3-C ．()4,3-D ．()3,4-【正确答案】D【分析】利用投影向量的定义结合向量的坐标运算可求得结果.【详解】向量b 在向量a上的投影向量的坐标为()()250cos ,6,83,4100a b b b a a a a ⋅-⋅==⋅-=-，故选：D.5．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F （如图），过2F 的直线交E 于P ，Q 两点，且1PF x ⊥轴，229PF F Q =，则E 的离心率为（）A．3B ．12C．3D．2【正确答案】A【分析】根据题意利用向量可求得点Q 的坐标，结合椭圆方程运算求解.【详解】设椭圆E 的半焦距为()000,,c Q x y >，由题意可得：()22,,,0b P c F c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()222002,,,b PF c F Q x c y a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭uuu r uuu r，因为229PF F Q =uuu r uuu r ，则()02299c x c b y a ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，解得0201199x c b y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即211,99b Q c a ⎛⎫- ⎝⎭，且点Q 在椭圆E 上，则4222212181811b c a a b +=，整理得()221211118181e e +-=，解得223e =，即e =.故选：A.6．已知正四棱锥的高为h ，其顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，且3922h ≤≤，则当该正四棱锥体积最大时，高h 的值为（）A ．2B ．32C ．4D ．92【正确答案】C【分析】根据题意列出体积与高之间的函数关系式，利用导数讨论单调性和最值求解.【详解】如图，设高为h ，底边长为a ，则()222R h R =-+，又34π36π3V R ==球，∴3R =，又39,22h ⎡⎤∈⎢⎣⎦，()()2232111()1823212333V h a h h h h h =⋅=--=-+⎡⎤⎣⎦，()21()6242(4)3V h h h h h '=-+=--,所以当3,42h ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0V h '>，当94,2h ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0V h '<，所以函数()321()2123V h h h =-+在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，94,2⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递减，故max 464|3h V V ===，故选:C.7．定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“奋斗点”.若函数()ln g x x =，()32h x x =-的“奋斗点”分别为m ，n ，则m ，n 的大小关系为（）A ．m n ≥B ．m n>C ．m n≤D ．m n<【正确答案】D【分析】求导，根据“奋斗点”的定义可得1ln m m=，3223n n -=，构造函数，利用导数及零点存在定理求出m 的范围，由223n n =+求出n 的范围，从而可比较大小.【详解】函数()ln g x x =，得()1g x x'=，由题意可得，()()g m g m '=，即1ln m m=.设()1ln H x x x=-，()211H x x x '=--，因为0x >，所以()0H x '<，易得()H x 在()0,∞+上单调递减且()110H =>，()12ln2ln 022H =-=<，故12m <<.由()32h x x =-，()23h x x '=，由题意得：3223n n -=，易知0n ≠，所以2233n n =+>，因为12m <<，所以m n <.故选:D.8．若,x y ∈R ）A ．2B C ．12D 【正确答案】A【分析】设点(),e xP x x 是函数()e x f x x =图象上的点，点(),1Q y y -是直线:1l y x =-上的PQ =，设函数()e xf x x =在点()00,M x y 处的切线1l 与直线l平行，求出函数的导函数，即可得到()()0001e 1x f x x '=+=，再令()()e 11xg x x =+-，利用导数说明函数的单调性，求出函数的零点，即可求出M 点坐标，从而求出min PQ ，从而得解.【详解】设点(),e xP x x 是函数()e x f x x =图象上的点，点(),1Q y y -是直线:1l y x =-上的点，可以转化为P ，Q 两点之间的距离，PQ =，因为()()1e xf x x '=+，设函数()e x f x x =在点()00,M x y 处的切线1l 与直线l 平行，则直线1l 的斜率为1，可得()()0001e 1xf x x '=+=，整理得()00e 110x x +-=，令()()e 11x g x x =+-，则()()e 2xg x x '=+，当<2x -时()0g x '<，当2x >-时()0g x '>，所以()g x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，且当x →-∞时()1g x →-，()00g =，()22e 10g --=--<，当x →+∞时()g x ∞→+，所以()g x 有且仅有一个零点0，∴方程()00e 110xx +-=有且仅有一个解00x =，则()0,0M ，故PQ 的最小值为点()0,0M 到直线:1l y x =-的距离d ==的最小值为2.故选：A.二、多选题9．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上且不恒为0的函数，则（）A ．()()y f x f x =⋅-为偶函数B ．()()y g x g x =+-为奇函数C ．若()g x 为奇函数，()f x 为偶函数，则()()y f g x =为奇函数D ．若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则()()y f x g x =-为非奇非偶函数【正确答案】AD【分析】根据奇函数和偶函数的定义判断即可.【详解】选项A ：设()()()h x f x f x =⋅-，因为()f x 是定义在R 上的函数，所以()h x 的定义域为R ，()()()()h x f x f x h x -=-⋅=，所以()h x 为偶函数，故A 正确；选项B ：()()()t x g x g x =+-，因为()g x 是定义在R 上的函数，所以()t x 的定义域为R ，()()()()t x g x g x t x -=-+=，所以()t x 为偶函数，故B 错误；选项C ：设()()()m x f g x =，因为()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，所以()m x 的定义域为R ，因为()g x 为奇函数，()f x 为偶函数，所以()()()()()()()()m x f g x f g x f g x m x -=-=-==，所以()m x 为偶函数，故C 错误；选项D ：设()()()n x f x g x =-，因为()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，所以()n x 的定义域为R ，()()()()()()()()()()()2n x n x f x g x f x g x f x g x f x g x g x +-=-+---=---=-，因为()g x 是不恒为0的函数，所以()()0n x n x +-=不恒成立，所以()n x 不是奇函数，()()()()()()()()()()()2n x n x f x g x f x g x f x g x f x g x f x --=-----=-++=⎡⎤⎣⎦，因为()f x 是不恒为0的函数，所以()()n x n x =-不恒成立，所以()n x 不是偶函数，所以()n x 是非奇非偶函数，故D 正确，故选：AD.10．已知α，β是两个不同的平面，m ，n ，l 是三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A ．若m α⊥，n α⊥，则//m nB ．若//m α，//n α，则//m nC ．若αβ⊥，l αβ= ，m α⊂，m l ⊥，则m β⊥D ．若l αβ= ，//m α，//m β，则//m l 【正确答案】ACD【分析】根据空间中线、面位置关系逐项分析判断.【详解】对于选项A ：因为m α⊥，n α⊥，所以由线面垂直的性质可得m n ∥，故A 正确；对于选项B ：若m α∥，n α∥，则m 与n 可能异面或相交或平行，故B 错误；对于选项C ：因为αβ⊥，l αβ= ，m α⊂，m l ⊥，由面面垂直的性质定理知，m β⊥，故C 正确；对于选项D ：设a αδ= ，且m δ⊂，因为m α∥，则ma ，设b βγ= ，且m γ⊂，因为m β∥，则m b ∥，可得a b ∥，又因为b β⊂，a β⊄，则a β∥，且a α⊂，l αβ= ，则a l ∥，可得m l ∥，故D 正确；故选：ACD.11．在如图所示的平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点.则（）A ．若A 点的横坐标为1213，B 点的纵坐标为45，则()16cos 65αβ+=B ．()sin sin sin αβαβ+<+C ．()sin sin sin ααββ>++D ．以sin α，sin β，()sin αβ+为三边构成的三角形的外接圆的面积为π3【正确答案】AB【分析】根据三角函数定义结合两角和的余弦公式可判断A ；利用两角和的正弦公式结合正余弦函数的性质可判断B ，C ；判断sin α，sin β，()sin αβ+可构成三角形，并结合正余弦定理求得三角形外接圆面积可判断D.【详解】对于A ，由已知得，12cos 13α=，4sin 5β=，α，β为锐角，则5sin 13α=，3cos 5β=，则()1235416cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，故A 正确；对于B ，∵π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,παβ+∈，∴()cos 0,1∈α，()cos 0,1β∈，∴()sin cos cos sin si i s n n s n i αβαβαβαβ=+<++，故B 正确；对于C ，∵()()cos 1,1αβ+∈-，∴()()()()sin sin sin cos cos sin sin sin ααββαββαββαββ=+-=+-+<++⎡⎤⎣⎦，故C 错误；对于D ，同理()()()()sin sin sin cos cos sin sin sin βαβααβααβααβα=+-=+-+<++⎡⎤⎣⎦，结合B 、C 可知sin α，sin β，()sin αβ+，可以作为三角形的三边；设该三角形为A B C '''，角A '，B '，C '所对的边长分别为sin α，sin β，()sin αβ+，由余弦定理可得，()()222222sin sin sin sin sin sin cos cos sin cos 2sin sin 2sin sin C αβαβαβαβαβαβαβ+-++-+'=222222sin sin sin cos cos sin 2sin cos cos sin 2sin sin αβαβαβαβαβαβ+---=()()2222sin 1cos sin 1cos cos cos 2sin sin αββααβαβ-+-=-222222sin sin sin sin 2sin sin cos cos cos cos 2sin sin 2sin sin αββααβαβαβαβαβ+=-=-()sin sin cos cos cos αβαβαβ=-=-+，∴()sin sin C αβ'==+，设外接圆半径为R ，则由正弦定理可得()()sin 21sin sin A B R C αβαβ+''==='+，∴12R =，∴π4S =，故D 错误，故选：AB.12．已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA =点P 是四边形1111D C B A 内（包含边界）的一动点，设二面角P AD B --的大小为α，直线PB 与平面ABCD 所成的角为β，若αβ=，则（）A ．点P 的轨迹为一条抛物线B ．线段PB 长的最小值为3C ．直线1PA 与直线CD 所成角的最大值为π4D ．三棱锥11P A BC -体积的最大值为3【正确答案】BCD【分析】作PO ⊥平面ABCD ，OH AD ⊥，根据二面角平面角定义和线面角定义可得PHO PBO ∠=∠，由此可得OH OB =，根据抛物线定义可知O 点轨迹为抛物线的一部分，对应的P 点轨迹也为抛物线的一部分，知A 错误；若PB 取得最小值，则OB 最小，根据抛物线性质可知当O 为AB 中点时，OB 最小，由此可求得PB 最小值，知B 正确；将问题转化为求解OA 与AB 所成角OAB ∠的最大值，建立平面直角坐标系，可知当OA 与抛物线相切时，OAB ∠最大，利用抛物线切线的求法可求得该最大值，知C 正确；由体积桥1111P A BC B PA CV V --=可确定当点O 到AC 的距离最大时，所求体积最大，结合抛物线图形可知当O 为AB 中点时距离最大，由此可求得D 正确.【详解】过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，作OH AD ⊥，垂足为H ，对于A ，PO ⊥ 平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AD PO ∴⊥，又OH AD ⊥，PO OH O ⋂=，,PO OH ⊂平面POH ，AD ∴⊥平面POH ，PH ⊂ 平面POH ，AD PH ∴⊥，PHO ∴∠即为二面角P AD B --的平面角，即PHO α∠=，又PBO β∠=，PHO PBO ∴∠=∠，OH OB ∴=，O ∴点轨迹为以B 为焦点，AD 为准线的抛物线在四边形ABCD 内（含边界）的部分，则P 点轨迹为以1B 为焦点，11A D 为准线的抛物线在四边形1111D C B A 内（含边界）的部分，A 错误；对于B ，由抛物线性质知：当O 为AB 中点时，min 1OB =，min 3PB ∴=，B 正确；对于C ，1PA 与CD 所成角即为OA 与AB 所成角OAB ∠，在平面ABCD 中，以AB 中点M 为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，则当OA 与抛物线相切时，OAB ∠取得最大值；由题意知：抛物线方程为：24y x =，()1,0A -，设切线方程为：1x ty =-，则由214x ty y x =-⎧⎨=⎩得：2440y ty -+=，216160t ∴∆=-=，解得：1t =±，O 在四边形ABCD 内（含边界），结合图形可知：1t =，此时π4OAB Ð=，∴直线1PA 与CD 所成角的最大值为π4，C 正确；对于D ，111111111133P A BC B PA C PA C PA C V V SBB S --==⋅=，11AC =∴若三棱锥11P A BC -的体积最大，则点P 到11AC 的距离最大，即点O 到AC 的距离最大；由C 中图象可知：当O 为AB 中点时，点O 到AC 的距离最大，最大值为142BD =，即点P 到11AC ，()11max13223P A BC V -∴=⨯=，D 正确.故选：BCD.关键点点睛：本题考查立体几何中的轨迹相关问题的求解，解题关键是能够作出二面角的平面角，结合线面角定义确定动点满足到定点的距离等于到定直线的距离，从而确定动点轨迹为抛物线的一部分，进而结合直线与抛物线的知识来进行求解.三、填空题13．在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是____________.（用数字作答）【正确答案】15【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中常数项【详解】二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()62361661C C rrr r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令360r -=，即2r =，∴常数项为2615C =.故15.14．假设云南省40万学生数学模拟考试的成绩X 近似服从正态分布()98,100N ，已知某学生成绩排名进入全省前9100名，那么该生的数学成绩不会低于____________分.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=）【正确答案】118【分析】求出从40万名学生任取1名，成绩排名在前9100名的概率，再利用正态分布的对称性求出对应分数作答.【详解】从40万名学生任取1名，成绩排名在前9100名的概率为91000.022********=，因为成绩X 近似服从正态分布()98,100N ，则98μ=，10σ=，()()22781180.9545P X P X μσμσ-<<+=<<=，显然()()1180.510.95450.02275P X ≥=⨯-=，从而数学成绩大于等于118分的人数恰好为9100，所以要进入前9100名，成绩不会低于118分.故11815．已知抛物线C ：28x y =，在直线4y =-上任取一点P ，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则原点到直线AB 距离的最大值为____________.【正确答案】4【分析】先根据切线方程得到直线AB 的方程，根据其过定点()0,4可得直线AB 距离的最大值为4.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则2118x y =，2228x y =，由28x y =得28x y =，284x x y '==，在A 处的切线方程为()1114x y y x x -=-，即114xy x y =-在B 处的切线方程为()2224x y y x x -=-，即224xy x y =-设(),4P t -，则1144x t y -=-，2244xt y -=-，则直线AB 方程为：44x t y -=-，即44ty x =+，直线AB 恒过定点()0,4，所以原点到直线AB 的距离的最大值为4.故4四、双空题16．定义x 表示与实数x 的距离最近的整数（当x 为两相邻整数的算术平均值时，x 取较大整数），如413=，523=，22=，2.53=，令函数()K x x =，数列{}n a 的通项公式为n a=n 项和为nS ，则6S=______；2025S =______.【正确答案】489【分析】空1：根据数列新定义求出前6项，求和即可；空2：根据数列新定义，数列{}n a 重新分组可得()11111111111111,1,(,),(,,,,,),,(,,,)2222333333n n n，且满足第n 组有2n 个数，且每组中所有数之和为122n n⨯=，根据规律求和即可.【详解】空1：因为()1111a K ==，21a ==，312a ==，()41122a K ==，512a ==，612a ==，所以6111442S =++⨯=；空2：根据()K x x =，当12n ≤≤时，1 1.5≤，则1K=，1n a==，当36n ≤≤时，1.5 2.5<，则2K=，12n a =，当712n ≤≤时，2.5 3.5<<，则3K=，13n a ==，当1320n ≤≤时，3.5 4.5<，则4K=，14n a =，以此类推，将n a=()11111111111111,1,,,,,,,,,,,,,,2222333333n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，第n 组有2n 个数，且每组中所有数之和为122n n⨯=，设2025a =1n +组中，则(22)20252n n+≤，可得(1)2025n n +≤，解得4445n <<，故2025a 在第45组，前面共有44组，共1980项，所以20251244458945S =⨯+⨯=.故4；89.关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是理解新定义，利用新定义合理推导，结合数列通项和求和知识解答.五、解答题17．如图，正ABC 是圆柱底面圆O 的内接三角形，其边长为a .AD 是圆O 的直径，PA 是圆柱的母线，E 是AD 与BC 的交点，圆柱的轴截面是正方形.(1)记圆柱的体积为1V ，三棱锥-P ABC 的体积为2V ，求12V V ；(2)设F 是线段PE 上一点，且12FE PF =，求二面角A FC O --的余弦值.【正确答案】(1)π3【分析】（1）利用正弦定理求解圆柱底面圆的半径r 与正ABC 的边长为a 的关系，从而得圆柱的高h 与a 的关系，分别计算体积即可得比值；（2）建立空间直角坐标系，分别求解平面AFC 与平面FCO 的法向量，根据空间向量的坐标运算求解二面角A FC O --的余弦值即可.【详解】（1）已知正ABC 的边长为a ，由正弦定理，2sin 60ar =︒（r 为圆柱底面圆的半径），从而3r OA a ==，由题意，圆柱高23h r a ==，所以231ππ9V r h a ==，232111sin 60326V a h a =⨯︒⨯=，因此12π3V V =.（2）如图，过A 作Ax ⊥平面PAD ，易知Ax ，AD ，AP 两两垂直，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设2AD =，则2AP =，1AO =.由于O 为正ABC 的中心，则23AO AE =，于是32AE =，由（1）知正ABC的边长a =，从而BC =则()0,0,0A ，()0,1,0O ，30,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，3,,022C ⎫⎪⎪⎝⎭，()002P ,,，由题意，F 为线段PE 上靠近E 的三等分点，则113120,,20,,33223EF EP ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是20,1,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,1,3AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12,,223FC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,022CO ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面AFC 的法向量为()1111,,n x y z =，所以11111111111203312202233n AF y z y x n FC x y z y z ⎧⎧⋅=+==-⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⋅=+-==-⎪⎪⎩⎩，取11x =-，则132n ⎛=-- ⎝⎭ ，设平面FCO 的法向量为()2222,,n x y z =所以22222222221022012023n CO x y y z n FC x y z ⎧⋅=-=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪⋅+-=⎪⎩，取21x =-，则()2n =- ，所以121212cos,n nn nn n⋅=由图可知二面角A FC O--的夹角为锐角，所以二面角A FC O--的夹角的余弦值为5.18．已知函数()4sin sin6f x x xπωω⎛⎫=+⎪⎝⎭2π.(1)求函数()f x在区间3,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()f A==，c=ABC的面积.【正确答案】(1)[]1,2-(2)3【分析】（1）对函数进行化简，用辅助角公式合为一个三角函数，相邻两条对称轴之间的距离为2π即为半周期，可求出1ω=；（2）由()f A=3Aπ=，由正弦定理求解即可.【详解】（1）()14sin sin4sin cos62f x x x x x xπωωωωω⎫⎛⎫=+-+-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭)22sin cos1cos2sin2x x x x xωωωωω=+=-+sin222sin23x x xπωωω⎛⎫==-⎪⎝⎭，∵22T Tππ=⇒=，1ω=，()2sin23f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，∵334xππ≤≤，72336xπππ≤-≤，∴当7236xππ-=时，()min 1f x=-，当232xππ-=时，()max 2f x=，即()f x的值域为[]1,2-.（2）由()f A=0,2Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得3Aπ=，A B=⇒=，0,2Bπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4Bπ=，∴()62sin sin 4C A B =+=，由sin sin a c a A C =⇒=∴1sin 32ABC S ac B ==+△19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1122n n n S S ++=+，*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设3n n n b S =，{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的正整数n ，不等式2727n m m T -+>恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)()21,1,212,2n n n a n n -=⎧=⎨+⋅≥⎩(2)()1,2-【分析】（1）根据等差数列的定义以及,n n a S 的关系求解；（2）利用错位相减法可求得n T ，在根据题意得()2min 727n m m T -+<即可求解.【详解】（1）由1122n n n S S ++=+，得11122n n n n S S ++=+，又111222S a ==，所以数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，公差为1的等差数列，∴()1211222n n S n n -=+-=，即()1212n n S n -=-⋅，∴当2n ≥时，()()()1221212232212n n n n n n a S S n n n ----=-=-⋅--⋅=+⋅，又11a =不满足上式，所以()21,1,212,2n n n a n n -=⎧=⎨+⋅≥⎩.（2）由（1）知()1212n n S n -=-⋅，∴()121212323nn nnn b n --⋅⎛⎫⎛⎫==-⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴12123212232323nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①23121232123232323n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①−②得：23111222123333323n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得()25253nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又因为对任意的正整数n ，2727n m m T -+>恒成立，所以()2min 727n m m T -+<，∵()()11222212527033333n n nn n T T n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+> ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴n T 在()0,∞+上单调递增，()1min 13n T T ==，由271273m m -+<，可得12m -<<，所以实数m 的取值范围是()1,2-.20．“学习强国”学台是由中宣部主管，以深入学习宣传为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app .为了了解全民对于“学习强国”使用的情况，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N 名员工，其中25是男性，35是女性.(1)当20N =时，求抽出3人中男性员工人数X 的分布列和数学期望；(2)我们知道，当总量N 足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N 名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作1P ；在二项分布中（即男性员工的人数2~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭）男性员工恰有2人的概率记作2P .那么当N 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即120.001P P -≤）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.24.04≈）【正确答案】(1)分布列见解析，数学期望为65(2)N 至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即120.001P P -≤）的前提下认为超几何分布近似为二项分布【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望；（2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解.【详解】（1）当20N =时，男性员工有8人，女性员工有12人.X 服从超几何分布，0,1,2,3X =，()312320C 220110C 114057P X ====，()12812320C C 528441C 114095P X ====，()21812320C C 336282C 114095P X ====，()38320C 56143C 1140285P X ====，∴X 的分布列为X0123P11574495289514285数学期望为()11442814601235795952855E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）()()()()212355131232C C 111855551C 2512126NNNN N N N N P N N N N N ⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⋅----，22232336C 0.28855125P ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，由于120.001P P -≤，则()()211850.2880.0012512N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅-≤--，即()()211828950.28925121000N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅≤=--，即()()2128925289512100018720N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤⨯=--，由题意易知()()120N N -->，从而()()27201289125N N N N ⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭，化简得21475780N N -+≥，又0N >，于是578147N N +≥.由于函数578y x x=+在24.04x =≈处有极小值，从而578y N N=+当25N ≥时单调递增，又578142146.07147142+≈<，578143147.04147143+≈>.因此当143N ≥时符合题意，而又考虑到25N 和35N 都是整数，则N 一定是5的整数倍，于是145N =.即N 至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即120.001P P -≤）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.21．已知圆C：(224x y +=，定点)D，如图所示，圆C 上某一点1D 恰好与点D关于直线PQ 对称，设直线PQ 与直线1D C 的交点为T.(1)求证：TC TD -为定值，并求出点T 的轨迹E 方程；(2)设()1,0A -，M 为曲线E 上一点，N 为圆221x y +=上一点（M ，N 均不在x 轴上）.直线AM ，AN 的斜率分别记为1k ，2k ，且124k k =-.求证：直线MN 过定点，并求出此定点的坐标.【正确答案】(1)证明见解析，2214y x -=(2)证明见解析，定点坐标为()1,0【分析】（1）根据对称性求得TC TD -为定值，结合双曲线定义求得轨迹E 方程；（2）解一：根据M A ，在双曲线上，用点差法得1111141y x x y -=⋅+，222211y x x y -=-+，代入124k k =-可得122121x y x y y y =--，将MN 方程()y k x m =+代入求得直线MN 恒过定点.解二：分别联立直线与双曲线、圆，求出M N ，的坐标，设定点(),0T t ，由三点共线得1t =，得直线MN 恒过定点.【详解】（1）证明：由图，由点1D 与D 关于PQ 对称，则1TD TD =，所以112TC TD TC TD CD -=-==，故为定值.由2TC TD CD -=<=由双曲线定义知，点T的轨迹为以()C，)D为焦点，实轴长为2的双曲线，设双曲线E 方程为()222210,0x y a b a b -=>>，所以1a =，c =2224b c a =-=，所以双曲线E 的方程为2214y x -=.（2）解一：因为()1,0A -，如图，令()11,M x y ，()22,N x y ，()2211221,4101,y x ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩两式相减得：1111141y x x y -=⋅+，同理，()2222221,101,x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩两式相减得：222211y x x y -=-+，124k k =-，即2121122121211111444x x k k x y x y y y y y ⎛⎫--=-⇒-=-⋅⋅⇒-=- ⎪⎝⎭，由题知直线MN 斜率一定存在，设直线MN 方程()y k x m =+，则()()()()211122k x m k x m k x m k x m x x +++-=+-，整理得()1212m x x x x =--，所以1m =，故直线MN 恒过定点()1,0.解二：由已知得AM l ：()11y k x =+，AN l ：()21y k x =+，联立直线方程与双曲线方程()1221,1,4y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩消去y 整理得()22221114240k x k x k ----=，由韦达定理得212144A M k x x k --=-，所以212144M k x k +=-，即()1121814M M k y k x k =+=-.所以211221148,44k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭.联立直线方程与圆的方程()2221,1,y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去y 整理得()22222221210k x k x k +++-=，由韦达定理得222211A N k x x k -=+，所以222211N k x k -+=+，即()22222211N N k y k x k =+=+，因为14AN AM k k =-，即2114k k =-，所以2112211168,1616k k N k k ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭，若直线MN 过定点，则由对称性得定点在x 轴上，设定点(),0T t .由三点共线得MT NT k k =，即()()1122222211111122112211884164416161416416k k k k k k t k k t t k k t t k k --+=⇒++-=-++⇒=+-+---+，所以直线MN 过定点()1,0T .方法点睛：圆锥曲线中直线过定点问题通法，是先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.此题中由于两点分别是直线与双曲线、圆的交点，故只能求出两交点的坐标，用两点坐标结合直线方程得到直线恒过定点.22．已知函数()()ln 22f x x x =+-+，()e ln x g x a x a =-+.(1)求函数()f x 的极值；(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.①若()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；②若关于x 的方程()()f x g x =有两个实根，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)极大值为3，无极小值(2)选①，[)e,a ∈+∞；选②，a 的取值范围为()0,e 【分析】（1）先求导函数，再根据单调性求解极值即可；（2）把恒成立式子整理化简后，构造函数求导函数结合单调性求解.【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}2x x >-，()111022x f x x x --'=-==++，解得=1x -，当2<<1x --时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当1x >-时，()()0,f x f x '<单调递减；所以()()13f x f =-=极大值，无极小值.（2）若选①：由()()f x g x ≤恒成立，即()e ln 2ln 20x a x a -++-≥恒成立，整理得：()ln e ln ln 22x a a x x x ++≥++++，即()()ln 2ln e ln ln 2e x x a a x x ++≥++++，设函数()e x h x x =+，则上式为()()()ln ln 2h x a h x +≥+，因为()e 10x h x '=+>恒成立，所以()h x 单调递增，所以()ln ln 2x a x +≥+，即()ln ln 2a x x ≥+-，令()()ln 2m x x x =+-，()2,x ∈-+∞，则()11122x m x x x +'=-=-++，当()2,1x ∈--时，()0m x '>；当()1,x ∈-+∞时，()0m x '<；所以()m x 在=1x -处取得极大值，()m x 的最大值为()11m -=，故ln 1a ≥，即e a ≥.故当[)e,a ∈+∞时，()()f x g x ≤恒成立.若选择②：由关于x 的方程()()f x g x =有两个实根，得()e ln 2ln 20x a x a -++-=有两个实根，整理得()ln eln ln 22x a a x x x ++=++++，即()()ln 2ln e ln ln 2e x x a a x x ++=++++，设函数()e x h x x =+，则上式为()()()ln ln 2h x a h x +=+，因为()e 10x h x '=+>恒成立，所以()h x 单调递增，所以()ln ln 2x a x +=+，即()ln ln 2a x x =+-，令()()ln 2m x x x =+-，()2,x ∈-+∞，则()11122x m x x x +'=-=-++，当()2,1x ∈--时，()0m x '>；当()1,x ∈-+∞时，()0m x '<；所以()m x 在=1x -处取得极大值，()m x 的最大值为()11m -=，又因为()(),,2,,x m x x m x →+∞→-∞→-→-∞所以要想()ln ln 2a x =+有两个根，只需要ln 1a <，即0e a <<，所以a 的取值范围为()0,e .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
云南省昆明市2022届高三“三诊一模”市统测数学（理）试题一、单选题1．（2022·昆明模拟）已知集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|−1≤x≤3}，则A∩B=（）A．{−2,−1,0,1}B．{0,1,2,3}C．{−1,0,1,3}D．{−1,0,1,2}2．（2022·昆明模拟）已知复数z满足iz=1+3i，则z=（）A．3+i B．3−i C．−3−i D．−3+i 3．（2022·昆明模拟）为了解学生参加知识竞赛的情况，随机抽样了甲、乙两个小组各100名同学的成绩，得到如图的两个频率分布直方图，记甲、乙的平均分分别为x̅甲、x̅乙，标准差分别为s甲、s乙，根据直方图估计．．甲、乙小组的平均分及标准差，下列描述正确的是（）A．x̅甲<x̅乙，s甲<s乙B．x̅甲<x̅乙，s甲>s乙C．x̅甲>x̅乙，s甲<s乙D．x̅甲>x̅乙，s甲>s乙4．（2022·昆明模拟）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前3项和为14，a1=2，则数列{a n}的公比等于（）A．4B．3C．2D．1 5．（2022·昆明模拟）执行如图所示的程序框图，若输入N=5，则输出S=（）A ．34B ．45C ．56D ．676．（2022·昆明模拟）在 △ABC 中，点 D 满足 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则（ ） A ．CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB⃗⃗⃗⃗⃗ D ．CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB⃗⃗⃗⃗⃗ 7．（2022·昆明模拟）已知 OA 为球 O 的半径， M 为线段 OA 上的点，且 AM =2MO ，过 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M ，若圆 M 的面积为 8π ，则 OA = （ ） A ．2√2B ．3C ．2√3D ．48．（2022·昆明模拟）抛物线有一条性质为：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线 C:y 2=4x ，在抛物线内，平行于 x 轴的光线射向 C ，交 C 于点 P ，经 P 反射后与 C 交于点 Q ，则 |PQ| 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．89．（2022·昆明模拟）在棱长为 2 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， M 是棱 AA 1 的中点，G 在线段 B 1M 上，且 D 1G ⊥B 1M ，则三棱锥 M −A 1D 1G 的体积为（ ） A ．415B ．15C ．215D ．11510．（2022·昆明模拟）2021年10月16日0时23分，长征二号F 遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空， 582 秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度 v 满足公式： v =wln(1+Mm) ，其中 M 为火箭推进剂质量， m 为去除推进剂后的火箭有效载荷质量， w 为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当 M =3m 时， v =5.544 千米/秒．在保持 w 不变的情况下，若 m =25 吨，假设要使 v 超过第一宇宙速度达到 8 千米/秒，则 M 至少约为（结果精确到1，参考数据： e 2≈7.389 ， ln2≈0.693 ）（ ）A ．135吨B ．160吨C ．185吨D ．210吨11．（2022·昆明模拟）经过双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 右焦点 F 的直线 l 与 C 的两条渐近线 l 1 ， l 2 分别交于 A ， B 两点，若 l ⊥l 1 ，且 BF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．√62B ．2√63C ．√2D ．212．（2022·昆明模拟）若函数 f(x)=x 2−4x +alnx 有两个极值点，设这两个极值点为 x 1 ，x 2 ，且 x 1<x 2 ，则（ ） A ．x 1∈(1,2)B ．x 1+x 2<2C ．f(x 1)<−3D ．f(x 1)>−3二、填空题13．（2022·昆明模拟）已知 x ， y 满足 {x ≥y x +y −2≤0y ≥−1，则 z =x +2y 的最大值为 ．14．（2022·昆明模拟）抽奖箱里有大小相同、质地均匀的红球、白球、黑球各2个，抽奖规则为：每次从中随机抽取2个小球，按抽到小球的颜色及个数发放奖品，抽到每个红球获得价值5元的奖品，每个白球获得价值1元的奖品，黑球不能获得奖品．抽奖一次，所得奖品的价值为6元的概率是 ．15．（2022·昆明模拟）已知数列 {a n } 满足 a 1=1 ， a n +a n+1=n ，则 a 20= ． 16．（2022·昆明模拟）已知函数 f(x)=sin(ωx +π3)−ω(ω>0) 在区间 (0,7π3ω) 上有且仅有4个零点，则 ω 的取值范围是 ．三、解答题17．（2022·昆明模拟）如图，四棱锥 P −ABCD 的底面是平行四边形， PD ⊥ 平面 ABCD ，AD ⊥BD ， M 是 PA 的中点．（1）证明： PC ∥ 平面 BDM ；（2）若 PD =AD =BD ，求直线 AB 与平面 BDM 所成角的大小．18．（2022·昆明模拟）在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．2016年4月，为促进新能源汽车发展，实施差异化交通管理政策，公安部启用新能源汽车专用号牌．2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021-2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展．下表是2016年至2020年新能源汽车年销量（单位：十万辆）情况：参考公式： b ̂=∑(x i −x ̅)n i=1(y i−y ̅)∑(x i −x ̅)2n i=1， a ̂=y ̅−b ̂x ̅ . （1）完成下表；（2）试建立年销量 y 关于年份编号 x 的线性回归方程 y ̂=b ̂x +a ̂ ；（3）根据（2）中的线性回归方程预测2023年新能源汽车的年销量．19．（2022·昆明模拟）已知 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且满足①C =2B ；②bcosA =acosB ；③b 2−c 2=a 2−√2ac ． （1）从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；（2）若 D 为线段 AB 上一点，且 ∠BCD =12∠B ， CD =4 ，求 △BCD 的面积．20．（2022·昆明模拟）已知椭圆 C:x 23+y 2=1 的左、右顶点分别为 A 1 、 A 2 ，下、上顶点分别为 B 1 、 B 2 ．记四边形 A 1B 1A 2B 2 的内切圆为 E ． （1）求 E 的方程；（2）过点 M(m,0)(m >0) 作 E 的切线 l 交 C 于A 、 B 两点，求 |AB| 的最大值．21．（2022·昆明模拟）设函数 f(x)=x 2−axlnx ， a ∈R ．（1）若 a =1 ，求曲线 y =f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程；（2）若存在 x 0∈[1,e] ，使得 f(x 0)<−e(a +e) 成立，求 a 的取值范围．22．（2022·昆明模拟）已知圆 C 的方程为 (x −1)2+(y −1)2=9 ，直线 l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα ，（ t 为参数， 0≤α<π ）．以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）设 l 与 C 交于 A ， B 两点，当 |OA|+|OB|=2√7 时，求 l 的极坐标方程.23．（2022·昆明模拟）已知 f(x)=|x −2|+|x −3| .（1）解不等式 f(x)≥3 ；（2）记 f(x) 的最小值为 m ，若 a ， b 都是正数，且 1a +2b =m ，证明：a +2b ≥9 ．答案解析部分1．【答案】D【考点】交集及其运算【解析】【解答】因为A={−2,−1,0,1,2}，B={x|−1≤x≤3}，所以A∩B={−1,0,1,2}，故答案为：D根据题意由交集的定义，结合不等式即可得出答案。
2．【答案】B【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：因为iz=1+3i，所以z=1+3ii=−i(1+3i)=3−i.故答案为：B.首先由复数代数形式的运算性质整理，即可得出答案。
3．【答案】A【考点】频率分布直方图【解析】【解答】因为x̅甲=0.12×1.5+0.64×2.5+0.12×3.5+0.08×4.5+0.04×5.5= 2.78，x̅乙=0.15×1.5+0.2×2.5+0.27×3.5+0.23×4.5+0.15×5.5=3.53，所以x̅甲<x̅乙.又甲组的数据比乙组更集中，所以s甲<s乙.故答案为：A由已知条件结合频率分布直方图中的数据，把结果代入到平均数和方差公式，计算出结果即可。
4．【答案】C【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和【解析】【解答】设数列{a n}的公比为q(q>0)，因为等比数列{a n}的前3项和为14，而a1=2，显然q≠1，所以 14=2(1−q 3)1−q⇒q 3−7q +6=0⇒q 3−q −6q +6=0⇒q(q +1)(q −1)−6(q −1)=0⇒(q −1)(q 2+q −6)=0 ，解得 q =1 ，或 q =2 ，或 q =−3 ，而 q ≠1 ， q >0 ，所以 q =2 ， 故答案为：C首先由已知条件结合等比数列的前n 项和公式，代入数值整理即可得出关于q 的方程，求解出q 的取值，并代入验证即可得出满足条件的q 的取值。
5．【答案】B 【考点】程序框图【解析】【解答】解：当 k =1 时，满足进行循环的条件， S =0+11×2=12， 当 k =2 时，满足进行循环的条件， S =12+12×3=23 ， 当 k =3 时，满足进行循环的条件， S =23+13×4=34 ， 当 k =4 时，满足进行循环的条件， S =34+14×5=45， 当 k =5 时，不满足进行循环的条件，故输出的 S =45.故答案为：B.根据题意由程序框图的循环代入数值验证，即可得出满足题意的输出值.6．【答案】A【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】【解答】解： CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ .故答案为：A.根据题意由向量的加减运算性质，整理化简计算出结果即可。